赵坚顾静相微积分初步第二章导数与微分讲义

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高等数学第二章导数与微分

tan lim y lim f (x0 x) f (x0 )
其中 (
2
x x0
t 0
x
) 是切线M0T与x轴正向的夹角。
2 求变速直线运动的瞬时速度
用s表示质点运动的路程，以O为原点，沿质点运动的方向建
立数轴—s轴，如图2.1，显然路程s是时间t的函数，记作 s=f (t),
t∈[0,T]，现求t0时刻的瞬时速度v0=v(t0).
dx
x
例5. 设
存在, 求极限 lim f (x0 h) f (x0 h).
h0
2h
是否可按下述方法作:
解: 令原式t x0hlim0h,则
f (x0 )
f (x00)hf)(x0f (xh0))
2(2hh)
原式
1 2
f (x0 )
1 2
f (x0 )
f (x0 )
内容小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
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2.2
第二章
导数的运算法则
一、四则运算求导法则二、反函数的求导法则三、复合函数求导法则四、初等函数的求导问题
机动目录上页下页返回结束
思路:
( 构造性定义 )
本节内容
(C ) 0
(sin x ) cos x 证明中利用了
( ln x ) 1
两个重要极限
例3. 求反三角函数及指数函数的导数.
解: 1) 设
cos y 0 , 则
则
y ( , ) ,
22
(sin y)
1 cos y
1 1 sin2 y
类似可求得
利用
arccos
x

《微积分初步》第二章电子教案

例2 设 y 5 x 2x , 求y
解： y (5 x 2 x )
5( x )2 x 5 x (2 x )
5 2x

5
x 2 x ln 2
2x
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例3 求y = tanx 的导数
解： y (tan x) ( sin x )
cos x

(sin
f (x0 ).
显然可以用下面的形式来定义左、右导数
f( x0 )

lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) , x x0
f( x0 )

lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) . x x0
定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.
导性与函数的连续性的概念都是描述函数在一点
处的性态，导数的大小反映了函数在一点处变化
(增大或减小)的快慢.
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三、左导数与右导数
左导数:
f(x0 )

lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 ).
右导数:
f(x0 )

lim
x0
f (x0
x) x
x x0
当 f (x0 ) 0 时,曲线 f ( x) 在 M0 的法线方程为
1
y
f ( x0 )
(x f ( x0 )
x0 ).
而当 f (x0) 0 时,曲线 f ( x) 在 M0 的法线方程为
x x0 (即法线平行y轴).
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例3 求函数 y x 2 的导数

(整理)经济数学基础讲义第2章导数与微分

第2章导数与微分2.1 极限概念研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势. 例1 圆的周长的求法.早在公元263年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形……等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长.例2 讨论当+∞→x 时，x1的变化趋势.例3 讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势。

