高中数学新人教A版必修四课件：2.3.1-2平面向量的基本定理及坐标表示
高一数学人教A版必修4课件：2.3.1 平面向量基本定理
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的 中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a，A→C
＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C
明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解 决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向 量向基底化归，使问题得以解决.
明目标、知重点
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹 角为 π－∠CAB.
明目标、知重点
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
明目标、知重点
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
人教A版高中数学必修四(2.3.1-2平面向量的基本定理及坐标表示)
B
N
PC
O
MA
思考3：在下列两图中，向量 OA,OB,OC 不共线，能否在直线OA、OB上分别找一
点M、N，使 OM ON OC ？
B
N
C
B
N
C
OA M
AO
M
B
N
C
B
N
C
OA M
AO
M
思考4：在上图中，设 OA=e1，OB=e2，
OC =a，则向量OM,ON 分别与e1，e2的
关系如何？从而向量a与e1，e2的关系如
探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示
思考1：不共线的向量有不同的方向，对 于两个非零向量a和b，作OA a，OB b， 如图.为了反映这两个向量的位置关系， 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜？
ab
B
b [0°，180°]
O aA
思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则 称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直 的两个向量能否作为平面内所有向量的 一组基底？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
►Never underestimate your power to change yourself! 永远不要低估你改变自我的能力！
►Living without an aim is like sailing without a compass. 生活没有目标，犹如航海没有罗盘。
高中数学必修四人教A版 课件《2-3平面向量的基本定理及坐标表示-1》
上一页
返回首页
下一页
-6-
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打 “√”,错误的 打“×”. (1)平面内任意两个不共线的向量都可作为一组基底 . ( ) (2)基底中的向量可以是零向量. ( ) (3)平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的线性分 解形式也是唯一确定的. ( ) (4)若 ae1+be 2=ce1+de2(a,b,c ,d∈R),则 a=c,b=d. ( ) 答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)×
思 维 脉 络
上一页
返回首页
下一页
-3-
1.平面向量基本定理 定 理 基 底 条 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向 件 量 结 对于这一平面内的任意向量 a,有且 论 只有一对实数 λ 1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e 2 把不共线的向量 e 1,e 2 叫做表示这一平 面内所有向量的一组基底
上一页
返回首页
下一页
-4-
2.两向量的夹角与垂直 定义 图示 θ=0° a 与 b 同向 θ=180° a 与 b 反向 θ=90° a 与 b 垂直 ,记作 a⊥b 已知两个非零向量 a 和 b, 作 ������������=a,������������ =b,则 ∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
上一页
返回首页
下一页
-1-
2.3.1
平面向量基本定理
上一页
返回首页
下一页
-2-
学 习 目 标 1.了解 平面基底的含义,并能判断基 底. 2.理解 并掌握 平面向量基本定理,会 用基底表示平面内的任一向量. 3.掌握 两个向量夹角的定义以及两 个向量垂直的定义 .
高中数学人教A版 必修4第二章课件 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
a b x1y2 x2 y1 0
例1.已知 a (4, 2),b (6, y)，且 a b，求y。
例2.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)，试判断A、B、C三点 之间的位置关系。
例3.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是 (x1, y1), (x2 , y2 )。
1.复习:
⑴向量共线定理
b 向量 与 非零向量 a共线,当且仅当有
唯一的一个实数λ ，使 b a
当 0时， b 与 a 同向， 且| b |是 | a |的 倍; 当 0时， b 与 a 反向， 且| b |是 | a |的| |倍; 当 0时， b 0 ，且 | b | 0。
作法:
,作OA 2.5e1
, OB 3e2.
2.作 OACB.
则，OC就是所求的向量
C
B
-2.5e1
e1
e2
3e2
A
O
例2 : 如图， ABCD的两条对角线相交于点M ,且 AB a，AD b，用a、b表示MA、MB、MC和MD.
