6向量的坐标表示教案(1)

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第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT

设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝＝6525，．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一知识·分步落实栏目二考点·分类突破栏目三微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义．考情分析：平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ，得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝－21，＝－2，解得xy＝＝2－，1，故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案：－3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，

向量的基本运算及应用教案

向量的基本运算及应用教案引言：向量是数学中的一种重要概念，广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域。

本教案旨在通过教授向量的基本运算和应用，让学生们深入理解向量的概念和运算法则，培养他们对向量运算的应用能力。

一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是有大小和方向的量，用箭头表示，在平面上可以表示为带有起点和终点的有向线段。

2. 向量的表示方法向量可以使用坐标表示法和分量表示法进行表示。

3. 向量的运算法则（1）向量的加法：将两个向量的对应分量相加，得到新的向量。

（2）向量的减法：将两个向量的对应分量相减，得到新的向量。

（3）向量的数量乘法：将向量的每个分量都乘以一个标量，得到新的向量。

二、向量的基本运算实例1. 向量的加法实例假设有向量 A(2, 3) 和向量 B(4, -1)，则它们的向量和为：A +B = (2+4, 3+(-1)) = (6, 2)2. 向量的减法实例假设有向量 A(5, 7) 和向量 B(3, 2)，则它们的向量差为：A -B = (5-3, 7-2) = (2, 5)3. 向量的数量乘法实例假设有向量 A(3, 4)，要将其乘以 2，则结果为：2A = (2*3, 2*4) = (6, 8)三、向量的应用1. 向量的平移通过向量的加法运算，可以实现对向量的平移操作。

例如，将向量A(2, 3) 平移到点 (5, 7)，可以得到平移后的向量为：A' = A + (5-2, 7-3) = (3, 4)2. 向量的线性组合向量的线性组合是指将多个向量按照一定比例相加的操作。

例如，向量 A(2, 3) 和向量 B(4, 1) 的线性组合可以表示为：cA + dB = (c*2, c*3) + (d*4, d*1) = (2c+4d, 3c+d)，其中 c 和 d 为标量。

3. 向量的内积和外积向量的内积和外积是向量运算中的两个重要概念。

（1）向量的内积：也称为点积，可以用来计算两个向量间的夹角。

高中数学必修二 6 3 2-6 3 4 平面向量数乘运算的坐标表示(第1课时)学案

6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（第1课时）【学习目标】一．平面向量的正交分解把一个向量分解为的向量，叫做把向量正交分解．二．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使a ＝x i ＋y j ，我们把有序实数对叫做向量a 的坐标，记作a ＝，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．在向量的直角坐标中i ，j ，0的坐标分别为i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)．三．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，λ∈R ，则①a ＋b ＝； ②a －b ＝； ③λa ＝．(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的坐标减去坐标．注意：(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．(2)已知向量AB→的起点A (x 1，y 1)，终点B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )．( )(2)若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2.( ) (3)若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的始点是原点O .( ) (4)若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )．( )2.已知A (3，1)，B (2，－1)，则BA →的坐标是( )A ．(－2，－1)B ．(2，1)C ．(1，2)D ．(－1，－2)【经典例题】题型一平面向量的坐标表示点拨： (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．例1 分别用基底{ i ，j }表示向量a ，b ，c ，d ，并求出它们的坐标。

