初二小班第六讲 不等式(组)的应用
不等式组及应用知识点总结
不等式组及应用知识点总结一、不等式的基本概念1. 不等式的定义不等式是指数之间的大小关系，可以用大于号（>）、小于号（<）、大于或等于号（≥）、小于或等于号（≤）来表示。
2. 不等式的解不等式的解就是使得不等式成立的数的集合。
解不等式时，要注意不等号的方向，同时考虑是否存在特殊情况。
3. 不等式的性质不等式有传递性、反身性、对称性和加法性、乘法性等性质。
利用不等式的性质可以简化不等式的求解过程。
4. 不等式的转化在不等式的求解过程中，经常需要将不等式进行转化，可以通过加减法、乘除法、开方等方式进行不等式的转化。
5. 不等式的应用不等式在数学中有广泛的应用，如在代数、几何、概率统计等领域均有不等式的应用，特别是在最优化问题中，不等式更是起到了关键的作用。
二、一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的定义一元一次不等式组是由若干个一元一次不等式组成的集合，求解时要求这些不等式同时成立。
2. 一元一次不等式组的解法求解一元一次不等式组时，可以通过图解法、代入法、联立法等方式进行求解。
其中图解法常用于初步研究不等式组的解的位置，而联立法则是最常用的求解方法。
3. 一元一次不等式组的应用一元一次不等式组在生活中有很多应用，例如在资源分配、经济决策、生产计划等方面都有一元一次不等式组的应用。
三、二元一次不等式组1. 二元一次不等式组的定义二元一次不等式组是由若干个二元一次不等式组成的集合，求解时要求这些不等式同时成立。
2. 二元一次不等式组的解法求解二元一次不等式组时，可以通过图解法、代入法、联立法等方式进行求解。
由于二元一次不等式组有两个未知数，因此其解的形式可能是一个不等式区域。
3. 二元一次不等式组的应用二元一次不等式组在几何中有着重要的应用，如求解平面区域的范围、集合的交并问题等都可以通过二元一次不等式组来描述和求解。
四、不等式的推广与应用1. 不等式的推广不等式的推广可以包括多元不等式、高次不等式、不等式组等。
6不等式(组)的应用
2.某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形
彩纸裁成长度不等的短形彩条如右图，在Rt△ABC中，
∠C=90°，AC=3形彩条a1，a2，a3……若使裁得的矩形彩条的长都不小于5cm，则将每张直角三角形彩纸裁成的矩形纸条的总数是()
型车厢每节费用为8000元。
（1）设运送这批货物的总费用为 万元，这列货车挂A型车厢 节，试写出 与 之间的函数关系式；
（2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？
二：【经典考题剖析】
1.光明中学9年级甲、乙两班在为“希望工程”捐款活动中，两班捐款的总数相同，均多于300元且少于400元．已知甲班有一人捐6元，其余每人都捐9元；乙班有一人捐13元，其余每人都捐8元．求甲、乙两班学生总人数共是多少人？
解：设甲班人数为x人，乙班人数为y人，由题意，
可得
因为x为整数，所以x=34，35，36，37，38，39，40，41，42，43，44．又因为y也是整数，所以x是8的倍数．所以x=40．则y=44．所以总人数是84．
2．列不等式解应用题的一般步骤：列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相似，其步骤包括：①；②；③；④；⑤。（其中检验是正确求解的必要环节）
（二）：【课前练习】
1.在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛题共25道，每道题都给会4个答案，其中只有一个答案正确，选对得4分，不选或选错倒扣2分，得分不低于60分得奖， 那么得奖至少应选对（）道题．
（3）在上述方案中，哪种方案运费最省，最少运费为多少元？
略解：（1）设用A型车厢 节，则用B型车厢 节，总运费为 万元，则：
不等式组的解法与应用
不等式组的解法与应用不等式组是由多个不等式构成的方程组，其解即为满足所有不等式条件的变量取值范围。
解不等式组的过程需要运用不等式的性质和常用的解法，以求得合适的解集。
本文将介绍常见的不等式组解法，并探讨不等式组在实际问题中的应用。
一、绝对值不等式组的解法与应用绝对值不等式组是一类特殊的不等式组，常见形式为|x - a| < b 或 |x - a| > b。
其中，a和b为已知实数。
为了解决此类问题，可以通过将绝对值表达式的取值范围分成多个情况进行讨论，然后求解每种情况的解集。
例如，考虑不等式组 |x - 2| < 3 和 |x + 1| > 2，我们可以分别讨论两个绝对值不等式的取值范围。
对于前一个不等式，当 x - 2 > 0 时，即x > 2，原不等式可转化为 x - 2 < 3，解得 2 < x < 5；当 x - 2 < 0 时，即x < 2，原不等式可转化为 2 - x < 3，解得 -1 < x < 5。
综合两种情况，可得解集为 -1 < x < 5。
类似地，对于后一个不等式，我们可以求得解集为 x > -3 或 x < -1。
绝对值不等式组在实际问题中的应用非常广泛，例如在测量误差分析中，可以通过绝对值不等式组来确定测量值的范围；在经济学中，可以运用绝对值不等式组来研究商品价格波动的范围等。
二、一元二次不等式组的解法与应用一元二次不等式组是由多个一元二次不等式构成的方程组。
解这类不等式组的过程需要使用一元二次函数图像和二次函数性质，以求得合适的解集。
例如，考虑不等式组 x^2 - 3x + 2 > 0 和 x^2 - 5x + 6 < 0，我们可以分别讨论两个一元二次不等式的解集。
对于第一个不等式，可以通过因式分解或配方法得到 (x - 1)(x - 2) > 0，进而求得解集为 x < 1 或 x > 2；对于第二个不等式，可以得到 (x - 2)(x - 3) < 0，进而求得解集为 2 < x< 3。
不等式组的解法与应用知识点总结
不等式组的解法与应用知识点总结在数学中，不等式组是由一组不等式构成的方程组。
解不等式组是求解这组不等式的所有可能解的过程。
不等式组的解法与应用是数学中的重要知识点，本文将对不等式组的解法和应用进行总结，并提供几个实际问题的例子来说明其应用。
