微元法与几何应用

合集下载

微积分在中学数学中的应用

微积分在中学数学中的应用
微积分在中学数学中的应用主要体现在以下几个方面：
1. 函数概念的理解：微积分中的函数概念是在中学数学的基础上进一步深化而来的。

通过微积分的学习，可以更好地理解函数概念的本质，掌握函数的应用。

2. 几何应用：微积分中的微元法可以应用于中学数学中的几何问题。

例如，计算曲线的长度、曲率、面积等问题，都可以通过微元法来解决。

3. 方程的求解：中学数学中的方程问题可以通过微积分中的微分方程来解决。

例如，求解函数的导数、积分、微分方程等问题，都可以通过微积分来解决。

4. 数值计算：微积分中的数值计算方法可以应用于中学数学中的数值计算问题。

例如，求解函数的极值、拐点、数值积分等问题，都可以通过微积分来解决。

需要注意的是，微积分在中学数学中的应用主要是一些简单的问题，需要以实际需求为基础，选择合适的方法和技巧来解决。

同时，中学数学中的知识点有限，可能无法提供足够的支撑，需要借助其他工具和方法来辅助解决一些复杂的问题。

定积分微元法及其应用

定积分微元法及其应用摘要：积分学中的定积分在几何、物理、经济管理等方面有着极其广泛的应用。

由于定积分的微元法通常往往能使一些实际问题简单化，因此，定积分的微元法在定积分的应用方面至关重要。

本文首先简介定积分的微元法适用的所求量以及定积分微元法在应用中的步骤，重点介绍积分微元法在几何、物理、经济管理及日常生活等方面的应用。

关键词：定积分：微元法：应用一、定积分的微元法适用的所求量定积分的微元法是将实际问题设法转化为定积分问题的一种方法，通常，如果所求量满足三条：1.关于某一个区间有关；2.在区间上具有可加性，即当把区间分成任意n个小区间时，相应的所求量也分成n个小部分，且所求量等于n个小部分之和，即；3.在上任取一个小区间，所求量的部分量能够近似表示成（即所求量的微分元素），那么所求量就可以用定积分的微元法来求，即。

二.定积分微元法在应用中的步骤定积分微元法就是将所研究的所求量进行无限细分，从中抽取某一微小部分进行探探讨，通过分析，研究找出所求量的整体变化规律的方法。

通常利用定积分微元法解决一些具体问题时，采用将所研究的所求量细分成很多微小的“元素”，而这些微小的“元素”具有相同的几何形态或物理规律，因此，我们仅需要分析和研究其中的一个微小部分，利用所学的数学或物理的理论知识进行处理，以期达到用一个定积分表达式来求所求量的效果。

用定积分微元法将实际问题中的所求量抽象为定积分的步骤也基本相同，分为3步，1.根据题意，建立适当坐标系，画出草图（使得后面的选积分变量、确定积分区间、寻找所求量的微分元素比较直观）；由于函数关系的建立是由所建立的坐标系来决定的，坐标系的建立是否恰当，往往直接影响到寻找微分元素的难易以及定积分计算的繁简程度。

因此，建立坐标系时，既要考虑到较易寻找所求量的微分元素，还要考虑到后面的定积分的计算要相对较简单。

2.选取积分变量，并确定其变化区间。

积分变量选择的是否恰当，往往直接决定着定积分的计算是简单还是繁琐。

谈微元法在高中物理解题中的应用

谈微元法在高中物理解题中的应用
谈微元法在高中物理解题中的应用
微元法是一种解决科学和工程问题的方法，它是基于微元法的工程分析和应用。

微元法是一种基于有限元的工程模拟方法。

它采用小的模型对实际结构的运动特性进行建模，从而可以用来模拟复杂的结构体的运动特性，以及对工程结构进行处理和分析。

高中物理解题是一种基础性的物理学习，内容包括力、运动、动能和势能以及物理运动过程中的各种物理现象，这些概念都要求学生理解和认识，以便能够更好地解决物理问题。

在解决实际问题时，学生要运用一定的物理原理来推导和解释物理现象，以达到预期的解决方案。

在这种情况下，微元法可以提供一种有效的解决方案，通过它可以更加直观地理解和解释物理运动过程，从而更好地解决物理问题。

在物理解题方面，微元分析可以使物理问题更加深入地推导，从而更好地理解物理现象。

例如，当讨论惯性力的大小时，可以根据给定的情况，结合动量定理以及惯性定律，来推导惯性力的大小。

而采用微元分析，则可以通过构建模型得出结论，从而更加直观地了解惯性力的大小和它对物理运动的影响。

此外，微元法还可以帮助学生们更加全面而准确地认识物理现象，正如采用微元法处理热传导这一问题所能得到的结果，即可以更好地认识和理解热传导现象的性质和特征。

从而帮助学生深入分析和推导物理问题，以达到更好地理解和解决问题的目的。

总而言之，微元法可以帮助高中物理学习者更好地理解和解决物
理问题，以及更全面和准确地认识物理现象，从而提高高中生的物理知识和解答能力。

求定积分的方法总结

求定积分的方法总结1. 引言在微积分中，定积分是一个重要的概念。

它可以用来计算曲线下的面积、求解曲线的弧长、重心以及解决一系列与变化率相关的问题。

本文将总结几种常用的方法，帮助读者更好地理解和应用定积分的求解过程。

2. 几何法几何法是定积分求解的最直观方法之一。

通过几何图形来理解定积分的意义和求解过程，可以更好地把握其基本思想。

例如，若要求解函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分：∫[a,b] f(x) dx可以将 f(x) 的图像和 x 轴围成的区域视为一个几何图形，通过求解这个图形的面积来得到定积分的值。

常见的几何图形可以是长方形、梯形、圆形等。

根据具体情况，选择合适的图形进行面积计算。

3. 微元法微元法是定积分求解的一种基本方法。

它基于函数的微分和积分之间的关系，将区间 [a, b] 分割为无穷多的微小区间，然后在每个微小区间上进行求和，最后通过取极限的方式得到定积分的值。

微元法的关键是确定微小区间的宽度，即将区间 [a, b] 分割成若干个小区间的长度。

常用的分割方法有等分法、等差数列法和等比数列法。

一般情况下，分割的区间越小，计算结果越准确。

在微元法中，需要确定每个微小区间上的函数值，可以通过函数曲线上的点来确定。

例如，可以取每个小区间的左端点、右端点或中点来表示该区间上的函数值。

通过求和并取极限，最终可以得到定积分的值。

4. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是定积分求解的一种重要工具。

它建立了定积分和不定积分之间的关系，可以通过求解不定积分来得到定积分的值。

牛顿-莱布尼茨公式的表达式为：∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)其中，F(x) 是 f(x) 的一个原函数。

通过求解 f(x) 的不定积分，可以得到一个原函数 F(x)，再根据公式将上下限值代入，即可得到定积分的值。

牛顿-莱布尼茨公式的优点是可以直接得到定积分的值，无需进行复杂的计算。

但前提是需要知道 f(x) 的一个原函数。

第3节微元法

第3节微元法微元法又称微分法，是数学分析中的一种重要方法。

它通过对函数的微小增量进行分割，将函数在任意一点上的性质转化为在该点附近的一个局部性质。

在物理学中，微元法常常被用于处理微小的物理量，求解微小的变化量和微分方程等问题。

下面介绍微元法的几个主要应用。

1.微分的几何意义微元法的基础是微积分学中的微分，微分的几何意义是函数在某一点上的斜率。

假设函数y=f(x)在某点处的斜率为k，则k可以表示为：k=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{dy}{dx}其中，$\Delta x$表示自变量x的增量，$\Delta y$表示函数值y的增量。

