第2讲 空间图形的位置关系与空间角的求法
高考数学一轮复习-82-空间点-线-面的位置关系课件-新人教A
解析 (1)法一 如图， 取 AC 的中点 P，连接 PM，PN，则 PM∥AB， 且 PM＝12AB，PN∥CD， 且 PN＝12CD， 所以∠MPN(或其补角)为
AB与CD所成的角．
则∠MPN＝60°或
∠MPN＝120°，
若∠MPN＝60°，
深度思考 求异面直线所 成的角常采用“平移直线 法”，你是不是用的这种 方法？但还可以有一种不 错的方法：补形法．将该 三椎锥放在长方体中，不 妨用这种方法试一试本题 第(1)问？
第2讲 空间点、线、面的位置关系
最新考纲 1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解 有关的可以作为推理依据的公理和定理；2.能运用公理、定 理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命 题．
课堂总结
知识梳理
1．平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的_两__点__在一个平面内，那么 这条直线在此平面内． (2)公理2：过_不__在__一__条__直__线__上__的三点，有且只有一个平 面． (3)公理3：如果两个不重合的平面有_一__个__公共点，那么 它们有且只有一条过该点的公共直线．
(1)梯形可以确定一个平面．
(√)
(2)圆心和圆上两点可以确定一个平面．
( ×)
(3)已知a，b，c，d是四条直线，若a∥b，b∥c，c∥d，
则a∥d.
(√ )
(4)两条直线a，b没有公共点，则a与b是异面直线． ( × )
课堂总结
2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b ()
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 解析 由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交 直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a， b为异面直线相矛盾． 答案 C
2023年高考数学----空间角问题规律方法与典型例题讲解
2023年高考数学----空间角问题规律方法与典型例题讲解【规律方法】1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：（1）作图：作出空间角的平面角．（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的． （3）计算：在证明的基础上计算得出结果． 简称：一作、二证、三算．2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．3、求直线与平面所成角的常见方法（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求．（2）等积法：公式θ=sin hl，其中θ是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长．（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°． 4、作二面角的平面角常有三种方法（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．【典型例题】例19．（2022·浙江金华·高三期末）已知正方体1111ABCD A B C D −中，P 为1ACD △内一点，且1113PB D ACD S S =△△，设直线PD 与11AC 所成的角为θ，则cos θ的取值范围为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎤⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】如图1，设1B D 与平面1ACD 相交于点E ，连接BD 交AC 于点O ，连接11B D ， ∵1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则1BB AC ⊥，AC BD ⊥，1BD BB B ⋂=，1,BD BB ⊂平面11BDD B∴AC ⊥平面11BDD B ，由1B D ⊂平面11BDD B ，则1AC B D ⊥， 同理可证：11AD B D ⊥， 1AD AC A =，1,AD AC ⊂平面1ACD ，∴1B D ⊥平面1ACD ，∵111111AC AD CD AB B D B C =====，由正三棱锥的性质可得：E 为1ACD △的中心， 连接1OD ，∵O 为AC 的中点，∴1OD 交1B D 于点E ，连接PE ，由1B D ⊥平面1ACD ，PE ⊂平面1ACD ，则1B D PE ⊥，即PE 是1PB D 的高，设AB a =，PE d =，则1,B D AC =，且1ACD △的内切圆半径r OE ==，则1112PB D S B D PE =⋅=△，))1212ACD S =⨯=△，∵1113PB DACD S S =△△213=，则13d a r =<， ∴点P 的轨迹是以E 为圆心，13a 为半径的圆.∵1B D ⊥平面1ACD ，1OD ⊂平面1ACD ，则11B D OD ⊥，∴DE ， 故PD 为底面半径为13a，高为=DE 的圆锥的母线，如图2所示，设圆锥的母线与底面所成的角α，则3tan 13a α== 所以π3α=，即直线PD 与平面1ACD 所成的角为π3. 直线AC 在平面1ACD 内，所以直线PD 与直线AC 所成角的取值范围为ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为11AC AC ∥，所以直线PD 与直线11AC 所成角的取值范围为ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以10cos 2θ≤≤. 故选：C.例20．（2022·浙江·效实中学模拟预测）在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，12AB AD CD BC ===，AC 交BD 于O 点，ABD △沿着直线BD 翻折成1A BD ，所成二面角1A BD C −−的大小为θ，则下列选项中错误的是（ ）A ．1A BC θ∠≤B ．1AOC θ∠≥ C ．1A DC θ∠≤ D ．11A BC A DC θ∠+∠≥【答案】C【解析】等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，12AB AD CD BC ===,可知：30,ACB ACD BD DC ∠=∠=⊥取BD 中点N ,BC 中点M 连接1,A N NM ,则1A N BD ⊥，NM BC ⊥,所以1A NM ∠为 二面角1A BD C −−的平面角，即1A NM θ∠=设122AB AD CD BC ====，则1111,1,2,2A N MN A B A D ==== 2222211111111cos 1222A N NM A M A M A M A N NM θ+−+−∴===−⋅,2222222111111221cos 122228A B BM A M A M A BC A M A B BM +−+−∴∠===−⋅⨯⨯,因为在[]0,π上余弦函数单调递减，又2211111111cos cos 82A M A M A BC A BC θθ−≥−⇒∠≥⇒∠≤，故A 对. 2222222111111221cos 122228A D DC AC AC A DC AC A D CD +−+−∴∠===−⋅⨯⨯222122221111153cos 2416AC AO OC AC AOC AC AO OC +−+−∴∠===−⋅ 当0θ=时,1A 与M 重合,此时160A DC ∠=,故C 不对. 1A DC ∠在翻折的过程中，角度从120减少到60 1AOC ∠在翻折的过程中，角度从180减少到30BD 选项根据图形特征及空间关系，可知正确.. 故选:C例21．（2022·浙江·湖州中学高三阶段练习）如图，ABC 中，90C ∠=︒，1AC =，BC D 为AB 边上的中点，点M 在线段BD （不含端点）上，将BCM 沿CM 向上折起至'B CM △，设平面'B CM 与平面ACM 所成锐二面角为α，直线'MB 与平面AMC 所成角为β，直线MC 与平面'B CA 所成角为γ，则在翻折过程中，下列三个命题中正确的是（ ）①tan βα，②γβ≤，③γα>. A ．① B ．①② C ．②③ D ．①③【答案】B 【解析】如图，设直线BN 与直线CM 垂直相交于点N ，在折叠图里，线段B T '与平面ACM 垂直相交于点T ，,(0,30)BCM θθ∠=∈，由图像知：;B NT B MT αβ''∠=∠=，B N BN θ=='， ()sin ;/sin 30B T B M θαθθ=*='︒+'，cos NT θα*，()tan 60MN θθ=*︒−，()()2sin 30CM θ=︒+，①tan β==，tan β=≤≤，所以tan βα；② ()Δ1sin 902ACM S CM CA θ=*︒−= 设ACB δ∠'=，则()()()2cos cos cos 90sin sin 90cos cos 0.5sin2δθθθθααθ=*︒−+*︒−=*，Δsin ACB S δ'== 由ΔΔ1133ACM M ACB ACB B T S d S −''**=**'，得M ACB d −'=()sin sin 30sin M ACB d B TMC B M γβθα'−====︒+*''，则()()sin sin 2tan 21sin 2sin 30cos 22sin 30γθθβθθθ=≤=≤︒+︒+， 由sin sin γβ≤得γβ≤； ③sin sin sin γγα=⇒，则sin sin 2tan 2sin 2cos 22γθθαθ≤=<sin γα<，所以sin sin γα<，则γα<.