解：在 ABCD中，
D
C
AC AB AD a b
b
M
DB AB AD a b A
MA 1 AC a b a b
2
2 22
MB 1 DB a b a b
2
2 22
MC 1 AC MA a b
2
22
MD 1 DB MB a b
2
22
aB
练习:
例3.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是 (x1, y1), (x2 , y2 )。
人教A版高中数学必修4课件2.3平面向量的基本定理及坐标表示(一)课件
C
B
(2) 如图，平面内有A、B两 3
点，能否用坐标来表示向 2 a
量AB 呢？
1
j
Ax
Oi1 2 3 4
平面向量的坐标表示
(1) 如图，若| i || j | 1，以向量i、j为基
底 表 示 向 量a .
y
a 2i 3 j 即：a （2,3） 4
C
B
(2) 如图，平面内有A、B两 3
a
A'
M
C
N
讨论：
⑶ 继续旋转a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边形？
Ca
A
e1
O
e2 B
讨论：
⑶ 继续旋转a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边形？
A
C
a
e1
e1
O
A' e2
B
讨论：
⑶ 继续旋转a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边形？
B' e2 A
C
a
e1
(2) 同一平面内的任一向量是否都可以用
形如 1e1 2 e2 的向量表示？
平面向量基本定理：
观察如图三个不
共线向量e1 、a 、e2 , 它 们之间会有怎样的关 系呢？
e1 a e2
平面向量基本定理：
观察如图三个不 共线向量e1 、a 、e2 , 它
e1 a
们之间会有怎样的关
系呢？
e2
给定基底后，任意一个向量的 表示是唯一的．
定理的应用：
例1. 如图，已知向量e1、 e2 , 求作向量a，
使
a
2 e1
3e2
.
人教A版必修四 2.3.1 平面向量基本定理 课件(34张)
其中正确的说法是( B )
A．①②
B．②③
C．①③
D．②
【解析】因为不共线的两个向量都可以作为一组基 底，所以一个平面内有无数多个基底，又零向量和 任何向量共线，所以基底中不含有零向量．因此本 题中，①错，②、③正确，故选 B.
2．在等边三角形 ABC 中，A→B与B→C的夹角等于( C )
A．60°
r ur uur 即 a 1e1 +2 e2.
e1
e2
a
N A
B
C O
uuur uuuur uuur
如图, OC OM ON,
M
uuuur uuur ur uuur uuur uur
因为OM 1OA 1e1,
uuur ur uur
ON 2 OB 2 e2,
所以OC 1e1 2 e2,
数λ1,λ2 ,使
a 1e1 2 e2
说明：① ②
areur1是，e平uur2 面是内两的个任不意共向线量的；向量；
③ λ1，λ2为实数，且唯一确定.
我们把不共线的向量
ur e1
，euur2
叫做这一平面内所有向量
的一组基底.
不共线向量有不同方向，它们的位置关系可用夹角
来表示.关于向量的夹角,我们规定:
那么对于这一平面内的任意向量 有且只有
一对实数
使
.
不共线的向量 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底.
r ur uur
即 a 1e1 +2 e2.
r ur uur
a 1e1 +2e2
这就是说平面内任 r
一向量a都可以表示 ur uur ur uur
成1e1 2 e2 (e1, e2 不共线)的形式.
高中数学人教A版必修4PPT课件：平面向量的基本定理及坐标表示
必修4
首页
上一页 下一页
2020年12月27日星期日
解：1OP 1 2
OP1 OP2
x1
2
x2
,
y1
2
y2
，
所以点P的坐标为
x1
2
x2
,
y1
2
y2
.
必修4
首页
上一页 下一页
2020年12月27日星期日
2 如果P1P
1 2
PP2，那么
OP
OP1
P1P
OP1
1 2
P1P2
首页
上一页 下一页
2020年12月27日星期日
高中数学人教A版必修4PPT课件：平面 向量的 基本定 理及坐 标表示
向量的坐标表示
• 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方 向相同的两个单位向量i、j作为基底， 则对于平面内的一个向量a，有且只有
一对实数x、y使得a=xi+yj，
• 把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记 作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标，y 叫做a在y轴上的坐标，显然， i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
必修4
首页
上一页 下一页
2020年12月27日星期日
练一练 • 已知O是坐标原点，点A在第 • 一象限，xOA 60 ,
| OA | 4 3 ，求向量 OA 的坐标.
解：设点A x, y ，则
x 4 3 cos 60 2 3, y 4 3 sin 60 6
即A 2 3, 6 ，所以OA 2 3, 6 .