当$\Delta x$趋近于0时，$\Delta y$也趋近于0，此时称$\Delta y$是y的微小变化量，$\Deltax$是x的微小变化量。

因此，当$\Delta x$趋近于0时，$\Delta y/\Delta x$的极限就表示函数y=f(x)在点(x,f(x))处的斜率k，这就是微分的几何意义。

微元法在应用中利用了微分的几何意义，将函数的微小性质转化为斜率或变化率，从而进行计算和分析。

2.微分方程微分方程是描述自然界中许多现象的数学模型，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

微元法是解微分方程的重要方法之一。

假设某一物理量的变化量可以表示为函数y=f(x)，则其微小变化量就是dy=f'(x)dx。

如果已知微小变化量dy和dx，就可以根据微分方程求出函数的具体形式。

例如，当dy/dx=-ky时，可以得到y=Ae^{-kx}，其中A为常数。

3.微积分的应用微元法还常常用于微积分的应用，例如求曲线的面积、弧长、体积等。

对于曲线的面积问题，可以将曲线分割成若干微小的线段，然后利用微分求出每个小线段的面积，再将其相加即可得到整个曲线的面积。

同理，对于曲线的弧长问题，可以将曲线分割成若干微小的线段，然后利用微分求出每个小线段的弧长，再将其相加即可得到整个曲线的弧长。

微元法在高中物理中的应用

微元法在高中物理中的应用
微元法是一种分析、解决物理问题的常用方法，其基本思想是将研究对象（物体或物理过程）进行无限细分，从而将复杂的物理问题转化为简单的、易于解决的子问题，以便更好地进行分析和求解。

在高中物理中，微元法可以应用于以下几个方面：
1.计算物体的面积和体积：通过微元法，可以将物体的面积和体
积分别分成无限小的部分，然后对这些部分进行求解，最终将这些部分的解加起来，得到物体的面积和体积。

2.计算物理过程中的变化量：通过微元法，可以将物理过程分成
无限小的部分，然后对这些部分进行求解，最终将这些部分的解加起来，得到整个物理过程中的变化量。

3.计算物理量在时间或空间上的变化率：通过微元法，可以将时
间或空间分成无限小的部分，然后对这些部分进行求解，最终将这些部分的解加起来，得到物理量在时间或空间上的变化
率。

总之，微元法在高中物理中有着广泛的应用，可以帮助我们更好地解决一些复杂的物理问题。

微元法及其在物理中的应用(大整理好)