“一尺之棰，日截其半，万世不竭”——庄子•天下定义2.3 设函数)(x f 在点0x 的邻域（点0x 可以除外）内有定义，如果当x 无限趋于0x （但0x x ≠）时，)(x f 无限趋近于某个常数A ，则称x 趋于0x 时，)(x f 以A 为极限，记为A x f x x =→)(lim 0或A x f →)( )(0x x →若自变量x 趋于0x 时，函数)(x f 没有一个固定的变化趋势，则称函数)(x f 在0x 处没有极限.在理解极限定义时要注意两个细节：1.0x x →时，（0x x ≠）2.⎩⎨⎧→<→>→00000)()(x x x x x x x x （包括这两种情况）例1 讨论2x y =时, 22lim x x →=？解：求极限时，可以利用极限的概念和直观的了解，我们可以借助几何图形来求函数的极限.由几何图形可以看出，当2→x 时，42→=x y ，即22lim x x →=4 例2 讨论函数112--=x x y ,当1→x 时的极限11lim 21--→x x x解：此函数在1=x 处没有定义，可以借助图形求极限.由图形得到211lim 21=--→x x x2.1.3 左极限和右极限考虑函数x y =，依照极限的定义，不能考虑0→x 的极限. 因为x y =在0<x 处无定义.又如函数⎩⎨⎧>≤=010)(x x x x f ，如果讨论0→x 是的极限，则函数分别在0<x 和0>x 时不是同一个表达式，必须分别考虑.由此引出左右极限的概念. 定义2.4 设函数f x ()在点x 0的邻域（x 0点可以除外）内有定义，如果当x x <0且x 无限于x 0（即x 从x 0的左侧趋于x 0，记为x x →-0）时，函数f x ()无限地趋近于常数L ，则称当x 趋于x 0时，f x ()以L 为左极限，记作= L ；如果当x x >0且x 无限趋于x 0（即x 从x 0的右侧趋于x 0，记为x x →+0）时，函数f x ()无限地趋近于常数R ，则称当x 趋于x 0时，f x ()以R 为右极限，记作= R .极限存在的充分必要条件：极限)(lim 0x f xx →存在的充分必要条件是：函数f x ()在0x 处的左，右极限都存在且相等.即例3 ⎩⎨⎧>≤=010)(x x x x f , 求)(lim 0x f x → 解：注意到此函数当x =0的两侧表达式是不同，在0点处分别求左、右极限.11lim )(lim 00==++→→x x x f ，0lim )(lim 0==--→→x x f x x可见左右极限都存在但不相等；由几何图形易见,由极限的定义知，函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某个常数，因此此函数在0点处极限不存在. 2.1.4 无穷小量0)(lim 0=→x f x x 称当0x x →时，)(x f 为无穷小量，简称无穷小.补充内容：无穷小量是一个特殊的变量，它与有极限变量的关系是：变量y 以为A 极限的充分必要条件是：y 可以表示成A 与一个无穷小量的和，即)0(lim lim =+=⇔=ααA y A y无穷小量的有以下性质：性质1 有限个无穷小量的和是无穷小量；性质2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量；性质3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量. 无穷大量：在某个变化过程中，绝对值无限增大且可以大于任意给定的正实数的变量称为无穷大量.例如因为+∞=+∞→xx 2lim ，所以，当+∞→x 时，x 2是无穷大量.无穷小量与无穷大量有如下“倒数关系”：定理：当0x x →（或∞→x ）时，若)(x f 是无穷小（而0)(≠x f ），则)(1x f 是无穷大；反之，若)(x f 是无穷大，则是无穷小.例4 2x y =，当0→x 时，?2→x解：由图形可知，当0→x 时，02→x ，当0→x 时，2x 是无穷小量. 2.2 极限的运算2.2.1 极限的四则运算法则在某个变化过程中，变量v u ,分别以B A ,为极限，则B A v u v u ±=±=±lim lim )lim(，B A v u v u ⋅=⋅=⋅lim lim )lim(例1 求22lim x x → 解：422)lim )(lim ()(lim lim 22222=⨯==⋅=→→→→x x x x x x x x x 例2 求11lim 21--→x x x解：21)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 1121=+=-+-=--→→→x x x x x x x x x例3 求xx x x +-∞→2231lim解：31)13()11(lim 31lim22222=+-=+-∞→∞→xx x x x x x x x 例4 求xx x 11lim 0-+→解：)11()11)(11(lim 11lim00++++-+=-+→→x x x x x x x x )11(lim++=→x x xx 21111lim=++=→x x 2.2.2 两个重要极限 1.1sin lim0=→xxx几何说明：如图，设x 为单位圆的圆心角，则x 对应的小三角形的面积为2sin x，x 对应的扇形的面积为2x ，x 对应的大三角形的面积为2tan x 当0→x 时，它们的面积都是趋于0的，即之比的极限是趋于1的.例1 xxx 3sin lim0→解：x x x 3sin lim 0→=333sin 3lim0=→x x x 333sin lim 0=→xxx 2.e )11(lim =+∞→xx x e )1(lim 10=+→x x x 例2 求极限xx x)311(lim +∞→ 解: 31313313e ])311(lim [)311(lim )311(lim =+=+=+∞→⋅∞→∞→x x x x x x xx x例3 求极限xx x 10)21(lim -→解 2221)2(211e ]))2(1(lim [))2(1(lim )21(lim ---→--→→=-+=-+=-x x xx xx x x x2.3 函数的连续性定义设函数)(x f 在点0x 的邻域内有定义，若满足)()(lim 00x f x f xx =→，则称函数)(x f 在点0x 处连续.点0x 是)(x f 的连续点. 函数间断、间断点的概念如果函数f x ()在点x 0处不连续，则称f x ()在点x 0处发生间断.使f x ()发生间断的点x 0，称为f x ()的间断点例如函数32,x y x y ==，x y x y cos ,sin ==，xy x y e ,ln ==在定义域内都是连续的.例1 ⎩⎨⎧>-≤+=13211)(x x x x x f ,问)(x f 在1=x 处是否连续？注意：此函数是分段函数，1=x 是函数的分段点.解: 1)32(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x ，2)1(lim )(lim 11=+=--→→x x f x x )(lim 1x f x →不存在，)(x f 在1=x 处是间断的. 例2 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sinx x xx y ,问)(x f 在0=x 处是否连续？解: )0(01sinlim )(lim 0f xx x f x x ===→→ （无穷小量×有界变量=无穷小量）∴)(x f 在0=x 处是连续的. 结论:（1）基本初等函数在其定义域内是连续的；（2）连续函数的四则运算、复合运算在其有定义处连续；（3）初等函数在其定义区间内是连续的.