高中数学第六章平面向量初步平面向量的坐标及其运算第1课时平面向量的坐标及运算学案新人教B版必修第二册

6．2.2 直线上向量的坐标及其运算 6．2.3 平面向量的坐标及其运算【课程标准】1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的加法，减法与数乘运算.3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．第1课时平面向量的坐标及运算新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一直线上向量的坐标1．给定一条直线l 及这条直线上一个单位向量e ，由共线向量基本定理可知，对于直线l 上的任意一个向量a ，一定存在唯一的实数x ，使得a ＝x e ，此时，x 称为向量a 的坐标．状元随笔值得注意的是，如果直线上向量a ⃗的坐标为x ，则x 既能刻画a ⃗的模，也能刻画向量a ⃗的方向．事实上，此时|a ⃗|＝|x e ⃗|＝|x||e ⃗|＝|x|；而且：当x>0时，a ⃗的方向与e ⃗的方向相同；当x ＝0时，a ⃗是零向量；当x<0时，a ⃗的方向与e ⃗的方向相反．也就是说，在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定．2．事实上，设A (x 1)，B (x 2)是数轴上两点，O 为坐标原点，则OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝x 1e ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝x 2e ，因此AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗－OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝x 2e －x 1e ＝(x 2－x 1)e ，所以不难看出AB ＝|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|＝|x 2－x 1|.这就是数轴上两点之间的距离公式．3．另外，假设M (x )是线段AB 的中点，则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝12 (OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＋OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)＝x 1e+x 2e 2＝x 1+x 22e ，又因为OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝x e ，所以x ＝x 1+x 22.这就是数轴上的中点坐标公式．知识点二正交分解 1．向量垂直平面上的两个非零向量a 与b ，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .为了方便起见，规定零向量与任意向量都垂直．2．正交分解如果平面向量的基底{e 1，e 2}中，e 1⊥e 2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．知识点三平面向量的坐标表示一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e 1，e 2，对于平面内的向量a ，如果a ＝x e 1＋y e 2，则称(x ，y )为向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).状元随笔 1.对平面向量坐标的几点认识(1)设OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝x i → ＋y j → (O 为坐标原点)，则向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标(x ，y)就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标就是向量OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标(x ，y).因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．(2)两向量相等的等价条件是它们对应的坐标相等．(3)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同．2．符号(x ，y)的意义符号(x ，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说点(x ，y)或向量(x ，y).知识点四平面向量的坐标运算(1)已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么a ＋b ＝____________________， a －b ＝____________________， λa ＝(λx 1，λy 1).(2)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，O 为坐标原点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗－OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝________．即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的________的坐标减去________的坐标．基础自测1．数轴上两点，A 的坐标为1，B 的坐标为－2，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标为( ) A ．3B ．(3，0)C ．－3D ．(－3，0)2．已知M (2，3)，N (3，1)，则NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标是( ) A ．(2，－1) B ．(－1，2) C ．(－2，1) D ．(1，－2)3．已知数轴上的一个单位向量e ，向量a ＝－23e ，b ＝13e ，则下列式子正确的是( )A ．b ＝12aB ．b ＝－12a C ．b ＝2a D ．b ＝－2a4．若向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(2，3)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(4，7)，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝________．课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 直线上向量的运算与坐标表示[经典例题]例1 (1)若e 是直线l 上的一个单位向量，向量a ＝13e ，b ＝－12e 是这条直线上的向量，则|a ＋2b |＝________．(2)已知A ，B 是数轴上的点，B (－2)，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标为4，求： ①点A 的坐标．②线段BA 的中点C 的坐标．状元随笔利用数轴上两点之间的关系与中点坐标公式求解．方法归纳数轴上A 点坐标为x 1，B 点坐标为x 2(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗坐标x 2－x 1，|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|＝|x 2－x 1|(2)线段AB的中点坐标为x1+x22跟踪训练1 (1)数轴上向量a的坐标为－2，b的坐标为3，则a＋2b的坐标为( ) A．－1 B．－8C．4 D．1(2)已知直线上向量a，b的坐标分别为3，－4，求下列向量的坐标．①2a＋b.b.②5a－12(3)已知数轴上两点A，B的坐标分别为x1，x2，根据下列条件，分别求点A的坐标x1.⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标为－3；①x2＝－5，BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|＝2.②x2＝－1，|AB题型2 求向量的坐标[经典例题]例2 如图，分别用基底{i，j}表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标．结合坐标系，写出a⃗、b⃗⃗、c⃗、d⃗的坐标．方法归纳求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．(2)求一个向量时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．跟踪训练2 在直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，分别求出它们的坐标．由于向量a⃗，b⃗⃗的起点在坐标原点，因此只需求出终点A，B的坐标．题型3 平面向量的坐标运算[经典例题]⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(－4，－3)，则向量BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝( ) 例3 (1)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗.方法一先求C点坐标，再求BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗，再求BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗.方法二先求ABA.(－7，－4) B．(7，4)C．(－1，4) D．(1，4)(2)已知向量a ，b 的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a ＋b ，a －b ，3a ，2a ＋3b 的坐标．方法归纳平面向量坐标(线性)运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．跟踪训练3 (1)已知A 、B 、C 的坐标分别为(2，－4)、(0，6)、(－8，10)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＋2BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝____________，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−12AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝____________； (2)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，3)，c ＝(4，1)，若用a 和b 表示c ，则c ＝____________．状元随笔 (1)先求AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗坐标，再计算AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＋2BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗－12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值． (2)设c ⃗＝xa ⃗⃗⃗⃗⃗＋yb ⃗⃗⃗⃗⃗，建立方程组，求出x ，y.题型4 向量坐标运算的应用[经典例题]例4 已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)，及OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＋t AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？(2)四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．状元随笔 (1)OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(1＋3t ，2＋3t)，利用点在坐标轴及象限的特征求解． (2)若四边形OABP 为平行四边形，则有OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 方法归纳向量中含参数问题的求解策略(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．(3)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量，由此可建立相等关系求某些参数的值．跟踪训练4 已知点A (2，3)，B (5，4)，C (7，10)．若AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＋λAC⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ∈R )，试求λ为何值时，(1)点P 在一、三象限的角平分线上； (2)点P 在第三象限内．6．2.2 直线上向量的坐标及其运算 6．2.3 平面向量的坐标及其运算第1课时平面向量的坐标及运算新知初探·自主学习知识点四(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (x 1－x 2，y 1－y 2) (2)(x 2－x 1，y 2－y 1) 终点始点[基础自测]1．解析：A 的坐标为1，B 的坐标为－2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标为－3. 答案：C2．解析：NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(2－3，3－1)＝(－1，2)．答案：B3．解析：由题意，向量a ＝－23e ，b ＝13e ，所以a ＝－2b ，即b ＝－12a .答案：B4．解析：BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(2，3)－(4，7)＝(－2，－4)．答案：(－2，－4)课堂探究·素养提升例1 【解析】 (1)由题意，向量a ，b 的坐标分别为13，－12，所以a ＋2b 的坐标为13＋2×(－12)＝－23，故|a ＋2b |＝23.(2)①由题意知，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标为－2，又AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标为4，所以OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标为－6，即A (－6)． ②由①知，A (－6)，B (－2)，所以中点C 的坐标为−6+(−2)2＝－4，即C (－4)．【答案】 (1)23(2)见解析跟踪训练1 解析：(1)∵b 的坐标为3，∴2b 的坐标为6， ∴a ＋2b 的坐标为－2＋6＝4.(2)①2a ＋b 的坐标为2×3＋(－4)＝2. ②5a －12b 的坐标为5×3－12×(－4)＝17.(3)由题意，数轴上两点A ，B 的坐标分别为x 1，x 2， ①由向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标为x 1－(－5)＝－3，所以x 1＝－8.②由|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|＝|－1－x 1|＝2，解得x 1＝1或x 1＝－3. 答案：(1)C (2)(3)见解析例2 【解析】如题图可知，a ＝AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗1+AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2＝2i ＋3j ，所以a ＝(2，3)．同理，b ＝－2i ＋3j ＝(－2，3)，c ＝－2i －3j ＝(－2，－3)，d ＝2i －3j ＝(2，－3)．跟踪训练2 解析：设点A (x ，y )，B (x 0，y 0)， ∵|a |＝2，且∠AOx ＝45°，∴x ＝2cos45°＝√2，且y ＝2sin45°＝√2.又|b |＝3，∠xOB ＝90°＋30°＝120°， ∴x 0＝3cos120°＝－32，y 0＝3sin120°＝3√32.故a ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(√2，√2)，b ＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(－32，3√32)．例3 【解析】 (1)方法一设C (x ，y )，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以{x =−4，y =−2，从而BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A. 方法二 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选A. (2)a ＋b ＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a －b ＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)，3a ＝3(－1，2)＝(－3，6)，2a ＋3b ＝2(－1，2)＋3(3，－5)＝(－2，4)＋(9，－15)＝(7，－11)．【答案】 (1)A (2)见解析跟踪训练3 解析：(1)∵A (2，－4)，B (0，6)，C (－8，10)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(－2，10)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(－8，4)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(－10，14)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＋2BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(－18，18)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(－3，－3)． (2)设c ＝x a ＋y b ，则(x ，2x )＋(－2y ，3y )＝(x －2y ，2x ＋3y )＝(4，1)．故{x −2y =4，2x +3y =1，解得{x =2，y =−1.所以c ＝2a －b .答案：(1)(－18，18) (－3，－3) (2)2a －b例4 【解析】 (1)OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＋t AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(1，2)＋t (3，3)＝(1＋3t ，2＋3t )．若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，所以t ＝－13.若点P 在第二象限，则{1+3t ＜0，2+3t ＞0，所以－23＜t ＜－13.(2)OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(1，2)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(3－3t ，3－3t )．若四边形OABP 为平行四边形，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以{3−3t =1，3−3t =2，该方程组无解．故四边形OABP 不能为平行四边形．跟踪训练4 解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＋λAC⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝[(5，4)－(2，3)]＋λ[(7，10)－(2，3)]11 ＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．因为AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＋λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以{x −2=3+5λ，y −3=1+7λ，则{x =5+5λ，y =4+7λ.(1)若P 在一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，所以λ＝12，所以当λ＝12时，点P 在一、三象限的角平分线上．(2)若P 在第三象限内，则{5+5λ<0，4+7λ<0，所以λ<－1，所以当λ<－1时，点P 在第三象限内．。