一、不等式组的解法不等式组的解法与方程组的解法有些相似，但也有一些不同之处。
下面将介绍几种常见的不等式组解法方法。
1. 图解法图解法是一种直观的方法，通过在坐标系中绘制不等式的图像来确定解的范围。
将不等式的解区域标记出来，所有不等式的解的交集即为不等式组的解。
举例说明：考虑如下的不等式组：{3x + 2y ≤ 10,x - y > 1}首先，将第一个不等式3x + 2y ≤ 10转化为直线方程3x + 2y = 10，得到一条直线。
然后，找到不等式的解区域，并用阴影表示。
接着，将第二个不等式x - y > 1转化为直线方程x - y = 1，并找到不等式的解区域。
最后，找到两个不等式解区域的交集，即可得到不等式组的解。
2. 代入法代入法是一种常用的解不等式组的方法，通过求解一个不等式，然后将其解代入到其他不等式中进行验证。
如果满足所有不等式，则该解为不等式组的解。
举例说明：考虑如下的不等式组：{2x + 3y > 5,x - y ≤ 2}首先，解第一个不等式2x + 3y > 5，得到一组解。
然后，将这组解代入到第二个不等式x - y ≤ 2中进行验证，如果满足，则该解为不等式组的解。
3. 消元法消元法是解不等式组的常用方法，通过对不等式组中的某个变量进行消元，将多个不等式转化为一个不等式或只含一个变量的不等式。
举例说明：考虑如下的不等式组：{2x + 3y ≥ 6,x + 2y < 5}首先，对不等式组进行消元，可以通过相加或相减的方法。
将两个不等式相加，得到新的不等式3x + 5y ≥ 11。
然后，解新的不等式，得到一组解。
最后，将这组解代入到原来的两个不等式中进行验证，如果满足，则该解为不等式组的解。
不等式(组)的应用1
不等式的实际应用教案
不等式的实际应用教案一、教学目标1. 理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 能够将实际问题转化为不等式问题，并运用不等式解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 不等式的定义与基本性质2. 实际问题转化为不等式问题3. 不等式在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的概念与基本性质，实际问题转化为不等式问题的方法。
2. 教学难点：不等式在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解不等式的定义与基本性质，引导学生理解不等式的概念。
2. 案例分析法：通过实际问题，引导学生将问题转化为不等式问题，并解决实际问题。
3. 小组讨论法：分组讨论不等式在实际问题中的应用，促进学生之间的交流与合作。
五、教学准备1. 教学课件：制作课件，展示不等式的定义与基本性质，实际问题转化为不等式问题的案例。
2. 练习题：准备一些实际问题，供学生在课堂上练习解决。
【章节一：不等式的定义与基本性质】1. 引入不等式的概念，讲解不等式的定义。
2. 讲解不等式的基本性质，如传递性、同向可加性等。
3. 通过示例，让学生理解不等式的表示方法，如“<”、“>”、“≤”、“≥”等。
【章节二：实际问题转化为不等式问题】1. 引入实际问题，如“两个人比赛跑步，A跑得比B快，如何用不等式表示？”2. 引导学生将实际问题转化为不等式问题，如“A跑得比B快”可以表示为“A 的速度> B的速度”。
3. 通过其他案例，让学生练习将实际问题转化为不等式问题。
【章节三：不等式在实际问题中的应用】1. 引入实际问题，如“一个班级有男生和女生，男生人数多于女生人数，如何用不等式表示？”2. 引导学生将实际问题转化为不等式问题，如“男生人数多于女生人数”可以表示为“男生人数> 女生人数”。
3. 通过其他案例，让学生练习将实际问题转化为不等式问题，并解决实际问题。
【章节四：不等式的解集与图像】1. 讲解不等式的解集的概念，如“解不等式2x + 3 > 7的解集是什么？”2. 引导学生通过图像法或代数法求解不等式的解集。
不等式(组)的应用ppt 通用
课前热身
• 3、九年级（3）班班委会决定元旦晚会 上给每一位同学赠送礼品——音乐贺卡 或鲜花，已知音乐贺卡每张5元，鲜花每 束2元，全班共10人，班长用150元最多 只能买 23 张音乐贺卡。
• 4、小华的家距离学校3600米，如果 他7点离家骑车去学校，想要在7点 30分至7点40分之间到达学校，则小 华的速度应不小于 90米/分 且大 于 120米/分 。
240－x
x
290－x
x
240 x x 5 90 30 x 290 x 5 100 40
(1)根据以上信息填表:
路程 (单位千米) 高速公路AD 普通公路BD 普通公路AE 高速公路CE
140≥x≥135
所需时间 (单位时)
x 90
行驶速度 (单位；千米／时)
典例分析
• 1、某工程组要招聘甲、乙两种工种的 工人150人、甲、乙两种工种的工人的 月工资分别为600元和1000元，现需 要使乙种工种的人数不少于甲种工种 的人数的2倍，问甲乙两种工种各招聘 多少人时，可使得每月所付工资最少？
• 解：设招聘甲种工种的工人x人，则招聘乙 种工种的工人为（150－x）人。 • 由题意得 150－x≥2x x≤50 • 又∵x≥0 于是 0≤x≤50 • 因此，聘请工人所付的工资为 600x+1000(150－x)=150000－400x • 显然，x取最大值50时，150000－400x有 最小值130000. • 此时，150－x=100 • 答：略
设：每场至少x张。根据题意得： 250×3+x≥1000 x≥250 250×5×62=77500 答：至少应预售这两个月的“优惠券”77500张.
• 例6、下图是B、C两市到A市的公路示意图，小明 和小王提供如下信息: • 小明：普通公路EA与高速公路DA的路程相等； • 小王：A、B两市的路程(B--D--A)为240千米，A、 c两市的路程(C--E--A)为290千米， • 小明汽车在普通公路BD上行驶的平均速度是30千 米／时，在高速公路DA上行驶的平均速度是90千 米／时; • 小王汽车在高速公路CE上行驶的平均速度是lOO 千米／时，在普通公路EA上行驶的平均速度是40 千米／时； • 小明汽车从B市到A市不超过5小时；小王：汽车从 C市到A市也不超过5小时. • 若设高速公路AD的路程为x千米.