例3xx x x 220cos 1e lim ++→解: 21110cos 01e cos 1e lim 220220=+=++=++→x x x x 注意： xx x 22cos 1e ++是初等函数，在0=x 处有定义，利用结论有极限值等于函数值. 2.4 导数与微分的概念本节的主要内容是导数与微分的概念. 三个引例边际成本问题瞬时速率问题曲线切线问题引例1：边际成本问题 C —总成本，q —总产量已知时当q q q q C C ∆+→=00),(（当自变量产生改变量，相应的函数也产生改变量）)()(0q q C q C ∆+→），qq C q q C ∆-∆+)()(00（成本平均变化率），qq C q q C q ∆-∆+→∆)()(lim 000（边际成本）引例2: 瞬时速率问题路程S 是时间t 的函数)(t S ，当t 从t t t ∆+→00时，)(t S 从)()(00t t S t S ∆+→tt S t t S ∆-∆+)()(00 （平均速率）t t S t t S t ∆-∆+→∆)()(lim000 （在0t 时刻的瞬时速率）引例3：曲线切线问题考虑曲线)(x f y =在0x x =处的切线斜率.当x x x ∆+→00时，对应的y y y ∆+→00，曲线上))(,(00x f x 和))(,(00x x f x x ∆+∆+两点间割线的斜率为xx f x x f ∆-∆+=)()(tan 00φ（当0→∆x 时），xx f x x f x x ∆-∆+==→∆→∆)()(limtan lim tan 000φα 称为切线的斜率.qq C q q C q C q ∆-∆+=→∆)()(lim)(000tt S t t S t S t ∆-∆+=→∆)()(lim)(000xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(000关于函数)(x f y =x x x ∆+→00，)()(00x x f x f ∆+→，考虑极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000定义设函数)(x f y =在点0x 的邻域内有定义，当自变量x 在点0x 处取得改变量)0(≠∆x 时，函数y 取得相应的改变量.)()(00x f x x f y -∆+=∆ 若当0→∆x 时，两个改变量之比xy∆∆的极限 x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并称此极限值为 )(x f y =在点0x 处的导数，记为)(0x f '或0x x y ='或d d x x xf =或d d x x x y =即 )(0x f '=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000若极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导. 在理解导数定义时要注意：导数也是逐点讨论的. 导数定义的意义· 数量意义变化率 · 经济意义边际成本 · 几何意义切线的斜率例1 2)(x x f y ==，求.)2(,)3(,)1(-'''f f f思路：先求)(x f '，再求)(0x f '.解：因为22)()(,)(x x x x f x x f ∆+=∆+=x x x x x xx x x xx f x x f x x x 2)(2lim )(lim )()(lim202200=∆∆+∆=∆-∆+=∆-∆+→∆→∆→∆ 所以x x x f 2)()(2='='，426321-=-'='='）（，）（，）（f f f 例2 x xg ln )(=，求).5.0(),10(g g ''解: 因为)ln()(,ln )(x x x x g x x g ∆+=∆+=xx x x x xx x xx x x xx x x xx g x x g ∆→∆→∆→∆→∆∆+=∆+∆=∆-∆+=∆-∆+10000)(ln lim ln 1lim ln )ln(lim )()(limx x xx x x xx x 1e ln ]lim ln[1110==∆+=⋅∆→∆）（所以2)5.0(,101)10(='='g g 导数公式 xx 1)(ln ='求导步骤1、求)(x f '；2、求0)(x x x f ='.注意：)(x f '是)(x f 的导函数，函数在0x 处的导数值0)()(0x x x f x f ='=' 微分的概念设)(x f y =，导数)(d )(d d d x f y xx f x y '='==，两边同乘x d ，得到函数的微分. 微分 x x f x y x f y d )(d )(d d '='== 导数公式xx x x c 1)(ln )(0)(1='='='-αααxx x xa a a x x x x e )e (ln )(sin )(cos cos )(sin ='='-='='微分公式由导数公式可以得到微分公式x x x x x d )(d )(11--=='αααααα x xx xx d 1)(ln d 1)(ln ==' x x x x x d cos )(sin d cos )(sin ==' x x x x x d sin )(cos d sin )(cos -=-='x a a a a a a x x x x d ln )(d ln )(=='2.5 导数的计算导数的加法法则设)(),(x v x u 在点x 处可导，则)()(x v x u ±在点x 处可导亦可导，且)()())()((x v x u x v x u '±'='± )())((x v c x cv '='（c 为常数）加法公式证明)()())()((x v x u x v x u '+'='+证：设)()()(x v x u x f +=，则)()()(x x v x x u x x f ∆++∆+=∆+，)()()(x v x u x f +=xx f x x f x v x u x f x ∆-∆+='±='→∆)()(lim))()(()(0xx v x u x x v x x u x ∆+-∆++∆+=→∆))()(())()((lim0])()()()([lim 0xx v x x v x x u x x u x ∆-∆++∆-∆+=→∆x x v x x v x x u x x u x x ∆-∆++∆-∆+=→∆→∆)()(lim)()(lim 00)()(x v x u '+'= 由已知条件，)(),(x v x u 均可导. 导数的乘法法则设)(),(x v x u 在点x 处可导，则)()(x v x u ⋅在点x 处可导亦可导，且)()()()())()((x v x u x v x u x v x u '+'=' )()()())((x v c x v c x v c x cv '='+'='导数除法法则设)(),(x v x u 在点x 处可导，则)()(x v x u 在点x 处可导亦可导，且 )()()()()())()((2x v x v x u x v x u x v x u '-'='（0)(≠x v ）例1 设函数1453+-=x x y ，求?='y析：现在分别知道幂函数和常数函数的导数公式，利用上述法则可求它们组合后函数的导数. 解： )1()4()5(3'+'-'='x x y （利用加法法则）1)(4)(53'+'-'=x x )())((x v c x cv '='=4152-x （利用导数公式0)(,)(1='='-c x x ααα）例2 设x x x y ln 243+-=，求y '.解：)ln 2()()4(3'+'-'='x x x y)(ln 2)()(43'+'-'=x x x （提示 xx xx 1)(ln 21)(='=' ）212x =xx221+-例3 设4cos 3xy x+=，求y '. 