向量的坐标表示及其运算教案

向量的坐标表示及其运算教案一、教学目标1. 了解向量的概念，掌握向量的坐标表示方法。

2. 掌握向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和数量积。

3. 能够运用向量的坐标表示和运算解决实际问题。

二、教学内容1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量。

2. 向量的坐标表示：在二维和三维空间中，向量可以用坐标表示。

二维空间中的向量：\( \vec{a} = (a_1, a_2) \)三维空间中的向量：\( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \)3. 向量的加法：\( \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3) \)4. 向量的减法：\( \vec{a} \vec{b} = (a_1 b_1, a_2 b_2, a_3 b_3) \)5. 向量的数乘：\( k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3) \)6. 向量的数量积（点积）：\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \)三、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量的概念、坐标表示和运算方法。

2. 利用多媒体课件，展示向量的图形，帮助学生直观理解向量的概念和运算。

3. 引导学生通过小组讨论，探讨向量运算的规律和应用。

4. 利用例题，讲解向量运算在实际问题中的应用。

四、教学步骤1. 导入新课：回顾初中阶段学习的向量知识，引出高中阶段向量学习的内容。

2. 讲解向量的概念，引导学生理解向量的本质。

3. 介绍向量的坐标表示方法，让学生掌握向量的坐标表示。

4. 讲解向量的加法、减法、数乘和数量积运算，让学生熟练掌握运算方法。

5. 利用多媒体课件，展示向量的图形，让学生直观理解向量的运算。

五、课后作业1. 填空题：向量\( \vec{a} = (2, 3) \) 的长度是_______。

向量\( \vec{a} = (1, 2) \) 与向量\( \vec{b} = (-1, 2) \) 垂直。

向量坐标表格示及其运算沪教版教案

标题: 关键词:描述:学科:媒体格式:资源类型:作者:地址:资源信息表〔2〕向量的坐标表示及其运算〔2〕平行、点共线、定比分点坐标公式教学目标1．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，稳固充要条件的证明方式；2．会用平行的充要条件解决点共线问题；3．定比分点坐标公式.教学重点与难点课本例5的演绎证明；向量在平面几何中的应用.高中二年级>数学第语种:汉语一学期>教学设计.doc学习者:学生、教师文本类素材教育类高中教育>高中二型:年级胡丹英单位:上海洋泾中学洋泾中学〔2〕向量的坐标表示及其运算〔2〕一、教学内容分析向量是研究数学的工具，是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以及向量运算的坐标形式，那么从“数、式〞的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定量的描述.本节课是向量的坐标及其运算的第二课时，一方面把“形〞与“数、式〞结合起来思考，以“数〞入微，借“形〞思考，体会并感悟数形结合的思维方式；另一方面通过例5的演绎推理教学，体会代数证明的严谨性，也为定比分点〔三点共线〕的教学提供根底.二、教学目标设计1．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，稳固加深充要条件的证明方式；2．会用平行的充要条件解决点共线问题；3、定比分点坐标公式.三、教学重点及难点课本例5的演绎证明；分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用；特殊——一般——特殊的探究问题意识.四、教学流程设计复习引入通过复习概念引入向量平行的定义向量平行的充要条件平行量化表示探究问题二解决知识拓展应用三点共线的充要条件问题一解决课外探索学习课堂小结作业反思，形成问题五、教学过程设计：复习向量平行的概念：提问：〔1〕升么是平行向量方向相同或相反的向量叫做平行向量。

r〔2〕实数与向量相乘有何几何意义r3〕由此对任意两个向量a,b，我们可以用怎样的数量关系来刻画平行对任意两个向量rr r ra,b，假设存在一个常数，使得a b成立，r r那么两向量a与向量b平行r r4〕思考：如果向量a,b用坐标表示为a(x1,y1),b(x2,y2)能否用向量的坐标来刻画这个数量关系x1x2 y1y2rr(x1,y1),b(x2,y2)，那么x1y1思考：如果向量a,b用坐标表示为ax2y2是a//b的〔〕条件.A、充要B、必要不充分C、充分不必要D、既不充分也不必要由此，通过改良引出课本例5rr r r假设a,b 是两个非零向量，且a (x 1,y 1),b(x 2,y 2)，rrx 2y 1.那么a//b 的充要条件是x 1y 2分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨 .证明：分两步证明，r r〔Ⅰ〕先证必要性：a//bx 1y 2x 2y 1r rr r非零向量a//b 存在非零实数，使得ab ，即(x 1,y 1)(x 2,y 2)，化简整理可得：x 1 x 2，消去即得x 1y 2 x 2y 1y 1y 2〔Ⅱ〕再证充分性：x 1y 2r rx 2y 1a//b〔1〕假设x 1y 2x 2y 10,那么x 1、x 2、y 1、y 2全不为零，显然有x 1y 10，x 2y 2即(x 1,y 1)r r r r(x 2,y 2) a b a//b〔2〕假设x 1y 2x 2y 1 0，那么x 1、x 2、y 1、y 2中至少有两个为零.①如果x 1r0，0，0 ，那么由a 是非零向量得出一定有y 1x 2ry 1又由b 是非零向量得出y 20，从而，此时存在0使y 2rr r r(0,y 1)(0,y 2)，即aba//b②如果x 1，那么有y 2rr0 0，同理可证a//br r综上，当x 1y 2x 2y 1时，总有a//b所以，命题得证.[说明] 此题是一典型的代数证明，推理严密，层次清楚，要求较高，是培养数学思维能力的良好范例 .练习2：rrr r1．向量a (2,3)，b (x,6)，且a//b ，那么x 为_________；2．设 a=(x ，y)，=(x ，y )，那么以下a 与 b共线的充要条件的有〔〕11b22①存在一个实数λ，使a =λb 或b =λa；②x1y 1 ；③x 2y 2uur rr ruur r uur r ruur r uur rruur(a +b )ab a 0aaaa 0 a a 0 aaa 0 a a 0 a 1aa 0 述命题中，其中假命题的序号为；[说明] 安排此组练习快速稳固所学根底知识，当堂消化，及时反应.知识拓展应用uuuruuur uuur(k,10)，且A 、B 、C 三点问题一：向量OA (k,12),OB (4,5),OC 共线，那么k=____〔学生讨论与分析〕[说明] 三点共线的证明方法总结：法一：利用向量的模的等量关系uuuruuur法二：假设A 、B 、C 三点满足AB AC，那么A 、B 、C 三点共线.uuuruuur uuurn1时，A 、B 、C*法三：假设A 、B 、C 三点满足OCmOA nOB ，当m 三点共线.问题二：定比分点公式：设点P 1〔x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)，点P 是直线P 1P 2 上任意一点，且满足uuuruuurPPPP 12，求点P 的坐标.uuur x x 1(x 2 x)uuury 1(y 2 y)，因为≠-1，解：由PP 1 PP 2，可知yx1x2x1所以y1y2，这就是点P的坐标.y1[说明]此例题的结论可作为公式掌握，此公式叫线段P1P2的定比分点公式.2．小组交流〔1〕定比分点公式中反映了那几个量之间的关系当=1时，点P的坐标是什么uuur uuur 〔2〕满足式子PP PP12uuuur 的点P称为向量PP的分点.1 2思考：上式中正确反映P，P，2三点位置关系的是〔〕1PA、始→分，分→终.B、始→分，终→分.C、终→分，分→始〔3〕关于定比和分点P表达正确的序号是12中点时，12上时，01〕点P在线段PP=1;2〕点P在线段PP 3〕点P在线段P1P2外时，﹤0;4〕定比Rx1x2x [说明]由定比分点公式可知=12时有y y1y2，此公式叫做线2段P1P2的中点公式.此公式应用很广泛.3．例题辨析例1、平面上A、B、C三点的坐标分别为〔A x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，G是△ABC的重心，求点G的坐标.解：由于点G是△ABC的重心，因此CG与AB的交点D是AB的中点，于是点D的坐标是〔x1x2,y1y2〕. 22uuur uuur设点G 的坐标为(x,y)，且CG 2GDx 3 2 x 1 x 2x 1 x 2 x 3x 21 x32那么由定比分点公式得y 3 2 y 1y2，整理得y 1 y 2 y2 y3y1 2这就是△ABC 的重心G 的坐标.[说明]此题难度不大，但综合性却比拟强.不仅涉及到定比的概念，而且用到了中点公式、定比分点公式.〔2〕此结论可作为三角形重心的坐标公式.uuur uuur的值.例2、P 1(2,5),P 2(3,0),P(12,15)且有PP 1 PP 2 求实数解1：由可求uuur uuur故10=.〔-15〕，PP 1 (10,10)，PP 2( 15, 15)所以定比=-2.uuur3uuur ，所以P ，P ，三点共线，由定比分点公式解2：因为1PP 2 P 2 PP1得12=2( 3)解出实数=-2.13uuur解3：由图形可知点P 在线段P 1P 2外，故 ﹤0PP 2 =2 ，，又uuur3PP 1所以 =-2.3[说明] 此题三点坐标求定比的值，学生往往偏爱第一种解法；解法二是定比分点公式的一个应用，其前提是三点共线，代公式时要注意始点、终点、分点坐标的位置；解法三是求定比的有效方法，简洁方便，鼓励学生大胆去尝试 .课后作业。