不等式组的解法和应用
不等式组的解法和应用不等式组是由多个不等式组成的集合，其解为满足这些不等式的所有实数的集合。
解决不等式组可以通过图像法、代入法、消元法等多种方法进行，根据具体问题的特点选择合适的解法。
I. 图像法图像法是一种直观而简单的解决不等式组问题的方法。
首先，我们将每个不等式都表示在坐标系中的直线或曲线上，然后通过观察图像的交点或者不等式所在的区域来确定解的范围。
例如，考虑以下不等式组：1. 2x + 3y ≤ 62. x - y > 1我们可以将第一个不等式画成2x + 3y = 6的直线，并标记位于或位于直线下方的区域。
同时，将第二个不等式标记在图上，由于是一个不等式关系，我们只需要标记不等式所在的区域。
通过观察交点或者图像所覆盖的区域，我们可以确定不等式组的解。
II. 代入法代入法通过将一个变量的值代入不等式组，将其转化为只含有一个变量的不等式，从而求解。
这个方法适用于不等式组中的不等式较为简单，可以很容易地解出单个变量的值。
考虑以下不等式组：1. 3x - 2y ≤ 72. x + y > 4我们可以选择代入第一个不等式中的x，将其带入第二个不等式，得到 y > 4 - x。
然后，我们可以根据这个不等式确定x和y的取值范围，并进一步求解不等式组。
III. 消元法消元法通过消去一个或多个变量，将不等式组转化为只含有一个变量的不等式，从而求解。
这个方法适用于不等式组中的不等式关系较为复杂，无法简单地通过代入法进行求解。
考虑以下不等式组：1. 2x + 3y ≤ 102. 3x + 2y > 6我们可以通过乘以合适的系数，使得两个不等式的系数相等，从而可以利用相减或者相加的方式将变量消去。
通过这种方法，将两个不等式相减，可以得到一个只含有一个变量的不等式，然后求解这个不等式即可得到不等式组的解。
IV. 应用不等式组的解法在现实问题中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，可以利用不等式组的解法来优化生产成本和利润最大化。
中考数学教学指导：不等式(组)的应用.doc
不等式（组〉的应用在tl常生活、生产中，市场经济建设中，许多问题存在的数量并非是相等关系，而是不等关系，此时问题的解决需要建立不等式（组）模型，因此，利用不等式（组）可以解决许多问题，应引起重视。
例1.国家为了关心广大农民群众，增强农民抵御大病风险的能力，积极推行农村医疗保险制度，某市根据本地的实际情况，制定了纳入医疗保险的农民医疗费报销规定，亨受医保的农民可在定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者先犁付医疗费用，年终到医保屮心报销，医疗费的报销比例标准如下表：（1）设某农民一年的实际医疗费为兀元，（500<x <10000,按标准报销的金额为丁元, 试求），与X的函数关系式；（2）若某农民一年内自付医疗费为2600元（自付医疗费二实际医疗费-按标准报销的金额），则该农民当年实际医疗费为多少元？（3）若某农民一年内自付医疗费不少于4100元，则该农民当年实际医疗费至少为多少元？分析：推行农村医疗保险制度是国家政府解决广大农民看病难的措施z—,如何报销是农民们关注的问题，本题不仅考查同学们对不等式的应用能力，同时也进行了一次医疗保险的法规宣传。
7（1）y = —U-500）（500<x ^10000）,注意500元部分是不能报销的；10（2）设该农民一年内实际医疗费为兀元，易知500<xW 10000,故500 + （x-500）X0.3 = 2600,解之得x=7500 （元）（3）设该农民一年内实际医疗费为兀元，易知兀>10000,故500 + （10000- 500）x0.3 + （x-10000）x0.2 ^4100,解得,x 213750,因此，该农民一年内实际医疗费至少为13750元。
例2.某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金17400元，若购进10台空调和30台电风扇，需要资金22500元.（1）求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元?(2)该经营业主计划购进这两种电器共70台，而对用于购买这两种电器的资金不超过30000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元.该业主希望当这两种电器销售完吋，所获得的利润不少于3500元.试问该经营业主有哪儿种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？解：(1)设挂式空调和电风扇每台的采购价格分别为无元和y元，依题意，得x = 1800y = i5O '即挂式空调和电风扇每台的采购价分别为1800元和150元；(2)设该业主计划购进空调［台，则购进电风扇(70-1)台，则1800/4-150(70-0 <30000200^ + 30(70-/) >3500•・•/为整数，:・t为9, 10, 11,故有三种进货方案，分别是：方案一：购进空调9台，电风扇61台;方案二：购进空调10台，电风扇60台；方案三：购进空调11台，电风扇59台；设这两种电器销售完后，所获得的利润为W,则W = 200/ + 30(70-r) = 170/ + 2100,由于W随/的增大而增大，故当t = \\时，W有最大值，VV.,? =170x11 + 2100 = 3970,即选择第3种进货方案获利最大，最大利润为3970元。
初二数学不等式的解法与应用
初二数学不等式的解法与应用数学是一门严谨而有趣的学科，而不等式则是数学中重要的内容之一。
初中二年级的学生开始接触到了不等式的概念，本文将介绍初二数学不等式的解法与应用。
通过了解不等式的基本概念和解题方法，学生们可以更好地理解不等式的运用，并能够灵活解决不等式问题。
1. 不等式的基本概念在初二数学中，不等式是指两个数之间的关系，用不等号表示。
常见的不等号有大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）。
不等式的解即满足这个不等式的值的范围。
2. 一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个变量的不等式。
解一元一次不等式的步骤如下：（1）将不等式化为标准形式，即将不等式的各项移到一边，使得不等式的右边为0；（2）确定不等式的符号，根据不等号的类型确定解集的范围，即确定开括号还是闭括号；（3）解出不等式的变量，求解不等式得到的解即为解集。
3. 一元一次不等式的例题例题一：解不等式2x - 5 > 7。
解答：将不等式化为标准形式，即2x - 5 - 7 > 0，化简得2x - 12 > 0。
确定不等式的符号，该题为大于号，故解集为开区间。
解出不等式的变量，得到不等式2x > 12，再除以2，得到x > 6。
所以不等式2x - 5 > 7的解集为(6，+∞)。
例题二：解不等式-3x + 2 < x - 1。
解答：将不等式化为标准形式，即-3x - x - 2 < -1，化简得-4x - 2 < -1。
确定不等式的符号，该题为小于号，故解集为开区间。
解出不等式的变量，得到不等式-4x < 1，再除以-4，得到x > -1/4。
所以不等式-3x + 2 < x - 1的解集为(-1/4，+∞)。
4. 不等式的应用不等式在实际生活中有很多应用场景，包括但不限于以下几个方面：4.1 代数问题的解法在解代数问题时，常常会遇到数个数之间的大小关系。
不等式组的解法与应用
不等式组的解法与应用不等式组是由一组不等式构成的方程组。
在数学中，解不等式组可以帮助我们确定一组满足多个不等式条件的变量值。
本文将介绍不等式组的解法以及其在实际应用中的具体使用。
一、不等式组的解法解决不等式组的关键在于确定变量的取值范围。