解：)4cos ()3('+'='x y x（提示x x a a a x x sin )(cos ln )(-='='）)sin (413ln 3x x -+=4sin 3ln 3xx -=例4 x x y ln 213+-=，?='y解：因为x x y ln 212123+-=（由对数的性质：x x x ln 21ln ln 21==）所以 xx y 21232+='（其中常数的导数为0）例5 设xx y e 2=，求y '.解：利用导数的乘法法则，)(e e )(22'+'='xxx x y （利用导数公式xx e )e (='）)2(e e e 22x x x x x x x +=+=例6 4x y =，求y '.解：<方法1> 由导数基本公式344)(x x =' <方法2> 利用导数的乘法法则224x x x y ⋅==3222222224422)()()()(x x x x x x x x x x x x y =⋅+⋅='⋅+⋅'='⋅='='说明无论用哪种方法其结果是唯一的. 例7 xxy sin =，求y '. 解：<方法1> 将函数看成x xy sin 1=，利用乘法法则求导. 22cos sin cos 1sin 1)(sin 1sin )1(x x x x x x x x x x x x y +-=+-='+'='<方法2> 利用导数的除法法则求导2sin cos )sin (xxx x x x y -='=' 其中x x v x x u ==)(,sin )(.两个结果是完全一样的. 例8 求)(tan 'x解：xx x x x x x x x 22cos 1cos )sin (sin cos cos )cos sin ()(tan =--⋅='=' （利用三角公式1cos sin 22=+x x ）同理可求x x 2sin 1)(cot -='. 2.5.2 复合函数求导法则问题：2)32(+=x y ，求?='y 100)32(+=x y ，则?='y解：第一个问题2)32(+=x y ，求导数没有直接公式可用.方法1：将函数展开9124)32(22++=+=x x x y利用加法法则有128+='x y方法2：将函数写成两个因式乘积的形式 )32)(32()32(2++=+=x x x y ，利用四则运算法则求导数.)32(4)32(2)32(2+=+++='x x x y第二个问题100)32(+=x y ，展开？共101项，求导很麻烦.写成因式乘积的形式，求导也将很麻烦.在这节课我们将介绍复合函数求导法则.讨论100)32(+=x y ，引进中间变量32+=x u9999)32(2002100d d d d d d +=⋅==='x u xu u y x y y 2.5.2 复合函数求导法则定理设y=f (u ),u=(x ),且u (x )在点x 处可导，y=f (u )在点u=x )处可导，则复合函数y=f ((x ))在点x 处可导，且)()(x u f y x φ''='或x u x u y y '⋅'='复合函数求导步骤·分清函数的复合层次，找出所有的中间变量；·依照法则，由外向内一层层的直至对自变量求导.多层复合的函数求导数对于多层复合的函数，即若)(),(),(x v v u u f y φϕ===，则)()()(x v u f y φϕ'''=' 或x v u x v u y y '⋅'⋅'='注意：多层复合的函数求导数仍是经过一切中间变量直至对自变量求导.问题: 求由方程122=+y x 所确定的隐函数)(x y y =的导数y '？解：先将y 从方程中解出来，得到21x y -=和21x y --=分别求导21x xy --='和21x xy -=' 将21x y -=和21x y --=分别代入，得 yx y -=' 01232=+--y x x （1）由（1）解得:)13(212+-=x x y 0e e =-+x xy y （2）在（2）中0),(=y x F 隐含)(x y y =隐函数求导方法步骤·方程两边求导，)(x y y =；·整理方程，求出y '.例1 求下列函数的导数或微分（1）xy 2e =，求.y ' 解：方法一: 由x x x x y e e e e )11(2⋅===+x x x y 222e 2e e =+='.这是用导数的乘法法则.方法二: 利用复合函数求导法则，设x u y u2,e ==x x u u u y 2e 2)e (='⋅'='（其结果是完全一样的) （2）x y e =，求.y ' 解：利用复合函数求导法则，设x u y u ==,e x u x u u x x u y e 2121e )e (⋅=⋅='⋅'='.（3）x y cos ln =，求y d .解：利用复合函数求导法则，设x u u y cos ,ln ==x x xx u u u y x u tan )sin (cos 1)(cos 1)(ln -=-='='⋅'=',x x y d tan d -= 例2 设21x y -= ，求).0(y '解：先求一般点上函数的导数，再将0=x 代入求得结果. 设21,x u u y -==，利用复合函数求导法则，221)2(21)1()(x x x ux u y x u --=-='-⋅'=',.0)0(='y 例3 设函数)2(sin 32x y +=，求y '. 解：（首先对函数进行分解，找出所有中间变量）322,sin ,x v v u u y +===,23cos 2x v u y ⋅⋅='2333)2cos()2sin(2x x x ⋅+⋅+=)2cos()2sin(6332x x x +⋅+= 例4 求函数321x y -=，求y '. 解：2311,x u u y -==)1()1(3121312'-⋅-='-x x y 322)1(32---=x x 例5 设函数x y 1cos 3=，求y '. 解: xv v u y u 1,cos ,3=== x v u u x v y )1()(cos )3(''⋅'=' [21)()1(---='='x x x ] )1)(sin )(3ln 3(2xv u --=)1)(1sin )(3ln 3(21cos x x x --=x x x 1cos 231sin 3ln ⋅⋅= 例6 求由方程122=+y x 所确定的隐函数)(x y y =的导数y '.解：方程两边对自变量x 求导数，此时y 是中间变量.022='+y y x ,解出yx y -='（与前面的结果相同）. 例7 求由方程0e e =++x y xy 所确定的隐函数)(x y y =的导数y '？解：方程两边对自变量x 求导数，此时y 是中间变量.0e e =+'++'x y y x y y ,解得注意：在隐函数的导数结果中常常含有y .例8 求双曲线1=xy 在点（1，1）处的切线斜率. 分析：此题是求隐函数在某点处的导数.解：因为0='+y x y ,所以xy y -=',且在点（1，1）处的切线斜率1)1,1(-='y2.6 高阶导数 )(x f 的高阶导数例1：4)(x x f = 34)(d )(d x x f xx f ='=22212)(d )(d d )d )(d d(x x f x x f x x x f =''==x x f xx f 24)(d )(d 33='''= 一般地，)(x f y =，函数的n 阶导数记为)(d d )()(x f y xy n n n n == 例1 求函数522-+=x x y 的二、三阶导数. 解： 14+='x y ，4=''y ，0='''y例2 求)1ln(x y +=的二阶导数至n 导数. 解： xy +='11，2)1(1)11()(x x y y +-='+=''=''， 32)1(1)!2()1(x y +-=''' … n n n x n y )1(1)!1()1(1)(+--=-。