三、举例例2：如图3—2所示，一个半径为R 的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放臵一光滑均匀铁链，其 A 端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ.试求铁链A 端受的拉力T.解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况.在铁链上任取长为△L 的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图3—2—甲所示.由于该元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足：θθθθT G T T +∆=∆+cos θρθθcos cos Lg G T ∆=∆=∆由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大 △T θ，所以整个铁链对A 端的拉力是各段上△T θ的和，即 ∑∑∑∆=∆=∆=θρθρθcos cos L g Lg T T观察 θcos L ∆的意义，见图3—2—乙，由于△θ很小，所以CD ⊥OC ，∠OCE=θ△Lcos θ表示△L 在竖直方向上的投影△R ，所以∑=∆R L θcos 可得铁链A 端受的拉力 ∑=∆=gR L g T ρθρcos例5：半径为R 的光滑球固定在水平桌面上，有一质量为M 的圆环状均匀弹性绳圈，原长为πR ，且弹性绳圈的劲度系数为k ，将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上，使弹性绳圈水平停留在平衡位臵上，如图3—5所示，若平衡时弹性绳圈长为R π2，求弹性绳圈的劲度系数k.解析：由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计，弹性绳圈不能看成质点，所以应将弹性绳圈分割成许多小段，其中每一小段△m 两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F.在弹性绳圈上任取一小段质量为△m 作为研究对象，进行受力分析.但是△m 受的力不在同一平面内，可以从一个合适的角度观察.选取一个合适的平面进行受力分析，这样可以看清楚各个力之间的关系.从正面和上面观察，分别画出正视图的俯视图，如图3—5—甲和2—3—5—乙.先看俯视图3—5—甲，设在弹性绳圈的平面上，△m 所对的圆心角是△θ，则每一小段的质量 M m πθ2∆=∆ △m 在该平面上受拉力F 的作用，合力为2sin2)2cos(2θθπ∆=∆-=F F T 因为当θ很小时，θθ≈sin 所以θθ∆=∆=F FT 22 再看正视图3—5—乙，△m 受重力△mg ，支持力N ，二力的合力与T 平衡.即 θtan ⋅∆=mg T现在弹性绳圈的半径为 R R r 2222==ππ 所以 ︒===4522sin θθR r 1tan =θ因此T=Mg mg πθ2∆=∆ ①、②联立，θπθ∆=∆F Mg 2，解得弹性绳圈的张力为： π2MgF =设弹性绳圈的伸长量为x 则 R R R x πππ)12(2-=-=所以绳圈的劲度系数为：RMgR Mg x F k 222)12()12(2ππ+=-==例6：一质量为M 、均匀分布的圆环，其半径为r ，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T ，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度.解析：因为向心力F=mr ω2，当ω一定时，r 越大，向心力越大，所以要想求最大张力T 所对应的角速度ω，r 应取最大值.如图3—6所示，在圆环上取一小段△L ，对应的圆心角为△θ，其质量可表示为M m πθ2∆=∆，受圆环对它的张力为T ，则同上例分析可得 22sin 2ωθmr T ∆=∆ 因为△θ很小，所以22sin θθ∆≈∆，即 2222ωπθθMr T ∆=∆⋅解得最大角速度 MrTπω2= 例7：一根质量为M ，长度为L 的铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接触，今将链条由静止释放，让它落到地面上，如图3—7所示，求链条下落了长度x 时，链条对地面的压力为多大？解析：在下落过程中链条作用于地面的压力实质就是链条对地面的“冲力”加上落在地面上那部分链条的重力.根据牛顿第三定律，这个冲力也就等于同一时刻地面对链条的反作用力，这个力的冲量，使得链条落至地面时的动量发生变化.由于各质元原来的高度不同，落到地面的速度不同，动量改变也不相同.我们取某一时刻一小段链条（微元）作为研究对象，就可以将变速冲击变为恒速冲击.设开始下落的时刻t=0，在t 时刻落在地面上的链条长为x ，未到达地面部分链条的速度为v ，并设链条的线密度为ρ.由题意可知，链条落至地面后，速度立即变为零.从t 时刻起取很小一段时间△t ，在△t 内又有△M=ρ△x 落到地面上静止.地面对△M 作用的冲量为I t Mg F ∆=∆∆-)( 因为 0≈∆⋅∆t Mg所以 x v v M t F ∆=-⋅∆=∆ρ0 解得冲力：t x vF ∆∆=ρ，其中tx ∆∆就是t 时刻链条的速度v ，故 2v F ρ= 链条在t 时刻的速度v 即为链条下落长为x 时的即时速度，即v 2=2g x ，代入F 的表达式中，得 gx F ρ2=此即t 时刻链对地面的作用力，也就是t 时刻链条对地面的冲力. 所以在t 时刻链条对地面的总压力为 .332LMgxgx gx gx N ==+=ρρρ 例8：一根均匀柔软的绳长为L ，质量为m ，对折后两端固定在一个钉子上，其中一端突然从钉子上滑落，试求滑落的绳端点离钉子的距离为x 时，钉子对绳子另一端的作用力是多大？解析：钉子对绳子另一端的作用力随滑落绳的长短而变化，由此可用微元法求解.如图3—8所示，当左边绳端离钉子的距离为x 时，左边绳长为)(21x l -，速度 gx v 2=，右边绳长为).(21x l + 又经过一段很短的时间△t 以后，左边绳子又有长度t V ∆21的一小段转移到右边去了，我们就分析这一小段绳子，这一小段绳子受到两力：上面绳子对它的拉力T 和它本身的重力l m g t v /(21=∆λλ为绳子的线密度），根据动量定理，设向上方向为正 )21(0)21(v t v t g t v T ⋅∆--=∆∆-λλ 由于△t 取得很小，因此这一小段绳子的重力相对于T 来说是很小的，可以忽略，所以有 λλgx v T ==221 因此钉子对右边绳端的作用力为 )31(21)(21lx mg T g x l F +=++=λ例9：图3—9中，半径为R 的圆盘固定不可转动，细绳不可伸长但质量可忽略，绳下悬挂的两物体质量分别为M 、m.设圆盘与绳间光滑接触，试求盘对绳的法向支持力线密度.解析：求盘对绳的法向支持力线密度也就是求盘对绳的法向单位长度所受的支持力.因为盘与绳间光滑接触，则任取一小段绳，其两端受的张力大小相等，又因为绳上各点受的支持力方向不同，故不能以整条绳为研究对象，只能以一小段绳为研究对象分析求解.在与圆盘接触的半圆形中取一小段绳元△L ，△L 所对应的圆心角为△θ，如图3—9—甲所示，绳元△L 两端的张力均为T ，绳元所受圆盘法向支持力为△N ，因细绳质量可忽略，法向合力为零，则由平衡条件得：2sin 22sin 2sinθθθ∆=∆+∆=∆T T T N当△θ很小时，22sin θθ∆≈∆ ∴△N=T △θ 又因为 △L=R △θ则绳所受法向支持力线密度为 RTR T L N n =∆∆=∆∆=θθ ① 以M 、m 分别为研究对象，根据牛顿定律有 Mg －T=Ma ②T －mg=m a ③ 由②、③解得： mM MmgT +=2将④式代入①式得：Rm M Mm gn )(2+=例10：粗细均匀质量分布也均匀的半径为分别为R 和r 的两圆环相切.若在切点放一质点m ，恰使两边圆环对m 的万有引力的合力为零，则大小圆环的线密度必须满足什么条件？解析：若要直接求整个圆对质点m 的万有引力比较难，当若要用到圆的对称性及要求所受合力为零的条件，考虑大、小圆环上关于切点对称的微元与质量m 的相互作用，然后推及整个圆环即可求解.如图3—10所示，过切点作直线交大小圆分别于P 、Q 两点，并设与水平线夹角为α，当α有微小增量时，则大小圆环上对应微小线元αα∆⋅=∆∆⋅=∆2221r L R L其对应的质量分别为 αρρ∆⋅=∆=∆21111R l mαρρ∆⋅=∆=∆22222r l m 由于△α很小，故△m 1、△m 2与m 的距离可以认为分别是 ααcos 2cos 221r r R r ==所以△m 1、△m 2与m 的万有引力分别为222222212111)cos 2(2,)cos 2(2ααρααρr mR G r m Gm F R m R G r m Gm F ∆⋅=∆=∆∆⋅=∆=∆ 由于α具有任意性，若△F 1与△F 2的合力为零，则两圆环对m 的引力的合力也为零，即2221)cos 2(2)cos 2(2ααρααρr mr G R m R G ∆⋅=∆⋅ 解得大小圆环的线密度之比为：rR=21ρρ 例11：一枚质量为M 的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出气体的速度为v ，那么火箭发动机的功率是多少？解析：火箭喷气时，要对气体做功，取一个很短的时间，求出此时间内，火箭对气体做的功，再代入功率的定义式即可求出火箭发动机的功率.选取在△t 时间内喷出的气体为研究对象，设火箭推气体的力为F ，根据动量定理，有 F △t=△m ·v 因为火箭静止在空中，所以根据牛顿第三定律和平衡条件有F=Mg 即 Mg ·△t=△m ·v △t=△m ·v/Mg对同样这一部分气体用动能定理，火箭对它做的功为： 221mv W ∆=所以发动机的功率 MgV Mg mV mv t W P 21)/(212=∆∆=∆=例12：如图3—11所示，小环O 和O ′分别套在不动的竖直杆AB 和A ′B ′上，一根不可伸长的绳子穿过环O ′，绳的两端分别系在A ′点和O 环上，设环O ′以恒定速度v 向下运动，求当∠AOO ′=α时，环O 的速度.