故选：B例22．（2022·浙江·高三专题练习）已知等边ABC ，点,E F 分别是边,AB AC 上的动点，且满足EF BC ∥，将AEF △沿着EF 翻折至P 点处，如图所示，记二面角P EF B −−的平面角为α，二面角P FC B −−的平面角为β，直线PF 与平面EFCB 所成角为γ，则（ ）A ．αβγ≥≥B ．αγβ≥≥C ．βαγ≥≥D ．βγα≥≥【答案】A【解析】在等边ABC 中，取BC 边中点D ，连接AD ，交EF 于O ，连接PO ， 则,EF PO EF DO ⊥⊥，=PO DO O ⋂，PO ⊂平面POD ，DO ⊂平面POD 故EF ⊥平面POD ，又EF ⊂平面EFCB ，则平面POD ⊥平面EFCB 在POD 中，过P 做PM 垂直于OD 于M ，则PM ⊥平面EFCB ，连接MF ， 在等边ABC 中，过M 做MN 垂直于AC 于N ，连接PN.由,EF PO EF DO ⊥⊥，则POM ∠为二面角P EF B −−的平面角即POM α∠=， 由PM ⊥平面EFCB ，MN AC ⊥，则PNM ∠为二面角P FC B −−的平面角即PNM β?由PM ⊥平面EFCB ，则PFM ∠直线PF 与平面EFCB 所成角，即PFM γ?，设AO ，则PO ，=FO a ，sin PM α，cos MO αFM ，)1=cos (1cos )2MN αα+=+， 则有FM OM >，FM NM >由cos MO MN α-(1cos )(cos 1)0αα-+=-<可得MO MN <，则有FM MN OM >>，则111FM MN OM<< 又tan tan ,tan PM PM PMOM NM FMαβγ，=== 故tan tan tan αβγ>>，又0,2παβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、、故αβγ>> 故选：A例23．（2022·全国·高三专题练习）设三棱锥V ABC −的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P AC B −−的平面角是γ则三个角α，β，γ中最小的角是（ ） A ．α B ．β C ．γD ．不能确定【答案】B【解析】如图，取BC 的中点 D ，作VO ⊥平面ABC 于点O ， 由题意知点O 在AD 上，且AO =2OD .作PE //AC ，PE 交VC 于点E ，作PF ⊥AD 于点F ，连接BF ，则PF ⊥平面ABC 取AC 的中点M ，连接BM ，VM ，VM 交 PE 于点H ， 连接BH ，易知BH ⊥PE ， 作于点G ，连接FG ，由PG ⊥AC ，PF ⊥AC ，PG PF =P ，由线面垂直判定定理可得AC ⊥平面PGF ，又FG ⊂平面PGF ∴ FG ⊥AC , 作FN ⊥BM 于点N . ∵ PG ∥VM ，PF ∥VN∴ 平面PGF ∥平面VMB ， 又 PH ∥FN , 四边形PFNH 为平行四边形， 所以PH =FN因此，直线PB 与直线AC 所成的角=BPE α∠， 直线PB 与平面ABC 所成的角PBF β=∠， 二面角P -AC -B 的平面角PGF γ=∠， 又cos cos PH FN BFPB PB PBαβ==<=又,[0,]2παβ∈，∴ αβ> 因为 tan =tan PF PFGF BF γβ>= ,(0,)2πβγ∈∴ γβ>综上所述，,,αβγ中最小角为β，故选 B.。
教学设计2：8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系1.空间中点与直线有两种关系：点在线上，点在线外如图中A在线AB上在线A’B’外.点与平面位置关系有两种：点在面上，点在面外如图A在平面ABCD上A不在BB’C’C’上.2.空间中直线与直线的位置关系不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线平行直线（无交点）.共面直线：相交直线（一个交点）；异面直线（无交点）.3.异面直线的画法：4.异面直线所成的角如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O 作直线a'∥a，b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）.为了简便，点O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线b上，然后经过点O作直线a'∥a，a'和b所成的锐角（或直角）就是异面直线a与b所成的角.5.练习一、已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点，那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？解：是，因为两条直线既不相交也不平行.练习二、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'中.（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？（2）直线BA'和CC'的夹角是多少？6.空间中直线与平面的位置关系：直线在平面内（无数个公共点）；直线与平面相交（一个公共点）；直线与平面平行（没有公共点）.7.空间中平面与平面的位置关系：两个平面平行（没有公共点）；两个平面相交（有一条公共直线）.8.探究：如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，连接A'B,D'C,请你举出一些图中直线与平面的位置关系.平面ABCD//平面A'B'C'D'，平面AA'DD'//平面BB'CC'，AA '//平面BB'CC'，A'B//平面CC'DD'等.9.例一：如图用符号表示下列图形中的直线、平面之间的位置关系.解：在(1)中α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B在（2）α∩β=l,.a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P,a∩b=P10.例二：如图，AB∩α=B,A∉α，a⊂α，B∉a.直线AB 与a具有怎样的位置关系？为什么？解：直线AB与a是异面直线.理由如下：若直线AB 与a不是异面直线，则它们相交或平行，设它们确定的平面为β，则B∈β，αβ⊂由于经过点B与直线a有且仅有一个平面α，因此平面平面α与β重合，从而ABα⊂, 进而A∈α，这与A∉α矛盾.所以直线AB与a是异面直线.补充说明：例二告诉我们一种判断异面直线的方法：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线.11.例3：已知a，b，c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线，那么a与c有怎样学生思考例三学生独立思考例5并回答段炼学生立体感段炼学生独立解决问题能力的位置关系？并画图说明．解：直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面．如图(1)(2)(3)．总结：判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两条直线不可能在同一平面内．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB 与l是异面直线(如图)．12.例4：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，BB1的中点，则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么？(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；(4)平面AMD1与平面BNC的位置关系．解：(1)AM所在的直线与平面ABCD相交．(2)CN所在的直线与平面ABCD相交．(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行．(4)平面AMD1与平面BNC相交.12.例5：在直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABC－A1B1C1中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点．求证：平面ACC1A1与平面BEF相交．证明：∵在矩形AA1B1B中，E为A1B1的中点，∴AA1与BE不平行，则AA1，BE的延长线相交于一点，设此点为G，∴G∈AA1，G∈BE.又AA1⊂平面ACC1A1，BE⊂平面BEF，∴G∈平面ACC1A1，G∈平面BEF，∴平面ACC1A1与平面BEF相交．总结：判断或证明平面与平面的位置关系时主要考虑平面与平面有无公共点，如果没有公共点，则两平面平行；如果可以找到一个公共点，则两平面相交．1.空间中直线与直线位置关系.。
空间向量求角
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向 量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
再次演示课件
法向量法
n1，n2
n2
n1，n2 n2
n1
n1
l
l
cos cos n1, n2 cos cos n1, n2
结论：cos cos n1, n2
注意法向量的方向：同进 同出，二面角等于法向量
夹角的补角；
关键：观察二面角的范围
一进一出，二面角等于法 向量夹角
四3 、实教践学操过作程的设计与实施
问题1：
二面角的平面角AOB 能否转化成向量的夹角？
B
O l
A
AOB OA,OB
二面角 OA,OB
四、教学过程的设计与实施
2 探究方法
二面角 n1, n2
要点梳理
②方向向量法：
将二面角转化为二面角的两个面的方向向量(在 二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹角.
