2.1.2 第2课时 直线方程的两点式和一般式
2020-2021学年数学2课时分层作业2.1.2 第2课时 直线方程的两点式和一般式含解析
2020-2021学年北师大版数学必修2课时分层作业：2.1.2 第2课时直线方程的两点式和一般式含解析课时分层作业(十五)直线方程的两点式和一般式（建议用时:30分钟)一、选择题1．过P1(2，0),P2（0，3)两点的直线方程是（)A。
错误!＋错误!＝0 B.错误!＋错误!＝0C.错误!＋错误!＝1 D。
错误!－错误!＝1C[由截距式得，所求直线的方程为错误!＋错误!＝1.］2．直线错误!－错误!＝1在两坐标轴上的截距之和为（)A．1 B．－1C．7 D．－7B[直线在x轴上截距为3，在y轴上截距为－4，因此截距之和为－1.］3．直线错误!＋错误!＝1过第一、二、三象限，则(）A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0C［由于直线过第一、二、三象限，故其a＜0,b＞0。
］4．直线2x＋y＋7＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则a，b的值是（）A．a＝－7，b＝－7 B．a＝－7，b＝－错误!C．a＝－错误!，b＝7 D．a＝－错误!,b＝－7D［令x＝0得y＝－7，∴b＝－7，令y＝0得x＝－错误!,∴a ＝－错误!.］5．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2，1)，则过点P1(a1，b1)和点P2（a2，b2）的直线方程是（）A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y＋1＝0C．2x＋y－1＝0 D．x＋2y＋1＝0A[∵点A（2，1）在直线a1x＋b1y＋1＝0上，∴2a1＋b1＋1＝0。
由此可知点P1(a1,b1）在直线2x＋y＋1＝0上．∵点A(2,1）在直线a2x＋b2y＋1＝0上，∴2a2＋b2＋1＝0。
由此可知点P2（a2，b2)也在直线2x＋y＋1＝0上．∴过点P1(a1，b1)和点P2（a2,b2)的直线方程是2x＋y＋1＝0。
]二、填空题6．过点（－1，1)和(3，9）的直线在x轴上的截距是________．－错误!［直线方程为错误!＝错误!，即y＝2x＋3，令y＝0得x＝－错误!,∴在x轴上的截距为－错误!.]7．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为________；截距式方程为___________________________________________________；斜截式方程为____________________________________________________;一般式方程为____________________________________________________．y＋4＝错误!(x－0）错误!＋错误!＝1y＝错误!x－4错误!x－y－4＝0[由题意，k＝tan 60°＝错误!,点斜式方程：y＋4＝错误!(x－0)，截距式方程：错误!＋错误!＝1，斜截式方程：y＝错误!x－4，一般式方程:错误!x－y－4＝0。
18-19 第2章 §1 1.2 第2课时 直线方程的两点式和一般式
[解] ①若直线过原点，则 k＝－43，
【导学号：64442101】
∴y＝－43x，即 4x＋3y＝0.
②若直线不过原点，设ax＋ay＝1，即 x＋y＝a.
∴a＝3＋(－4)＝－1，
∴x＋y＋1＝0.
故直线方程为 4x＋3y＝0 或 x＋y＋1＝0.
课时分层作业（十四）
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3．已知直线 l 与两坐标轴的交点坐标分别为(0,2)，(3,0)，则直线 l 的方 程为________．
[解析] 由直线方程的截距式，得3x＋2y＝1. [答案] 3x＋2y＝1
[合 作 探 究·攻 重 难]
直线方程的两点式和截距式方程
求满足下列条件的直线方程． (1)过点 A(－2,3)，B(4，－1)； (2)在 x 轴、y 轴上的截距分别为 4，－5； (3)过点 P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等.
[规律方法] 截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标 轴的交点)，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长时较 方便，同时在利用截距求三角形的面积时，要注意截距的正负.
[跟踪训练] 3．求过点 P(2，－1)，在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a，b 且满足 a＝3b 的直线方程．
18-19 第2章 §1 1.2 第2课时 直线方 程的两点式和一般式
学习目标：1. 掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化．(重点)2. 了解在直角坐标系中平面上的直线与关于 x，y 的二元一次方程的对应关 系．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．直线方程的两点式 设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线 l 上的任意两点． (1)两点满足的条件： x1≠x2 且y1≠y2 . (2)形式：yy2－－yy11＝xx2－－xx11 .
高中数学 2.1.2 第2课时 直线方程的两点式和一般式配套课件 北师大版必修2
若直线(m－1)x－y－2m＋1＝0不经过第一象限，则实数 m的取值范围是________．
【解析】
m－1＜0， 1－2m＜0，
直线方程的一般式
设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y ＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值；
(1)l在x轴上的截距是－3； (2)l的斜率是－1.
【思路探究】 可根据所求的结论把一般式转化为其他 形式．
【自主解答】 (1)由题意可得
m2－2m－3≠0， m22－m2－m6－3＝－3，
第2课时 直线方程的两点式和一般式
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化． (2)了解直线与二元一次方程的对应关系．
2．过程与方法 让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通 过新的知识的比较、分析、应用获得新知识的特点． 3．情感、态度与价值观 (1)认识事物之间的普遍联系与相互转化．(2)培养学生 用联系的观点看问题．
想”求得．
【自主解答】
(1)将直线l的方程整理为y－
3 5
＝a(x－
15)，∴l的斜率为a，且过定点A(15，35)，而点A(15，35)在第一象
限，
故l过第一象限．
(2)如图，直线OA的斜率k＝3515－ －00＝3， ∵l不经过第二象限，∴a≥3.
1．直线过定点(15，35)是解决本题的关键． 2．针对这个类型的题目，灵活地把一般式Ax＋By＋C ＝0(A，B不同时为0)进行变形是解决这类问题的关键．在求 参量取值范围时，巧妙地利用数形结合思想，会使问题简单 明了．
线l的两点式方程可化为 ax＋by＝1 的形式，这种形式的方 程叫作直线方程的截距式．其中 a 为直线在x轴上的截距， b 为直线在y轴上的截距．
高一数学高效课堂资料两点式和一般式
当B≠0时，- A 是斜
B
无
率,- C 是在y轴上的
B
截距
1.斜率是 3 ,且经过点A(5,3)的直线的一般式方程为_______. 2.斜率为4,在y轴上的截距为-2的直线的一般式方程为______. 3.若方程(m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+5=0表示直线,(1)求实数m的 取值范围；(2)若该直线的斜率k=1,求实数m的值.
【轻松判断】
(1)直线的两点式方程可以表示过任意两点的直线. ( )
(2)方程x+y=a可以表示所有在两坐标轴上截距相等的直
线.
()
(3)任何关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0都表示平面内的一
条直线. (4)直线Ax+By+C=0的斜率是k A .
B
() ()
提示：(1)直线的两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线，
【解析】1.选B.因为已知的两点横坐标相等，不可以用两点式
方程，根据点的坐标得到直线方程为x=2.
2.选B.根据直线方程的截距式写出直线方程为 x y 1，化简
3 4
得4x-3y+12=0，故选B.
3.(1)由两点式写方程,得 y 5 x 1 ，即6x-y+11=0.
1 5 2 1
化为一般式为4x-y-2=0.
答案：4x-y-2=0
3.(1)由
m2 3m 2 m 2 0，
0，解得m=2,若表示直线则m≠2.
(2)由 m2 3m 2 1 ,解得m=0.
m2
【规律总结】直线一般式方程的求解策略 (1)平面直角坐标系中的直线方程与关于x，y的二元一次方程 Ax+By+C=0(A，B不全为0)一一对应,即直线的方程都可以用二 元一次方程表示,同时任何一个二元一次方程都表示一条直线， 且AB>0时,k<0,倾斜角α为钝角;AB<0时,k>0,倾斜角为锐 角;A=0时，k=0,倾斜角α=0°;B=0时,k不存在,倾斜角α=90°.