为了简化过程，通常采用图像法或代数法来求解。
1. 图像法图像法通过绘制不等式的图像，确定变量取值范围。
以下是一些常见的图像法解不等式组的示例：【示例 1】解不等式组：2x + 3y ≥ 6x - 4y < 8对于第一个不等式2x + 3y ≥ 6，我们可以将其转化为等式形式，得到2x + 3y = 6。
绘制该直线并标记出直线上的一个点。
对于第二个不等式 x - 4y < 8，我们可以将其转化为等式形式，得到x - 4y = 8。
绘制该直线，并标记出直线上的一个点。
最后，通过观察两个直线的交点以及两个直线所在区域的情况，确定变量的取值范围。
2. 代数法代数法主要通过代数运算来求解不等式组。
以下是一些常见的代数法解不等式组的示例：【示例 2】解不等式组：3x + 4y ≤ 102x - y > 5首先，对于第一个不等式3x + 4y ≤ 10，我们可以通过以下步骤来求解：3x + 4y ≤ 104y ≤ -3x + 10y ≤ -3/4x + 10/4y ≤ -3/4x + 5/2然后，对于第二个不等式 2x - y > 5，我们可以通过以下步骤来求解： 2x - y > 5-y > -2x + 5y < 2x - 5最后，通过观察两个不等式的范围，确定变量的取值范围。
二、不等式组的应用不等式组在实际应用中具有广泛的用途。
以下是一些常见的应用领域：1. 经济学不等式组在经济学中有着广泛的应用，例如用于描述供需关系、价格弹性等经济指标。
通过解不等式组，可以确定价格范围和供应量，从而帮助决策者制定合理的供求政策。
2. 工程学在工程学中，不等式组常用于优化问题的建模。
初中不等式的应用教案
初中不等式的应用教案教学目标：1. 理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 能够解决实际问题中的不等式问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 不等式的定义和基本性质。
2. 不等式的解法。
3. 不等式在实际问题中的应用。
教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引入不等式的概念，通过举例让学生感受不等式的存在。
2. 引导学生思考不等式与等式的区别和联系。
二、基本性质（15分钟）1. 介绍不等式的基本性质，如对称性、传递性等。
2. 通过示例和练习让学生理解和掌握不等式的基本性质。
三、解不等式（20分钟）1. 介绍解不等式的方法，如图像法、符号法等。
2. 通过例题和练习让学生学会解不等式。
四、不等式在实际问题中的应用（15分钟）1. 通过示例让学生了解不等式在实际问题中的应用，如物资分配、温度比较等。
2. 让学生尝试解决实际问题中的不等式问题，培养学生的解决问题的能力。
五、总结与拓展（10分钟）1. 对本节课的内容进行总结，强调不等式的概念和应用。
2. 提出一些拓展问题，激发学生的思考和学习的兴趣。
教学评价：1. 通过课堂讲解和练习，评价学生对不等式的理解和掌握程度。
2. 通过实际问题解决，评价学生的应用能力和解决问题的能力。
教学资源：1. 教学PPT。
2. 练习题和答案。
教学建议：1. 在教学过程中，要注意引导学生通过图形和实际情境来理解和解决问题。
2. 鼓励学生积极参与课堂讨论和练习，培养学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 对于不同学生的学习情况，可以适当调整教学内容和教学方法，以满足学生的学习需求。
以上是一篇关于初中不等式的应用的教案，希望能够帮助到您。
不等式(组)的应用课件
D．不存在
1 双曲线的图象经过第二、 四象限， 可知 2k－1<0， k< . 2
基础自测
4．(2011·杭州)若 a＋b＝－2，且 a≥2b，则 b 1 b A. 有最小值 B. 有最大值 1 a 2 a a C. 有最大值 2 b a 8 D. 有最小值－ b 9
( C )
解析
∵a＋b＝－2，a≥2b，∴b<0， a a 在 a≥2b 两边都除以 b，则 ≤2，故 有最大值 2. b b
(2)一本科普读物共 98 页， 王力读了一周(7 天)还没有读完， 而张勇不到一周就读完了．张勇平均每天比王力多读 3 页，王力平均每天读多少页？(答案取整数)
解 设王力平均每天读 x 页，则张勇平均每天读(x＋3)页．
7x<98， x<14， ∴ 解得 7（x＋3）>98， x>11，
基础自测
5．(2012·荆门) 已知点 M(1－2m，m－1)关于 x 轴的对称 点在第一象限， 则 m 的取值范围在数轴上表示正确的是 ( A )
解析 由题意得，点 M 关于 x 轴的对称点的坐标为 (1－2m，1－m)， 又∵M(1－2m，m－1)关于 x 轴的对称点在第一象限， 1 m< ， 1－2m>0， ∴ 解得 2 1－m>0， m<1. 在数轴上表示为：
解 设有 x 间宿舍，则女生有(5x＋5)人，
5x＋5<35，① ∴ 0<（5x＋5）－8（x－2）<8，②
1 1 由①得 x<6，由②得 4 <x<7，∴4 <x<6. 3 3 整数 x＝5，5x＋5＝30. 答：有 5 间宿舍，30 名女生．
初二-第06讲-不等式(组)及其应用(提高)-教案
学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(下)课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第06讲-不等式（组）及其应用授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①了解一元一次不等式组的概念；②掌握一元一次不等式组的解法；③掌握一元一次不等式组的应用。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理1、一元一次不等式组的概念：一般的，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。
（1）“一元”，所有的不等式必须是同一未知数的不等式，且未知数的实际意义相同；（2）“一次”，所有的不等式中未知数的次数为1；（3）“几个”，也就是指两个或者两个以上。
2、一元一次不等式组的解集的概念一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
体系搭建3、一元一次不等式组的解法步骤一：根据不等式的性质求出每一个不等式的解集不等式的性质是对不等式进行变形的重要依据，是学好不等式的基础和关键。
（1）不等式两边加上（或减去）同一个数（或式），不等号方向不变。
如果a>b ，那么c b c a c b c a ->-+>+， 。
（2）不等式两边乘（或除）以同一个正数，不等号的方向不变。
如果a>b ，c>0，那么 bc ac >或c b c a >。
（3）不等式两边乘（或除）以同一个负数，不等号的方向改变。
如果0c b a <>， ，那么 bc ac <或cbc a < 。
性质（2）和（3）可简记为“负变正不变”。
步骤二：将每一个不等式的解集利用数轴进行合并得到不等式组的解由两个一元一次不等式组成的不等式组，可以归结为下述四种基本类型：(表中a b >)不等式 图示 解集 x ax b>⎧⎨>⎩ x a >(大大取大) x ax b <⎧⎨<⎩x b <(小小取小)x ax b <⎧⎨>⎩ b x a <<(大小小大中间找)x ax b >⎧⎨<⎩无解(大大小小解不了)4、一元一次不等式组的应用列不等式组解决实际问题的一般步骤（1）找：找出问题中的不等关系；（2）设：设出未知数；（3）列：根据前面的不等关系列出不等式组；（4）解：解不等式组；（5）答：检验后答出结果。
不等式组的应用.ppt
(2)应怎样安排养殖,可获得最大收益?