设二面角α-l-β的大小为θ，其中
z
S
O
Cy
B
sin cos OS, n OS n 2 6
OS n 1 6 3
C（0，1，0）； O（0，0，0）；
S（0，0，1）， 于是我们有
SA =（2，0，-1）；AB =（-1，1，0）；
OB =（1，1，0）；OS =（0，0，1）；
立体几何-空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)
空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现， 也是历年来高考命题者的热点， 几乎年年必考。
空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。
其取值范围分别是：0° < 90°、0°< < 90°、0° < 180°。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转 化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正 余弦定理）和向量法。
下面举例说明。
一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体 ABCD A i BiGD i 中，已知AB 4 , AD 3, AA 2。
E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB FB 1。
求直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值。
思路一：本题易于建立空间直角坐标系，uuu uuu把EC i 与FD i 所成角看作向量 EC 与FD 的夹角，用向量法求 解。
思路二：平移线段C i E 让C i 与D i 重合。
转化为平面角，放到 三角形中，用几何法求解。
（图I ）uuu uju umr解法一：以A 为原点，ABAD'AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的•••直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值为 --- I4解法二： 延长 BA 至点 E i ,使 AE i =I ，连结 E i F 、DE i 、D i E i 、DF , 有D i C i //E i E , D i C i =E i E ,则四边形 D i E i EC i 是平行四边形。
则 E i D i //EC i 于是/ E i D i F 为直线EC i 与FD i 所成的角。
在 Rt △ BE i F 中， E i F -J E i F 2 BF 2「5 2 i 2 「‘莎。
3.2.3空间的角的计算
我们知道，两个平面所成的角是用二面角的平面角来度 量．这就是说，空间的二面角最终可以通过转化，用两条相交 直线所成的角来度量．
如何用向量的方法来求空间二面角的大小呢？
1
建构数学
在定义了平面的法向量之后，我们就可以用平面的法向量来求两个 平面所成的角．
方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两 条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）．
如图：二面角 α-l-β 的大小为 θ，A，B∈l，AC α，BD β, AC⊥l，
BD⊥l ，则 θ＝< AC , BD >＝< CA , DB >．
l
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
B D
2
数学应用
例 3 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， 求二面角 A1 BD C1 的大小．
3
练一练
如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥底面 ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°， ∠BCA＝90°，点 D，E 分别在棱 PB 和 PC 上，且 DE//BC．
①求证：BC⊥平面 PAC； ②当 D 为 PB 的中点时，求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小； ③是否存在点 E，使得二面角 A-DE-P 为直二面角？并说明理由．
4
回顾小结
本节课学习了以下内容： 1．用向量方法解决二面角的计算问题． 2．注重数形结合，注重培养我们的空间想象能力．
5
立体几何复习-空间角的求法
作(找)---证---指出---算---结论
关键
在三角形中计算
（一）异面直线所成的角：范围是（0，π /2].
平移直线成相交直线:
(1)利用中位线,平行四边形;
(2)补形法.
作(找)---证---指出---算---结论
关键
在三角形中计算
例1.正四面体S-ABC中,如
s
果E、F分别是SC、AB的
(1)求证：平面 AEC⊥平面 PDB； (2)当 PD＝ 2AB，且 E 为 PB 中点时， 求 AE 与平面 PDB 所成角的大小．
作(找)---证---指出---算---结论
关键
在三角形中计算
(三)二面角：范围是[0，π ].
①棱上一点定义法：常取等腰三角形底边(棱)中点.
②面上一点垂线法：自二面角的一个面上一点向另一 面引垂线，再由垂足向棱作垂线
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政 (1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设 ， 邮传邮正传式部脱离海关。 (2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国。邮联大会
轮船正招式成商立局，标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2．航空
(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始
研制 。
(2)发展水：上1飞918机年，北洋政府在交通部下设“
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
2
历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
精品课件欢迎使用
[自读教材·填要点]
2015届(理科数学)二轮复习课件_专题六_立体几何_第2讲_空间图形的位置关系
)
解析:若存在点 E 使 EF∥BD1,则 BD1∥平面 A1BC1,与 BD1∩平面 A1BC1=B 矛盾,故选项 A 不正确;当 E 为 A1C1 的中点时 EF∥A1B, 又 A1B⊥平面 AB1C1D,即存在点 E 使 EF⊥平面 AB1C1D,即选项 B 不正确;当 E 与 A1 重合时,EF⊥BC1,又 BC1∥AD1,则 EF⊥AD1,即 选项 C 不正确;设正方体的棱长为 a,则 VB1 ACE = VB1 ACC1
模型中观察线面位置关系,并结合有关定理来进行判断.
(2)熟练掌握立体几何的三种语言——符号语言、文字语 言以及图形语言的相互转换,是解决此类问题的关键.
热点训练1: (2014温州市八校联考)如图所示,正三角形 ABC的中线AF与中位线DE相交于点G,已知△A′ED是△AED
绕DE旋转过程中的一个图形,现给出下列四个命题:
第2讲
空间图形的位置关系
高考导航
热点透析
高考导航
高考体验
研真题
明备考
1.(2014高考广东卷,理7)若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定 正确的是( D (A)l1⊥l4 (B)l1∥l4 (C)l1与l4既不垂直也不平行 )
解析:作 AE⊥BD 于 E,若 AC⊥BD, 则 CE⊥BD 显然不成立,即选项 A 不正确. 在翻折过程中,当平面 BCA⊥平面 BCD 时,CD⊥平面 ABC, AB⊥CD,所以选项 B 正确;选项 D 不正确; 在翻折过程中,若 AD⊥BC,BC⊥CD, 则 BC⊥平面 ADC,BC⊥AC,应有 AB>BC,与 AB=1,BC= 2 矛盾, 所以选项 C 不正确.故选 B.
公开课： 空间角的求法
做二面角 -l- 的平面角
3、二面角的大小
二面角的大小可以用它的平面角来度量．
即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角
是多少度．
① 二面角的两个面重合： 0o； ② 二面角的两个面合成一个平面：180o；
二面角的范围：[ 0o, 180o ]．
题型一：求异面直线所成的角 典例分析
例1、如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求 (1)BE与CG所成的角？ (2)FO与BD所成的角？
反思提高：
直线与平面所成角的步骤：
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，将空间角(斜线 与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)， 作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有 时可以是两垂足)作直线. (2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角. (3)计算：通常在垂线段，斜线段和射影所组成的直角 三角形中计算.
郸城县第三高级中学
齐飞
课标解读：
• 1、会用异面直线所成角的定义找出或作出 异面直线所成的角，并求出该角。 • 2、理解直线与平面所成角的概念，并能解 决简单的线面角问题。 • 3、理解二面角的有关概念，会求简单二面 角平面角的大小。
基本知识点：
• 一、异面直线所成的角 • 1、定义：
• 直线a、b是异面直线,在空间任选一点O,分别引直 线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直 角）叫做异面直线所成的角。90。G源自题型二：求直线与平面所成的角
典例分析
• 例2： 如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平 面互相垂直，M、N分别是EC、AD的中点. • (1)求证：平面EFDC⊥平面ECB； • (2)求直线MN与平面ABCD所成的角的正切值.