2016_2017学年高中数学第二章解析几何初步2.1.2直线的方程第二课时直线方程的两点式和一般式
[边听边记]
y－3 x＋2 (1)由两点式得－1－3＝4＋2，化简得 2x＋3y－5＝0.
x y (2)由截距式得4＋－5＝1，化简为 5x－4y－20＝0. (3)当直线过原点时，所求直线方程为 3x－2y＝0； x y 当直线不过原点时，设直线方程为a＋a＝1. 2＋3 因为直线过点 P(2,3)，所以 a ＝1，即 a＝5. 直线方程为 y＝－x＋5. 所以所求直线方程为 3x－2y＝0 或 x＋y－5＝0.
解析：
(1)由点斜式可得直线方程为
3 y－3＝－5(x＋2)． 化为一般式为 3x＋5y－9＝0. x y (2)由直线方程的截距式可得－3＋4＝1， 化为一般式得 4x－3y＋12＝0.
合作探究· 课堂互动
直线方程的两点式方程和截距式 求满足下列条件的直线方程： (1)过点 A(－2,3)，B(4，－1)； (2)在 x 轴、y 轴上的截距分别为 4，－5； (3)过点 P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．
(4)特别地，当 A、B 两点为直线与坐标轴的交点(非原点)时，两点式可化为 截距式，所以截距式是两点式的特殊情况． (5)截距式方程的适用条件是 a≠0，b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直 线，也不能表示与坐标轴平行的直线．
直线方程的一般式
不同时为0 表示的是 关于 x ， y 的二元一次方程 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0(A ， B__________) 一条直线 ，我们把它叫作直线方程的一般式． __________
[自主练习] 1．下面四个说法中正确的是( )
A．经过定点 P0(x0，y0)的直线都可以用方程 y－y0＝k(x－x0)表示 y1)， P2(x2， y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2 B． 经过任意两个不同的点 P1(x1， －x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示 x y C．不经过原点的直线都可以用方程a＋b＝1 表示 D．经过定点 A(0，b)的直线都可以用方程 y＝kx＋b 表示
2.1.2 第二课时 直线方程的两点式和一般式 课件(北师大版必修2)
2
2m ＋m－ 1≠ 0 ① 2 1 (2)由题意得 m － 2m－ 3 由①式得 m≠－1 且 m≠ ， 2 － ＝－ 1 ② 2 2m ＋m－ 1 2 由②式得 m ＋ 3m＋2＝ 0，解得 m＝－1 或 m＝－ 2，∵m≠－ 1，
2
∴m＝－ 2.
变式训练2、如果AC<0，且BC<0，那么直线 Ax＋By＋C＝0不通过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：如图所示，直线 AB 过 A(－5,0)，B(3，－3)两点． y－0 x－－5 由两点式，得 ＝ ，即 3x＋8y＋15＝0， －3－0 3－－5 ∴直线 AB 的方程为 3x＋8y＋15＝0.
2－－3 5 直线 BC 在 y 轴上的截距为 2. 又斜率是 kBC＝ ＝－ ， 3 0 － 3 5 由斜率式，得 y＝－ x＋2，即 5x＋3y－6＝0， 3
示意图
方程
x y ＋ ＝1 a b
使用范 围 与坐标 轴均 不平行 ______ 且 不过原点 _______ 的直线
Ax＋By＋ 平面内 ______ C＝0(A、B 任何 不同时为0) 直线
题型一、直线的两点式和截距式方程
例1、 已知三角形的三个顶点 A(－5,0)，
B(3，－3)，C(0,2)，求三角形三边所在直线的 方程．
题型二、直线的一般式方程
例2、方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m m的值． (1)方程能够表示一条直线； (2)方程表示一条斜率为－1的直线．
－6满足下列条件，请根据条件分别确定实数
解： (1)由 m － 2m－ 3＝ 0，得 m＝－1 或 3. 1 由 2m ＋m－ 1＝ 0，得 m＝－1 或 . 2 2 2 由已知得 m － 2m－ 3 与 2m ＋m－ 1 不能同时为零． 所以 m≠－ 1.
教学课件：第2课时-直线方程的两点式和一般式
直线方程的应用
通过直线方程，可以解决 与直线相关的实际问题， 如求直线上的点、判断两 直线是否平行等。
下节课预告
直线的倾斜角和斜率
直线方程的应用
介绍直线的倾斜角和斜率的概念，以 及它们之间的关系。
通过直线的倾斜角和斜率，可以解决 与直线相关的实际问题，如求直线的 长度、判断两直线是否垂直等。
直线的点斜式和截距式
两点式直线方程的应用
确定直线的斜率和截距
通过给定的两点，可以确定直线的斜 率和截距，进而确定直线的方程。
解决与直线相关的问题
利用两点式直线方程，可以解决与直 线相关的问题，如求直线上某一点的 坐标、判断三点共线等。
03 直线方程的一般式
一般式直线方程的定义
总结词
一般式直线方程是数学中描述直线的一种方式，它包含了直线的斜率和截距信息。
要点二
基础练习题2
已知直线经过点$(2,3)$和斜率为$2$，求直线的两点式方程。
进阶练习题
进阶练习题1
已知直线的一般式方程为$3x + 4y - 12 = 0$，求该直线的斜率。
VS
进阶练习题2
已知直线的一般式方程为$2x - y + 5 = 0$， 求该直线经过的点。
综合练习题
综合练习题1
已知直线经过点$(2,3)$，斜率为$2$，且与 $x$轴交于点$(4,0)$，求该直线的方程。
04 两点式与一般式的比较
形式上的比较
两点式方程
(y - y_1 = m (x - x_1))
一般式方程
(ax + by + c = 0)
使用场景的比较
01
两点式方程适用于已知两点坐标 的情况，可以快速求出直线方程 。
数学：2.1.2《直线的方程-一般式》课件(苏教版必修2)
例4: 已知直线l：mx＋y＋2＝0和以A(-2,1)、 B(3,2)为端点的线段相交，求实数m的取值范围.
m≥
3 ，或 m≤ 2
4 3
变式训练:
已知直线kx+y-k=0与射线3x-4y+5=0(x≥-1) 有交点，求实数k的取值范围.
3 1 k ， - ， 4 4
新知归纳:
1、方程Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）叫做 直线方程的一般式，任何一条直线的方程不 管是用点斜式、斜截式、两点式还是截距式 表示的，都可以化成一般式。
2、直线与二元一次方程的关系： 直线的方程都是二元一次方程；
任何一个关于x，y的二元一次方程都 表示一条直线。
3.关于直线一般式方程Ax＋By＋C＝0（A，B不全 为0）的几点说明：
y kx b
x y 1 a b
y y1 x x1 点P1 ( x1，y1 )和点P2 ( x2，y 2 ) y1 y 2 x1 x2 不垂直于x、y轴的直线
在x轴上的截距a 在y轴上的截距b
不垂直于x、y轴的直线 不过原点的直线
提问：上述四种方程最终都是一个怎样的方程？
①两个独立的条件可求直线方程 B C B C 若A 0, 则方程化为x y 0, 只需确定 、 的值； A A A A A C A C 若B 0, 则方程化为 x y 0, 只需确定 、 的值. B B B B ②在直线一般式方程Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）中 C 若A 0, 则y , 它表示一条与y轴垂直的直线； B C 若B 0, 则x - , 它表示一条与x轴垂直的直线. A ③直线方程的其他形式都可以化成一般形式；一般式也 可以化为其他形式.
高效课堂直线的两点式、截距式与一般式
2
导学案反馈
11班
优秀小组
存在问题
完 成 情 况
优秀个人
进步个人
一、学习态度方面： 不能够按要求化简为相应 的表达式 二、知识理解方面： 张帆、耿苗、王迪、秦瑶、 王招、张梦杰、靳浩、王 1、各种直线方程表达式 婷、张琳娜、程鑫、秦瑶、 的适用范围 2、求解直线方程时各种 戴星 表达式的选用 彭楠、李卓、朱腾、魏今 3、计算能力堪忧 朝、李晏竹、崔鑫
1.求经过点P(0，5)，且在两坐 标轴上的截距之和为2的直线方程.