方法1：（2）由（1）中分析可知，每 亩水池养甲鱼的收益大于养黄鳝的收 益，所以要想获得最大收益应在可能 范围内使养甲鱼的亩数最多，即养甲 鱼8亩，黄鳝2亩．
方法2：6×1.2＋4×0.9=10.8
7×1.2＋2×0.9=11.1
8×1.2＋2×0.9=11.4
解:设每个小组原先每天生产x件产品.
根据题中前后两个条件,得
｛3 × 1 0 x < 5 0 0 3×10(x+1)>500
① ②
由不等式①得 x<16２３－
由不等式②得 x>15３ ２— 因此,不等式组的解集为 15—２<x<16—３ ２ 根据题意，x的值应是整数，所以 x=16
答：每个小组原先每天生产１６件产 品
根据题意得，x的值应是整数，所以
x=12或13
答：张力平均每天读12或13页
归纳
对于具有多种不等关系的问题，可通 过不等式组解决。解一元一次不等式 组时，一般先求出其中各个不等式的 解集，再求出这些解集的公共部分。 利用数轴可以直观地表示不等式组的 解集，再结合实际问题求出符合实际 问题的解。
一本英语书共98页，张 力读了一周（7天）还没读 完，而李永不到一周就已读 完。李永平均每天比张力多 读3页，张力平均每天读多
少页（答案取整数）？
解：设张力平均每天读x页
7（ x +3）>98 ①
7 x <98
②
解不等式①得
x >11
解不等式②得
x <14
因此，不等式组的解集为
11 < x<14
想一例想2 3个小组计划在10天内 生产500件产品(每天生产量 相同),按原先的生产速度,不 能完成任务;如果每个小组每 天比原先多生产1件产品,就 能提前完成任务,每个小组原 先每天生产多少件产品?
初二数学专题(不等式(组)应用题的类型与解法3星)
-------不等式（组）应用题的类型与解法（★★★）1、 了解不等式的各种应用题型；2、 学会找出题目中的不等关系；3、 掌握解不等式应用的方法以及思路； 知识结构1．列不等式（组）解应用题的一般步骤：（1）设：弄清题意和题目中的数量关系，用字母（x 、y ）表示题目中的未知数；（2）找：找到能够表示应用题全部含义的一个不等的关系；（3）列：根据这个不等的数量关系，列出所需的代数式，从而列出不等式（组）；（4）解：解这个所列出的不等式（组），求出未知数的解集；（5）答：写出答案；这五步的关键是“列”，难点是“找”；2．一元一次不等式（重点）：【引导孩子思考一元一次方程的概念，类比学习】只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式； 注：其标准形式：ax+b ＜0或ax+b ≤0，ax+b ＞0或ax+b ≥0(a ≠0)；3．解一元一次不等式的一般步骤（重难点）；(1)去分母；(2)去括号；(3)移项； (4)合并同类项；(5)化系数为1； 4．不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型（设a>b ）（重难点） 不等式组 图示 解集x a x b>⎧⎨>⎩ b a x a >（同大取大） x a x b<⎧⎨<⎩ b a x b <（同小取小） x a x b <⎧⎨>⎩b a b x a <<（大小交叉取中间） x a x b >⎧⎨<⎩ b a无解（大小分离解为空）类型一：纯一元一次不等式类例题1、（★★★）某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．甲 乙 价格（万元/台）7 5 每台日产量（个） 100 60（1）按该公司要求可以有几种购买方案？（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？解：（1）设购买甲种机器x 台，则购买乙种机器（6－x ）台；由题意，得75(6)34x x +-≤，解这个不等式，得2x ≤，即x 可以取0、1、2三个值，所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案：方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台；方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台；方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台；（2）按方案一购买机器，所耗资金为30万元；新购买机器日生产量为360个； 按方案二购买机器，所耗资金为1×7＋5×5＝32万元；新购买机器日生产量为1×100＋5×60＝400个；按方案三购买机器，所耗资金为2×7＋4×5＝34万元；新购买机器日生产量为2×100＋4×60＝440个；因此，选择方案二既能达到生产能力不低于380个的要求，又比方案三节约2万元资金，故应选择方案二．我来试一试！变式：（★★★）某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾0.8元．相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%．（1）若购买这批鱼苗共用了3600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？（2）若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？（3）若要使这批鱼苗的成活率不低于93%，且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？ 解：（1）设购买甲种鱼苗x 尾，则购买乙种鱼苗(6000)x -尾，由题意得：0.50.8(6000)3600x x +-=解这个方程，得：4000x =∴60002000x -=答：甲种鱼苗买4000尾，乙种鱼苗买2000尾．（2）由题意得：0.50.8(6000)4200x x +-≤解这个不等式，得： 2000x ≥即购买甲种鱼苗应不少于2000尾．（3）设购买鱼苗的总费用为y ，则0.50.8(6000)0.34800y x x x =+-=-+由题意，有 909593(6000)6000100100100x x +-≥⨯ 解得： 2400x ≤在0.34800y x =-+中∵0.30-<，∴y 随x 的增大而减少∴当2400x =时，4080y =最小．即购买甲种鱼苗2400尾，乙种鱼苗3600尾时，总费用最低．例题2、（★★★）今年6月份，我市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，一种货车可装荔枝香蕉各2吨；（1） 该果农按排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2） 若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，则该果农应选择哪种方案？使运费最少？最少运费是多少元？解：（1）设安排甲种货车x 辆，则安排乙种货车（10－x ）辆，依题意，得42(10)302(10)13x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩ ，解这个不等式组，得 57x x ≥⎧⎨≤⎩57x ∴≤≤； x 是整数，∴x 可取5、6、7；既安排甲、乙两种货车有三种方案：①甲种货车5辆，乙种货车5辆；②甲种货车6辆，乙种货车4辆；③甲种货车7辆，乙种货车3辆；方法一：由于甲种货车的运费高于乙种货车的运费，两种货车共10辆，所以当甲种货车的数量越少时，总运费就越少，故该果农应选择① 运费最少，最少运费是16500元；方法二：方案①需要运费2000×5+1300×5=16500（元）方案②需要运费 2000×6+1300×4=17200（元）方案③需要运费 2000×7+1300×3=17900（元∴该果农应选择① 运费最少，最少运费是16500元．