4.2 换元积分法(一)
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49 第二节 换元积分法(一)
一、填空题
1. 2e d d x x =21
2e x 21d d x x =1
x -
d x =
1ln d d x x x =ln ln x
d x =
2e d d x x x -=2
12e x --
2. 设()F x 是()f x 的一个原函数,则()e e d x x f x --⎰=()e x F C --+.
3.()e x f x -=,则(ln )
d f x x x '⎰=1
C x +.
提示:()e x f x -'=-,则ln 1
(ln )e x f x x -'=-=-代入求解即可
4.22()()d xf x f x x '⎰=2
21
()4f x C ⎡⎤+⎣⎦.
5. 设()sin d f x x x C =+⎰,则2(1)d xf x x -⎰=21
sin(1)2x C --+.
提示:由已知得()cos f x x =,则22(1)cos(1)f x x -=-代入 6. 21e d e x
x x +⎰=arctan e x C +. 7.22(arctan )1d x x x +⎰=31arctan 3x C +.
8.21ln (ln )d x
x x x +⎰=1ln C x x -+. 9. 1sin cos d x
x x x -+⎰=C x x ++cos ln .
二、求下列不定积分
1.x ⎰
解:33
222
221
121(3)(3)(3)2233x x x C x C =-=⋅-+=-+⎰.
50 2. 123d x x
+⎰
解:11(23)23323d d x x x x +=++⎰⎰1ln 233x C =++.
3.23sin cos d x x x ⎰
解:2322sin cos sin cos sin d d x x x x x x =⎰⎰=()24sin sin sin d x x x -⎰
3511sin sin 35
x x C =-+.
4. 3
tan d x x ⎰
解:32tan tan (sec 1)d d x x x x x =-⎰⎰=2tan sec tan d d x x x x x -⎰⎰ sin tan tan cos d d x x x x x =-⎰⎰
21tan 2
x =ln cos x C ++. 5.1211e d x x x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭
⎰ 解:1112111e d e d e x x x x x x x x C x x +++⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎰⎰.
6
. ()
2d x
解:(
)
222)2)3d d x =
⎰22)3=-C +. 7.4
tan d x x ⎰
解:422tan tan (sec 1)d d x x x x x =-=⎰⎰222tan sec tan d d x x x x x -⎰⎰=2tan tan d x x ⎰ 2(sec 1)d x x --⎰31tan tan 3
x x x C =-++.
51 8.2411
d x x x ++⎰ 解:2242211111d d x x x x x x x +
+=++⎰
⎰21112d x x x C x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎰.
9
.arcsin x
x
解:arcsin arcsin 2(arcsin )d x x x x =⎰arcsin 12ln 2x C =+.
10.21cos (1tan )
d x x x +⎰ 解:221sec cos (1tan )
1tan d d x x x x x x =++⎰⎰(1tan )1tan d x x +=+⎰ln 1tan x =+C +.
11
.x
解:(2222x C ===+⎰.
12.211ln 11d x x x x
+--⎰ 解:211ln 11d x x x x +--⎰C x x x x x x +⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=-+-+=⎰211ln 4111ln d 11ln 21.