2.已知直线经过点A（6，-4）， 4 斜率为 3 ，求直线的点斜式和一般 式方程.
3.把直线l的一般式方程 x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的 斜率以及它在x轴与y轴上的截距， 并画出图形.
当堂小结
老师 • 知识
学科 • 课堂情况 班长
导学案反馈
10班
优秀小组
存在问题
完 成 情 况
优秀个人
进步个人
一、学习态度方面： 不能够按要求化简为相应 的表达式 二、知识理解方面： 马翠婷、徐泽程、吴宽、 刘敏、王海艳、李洋、毛 1、各种直线方程表达式 晨阳、桑雨欣、王婷、王 的适用范围 2、求解直线方程时各种 炫镔、姚家明、杨柳 表达式的简便选用 周勇行、李文龙、张嘉俊、 3、计算能力堪忧 贾锦涛
比例式可化为
y y1 x x1 且 x1 x2 , y1 y2 y2 y1 x2 x1
此方程叫做直线的两点式方程，该方 程在结构形式上有什么特点？
知识探究（二）：直线的截距式方程
思考1:若直线l经过点A(a，0)，B(0， b)，其中a≠0，b≠0，则直线l的方 程如何？
点评安Байду номын сангаас及目标要求(10)
第2章 1.2 第2课时 直线方程的两点式和一般式
第2课时 直线方程的两点式和一般式学习目标 1.掌握直线方程的两点式和一般式.2.了解平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x ，y 的二元一次方程来表示.3.能将直线方程的几种形式进行互相转换，并弄清各种形式的应用范围．知识点一 直线方程的两点式思考1 已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程． 答案 y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)，即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 思考2 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ 答案 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示． 梳理 两点式方程知识点二 直线方程的截距式思考1 过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5＋y7＝1表示吗？答案 能．由直线方程的两点式，得y －07－0＝x －50－5，即x 5＋y7＝1.思考2 已知两点P 1(a ,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程． 答案 由直线方程的两点式，得y －0b －0＝x －a 0－a ，得x a ＋yb ＝1.梳理 截距式方程知识点三 直线方程的一般式思考1 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C ＝0(A ，B 不同时为0)来表示吗？ 答案 能．思考2 关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)一定表示直线吗？ 答案 一定． 梳理 (1)一般式方程(2)直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系1．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示．( × )2．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )3．能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．( √ )类型一 直线的两点式和截距式方程 命题角度1 直线的两点式方程例1 已知△ABC 的顶点是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，若AB 与y 轴交于点E ，BC 与x 轴交于点F ，求直线EF 的方程． 考点 直线的两点式方程 题点 直线两点式方程的应用解 直线AB 过A (－5,0)，B (3，－3)两点，由两点式得y －0－3－0＝x －(－5)3－(－5)，整理得3x ＋8y ＋15＝0. 令x ＝0，得y ＝－158，∴E ⎝⎛⎭⎫0，－158. 直线BC 过B (3，－3)，C (0,2)两点， 由两点式得y －(－3)2－(－3)＝x －30－3，整理得5x ＋3y －6＝0. 令y ＝0，得x ＝65，∴F ⎝⎛⎭⎫65，0.由截距式方程得x 65＋y －158＝1，整理得25x －16y －30＝0.∴直线EF 的方程为25x －16y －30＝0.反思与感悟 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x 2与y 2是同一点坐标，而x 1与y 1是另一点坐标．跟踪训练1 若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 考点 直线的两点式方程 题点 直线两点式方程的应用 答案 －2解析 由直线方程的两点式，得y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即y ＋15＝x －2－5.∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2. ∵点P (3，m )在直线AB 上， ∴m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2. 命题角度2 直线的截距式方程例2 (1)过点P (1,3)，且与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( ) A ．3x ＋y －6＝0 B ．x ＋3y －10＝0 C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0考点 直线的截距式方程 题点 求直线的截距式方程 答案 A解析 设所求的直线方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0)，由于过点P (1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6，因此有⎩⎨⎧1a ＋3b＝1 12ab ＝6，解得a ＝2，b ＝6，故所求直线的方程为3x ＋y －6＝0，故选A.(2)过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．无数条 考点 直线的截距式方程题点 利用截距式方程求直线的条数 答案 B解析 设直线的两截距都是a ，则有①当a ＝0时，直线设为y ＝kx ，将P (2,3)代入，得k ＝32，∴直线l 的方程为3x －2y ＝0；②当a ≠0时，直线设为x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a ，把P (2,3)代入，得a ＝5， ∴直线l 的方程为x ＋y ＝5.综上，直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.反思与感悟 求解此类题需过双关：一是待定系数法关，即根据题中条件设出直线方程，如在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ≠0，b ≠0)的直线方程常设为x a ＋yb ＝1；二是方程(组)思想关，即根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值． 跟踪训练2 过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．无数多条 考点 直线的截距式方程题点 利用截距式方程求直线的条数 答案 B解析 当截距都为零时满足题意要求，直线为y ＝－13x ；当截距不为零时，设直线方程为x a ＋yb＝1，∴⎩⎨⎧3a ＋－1b ＝1|a |＝|b |，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－4，即直线方程为x 2＋y 2＝1或x 4＋y－4＝1，∴满足条件的直线共有3条．故选B. 类型二 直线的一般式方程例3 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0. (1)若直线l 在x 轴上的截距为－3，则m ＝________； (2)若直线l 的斜率为1，则m ＝________. 考点 直线的一般式方程与直线的性质 题点 根据截距或斜率求参数 答案 (1)－53(2)－2解析 (1)令y ＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3，∴2m －6m 2－2m －3＝－3，得m ＝－53或m ＝3.当m ＝3时，m 2－2m －3＝0，不合题意，舍去． ∴m ＝－53.(2)由题意知，2m 2＋m －1≠0，即m ≠－1且m ≠12，由直线l 化为斜截式方程，得 y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m 2m 2＋m －1， 则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1， 得m ＝－2或m ＝－1(舍去)．∴m ＝－2. 反思与感悟 直线方程的几种形式的转化跟踪训练3 根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． (1)斜率是－12，经过点A (8，－2)；(2)经过点B (4,2)，平行于x 轴；(3)在x 轴和y 轴上的截距分别是32，－3；(4)经过两点P 1(3，－2)，P 2(5，－4)． 考点 直线的一般式方程题点 求直线的一般式方程及各种方程的互化 解 (1)由点斜式方程，得y －(－2)＝－12(x －8)，即x ＋2y －4＝0.(2)由斜截式方程，得y ＝2，即y －2＝0.(3)由截距式方程，得x 32＋y－3＝1，即2x －y －3＝0.(4)由两点式方程，得y －(－2)－4－(－2)＝x －35－3，即x ＋y －1＝0.类型三 直线方程的综合应用 例4 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围． 考点 题点(1)证明 方法一 将直线方程变形为y ＝ax ＋3－a5，当a >0时，直线一定经过第一象限； 当a ＝0时，y ＝35，直线显然经过第一象限；当a <0时，3－a5>0，因此直线经过第一象限．综上可知，不论a 为何值时，直线5ax －5y －a ＋3＝0一定经过第一象限．方法二 将直线方程变形为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15，它表示经过点A ⎝⎛⎭⎫15，35，斜率为a 的直线．∵点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，∴直线l 必经过第一象限． (2)解 如图，直线OA 的斜率k ＝35－015－0＝3.∵直线l 不经过第二象限， ∴直线l 的斜率k ≥3，∴a ≥3， 即a 的取值范围为{a |a ≥3}．反思与感悟 含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条直线，称为直线系．这无穷多条直线过同一个点．这里对一般式方程灵活变形后变成点斜式方程是解决问题的关键． 跟踪训练4 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －a ＋2＝0. (1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的直线方程； (2)若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 考点 直线的截距式方程 题点 截距式方程的意义解 (1)直线l 的方程(a ＋1)x ＋y －a ＋2＝0， 可化为y ＝(－a －1)x ＋a －2.当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距均为0， ∴a －2＝0，∴a ＝2，此时直线方程为3x ＋y ＝0； 当直线不过原点时，a ≠2，由a －2a ＋1＝a －2，得a ＝0，∴直线方程为x ＋y ＋2＝0.故所求的直线方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)直线l 的方程为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，欲使直线l 不经过第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0，解得a ≤－1. 故所求实数a 的取值范围为(－∞，－ 1].1．在x 轴、y 轴上截距分别是2，－3的直线的方程为( ) A ．3x ＋2y ＋6＝0 B ．