解析：O 、O ′之间的速度关系与O 、O ′的位臵有关，即与α角有关，因此要用微元法找它们之间的速度关系. 设经历一段极短时间△t ，O ′环移到C ′，O 环移到C ，自C ′ 与C 分别作为O ′O 的垂线C ′D ′和CD ，从图中看出.ααcos ,cos D O C O OD OC ''=''=因此OC+O ′C ′=αcos D O OD ''+ ①因△α极小，所以EC ′≈ED ′，EC ≈ED ，从而OD+O ′D ′≈OO ′－CC ′ ②由于绳子总长度不变，故 OO ′－CC ′=O ′C ′ ③由以上三式可得：OC+O ′C ′=αcos C O '' 即)1cos 1(-''=αC O OC 等式两边同除以△t 得环O 的速度为 )1cos 1(0-=αv v 例13：在水平位臵的洁净的平玻璃板上倒一些水银，由于重力和表面张力的影响，水银近似呈现圆饼形状（侧面向外凸出），过圆饼轴线的竖直截面如图3—12所示，为了计算方便，水银和玻璃的接触角可按180°计算.已知水银密度33/106.13m kg ⨯=ρ，水银的表面张力系数./49.0m N =σ当圆饼的半径很大时，试估算其厚度h 的数值大约为多少？（取1位有效数字即可）解析：若以整个圆饼状水银为研究对象，只受重力和玻璃板的支持力，在平衡方程中，液体的体积不是h 的简单函数，而且支持力N 和重力mg 都是未知量，方程中又不可能出现表面张力系数，因此不可能用整体分析列方程求解h.现用微元法求解.在圆饼的侧面取一个宽度为△x ，高为h 的体积元，，如图 3—12—甲所示，该体积元受重力G 、液体内部作用在面积△x ·h 上的压力F ，x gh xh hg S P F ∆⋅=∆⋅==22121ρρ，还有上表面分界线上的张力F 1=ς△x 和下表面分界线上的张力F 2=ς△x .作用在前、后两个侧面上的液体压力互相平衡，作用在体积元表面两个弯曲分界上的表面张力的合力，当体积元的宽度较小时，这两个力也是平衡的，图中都未画出.由力的平衡条件有：0cos 21=--F F F θ 即0cos 212=∆-∆-∆x x x gh σθσρ 解得：θρθσcos 1107.2)cos 1(23+⨯=+=-gh由于 ,2cos 11,20<+<<<θπθ所以故2.7×10－3m<h<3.8×10－3m题目要求只取1位有效数字，所以水银层厚度h 的估算值为3×10－3m 或4×10－3m. 例16：如图3—15所示，一质量均匀分布的细圆环，其半径为R ，质量为m.令此环均匀带正电，总电量为Q.现将此环平放在绝缘的光滑水平桌面上，并处于磁感应强度为B 的均匀磁场中，磁场方向竖直向下.当此环绕通过其中心的竖直轴以匀角速度ω沿图示方向旋转时，环中的张力等于多少？（设圆环的带电量不减少，不考虑环上电荷之间的作用）解析：当环静止时，因环上没有电流，在磁场中不受力，则环中也就没有因磁场力引起的张力.当环匀速转动时，环上电荷也随环一起转动，形成电流，电流在磁场中受力导致环中存在张力，显然此张力一定与电流在磁场中受到的安培力有关. 由题意可知环上各点所受安培力方向均不同，张力方向也不同，因而只能在环上取一小段作为研究对象，从而求出环中张力的大小.在圆环上取△L=R △θ圆弧元，受力情况如图3—15—甲所示.因转动角速度ω而形成的电流 πω2Q I =，电流元I △L 所受的安培力θπω∆=∆=∆QB R LB I F 2 因圆环法线方向合力为圆弧元做匀速圆周运动所需的向心力，R m F T 22sin2ωθ∆=∆-∆ 当△θ很小时，R m QBR T 2222sin ωθπωθθθ∆=∆-∆∆≈∆ θπωθπωθθπ∆=∆-∆∴∆=∆2222Rm QB R T mm解得圆环中张力为 )(2ωπωm QB R T +=例17：如图3—16所示，一水平放臵的光滑平行导轨上放一质量为m 的金属杆，导轨间距为L ，导轨的一端连接一阻值为R 的电阻，其他电阻不计，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直于导轨平面.现给金属杆一个水平向右的初速度v 0，然后任其运动，导轨足够长，试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？解析：水平地从a 向b 看，杆在运动过程中的受力分析如图3—16—甲所示，这是一个典型的在变力作用下求位移的题，用我们已学过的知识好像无法解决，其实只要采用的方法得当仍然可以求解.设杆在减速中的某一时刻速度为v ，取一极短时间△t ，发生了一段极小的位移△x ，在△t 时间内，磁通量的变化为 △φ △φ=BL △x tRxBL tR RI ∆∆=∆∆Φ==ε金属杆受到安培力为tRxL B ILB F ∆∆==22安由于时间极短，可以认为F 安为恒力，选向右为正方向，在△t 时间内，安培力F 安的冲量为：RxL B t F I ∆-=∆⋅-=∆22安对所有的位移求和，可得安培力的总冲量为x RL B R x L B I 2222)(-=∆-=∑ ① 其中x 为杆运动的最大距离，对金属杆用动量定理可得 I=0－mV 0 ② 由①、②两式得：220L B Rm V x =例18：如图3—17所示，电源的电动热为E ，电容器的电容为C ，S 是单刀双掷开关，MN 、PQ 是两根位于同一水平面上的平行光滑长导轨，它们的电阻可以忽略不计，两导轨间距为L ，导轨处在磁感应强度为B 的均匀磁场中，磁场方向垂直于两导轨所在的平面并指向图中纸面向里的方向.L 1和L 2是两根横放在导轨上的导体小棒，质量分别为m 1和 m 2，且21m m <.它们在导轨上滑动时与导轨保持垂直并接触良好，不计摩擦，两小棒的电阻相同，开始时两根小棒均静止在导轨上.现将开关S 先合向1，然后合向2.求：（1）两根小棒最终速度的大小；（2）在整个过程中的焦耳热损耗.（当回路中有电流时，该电流所产生的磁场可忽略不计）解析：当开关S 先合上1时，电源给电容器充电，当开关S 再合上2时，电容器通过导体小棒放电，在放电过程中，导体小棒受到安培力作用，在安培力作用下，两小棒开始运动，运动速度最后均达到最大.（1）设两小棒最终的速度的大小为v ，则分别为L 1、L 2为研究对象得：1111v m v m t F i i -'=∆ ∑=∆v m t F i i 111 ① 同理得：∑=∆v m t Fi i 222②由①、②得：v m m t Ft F i i i i )(212211+=∆+∆∑∑又因为 11Bli F i = 21i i t t ∆=∆ 22Bli F i = i i i =+21所以∑∑∑∑∆=∆+=∆+∆i i i i t i BL t i i BL tBLi t BLi )(212211v m m q Q BL )()(21+=-=而 Q CE =, q CU CBLv ='=,所以解得小棒的最终速度 2221)(LCB m m BLCEv ++=（2）因为总能量守恒，所以热Q v m m C q CE +++=22122)(212121 即产生的热量 22122)(212121v m m C q CE Q +--=热 )(2)()()]([2121)(21)(12121222122122212122222122C L B m m CE m m L CB m m BLCEm m L CB CE v m m CBLv C CE +++=+++--=+--=5．质量为M 的平板小车在光滑的水平面上以v 0向左匀速运动，一质量为m 的小球从高h 处自由下落，与小车碰撞后反弹上升的高度仍为h.设M>>m ，碰撞弹力N>>g ，球与车之间的动摩擦因数为μ，则小球弹起后的水平速度可能是（）A ．gh 2B ．0C ．gh 22μD ．v 06．半径为R 的刚性球固定在水平桌面上.有一质量为M 的圆环状均匀弹性细绳圈，原长 2πa ，a =R/2，绳圈的弹性系数为k （绳伸长s 时，绳中弹性张力为ks ）.将绳圈从球的正上方轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持水平，并最后停留在某个静力平衡位臵.考虑重力，忽略摩擦.（1）设平衡时弹性绳圈长2πb ，b=a 2，求弹性系数k ；（用M 、R 、g 表示，g 为重力加速度）（2）设k=Mg/2π2R ，求绳圈的最后平衡位臵及长度.7．一截面呈圆形的细管被弯成大圆环，并固定在竖直平面内，在环内的环底A 处有一质量为m 、直径比管径略小的小球，小球上连有一根穿过环顶B 处管口的轻绳，在外力F 作用下小球以恒定速度v 沿管壁做半径为R 的匀速圆周运动，如图3—23所示.已知小球与管内壁中位于大环外侧部分的动摩擦因数为μ，而大环内侧部分的管内壁是光滑的.忽略大环内、外侧半径的差别，认为均为R.试求小球从A 点运动到B 点过程中F 做的功W F .14．如图3—30所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽度为L 的区域内，现有一个边长为a （a <L ），质量为m 的正方形闭合线框以初速v 0垂直磁场边界滑过磁场后，速度变为v （v <v 0），求：（1）线框在这过程中产生的热量Q ；（2）线框完全进入磁场后的速度v ′.15．如图3—31所示，在离水平地面h 高的平台上有一相距L 的光滑轨道，左端接有已充电的电容器，电容为C ，充电后两端电压为U 1.轨道平面处于垂直向上的磁感应强度为B 的匀强磁场中.在轨道右端放一质量为m 的金属棒，当闭合S ，棒离开轨道后电容器的两极电压变为U 2，求棒落在离平台多远的位臵.16．如图3—32所示，空间有一水平方向的匀强磁场，大小为B ，一光滑导轨竖直放臵，导轨上接有一电容为C 的电容器，并套一可自由滑动的金属棒，质量为m ，释放后，求金属棒的加速度a .参考答案：1．321v S ρ 2．θ=60°)223(2hsg h + 3．)cos 1/(x v + 4．2cos /θv 5．CD 6．（1）RMg 22)12(π+ （2）绳圈掉地上，长度为原长 7．22v m mgR πμ+ 8．6.25×1015,2:1 9．2322)(x R Qqx K+ 10．32R l Q Kρ∆ 11．R k λ2 12．rk λ2 13．σπR 2 14．2),(210220v v v v v m +='- 15．gh m u u CBL 2)(21- 16．22L CB m mg a +=。