高三数学第二轮专题讲座复习：关于求空间的角的问题
张喜林制[选取日期]高三数学第二轮专题讲座复习：关于求空间的角的问题高考要求空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想 重难点归纳空间角的计算步骤 一作、二证、三算1 异面直线所成的角 范围 0°＜θ≤90°方法 ①平移法；②补形法2 直线与平面所成的角 范围 0°≤θ≤90° 方法 关键是作垂线，找射影3 二面角方法 ①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法注1 二面角的计算也可利用射影面积公式S ′=S cos θ来计算注2 借助空间向量计算各类角会起到事半功倍的效果 4．三种空间角的向量法计算公式：⑴异面直线,a b 所成的角θ：cos cos ,a b θ=<>；⑵直线a 与平面α(法向量n )所成的角θ：sin cos ,a n θ=<>； ⑶锐二面角θ：cos cos ,m n θ=<>，其中,m n 为两个面的法向量。
典型题例示范讲解例1在棱长为a 的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是BC 、A ′D ′的中点(1)求证 四边形B ′EDF 是菱形；(2)求直线A ′C 与DE 所成的角；(3)求直线AD 与平面B ′EDF 所成的角；(4)求面B ′EDF 与面ABCD 所成的角命题意图 本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强知识依托 平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角 错解分析 对于第(1)问，若仅由B ′E =ED =DF =FB ′就断定B ′EDF 是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B ′、E 、D 、F 四点共面技巧与方法 求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法(1)证明 如上图所示，由勾股定理，得B ′E =ED =DF =FB ′=25a ,下证B ′、E 、D 、F 四点共面，取AD 中点G ，连结A ′G 、EG ，由EG AB A ′B ′知，B ′EGA ′是平行四边形 ∴B ′E ∥A ′G ,又A ′FD G ,∴A ′GDF 为平行四边形∴A ′G ∥FD ，∴B ′、E 、D 、F 四点共面故四边形B ′EDF 是菱形(2)解 如图所示，在平面ABCD 内，过C 作CP ∥DE ，交直线AD 于P ，则∠A ′CP (或补角)为异面直线A ′C 与DE 所成的角在△A ′CP 中， 易得A ′C =3a ，C P =DE =25a ,A ′P =213a 由余弦定理得cos A ′CP =1515 故A ′C 与DE 所成角为另法（向量法） 如图建立坐标系，则(0,0,),(,,0),(0,,0),(,,0)2aA a C a a D a E a '(,,),(,,0)2aA C a a a DE a '⇒=-=-15cos ,15||||A C DE A C DE A C DE ''⇒<>==' 故A ′C 与DE 所成角为 (3)解 ∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上 如下图所示又∵B ′EDF 为菱形，∴DB ′为∠EDF 的平分线， 故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′ 在Rt △B ′AD 中，AD =2a ，AB ′=2a ,B ′D =2a则cosADB ′=33故AD 与平面B ′EDF 所成的角是 另法（向量法）∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上 如下图所示 又∵B ′EDF 为菱形，∴DB ′为∠EDF 的平分线，故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′， 如图建立坐标系，则 (0,0,0),(,0,),(0,,0)A B a a D a '(0,,0),(,,)DA a DB a a a '⇒=-=-3cos ,3||||DA DB DA DB DA DB ''⇒<>=='，故AD 与平面B ′EDF 所成的角是 (4)解 如图，连结EF 、B ′D ，交于O 点，显然O 为B ′D 的中点，从而O 为正方形ABCD —A ′B ′C ′D 的中心作OH ⊥平面ABCD ，则H 为正方形ABCD 的中心， 再作HM ⊥DE ，垂足为M ，连结OM ，则OM ⊥DE ，B故∠OMH 为二面角B ′—DE ′—A 的平面角在Rt △DOE 中，OE =22a ,OD =23a ,斜边DE =25a , 则由面积关系得OM =1030=⋅DEOEOD a 在Rt △OHM 中，sin OMH =630=OM OH 故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为 另法（向量法） 如图建立坐标系，则(0,0,0),(0,0,),(,0,),(0,,0),(,,0)2aA A aB a a D a E a ''，所以面ABCD 的法向量为(0,0,),m AA a '==下面求面B ′EDF 的法向量n设(1,,)n y z =，由(,,0),(0,,),22a aED a EB a '=-=- 00221002a a y nED y a z nED y az ⎧-+=⎪⎧==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⎩⎪⎪⎩-+=⎪⎩∴(1,2,1)n =∴6cos ,||||6n m n m n m <>==故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为 例2如下图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱AA 1长为b ,且AA 1与AB 、AD 的夹角都是120°求 (1)AC 1的长；(2)直线BD 1与AC 所成的角的余弦值技巧与方法 数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用21111111222111:(1)||()()()()||||||222AC AC AC AA AC AA AC AA AB AD AA AB AD AA AB AD AA AB AA AD AB AD=⋅=++=++++=+++⋅+⋅+⋅解22222111112221:||,||||,,120,,9011cos120,cos120,0,22||2AA b AB AD aAA AB AA AD AB AD AA AB b aab AA AD b a ab AB AD AC a b ===<>=<>=︒<>=︒∴⋅=⋅︒=-⋅=⋅︒=-⋅=∴=+-由已知得12,||ab AC ∴=1111112211(2),||2,()()AC a AC AB AD BD AD BA AA AD AB AC BD AB AD AA AD AB AB AA AD AA AB AD AD AB ==+=+=+-∴⋅=++-=⋅+⋅+⋅+-依题意得21111122222111||()()||||||2222AB AD ab BD BD BD AA AD AB AA AD AB AA AD AB AA AD AB AD AA AB a b -⋅=-=⋅=+-+-=+++⋅-⋅-⋅=+2212||b a BD +=∴111cos ,||||4BD AC BD AC BD AC ⋅<>==∴BD 1与AC例3如图，l αβ--为60°的二面角，等腰直角三角形MPN 的直角顶点P 在l 上，M ∈α,N ∈β,且MP 与β所成的角等于NP 与α (1)求证 MN 分别与α、β所成角相等； (2)求MN 与β所成角(1)证明 作NA ⊥α于A ，MB ⊥β于B ,连接AM ，再作AC ⊥l 于C ，BD ⊥l 于D ，连接NC 、∵NA ⊥α,MB ⊥β,∴∠MPB 、∠NP A 分别是及NP 与α所成角，∠MNB ，∠NMA 分别是MN 与角，∴∠MPB =∠NP A在Rt △MPB 与Rt △NP A 中，PM =PN ，∠MPB =∠NPA ，∴△MPB ≌△NPA ，∴MB =NA在Rt △MNB 与Rt △NMA 中，MB =NA ，MN 是公共边，∴△MNB ≌△NMA ，∴∠MNB =∠NMA ，即(1)结论成立(2)解 设∠MNB =θ,MN =2a ,则PB =PN =a ,MB =NA =2a sin θ，NB =2a cos θ,∵MB ⊥β,BD ⊥l ,∴MD ⊥l ,∴∠MDB 是二面角α—l —β的平面角，∴∠MDB =60°，同理∠NCA =60°,∴BD =AC =3633=MB a sin θ,CN =DM =63260sin 6=︒MB a sin θ, ∵MB ⊥β，MP ⊥PN ，∴BP ⊥PN∵∠BPN =90°,∠DPB =∠CNP ,∴△BPD ∽△PNC ,∴PBBDPN PC ===整理得，16sin 4θ－16sin 2θ+3=0解得sin 2θ=4341或,sin θ=2321或，当sin θ=23时，CN =632a sin θ= 2a ＞PN 不合理，舍去 ∴sin θ=21,∴MN 与β所成角为30°。
2017-2018年度高中数学 第一章 立体几何初步 4 空间图形的基本关系与公理 第2课时 空间图形的公理4及等角定
在空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那 么直线AB与CD的位置关系是( ) A．AB∥CD B．AB与CD是异面直线 C．AB与CD相交 D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交 [错解] 如图，∠ABC＝∠BCD， ∴AB∥CD.故选A. [错因] 错解的原因在于，认为线段AB，BC，CD在同一 个平面内．
1．证明两角相等的方法 ①等角定理； ②三角形全等； ③三角形相似． 2．利用等角定理证明两角相等，关键是证明角 的两边分别平行，另外要注意角的方向性．
练一练 2．如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 E，F， E1，F1 分别是棱 AB，AD，B1C1，C1D1 的中点．
求证：(1)EF E1F1； (2)∠EA1F＝∠E1CF1.
4．如图，夹在两平行平面间的两条线段 AB，CD 交于点 O，已知 AO＝4，BO＝2，CD＝9.则线段 CO， DO 的长分别为________，________.