空间向量运算的坐标表示(公开课教案)

空间向量运算的坐标表示(公开课教案)空间向量运算的坐标表示导语：本节课将介绍空间向量运算的坐标表示方法，帮助学生建立空间向量的运算概念和技巧。

通过本节课的学习，学生将能够准确地进行空间向量的加法、减法和数量乘法运算，并能够将运算结果表示为坐标形式，提高对空间向量运算的理解和应用能力。

一、空间向量的定义及表示方法空间向量是指具有大小和方向的物理量，它可以用有序数对或坐标表示。

在三维空间中，一个向量可以用三个有序实数表示，分别表示向量在x、y、z轴上的投影，即(x,y,z)。

例如，向量AB可以表示为(2,3,4)，其中2表示在x轴上的投影，3表示在y轴上的投影，4表示在z轴上的投影。

二、空间向量的加法运算空间向量的加法运算是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。

设有向量AB和向量AC，它们的坐标表示分别为(2,3,4)和(1,2,3)，则它们的和向量AD可以通过将对应的分量相加得到，即(2+1,3+2,4+3)=(3,5,7)。

表示向量AD的坐标形式即为(3,5,7)。

三、空间向量的减法运算空间向量的减法运算是将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。

设有向量AB和向量AC，它们的坐标表示分别为(2,3,4)和(1,2,3)，则它们的差向量AD可以通过将对应的分量相减得到，即(2-1,3-2,4-3)=(1,1,1)。

表示向量AD的坐标形式即为(1,1,1)。

四、空间向量的数量乘法运算空间向量的数量乘法运算是将一个向量的每个分量都乘以一个实数得到一个新的向量。

设有向量AB的坐标表示为(2,3,4)，将它与实数k相乘，即可得到数量乘积向量AD，即(2k,3k,4k)，表示向量AD的坐标形式为(2k,3k,4k)。

五、空间向量运算的坐标表示总结空间向量运算的坐标表示方法可以总结如下：1. 加法运算：将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量，表示为(若干表达式)。

2. 减法运算：将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量，表示为(若干表达式)。

6.3平面向量及运算的坐标表示课件(人教版)

（3）两向量差的坐标与两向量的顺序无关。（）（4）向量（2，3）与向量（-4，-6）同向。（）
【提示】（1）×。对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样。（2）√。根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等于终点坐标。（3）×。根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关。
2
线，则C的坐标可以是（）
A.（-9，1） B.（9，-1）
C.（9，1）
D.（-9，-1）
【思维·引】设出点C的坐标，因为A，B，C三点共线，写出向量 AB,AC（或 BC），由向量共线的条件结合选项求解。
【解析】选C。设点C的坐标是（x，y），
【内化·悟】 1.由共线的坐标条件求参数的解题步骤是怎样的？提示：（1）分别写出共线的两个向量的坐标。（2）通过共线条件列出方程（组）。（3）解方程（组）求出参数。
2.如何判断共线的向量u与v是同向还是反向？提示：写成u=λv的情势，若λ>0，同向，若λ<0，反向。
角度3 三点共线问题【典例】已知A（1，-3），B (8，1 )，且A，B，C三点共
量 AB共线的单位向量是（）
A.(3， 4) C.(6，8)
B.( 3，4 ) 55
D.( 4， 3 ) 55
【思维·引】利用向量共线的坐标表示判断。【解析】选B。因为AB =（7，-3）-（4，1）=（3，-4），由向量共线的条件可知，A，B，C选项中的向量均与AB共线，但A，C中向量不是单位向量。
因为A（0，1），AC=（-3，-3），
所以
x y
3, 1 3,
解得
x y
3, 2,
所以点C的坐标为（-3，-2）。又B（3，2），所以BC=（-