《高等数学》第二章导数与微分

率线密度是质量增量与长度增量之比的极限问电流强度是电量增量与时间增量之比的极限题
2021年1月2日星期六
5
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二、导数的定义（Definition of Derivatives）
1. 函数在一点的导数与导函数.
定义1 设函数
在点的某邻域内有定义 ,
若
lim f (x) f (x0) lim y
6
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y f (x) f (x0) x x x0
若上述极限不存在 , 就说函数在点 x0不可导.
若 lim y , 也称
x0 x
在的导数为无穷大 .
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
此时导数值构成的新函数称为导函数.
记作: y ;
f (x) ;
三、反函数的求导法则
四、复合函数的求导法则
五、小结与思考题
2021年1月2日星期六
27
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一、问题的提出（Introduction）
1. 导数的定义
y xx0
f (x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
lim y x0 x
y f (x) f (x0) x x x0
lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
lim f (x0 h) f (x0 )
h0
h
2021年1月2日星期六
20
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2. 利用导数的定义得出以下导数公式：
(C) 0; (ln x) 1 ,

微积分基础(国家开放大学)---第2章---第1节---导数的概念

y 1 1 lim lim , x 0 x x 0 x0 x x0 2 x0 1 1 1 由y'| x x0 , 得 , x0 1. 2 2 x0 2
练习: 已知y x，求y.
解：D y = x + Dx x= Dx x + Dx + x
y x
1．变速直线运动的瞬时速度设一物体作变速直线运动，s表示物体从某个时刻开始到时刻t作直线运动所经过的路程s，则s是时间的函数，现在我们求物体在时刻的瞬时速度。假设物体在时刻 t 0 的位置为 s t , 在t0 t 时刻的位置 s t t ,
0
0
于是在 t 0 到 t0 t 这段时间内,物体走过的路程为
f ( x 0 h) f ( x 0 h) 2h
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:
(1)求函数的增量 y f ( x0 x ) f ( x0 );
f ( x 0 x ) f ( x0 ) y ( 2)求平均变化率 ; x x y ( 3)取极限，得导数 f ( x0 ) lim . x 0 x 注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
s st 0 t st 0
s st 0 t st 0 v t t
平均速度
令 t
0,
如果这个极限存在，就定义为物体在 t 0 时刻
的瞬时速度，即
s(t 0 t ) s(t 0 ) vt 0 lim v lim t 0 t 0 t
3）导数定义的几种等价形式。

微积分初步教案

《微积分初步》教案重庆广播电视大学九龙坡分校杨洪容教学过程：一．复习求积分方法，引入新课（涉及的公式及性质均用课件展示）用定义，基本积分公式及直接积分法求积分，回忆复合函数求导法，以求⎰xdx 2sin 引出换元积分法。

（9392-p，47p ）（提问）求函数f(x)的不定积分的方法:1、定义法：利用定义: F '(x)=f(x)(x ∈I)⇔⎰f(x)dx=F(x)+C,求函数f(x)的不定积分.2、基本积分表法：利用基本积分表中的9个基本积分公式（课件展示）和不定积分的两个性质:①⎰[f(x)+g(x)]dx=⎰f(x)dx+⎰g(x)dx ② ⎰kf(x)dx=k ⎰f(x)dx 利用基本积分表与积分的性质,所能计算的不定积分是非常有限的.因此,有必要进一步来研究不定积分的求法.求函数f(x)不定积分的实际过程中，我们不难发现，如果被积函数f(x)结构比较复杂时，我们很难用定义求出函数f(x)的不定积分。

例如，对函数x x x x f 3sin ln 1)(+=x >1, (临时板书)不能直接用公式求。

概括：由于基本积分表法求函数f(x)的不定积分，需要利用基本积分表中的公式，而基本积分表中的公式只有9个，这样能求不定积分的被积函数的种类和数量都太少，大量存在不定积分的被积函数。

（提问）复合函数的求导法是怎样的？换元积分法是把复合函数求导法则逆过来进行，通过适当的变量替换（换元，提示这是数学的基本思想方法），把某些不定积分化成基本积分表中所列函数的形式再计算出最终结果。

例如，对于不定积分⎰xdx2sin 不可以直接用基本公式⎰+-=cx xdx cos sin 来计算，其原因是被积函数x 2sin 是复合函数，x u u y 2sin ==，，假如我们以u 为积分变量，则dx du 2=，解出du dx 21=，于是⎰⎰⎰=•=udu du u xdx sin 2121sin 2sin 而在上一节中的基本积分公式表中的每一个公式，当以其他变量替代x 时仍然是成立的，即有c u du u +-=⎰cos sin 因此有注意到在求解中我们是将积分⎰xdx 2sin 转化为积分()⎰x xd 22sin 来进行的，而后一个积分是以x 2为积分变量的，故可视x u 2=，利用积分公式求出结果。

《高等数学(上册)》第二章

它们在数量关系上的共性，从而引入导数的概念．
2.1.2 导数的定义
1．函数在一点处的导数
定义 1 设函数 y f (x) 在 x0 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在点 x0 取得
改变量 x （ x0 x 仍在该邻域内，且 x 0 ）时，相应有函数的改变量
形下，仍简称为导数，记为 y ， f (x) ， dy ， df (x) ，即 dx dx
f (x) lim y lim f (x x) f (x) ．
x x0
x0
x
如果函数 f (x) 在开区间 (a ，b) 内可导，且 f(a) ， f(b) 都存在，我们称 f (x) 在闭区间[a ，b] 上可导．
极限位置 MT ，则称 MT 为曲线 C 在点 M (x0 ，y0 ) 处的切线．这个定义包含了中学
数学圆的切线定义．
2.1.1 导数产生的背景
下面我们求曲线 C : y f (x) 在点 M (x0 ，y0 ) 处切线的斜率 k ．如果 y f (x) 的
图像是直线，那么只要在直线上取定两点，这两点的纵坐标之差 y 与横坐标之差 x 的比值 y 就是直线的斜率．但现在 y f (x) 的图像是曲线，遇到了直与曲的
微分学内容由导数、微分及其应用组成，导数与微分是它的两个根本概念．
本章主要介绍导数和微分的概念及其计算方法．导数的应用将在下一章中研究．
2.1.1 导数产生的背景
为了说明微分学的基本概念——导数，我们先讨论两个问题：速度问题和切线问题．这两个问题在历史上都与导数概念的形成有密切的关系．
例 1 求变速直线运动物体的瞬时速度．设某物体做变速直线运动，在 [t1 ，t2 ] 时间内运动的路程为 s(t) (t [t1 ，t2 ]) ，求物体在时间 t0 [t1 ，t2 ] 的瞬时速度 v v(t0 ) ．如果质点做匀速直线运动，那么按照公式