3x ＋2y ＋1＝0 C ．3x －2y －6＝0 D ．3x －2y ＋1＝0 考点 直线的截距式方程 题点 求直线的截距式方程 答案 C解析 由题意可得，直线的截距式方程为x 2＋y－3＝1，即3x －2y －6＝0.2．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限考点 题点 答案 C解析 由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋cb ，∵ab <0，bc <0，∴直线的斜率k ＝－ab >0，直线在y 轴上的截距cb<0.由此可知直线通过第一、三、四象限．3．在直角坐标系中，直线x ＋3y －3＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°考点题点答案 C解析直线斜率k＝－33，所以直线的倾斜角为150°，故选C.4．直线xa＋yb＝1(ab<0)的图像可能是()考点题点答案 C5．直线l过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．考点直线的截距式方程题点求直线的截距式方程解设直线l的横截距为a，由题意可得纵截距为6－a，所以直线l的方程为xa＋y6－a＝1，因为点(1,2)在直线l上，所以1a＋26－a＝1，解得a＝2或a＝3.当a＝2时，直线的方程为2x＋y－4＝0，直线经过第一、二、四象限；当a＝3时，直线的方程为x＋y－3＝0，直线经过第一、二、四象限．综上所述，所求直线方程为2x＋y－4＝0或x＋y－3＝0.1．截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直．(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．2．直线方程的其他形式都可以化成一般式，一般式也可以化为斜截式．一般式化斜截式的步骤：(1)移项，By ＝－Ax －C ；(2)当B ≠0时，得y ＝－A B x －C B. 3．在一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)中，若A ＝0，则y ＝－C B，它表示一条与y 轴垂直的直线；若B ＝0，则x ＝－C A，它表示一条与x 轴垂直的直线.一、选择题1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( )A ．可以写成两点式或截距式B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式C ．可以写成点斜式或截距式D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式答案 B解析 由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．故选B.2．下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( ) A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0考点 直线的一般式方程与直线的性质题点 直线的一般式方程与图像的关系答案 B解析 将一般式化为斜截式，斜率为－43的有B ，C 两项．又y ＝－43x ＋14过点(0,14)，即直线过第一象限， 所以只有B 项正确．3．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( )A ．C ＝0，B >0B ．A >0，B >0，C ＝0 C ．AB <0，C ＝0D ．AB >0，C ＝0考点 直线的一般式方程与直线的性质题点 直线的一般式方程与图像的关系答案 D解析 通过直线的斜率和截距进行判断．4．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则a ，b 的值分别为( ) A.3，1 B.3，－1 C ．－3，1D ．－3，－1考点 直线的一般式方程题点 求直线的一般式方程及各种方程的互化答案 D解析 原方程化为x 1a ＋y 1b＝1，∴1b＝－1，∴b ＝－1. 又直线ax ＋by －1＝0的斜率k ＝－a b＝a ， 且3x －y －3＝0的倾斜角为60°，∴k ＝tan 120°＝－3，∴a ＝－3，故选D.5.已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( )A ．b >0，d <0，a <cB ．b >0，d <0，a >cC ．b <0，d >0，a >cD ．b <0，d >0，a <c答案 C解析 由已知直线表达式，得l 1：y ＝－1a x －b a， l 2：y ＝－1c x －d c， 由题图知⎩⎪⎨⎪⎧ －1a >－1c > 0－b a < 0－d c > 0⇒⎩⎪⎨⎪⎧c <a <0b <0d >0. 6．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图像可以是()考点 直线的截距式方程题点 截距式方程的意义答案 A解析 两条直线化为截距式分别为x a ＋y －b ＝1，x b ＋y －a＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．7．把直线x －y ＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是( )A ．y ＝－3xB ．y ＝3xC ．x －3y ＋2＝0D ．x ＋3y －2＝0考点 直线的一般式方程题点 求直线的一般式方程及各种方程的互化答案 B解析 如图，已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，则直线l 的倾斜角α＝45°＋15°＝60°.∴直线l 的斜率k ＝tan α＝tan 60°＝3，∴直线l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x .8．已知直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2,1)，则过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．x ＋2y ＋1＝0考点题点答案 A解析 ∵点A (2,1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，∴2a 1＋b 1＋1＝0.由此可知点P 1(a 1，b 1)在直线2x ＋y ＋1＝0上．∵点A (2,1)在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 2＋b 2＋1＝0.由此可知点P 2(a 2，b 2)也在直线2x ＋y ＋1＝0上，∴过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0.二、填空题9．过点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是______．考点题点答案 －32解析 直线方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即y ＝2x ＋3，令y ＝0，得x ＝－32， ∴在x 轴上的截距为－32. 10．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为 ________________________________________________________________________； 截距式方程为___________________________________________________________； 斜截式方程为___________________________________________________________； 一般式方程为____________________________________________________________． 考点题点答案 y ＋4＝3(x －0) x 433＋y －4＝1 y ＝3x －4 3x －y －4＝0解析 由题意知，k ＝tan 60°＝3，点斜式方程为y ＋4＝3(x －0)， 截距式方程为x 433＋y －4＝1， 斜截式方程为y ＝3x －4，一般式方程为3x －y －4＝0.11．过点P (3，－1)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是________________．考点 直线的截距式方程题点 求直线的截距式方程答案 x ＋2y －1＝0或x ＋3y ＝0解析 设直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，当a ＝0时，b ＝0，此时直线l的方程为 y x ＝－13，所以x ＋3y ＝0；当a ≠0时，a ＝2b ，此时直线l 的方程为x 2b ＋y b＝1，代入(3，－1)，得x ＋2y －1＝0.三、解答题12．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，求直线在y 轴上的截距． 考点 直线的截距式方程题点解 由已知，直线过点(3,0)，所以3(a ＋2)－2a ＝0，即a ＝－6.所以直线方程为－4x ＋45y ＋12＝0，即4x －45y －12＝0.令x ＝0，得y ＝－415. 故直线在y 轴上的截距为－415. 13．已知直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，且过定点(6，－2)，求直线l 的方程． 考点题点解 设直线l 的斜率k ，则直线l 的点斜式方程为y ＋2＝k (x －6)(k ≠0)．令x ＝0，得y ＝－6k －2；令y ＝0，得x ＝2k＋6. 所以⎝⎛⎭⎫2k ＋6－(－6k －2)＝1，解得k ＝－23或k ＝－12. 所以直线l 的方程为y ＋2＝－23(x －6)或y ＋2＝－12(x －6)． 即y ＝－23x ＋2或y ＝－12x ＋1. 四、探究与拓展14．入射光线从P (2,1)出发，经x 轴反射后，通过点Q (4,3)，则入射光线所在直线的方程为________________．考点题点答案 2x ＋y －5＝0解析 由题意，利用反射定理可得，点Q (4,3)关于x 轴的对称点Q ′(4，－3)在入射光线上，故入射光线l 所在的直线PQ ′的方程为y －1x －2＝1＋32－4，化简得2x ＋y －5＝0. 15．直线l 过点P ⎝⎛⎭⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程；(2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程． 考点题点解 (1)设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)， 因为直线l 过点P ⎝⎛⎭⎫43，2，所以43a ＋2b＝1， ① 又a ＋b ＋a 2＋b 2＝12， ② 由①②可得5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝3或⎩⎨⎧ a ＝125b ＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)， 由题意知，ab ＝12，43a ＋2b＝1，消去b ， 得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝6.所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或6x ＋2y －12＝0.。
直线方程的两点式和一般式PPT课件
学习目标
掌握直线方程的两点 式和一般式的推导过 程。
能够运用直线方程的 两点式和一般式解决 实际问题。
理解直线方程的两点 式和一般式的几何意 义。
02 两点式直线方程
定义
总结词
两点式直线方程是描述直线方程的一种方式，基于直线上两点的坐标来定义。
详细描述
两点式直线方程，也称为两点式或线式方程，是基于直线上两个已知点的坐标来定 义的。假设两点为$P_1(x_1, y_1)$和$P_2(x_2, y_2)$，则两点式直线方程可以表示 为：$frac{y - y_1}{x - x_1} = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
解决实际问题
在实际问题中，已知直线上两点 的坐标，可以通过两点式方程求 出直线的斜率和截距，再通过转 换得到一般式方程，从而解决实
际问题。
数学建模
在数学建模中，通过将实际问题 转化为数学模型，利用两点式与 一般式的转换关系，可以方便地
求解直线方程。
科学实验
在科学实验中，有时需要利用已 知的两点坐标来计算直线的斜率 和截距，进而通过转换得到一般 式方程，用于描述实验数据的变
应用场景
总结词
一般式直线方程在几何、代数、解析几何等领域都有广 泛的应用。
详细描述