解析：∵AB，CD 相交于 O 点，∴AC，BD 共面． 又 AC 与 BD 不相交，∴AC∥BD. ∴DCOO＝ABOO，又 DC＝9，AO＝4，BO＝2.∴CO＝6， DO＝3. 答案：6 3
1．下列结论正确的是( ) ①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行 于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线 的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b， c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c. A．①②③ B．② C．③④ D．②③ 解析：①错，可以异面．②正确，公理4.③错误，和另一条 可以异面．④正确，由平行直线的传递性可知． 答案：B
5．已知 E，F，G，H 为空间中的四个点，且 E， F，G，H 不共面，则直线 EF 和 GH 的位置关系是 ________．
高中空间几何求各种角的公式
在高中的空间几何学习中，常见的几何形状包括点、线、面、体等，涉及到各种角的计算。
以下是一些常见的角的公式：
1. 平面内的角：
-顶点在圆心的圆心角和半圆角：圆心角等于对应的圆周角，半圆角为180度。
-对顶角：对顶角相等。
-同位角：同位角相等。
-内错角和内错角互补：内错角之和等于180度，内错角互补。
2. 空间内的角：
-平行线与截线：平行线与截线的对应角相等。
-直线与平面：直线与平面的夹角等于其倾斜角。
-平面与平面：两平面的夹角等于它们法向量的夹角。
3. 立体几何中的角：
-直线与立体的交角：直线与平面或立体的夹角等于90度减去它们的夹角余补角。
-两平面之间的夹角：两平面的夹角是它们的法线之间的夹角。
这些公式是空间几何中常见的角度计算原则，通过理解和掌握这些规律，可以更好地解决空间几何题目中涉及到的各种角度问题。
必修二2.1.空间点、直线、平面之间的位置关系(教案)
人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）第二章点、直线、平面之间的位置关系2. 1空间点、直线、平面之间的位置关系教案 A第 1 课时教学内容： 2. 1. 1平面教学目标一、知识与技能1.利用生活中的实物对平面进行描述，掌握平面的表示法及水平放置的直观图；2.掌握平面的基本性质及作用，提高学生的空间想象能力.二、过程与方法在师生的共同讨论中，形成对平面的感性认识.三、情感、态度与价值观通过实例认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.教学重点、难点教学重点：1.平面的概念及表示；2.平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.教学难点：平面基本性质的掌握与运用.教学关键：让学生理解平面的概念，熟记平面的性质及性质的应用，使学生对平面的概念及其性质由感性认识上升到理性认识.教学突破方法：对三个公理要结合图形进行理解，清楚其用途.教法与学法导航教学方法：探究讨论，讲练结合法．学习方法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标.教学准备教师准备：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板．学生准备：直尺、三角板．教学过程教学教学内容师生互动设计过程意图创设什么是平面？师：生活中常见的如黑板、情境一些能看得见的平面实桌面等，给我们以平面的印象，形成平导入例 .你们能举出更多例子吗？那么面的概新课平面的含义是什么呢？这就是念我们这节课所要学习的内容 .1教师备课系统──多媒体教案续上表1.平面含义随堂练习判定下列命题是否正确：主题① 书桌面是平面；探究② 8 个平面重叠起来要比合作 6 个平面重叠起来厚；交流③ 有一个平面的长是50m，宽是 20m；④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念 .师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说加强对知的平面，就是从这样的一些识的理解物体中抽象出来的，但是，培养，自几何里的平面是无限延展觉钻研的的 .学习习惯 . 数形结合，加深理解 .2.平面的画法及表示师：在平面几何中，怎（1）平面的画法：水平放样画直线？（一学生上黑板置的平面通常画成一个平行四画）边形，锐角画成 45°，且横边之后教师加以肯定，解说、画成邻边的 2 倍长（如图）．类比，将知识迁移，得出平面的画法：D CαA B如果几个平面画在一起，主题当一个平面的一部分被另一个探究平面遮住时，应画成虚线或不合作画（打出投影片）．交流（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC 、平面 ABCD等.（3）平面内有无数个点，平面可以看成点的集合 .点 A 在平面α内，记作：A ∈ α ; 点B 在平面α外，记作： Bα．β通过类比α探索，培养学生知识迁移能β力，加强知识的系统性 .α·B·Aα2续上表人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）3.平面的基本性质公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．A Bα· C··教师引导学生思考教材P41 的思考题，让学生充分发表自己的见解 .师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出公理主题探究合作交流符号表示为A ∈ LB∈ L? L ? α．A ∈ αB∈ α公理 1：判断直线是否在平面内．公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 .A· Bα·L符号表示为： A 、B、C 三点不共线 ? 有且只有一个平面α，使A ∈ α、 B∈ α、 C∈ α.公理 2 作用：确定一个平面的依据 .公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 .βPα·L符号表示为： P∈ α∩β? α∩β =L，且P∈ L ．公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 .1．教师引导学生阅读教材P42 前几行相关内容，并加以解析．师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等．通过类比引导学生归纳出公理探索，培2．养学生知教师用正（长）方形识迁移能模型，让学生理解两个平力，加强面的交线的含义.知识的系注意：（ 1）公理中“有统性 .且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形唯一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.“ 有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面 . ”引导学生阅读P42 的思考题，从而归纳出公理3．3教师备课系统──多媒体教案续上表拓展 4. 教材 P43 例 1教师及时评价和纠正同创新通过例子，让学生掌握图形学的表达方法，规范画图和巩固应用中点、线、面的位置关系及符号符号表示 .提高．提高的正确使用 .1．平面的概念，画法及表示方法 .培养学2．平面的性质及其作用．生归纳3．符号表示．整合知4．注意事项．学生归纳总结、教师给识能小结力，以予点拨、完善并板书 .及思维的灵活性与严谨性 .课堂作业1.下列说法中，（1）铺得很平的一张白纸是一个平面；（ 2）一个平面的面积可以等于 6cm 2；（ 3）平面是矩形或平行四边形的形状. 其中说法正确的个数为（）．A . 0 B . 1 C. 2 D . 32.若点 A 在直线 b 上，在平面内，则 A， b，之间的关系可以记作（）．A . A b B. A b C. A b D . A b3.图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（）．A B C D4.空间中两个不重合的平面可以把空间分成（）部分.答案： 1. A 2. B 3. D 4. 3 或 4第 2 课时教学内容2.1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中两条直线的位置关系；4人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）2.理解异面直线的概念、画法，提高空间想象能力；3.理解并掌握公理 4 和等角定理；4.理解异面直线所成角的定义、范围及应用.二、过程与方法1.经历两条直线位置关系的讨论过程，掌握异面直线所成角的基本求法.2.体会平移不改变两条直线所成角的基本思想和方法.三、情感、态度与价值观感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学习兴趣.教学重点、难点教学重点1.异面直线的概念 .2.公理 4 及等角定理 .教学难点异面直线所成角的计算.教学关键提高学生空间想象能力，结合图形来判断空间直线的位置关系，使学生掌握两异面直线所成角的步骤及求法 .教学突破方法结合图形，利用不同的分类标准给出空间直线的位置关系，由两异面直线所成角的定义求其大小，注意两异面直线所成角的范围.教法与学法导航教学方法探究讨论法．学习方法学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成教学目标.教学准备教师准备投影仪、投影片、长方体模型、三角板．学生准备三角板 .教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计环节意图创设通过身边实物，相互设疑激情境异面直线的概念：不同在任何一个交流异面直线的概念．趣点出导入平面内的两条直线叫做异面直线.师：空间两条直线有主题．新课多少种位置关系？1. 空间的两条直线的位置关系教师给出长方体模多媒体5教师备课系统──多媒体教案相交直线：同一平面内，有且只有型，引导学生得出空间的演示提一个公共点；两条直线有如下三种关高上课平行直线：同一平面内，没有公共系．效率 .探索点；异面直线：不同在任何一个平面内，教师再次强调异面直新知没有公共点 .线不共面的特点．师生互异面直线作图时通常用一个或两个动，突平面衬托，如下图：破重点 .2. 平行公理师：在同一平面内，例 2 的思考：长方体ABCD-A'B'C'D' 中，如果两条直线都与第三条讲解让BB' ∥AA'， DD' ∥AA'，那么 BB' 与直线平行，那么这两条直学生掌DD' 平行吗？线互相平行 . 在空间中，是握了公否有类似的规律？理 4 的运用．生：是．强调：公理 4 实质上探索是说平行具有传递性，在新知公理 4：平行于同一条直线的两条平面、空间这个性质都适直线互相平行 .用．符号表示为：设a、b、c 是三条直线如果 a//b， b//c，那么 a//c.例 2 空间四边形ABCD 中， E、 F、G、 H 分别是AB 、BC 、 CD 、 DA 的中点．求证：四边形 EFGH 是平行四边形 .续上表3. 思考：在平面上，我们容易证明让学生观察、思考：等角定“如果一个角的两边与另一个角的两边理为异探索分别平行，那么这两个角相等或互补”.面直线新知空间中，结论是否仍然成立呢？所成的等角定理：空间中如果两个角的两角的概边分别对应平行，那么这两个角相等或念作准6人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）互补 .∠ ADC与A'D'C' 、备.∠ ADC与∠ A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ ADC = A'D'C' ，∠ ADC +∠ A'B'C' = 180°4.异面直线所成的角如图，已知异面直线 a、b，经过空探索间中任一点 O 作直线 a'∥ a、b'∥ b，我新知们把 a'与 b'所成的锐角（或直角）叫异面直线 a 与 b 所成的角（夹角）．教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下等角定理．