必修4 高中数学人教A版必修4PPT课件：平面向量的基本定理及坐标表示
首页
上一页 下一页
高中数学《2.3.1平面向量的基本定理及坐标表示》课件2 新人教A版必修4
解 如图所示， ∵O→B⊥O→A.不妨设O→C＝2， 过 C 作C→D⊥O→A于 D，C→E⊥O→B于 E， 则四边形 ODCE 是矩形， O→C＝O→D＋D→C＝O→D＋O→E. ∵O→C＝2，∠COD＝30°，∴D→C＝1，O→D＝ 3，
规律方法 (1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减 法的三角形法则或平行四边形法则结合实数与向量的积的定 义，解题时要注意解题途径的优化与组合． (2)将向量 c 用 a，b 表示，常采用待定系数法，其基本思路是 设 c＝xa＋yb，其中 x，y∈R，然后得到关于 x，y 的方程组求 解．
∵|a|＝|b|， ∴▱OACB 为菱形， ∴∠AOC＝12∠AOB，∠ABC＝12∠OBC， 由已知得∠AOC＝∠ABC， ∴∠AOB＝∠OBC＝90°，即 a 与 b 的夹角为 90°.
题型三 利用平面向量基本定理求参数 【例 3】 已知O→A＝1，O→B＝ 3，∠AOB＝90°，点 C 在∠AOB 内，且∠AOC＝30°.设O→C＝mO→A＋nO→B(m、n∈R)，求mn 的值． [思路探索] 利用平面向量基本定理、共线和待定系数法求解．
记作 a⊥b.
名师点睛 1．准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的． (2)平面向量基本定理中，实数 λ1，λ2 的唯一性是相对于基底 e1， e2 而言的，平面内任意两个不共线的向量都可作为基底，一旦 选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．
又∵O→B＝ 3，O→A＝1，故O→D＝ 3O→A，O→E＝ 33O→B，
∴O→C＝ 3O→A＋ 33O→B，
此时 m＝ 3，n＝ 33，∴mn ＝ 33＝3. 3
高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理课件新人教A版必修4 (1)
③∵e1-2e 2= − 2 (4e2-2e1),∴e 1-2e 2 与 4e 2-2e1 共线 ,即 e1-2e2 与
4e2- 2e1 不可作为一组基底 ; ④设 e1+e2=λ(e1-e2),则 (1-λ)e1+(1+λ)e2=0, 1-������ = 0, 无解,∴e1+e2 与 e1-e2 不共线 ,即 e1+e2 与 e1-e2 可作 1 + ������ = 0, 为一组基底 . ∴
1.理解平面向量基本定理 剖析:(1)e1,e2是同一平面内的两个不共线向量. (2)对于给定的向量a,实数λ1,λ2存在且唯一.实数λ1,λ2的唯一性是 相对于基底e1,e2而言的. (3)只要是同一平面内两个不共线的向量都可以作为一组基底,所 以基底的选取不唯一.一旦选定一组基底,则给定向量按照基底的 分解是唯一的. (4)平面向量基本定理揭示了平面向量的基本结构,即同一平面内 任意三个向量之间的关系是其中任何一个向量都可以表示为其他 两个不共线向量的线性组合. (5)零向量与任意向量共线,故零向量不能作为基底中的向量.