第五章定积分的几何应用

) ( r r
d
例 5
求双纽线 a cos 2 所围平面图形
2 2
的面积.
解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积
A 4A1
y x
2 a 2 cos 2
A 40
4
1 2 a cos 2d a 2 . 2
例 6 求心形线r a(1 cos )所围平面图形的面积 (a 0).
小结
求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积. 求旋转体的体积
（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）
思考题
1. 设曲线 y f ( x ) 过原点及点( 2,3) ，且 f ( x ) 为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与 x 轴和曲线 y f ( x ) 围成的面积是另一条平行线与 y 轴和曲线 y f ( x ) 围成的面积的两倍，求曲线方程.
练习题答案 32 一、1、1； 2、； 3、2； 3 1 1 4、y ； 5、 e 2 ； 6、 . e 2 3 7 2 二、1、 ln 2 ； 2、； 3、 a ； 2 6 5 3 2 2 4、3a ； 5、； 6、 a . 2 4 9 e 8 2 三、 . 四、 . 五、 a . 4 2 3
其上相应的窄条左、右曲边分别为 1 2 x y ,x y4 2 4 1 2 A ( y 4 y )dy 18 2 2
由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使计算简化
上述问题的一般情况是
d
y
x ( y)

微元法高中物理例子

微元法高中物理例子微元法是物理学中一种常用的计算方法，它通过将整个问题划分为许多微小的部分，然后对这些微小部分进行分析，最后将这些微小部分的结果加总起来得到整体的结果。

下面是高中物理中常用微元法的一些例子：1. 弹簧振子的运动：考虑一个弹簧振子，我们可以将弹簧分成许多微小的长度元素，每个长度元素受到的弹性力可以通过胡克定律计算得到。

