初中数学竞赛第04讲 直角三角形 真题讲解

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A
第6讲 直角三角形
看不起欧氏几何，就好像是从国外回来看不起自己的故乡。

——H.G.弗德
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有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

它的两个锐角互为余角；两直角边的平方和等于斜边的平方（即勾股定理，我们会在另外一讲专题讨论）。

关于直角三角形有如下两个重要的定理：
①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
②直角三角形中，如果有一个锐角是30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

上述两个命题的逆命题也是成立的：
①如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；
②直角三角形中，若有一条直角边等于斜边的一半，则它所对的角等于30 º 判定两个直角三角形全等，除了一般的三角形全等的方法外，还有“斜边、直角边”的方法。

经典例题解析
例1．（2002年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题）如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，沿过点B 的一条直线BE 折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点为D ，要使点D 恰为AB 的中点，问在图中还需添加什么条件？
（1）写出两个满足边的条件；
（2）写出两个满足角的条件；
（3）写出一个满足除过、角以外的其他条件。

解 要使D 为AB 的中点，可添加下列条件之一：
角的关系：
①∠A ＝∠DBE ； ②∠A ＝∠CBE ；
③∠DEA ＝∠DEB ； ④∠DEA ＝∠BEC ；
⑤∠A ＝30°； ⑥∠CBD ＝60°；
⑦∠CED ＝120°； ⑧∠AED ＝60°。

边的关系：
①AB ＝2BC ；②AC ＝3BC ；③2AC ＝3AB ； ④BE ＝AE 。

三角形的关系：△BEC ≌△AED 。

例2．（1995年广州，武汉，福州，西安，洛阳五市初中数学联赛试题）如图，D ，E 是等边△ABC 两边上的两个点，且AE=CD ， 连结BE ，AD 交于点P ，过B 点作BQ ⊥AD 于Q ，
求证：BP ：PQ=2。

证明 在△CAD 与△ABE 中，CA=AB ，
B C
B
A
∠C=∠EAB，CD=AE，
故△CAD≌△ABE。

于是∠CAD=∠ABE。

于是∠QPB=∠PAB+∠PBA=∠PAB+∠PAE=60º。

又BQ⊥AD，所以∠QBP=30º，于是PQ=1
2
BP，即BP：PQ=2。

例3．(1986年成都市初二数学竞赛试题)已知△ABC中,AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，求证：BE=3AE。

证明因AB=AC，∠A=120°，故∠B=∠C=30°。

又D是BC的中点，故AD⊥BD。

在Rt△ADB中，AD=1
2 AB。

因DE⊥AB，∠ADE=90º-∠B AD=∠B=30°，
所以AE=1
2
AD 。

于是
BE=AB-AE=2AD-AE=4AE-AE=3AE。

例4．如图, 已知△ABC中, ∠B＝30°, ∠C＝15°, D是BC上一点,
∠CAD＝90°, 求证：CD＝2AB.
证明取DC中点M, 连结AM, 则AM=NC=MD，于是∠CAM＝∠C，所以∠AMD＝∠CAM+∠C= 2∠C＝30°＝∠B, 即AM=AB。

故CD＝2AM＝2AB.
例5．如图，ΔABC中，BD，CE是两条高，
F，G分别是BC，DE的中点，求证：FG⊥DE。

证明如图，连接FD,FE。

∵BD⊥AC, F为BC的中点，
∴DF=1
2 BC.
同理，EF=1
2
BC,∴DF=EF.
而G为DE的中点，∴FG⊥DE.
例6（1993年北京市初中数学竞赛试题）△ABC中，∠B=900，M为AB上一点，使AM=BC，N为BC上一点，使得CN=BM，连接AN，CM交于P点，试求∠APM的度数，并写出你的推理证明的过程。

解如图，过C作CD∥AB，且CD=AM，连接
DN，则四边形AMCD为平行四边形，有AD∥
AD=CM。

因AM=BC，故DC=BC，
2
3
B C 又∠DCN=∠B=900，CN=BM ，故Rt △DCN ≌Rt △CBM,
所以DN=CM. 从而有DN=AD ，
而且 ∠ADN=∠MQN= ∠MCB+∠QNC= ∠MCB+∠CMB =900,
故△AND 是等腰直角三角形，∠DAN=450.于是∠APM=∠DAN=450. 例7. (1998-1999学年度天津市初二数学竞赛试题)
如图所示．∠A=90°，AB=AC ，M 是AC 边的中点，
AD ⊥BM 交BC 于D ，交BM 于E ．求证：
∠AMB=∠DMC ．
分析 从图形观察∠AME 与∠DMC 所在的两个三角形△AME 与△DMC 显然不全等，但是这两个三角形中有其他相等元素：AM=MC ．若能利用已知条件在现有的三角形中构造出新的对应相等的元素，形成全等三角形，这是理想不过的事．由于∠C=45°，∠A=90°，若作∠A 的平分线AG ，则在△AGM 中，
∠GAM=45°=∠C ．结合求证中的∠AMB=∠DMC(这当然不能作为已知，但在分析中可以“当作已知”来考虑，以便寻找思路)，我们可以断言△AGM“应该”与△CDM 全等！为此，只要在这两个三角形中求得一组边相等即可．图形及条件启发我们可考虑去证明△AGB ≌△CDA ．
证明 作∠BAC 的平分线AG ，交BM 于G 。

在△AGB 与△CDA 中，因为AB=CA ，∠BAG=∠ACD=45°，
∠ABG=90°-∠AMB ， ①
∠MAD=90°-∠EAB ． ②
由于在Rt △MAB 中，AE ⊥BM ，所以∠AMB=∠EAB ．由①，②，
∠ABG=∠MAD ，所以△AGB ≌△ADC(ASA)，于是 AG=CD ．
在△AMG 与△CMD 中，还有 AM=MC ，∠GAM=∠DCM=45°，所以 △AMG ≌△CMD ，从而 ∠AMB=∠DMC ．
例8.（1999年武汉市初中选拔赛试题）如图，在RtΔABC 中，CD 是斜边AB 上的高，O ，O 1，O 2分别是ΔABC ，ΔACD ，ΔBCD 的角平分线的交点，求
证：（1）O 1O ⊥CO 2；（2）O 1O=CO 2。

证明 (1)由题设O,O 1都在∠A 的平分线上，
设该平分线交C O 2于E 。

因∠A=∠DCB,故∠EAC=∠O 2CB ，
于是∠EAC+∠ACE=∠O 2CB+∠ACE=90º，
故∠AEC=90º，O 1O ⊥CO 2。

（2）由于点O 1 ，O 2分别在∠ACD 和∠DCB
角的平分线上，故∠O 1 CO 2=45 º， 由（1）∠O 1EC=90º，有CE=E O 1 。

同理设O 2O 交C 于F ，则O 2F ⊥CF ，∠O O 2 E=45 º，有O 2 E =EO 。