新教材高中数学第6章平面向量的坐标及其运算学案含解析新人教B版必修第二册

新教材高中数学学案含解析北师大版必修第二册：6.2.3 平面向量的坐标及其运算学习任务核心素养(教师独具)1．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(重点)2．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算．(重点)3．会用坐标表示平面向量共线的条件，能用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题．(重点、难点)1．通过学习向量的正交分解，培养数学抽象的核心素养．2．通过向量的直角坐标运算，提升数学运算的核心素养.通过上节学习我们知道，以单位向量e 为基底建立数轴，则数轴上的向量坐标等于它的终点坐标，类似地，请思考：问题：(1)平面直角坐标系的基底应满足什么条件？ (2)在直角坐标系中(如图)，向量OA →应怎样用基底表示？(3)若点A 的坐标为(x ，y )，则向量OA →的坐标与(x ，y )有什么关系？ [提示] (1)基底{e 1，e 2}中，e 1，e 2为单位向量且相互垂直． (2)OA →＝x e 1＋y e 2. (3)OA →的坐标也是(x ，y )． 1．向量的正交分解2．向量的坐标 (1)定义：一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e 1，e 2，对于平面内的向量a ，如果a ＝xe 1＋ye 2，则称(x ，y )为向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )．(2)意义：设点A 的坐标为(x ，y )，则OA →＝(x ，y )．符号(x ，y )在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．知识点2 平面上向量的运算与坐标的关系向量的加、减法若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差实数与向量的积若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积向量的数乘、加、减混合运算若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，u ，v ∈R ，则u a ±v b ＝(ux 1±v x 2，uy 1±v y 2) 向量的模若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2注：平面上两个向量相等的充要条件是它们的坐标对应相等．1．已知点A (1，－3)，AB →的坐标为(3,7)，则点B 的坐标为( )A ．(4,4)B ．(－2,4)C ．(2,10)D ．(－2，－10)A [设点B 的坐标为(x ，y )，由AB →＝(3,7)＝(x ，y )－(1，－3)＝(x －1，y ＋3)＝(3,7)，得B (4,4)．]2.已知a ＝(1，－1)，b ＝(3,0)，则3a －2b 等于( )A ．(5,3)B ．(4，－1)C ．(－2，－1)D ．(－3，－3)D [3a －2b ＝3(1，－1)－2(3,0)＝(3，－3)－(6,0)＝(－3，－3)．] 知识点3 平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式平面上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离公式|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2， AB 的中点坐标公式⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.3.已知平面直角坐标系内的两点A (－1,2)，B (2,6)，则AB ＝________；若AB 的中点为M ，则M 的坐标为________．5 ⎝⎛⎭⎫12，4 [AB ＝(－1－2)2＋(2－6)2＝5.设M (x ，y )，则x ＝－1＋22＝12，y ＝2＋62＝4.] 知识点4 向量平行的坐标表示(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 2y 1＝x 1y 2.(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，如果向量b 不平行于坐标轴，即x 2≠0，y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2. 4.已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定B [∵a ＋b ＝3e 1－e 2，∴c ＝2(a ＋b )，∴a ＋b 与c 共线．]5.已知a ＝(－6,2)，b ＝(m ，－3)，且a ∥b ，则m ＝( )A ．－9B ．9C ．3D ．－3B [由a ∥b ，得－6×(－3)＝2m ，∴m ＝9.]类型1 平面向量的坐标表示【例1】 (1)如图所示，若向量e 1，e 2是一组单位正交向量，则向量2a ＋b 在平面直角坐标系中的坐标为( )A ．(3,4)B ．(2,4)C ．(3,4)或(4,3)D ．(4,2)或(2,4)(2)如图，在直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形．①求向量a ，b 的坐标； ②求向量BA →的坐标； ③求点B 的坐标．[思路探究] (1)借助平面向量的正交分解直接求解．(2)①由OA ＝4，∠AOx ＝45°可求出点A 的坐标，从而求出a 的坐标，再由∠OAB ＝105°，得出∠COy ，进而得点C 的坐标，根据OC →＝AB →得出b 的坐标．②由①中b 的坐标及b 与BA →的关系得出BA →的坐标． ③可借助OB →＝OA →＋AB →求出点B 的坐标．(1)A [以向量a ，b 公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系，因为e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，所以2a ＝(2,1)，b ＝(1,3)，所以2a ＋b ＝(2,1)＋(1,3)＝(3,4)，即2a ＋b 在平面直角坐标系中的坐标为(3,4)，故选A ．](2)[解] ①作AM ⊥x 轴于点M (图略)，则OM ＝OA ·cos 45°＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin 45°＝4×22＝22，所以A (22，22)．故a ＝(22，22)．因为∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°，所以∠COy ＝30°.又OC ＝AB ＝3，所以C ⎝⎛⎭⎫－32，332，所以AB →＝OC →＝⎝⎛⎭⎫－32，332，即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332.②由①知BA →＝－AB →＝－b ＝⎝⎛⎭⎫32，－332.③OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋⎝⎛⎭⎫－32，332＝⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332，所以点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332.求向量坐标的三个步骤[跟进训练]1．(1)已知{e 1，e 2}为单位正交基底且a ＝3e 1＋4e 2，b ＝－3e 1，则a ，b 的坐标分别为________．(2)如图，在正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →＝(－1，－1)，则OB →＝________；OC →＝__________；OD →＝________.(1)(3,4)，(－3,0) (2)(1，－1) (1,1) (－1,1) [(1)由平面向量坐标的定义知a ＝(3,4)，b ＝(－3,0)．(2)由题意知，OC →＝－OA →＝－(－1，－1)＝(1,1)，由正方形的对称性可知，B (1，－1)，所以OB →＝(1，－1)，同理OD →＝(－1,1)．]类型2 平面向量的坐标运算【例2】 (1)设AB →＝(2,3)，BC →＝(m ，n )，CD →＝(－1,4)，则DA →＝( ) A ．(1＋m,7＋n ) B ．(－1－m ，－7－n ) C ．(1－m,7－n )D ．(－1＋m ，－7＋n )(2)已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )A ．⎝⎛⎭⎫－4，12 B ．⎝⎛⎭⎫4，－12C ．⎝⎛⎭⎫－1，－32 D ．(8,1)(3)若A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB →＋2BC →，BC →－12AC →的坐标．[思路探究] (1)可利用向量加法的三角形法则将DA →分解为DC →＋CB →＋BA →来求解． (2)可借助AB →＝OB →－OA →来求12AB →坐标．(3)可利用AB →＝(x B －x A ，y B －y A )来求解． (1)B (2)A [(1)DA →＝DC →＋CB →＋BA →＝－CD →－BC →－AB → ＝－(－1,4)－(m ，n )－(2,3) ＝(－1－m ，－7－n )． (2)12A B →＝12(OB →－OA →) ＝12[](－5，－1)－(3，－2) ＝12(－8,1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12，∴12AB →＝⎝⎛⎭⎫－4，12.] (3)[解] ∵AB →＝(－2,10)，BC →＝(－8,4)，AC →＝(－10,14)， ∴AB →＋2BC →＝(－2,10)＋2(－8,4) ＝(－2,10)＋(－16,8)＝(－18,18)， BC →－12AC →＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－8,4)－(－5,7) ＝(－3，－3)．平面向量坐标的线性运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．[跟进训练]2．已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求：(1)2a ＋3b ；(2)a －3b ； (3)12a －13b . [解] (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．(2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3) ＝(－7，－1)．(3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23. 类型3 向量坐标运算的综合应用1．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP →＝OA →＋tAB →.当t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？[提示] ∵OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )．若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，∴t ＝－13.若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，∴－23<t <－13.2．如果尝试发现1条件不变，四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．[提示] ∵OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )，若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解．故四边形OABP 不能为平行四边形．3．已知在非平行四边形ABCD 中，AB ∥DC ，且A ，B ，D 三点的坐标分别为(0,0)，(2,0)，(1,1)，则顶点C 的横坐标的取值范围是什么？[提示] 当ABCD 为平行四边形时，则AC →＝AB →＋AD →＝(2,0)＋(1,1)＝(3,1)，故满足条件的顶点C 的横坐标的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．【例3】 (1)已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)．若A P →＝A B →＋λA C →(λ∈R )，试求λ为何值时，①点P 在一、三象限角平分线上？ ②点P 在第三象限内？(2)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，求λ的值．[思路探究] (1)先用λ表示点P 的横、纵坐标，再根据条件列方程或不等式求解．(2)根据向量坐标的条件关系求出参数．[解] (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则A P →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)， A B →＋λA C →＝[(5,4)－(2,3)]＋λ[(7,10)－(2,3)] ＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∵A P →＝A B →＋λA C →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ. ①若P 在一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝12，即λ＝12时，点P 在一、三象限角平分线上．②若点P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0，∴λ<－1．即λ<－1时，点P 在第三象限内．(2)a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )，可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12.1．待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，此方法是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．2．坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．[跟进训练]3．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？[解] 由已知得，k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.此时k a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－13－3，－23＋2＝⎝⎛⎭⎫－103，43＝－13(a －3b )，∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．1．若a ＝(2,1)，b ＝(1,0)，则3a －2b 的坐标是( ) A ．(5,3) B ．(4,3) C ．(8,3) D ．(0，－1) B [3a －2b ＝3(2,1)－2(1,0)＝(4,3)．]2．下列各组向量中，不能作为表示平面内所有向量基底的一组是( ) A ．a ＝(－2,4)，b ＝(0,3) B ．a ＝(2,3)，b ＝(3,2) C ．a ＝(2，－1)，b ＝(3,7) D ．a ＝(4，－2)，b ＝(－8,4)D [对于D 选项，b ＝－2a ，即a ∥b ，故a 与b 不能作为平面内所有向量的一组基底．] 3．如果用i ，j 分别表示x 轴和y 轴方向上的单位向量，且A (2,3)，B (4,2)，那么AB →可以表示为( )A ．2i ＋3jB ．4i ＋2jC ．2i －jD ．－2i ＋jC [记O 为坐标原点，则OA →＝2i ＋3j ，OB →＝4i ＋2j ，所以AB →＝OB →－OA →＝2i －j .] 4．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为________．⎝⎛⎭⎫35，－45 [AB →＝(3，－4)，则与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45.]5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则x ＝________. 12[因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)， u ＝a ＋2b ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)， v ＝2a －b ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，解得x ＝12.]回顾本节内容，自我完成以下问题：1．向量的终点的坐标与此向量的坐标完全相同吗？[提示] 向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同，当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量的终点坐标才相同．2．平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式，对平面内的任意两点都成立吗？[提示] 都成立．3．用向量的坐标运算判断向量共线要注意什么问题？[提示] 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，当证明a ∥b 时，可利用x 2y 1＝x 1y 2进行证明，此种方法没有a ≠0的条件限制，便于应用；也可用x 2x 1＝y 2y 1进行证明，即两向量的对应坐标成比例，特别注意x 1y 1≠0的条件限制．。