然后将每个长度元素的弹性力加总起来，得到整个弹簧振子的合力，从而得到振子的运动方程。

2. 摩擦力的计算：考虑一个物体在倾斜面上滑动，我们可以将倾斜面分成许多微小的长度元素，每个长度元素受到的重力和法向力可以计算得到。

然后将每个长度元素的重力和法向力分解，并根据受力平衡条件计算出每个长度元素的摩擦力，从而得到整个物体受到的摩擦力。

3. 电场力的计算：考虑一个电荷在电场中受力，我们可以将电场分成许多微小的体积元素，每个体积元素受到的电场力可以通过库仑定律计算得到。

然后将每个体积元素的电场力加总起来，得到整个电荷受到的电场力，从而得到电荷的运动方程。

4. 磁场力的计算：考虑一个带电粒子在磁场中受力，我们可以将磁场分成许多微小的面元素，每个面元素受到的磁场力可以通过洛伦兹力计算得到。

然后将每个面元素的磁场力加总起来，得到整个带电粒子受到的磁场力，从而得到带电粒子的运动方程。

5. 热传导的计算：考虑一个导热体中的热传导过程，我们可以将导热体分成许多微小的体积元素，每个体积元素受到的热传导可以通过傅里叶定律计算得到。

然后将每个体积元素的热传导加总起来，得到整个导热体的热传导，从而得到导热体的温度分布。

6. 空气阻力的计算：考虑一个物体在空气中运动，我们可以将空气分成许多微小的体积元素，每个体积元素受到的空气阻力可以通过斯托克斯定律计算得到。

然后将每个体积元素的空气阻力加总起来，得到整个物体受到的空气阻力，从而得到物体的运动方程。

7. 光的折射和反射：考虑光在介质中的传播，我们可以将介质分成许多微小的面元素，每个面元素的折射和反射可以通过斯涅尔定律计算得到。

微元法在物理学中的应用

微元法在物理学中的应用
微元法在物理学中有广泛的应用，以下列举几个例子：
1. 动力学中的微元法：在分析质点的加速度、速度、位移等运动规律时，通常采用微元法。

比如，对于一个质点在一定时间间隔内的位移，可以将其时间间隔分成许多极小的时间微元，通过微元的加速度来逐步模拟质点的运动轨迹。

2. 热力学中的微元法：在热力学中，微元法常用于计算物体的温度变化、热量传递等。

以热扩散为例，可以通过微元法建立温度分布模型，即将物体分成几个微元，计算微元之间的热传递，从而预测物体温度的变化。

3. 电磁学中的微元法：在电磁学中，微元法也有广泛应用。

比如，可以通过微元法计算磁场强度，即将电流通过某一面积的微元加以分析，逐步推算出总磁场的强度和方向。

4. 光学中的微元法：在光学中，微元法的应用也相当广泛。

例如，可以通过微元法计算透镜的成像特征，即将透镜分成很多极小的微元，然后分析微元的光学性质，再综合各个微元的成像结果，从而得到整个透镜的成像特性。

微元法的含义及应用

微元法的含义及应用微元法是数学中求解积分的一种方法，也称为微积分的基础工具之一。

它通过将一个复杂的问题分解成无限小的微小部分，以求得整体的解。

微元法的本质是将一个连续的变量或曲线分解成无穷多个微小的元素，并用每一个微小元素的特性来表示整个问题的总体性质。

微元法的应用非常广泛，涉及到多个领域，如物理学、工程学、统计学等。

微元法主要包括微分和积分两个部分。

微分是对函数关系的描述，即求导数；而积分则是对微分的反向操作，是求函数的原函数。

微分和积分是数学中基本的运算，是微元法的基础。

通过微分和积分的互逆关系，我们可以用微积分来求解各种问题。

在物理学中，微元法常常用于求解曲线的弯曲程度、物体的加速度、流体的流速等问题。

例如，对于一个曲线或曲面上的点P，我们可以通过对该点进行微分来获得该点的切线，进而求得曲线或曲面的切线方程。

又如在流体力学中，可以应用微元法计算流体在一点的速度、压强等物理量。

在工程学中，微元法常用于求解悬挂桥梁、弹簧振动系统等结构的受力状态。

通过将结构分解成无数个微小的元素，并对每个微小元素应用受力分析，可以得到整个结构的受力状态。

微元法也可以用于求解介质中的电场、磁场分布等电磁学问题。

通过将电场或磁场分解成许多微小的元素，可以得到整个空间中的电场或磁场分布。

在统计学中，微元法经常用于对数据进行建模和分析。

例如，在回归分析中，可以利用微元法对数据进行拟合，以找到最佳的拟合曲线。

微元法也可以用于概率论中的概率密度函数和累积分布函数的求解。

通过将概率密度函数或累积分布函数分解成许多微小的部分，可以得到整体的统计特性。

除了物理学、工程学和统计学之外，微元法还在其他学科和领域中得到广泛应用。

例如，在经济学中，微元法可以用于对需求、供给、市场平衡等问题进行分析。

在地理学中，可以利用微元法研究地表的高度、坡度等地形特征。

在生物学中，微元法可以用于对生物体的形态和生长进行建模和研究。

总之，微元法作为数学中的基本工具之一，具有广泛的应用价值。

微元法及定积分的几何应用

定积分的定义
定义
定积分是积分区间[a,b]上，由函数f(x)与x轴围成的曲边梯形的面积，记作 ∫baf(x)dx。
几何意义
定积分的值等于积分区间[a,b]上曲线y=f(x)与直线x=a、x=b以及x轴所围成的平面图形的面积。
定积分的性质
线性性质
∫baf(x)dx+∫baf(x)dx=∫baf( x)+f(x)dx
微元法可以用于分析流体动力学问题，例如计算流体流动的速度场和压力场。
感谢您的观看
THANKS
微元法的计算方法
01
微元法的计算步骤包括：选取微元、确定微元的几何意义、建立微元的数学模型、进行微元分析、求和得到整体解。
02
在选取微元时，需要保证微元的几何意义明确，数学模型简单，
便于分析和计算。
在进行微元分析时，可以采用积分的方法，将无穷多个微元的
03
值相加得到整体解。
02
定积分பைடு நூலகம்基本概念
定积分在微元法中的应用
解决实际问题
数学建模
定积分的应用范围非常广泛，可以用于解决各种实际问题，如计算变速直线运动的位移、求解变力做功等问题。
定积分在数学建模中也有广泛应用，如通过定积分建立描述自然现象和社会现象的数学模型。
05
微元法及定积分的实际应用
在物理学中的应用
计算曲线长度
在物理学中，微元法常用于计算曲线或曲面的长度，例如行星轨道、磁场线等。
区间可加性
∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫baf( x)dx，c∈(a,b)
积分中值定理
若f(x)在[a,b]上连续，则存在一点ξ∈[a,b]，使得 ∫baf(x)dx=f(ξ)(b-a)