在几何中，一般式直线方程可以用来描述平面上的任意 一条直线，并且可以用来计算直线的斜率和截距。在代 数中，一般式直线方程可以用来解决线性方程组的问题 ，通过代入法或者消元法可以得到解。在解析几何中， 一般式直线方程可以用来研究直线的性质和特点，例如 直线的平行、垂直、相交等关系。
$Ax + By + C = 0$，其中$A$、$B$ 不同时为零。
北师大版高中数学必修二教师用书：2-1-2-2 直线方程的两点式和一般式
二 直线方程的两点式和一般式1．直线方程的两点式2.直线方程的截距式3.直线方程的一般式(1)定义：关于x 、y 的二元一次方程 Ax ＋By ＋C ＝0_(A 、B 不同时为0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式．(2)适用范围：平面直角坐标系中任意一条直线都可用直线方程的一般式来表示．(3)系数的几何意义当B ≠0时，y ＝－A B x －C B ，它表示平面直角坐标系中一条不垂直于x 轴的直线(其中－A B 就是直线的斜率)．当B ＝0时，则A ≠0，所以有x ＝－C A ，它表示平面直角坐标系中一条与x 轴垂直的直线．1．已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程．[★答案☆] y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)，即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 2．过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？[★答案☆] 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．3．截距式方程能否表示过原点的直线？[★答案☆] 不能．因为ab ≠0，即有两个非零截距．4．当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示怎样的直线？B ＝0呢？[★答案☆] 当B ≠0时，由Ax ＋By ＋C ＝0，得y ＝－A B x －C B ，所以该方程表示斜率为－A B ，在y 轴上截距为－C B 的直线；当B ＝0时，A ≠0，由Ax ＋By ＋C ＝0，得x ＝－C A ，所以该方程表示一条垂直于x 轴的直线．题型一 直线的两点式方程【典例1】 已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中，(1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程．⎝ ⎛⎭⎪⎫参考公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22 [思路导引] (1)BC 边的直线方程可以用两点式表示．(2)先求出BC 边上的中点，然后利用两点式求BC 边上的中线所在直线的方程．[解] (1)BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)，由两点式，得y －(－4)－2－(－4)＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0， 故BC 边的方程是2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)．(2)设BC 的中点M (a ，b )，则a ＝5＋02＝52，b ＝－4＋(－2)2＝－3，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3， 又BC 边的中线过点A (－3,2)，所以y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0， 所以BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0.[引申探究] 若本例条件不变，试求BC 边的垂直平分线所在的直线方程．[解] k BC ＝－4－(－2)5－0＝－25， 则BC 的垂直平分线的斜率为52，又BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3， 由点斜式方程可得y ＋3＝52⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52， 即10x －4y －37＝0.(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，要判断是否满足两点式方程的适用条件．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x 2与y 2是同一点坐标，而x 1与y 1是另一点坐标．[针对训练1] 若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________.[解析] 由直线方程的两点式得y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即y ＋15＝x －2－5. ∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2，∵点P (3，m )在直线AB 上，∴m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2.[★答案☆] －2题型二 直线的截距式方程【典例2】 过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．无数多条[思路导引] 直线l 在两坐标轴上的截距的绝对值相等，应考虑直线过原点和不过原点两类，分别设出方程，再由直线l 过点A (3，－1)求得直线方程．[解析] 当截距都为零时满足题意要求，直线为y ＝－13x ，当截距不为零时，设直线方程为x a ＋y b ＝1，∴⎩⎨⎧ 3a ＋－1b＝1，|a |＝|b |，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－4， 即直线方程为x 2＋y 2＝1或x 4＋y －4＝1， ∴满足条件的直线共有3条．故选B.[★答案☆] B如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况．[针对训练2] 直线l 过定点A (－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则直线l 的方程为____________．[解析] 解法一：设直线方程为x a ＋y b ＝1，则⎩⎨⎧ 12|a ||b |＝4，－2a ＋3b ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝2或⎩⎨⎧ a ＝－43，b ＝－6，所以直线l 的方程为x 4＋y 2＝1或x －43＋y －6＝1，即9x ＋2y ＋12＝0或x ＋2y －4＝0.解法二：由题意知，直线l 的斜率存在且不为0，设为k ，则直线l 的方程为y －3＝k (x ＋2)，令x ＝0，得y ＝2k ＋3，令y ＝0，得x ＝－3k －2，则S ＝12|2k ＋3|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3k －2＝4， 所以(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＝±8. 若(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＝8，即4k 2＋4k ＋9＝0，无解． 若(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＝－8，即4k 2＋20k ＋9＝0，解得k ＝－92或－12. 所以直线l 的方程为y －3＝－92(x ＋2)或y －3＝－12(x ＋2)．即9x＋2y ＋12＝0或x ＋2y －4＝0.[★答案☆] 9x ＋2y ＋12＝0或x ＋2y －4＝0题型三 直线的一般式方程的应用【典例3】 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．[思路导引] (1)直线在坐标轴上的截距相等，注意截距为零的情况．(2)直线不经过第二象限，则其斜率大于零，在y 轴上截距小于零．[解] (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，当然相等．则(a ＋1)×0＋0＋2－a ＝0，∴a ＝2，方程即3x ＋y ＝0；若a ≠2，由题设l 在两轴上的截距相等，∴a －2a ＋1＝a －2， 即a ＋1＝1，∴a ＝0，方程即x ＋y ＋2＝0.∴l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是a ≤－1.(1)截距概念的把握要注意两点：①可以为零．②可以为负(不能与距离混淆)；在题目中出现“截距相等”、“截距互为相反数”、“一截距是另一截距的几倍”等条件时要全面考察，直线l 不经过某象限不要漏掉过原点的情况．(2)由直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)求直线在两轴上的截距时，令x ＝0得纵截距；令y ＝0得横截距．由两截距位置可知直线的位置．[针对训练3] 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0.(1)若直线l 在x 轴上的截距为－3，则m ＝________；(2)若直线l 的斜率为1，则m ＝________.[解析] (1)由题意知m 2－2m －3≠0，即m ≠3且m ≠－1，令y＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3， ∴2m －6m 2－2m －3＝－3，得m ＝－53或m ＝3(舍去)． ∴m ＝－53.(2)由题意知，2m 2＋m －1≠0，即m ≠12且m ≠－1. 把直线l 化为斜截式方程得y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m 2m 2＋m －1， 则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1， 得m ＝－2或m ＝－1(舍去)．∴m ＝－2.[★答案☆] (1)－53 (2)－21．下列说法正确的是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b ＝1表示D ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示[解析] 当直线与y 轴平行或重合时，斜率不存在，选项A 、D 不正确；当直线垂直于x 轴或y 轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C 不正确；当x 1≠x 2，y 1≠y 2时由直线方程的两点式知选项B 正确，当x 1＝x 2，y 1≠y 2时直线方程为x －x 1＝0，即(x －x 1)(y 2－y 1)＝(y －y 1)(x 2－x 1)，同理x 1≠x 2，y 1＝y 2时也可用此方程表示．故选B.[★答案☆] B2．如图所示，直线l 的截距式方程是x a ＋y b ＝1，则有( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0[解析] 很明显M (a,0)、N (0，b )，由图知M 在x 轴正半轴上，N 在y 轴负半轴上，则a >0，b <0.[★答案☆] B3．直线3x －2y －4＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是( ) A.34，－12B.13，12C.34，－2D.43，－2[解析] 将3x －2y －4＝0化成截距式为x 43＋y －2＝1，故该直线在x 轴、y 轴上的截距分别是43，－2.[★答案☆] D4．如果直线l 过(－1，－1)、(2,5)两点，点(1009，b )在直线l 上，那么b 的值为( )A ．2016B ．2017C ．2018D ．2019[解析] 根据三点共线，得5－(－1)2－(－1)＝b －51009－2，得b ＝2019. [★答案☆] D分类讨论思想每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想．【示例】 直线l 与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线l 的方程．[思路分析] 已知条件中给出了截距间的关系，可设截距分别为a 、b ，列出⎩⎨⎧ 12ab ＝2|a －b |＝3，去掉绝对值，求出a 、b 的值，从而求得直线方程． [解] 设直线l 在x 轴，y 轴上的截距分别为a 、b (a >0，b >0)，则由已知可得⎩⎨⎧ 12ab ＝2， |a －b |＝3①当a ≥b 时，①可化为⎩⎨⎧ 12ab ＝2，a －b ＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－4(舍去)．