《高等数学》上册(课件全集)第2章导数及微分

导数的几何意义
总结词
详细描述
总结词
详细描述
导数的几何意义是切线斜率。
对于可导函数，其在某一点的导数即为该点处的切线斜率。在几何上，导数表示曲线在该点的切线的斜率。这个斜率决定了切线的倾斜程度，进而决定了函数在该点的变化趋势。
导数决定切线的斜率和倾斜程度。
对于可导函数，其在某一点的导数决定了该点处切线的斜率和倾斜程度。如果导数大于0，切线斜率为正，表示函数值随自变量增大而增大；如果导数小于0，切线斜率为负，表示函数值随自变量增大而减小。因此，导数是研究函数图像和性质的重要工具。
导数的定义
总结词
导数定义是函数在某一点的切线斜率。
详细描述
导数可以理解为函数在某一点的切线斜率。对于可导函数，其在某一点的导数即为该点处切线的斜率。这个斜率决定了函数在该点的变化趋势，是研究函数行为的重要工具。
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点附近的变化率。
详细描述
导数表示函数在某一点附近的变化率，即函数值随自变量变化的速率。对于可导函数，其在某一点的导数值越大，表示函数在该点附近的斜率越大，即函数值变化越快；导数值越小，表示函数值变化越慢。
微分中值定理的应用非常广泛，是高等数学中重要的知识点之一。
05
导数与微分的应用
导数在几何中的Biblioteka 用切线斜率导数可以用来求曲线上某一点的切线斜率，从而了解曲线在该点的变化趋势。
函数单调性
通过导数可以判断函数的单调性，进而研究函数的增减性。
极值问题
导数可以用来研究函数的极值问题，确定函数在哪些点取得极值。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义是速度和加速度。

(20190627)微积分初步期末复习指导,课程教学答疑(文本)共8页

（2012.06.27）微积分初步期末复习指导，课程教学答疑（文本）赵坚：各位老师、各位同学，大家好！现在是12春微积分初步课程的教学活动时间，欢迎大家的参与。

付必胜：赵老师，现在已到复习阶段，同学们非常关心考试的重点。

能否请您在这里就重点做个讲解？赵坚：我们考试的重点基本上在基本概念和基本计算，应用部分主要是几何问题的求最值。

复习主要以作业册和复习指导中综合练习为主。

赵坚：今天活动的主题是：课程的期末复习和教学、学习中的问题答疑。

付必胜：―赵老师，现在已到复习阶段，同学们非常关心考试的重点。

能否请您在这里就重点做个讲解？赵坚：我们会在活动中介绍课程的考核内容和考核要求，并给一份模拟试题，供大家复习中参考。

付必胜：―赵老师，能否请您现在将此份模拟试题发给我们。

我们原计划安排今晚最后一次课组织模拟考试，用您此套试题进行模拟是最好不过的了。

我现在好去复印模拟试题。

赵坚：我现在就发杨海燕：考试的题型和过去相同吧？赵坚：课程的考试时间：7月8日8：30——10：00。

考试方式：闭卷笔试，90分钟。

考核形式与考核成绩确定考核形式：作业考核和期末考试相结合。

考核成绩：满分为100分，60分为及格，其中平时作业成绩占考核成绩的30％，期末考试成绩占考核成绩的70％。

在考题试卷中为学生提供导数与积分的基本公式。

一、函数、极限与连续考核要求1．了解常量和变量的概念；理解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念.熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法；掌握将复合函数分解成较简单函数的方法。

2．了解极限概念，会求简单极限。

3．了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点。

二、导数与微分部分考核要求1．了解导数概念，会求曲线的切线方程。

2．熟练掌握求导数的方法(导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则)，会求简单的隐函数的导数。

3．了解微分的概念，掌握求微分的方法。

4．了解高阶导数的概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。

微积分初步辅导二

《微积分初步》单元辅导二——导数与微分部分学习重难点解析(一)关于导数的概念函数的导数是一个增量之比的极限，即xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(limlim )(00 我们把x y ∆∆称为函数的平均变化率，把x y x ∆∆→∆0lim 称为变化率，若xy x ∆∆→∆0lim 存在则可导，否则不可导.导数是由极限定义的，故有左导数和右导数.)(x f 在点0x 处可导必有函数)(x f 在点0x 处左右导数都存在且相等.(二)导数、微分和连续的关系由微分的定义x x f y d )(d '=可知(1)函数的可导与可微是等价的，即函数可导一定可微；反之可微一定可导.(2)计算函数)(x f 的微分y d ，只要计算出函数的导数)(x f '再乘上自变量的微分x d 即可；因此，我们可以将微分的计算与导数的计算归为同一类运算.(3)由定理可知，连续是可导的必要条件，那么，函数可微也一定连续.反之不然，即连续函数不一定是可导或可微函数.(三)导数的几何意义由切线问题分析可知，函数)(x f y =在点0x 处的导数就是曲线)(x f y =在点（0x ，))(0x f 处切线的斜率。