定积分的几何应用

第一节定积分的几何应用⏹一、定积分的微元法⏹二、用定积分求平面图形的面积⏹㈠、在直角坐标系中求平面图形的面积⏹㈡、在极坐标系下求平面图形的面积⏹三、用定积分求体积⏹㈡、旋转体的体积⏹四、平面曲线的弧长一、定积分的微元法微元法是运用定积分解决实际问题的常用方法.定积分所要解决的问题是求非均匀分布的整体量（如:曲边梯形面积).采用“分割取近似,求和取极限”的四个步骤,通过分割将整体问题化为局部问题,以均匀代替非均匀（或以直代曲)求得近似值,再通过求和取极限得到精确值.其中第二步是关键.下面先回顾求曲边梯形面积的四个步骤⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);ii i x f A ∆≈∆)(ξ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积)分为部分量(小曲边梯形面积）之和;A i A ∆求曲边梯形面积的四个步骤:∑=∆≈n i ii x f A 1)(ξ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);∑=→∆=n i i i x f A 10)(lim ξλ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.于是面积就是将这些微元在区间上的“无限累加”, 即从到的定积分.这个方法通常称为微元分析法,简称微元法.a b x 其中形式与积分式中的被积式具有相同的形式.如果把用替代, 用替代, 这样上述四个步骤简化为两步：x x f d )(i x ∆i i x f ∆⋅)(ξi ξx d 第二步找到面积微元求定积分.x x f d )(第一步选取积分变量并确定其范围；x [,]a b⏹概括可得：凡是具有可加性连续分布的非均匀量的求和问题, 一般可通过微元法得到解决．⏹操作步骤：⑴建立坐标系,选取积分变量并确定积分区间；⑵找到相应的微元；⑶以此微元作积分表达式,在积分区间上求定积分.由微元法分析：其中面积微元为，它表示高为、底为的一个矩形面积.x x f d )()(x f x d ㈠、在直角坐标系中求平面图形的面积⒈⑴由定积分几何意义可知,当时,由曲线，直线与轴所围成的曲边梯形的面积为定积分即0)(≥x f )(x f y =()d ba A f x x =⎰b x a x ==,)(b a <x A 二、用定积分求平面图形的面积⑵由定积分几何意义可知,当时,由曲线，直线与轴所围成的曲边梯形的面积A为.()0f x ≤)(x f y =()d b aA f x x =-⎰b x a x ==,)(b a <x )(x f ⑶当在区间上的值有正有负时，则曲线，直线与轴围成的面积是在轴上方和下方曲边梯形面积的差.同样可由微元法分析x ],[b a )(x f y =b x a x ==,x )(b a <其中面积微元为.xx g x f A d )]()([d -=bx a x ==,))()((x g x f ≥),(),(x g y x f y ==⎰-=ba xx g x f A d )]()([⒉一般地，根据微元法由曲线及直线所围的图形（如图所示）的面积为[注意]：曲线的上下位置(),()y f x y g x ==[由微元法分析]：(1)在区间上任取小区间,在此小区间上的图形面积近似于高为,底为的小矩形面积,从而得面积微元为[,]a b ]d ,[x x x +d x xx g x f A d )]()([d -=[()()]f x g x -(2)以为被积表达式,在区间作定积分就是所求图形的面积.[()()]f x g x -[,]a b ⎰-=ba xx g x f A d )]()([类似地,由曲线及直线所围成的平面图形(如图所示)的面积为),(),(y x y x ϕφ==))()((y y ϕφ≥d y c y ==,⎰-=d cy y y A d )]()([φϕd [()()]d A y y yϕφ=-其中面积微元[注意]：曲线的左右位置.(),()x y x y φϕ==利用微元法求面积：例1计算由两条抛物线所围成图形的面积．yx x y ==22,解:⑴作出图形，确定积分变量，解方程组得两条抛物线的交点为(0,0)和(1,1)，则积分区间为[0,1]．（如右图所示）⎩⎨⎧==22xy xyx⑵在积分区间[0,1]上任取一小区间，与之相应的窄条的面积近似地等于高为、底为的矩形面积（如上页图中阴影部分的面积）,从而得面积微元]d ,[x x x +2x x -x d x x x A d )(d 2-=xx x A A d )(d 1210⎰⎰-==31013132323=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=xx求定积分得所求图形面积为解:(方法一)(1) 作图，选定为积分变量，解方程组得两曲线的交点为(1,1)，可知积分区间为[0,1].（如右图所示）⎩⎨⎧-==22)2(x y x yy 例２:求曲线与轴围成平面图形的面积．x 22)2(,-==x y x y(2)在区间[0,1]上任取小区间，对应的窄条面积近似于高为底为的矩形面积，从而面积微元为y y --)2(y y y A d ])2[(d --=yy d )1(2-=[,dy]y y +d y 3201)342(d )1(2231=-=-=⎰y y y y A （3）所求图形的面积为在[0,1]上的微元为在[1,2]上的微元为xx A d d 21=xx A d )2(d 22-=解:(方法二)若选取作为积分变量，容易得出积分区间为[0,2]，但要注意，面积微元在[0,1]和[1,2]两部分区间上的表达式不同（如下图所示）x故所求面积为⎰⎰+=102121d d A A A 122201d (2)d 23x x x x=+-=⎰⎰这种解法比较繁琐，因此，选取适当的积分变量，可使问题简化．另外，还应注意利用图形的特点（如对称性），以简化分析、运算．解由右图所示选取为积分变量，记第一象限内阴影部分的面积为，利用函数图形的对称性，1A y 例3求与半圆所围图形的面积．)0(222>=+x y x x y =2⎰--==1221d )2(22yy y A A 3212(2arcsin )0232123y y y y π=⋅-+-=+可得图形的面积为:⏹[步骤]：⏹⑴作草图，确定积分变量和积分限；⏹⑵求出面积微元；⏹⑶计算定积分．⏹[注意]：⏹⑴积分变量选取要适当；⏹⑵合理利用图形的特点（如对称性）.)(βα<即曲边扇形的面积微元为曲边扇形的面积为⎰=βαθθd )]([212r A θθd )]([21d 2r A =㈡、在极坐标系下求平面图形的面积计算由曲线及射线围成的曲边扇形的面积（如下图所示）．βθαθ==,)(θr r =利用微元法，取极角为积分变量，它的变化区间为.在任意小区间上相应的小曲边扇形的面积可用半径为中心角为的圆扇形的面积近似代替，θ],[βα]d ,[θθθ+)(θr r =θd解:取为积分变量,面积微元为于是θ21d ()d 2A a θθ=3222220340232d )(21ππθθθπa a a A =⋅==⎰例４计算阿基米德螺线上对应于从０变到的一段曲线与极轴所围成图形的面积.（右图所示）θγa =)0(>aπ2θ例5计算双纽线所围成的平面图形的面积（下图所示）θ2cos 22a r =)0(>a 解因,故的变化范围是,图形关于极点和极轴均对称．面积微元为21d cos 2d 2A a θθ=02≥r θ]45,43[ππ-24024021cos 2d 4214sin 222a A a aππθθθ==⋅⋅=⎰故所求面积为•设一立体介于过点且垂直于轴的两平面之间，如果立体过且垂直于轴的截面面积为的已知连续函数，则称此立体为平行截面面积已知的立体，如右图所示．,x a x b ==x x[],x a b ∈()A x x ㈠、平行截面面积已知的立体体积．下面利用微元法计算它的体积．()d baV A x x=⎰于是所求立体的体积为d ()d V A x x=即体积微元为[],a b 取为积分变量,它的变化区间为,立体中相应于上任一小区间的薄片的体积近似等于底面积为,高为的扁柱体的体积(右图所示)，()A x d xx [],a b [],d x x x+解：(法一)取平面与圆柱体底面的交线为轴,底面上过圆中心且垂直于轴的直线为轴,建立坐标系.如右图所示此时,底圆的方程为立体中过点且垂直于轴的截面是一个直角三角形.xxxy 222x y R+=x例6一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角(如下图)，计算这个平面截圆柱所得立体的体积.R α它的两条直角边的长度分别是及即及于是截面面积为y 22R x -tan y α22tan R x α-221()()tan 2A x R x α=-故所求立体的体积为223231()t a n d212t a n t a n 233RRVRx xx R R xRRααα-=-⎛⎫=-=⎪-⎝⎭⎰(法二)取坐标系同上（下图所示），过轴上点作垂直于轴的截面,则截得矩形,其高为、底为,y y ytan y α222R y -22()2tan A y y R yα=⋅-从而截面面积为于是所求立体的体积为220222232223()d 2tan d tan d().2tan ()032tan 3RR RV A y yy R y yR y R y R R y R αααα==⋅-=---=-⋅-=⎰⎰⎰从而,所求的体积为㈡、旋转体的体积应用定积分计算由曲线直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而形成的立体体积（下图所示）,x a x b==()yf x =x x x 取为积分变量,其变化区间为,由于过点且垂直于轴的平面截得旋转体的截面是半径为的圆,其面积为x x[],a b ()f x []2()()A x f x π=[]2()d ()d bbaaV A x x f x xπ==⎰⎰该旋转体的体积为类似地,若旋转体是由连续曲线,直线及轴所围成的图形,绕轴旋转一周而成(下图所示),()x y ϕ=,y c y d ==y y ()2d dc V y y πϕ=⎡⎤⎣⎦⎰解：如右图所示,所求体积例７求由曲线与直线及轴所围成的图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积.(0)xy a a =>,2x a x a==x x 22222d d 1212aa a a V y x a xx a a a x a ππππ=⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭=⎰⎰例8求底圆半径为高为的圆锥体的体积．h r 解以圆锥体的轴线为轴，顶点为原点建立直角坐标系（下图所示）过原点及点的直线方程为．此圆锥可看成由直线及轴所围成的三角形绕轴旋转而成，(,)P h r r y xh=x h =ry x h =x x x故其体积为220023220d d 133hhhr V y x x xh r x r h h ππππ⎛⎫== ⎪⎝⎭=⋅=⎰⎰设有一条光滑曲线弧,现在计算它的长度（称为弧长）．()()y f x a x b =≤≤s所谓光滑曲线是指曲线在上连续，在内各点存在不垂直于轴的切线，并且切线随切点的移动而连续转动；即在上连续，在内连续．()y f x =[],a b (,)a b x[],a b ()f x ()f x '(,)ab 四、平面曲线的弧长以为积分变量，相应于上任一小区间的一段弧长可用曲线在点处切线上相应小段直线的长度来近似代替（如上图所示）．x [],a b [,]x x dx +s MN ∆=MT (,())x f x 切线上小段直线的长度为因而弧长微元（也称为弧微分）为从到积分得()222(d )d 1()d x y y x'+=+2d 1()d s y x'=+[]221()d 1()d b b aas y x f x x''=+=+⎰⎰a b例9求曲线的长．233d x y t t -=-⎰解函数的定义域为，故于是23,3,3y x ⎡⎤'-=-⎣⎦且22d 1()d 4d s y x x x'=+=-332234d 24d s x x x x-=-=-⎰⎰233002sin 22cos 2cos d 8cos d x tt t t t tππ=⋅⋅=⎰⎰3144(sin 2)3.23t t ππ=+=+()t αβ≤≤若曲线弧由参数方程给出，其中在上具有连续导数，则弧微元为从而，所求弧长为{()()x t y t ϕψ==(),()t t ϕφ[,]a β[][]22d ()()d s t t tϕψ''=+()22[][()]d as t t tβϕψ''=+⎰AB例10求曲线上相应于从到一段的弧长（其中）．(cos sin ),(sin cos )x a t t t y a t t t =+=-0t =t π=0a >d at t=解因为，所以从而()cos ,()sin x t at t y t at t''==()()2222d [()][()]d cos sin d s x t y t t at t at t t''=+=+220d 22ta s at t aπππ===⎰第二节定积分在的物理学中的应用一、变力作功二、液体的压力设一物体受连续变力的作用,沿力的方向作直线运动,求物体从移动到,变力所作的功（如下图所示）.()F x a b ()F x 由于是变力,因此这是一个非均匀变化的问题.所求的功为一个整体量,在上具有可加性,可用定积分的微元法求解.()F x [,a b 、变作在上任一小区间.由于是连续变化的,当很小时变化不大可近似看作常力,因而在此小段上所作的功近似为在上的功微元.因此,从到变力所作的功为()F x [,]a b d ()d W F x x =a b ()d ba W F x x =⎰[,]ab [,d ]x x x +d x ()F x[析]：这个电场对周围的电荷有作用力，由库仑定律知，位于轴上距原点米处的单位正电荷受到的电场力大小为（牛顿），其中为常数．x x 2()q F x k x=k 例1把电量为+ （库仑）的点电荷放在轴原点处,形成一个电场,当这个单位正电荷在电场中从处沿轴至处时,求电场力对它所作的功（下图所示）．q x x a =(x b a =<x解取为积分变量，其变化区间为，功微元为于是功为x [,]a b 2d ()dd q W F x x k x x ==211d ()b b a q kq W k x kq x a b x==-=-⎰解建立坐标系，如右图所示.取深度为积分变量，其变化区间为[0,5]，x 例2一圆柱形的贮水桶高为５米，底圆半径为３米，桶内盛满了水．试问要把桶内的水全部吸出，需作多少功？功微元所求的功为d 98009d 88200d W x x x xπ=⋅=5025088200d 8820023462000W x x x ππ==⋅≈⎰二、液体的压力由物理学可知,在深为处液体的压强为,其中是液体的密度，（牛顿／千克）.如果有一面积为的平板，水平地放置在液体中深为处，则平板一侧所受的压力为h p g h ρ=⋅⋅h A F P A g h Aρ=⋅=⋅⋅⋅9.8g =ρ⏹如果平板垂直放在液体中，那么由于液体的深度不同，就不能用上式计算平板一侧所受到的压力，须用定积分求解．下面举例说明．例3一个横放的半径为的圆柱形油桶盛有半桶油，油的密度为．计算桶的圆形一侧所受的压力．R解建立坐标系，如右图所示取为积分变量，它的变化区间为．则压力微元为x [0,]R 22d 2d F g x R x x ρ=⋅-得所求压力()()2201222220322232d d()20323R R F gx R x x g R x R x R g R x gR ρρρρ=-=---=-⋅-=⎰⎰。