向量的坐标表示及其运算教案

8。

1 向量的坐标表示及其运算教学目标知识目标:了解基本单位向量、位置向量、向量的正交分解等概念；理解向量的坐标表示方法及其运算法则；掌握向量模的求法，知道模的几何意义；理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充要条件的证明方式能力目标：会用两向量的坐标形式的和、差及实数与向量的积等运算解决相关问题；会用平行的充要条件解决点共线问题情感目标：感知数学中的运动、变化、相互联系与相互转化的规律，加深对辩证唯物主义观点的体验；发展从数学的角度分析和解决问题的能力，以及通过积极参与数学学习和问题解决的过程，增强学习的主体意识，形成数学的应用意识，养成严谨、慎密的思维习惯.教学重、难点重点：如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用难点：向量坐标形式的运算及其应用一、新课引入：上海市莘庄中学的健美操队四名队员A、B、C、D在一个长10米,宽8米的矩形表演区域EFGH内进行健美操表演。

（1）若在某时刻,四名队员A、B、C、D保持如图1所示的平行四边形队形。

队员A位于点F处，队员B在边FG上距F点3米处，队员D位于距EF边2米距FG边5米处.你能确定此时队员C的位置吗？［说明］此时队员C在位于距EF边5米距FG边5米处。

这个图形比较特殊，学生很快就会得到答案，这时教师引入第二个问题.（2）若在某时刻，四名队员A、B、C、D保持如图2所示的平行四边形队形。

队员A位于距EF边2米距FG边1米处，队员B在距EF边6米距FG边3米处，队员D位于距EF边4米距FG边5米处。

你能确定此时队员C的位置吗？[说明］不要求学生写出结果,只引导学生思考。

这个图形更为一般一些，学生解决的可能不是很顺，这时，教师就可以说，这一节我们就来学习一个新的内容：向量的坐标表示及其运算，学习了这个内容之后，同学们只要花上两分钟或者只要一分钟的时间就可以解决这个问题了,引起学生学习的兴趣与探究的欲望.二、新课讲授1、向量的正交分解(1)基本单位向量:我们称在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为。

向量的坐标表示-教学设计

7.3.1 向量的分解
【教学目标】
1. 理解平面向量的基本定理，会用已知的向量来表示未知的向量．
2. 启发学生发现问题和提出问题，培养学生独立思考的能力，让学生学会分析问题和解决问题．
3. 通过教学，培养学生数形结合的能力．
【教学重点】
平面向量的基本定理，用已知的向量来表示未知的向量．
【教学难点】
理解平面向量的基本定理．
【教学方法】
本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．
7.3.2 向量的直角坐标运算
【教学目标】
1. 理解平面向量的坐标表示，掌握平面向量的坐标运算．
2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否平行．
3. 通过学习，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．
【教学重点】
平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算，根据平面向量的坐标判断向量是否平行．
【教学难点】
理解平面向量的坐标表示．
【教学方法】
本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，教师可以充分发挥学生的主体作用，开展自学活动，通过类比、联想，发现问题，解决问题．引导学生分析归纳，形成概念．
【教学过程】。

〖2021年整理〗《空间向量运算的坐标表示》参考优秀教案

空间向量运算的坐标表示教案一、教学目标：1．掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律，了解空间向量数量积的几何意义；2．掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离问题。

二、教学重点：空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；教学难点：用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离；三、教学方法：探究归纳，讲练结合；四、教学过程（一）、创设情景1、空间直角坐标系中的坐标；2、空间向量的直角坐标运算律；3、平面向量的数量积、夹角、模等概念。

（二）、探析新课数量积：（1）设b a ,是空间两个非零向量，我们把数量>≤≤===<b a ，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。