1
2
(
【做一做 2】 如图,在等边三角形 ABC 中, ������������与������������ 的夹角等于 )
A.60° C.120°
B.90° D.150°
1
2
解析 :延长 AB 到 D,使 AB=BD,如图 , 则 ������������ 与 ������������的夹角等于∠CBD. 又 ∠ABC=60° , 则 ∠CBD=180° -∠ABC=180° -60° = 120° ,所以 ������������ 与 ������������的夹角等于120° . 答案 :C
高一数学人教A版必修4课件：2.3 平面向量的基本定理及坐标表示(2-3课时)
第二章 平面向量§2.2 平面向量的线性运算2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺 04明目标、知重点1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.1.平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解.(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个 i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝，则 叫做向量a 的坐标， 叫做向量a 的坐标表示.互相垂直填要点·记疑点单位向量x i ＋y j 有序数对(x ，y )a ＝(x ，y )2.平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.(x ，y )(x 2－x 1，y 2－y 1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2)(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.(x 1－x 2，y 1－y 2)(λx ，λy )探要点·究所然情境导学我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？能不能像点一样也用坐标来表示？探究点一 平面向量的坐标表示思考1 如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？答 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底.思考2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？小结 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j.我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a 在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.显然有，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).思考3 在平面直角坐标系中，作向量＝a，若＝(x，y)，此时点A的坐标是什么？根据右图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1.答 A(x，y)；a＝(2,3)，b＝(－2,3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3).探究点二 平面向量的坐标运算思考1 设i 、j 是与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa (λ∈R )如何分别用基底i 、j 表示？答 a ＋b ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ，a －b ＝(x 1－x 2)i ＋(y 1－y 2)j ，λa ＝λx 1i ＋λy 1j .思考2 根据向量的坐标表示，向量a ＋b ，a －b ，λa 的坐标分别如何？用数学语言描述上述向量的坐标运算.答 a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2);a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2);λa ＝(λx 1，λy 1).两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.思考3 已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量 的坐标是什么？一般地，一个任意向量的坐标如何计算？点的坐标与向量的坐标有何区别？答 ＝(x 2－x 1，y 2－y 1). 任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.(1)向量a ＝(x ，y )中间用等号连接，而点的坐标A (x ，y )中间没有等号.(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同.(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y).例1 已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求a＋b，a－b,3a＋4b的坐标.解 a＋b＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)，a－b＝(2,1)－(－3,4)＝(5, －3)，3a＋4b＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝(－6,19).反思与感悟 (1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算.跟踪训练1 已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；解 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).(2)a－3b；解 a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).例2 已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.解 设c＝x a＋y b，则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1)＝(－2x＋3y,3x＋y)，解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b.反思与感悟 待定系数法是最基本的数学方法之一，它的实质是先将未知量设出来，再利用方程或方程组求解，把一个向量用其他两个向量表示，这是常用方法.跟踪训练2 已知a＝(10，－5)，b＝(3,2)，c＝(－2,2)，试用b，c 表示a.解 设a＝λb＋μc (λ，μ∈R).则(10，－5)＝λ(3,2)＋μ(－2,2)＝(3λ，2λ)＋(－2μ，2μ)＝(3λ－2μ，2λ＋2μ).解 由A(2，－4)，B(－1,3)，C(3,4)，得＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19).∴点M的坐标为(－11，－15).反思与感悟 向量的坐标运算是几何与代数的统一，几何图形的法则是代数运算的直观含义，坐标运算是图形关系的精确表示，二者的法则互为补充，要充分利用这一点，有效解决问题.跟踪训练3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标.解 不妨设A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，第四个顶点为D(x，y).则A、B、C、D四点构成平行四边形有以下三种情形.∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，(2)当平行四边形为ABDC时，仿(1)可得D(2，－3).(3)当平行四边形为ADBC时，仿(1)可得D(6,15).综上所述，第四个顶点的坐标可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15).1.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a 等于( )A.(－2,1)B.(2，－1)C.(2,0)D.(4,3)解析 b －a ＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，故选B.当堂测·查疑缺 1234BA答案 A12344.已知向量a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(9,4)，若p＝m a＋n b，则7m＋n＝________.呈重点、现规律1.在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系.关系图如图所示.2.向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同.当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同.3.向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误.。