当a <b 时，①可化为⎩⎨⎧ 12ab ＝2，b －a ＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－1(舍去)． 所以，直线l 的截距式方程为x 4＋y ＝1或x ＋y 4＝1.[题后反思] 利用截距求面积(1)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点)，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长时较方便．(2)从题意看，本题只告诉了截距之间的关系，因此解题时，设出了直线的截距式，由于不知截距的大小，因此，需要进行分类讨论．[针对训练] 已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，若直线过定点A (－3,4)，求直线l 的方程．[解] 由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程是y ＝k (x＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，则12|3k ＋4||－4k －3|＝3，显然k >0时不成立．解得k 1＝－23，k 2＝－83. 所以直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.课后作业(十九)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为( )A ．y ＝x ＋3B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －2[解析] 由两点式方程可得，y －14－1＝x ＋21＋2，即y ＝x ＋3. 选A.[★答案☆] A2．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3[解析] 由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，解得m ＝3或m ＝2(舍去)． [★答案☆] D3．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则a ，b 的值分别为( )A ．－3，－1 B.3，－1 C ．－3，1D.3，1[解析] 原方程化为x 1a ＋y1b ＝1，∴1b ＝－1，∴b ＝－1.又∵ax ＋by －1＝0的斜率k ＝－ab ＝a ， 且3x －y －3＝0的倾斜角为60°， ∴k ＝tan120°＝－3，∴a ＝－3，故选A. [★答案☆] A4．若直线l 的横截距与纵截距都是负数，则( ) A ．l 的倾斜角为锐角且不过第二象限 B ．l 的倾斜角为钝角且不过第一象限 C ．l 的倾斜角为锐角且不过第四象限 D ．l 的倾斜角为钝角且不过第三象限[解析] 依题意知，直线l 的截距式方程为x －a ＋y－b ＝1(a >0，b >0)，显然直线l 只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B.[★答案☆] B5．直线y ＝mx －3m ＋2(m ∈R )必过定点( ) A ．(3,2) B ．(－3,2) C ．(－3，－2) D ．(3，－2)[解析] 由y ＝mx －3m ＋2，得y －2＝m (x －3)，所以直线必过点(3,2)．[★答案☆] A6．已知直线x a ＋y6＝1与坐标轴围成的图形面积为6，则a 的值为________．[解析] 由x a ＋y 6＝1知S ＝12|a |·|6|＝6， 所以a ＝±2. [★答案☆] ±27．过点P (3，－1)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是__________________．[解析] 设直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，当a ＝0时，b ＝0，此时直线l 的方程为y x ＝－13，所以x ＋3y ＝0；当a ≠0时，a ＝2b ，此时直线l 的方程为x 2b ＋yb ＝1，代入(3，－1)得x ＋2y －1＝0.[★答案☆] x ＋2y －1＝0或x ＋3y ＝08．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，则该直线在y 轴上的截距为________．[解析] 把(3,0)代入已知方程得：(a ＋2)×3－2a ＝0，∴a ＝－6. ∴直线方程为－4x ＋45y ＋12＝0，令x ＝0，得y ＝－415. [★答案☆] －4159.三角形的三个顶点分别是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，如右图所示，求这个三角形三边所在直线的方程．[解] AB 边所在直线的方程，由两点式得y －0－3－0＝x －(－5)3－(－5)，即3x ＋8y ＋15＝0；BC 边所在直线的方程，由斜截式得y ＝2－(－3)0－3x ＋2，即5x ＋3y －6＝0；AC 边所在直线的方程，由截距式得x －5＋y2＝1，即2x －5y ＋10＝0.10．求满足下列条件的直线方程．(1)经过点A (－1，－3)，且斜率等于直线3x ＋8y －1＝0斜率的2倍；(2)过点M (0,4)，且与两坐标轴围成的三角形的周长为12. [解] (1)因为3x ＋8y －1＝0可化为y ＝－38x ＋18， 所以直线3x ＋8y －1＝0的斜率为－38，则所求直线的斜率k ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－38＝－34.又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线的方程为y ＋3＝－34(x ＋1)， 即3x ＋4y ＋15＝0.(2)设直线与x 轴的交点为(a,0)，因为点M (0,4)在y 轴上，所以由题意有4＋a 2＋42＋|a |＝12，解得a ＝±3，所以所求直线的方程为x 3＋y 4＝1或x －3＋y4＝1，即4x ＋3y －12＝0或4x －3y ＋12＝0.应试能力等级练(时间25分钟)11．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 [解析] 由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋cb ， ∵ab <0，bc <0，∴直线的斜率k ＝－ab >0， 直线在y 轴上的截距cb <0.由此可知直线通过第一、三、四象限． [★答案☆] C12．已知A (3,0)、B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________．[解析] 直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，∴y ＝4－4x3， ∴xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－43x ＝4x －43x 2＝－43(x 2－3x ) ＝－43⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－94＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋3，∴当x ＝32时，xy 取最大值3. [★答案☆] 313．直线y ＝12x ＋k 与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么k 的取值范围是________．[解析] 由已知得k ≠0，令x ＝0，y ＝k ，令y ＝0，x ＝－2k ， 则与两坐标轴围成的面积12|k |·|－2k |≤1， 即k 2≤1， 所以－1≤k ≤1.综上，k 的取值范围是[－1,0)∪(0,1]． [★答案☆] [－1,0)∪(0,1]14．求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．[解] 设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a ，b ， 则有S ＝12|a ·b |＝1，∴ab ＝±2.又直线的方程是x a ＋yb ＝1，∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得－2a ＋2b ＝1， 即b ＝2aa ＋2，∴ab ＝2a 2a ＋2＝±2.当2a 2a ＋2＝－2时，化简得a 2＋a ＋2＝0，方程无解；当2a 2a ＋2＝2时，化简得a 2－a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2.b ＝1.∴直线方程是x －1＋y －2＝1或x 2＋y1＝1，即2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.15．直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线分别满足下列条件：(1)△AOB 的周长为12； (2)△AOB 的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． [解] (1)存在．设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)， 由题意可知a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.①又因为直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，所以43a ＋2b ＝1，②由①②可得5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝125，b ＝92.所以所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或5x 12＋2y9＝1， 即3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0. (2)存在．设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，由题意可知⎩⎨⎧ab ＝12，43a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6.所以所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或x 2＋y6＝1， 即3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.。
高中数学必修：直线方程的两点式和一般式
两点式求解实际问题举例
01
02
03
实际问题一
已知两点坐标，求直线方 程。
实际问题二
为$frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$。
02
一般式方程
直线方程的一般形式为$Ax + By + C = 0$，其中$A$和$B$不同时为
零。
03
斜率截距式与一般式的关系
斜率截距式$y = kx + b$可转化为一般式$kx - y + b = 0$。
计算斜率
利用两点坐标计算直线斜率$k = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
构造两点式方程
根据点斜式方程$y - y_1 = k(x x_1)$，将斜率$k$和点$P_1$坐标
代入，得到两点式方程$frac{y y_1}{y_2 - y_1} = frac{x x_1}{x_2 - x_1}$。
解题技巧分享
利用两点式求直线方程
01
当已知直线上两点时，可直接套用两点式方程求解。
一般式方程的求解
02
通过已知条件列出方程组，求解未知数$A$、$B$和$C$。
利用斜率截距式求一般式
03
当直线方程以斜率截距式给出时，可将其转化为一般式进行后
续计算。
拓展延伸：其他类型直线方程
点斜式方程
已知直线上一点$P(x_0, y_0)$和斜率$k$，直线方程可表示为$y - y_0 = k(x x_0)$。
课件1：2.2.2 第2课时 直线的两点式方程~2.2.2 第3课时 直线的一般式方程
,
典例解析
例1 已知A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2),在△ABC中,
(1)求BC边所在的直线方程;
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
解:(1)BC 边过两点 B(5,-4),C(0,-2),
由两点式,得
-(-4)
-2-(-4)
=
-5
0-5
,即 2x+5y+10=0,
故 BC 边所在的直线方程为 2x+5y+10=0.