2cos ||||a b a b a b a ⋅⋅==⋅+ （3）运算律a b b a ⋅=⋅；)()(a b b a ⋅=⋅λλ；c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)(（4）模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则21||a a a a =⋅=+21||b b b b =⋅=+（5）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB ==，,A B d = （6）00212121=++⇔=⋅⇔⊥z z y y x x b a b a（7）与非零向量a 同方向的单位向量为：}cos ,cos ,{cos },,{1γβα===z y x a a a a a a a 0（三）、知识运用 1、例1已知)3,1,3(A ，(1,0,5)B ，求：（1）线段AB 的中点坐标和长度；（2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件解：（1）设M 是线段AB 的中点，则)23,3,2()(21=+=OB OA OM ．∴AB 的中点坐标是)23,3,2(， )3,4,2(-=AB29)3(4)2(||222=-++-=AB ．（2）∵ 点(,,)P x y z 到,A B 两点的距离相等，则222222)0()5()1()3()1()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x ,化简得：07684=++-z y x ,所以，到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件是07684=++-z y x ．点评：到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 构成的集合就是线段AB 的中垂面，若将点P 的坐标,,x y z 满足的条件07684=++-z y x 的系数构成一个向量)6,8,4(-=a ，发现与)3,4,2(-=AB 共线。

中职教育数学《向量的坐标表示》教案

授课题目2.4向量的坐标表示选用教材高等教育出版社《数学》（拓展模块一上册）授课时长4课时授课类型新授课教学提示本课从数轴上的点与实数一一对应、平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应开始，通过探究起点在原点的向量OA与单位向量i，j之间的关系，把向量OA分解为x i和y j之和，建立了向量OA与点A的坐标(x,y)之间的关系，并且OA=x i+y j；接着利用向量的减法建立了任一向量AB与它的终点B与起点A 的坐标的差之间的关系，AB=(x2- x1) i+(y2- y1) j．这两个式子表明任意一个向量都可以用一个有序实数对与之对应，这个有序实数对就是向量的坐标表示．教学目标知道向量坐标的合理性和应用价值，会用直角坐标表示向量；能用向量坐标进行向量的线性运算和内积运算；会用向量坐标解决有关向量大小、共线、垂直等问题；逐步提升直观想象、数学运算和数学抽象等核心素养.教学重点会用向量的坐标形式进行向量运算，判定两个向量平行或垂直．教学难点向量内积的坐标表示的几何应用．教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图情境导入我们知道,数轴上的点与实数是一一对应的，平面直角坐标系中的点P与有序实数对(x,y)是一一对应的，(x,y)是点P的坐标.平面直角坐标系中所有以原点(0,0)为起点、以点P(x,y)为终点的向量与有序实数对(x,y)也是一一对应的，如图所示．提出问题引发思考思考分析回答结合数轴和平面直角坐标系中点与坐标的关系引入新知探索新知2.4.1向量的坐标表示如图所示，在平面直角坐标系中分别取x轴、y轴上的两个单位向量i、j.以原点O为起点做向量OP，点P的坐标为(x,y).向量OP与两个单位向量i、j之间有什么关系呢？过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N.由于向量OM与i共线，并且OM的模等于| x |，=OM x i；同理可得，=ON y j.根据向量加法的平行四边形法则，有=++OP OM ON x yi j.讲解说明展示讲解理解思考领会理解通过把几何问题转化为代数问题从而使几何问题可以通进一步，对于图中所示的以A为起点的向量AB，记点A与点B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则有因此，对于平面直角坐标系中的任一向量a，都存在着一对有序实数(x,y)，使得a= x i+y j. 我们把有序实数对称为向量a的坐标. 方便起见，常把向量a用它的坐标(x,y)表示，即a=(x,y).温馨提示在上图中，0=(0,0)，i=(1,0)，j=(0,1)；OP=(x,y)，AB=(x2-x1, y2-y1).例1 已知两点A(-2,3)、B(3,1)，求向量AB和BA的坐标. 解AB=(3-(-2), 1-3)= (5,-2);BA=(-2-3, 3-1)= (-5, 2).例2 如图所示，单位圆与坐标轴交于A、B、C、D四点，∠AOM=45°，∠BOE=30°，∠CON=45°，求向量OB、OM、ON、OE的坐标.解由于点B的坐标为(0,1)，故OB=(0,1)；点M的坐标为故22=22OM⎛⎫⎪⎝⎭，；同理可得例3 如图所示，⏥ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(2,3)、(−2,1)、(−1,0),求第四个顶点D的坐标.解在⏥ABCD 中，有AB =DC .设点D 的坐标为(x ,y )，则()=1DC x y ---，.又 ()=22,3AB ---1()=4,2--，故有 ()()4,2=1x y -----，. 于是， 1=4=2x y -----⎧⎨⎩，，从而=3=2.x y ⎧⎨⎩，所以，点D 的坐标为(3,2).形的性质、相等向量、向量的坐标表示等多个知识点，渗透了方程的思想巩固练习练习2.4.11. 判断下列说法是否正确.(1) x 轴上的单位向量i 的坐标为(1,0)；(2)起点不在原点的向量不能确定它的坐标；(3)由于x 轴和y 轴上的单位向量i 、j 的模都是1，所以它们的坐标相等；(4)向量OA 的坐标是唯一确定的.2.已知点A (2,-1)，写出向量OA 的坐标，并用x 轴和y 轴上的单位向量i 、j 线性表示向量OA .3.已知向量OA =-5i +2j ，写出点A 的坐标.4.已知向量a =3i -j ，写出向量a 的坐标.5.已知两点A 与B 的坐标，求AB 和BA 的坐标. (1) A (-1, 5)，B (-3, 1)； (2) A (-5, 3)，B (4, 5)； (3) A (2,-6)，B (3, 5).6.如图所示，O 为菱形ABCD 对角线的交点，AC =4，BD =6.以对角线CA 、DB 所在的直线作x 、y 轴，求向量OC 、OD 、OB 的坐标.提问巡视指导思考动手求解交流及时掌握学生掌握情况查漏补缺情境导入2.4.2向量线性运算的坐标表示对于向量a=(x1,y1)和b= (x2,y2)，向量a+b、a-b、λa如何用坐标表示呢？提出问题引发思考思考分析回答提出问题引发思考探索新知这说明两个向量和(差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(差).实数与向量的积的坐标等于这个实数与向量相应坐标的乘积．讲解说明展示讲解理解思考领会理解结合向量加法进行推理，提升数学运算核心素养典型例题例4 设a=(3, -2)，b= (-2, 1)，求：(1)a+b；(2)a-b；(3)3a-2b .解(1)a+b= (3,-2)+(-2,1) = (3+(-2),-2+1) = (1,-1) ;(2) a-b=(3,-2)-(-2,1)= (3-(-2),-2-1)= (5,-3)；(3) 3a-2b=3(3,-2)-2 (-2,1)=(9,-6)- (-4,2)=(13,- 8)．例 5 如图所示,正六边形ABCDEF的中心O在坐标原点，边长为2，CF在x轴上，试求向量AB、BC、DE的坐标.解(1) 根据题意，ΔABO和ΔBOC都是边长为2得到正三角形，故点C的坐标为(2,0).因此(2) 设正六边形与y 轴的负半轴交于点G,则OG为正三角形ABO的高和中线.于是OG=3BG=3×1=3.故点B的坐标为(1,-3).于是，(3) 因为(1,3)OB=-，所以我们知道，当a≠0时，a∥b⇔存在实数λ，使得b=λa.设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，由b=λa得，x2=λx1且y2=λy1，则2211x yx y=或x1 y2=x2 y1.因此，当a≠0时，a∥b⇔2211x yx y=或x1 y2=x2 y1.提问引导讲解强调提问引导讲解强调提问引导思考分析解决交流思考分析解决交流思考分析例4是向量坐标的线性运算示例例5是结合特殊图形和相等向量的性质解决问题例6是达成课标要求会用向量的坐标形式判定两个向练习2.4.21.已知向量a、b的坐标分别求a+3b，5a-2b的坐标.(1) a=(−2,3)，b=(4,6);(2) a=(2,3)，b=(3,1).2.已知向量a、b的坐标，判断这两个向量是否共线.(1) a=(−2,3)，b=(6, −9);(2) a=122,5⎛⎫⎪⎝⎭-，b=12,25⎛⎫⎪⎝⎭-;(3) a=(1,−2)，b=(−7,14).3.己知点B(4, −3)，连接OB 并延长至C点，使得|OC|=2|OB| ，求向量OC的坐标.4. 求例5中向量AD、AC、BD的坐标.5. 如图所示，正方形ABCD的中心在原点O，四边与坐标轴垂直，边长为2，求向量AC与BD的坐标.2.4.3 向量内积的坐标表示和，即a·b=x1x2+y1y2.根据内积的定义，还可以得到以下结论：例7已知向量a=(3,4)，b=(−2, 1)，求a·b、|a|、|b|、1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；。