2013-2014学年高中数学人教A版必修四课件2.3.1-2平面向量的基本定理及坐标表示
对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定
理知，有且只有一对实数x、y，使得 a＝
xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a
的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上
的坐标，y叫做a在y轴 上的坐标，上式叫做向量 y
的坐标表示.那么x、y的
ya
几何意义如何？
j
x
Oi
x
思考5：相等向量的坐标必然相等，作向 量 OA a，则 OA (x，y)，此时点A是坐 标是什么？
探究（一）：平面向量基本定理
思考1：给定平面内任意两个向量e1，e2， 如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？
e1-2e2
B
e2
2e2
C
e1
O e1 D
3e1 A
3e1＋2e2
思考2：如图，设OA，OB，OC为三条共
点射线，P为OC上一点，能否在OA、OB
上分别找一点M、N，使四边形OMPN为平
e1
a
a=λ1e1+0e2
e2
a
a=0e1+λ2e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
问题提出
t
p
1 2
5730
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？
2.怎样理解向量的数乘运算λa？
高一数学人教A版必修四课件：第二章 《平面向量》2.3.1 平面向量的基本定理及坐标表示 课件资料
学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标2．3平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1平面向量基本定理学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标学案·新知自解学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标1．了解平面向量基本定理及其意义．2．理解两个向量夹角的定义，以及两向量的夹角与两直线所成角的区别．3．掌握平面向量基本定理并能熟练应用．学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标平面向量基本定理1．定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，__________一对实数λ1，λ2，使a ＝___________． 2．基底：不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内__________的一组基底．不共线 有且只有 λ1e 1＋λ2e 2 所有向量学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标关于两向量的夹角1．两向量夹角的概念：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠_______＝θ，叫作向量a 与b 的夹角． (1)范围：向量a 与b 的夹角的范围是_____________． (2)当θ＝0°时，a 与b_____． (3)当θ＝180°时，a 与b_____． 2．垂直：如果a 与b 的夹角是____，我们说a 与b 垂直，记作_____． AOB [0°，180°] 同向 反向 90° a ⊥b学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标[化解疑难]1．平面向量基本定理的理解(1)e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，e1，e2的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底．(2)平面内的任一向量a都可以沿基底进行分解．(3)基底e1，e2确定后，实数λ1，λ2是唯一确定的．学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标2．两向量夹角概念的正确理解(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直.(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与向量AB →的夹角，∠BAD 才是向量CA →与向量AB →的夹角．学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标1．下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是() A．①②B．②③C．①③D．①②③学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标解析：平面内的一对向量只要不共线均可作为表示这个平面内所有向量的基底，基底本身也可以用这组基底表示，故①错；②对；由于零向量与平面内的任一向量共线，故③正确．答案：B学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标2．在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角是指( ) A ．∠CAB B ．∠ABC C ．∠BCAD ．以上都不是解析： 由两向量夹角的定义知，AB →与BC →的夹角应是∠ABC 的补角，故选D.答案： D学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标3．在正方形ABCD 中，E 是DC 边上的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________．解析： BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →＝b －12a .答案： b －12a学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标教案·课堂探究学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标用基底表示向量自主练透型已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试以a ，b 为基底表示DC →，BC →，EF →.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标解析： 如图所示，连接FD ，∵DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，∴DC 綊FB ， ∴四边形DCBF 为平行四边形．∴DC →＝FB →＝12AB →＝12b ，BC →＝FD →＝AD →－AF→＝AD →－12AB →＝a －12b ，EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b －12×12b ＝14b －a .学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标[归纳升华]用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来．对于此类问题，首先应仔细观察所给图形，然后借助平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理来解决.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标1．如图，已知△ABC 中，M ，N ，P 顺次是AB 的四等分点，CB →＝e 1，CA →＝e 2，试用e 1，e 2表示CM →，PN →，PA →.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标解析： CM →＝CB →＋BM →＝CB →＋34BA →＝CB →＋34(CA →－CB →)＝14CB →＋34CA →＝14e 1＋34e 2， PN →＝CN →－CP →＝12e 1＋12e 2－34e 1－14e 2＝－14e 1＋14e 2，PA →＝CA →－CP →＝e 2－34e 1－14e 2＝－34e 1＋34e 2.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标向量的夹角多维探究型已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，若a＋b与a的夹角为α，a－b与a的夹角为β，求α＋β.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标[边听边记] 如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BC →＝OA →＝a ，因为|a |＝|b |＝2，且∠AOB ＝60°，所以△OAB 为正三角形，∠OAB ＝60°＝∠ABC ，即a －b 与a 的夹角β＝60°.