于是，)(x f y =在点（0x ，)0y 处的切线方程为(四)关于导数的计算掌握导数的计算首先要熟记导数基本公式和求导法则.在我们这门课程中所学习的求导法则和方法有：(1)导数的四则运算法则；(2)复合函数求导法则；(3)隐函数求导方法. 对于上述法则和方法在实用中要注意其成立的条件.在导数的四则运算法则中，应该注意乘法法则和除法法则，注意它们的构成形式并注意解题的技巧.例如，xx y -=1，求1=''x y .这是一个分式求二阶导数的问题，形式上应该用导数的除法法则求解，但是，如果将函数变形为2121x x y -=-再求导数就应该用导数的加法法则了.假如我们掌握了一些解题的技巧，会使我们的运算变得简单还会减少错误.复合函数求导数是学习的重点也是难点，它的困难之处在于对函数的复合过程的分解.由复合函数求导法则知，复合函数)(),(x u u f y ϕ==的导数为：)()(x u f y x ϕ''='在求导时将))((x f y ϕ=分解为)(),(x u u f y ϕ==(其中u 为中间变量)，然后分别对中间变量和自变量求导再相乘.那么如何进行分解就是解题的关键，一般的说，所设的中间变量应是基本初等函数或基本初等函数的四则运算，这样就会对于)(),(x u u f y ϕ==分别都要有导数公式或法则可求导.如果分解后找不到求导公式，则说明分解有误.例如函数x y 2sin =，其分解为x v v u u y ===,sin ,2.于是分别求导为，v u u y v ucos ,2='='，xv x 21='.相乘得到x xxx x y x 2sin 2121cos sin2⋅=⋅⋅='.有一种错误的分解是x u u y ==,sin 2，这样在求导时会发现没有导数公式可以来求uy '. 隐函数的特点是变量y 与x 的函数关系隐藏在方程中，例如y x y sin 1+=，其中的y sin 不但是y 的函数，还是x 的复合函数.所以对于y sin 求导数时应该用复合函数求导法则，先对y 的函数y sin 求导得y cos ，再乘以y 对x 的导数y '.由于y 对x 的函数关系不能直接写出来，故而只能把y 对x 的导数写为y '.一般地说，隐函数求导数分为下列两步：① 方程两边对自变量x 求导，视y 为中间变量，求导后得到一个关于y '的一次方程； ② 解方程，求出y 对x 的导数y '.总之，导数公式和求导法则是要靠练习来熟悉和理解的，我们应该通过练习掌握方法并从中获得技巧.微积分初步学习辅导——导数与微分部分典型例题例1 求下列函数的导数或微分：(1)设3333log 3-++=x x y x ，求y '.；(2)设322xx y -=，求y d(3)设x x y cos 1sin +=，求)3(πy '.分析这三个函数都是由基本初等函数经过四则运算得到的初等函数，求导或求微分时，需要用到导数基本公式和导数的四则运算法则.对于(1)先用导数的加法法则，再用导数基本公式；对于(2)，可以先用导数除法法则，再用基本公式；但注意到(2)中函数的特点，先将函数进行整理，32313222--=-=x x xx y ，则可用导数的加法法则求导，得到函数的导数后再乘以x d ，得到函数的微分；对于(3)用导数除法法则，再用基本公式.解 (1))3log 3(333'-++='x x y x =)3()(log )3()(333'-'+'+'x x x=03ln 13ln 332-++x x x=3ln 13ln 332x x x ++ (2)因为32313222--=-=x x xx y所以353232313431)(2)(---+='-'='x x x x y ，于是 x x x x y y d )3431(d d 3532--+='=.(3)因为2)cos 1()cos 1(sin )cos 1()(sin x x x x x y +'+-+'=' =2222)cos 1(sin cos cos )cos 1()sin (sin )cos 1(cos x xx x x x x x x +++=+--+=x cos 11+ 所以)3(πy '==+=3cos 11πx x322111=+ 在运用导数的四则运算法则应注意：① 在求导或求微分运算中，一般是先用法则，再用基本公式； ② 把根式qp x 写成幂次qp x 的形式，这样便于使用公式且减少出错；③ 解题时应先观察函数，看看能否对函数进行变形或化简，在运算中尽可能的避免使用导数的除法法则. 如例1中的(2)小题，将322xx y -=变形为32313222--=-=x x xx y 后再求导数，这种解法比直接用除法法则求解要简便且不易出错.④导数的乘法和除法法则与极限相应的法则不同，运算也相对复杂得多，计算时要细心.例2 求下列函数的导数或微分：(1) 设xy 1sin e =，求y d .；(2) 设)1ln(2x x y +-=，求)3(y '.(3) 设102)1(+=x x y ，求y '. 分析采用复合函数求导法则，所设的中间变量应是基本初等函数或基本初等函数的四则运算.求导时，依照函数的复合层次由最外层起，向内一层层地对中间变量求导，直至对自变量求导为止.解 (1)设xv v u y u1,sin ,e ===，利用复合函数求导法则，有代回还原得)1(1cos e21sin xx y x-='，x y y d d '=x x x x d )1(1cos e 21sin -=在基本掌握复合函数求导法则后，也可以不写出中间变量，如下解法：(2)设1,,ln 2+=-==x v v x u u y ，利用复合函数求导法则，有代回还原得)11(1122+-+-='x x x x y 112+-=x ，21131)3(-=+-='y 或着)1(1122'+-+-='x x x x y ])1(1211[11222'++-+-=x x x x(3)设1,,210+===x v vxu u y ，利用复合函数求导法则和导数的四则运算法则有，代回还原得11229222292)1()1(10)1(21)1(10+-=+-+⋅+='x x x x x x x x y 或着22292292)1(21)1(10)1()1(10+⋅-++='++='x xx x x x x x x x y 例3求下列方程所确定的隐函数的导数y '或微分y d ：(1)022=++xy y x ，求y d ； (2) x x y xy2cos ln e=+，求y '.分析隐函数的特点是：因变量y 与自变量x 的对应关系是隐藏在方程中的.因此，在求导数时，不要忘记y 是x 的函数，在对y 的函数求导后切记再乘以y 对x 的导数y '.依隐函数求导数的步骤求导. 解(1)[方法1] 由导数得到微分.方程两边对自变量x 求导，视y 为中间变量，有0)(22='++'+y x y y y x ，即)2()2(x y y y x +-='+整理方程，解出y '，得：y x x y y 22++-='，y d =x yx xy x y d 22d ++-=' [方法2] 方程两边对变量求微分，这时变量y 和x 的地位是相同的，即不再将y 看作x的函数.0)d(22=++xy y x ，0d d d 2d 2=+++y x x y y y x xy d =x yx xy d 22++-(2)方程两边对自变量x 求导，视y 为中间变量，有于是 xy xyy xyx y x x e 2sin 2)ln e(---='+整理方程解出y '，得：xx x yx y x x x x y x yx y xyxy xy xyln e e 2sin 2ln e e 2sin 22+++-=+++-='. 例4 求由曲线422=++y xy x 在点)2,2(-M 的切线方程. 分析如果函数)(x f y =可导，函数曲线在点0x 处的切线方程为因此求曲线在某点处的切线方程，必须知道两点：①曲线在点0x 处的导数)(0x f '；②切点),(00y x .此题中，切点)2,2(-M 已知，只需对隐函数方程求导数，求出)(0x f '.解方程两边对x 求导，得：022='+'++y y y x y x 解出y '，得yx yx y 22++-='，122-='-==y x y于是，在点)2,2(-M 的切线方程为：)2(1)2(-⨯-=--x y ，即4-=x y请注意：求曲线的切线方程是导数概念的一个重要应用，一般地，在题目中只给出切线方程的两个要点中的一个，另一个是要根据已知条件求出来的.再则，如果已知条件中只给了切点的横坐标0x ，那么纵坐标0y 可以通过)(00x f y =得到.例5 求函数x x y ln =的二阶导数.分析函数的二阶导数为函数一阶导数的导数.(如果仍然可导). 解因为 )1ln 21(11ln 21+=⋅+='x x x x x xy 所以 x x xx x x y ln 41121)1ln 21(212323---=⋅++-=''.微积分初步学习辅导——导数的应用部分学习辅导一、学习重、难点解析（一）函数的单调性与极值：函数的单调性判别法，函数极值及其求法。

