初三几何探究题
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寒假提高班材料六:几何探究题
1、如图1,图2,图3,在ABC △中,分别以AB AC ,为边,向ABC △外作正三角形,正四边形,正五边形,BE CD ,相交于点O .
①如图1,求证:ABE ADC △≌△; ②探究:如图1,BOC ∠= o ; 如图2,BOC ∠= o ; 如图3,BOC ∠= o .
(2)如图4,已知:AB AD ,是以AB 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边;
AC AE ,是以AC 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边.BE CD ,的延长相交于点O . ①猜想:如图4,BOC ∠= o (用含n 的式子表示);
②根据图4证明你的猜想.
2、请阅读下列材料:
问题:如图1,在菱形ABCD 和菱形BEFG 中,点A B E ,,在同一条直线上,P 是线段()()a a b a b +-的中点,连结
PG PC ,.若60ABC BEF ∠=∠=o ,探究PG 与PC 的位置关系及
PG
PC
的值. 小聪同学的思路是:延长GP 交DC 于点H ,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决. 请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:
(1)写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PG PC 的值;
(2)将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转,使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在(1)中得
到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.
(3)若图1中2(090)ABC BEF ∠=∠=< PG PC 的值(用含α的式子表示). 3、如图,等腰梯形ABCD 中,AB =4,CD =9,∠C =60°,动点P 从点C 出发沿CD 方向向点D 运动,动点Q 同时以相同速度从点D 出发沿DA 方向向终点A 运动,其 中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动. (1)求AD 的长; (2)设CP =x ,问当x 为何值时△PD Q 的面积达到最大,并求出最大值; (3)探究:在BC 边上是否存在点M 使得四边形PD Q M 是菱形?若存在,请找出 点M ,并求出BM 的长;不存在,请说明理由. 4、已知矩形ABCD 和点P ,当点P 在BC 上任一位置(如图(1)所示)时,易证得结论:2222 PA PC PB PD +=+, D A B E F C P G 图1 D C G P A B E F 图2 请你探究:当点P分别在图(2)、图(3)中的位置时,2222 PA PB PC PD 、、和又有怎样的数量关系?请你写出对上述两种情况的探究结论,并利用图(2)证明你的结论. 答:对图(2)的探究结论为____________________________________. 对图(3)的探究结论为_____________________________________. 5、如图,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处.(1)直接写出点E、F的坐标; (2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴 ...于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形,求该抛物线的解析式; (3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小?如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由. 6、如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连结BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系: (1)①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系; ②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,得到如图2、如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断. (2)将原题中正方形改为矩形(如图4—6),且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb (a≠b,k>0),第(1)题①中得到的结论哪些成立,哪些不成立?若成立,以图5为例简要说明理由. (3)在第(2)题图5中,连结DG、BE,且a=3,b=2,k= 1 2 ,求22 BE DG +的值. 7、正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F。如图1,当点P与点O重合时,显然有DF=CF. ⑴如图2,若点P在线段AO上(不与点A、O重合),PE⊥PB且PE交CD于点E。 ①求证:DF=EF; ②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,并证明你的结论; ⑵若点P 在线段OC 上(不与点O 、C 重合),PE ⊥PB 且PE 交直线CD 于点E 。请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立?若不成立,写出相应的结论(所写结论均不必证明) 8、将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中,(00)O ,,(60)A ,,(03)C ,.动点Q 从点O 出发以每秒1个单位 长的速度沿OC 向终点C 运动,运动2 3 秒时,动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动.当其中一点到达终点时,另一点也停止运动.设点P 的运动时间为t (秒). (1)用含t 的代数式表示OP OQ ,; (2)当1t =时,如图1,将OPQ △沿PQ 翻折,点O 恰好落在CB 边 上的 点D 处,求点D 的坐标; 9、(1)探究新知:如图1,已知△ABC 与△ABD 的面积相等, 试判断AB 与CD 的位置关系,并说明理由. (2)结论应用: ① 如图2,点M ,N 在反比例函数x k y = (k >0)的图象上,过点M 作ME ⊥y 轴,过点N 作NF ⊥x 轴,垂足分别为E ,F . 试证明:MN ∥EF . ② 若①中的其他条件不变,只改变点M ,N 的位置如图3所示,请判断 MN 与EF 是否平行. P(O) B A 图1 图2 O B A P O B A 图3 P 图1 O P A x B D C Q y x O y N M 图 2 E F N x O y D M 图 3 N A B D C 图 1