类型二：纯不等式组类我来试一试！变式、（★★）近期以来，大蒜和绿豆的市场价格离奇攀升，网民戏称为“蒜你狠”、“豆你玩”．以绿豆为例，5月上旬某市绿豆的市场价已达16元/千克．市政府决定采取价格临时干预措施，调进绿豆以平抑市场价格．经市场调研预测，该市每调进100吨绿豆，市场价格就下降1元/千克．为了即能平抑绿豆的市场价格，又要保护豆农的生产积极性，绿豆的市场价格控制在8元/千克到10元/千克之间（含8元/千克和10元/千克）．问调进绿豆的吨数应在什么范围内为宜？解：设调进绿豆x 吨，根据题意，得1681001610.100x x -≥-≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 解得 600≤x ≤800. 答：调进绿豆的吨数应不少于600吨，并且不超过800吨．例题3、（★★★）2004年8月中旬，我市受14号台风“云娜”的影响后，部分街道路面积水比较严重．为了改善这一状况，市政公司决定将一总长为1200m 的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工．若甲、乙两队合做需12天完成此项工程；若甲队先做了8天后，剩下的由乙队单独做还需18天才能完工．问甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？又已知甲队每施工一天需要费用2万元，乙队每施工一天需要费用1万元，要使完成该工程所需费用不超过35万元，则乙工程队至少要施工多少天？.解：设甲、乙两队单独完成此项工程分别需要x 天,y 天． 依题意得111128181x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解之得2030x y =⎧⎨=⎩ 经检验知它们适合方程组和题意．则甲队每天施工1200÷20=60m ，乙队每天施工1200÷30=40m.设甲、乙两队实际完成此项工程分别需要a 天，b 天.依题意得60401200235a b a b +=⎧⎨+≤⎩解之得b ≥35. 答：甲、乙两队单独完成此项工程分别需要20天，30天；要使完成该工程所需费用不超过35万元，则乙工程队至少要施工15天．我来试一试！变式、（★★★）郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元．用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元?（2）郑老师计划用l000元为全班40位学生每人购买一件学习用品(一个书包或一本词类型三：不等式（组）联姻方程类典)后．余下不少于l OO 元且不超过120元的钱购买体育用品．共有哪几种购买书包和词典的方案?解：（1）解：设每个书包的价格为x 元，则每本词典的价格为(x －8)元．根据题意得： 3 x +2(x －8)＝124， 解得：x ＝28；∴ x －8＝20；答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元．（2）解：设昀买书包y 个，则购买词典(40－y )本．根据题意得：1000[232040]11000[282040]120y y y y -+-⎧⎨-+-⎩（），（）．≥≤ 解得：10≤y ≤12.5；因为y 取整数，所以y 的值为10或11或12；所以有三种购买方案，分别是：①书包10个，词典30本；②书包11个，词典29本；③书包12个，词典28本．例题4、（★★★）某加工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工，若进行粗加工，每吨加工费为600元，需13天，每吨售价4000元；若进行精加工，每吨加工费为900元，需12天，每吨售价4500元，现将这50吨原料全部加工完． （1）设其中粗加工x 吨，获利y 元，求y 与x 的函数关系式（不要求写自变量的范围）；（2）如果必须在20天内完成，如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？ 解：（1）20030000y x =-+（2）设粗加工x 吨，则精加工（50－x ）吨； 由题意知11(50)32x x +-≤２０，得ｘ≥３０，∴３０≤ｘ≤５０，当ｘ＝３０时， 200303000024000y =-⨯+=最大（元），故粗加工：30103=（天）， 精加工：5030102-=（天）． 答：１０天粗加工，１０天精加工可获最大利润，最大利润是２４０００元．我来试一试！变式：1（★★★）某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a 元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用780元，其中，纯净水的销售价x (元/桶)与年购买总量y (桶)之间满足如图所示关系．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）若该班每年需要纯净水380桶，且a 为120时，请你根据提供的信息分析一下：类型四：不等式（组）联姻一次函数类该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？（3）当a 至少为多少时, 该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？从计算结果看，你有何感想（不超过30字）？ 解：（1）设y kx b =+，∵x ＝4时，y ＝400；x ＝5时，y ＝320．∴4004,3205.k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解之，得80,720.k b =-⎧⎨=⎩ ∴y 与x 的函数关系式为80720y x =-+．（２）该班学生买饮料每年总费用为50×120＝6000（元），当y ＝380时，38080720x =-+，得 x ＝4.25,该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用380×4.25+780＝2395(元),显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少． （3）设该班每年购买纯净水的费用为W 元，则W ＝xy ＝x （－80x +720）＝2980()16202x --+，∴当 x ＝92时，W 最大值＝1620，要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，则 50a ≥W 最大值+780，即 50a ≥1620+780，解之，得 a ≥48．所以a 至少为48元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算，由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯．