4.2 换元积分法(一)

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49 第二节 换元积分法(一)

一、填空题

1. 2e d d x x =21

2e x 21d d x x =1

x -

d x =

1ln d d x x x =ln ln x

d x =

2e d d x x x -=2

12e x --

2. 设()F x 是()f x 的一个原函数,则()e e d x x f x --⎰=()e x F C --+.

3.()e x f x -=,则(ln )

d f x x x '⎰=1

C x +.

提示:()e x f x -'=-,则ln 1

(ln )e x f x x -'=-=-代入求解即可

4.22()()d xf x f x x '⎰=2

21

()4f x C ⎡⎤+⎣⎦.

5. 设()sin d f x x x C =+⎰,则2(1)d xf x x -⎰=21

sin(1)2x C --+.

提示:由已知得()cos f x x =,则22(1)cos(1)f x x -=-代入 6. 21e d e x

x x +⎰=arctan e x C +. 7.22(arctan )1d x x x +⎰=31arctan 3x C +.

8.21ln (ln )d x

x x x +⎰=1ln C x x -+. 9. 1sin cos d x

x x x -+⎰=C x x ++cos ln .

二、求下列不定积分

1.x ⎰

解:33

222

221

121(3)(3)(3)2233x x x C x C =-=⋅-+=-+⎰.

50 2. 123d x x

+⎰

解:11(23)23323d d x x x x +=++⎰⎰1ln 233x C =++.

3.23sin cos d x x x ⎰

解:2322sin cos sin cos sin d d x x x x x x =⎰⎰=()24sin sin sin d x x x -⎰

3511sin sin 35

x x C =-+.

4. 3

tan d x x ⎰

解:32tan tan (sec 1)d d x x x x x =-⎰⎰=2tan sec tan d d x x x x x -⎰⎰ sin tan tan cos d d x x x x x =-⎰⎰

21tan 2

x =ln cos x C ++. 5.1211e d x x x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭

⎰ 解:1112111e d e d e x x x x x x x x C x x +++⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭⎰⎰.

6

. ()

2d x

解:(

)

222)2)3d d x =

⎰22)3=-C +. 7.4

tan d x x ⎰

解:422tan tan (sec 1)d d x x x x x =-=⎰⎰222tan sec tan d d x x x x x -⎰⎰=2tan tan d x x ⎰ 2(sec 1)d x x --⎰31tan tan 3

x x x C =-++.

51 8.2411

d x x x ++⎰ 解:2242211111d d x x x x x x x +

+=++⎰

⎰21112d x x x C x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎰.

9

.arcsin x

x

解:arcsin arcsin 2(arcsin )d x x x x =⎰arcsin 12ln 2x C =+.

10.21cos (1tan )

d x x x +⎰ 解:221sec cos (1tan )

1tan d d x x x x x x =++⎰⎰(1tan )1tan d x x +=+⎰ln 1tan x =+C +.

11

.x

解:(2222x C ===+⎰.

12.211ln 11d x x x x

+--⎰ 解:211ln 11d x x x x +--⎰C x x x x x x +⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+=-+-+=⎰211ln 4111ln d 11ln 21.

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