给力向量的坐标表示教案

给力向量的坐标表示教案一、教学目标1. 让学生理解向量的概念，掌握向量的基本运算。

2. 引导学生掌握向量的坐标表示方法，能够熟练运用坐标表示进行向量的运算和问题求解。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。

二、教学内容1. 向量的概念及其基本运算2. 向量的坐标表示方法3. 向量的坐标运算4. 向量坐标表示在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：向量的坐标表示方法，向量的坐标运算。

2. 教学难点：向量坐标表示在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解向量的坐标表示方法和运算。

2. 利用多媒体课件，直观地展示向量的坐标表示和运算过程。

3. 结合例题，引导学生运用坐标表示解决实际问题。

4. 开展小组讨论，激发学生的思考和探索能力。

五、教学安排1. 第一课时：向量的概念及其基本运算2. 第二课时：向量的坐标表示方法3. 第三课时：向量的坐标运算4. 第四课时：向量坐标表示在实际问题中的应用5. 第五课时：复习与总结【课堂导入】（教师通过引入实际问题，激发学生的兴趣，引出本节课的主题。

）【知识讲解】1. 向量的概念及其基本运算（教师讲解向量的定义，引导学生理解向量的表示方法，如箭头表示法和平行四边形法则。

）2. 向量的坐标表示方法（教师讲解向量的坐标表示方法，引导学生掌握坐标表示的规则，如二维空间和三维空间的坐标表示方法。

）3. 向量的坐标运算（教师讲解向量的坐标运算，包括加法、减法、数乘和点积等，引导学生掌握运算规则和公式。

）4. 向量坐标表示在实际问题中的应用（教师通过例题，引导学生运用坐标表示解决实际问题，如几何图形的面积、向量的投影等。

）【课堂练习】（教师布置一些有关向量坐标表示的练习题，让学生巩固所学知识。

）【课堂小结】（教师对本节课的主要内容进行总结，强调重点和难点。

）【课后作业】（教师布置一些有关向量坐标表示的作业题，让学生进一步巩固所学知识。

）六、教学内容1. 向量坐标的模长和方向2. 向量的线性运算与坐标表示3. 向量在几何中的应用七、教学重点与难点1. 教学重点：向量坐标的模长和方向的计算，向量的线性运算与坐标表示。

教案(空间向量运算的坐标表示)

分析：选择适当的坐标系后，建系求点坐标，向量坐标，根据夹角公式求出两异面直线上的对应向量夹角的余弦值，从而得到异面直线所成角的余弦值。
问题：异面直线上对应向量的夹角与异面直线所成角相等吗？为什么？有何关系？
结论：不一定相等，可能相等或Fra bibliotek补。则解：不妨设正方体的棱长为1，分别以 , , 为单位正交基底建立空间直角坐标系，
解：设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，
因此，直线与所成的角的余弦值是 .
三、课堂总结：
1.知识:（1）空间向量的坐标运算；
（2）利用空间向量运算坐标表示解决简单的立体几何问题。
2.方法:（1）类比
（2）数形结合
四、作业布置：
课本P98：
习题3.1 A组T7，T8,T10
五、教后记（教学反馈及反思）：
因此，直线与所成角的余弦值是 .
总结：利用空间向量坐标运算解决简单立体几何问题的一般步骤？
（1）建立适当的空间直角坐标系，并求出相关点的坐标.（建系求点）
（2）将空间图形中的元素关系转化为向量关系表示.（构造向量并坐标化）
（3）经过向量运算确定几何关系，解决几何问题.（向量运算、几何结论）
课堂练习3：如图，已知正方体中，点是的中点，求与所成的角的余弦值。
（三维目标）教学目标
知识与技能：通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示，并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题。
过程与方法：
①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法；
二、新授：
（一）空间向量运算的坐标表示：

向量的坐标表示教案

向量的坐标表示教案
教案标题：向量的坐标表示教案
一、教学目标
1. 理解向量的概念和性质
2. 掌握向量的坐标表示方法
3. 能够运用向量的坐标表示方法解决实际问题
二、教学重点和难点
1. 向量的坐标表示方法
2. 向量坐标表示方法在几何和物理问题中的应用
三、教学准备
1. 教师准备：熟悉向量的坐标表示方法，准备相关教学案例和练习题
2. 学生准备：复习向量的基本概念和性质
四、教学过程
1. 导入：通过一个实际问题引入向量的坐标表示方法，引发学生对向量坐标表示方法的思考和讨论
2. 讲解：介绍向量的坐标表示方法，包括平面向量和空间向量的坐标表示，以及向量的加法和数乘运算
3. 案例分析：通过具体的案例分析向量的坐标表示方法在几何和物理问题中的应用，如力的合成、平行四边形的性质等
4. 练习：布置一些练习题，让学生巩固向量的坐标表示方法的运用
5. 拓展：引导学生思考向量的坐标表示方法在更复杂问题中的应用，如空间中的向量运算等
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调向量的坐标表示方法的重要性和应用价值
五、教学反思
1. 教师要及时调整教学方法，根据学生的实际情况进行灵活教学
2. 学生要多做练习，巩固向量的坐标表示方法的运用能力
六、作业布置
布置相关的练习题，要求学生运用向量的坐标表示方法解决实际问题
七、教学延伸
引导学生自主学习向量的其他表示方法，如数量积、矢量积等，拓展向量的应用领域
八、教学资源
教材、课件、相关练习题等
以上是一个针对向量的坐标表示教案的基本框架，具体教学过程中还需要根据学生的实际情况和教学资源进行灵活调整。