定积分中微元法及其应用研究

定积分中微元法及其应用研究1. 引言1.1 什么是定积分中微元法及其应用研究定积分中微元法是微积分学中的重要概念，它通过将被积函数分割成无穷小的微元，然后对这些微元进行求和，从而得到整个函数的定积分值。

微元法在定积分中的应用非常广泛，可以解决各种形式的积分计算问题，同时也可以帮助我们更好地理解积分的几何意义。

微元法在实际问题中的应用也非常广泛，例如在物理学、工程学、经济学等领域都有重要的应用价值。

通过微元法，我们可以更准确地描述和分析各种现实问题，为科学研究和工程实践提供有力的支持。

虽然微元法在定积分中有着重要的作用，但它也存在一定的局限性，例如在处理复杂函数或高维度的积分问题时会比较困难。

我们在使用微元法时需要结合具体情况，选择合适的方法和技巧来求解问题。

定积分中微元法是微积分学中的重要工具，它不仅可以简化积分计算的过程，还可以帮助我们更深入地理解函数的性质和应用。

在未来的研究中，我们可以进一步探讨微元法在更复杂问题中的应用，以及不同类型积分的求解方法，从而拓展微元法在定积分中的应用范围。

2. 正文2.1 定积分的基本概念定积分是微积分中的一个重要概念，是对曲线下面积的一种计算方法。

在定积分中，我们将给定的区间分成许多小区间，并在每个小区间内取一个点，然后求出这些小区间上的面积之和，最后取极限得到整个区间的面积。

在进行定积分运算时，我们通常利用微元法来计算。

微元法是一种运用微小部分求和的方法，将函数进行分割，然后在每个微小的部分上进行计算，最后将所有微小部分相加得到整体的结果。

在定积分中，微元法能够帮助我们将曲线下的面积分解成无穷个微小的长方形或梯形，进而求得整个区间的面积。

需要注意的是，定积分的基本概念中还包括对积分上下限的理解和确定，以及对被积函数的理解和计算。

通过对定积分的基本概念的理解和掌握，我们可以更好地应用微元法进行定积分的计算，并进一步应用到实际问题的求解中。

2.2 微元法在定积分中的应用微元法在定积分中的应用是定积分中非常重要和常见的方法之一。

定积分中微元法及其应用研究

定积分中微元法及其应用研究定积分是微积分学中的重要内容，而微元法是研究定积分的一种求解方法。

微元法也称为微分法，其基本思想是将被积函数进行分割，然后对每个小区间进行近似计算，再将所有小区间的结果求和，最终得到定积分的结果。

微元法在定积分的求解中起到了至关重要的作用。

通过将函数进行分割，我们可以将被积函数在每个小区间上近似看作是常数函数，这样就可以将复杂的定积分问题转化为简单的求和问题。

通过逐步累加每个小区间的结果，最终得到的就是原函数在整个区间上的定积分。

微元法的应用非常广泛，其中最经典的应用之一是求曲线下的面积。

通过将曲线进行分割，我们可以得到多个矩形的面积，再将这些矩形的面积求和，最终得到的结果就是曲线下的面积。

这个应用非常有实际意义，例如在物理学中，可以用微元法求解物体的质量、压力等物理量。

另一个常见的应用是求弧长。

通过将曲线进行分割，我们可以得到多个小线段，再求出每个小线段的长度，最终将这些长度求和，就可以得到整个曲线的弧长。

这个应用在几何学中常见，可以用来求解曲线的长度、曲率等问题。

微元法还可以用来求解旋转体体积和曲面旋转体积。

通过将旋转体或曲面进行分割，我们可以得到多个圆柱体或圆锥体的体积，再将这些体积求和，最终得到整个旋转体或曲面旋转体的体积。

这个应用在几何学和物理学中非常常见。

微元法是定积分中一种重要的求解方法，其应用非常广泛。

通过将函数进行分割，我们可以将复杂的定积分问题转化为简单的求和问题，从而求解各种与曲线、曲面相关的物理量。

微元法在实际应用中具有重要的意义，为数学建模和实际问题的求解提供了有力的数学工具。

微元法在高中数学

微元法在高中数学
近年来，微元法在高中数学教育中迅速获得了认可，成为最重要的研究和教学方法。

微元法是一种用于求解偏微分方程的计算机模拟方法，它可以帮助解决许多复杂的计算问题。

微元法在当今高中数学教育中发挥着越来越大的作用，在提高数学知识和技能方面起到了重要作用。

微元法最早是由美国科学家Harold A. Wilson在1942的一篇论文中提出的。

它的思想是将复杂的问题分解成更简单的“微元”问题。

微元法是一种计算机仿真方法，它可以帮助解决复杂的计算问题，它的思想是把复杂的问题分解为更小的问题，每个问题都可以用微元法来解决。

在数学教育中，微元法可以用来帮助学生理解复杂的偏微分方程和空间几何。

微元法可以帮助学生更深入、更精细地理解这些概念，帮助他们更好地应用数学知识。

在学习数学时，学生们可以使用微元法来解决问题、模拟实际情况、进行计算，熟悉偏微分方程和空间几何，提高学生的计算能力和实用知识。

此外，微元法在工程建设中也有着重要的作用。

微元法可以模拟实际工程建设，帮助建设者更好地评估建设的安全性、合理性。

微元法也可以解决复杂的热力学、力学和流体力学问题，在工程设计中有着重要的意义。

因此，微元法在高中数学教育中发挥着十分重要的作用，可以帮助学生更深入更精细的理解偏微分方程和空间几何。

微元法也有
着重要的应用，在工程设计中有其重要的意义，同时也为学生提供了一种新的学习工具，可以提高学生的计算能力和实用知识。

论积分学中的微元法思想及其应用

论积分学中的微元法思想及其应用目录摘要 (2)关键字..........................................................................................2 Abstract (2)Key Words (2)绪论1、微积分学中微元法思想的起源与发展 (3)1.1微元法思想的起源 (3)1.2 微积分的现代发展 (5)1.3中国古代数学对微积分创立的贡献 (6)2、微元法的基本思想2. 1 微元法的概念及理论2.2 微元法使用的一般条件2.3 微元法的解题步骤3、几何学中微元法思想及其应用3.1 定积分中平面图形微元法的思想及几何应用3.2 二重积分中微元法的思想及几何应用4、微元法在其他学科中的应用总结参考文献答谢论积分学中的微元法思想及其应用专业：数学与应用数学摘要:积分学中微元法思想是这一学科的非常重要的思想，它的合理运用可以使原本复杂的问题变得更为简单易行,并且在实际生活中此理论也得到了非常广泛的应用，本论文将重点论述微元法的思想和它的几何应用,使读者对微元法有更深刻的理解,然后介绍微元法在物理学，经济学上的应用,解决一些具体的实际问题关键词：微元法，定积分，几何应用，面积，基本思想ABSTRACTIntegral micro-element method is a very important ideological thinking of the discipline ，It can make rational use of the original problem becomes more complicated simple,And in real life, this theory has also been a very wide range of applications,This thesis focuses on the ideas of micro element method and its geometric applications,Micro-element method for the reader a deeper understanding ，Then describes the application of micro-element method in physics, economics ，Solve some specific practical problemsKey Words: Micro-element method，Definite integral，Geometry ，Area，The basic idea绪论微元法的使用使原本复杂的积分问题变得容易处理。

微元法的研究及应用

摘要 (1)第一章微元法理论 (2)1.1选题意义及微元法的产生背景 (2)1.2微元法理论简介 (3)1.2.1预备知识-定积分的定义 (3)1.2.2微元法的引入 (4)1.2.3微元法的实质及解题步骤 (4)第二章微元法的应用 (5)2.1微元法在几何中的应用 (5)2.1.1微元法证明一类积分学公式 (5)2.1.2微元法在几何学中的具体应用 (8)2.2微元法在物理学中的应用 (13)2.2.1概述微元法在物理中的应用 (13)2.2.2微元法在大学物理中的应用 (14)摘要微元法是处理微积分问题的重要方法,微元法的使用使原本复杂的积分问题变得容易处理。

本文将给出微元法的原理、使用方法及使用条件，使对微元法有更深刻的认识,然后介绍微元法在几何学、物理上的应用，解决一些具体的实际问题，并研究如何使用微元法更加简单、高效。

关键词：微元法微元法几何应用物理应用ABSTRACTMicro-element method is an important treatment method for calculus problems. The use of Micro element method make originally complex integral problem becomes easy to deal with. This paper will give the principle of micro-element method, the use of methods and conditions of use of micro-element method to gain a deeper understanding. Then introduce applications of micro element method in geometry and physics to solve specific practical problems and learn how to use micro-element method is more simple and efficient.Key words: micro-element method; micro-element; geometric applications; physics application;第一章微元法理论1.1选题意义及微元法的产生背景数学的思想、精神、文化对于人类历史文化变革有着重要的影响。

微元法高中物理例子

微元法高中物理例子微元法是一种在物理学中常用的数学方法，用于求解连续介质中各个微小部分的物理性质。

下面将给出10个高中物理例子，以展示微元法的应用。

1. 弹簧振子的质点振动：考虑一个弹簧振子，我们可以将弹簧分成无数个微小的微元段。

通过对每个微元段施加受力分析，可以求解弹簧振子的振动频率和振动方程。

2. 均匀带电细杆的电场：假设有一根长度为L的均匀带电细杆，我们可以将细杆分成无数个微小的微元段，并对每个微元段的电场进行叠加，最终求解整个细杆的电场分布。

3. 热传导的微元法：研究物体中的热传导过程时，可以将物体分成无数个微小的微元段，并通过对每个微元段的热量传递进行分析，得到整个物体的温度分布。

4. 电流通过导线的微元法：考虑一个直流电流通过一段导线，可以将导线分成无数个微小的微元段，并通过对每个微元段的电流密度进行分析，求解整个导线的电流分布。

5. 球形物体的重力场：研究球形物体的重力场时，可以将球体分成无数个微小的微元体积，并通过对每个微元体积的重力进行叠加，得到整个球体的重力场分布。

6. 简谐振子的动能和势能：对于一个简谐振子，可以将其振动范围分成无数个微小的微元段，并通过对每个微元段的动能和势能进行分析，求解整个振子的动能和势能关系。

7. 长直导线的磁场：考虑一根无限长直导线，可以将导线分成无数个微小的微元段，并通过对每个微元段的磁场进行叠加，得到整个导线的磁场分布。

8. 球形物体的电场：研究球形物体的电场时，可以将球体分成无数个微小的微元体积，并通过对每个微元体积的电场进行叠加，得到整个球体的电场分布。

9. 空气中的声波传播：研究声波在空气中的传播时，可以将空气分成无数个微小的微元段，并通过对每个微元段的压强变化进行分析，求解声波的传播规律。

10. 刚体的转动惯量：对于一个刚体，可以将其分成无数个微小的微元体积，并通过对每个微元体积的质量和距离进行分析，求解整个刚体的转动惯量。

通过这些例子，我们可以看到微元法在物理学中的广泛应用。

微元法与几何应用

微积分在中学数学中的应用

定积分微元法及其应用

谈微元法在高中物理解题中的应用

求定积分的方法总结

第3节 微元法

微元法在高中物理中的应用

微元法及其在物理中的应用(大 整理好)

第五章 定积分的几何应用

微元法高中物理例子

微元法在物理学中的应用

微元法的含义及应用

微元法及定积分的几何应用

定积分的几何应用

定积分中微元法及其应用研究

定积分中微元法及其应用研究

微元法在高中数学

论积分学中的微元法思想及其应用

微元法的研究及应用

微元法高中物理例子

第3节微元法

微元法及其在物理中的应用(大整理好)

第五章定积分的几何应用