师：① a'与 b'所成的角的以教师大小只由 a、b 的相互位置讲授为来确定，与 O 的选择无关，主，师为了简便，点 O 一般取在生共同两直线中的一条上；交流，② 两条异面直线所成的导出异角θ∈（ 0，π）；面直线2所成的③ 当两条异面直线所成角的概探索的角是直角时，我们就说念 .新知这两条异面直线互相垂例 3 让直，记作 a⊥ b；学生掌④ 两条直线互相垂直，有握了如共面垂直与异面垂直两种何求异情形；面直线⑤ 计算中，通常把两条异所成的例 3（投影）面直线所成的角转化为两角，从条相交直线所成的角 .而巩固了所学知识 .续上表充分调动学拓展生动手创新教材 P49 练习 1、 2．生完成练习，教师当的积极应用堂评价 .性，教提高师适时7教师备课系统──多媒体教案给予肯定 .本节课学习了哪些知识内容？小结知2．计算异面直线所成的角应注意什学生归纳，然后老师补识，形小结么？充、完善．成整体思维．课堂作业1. 异面直线是指（）．A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线2.如右图所示，在三棱锥 P-ABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有（）．A. 2 对 B . 3 对 C. 4 对 D. 6 对3.正方体 ABCD-A 1B1C1D1中与棱AA1平行的棱共有（）．A. 1 条 B . 2 条 C. 3 条 D. 4 条4.空间两个角、，且与的两边对应平行，若=60 °，则的大小为（）．.答案： 1. D 2.B 3. C 4. 60 °或 120°第 3 课时教学内容8人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）2. 1. 3 空间中直线与平面之间的位置关系 2. 1. 4 平面与平面之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中直线与平面的位置关系，了解空间中平面与平面的位置关系；2.提高空间想象能力 .二、过程与方法1.通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；2.利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.三、情感、态度与价值观感受空间中图形的基本位置关系，形成严谨的思维品质.教学重点、难点教学重点空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.教学难点用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.教学关键借助图形，使学生清楚直线与平面，平面与平面的分类标准，并能依据这些标准对直线与平面、平面与平面的位置关系进行分类及判定.教学突破方法恰当地利用图形，用符号语言表述直线与平面、平面与平面的位置关系.教法与学法导航教学方法借助实物，让学生观察事物、思考关系，讲练结合，较好地完成本节课的教学目标.学习方法探究讨论，自主学习法.教学准备教师准备多媒体课件，投影仪，三角板，直尺.学生准备三角板，直尺．教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计过程意图创设问题1：空间中直线和直线有几生 1：平行、相交、异复习9教师备课系统──多媒体教案情境种位置关系？面；回顾，导入问题 2：一支笔所在的直线和一生 2：有三种位置关系：激发新课个作业本所在平面有几种位置关（1）直线在平面内；学习系？（2）直线与平面相交；兴趣 .（3）直线与平面平行．师肯定并板书，点出主题 .1．直线与平面的位置关系 .师：有谁能讲出这三种（ 1）直线在平面内——有无数位置有什么特点吗？个公共点 .生：直线在平面内时二（ 2）直线与平面相交——有且者有无数个公共点 .仅有一个公共点 .直线与平面相交时，二（ 3）直线在平面平行——没有者有且仅有一个公共点 .公共点 .直线与平面平行时，三其中直线与平面相交或平行的者没有公共点（师板书）．情况，统称为直线在平面外，记作师：我们把直线与平面加强a.相交或直线与平面平行的对知直线 a 在面内的符号语言是情况统称为直线在平面外 .识的a. 图形语言是：师：直线与平面的三种理解位置关系的图形语言、符号培养，主题语言各是怎样的？谁来画自觉探究图表示一个和书写一下 .钻研合作学生上台画图表示 .的学交流直线 a 与面相交的 a∩ = A.师；好 . 应该注意：画习习图形语言是符号语言是：直线在平面内时，要把直线惯，数画在表示平面的平行四边形结形内；画直线在平面外时，合，加应把直线或它的一部分画深理在表示平面的平行四边形解 .外 .直线 a 与面平行的符号语言是a∥. 图形语言是：10人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）续上表2．平面与平面的位置关系师：下面请同学们思考以（ 1）问题 1：拿出两本书，看下两个问题（投影）．作两个平面，上下、左右移动和翻生：平行、相交 .转，它们之间的位置关系有几种？师：它们有什么特点？（ 2）问题 2：如图所示，围成生：两个平面平行时二者长方体 ABCD –没有公共点，两个平面相交A′B′C′D′的六个时，二者有且仅有一条公共直通过面，两两之间的线（师板书）．类比位置关系有几师：下面请同学们用图形探索，种？和符号把平面和平面的位置培养主题关系表示出来⋯⋯学生（ 3）平面与平面的位置关系探究——没有公师：下面我们来看几个例知识平面与平面平行合作子（投影例 1）．迁移共点 .交流能力 .平面与平面相交——有且只有一条公共直线 .加强平面与平面平行的符号语言知识是∥ . 图形语言是：的系统性 .11教师备课系统──多媒体教案续上表拓展创新应用提高例 1 下列命题中正确的个数是（ B ）．①若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l∥ .②若直线l 与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行 .③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 .④若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线没有公共点 .A . 0B . 1 C. 2 D. 3例 2 已知平面∥，直线a，求证 a∥ .证明：假设 a 不平行，则 a在内或 a 与相交 .∴ a 与有公共点 .又 a.∴ a与有公共点，与面∥面矛盾 .∴∥ .学生先独立完成，然后讨例 1 通论、共同研究，得出答案. 教师过示范利用投影仪给出示范 .传授学师：如图，我们借助长方体生一个模型，棱 AA 1所在直线有无数点通过模在平型来研面究问题ABCD的方外，但法，加棱 AA 1深对概所在直线与平面ABCD 相交，所念的理以命题①不正确； A1B1所在直线解. 例 2平行于平面 ABCD ，A1B1显然不目标训平行于 BD，所以命题②不正确；练学生A1 B1∥AB，A1B1所在直线平行于思维的平面 ABCD ，但直线 AB平灵活，面 ABCD ，所以命题③不正确；并加深l 与平面平行，则 l 与无公对面面共点， l与平面内所有直线都平行、没有公共点，所以命题④正确，线面平应选 B .行的理师：投影例2，并读题，先解.让学生尝试证明，发现正面证明并不容易，然后教师给予引导，共同完成，并归纳反证法步骤和线面平行、面面平行的理解 .1．直线与平面、平面与平培养学面的位置关系 .生整合2．“正难到反”数学思想知识能与反证法解题步骤 .学生归纳总结、教师给予点力，以小结拨、完善并板书 .及思维3. “分类讨论”数学思想．的灵活性与严谨性 . 12人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）课堂作业1.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）．A ．一条直线不相交B．两条直线不相交C．任意一条直线都不相交 D ．无数条直线都不相交【解析】直线与平面平行，则直线与平面内的任意直线都不相交，反之亦然；故应选C.2. “平面内有无穷条直线都和直线l 平行”是“l //”的（）．A．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件【解析】如果直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但直线不与平面平行，应选 B.3．如图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为虚线：（ 1）AB 没有被平面遮挡；（ 2）AB 被平面遮挡.答案：略4．已知，，直线a，b，且∥，a，b，则直线 a 与直线 b 具有怎样的位置关系？【解析】平行或异面．5．如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.【解析】三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条.6.求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内 .已知： l ∥，点P∈，P∈ m，m∥ l，求证： m.证明：设 l 与 P 确定的平面为，且= m′，则 l ∥ m′.又知 l ∥ m， m m P ，由平行公理可知，m 与 m′重合 .所以 m.13教师备课系统──多媒体教案教案 B第 1 课时教学内容： 2. 1. 1 平面教学目标1.了解平面的概念，掌握平面的画法、表示法及两个平面相交的画法；2.理解公理一、二、三，并能运用它们解决一些简单的问题；3.通过实践活动，感知数学图形及符号的作用，从而由感性认识提升为理性认识，注意区别空间几何与平面几何的不同，多方面培养学生的空间想象力.教学重点：公理一、二、三，实践活动感知空间图形．教学难点：公理三，由抽象图形认识空间模型．学法指导：动手实践操作，由模型到图形，由图形到模型不断感知.教学过程一、引入在平面几何中，我们已经了解了平面图形都是由点和线构成的，我们所做的一切都是在一个无形的平面中进行，请同学谈谈到底平面是什么样子的？可以举实例说明.在平面几何中，我们也知道直线是无限延伸的，我们是怎样表示这种无限延伸的？那么你认为平面是否有边界？你又认为如何去表示平面呢？二、新课以上问题经过学生分小组充分讨论，由各小组代表陈述你这样表示的理由？教师暂不作评判，继续往下进行 .实践活动：1.仔细观察教室，举出空间的点、线、面的实例.2.只准切三刀，请你把一块长方体形状的豆腐切成形状、大小都相同的八块.3.请你准备六根游戏棒，以每根游戏棒为一边，设法搭出四个正三角形.以上这些问题已经走出了平面的限制，是空间问题. 今后我们将研究空间中的点、线、面之间的关系.图 1问题：指出上述活动中几何体的面，并想想如何在一张纸上画出这个几何体？至此我们应感受到画几何体与我们的视角有一定的关系.练习一：试画出下列各种位置的平面.1.水平放置的平面2.竖直放置的平面14人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）图 2（ 1）图2（2）3.倾斜放置的平面图 34.请将以下四图中，看得见的部分用实线描出．图 4（1）图4（2）图4（3）图4（4）小结：平面的画法和表示法.我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示一个平面，如图 5.平行四边形的锐角通常画成45o，且横边长等于其邻边长的 2 倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如图 6.βFA DA DααB E CB C图 5图 6图 7平面常用希腊字母, ,等表示（写在代表平面的平行四边形的一个角上），如平面、平面；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或相对的两个顶点的大写英文字母作为平面的名称，图 5 的平面，也可表示为平面ABCD ，平面 AC 或平面BD .前面我们感受了空间中面与面的关系及画法，现在让我们研究一下点、线与一个平面会有怎样的关系？15教师备课系统──多媒体教案显然，一个点与一个平面有两种位置关系：点在平面内和点在平面外.