(4)当A=0,B≠0,C=0时,直线与x轴重合;
(5)当A≠0,B=0,C=0时,直线与y轴重合.
跟踪训练
跟踪训练3 (1)根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式.
1
①斜率是- 2 ,且经过点A(8,-6)的直线方程为
;
3
2
②在x轴和y轴上的截距分别是 和-3的直线方程为
③经过点P1(3,-2),P2(5,-4)的直线方程为
答案:①x+2y+4=0 ②2x-y-3=0 ③x+y-1=0
.
;
(2)直线l:3x-4y+5=0关于直线x+y=0对称的直线l'的方程为(
A.4x-3y+5=0
B.4x-3y-5=0
C.3x+4y-5=0
D.3x+4y+5=0
解析:在直线l'上任取一点(x,y),此点关于直线x+y=0的对称点
(-y,-x)在直线l:3x-4y+5=0上,∴3(-y)-4(-x)+5=0,即4x-3y+5=0,
,∴
2-6
2 -2-355 Nhomakorabea3
2.1.2.2直线方程的两点式和一般式-导学案
直线方程的两点式和一般式使用说明：1.用15分钟左右的时间，阅读探究课本的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成教材助读设问及自测练习，学有余力的同学可提前进行探究案。
【学习目标】1、掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；2、了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
【学习重点和难点】学习重点：直线方程的两点式和一般式的概念 学习难点：直线方程的两点式和一般式的应用。
预习案 教材助读1. 已知直线上一点()111,P x y ，和直线的斜率k ，则直线的方程是2. 已知一直线过两点()()1122,;,A x y B x y ，求直线的斜率k= 则此直线的点斜式方程是3.已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 则直线的方程是4.求经过两点(,0)(0,)A a B b ≠;的直线l 的方程（其中ab 0）。
5.什么是直线方程的一般式？6.(,)0P m n Ax By C ++=点在直线上（A 、B 不同时为0），则m 、n 满足什么关系？预习自测1. 求经过下列两点的直线方程()()()()()()(1)3,2,0,3;(2)0,4,4,0;(3)3,2,0,0;A B A B A B --2. 求经过点()4,3-，且斜率为23,求直线的点斜式方程，并化为一般式。
3. 求与直线x-2y=0斜率相等，且过点（2，3）的直线方程，并化为一般式。
4. ()()3,2,1m M -已知点P 在过点和N(-3,4)的直线上，求m 的值。
5. 已知直线l 的方程为340.x y -+=求直线l 的倾斜角。
我的疑惑： 探究案基础知识探究1．()()2,2,2,5l B 已知点A 在直线l 上，求的方程。
2. ()()1,5,2,5l B 已知点A 在直线l 上，求的方程。
由上面两个题你能发现什么呢？综合应用探究3．方程0,Ax By C A B C ++=、、为何值时，方程表示直线：（1）平行于x 轴； （2）平行于y 轴； （3）与x 轴重合； （4）与y 轴重合。
2.2.2 第2课时 直线的两点式和一般式方程 学案(含答案)
2.2.2 第2课时直线的两点式和一般式方程学案（含答案）第2课时直线的两点式和一般式方程学习目标1.掌握直线方程的两点式及截距式，并理解它们存在的条件.2.理解直线方程的一般式的特点与方程其它形式的区别与联系.3.会直线方程的一般式与其它形式之间相互转化，进一步掌握求直线方程的方法知识点一直线方程的两点式直线方程的两点式名称已知条件示意图方程使用范围两点式P1x1，y1，P2x2，y2，其中x1x2，y1y2斜率存在且不为0知识点二直线方程的截距式直线方程的截距式名称已知条件示意图方程使用范围截距式在x，y 轴上的截距分别为a，b，且a0，b01斜率存在且不为0，不过原点知识点三直线的一般式方程直线的一般式方程形式AxByC0条件A2B20知识点四直线方程五种形式的比较名称已知条件标准方程适用范围点斜式点P1x1，y1和斜率kyy1kxx1不垂直于x轴的直线斜截式斜率k和在y轴上的截距bykxb不垂直于x轴的直线两点式点P1x1，y1和点P2x2，y2不垂直于x，y轴的直线截距式在x 轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且截距不为零1不垂直于x，y轴的直线，不过原点的直线一般式两个独立的条件AxByC0A，B不全为零1不经过原点的直线都可以用方程1表示2能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示3能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示4当A，B同时为零时，方程AxByC0也可表示为一条直线5任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化题型一直线的两点式方程例1在ABC中，已知点A3,2，B5，4，C0，21求BC边的方程；2求BC边上的中线所在直线的方程解1BC边过点B5，4，C0，2，由两点式，得，即2x5y100，故BC边的方程是2x5y1000x52设BC的中点为Ma，b，则a，b3，所以M.又BC边的中线过点A3,2，所以，即10x11y80，所以BC边上的中线所在直线的方程是10x11y80.反思感悟1当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足，即可考虑用两点式求方程在斜率存在的情况下，也可能先用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程2由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x2与y2是同一点坐标，而x1与y1是另一点坐标跟踪训练1过点A2,1，B3，3的直线方程为A4x5y130B4x5y30C5x4y50D5x4y80考点直线的两点式方程题点利用两点式求直线方程答案B解析因为直线过点2,1和3，3，所以，所以，化简得4x5y30.题型二直线的截距式方程例2求过点A5,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程解方法一1当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为yx，即2x5y0；2当直线l在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为1，即xya.又l过点A5,2，52a，解得a3.l的方程为xy30.综上所述，直线l的方程为2x5y0或xy30.方法二由题意知，直线的斜率一定存在设直线的点斜式方程为y2kx5，当x0时，y25k；当y0时，x5.根据题意，得25k.解得k或1.当k时，直线方程y2x5，即2x5y0；当k1时，直线方程为y21x5，即xy30.综上所述，直线l的方程为2x5y0或xy30.反思感悟1如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其系数即可2在选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直跟踪训练21过点2,3，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为AyxBxy5Cyx和xy5Dyx和xy5考点直线的截距式方程题点利用截距式求直线方程答案C解析设直线在两坐标轴上的截距分别为a，b.当ab0时，直线方程为1，1，a5，xy5，当ab0时，k，yx，综上所述，yx和xy5.2xx株州高一检测已知直线l过点A1,2，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求直线l的方程考点直线的截距式方程题点利用截距式求直线方程解设l1a0，b0，则a24a40，解得a2，所以b4.直线l1，所以l2xy40.