建议15分钟1、（★★）为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人？共有多少个交通路口安排值勤？解：设这个学校选派值勤学生x 人,共到y 个交通路口值勤．根据题意得：47848(1)8x y x y -=⎧⎨≤--<⎩ 将方程①代入不等式 ②, 47848(1)8y y ≤+--<，整理得：19.5<20.5y ≤ ， 根据题意y 取20，这时x 为158．答：学校派出的是158名学生,分到了20个交通路口安排值勤．2、（★★★）小明利用课余时间回收废品，将卖得的钱去购买5本大小不同的两种笔记本，要求共花钱不超过28元，且购买的笔记本的总页数不低于340页，两种笔记本的价格和页数如下表．①②y (桶)x (元/桶)O 4 5 400 320为了节约资金，小明应选择哪一种购买方案?请说明理由．解：设买大笔记x 本，由题意得：65(5)2810060(5)340x x x x +-≤⎧⎨+-≥⎩ 解得：1≤x ≤3又∵x 为正整数，∴x=1，2，3所以购买的放案有三种：方案一：购买大笔记本1本，小笔记本4本；方案二：购买大笔记本2本，小笔记本3本；方案三：购买大笔记本3本，小笔记本2本；花费的费用为：方案一：6×1+5×4=26元；方案二：6×2+5×3=27元；方案三：6×3+5×2=28元；所以选择方案一省钱．3、（★★★）君实机械厂为青扬公司生产A 、B 两种产品，该机械厂由甲车间生产A 种产品，乙车间生产B 种产品，两车间同时生产．甲车间每天生产的A 种产品比乙车间每天生产的B 种产品多2件，甲车间3天生产的A 种产品与乙车间4天生产的B 种产品数量相同．（1）求甲车间每天生产多少件A 种产品？乙车间每天生产多少件B 种产品？（2）君实机械厂生产的A 种产品的出厂价为每件200元，B 种产品的出厂价为每件180元．现青扬公司需一次性购买A 、B 两种产品共80件，君实机械厂甲、乙两车间在没有库存的情况下只生产8天，若青扬公司按出厂价购买A 、B 两种产品的费用超过15000元而不超过15080元．请你通过计算为青扬公司设计购买方案．解：（1）设乙车间每天生产x 件B 种产品，则甲车间每天生产（x+2）件A 种产品.根据题意3（x+2）=4x解得x=6∴x+2=8答：甲车间每天生产8件A 种产品，乙车间每天生产6件B 种产品.（2）设青扬公司购买B 种产品m 件，则购买A 种产品（80-m ）件，15000200(80)180150804650m m m <-+≤≤<∵m 为整数 ∴m 为46或47或48或49又∵乙车间8天生产48件或47或48或49∴有三种购买方案，购买A 种产品32件，B 种产品48件；购买A 种产品33件，B 种产品47件；购买A 种产品34件，B 种产品46件.4、（★★★★）某通讯器材商场，计划用60 000元从厂家购进若干部新型手机，•以满足市 大笔记本 小笔记本价格（元/本）6 5 页数（页/本）100 60场需求，已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为：•甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元．（1）若商场同时购进某两种不同型号手机共40部，并将60 000地恰好用完，•请你帮助商场计算一下，如何购买．（2）若商场同时购进三种不同型号的手机共40部，并将60 000元恰好用完，•并且要求乙种型号手机的购买数量不少于6部且不多于8部，•请你求出商场每种型号手机购买的数量．解：（1）若购进甲、乙两种手机，设购进甲x 部，乙y 部．40,180060060000,x y x y +=⎧⎨+=⎩得30,10.x y =⎧⎨=⎩若购进甲、丙两种手机，设购进甲m 部，丙n 部．40,1800120060000,m n m n +=⎧⎨+=⎩得20,20.m n =⎧⎨=⎩若购进乙、丙两种手机，设购进乙a 部，丙b 部．40,600120060000,a b a b +=⎧⎨+=⎩得20,60.a b =-⎧⎨=⎩ 不合题意．所以购买甲30部、乙10部或甲20部、乙20部．（2）设购甲x 部，乙y 部，丙z 部，则40,1800600120060000,68,x y z x y z y ++=⎧⎪++=⎨⎪≤≤⎩解得28,8,4,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或26,6,8,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或27,7,6.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩。
不等式(组)综合应用(讲义及答案)
不等式（组）综合应用（讲义）➢ 课前预习不等式和方程的学习方法类似，都是从概念、性质、解法及应用等方面进行的．请回忆不等式的相关内容，并回答下列问题．1. 求不等式组的解集时，我们有两种方法：①背口诀：____________、____________、_______________、______________________．②画数轴：把不等式的解集表示在同一数轴上，并取其______．2. x =3______（填“是”或“不是”）不等式“30x -≤”的解．3. 若关于x 的一元一次不等式组122x a x x <⎧⎨-<-⎩的解集为13x <<，则a =_______．➢ 知识点睛1. 含参不等式（组）一般处理思路（1）系数中含有字母：①把不等式化成ax >b 或ax <b 的形式；②根据___________________，确定___________．（2）系数中不含字母：①_____________________；②_____________________；③_____________________．2. 知识之间组合（1）方程组与不等式组合：___________________，转化成一元一次不等式（组）求解．（2）方程与不等式组合：___________________，转化成一元一次不等式（组）求解．➢ 精讲精练1. 关于x 的一元一次不等式(1)5a x +<，若其解集为51x a <+，则a 的取值范围是_________；若其解集为51x a >+，则a 的取值范围是_________．2. 已知m ，n 为常数，若不等式0mx n -<的解集为1x >-，则20nx m +>的解集为___________．3. 若关于x 的不等式(2)50m n x m n -+->的解集为107x <，则关于x 的不等式mx n >（m ≠0）的解集为___________．4. 若关于x 的不等式组>2>x x a⎧⎨⎩的解集是2x >，则a 的取值范围是______________．5. 若关于x 的不等式组8>41x x x m+-⎧⎨⎩≤的解集是x <3，则m 的取值范围是______________．6. 若关于x 的不等式组1240x a x +>⎧⎨-⎩≤有解，则a 的取值范围是_______________．7. 若关于x 的不等式组3(2)4322x x x a x -->⎧⎪⎨--⎪⎩≥无解，则a 的取值范围是______________．8. 若关于x 的不等式组4050≥x a x a -<⎧⎨+-⎩无解，则a 的取值范围是_______________．9. 若关于x 的不等式x a ≤只有4个正整数解，则a 的取值范围是_______________．