因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形， 所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°， 即a ＋b 与a 的夹角α＝30°，所以α＋β＝90°.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标[归纳升华]两向量夹角的实质及求解的关键(1)实质：两向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角．(2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出夹角.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标2．若a ≠0，b ≠0，且|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角．解析： 由向量运算的几何意义知a ＋b ，a －b 是以a 、b 为邻边的平行四边形两条对角线．如图，∵|a |＝|b |＝|a －b |，∴∠BOA ＝60°.又∵OC →＝a ＋b ，且在菱形OACB 中， 对角线OC 平分∠BOA ，∴a 与a ＋b 的夹角是30°.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标平面向量基本定理的应用分层深化型如图所示，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD 交于E，求证：E为线段BD的三等分点．学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标证明： 设AB →＝a ，AD →＝b ，则BD →＝AD →－AB →＝b －a ， AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB ＝b ＋12a .因为A 、E 、F 与B 、D 、E 分别共线，所以存在实数λ、μ∈R ，使AE →＝λAF →，BE →＝μBD →.于是AE →＝λ2a ＋λb ，BE →＝μb －μa .学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标由AB →＋BE →＝AE →得，(1－μ)a ＋μb ＝λ2a ＋λb .因为a ，b 不共线，由平面向量基本定理， ∴1－μ＝λ2且μ＝λ.解得λ＝μ＝23，∴BE →＝23BD →，即E 为线段BD (靠近D )的一个三等分点．学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标[归纳升华]应用平面向量基本定理解决几何问题的四个步骤学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标[同类练]☆1．如图所示，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝12AB，点N在BC上，且BN＝13BC.求证：M、N、D三点共线．学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标证明： 设AB →＝e 1，AD →＝e 2，则BC →＝AD →＝e 2. ∵BN →＝13e 2，BM →＝12AB →＝12e 1，∴MN →＝BN →－BM →＝13e 2－12e 1.又∵MD →＝AD →－AM →＝e 2－32e 1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫13e 2－12e 1＝3MN →.∴向量MN →与MD →共线，又M 是公共点，故M 、N 、D 三点共线．学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标[变式练]☆2．如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，点M 是AB 的靠近B 的一个三等分点，点N 是OA 的靠近A 的一个四等分点．若OM 与BN 相交于点P ，求OP →.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标解析： OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AB →＝OA →＋23(OB →－OA →)＝13a ＋23b ，因为OP →与OM →共线，故可设OP →＝tOM →＝t 3a ＋2t3b .又NP →与NB →共线，可设NP →＝sNB →，学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标OP →＝ON →＋sNB →＝34OA →＋s (OB →－ON →)＝34(1－s )a ＋sb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧34（1－s ）＝t 3，s ＝23t ，解得t ＝910.所以OP →＝310a ＋35b .学案·新知自解 教案·课堂探究 练案·学业达标[拓展练]☆3．如图，在平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，满足|OA →|＝|OB →|＝1，OA →与OB→的夹角为120°，OC →与OA →的夹角为30°，|OC →|＝5 3.设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R)，求m ＋n 的值．学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标解析：如图，过C作CA′∥OB，交OA的延长线于点A′，过C作CB′∥OA，交OB的延长线于点B′，因为∠AOB＝120°，∠AOC＝30°，所以∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝90°，在Rt△B′OC中，∠B′CO＝∠AOC＝30°，OC＝53，OB′＝OC·tan 30°＝53×33＝5，B′C＝OCcos 30°＝5332＝10，学案·新知自解 教案·课堂探究 练案·学业达标因为四边形OA ′CB ′是平行四边形，所以|OA ′→|＝|B ′C →|＝10，因为|OA →|＝|OB →|＝1，OA ′→与OA →共线，OB ′→与OB →共线，所以OA ′→＝10 OA →，OB ′→＝5OB →，所以OC →＝OA ′→＋OB ′→＝10 OA →＋5OB →＝mOA →＋nOB →，由平面向量基本定理可知m ＝10，n ＝5，故m ＋n ＝15.学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标练案·学业达标点击进入WORD链接学案·新知自解教案·课堂探究练案·学业达标谢谢观看！。
高一数学人教A版必修4课件：2.3 平面向量的基本定理及坐标表示(2-3课时)
例2 已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c. 解 设c＝xa＋yb， 则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1) ＝(－2x＋3y,3x＋y)， ∴10＝－2x＋3y，
－4＝3x＋y， 解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b.
明目标、知重点
明目标、知重点
跟踪训练3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)， (4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标. 解 不妨设A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，第四个顶点为D(x，y).则 A、B、C、D四点构成平行四边形有以下三种情形. (1)当平行四边形为 ABCD 时，A→B＝D→C， ∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
明目标、知重点
高效学习模型-内外脑Biblioteka 模型2内脑-思考内化
思维导图&超级记忆法&费曼学习法
1
外脑-体系优化
知识体系&笔记体系
内外脑高效学习模型
明目标、知重点
超级记忆法
明目标、知重点
超级记忆法-记忆 记忆前 规律
选择记忆的黄金时段
前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
明目标、知重点
跟踪训练1 已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求： (1)2a＋3b； 解 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7). (2)a－3b； 解 a－3b＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).