题型三直线的一般式方程例3根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程1斜率是，且经过点A5,3；2斜率为4，在y轴上的截距为2；3经过点A1,5，B2，1两点；4在x轴，y轴上的截距分别为3，1；5经过点B4,2，且平行于x轴考点直线的一般式方程题点求直线的一般式过程及各种方程的互化解1由点斜式，得直线方程为y3x5，即xy530.2由斜截式，得直线方程为y4x2，即4xy20.3由两点式，得直线方程为，即2xy30.4由截距式，得直线方程为1，即x3y30.5y20.反思感悟在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式跟踪训练3根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式1斜率是，且经过点A8，6；2在x轴和y轴上的截距分别是和3；3经过点P13，2，P25，4考点直线的一般式方程题点求直线的一般式过程及各种方程的互化解1由点斜式，得直线方程为x2y40.2由斜截式，得直线方程为2xy30.3由两点式，得直线方程为xy10.直线方程的灵活应用典例xx临沂高一检测已知ABC的一个顶点是A3，1，ABC，ACB的平分线方程分别为x0，yx.1求直线BC的方程；2求直线AB的方程解如图1因为ABC，ACB的平分线分别是x0，yx，所以AB与BC关于x0对称，AC与BC关于yx对称A3，1关于x0的对称点A3，1在直线BC上，A关于yx的对称点A1,3也在直线BC上由两点式求得直线BC的方程为，即2xy50.2因为直线AB与直线BC关于x0对称，所以直线AB与BC 的斜率互为相反数，由1知直线BC的斜率为2，所以直线AB的斜率为2，又因为点A的坐标为3，1，所以直线AB的方程为y12x3，即2xy50.素养评析1理解题目条件，角的两边关于角平分线对称2画出图形，借助图形分析A关于直线x0的对称点A在BC上，A关于yx的对称点A也在BC上，体现了直观想象的数学核心素养3分别求出A，A两点的坐标，再根据两点式求出BC边所在直线方程，突出体现了数学运算的数学核心素养1在x轴，y轴上的截距分别是3,4的直线方程是A.1B.1C.1D.1考点直线的截距式方程题点利用截距式求直线方程答案A2经过M3,2与N6,2两点的直线方程为Ax2By2Cx3Dx6考点直线的两点式方程题点利用两点式求直线方程答案B解析由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y2，故选B.3在直角坐标系中，直线xy30的倾斜角是A30B60C150D120考点直线的一般式方程与直线的性质题点由一般式方程求倾斜角和斜率答案C解析直线斜率k，所以倾斜角为150，故选C.4已知点A3,2，B1,4，则经过点C2,5且经过线段AB的中点的直线方程为________答案2xy10解析AB的中点坐标为1,3，由直线的两点式方程，可得，即2xy10.5若直线2m25m2xm24y5m0的倾斜角是45，求实数m的值解由已知得m3.1求直线的两点式方程的策略以及注意点1当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程2由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系2截距式方程应用的注意事项1如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可2在选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直3要注意截距式直线方程的逆向应用31直线方程的其他形式都可以化成一般形式，一般式也可以化为斜截式一般式化斜截式的步骤移项，ByAxC；当B0时，得yx.2在一般式AxByC0A2B20中，若A0，则y，它表示一条与y轴垂直的直线；若B0，则x，它表示一条与x 轴垂直的直线。
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1．了解直线方程的两点式的推导过程，记住直线方程的两
点式和一般式方程．
2．会求直线的两点式和一般式方程．
直线方程的点斜式和斜截式是什么？ 适用条件是什么？ 点斜式方程: y-y0 = k(x-x0)
条件：k 是直线的斜率，(x0 ，y0 )是直线上的一个点
斜截式方程: y = k x +b 条件：k 是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距
2．直线过点 (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为（ （A）2x－3y ＝0; （C）2x－3y ＝0 或 x＋y＋5＝0 （B）x＋y ＋5＝0; （D）x＋y＋5 或 x－y＋5＝0
C
）
3．直线 kx y 1 3k , 当 k 变动时，所有直线都通过定点（ （A） （0，0） （C） （3，1） （B） （0，1） （D） （2，1）
化为一般式方程为
2x 3y 1 0 .
例 3.已知三角形三个顶点分别是 A( 3, 0）,B (2, 2), C (0,1) , 求这个三角形三边各自所在直线的方程.
解:因为直线 AB 过 A( 3, 0）,B(2, 2) 两点，
y0 2 0 由两点式方程得 ， x (3) 2 (3)
整理得 2 x 5 y 6 0 这就是直线 AB 的方程．
y0 1 0 直线过两点 A, C ，由两点式方程得 x (3) 0 ( 3) 整理得 x 3 y 3 0
这就是直线 AC 的方程．
1 (2) 3 ，过点 C (0,1) ， 直线 BC 的斜率是 k 02 2
y2 y1 由点斜式方程得 y y1 ( x x1 ) ， x2 x1
y y1 x x1 可化为 ． y2 y1 x2 x1
这个方程称为直线方程的两点式．
例1． 求经过两点 P ( a , 0), Q (0, b) 的直线 l 的方程 （其中 ab 0 ） ．
直线方程的一般式
关于 x, y 的二元一次方程
Ax By C 0 ( A, B 不同时为 0)
表示是一条直线,我们把它叫作直线方程的一般式.
2 例 2.已知直线经过点 A(4, 3) ,斜率为 . 3
求直线的点斜式方程,并化为一般式方程.
2 解:由已知及点斜式方程得 y 3 ( x 4) 3
过点 P ( x0 , y0 ) 且垂直于 x 轴的直线方程为
x x0 ,
它可化为 x 0 y x0 0 .
均为 Ax By C 线都可以表示成
Ax By C 0 ( A, B 不同时为 0)的形式．
平面直角坐标系中的任意一条直线都可以表示成
Ax By C 0 ( A, B 不同时为 0)的形式吗?
过点 P ( x0 , y0 ) 与 x 轴不垂直的直线方程都可 写成点斜式形式 y y0 k ( x x0 ) ,
它可化为 kx y kx0 y0 0 的形式
解：因为直线 l 经过两点 P ( a , 0), Q (0, b ) ， 所以直线的两点式方程为
y0 xa b0 0a
截距式方程
x y 整理得 1 a b
截距式方程
x y 1 a b
注意：
（１） 其中 a 为直线在 x 轴上的截距， b 为直 线在 y 轴上的截距；
（２）截距是坐标而不是距离，可正可负可为零．
3 由点斜式方程得 y a ( x 0) ． 1 2
整理得 3 x 2 y 2 0 ，这就是直线 BC 的方程．
例４．已知直线 l 的方程为 x 3 y 4 0 ． 求直线 l 的倾斜角．
3 解：直线 l 的斜率 k ， 3
设直线 l 的倾斜角为 ，则
任何关于 x, y 的二元一次方程 Ax By C 0 ( A, B 不同时为 0) 都可以表示平面直角坐标系中的一条直线吗?
A C 当 B 0 时, y x , B B
它表示平面直角坐标系中一条不垂直于 x 轴的直线.
C 当 B 0 时,有 x , A
它表示平面直角坐标系中一条与 x 轴垂直的直线.
C）
1.直线方程的两点式
2.直线方程的截距式
3.直线方程的一般式
不相信自己的意志，永远干不成大事。
3 tan (0 180) 3
由于 k 0 ，所以 0 90 ， 故直线 l 的倾斜角为 30 ．
1．直线 x +6y+2=0 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是（
B
）
1 (A) 2, 3
1 (B) 2, 3
1 (C) ,3 2
(D)－2，－3
两点确定一条直线！那么经过两个定点的直线的方程 能否用“公式”直接写出来呢？
直线方程的两点式
已知直线 l 上两点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y 2 ) （其中 x1 x2 , y1 y2 ） ， 如何求直线 l 的方程呢？
由 A,B 两点的坐标算出直线的斜率
y2 y1 k ， x2 x1