我们知道平面内有无数个点，可以认为平面是由它内部的所有的点组成的点集，因此点和平面的位置关系可以引用集合与元素之间关系.从集合的角度，点 A 在平面内，记为A；点B在平面外，记为B （如图 7）.再来研究一下直线与平面的位置关系.将学生分成小组，并动手实践操作后讨论：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的整个边缘就落在桌面上吗？请同学们再试着想一下，如何用图形表示直线与平面的这些空间关系？由“两点确定一条直线”这一公理，我们不难理解如下结论：公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 .A l ,B l , 且 A, B,l．A l Bα图8例1 分别用符号语言、文字语言描述下列图形．AA aa图 9（ 1）图 9（ 2）图 9（ 3）例 2 识图填空（在空格内分别填上, , ,）．A____ a；A____ α，B____ a； B____ α，Aa____ α；a____ α = B，B bb____ α；B____ b．a图 10图 11问题情景：制作一张桌子，至少需要多少条腿？为什么？公理 2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平A面 .CB实践活动：取出两张纸演示两个平面会有怎样的位置关α图 12系，并试着用图画出来 .图 12试问：如图13 是两个平面的另一种关系吗？（相对于同学们得出的关系）由平面的无限延展性，不难理解如下结论：公理 3如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个公共点16人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）的直线 .βP l 且P l．αP l图 13例 3如图14用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.l【分析】根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.【解析】在（1）中，l , a A , a B .l , a, b, a l P , B l P .在（ 2）中，三、巩固练习教材 P43 练习 1— 4.四、课堂小结（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公理的内容及作用是什么？（3）判断共面的方法 .五、布置作业P51 习题 A 组 1， 2．第 2 课时教学内容： 2. 1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标：一、知识目标1.了解空间中两条直线的位置关系；2.理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；3.理解并掌握公理 4．二、能力目标1.让学生在观察中培养自主思考的能力；17教师备课系统──多媒体教案2.通过师生的共同讨论培养合作学习的能力.三、情感、态度与价值观让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.教学重点、难点教学重点： 1.异面直线的概念； 2.公理 4.教学难点：异面直线的概念.学法与教学用具1.学法：学生通过观察、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标；2.教学用具：多媒体、长方体模型、三角板．教学过程一、复习引入1．平面内两条直线的位置关系有（相交直线、平行直线）．相交直线（有一个公共点）；平行直线（无公共点）．2．实例 . 十字路口——立交桥．立交桥中，两条路线 AB ， CD 既不平行，又不相交（非平面问题）．六角螺母DCA B二、新课讲解1.异面直线的定义不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．练习：在教室里找出几对异面直线的例子．注1：两直线异面的判别一 : 两条直线既不相交、又不平行．两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内．合作探究一：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？答：不一定，它们可能异面，可能相交，也可能平行．空间两直线的位置关系：按平面基本性质分（1）同在一个平面内：相交直线、平行直线；（ 2）不同在任何一个平面内：异面直线．按公共点个数分（ 1）有一个公共点 : 相交直线；（ 2）无公共点：平行直线、异面直线．2．异面直线的画法说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托. 18。
第2讲 大题专攻——空间中的平行、垂直与空间角问题 2023高考数学二轮复习课件
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二、真题感悟 1．(2022·全国甲卷)(证明线线垂直、求线面角)在四棱锥 P-ABCD
中，PD⊥底面 ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2， DP＝ 3. (1)证明：BD⊥PA； 解：证明：如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO，则OB＝DC＝1. 又DC∥OB，所以四边形DCBO为平行四边形． 又BC＝OB＝1，所以四边形DCBO为菱形，所以BD⊥CO. 同理可得，四边形DCOA为菱形，所以AD∥CO， 所以BD⊥AD. 因为PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PD⊥BD， 又AD∩PD＝D，AD，PD⊂平面ADP，所以BD⊥平面ADP. 因为PA⊂平面ADP，所以BD⊥PA.
所以向量―AB→＝(1，0，0)为平面 PAD 的一个法向量． 而―BE→·―AB→＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，
所以BE⊥AB， 又BE⊄平面PAD，所以BE∥平面PAD.
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(3)平面PCD⊥平面PAD.
证明 由(2)知平面 PAD 的一个法向量为―AB→＝(1，0，0)，向量―PD→＝(0，
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02
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利用向量证明平行与垂直
【例1】 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD， AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1， 点E为棱PC的中点．证明： (1)BE⊥DC； 证明 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐 标系A-xyz，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2， 0)，P(0，0，2)．由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)．
向量―BE→＝(0，1，1)，―D→C ＝(2，0，0)， 故―BE→·―D→C ＝0. 所以BE⊥DC.
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(2)BE∥平面PAD； 证 明 因 为 AB⊥AD ， 又 PA⊥ 平 面 ABCD ， AB ⊂ 平 面 ABCD ， 所 以 AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， 所以AB⊥平面PAD，
高中数学立体几何知识点归纳总结
高中数学立体几何知识点归纳总结一、立体几何知识点归纳第一章空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，台，球的结构特征1.棱柱棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩L底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱底面为矩形侧棱与底面边长相等①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA=++②（了解）长方体的一条对角线1AC与过顶点A的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos1αβγ++=，222sin sin sin2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC与过顶点A的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则222cos cos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=.侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h 为棱柱的高） 2.圆柱圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 面积、体积公式：S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高） 3.棱锥棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
空间角的求法
空间角的求法一、异面直线所成的角：1、定义：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上2、异面直线所成的角的范围：2,0(π3、求异面直线所成的角的方法：（1）直接平移法：在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；例1、如图PA ⊥矩形ABCD ，已知PA=AB=8，BC=10，求AD 与PC 所成的角正切值。
（2）中位线平移法：构造中位线，利用中位线性质，将异面直线所成角转化为平面角，解三角形求之例2、设S 是正三角形ABC 所在平面外一点，SA=SB=SC ，且∠ASB=∠BSC=∠CSA=2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点，求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值.（3）补形平移法：在已知图形外补作一个相 同的几何体，以利于找出平行线。
例3、已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长8，侧棱长为6，D 为AC 的中点。
求异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值.(4).向量法： CDAB CD AB →→=.cos θ二、直线和平面所成的角1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角2、范围：[0，2π]。
当直线垂直平面时，所成的角θ＝2π，当直线平行平面或在平面内，所成角为θ＝0。
3、求直线与平面所成的角的方法：（1）.直接法：斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
①经过斜线上一点作面的垂线；②找出斜线在平面内的射影，从而找出线面角；③解直角三角形。
例4、在四面体ABCS 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M 为AB 的中点，求：（1）BC 与平面SAB 所成的角；（60°） （2）SC 与平面ABC 所成的角。
高考数学：专题四 第二讲 空间点、直线、平面的位置关系课件
方体模型中进行观察.
