计数原理章节练习题

高三数学章节训练题25《计数原理》
时量：60分钟 满分：80分 班级： 姓名： 计分：
个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分） 1．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（ ） A ．81 B ．64 C ．12 D ．14
2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ）
A ．140种 B.84种 C.70种 D.35种
3．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（ ）
A ．33A
B ．334A
C ．523533A A A -
D ．23113
23233A A A A A +
4．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总数是（ ）
A.20 B ．16 C ．10 D ．6
5．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ） A ．男生2人，女生6人 B ．男生3人，女生5人 C ．男生5人，女生3人 D ．男生6人，女生2人.
6．在8
2
x ⎛ ⎝的展开式中的常数项是（ ）
A.7 B ．7- C ．28 D ．28-
7．5
(12)(2)x x -+的展开式中3
x 的项的系数是（ ） A.120 B ．120- C ．100 D ．100-
8．22n
x ⎫⎪⎭展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（ ）
A ．180
B ．90
C ．45
D ．360
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
1．n 个人参加某项资格考试，能否通过，有 种可能的结果？
2．已知集合{}1,0,1S =-,{}1,2,3,4P =,从集合S ,P 中各取一个元素作为点的坐标,可作出不同的点共有_____个.
3．将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方
格的标号与所填的数字均不同的填法有 种？
4．一电路图如图所示，从A 到B 共有 条不同的线路可通电.
三、解答题（本大题共1题，满分20分） 1.规定!
)1()1(m m x x x C m
x +--=
，其中x ∈R ，m 是正整数，且10
=x C ，
这是组合数m n C （n 、m 是正整数，且m ≤n ）的一种推广．
(1) 求3
15-C 的值；
(2) 设x >０，当x 为何值时，213
)(x
x
C C 取得最小值？
(3) 组合数的两个性质；
①m n n m n C C -=. ②m
n m n m n C C C 11+-=+.
是否都能推广到m x C （x ∈R ，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式
并给出证明；若不能，则说明理由.
变式：规定(1)
(1),m x A x x x m =--+其中x R ∈，m 为正整数，且0
1,x A =这是排列数
(,m
n A n m 是正整数，且)m n ≤的一种推广． ⑴求315A -的值；
⑵排列数的两个性质：①11m m n n A nA --=， ②11m m m n n n A mA A -++=．(其中m ，n 是正整数)是否都能推广到(,m x A x R m ∈是正整数）
的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；
⑶确定函数3x A 的单调区间．
高三数学章节训练题25《计数原理》参考答案 一、选择题
1．B 每个小球都有4种可能的放法，即44464⨯⨯=
2．C 分两类：（1）甲型1台，乙型2台：1245C C ；（2）甲型2台，乙型1台：21
45C C 1221454570C C C C +=
3．C 不考虑限制条件有55A ，若甲，乙两人都站中间有2333A A ，523533A A A -为所求 4．B 不考虑限制条件有25A ，若a 偏偏要当副组长有14A ，215416A A -=为所求 5．B 设男学生有x 人，则女学生有8x -人，则2138390,x x C C A -=
即(1)(8)30235,x x x x --
==⨯⨯=
6．A 14
8888833
18
8811()((1)()(1)()222r r r r
r r r r r r r r r x T C C x C x ------+==-=- 令6866784180,6,(1)()732
r r T C --
===-= 7．B 555332
255(12)(2)2(12)(12)...2(2)(2)...x x x x x C x xC x -+=-+-=+-+-+ 233355(416)...120...C C x x =-+=-+
8．A 只有第六项二项式系数最大，则10n =，
55102110
1022()2r r r
r r r
r T C C x x
--+==，令2310550,2,41
802r r T C -==== 二、填空题
1．2n
每个人都有通过或不通过2种可能，共计有22...2(
2)
2n
n ⨯⨯⨯=个 2． 23 112
342123
C C A -=，其中(1,1)重复了一次. 3．9 分三类：第一格填2，则第二格有1
3A ，第三、四格自动对号入座，不能自由排列；
第一格填3，则第三格有1
3A ，第一、四格自动对号入座，不能自由排列； 第一格填4，则第撕格有13A ，第二、三格自动对号入座，不能自由排列； 共计有1339A =
4.解：1212123
2222333()()1()17.C C C C C C C ++++++= 三、解答题
22．解：(1)680!
3)17)(16)(15(315-=---=
-
C . （6分）
(2)
)32(616)2)(1()(2213-+=--=x
x x x x x C C x x . （7分） ∵ x > 0 , 222≥+x
x .
当且仅当2=x 时，等号成立. ∴ 当2=x 时，213)
(x x
C C 取得最小值. （12分）
（3）性质①不能推广，例如当2=
x 时，12C 有定义，但1
22
-C 无意义; （14分）
性质②能推广，它的推广形式是m x m x m x C C C 11+-=+，x ∈R , m 是正整数. （15分）
事实上，当m ＝１时，有1
1
011+=+=+x x x C x C C . 当m ≥２时.)!
1()2()1(!)1()1(1----++--=+-m m x x x m m x x x C C m x
m x
⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡++--+--=11)!
1()2()1(m
m x m m x x x !
)1)(2()1(m x m x x x ++--= m x C 1+=．（20分）
变式：解：（Ⅰ）3
15A -()()()1516174080=---=-； ……2分
（Ⅱ）性质①、②均可推广，推广的形式分别是：
①1
1m m x x A xA --=， ②()1
1,m m m
x x
x A mA A x R m N -+++=∈∈ ……4分
事实上，在①中，当1m =时，左边1x A x ==， 右边0
1x xA x -==，等式成立；
当2m ≥时，左边()()()121x x x x m =---+
()()
()()()12111x x x x m ⎡⎤=-----+⎣⎦
11m x xA --=， 因此，①1
1m m x x A xA --=成立； ……6分 在②中，当1m =时，左边10111x x x A A x A +=+=+==右边，等式成立；
当2m ≥时，
左边()()
()121x x x x m =---+()()()122m x x x x m +---+
()()
()()1221x x x x m x m m =---+-++⎡⎤⎣⎦
()()()
()11211x x x x x m =+--+-+⎡⎤⎣⎦
1m
x A +==右边，
因此 ②()11,m m m
x x x A mA A x R m N -+++=∈∈成立。

……8分
（Ⅲ）先求导数，得()/
32362x
A
x x =-+.
令2632
+-x x >0，解得x<
333-或 x>3
3
3+. 因此，当⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
-∞-∈333,x 时，函数为增函数，
(11)
分
当⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞+∈,333x 时，函数也为增函数。

令2632
+-x x <0，解得
333-<x<3
3
3+. 因此，当⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-∈333,333x 时，函数为减函数.
(13)
分
所以，函数3
x A
的增区间为3,
3⎛
--∞ ⎝
⎭，
33⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭
函数3
x A
的减区间为
⎝⎭
……14分。