第2章导数与微分78380

例6 求函数 y2x35x23x7的导数.
解： y6x210 x3
例7
f(x)x34cosxsin2，求
f (), f (x).
2
解：f(x)3x24sixn，
f

2
3
4
2 4
★注意

f

2

0
例8 求函数 yex(sixncoxs) 的导数.
x
x
3）求极限：f (x) lim f (x x) f (x) C C 0
x 0
x
x
结论：常数的导数为 0，即： (C) 0 .
例 2 求 y x 的导数．
解：1）求增量： y (x x) x x
2）算比值： y x 1 x x
s
inxcoxssinxcoxs
co2sx
co2csxo2ssxi2nxse2cx
同理：coxt cs2cx
例10 求函数 ysexc的导数.
解：ysexcc1oxscco2ox xss
sixs ne 2xc se xtc axn
称瞬时速度 v 为函数 s(t) 相对于自变量 t 的变化率.
通过上例，再研究式（1）
v liv m li m s lis m (t0 t) s(t0 )（式1）
t t 0 t 0 t 0
t
结论：其数学结构可归结为：
lim f (x0 x) f (x0 ) ，
一、导数的概念
1、变化率问题举例
设质点作直线运动，其位置函数(运动方程)
为 s s(t) ．其中 t 是时间，s 为路程，求t0
时刻的瞬时速度 v ．

同济大学(高等数学)_第二章_导数与微分知识分享

3 x) 3x
f (x0 )
3 f ( x0 )
6．
（ 2） lim f ( x0 h) f ( x0 h) lim f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 h)
h0
h
h0
h
lim f (x0 h)
h0
h
f (x0)
lim f (x0
h0
h) f (x0) h
2 f ( x0 )
内可导；
（ 2）若函数 y f ( x) 在区间 (a, b) 内可导，在区间左端点 a 的右导数 f (a) 和区间右
端点 b 的左导数 f (b) 均存在，则称 y f (x) 在闭区间 [ a,b] 上可导．定义 4 若函数 y f ( x) 在区间 I （可以是开区间、闭区间或半开半闭区间）上可导，
x
x x0
x x0
值为 y f ( x) 在点 x0 的左导数，记为 f ( x0 ) ，即
f ( x0 ) lim f ( x0 x0
x)
f (x0)
f (x) lim
f ( x0 ) ．
x
x x0
x x0
（ 2）设函数 y f ( x) 在点 x0 的某右邻域内有定义，当自变量 x 在点 x0 右侧取得增量
v(t0 ) lim v t0
1.1.2 平面曲线的切线斜率问题
s lim t0 t
lim s(t0
t0
t) s(t0) ． t
已知曲线 C : y f ( x) ，求曲线 C 上点 M 0 ( x0 , y0 ) 处的切线斜率．
欲求曲线 C 上点 M 0( x0 , y0) 的切线斜率，由切线为割线的极限位置，容易想到切线的