明目标、知重点
(3)12a－13b. 解 12a－13b＝12(－1,2)－13(2,1) ＝－12，1－23，13＝－76，23.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
F1
G
F2
5.在物理中，力是一个向量，力的合成 就是向量的加法运算.力也可以分解， 任何一个大小不为零的力，都可以分解 成两个不同方向的分力之和.将这种力 的分解拓展到向量中来，就会形成一个 新的数学理论.
思考5：相等向量的坐标必然相等，作向 量 OA a，则 OA (x，y)，此时点A是坐 标是什么？
y A j
O
a
A(x,y)
i x
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，写出向量a，b，c，d的坐标.
B
N O P C
M
A
思考3：在下列两图中，向量 OA, OB, OC
不共线，能否在直线OA、OB上分别找一 uuu r uuu r uuu r 点M、N，使 OM + ON = OC ？
B N O C N B
C
A
M
A
O
M
B
N O
B C N
C
思考4：在上图中，设 OA=e1，OB=e2， OC =a，则向量 OM, ON 分别与e1，e2的
2.3
平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
问题提出
t
1 5730 p 2
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
A
M
A
O
M
关系如何？从而向量a与e1，e2的关系如 何？ a e e .
OM 1e1 , ON 2e2 .
1 1 2 2
B
N O
B C N
C
uuur OM = uuu r ON =
A
M
A
O
M
OM 1e1 , ON 2e2 , a 1e1 2e2
3.向量的坐标表示是一种向量与坐 标的对应关系，它使得向量具有代数意 义.将向量的起点平移到坐标原点，则平 移后向量的终点坐标就是向量的坐标.
作业： P102习题2.3B组：3，4.
B P A
a 2 3i 2j
a
j
O i
思考4：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、 y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底， 对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定 理知，有且只有一对实数x、y，使得 a＝ xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a 的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上 的坐标，y叫做a在y轴 y 上的坐标，上式叫做向量 a y 的坐标表示.那么x、y的 几何意义如何？ j x O i x
思考5：若上述向量e1，e2，a都为定向量， 且e1，e2不共线，则实数λ1，λ2是否存在？ 是否唯一？
思考6：若向量a与e1或e2共线，a还能用 λ1e1＋λ2e2表示吗？ e1
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a=0e1+λ2e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
5 y
b=(-2,3)
b 2
O
a
2
a=(2,3)
4
－4 －2
c=(-2,-3)
c －2
－5
x
d
d=(2,-3)
AB
例3 如图，在平行四边形ABCD中， =a， =b，E、M分别是AD、DC的中 AD 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表示向量 AM 和 EF .
2 AB AC 3
பைடு நூலகம் AM a b 2
B
F
C M
1 EF a b 6
A
E
D
小结作业
1.平面向量基本定理是建立在向量加 法和数乘运算基础上的向量分解原理， 同时又是向量坐标表示的理论依据，是 一个承前起后的重要知识点.
2.向量的夹角是反映两个向量相对位置 关系的一个几何量，平行向量的夹角是 0°或180°，垂直向量的夹角是90°.
探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示
思考1：不共线的向量有不同的方向，对 于两个非零向量a和b，作 OA a，OB b， 如图.为了反映这两个向量的位置关系， 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜？
B a b b
[0°，180°]
a
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
探究（一）：平面向量基本定理
思考1：给定平面内任意两个向量e1，e2， 如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？
e1-2e2
e2 e1 2e2 B C
O
e1 D
3e1 A
3e1＋2e2
思考2：如图，设OA，OB，OC为三条共 点射线，P为OC上一点，能否在OA、OB 上分别找一点M、N，使四边形OMPN为平 行四边形？
O
A
思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则 称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直 的两个向量能否作为平面内所有向量的 一组基底？
b a
思考3：把一个向量分解为两个互相垂直 的向量，叫做把向量正交分解.如图，向 量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量 a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、 j为基底，向量a如何表示？