题型与方法
第二讲
变式训练 1 设 l、m、n 表示三条直线，α、β、γ 表示三个平 面，给出下列四个命题： ①若 l⊥α，m⊥α，则 l∥m；
本 讲 栏 目 开 关
②若 m⊂β，n 是 l 在 β 内的射影，m⊥l，则 m⊥n； ③若 m⊂α，m∥n，则 n∥α； ④若 α⊥γ，β⊥γ，则 α⊥β. 其中真命题为 A.①② B.①②③ C.①②③④ D.③④ ( A )
本 讲 栏 目 开 关
点．
(1)求证：DE∥平面 PAB； (2)求证：平面 PAB⊥平面 PBC； (3)求四棱锥 P—ABCD 的体积．
题型与方法
证明
第二讲
(1)连接 AC，则 F 是 AC 的中点，E 为 PC 的中点,
本 讲 栏 目 开 关
故在△CPA 中，EF∥PA，
又∵PA⊂平面 PAD，EF⊄平面 PAD，
即 PA⊥PD.又∵CD∩PD＝D，∴PA⊥平面 PCD.
又∵PA⊂平面 PAB，
∴平面 PAB⊥平面 PCD.
题型与方法
第二讲
题型三
本 讲 栏 目 开 关
空间线面关系的综合问题 线面关系的综合问题包括空间位置关系的证明和
则直线 l 与平面 α 内的直线只有相交和异面两种位置关系， 因而只有选项 B 是正确的.
考点与考题
第二讲
3.(2012· 安徽)设平面 α 与平面 β 相交于直线 m， 直线 a 在平面 α 内， 直线 b 在平面 β 内， b⊥m， 且 则“α⊥β”是“a⊥b” 的
本 讲 栏 目 开 关
( A ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
(3)面面平行的判定定理 b∥α，∴α∥β. (4)面面平行的性质定理 ∴a∥b.
【参考教案】《空间直角坐标系》(人教)
一、教学目标1. 理解空间直角坐标系的定义和基本概念。
2. 学会在空间直角坐标系中确定点的位置。
3. 掌握空间直角坐标系中线段、距离和角度的计算方法。
4. 能够应用空间直角坐标系解决实际问题。
二、教学内容1. 空间直角坐标系的定义和基本概念。
2. 如何在空间直角坐标系中确定点的位置。
3. 空间直角坐标系中线段、距离和角度的计算方法。
4. 实际问题中的应用案例。
三、教学重点与难点1. 教学重点：空间直角坐标系的定义和基本概念，确定点的位置方法，线段、距离和角度的计算方法。
2. 教学难点：空间直角坐标系中线段、距离和角度的计算方法。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、探究和讨论来理解空间直角坐标系的概念和方法。
2. 使用多媒体课件和实物模型辅助教学，帮助学生直观地理解空间直角坐标系。
3. 结合实例和练习题，培养学生的实际应用能力。
五、教学过程1. 导入：通过简单的实例引入空间直角坐标系的概念，激发学生的兴趣。
2. 讲解：讲解空间直角坐标系的定义和基本概念，引导学生理解并掌握相关知识。
3. 实践：让学生通过实际操作，学会在空间直角坐标系中确定点的位置。
4. 讲解：讲解空间直角坐标系中线段、距离和角度的计算方法，引导学生理解和掌握相关知识。
5. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，培养实际应用能力。
6. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调重点和难点。
7. 作业：布置作业，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对空间直角坐标系概念的理解程度。
2. 练习题：布置练习题，评估学生对基本知识和计算方法的掌握情况。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解他们的合作能力和问题解决能力。
七、教学资源1. 多媒体课件：使用课件展示空间直角坐标系的图像和动画，帮助学生直观理解。
2. 实物模型：使用模型展示空间直角坐标系，让学生更直观感受。
3. 练习题库：准备不同难度的练习题，适应不同学生的学习需求。
高考数学一轮总复习课件：空间点、线、面的位置关系
【解析】 如图所示，把正方体的平面展开图还原成原来 的正方体，显然BM与ED为异面直线，故A不正确；而CN与BE 平行，故B不正确；
∵BE∥CN，∴CN与BM所成角为∠MBE. ∴∠MBE＝60°，故C正确；∵BC⊥面CDNM， ∴BC⊥DM，又∵DM⊥NC，NC∩BC＝C，∴DM⊥面 BCN. ∴DM⊥BN，故D正确，故选CD.
直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类：
共面直线__平_行____.
__相_交___.
异面直线：不同在__任_何___一个平面内的两条直线.
(2)异面直线所成的角：
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直
线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的__锐__角__或_直__角___叫做异面直线
状元笔记
1．点共线问题的证明方法 证明空间点共线，一般转化为证明这些点是某两个平面的 公共点，再依据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上． 2．线共点问题的证明方法 证明空间三线共点，先证两条直线交于一点，再证第三条 直线经过此点，将问题转化为证明点在直线上．
3．点线共面问题的证明方法 (1)纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平 面内． (2)辅助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证明其余 点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合．
【证明】 (1)如图所示，连接B1D1.
因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1 中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面，即 D，B，F，E四点共面．
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举一反三 1 1: (2011 年华师附中、广实、广雅三校高三适应性 考试) 下列命题不正确的是( )
( 如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直 A) 线, 两平面垂直 ( 如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面, B) 则两平 面平行 ( 如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直, C) 则这两条 直线垂直 ( 如果一条直线和一个平面平行, D) 经过这条直线的平面和这个 平面相交, 那么这条直线和交线平行
考向三: 空间角的求解 【例 3】 (2011 年高考浙江卷) 如图, 在三棱锥 P ABC 中, AB=AC , 为 BC 的中点, O ⊥平面 ABC , D P 垂足 O 落在线 段 AD 上. ( 证明: ⊥BC ; 1) AP ( 已知 BC =8, O =4, =3, D =2, 2) P AO O 求二面角 B AP C 的大小.
举一反三 3 1: 2011 年广东南海高考模拟) ( 如图, 为圆 O 的 AB 直径, E , 在圆上, ∥E F , 点 F AB 矩形 AB C D 所在平面与圆 O 所 在平面互相垂直, 已知 AB =2, F =1. E
( 求证: F ⊥平面 AD F ; 1) B ( 求 B F 与平面 AB C D 所成的角ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2)
第 2 讲 空间图形的位置关系与空间 角的求法
考向一: 命题真假的判断 【例 1】 ( 2011 年北京海淀区模拟) 已知平面 α∩β=lm 是 α内 , 不同于 l的直线, 那么下列命题中错误的是( ) ( 若 m ∥β, m ∥l A) 则 ( 若 m ∥l则 m ∥β B) , ( 若 m ⊥β, m ⊥l C) 则 ( 若 m ⊥l则 m ⊥β D) ,
考向二：空间位置关系的证明 【 例 2】 (2011 年 安 徽皖 南 八 校 联 考 )如 图 ,在四 棱 锥 P AB C D 中, ∠AB C =∠AC D =90°∠B AC =∠C AD =60°P A⊥平 , , 面 AB C D , 为 P D 的中点, A=2AB . E P
( 若 F 为 P C 的中点, 1) 求证: C ⊥平面 AE F ; P ( 求证: E ∥平面 P AB . 2) C
举一反三 2 1: (2012 届惠州市第一次调研考试) 如图所示几 何体中, ⊥平面 AC D , E ⊥平面 AC D , AB D △AC D 为等边三角 形, =D E =2AB =2, 为 C D 的中点. AD F
( 求证: ∥平面 B C E ; 1) AF ( 求证: 2) 平面 B C E ⊥平面 C D E .