10. 若关于x 的不等式组721x m x <⎧⎨-<⎩的整数解共有3个，则m 的取值范围是_______________．11. 若关于x 的不等式组23335x x x a >-⎧⎨-⎩≥有2个整数解，则a 的取值范围是_______________．12. 若关于x ，y 的方程组24121x y k x y +=+⎧⎨-=-⎩的解满足7x y +≥，则k 的取值范围是_______________．13. 若关于x ，y 的方程组3133x y a x y +=+⎧⎨+=⎩的解满足12x y -<+<，则a 的取值范围是_______________．14. 已知4a b +=，23a b a <<，则a 的取值范围是___________．15. 已知23a b -=，97430a b <+<，则b 的取值范围是_________．16. 阅读下列材料，并解答问题．例题：已知2x y -=，且1x >，0y <，试确定x y +的取值范围．解：∵2x y -=∴2y x =-∵0y <∴20x -<∴2x <∵1x >∴12x <<∵222x y x x x +=+-=-∴02x y <+<请按照上述方法，完成下列问题：（1）已知3x y -=，且2x >，1y <，则2y x -的取值范围是____________________．（2）已知x <-1，y >1，若2x y a a -=<-（）成立，求x +y 的取值范围（结果用含a 的式子表示）．【参考答案】➢ 课前预习1. 大大取大、小小取小、大小小大中间找、大大小小找不着公共部分2. 是3. 3➢ 知识点睛不等式的基本性质，a 的符号解不等式组，确定大致范围，验证端点值解方程组并代入不等式，方程变形代入不等式➢ 精讲精练1. 1a >-，1a <-2. 2x >3. 35x < 4. 2a ≤5. 3m ≥6. 3a <7. 5a ≥8. 1a ≤9. 45a <≤10. 67m <≤11. 52a -<-≤12. 2k ≥13. 84a -<<14. 413a << 15. 2132b -<< 16. （1）725y x -<-<-（2）22a x y a +<+<--。
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第六讲不等式（组）的应用教学目标1、从实际问题中找到不等关系，根据实际问题情境列出不等式（组）。
2、进一步理解一元一次不等式（组），一元一次不等式（组）的解集等概念。
3、能运用已学过的不等式的知识并结合已经学过的知识点解决实际问题，并能求出符合实际的解集。
教学重点及相应策略能够根据实际问题中的数量关系，列出不等式组解决实际问题教学难点及相应策略题目中出现多个量时，理清这些量之间的关系，并用不等式组表示出来是处理不等式组应用的一个难点。
教学方法建议讲练结合，引导学生归纳总结选材程度及数量课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业A类（ 6 ）道（ 6 ）道（）道B类（ 5 ）道（ 3 ）道（）道C类（ 3 ）道（ 2 ）道（）道一、知识梳理/提炼1．求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案. ２．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么为x；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）.三、课堂精讲例题例题1题目：已知方程kx+1=2x-1的根是正数，则k的取值范围是．难度分级：A 类-试题来源：课时训练 - 选题意图（对应知识点）：解一元一次不等式；一元一次方程的解． -解题思路：先解方程得x =22--k ，再根据根是正数即x ＞0列出不等式求解即可． -解法与答案： - 解：∵方程kx +1=2x -1的根是正数，-∴x = 22--k ，即k -2＜0， -解得k ＜2． - 故答案为：k ＜2．搭配课堂训练题题目：已知关于x 的方程4（x -3）=3t +9的解为正数，则t 的取值范围为 ．- 解析：首先解方程，根据去括号，移项，合并同类项，把x 的系数化为1，得到x =4213+t ，再根据x ＞0，得到4213+t ＞0，解不等式即可．-答案：t ＞-7。
例题2 题目： 若三角形的三边长分别为2，a -1，4，则a 的取值范围为 ．-难度分级：A 类-试题来源：课时训练 -选题意图（对应知识点）：三角形三边之间的关系；一元一次不等式（组）的解法。
- 解题思路：根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求a 的取值范围．-解法与答案： - 解：由三角形三边关系定理得4-2＜a -1＜4+2，即3＜a ＜7．即a 的取值范围是3＜a ＜7．搭配课堂训练题- 题目：一根12cm 长得铁丝围成一个等腰三角形，如果腰长为x ，则x 的取值范围为 。
-解析：根据三角形的三边关系以及周长，可列出不等式组进行求解． -答案：1＜x ≤12．例题3 题目：关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=-+=+131m y x m y x 的解满足x ＞y ，求m 的最小整数值． -难度分级：A 类-试题来源：课时训练 -选题意图（对应知识点）：一元一次不等式的整数解；解二元一次方程组． - 解题思路：先求出方程组的解，用含m 的代数式表示x ，y ，由x ＞y 得到关于m 的不等式，解得关于m 的不等式的解集，然后求m 的最小整数值．-解法与答案： -解：由①+②得x =2m ， -由①-②得y =-m +1， -∵x ＞y ， -∴2m ＞-m +1， -解得m ＞ 1/3， - ∴m 的最小整数值为1． 搭配课堂训练题题目： 关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=++=+m y x m y x 212的解满足x 、y 均小于2，求m 的取值范围． - 解析：首先求出方程组的解，然后根据这个方程组的解满足x 、y 均小于2，得到一个关于m 的不等式组，求出不等式组的解集即可得到m 的取值范围．- 答案：-1＜m ＜1．例题4- 题目：若关于x 的方程 122-=++x a x 的解为正数，则实数a 的取值范围是 。
- 难度分级：A 类-试题来源：课时训练班-选题意图（对应知识点）：分式方程的解；实数；一元一次不等式．-解题思路：首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于a 的不等式，从而求得a的范围．-解法与答案：-解：去分母得：2x+a=-x-2-即3x=-a-2-解得x= 32+ -a-根据题意得：32+-a＞0 -解得：a＜-2-故答案是：a＜-2搭配课堂训练题题目：已知关于x的方程323-=--mxxx解为正数，求m的取值范围．-解析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．-答案：m＜6且m≠3．例题5题目：在平面直角坐标系中，已知点P（4m-6，m-3）在第四象限，则m的取值范围是．-难度分级：A类-试题来源：实验班-选题意图（对应知识点）：点的坐标；解一元一次不等式组．-解题思路：让点P的横坐标大于0，纵坐标小于0，列式求值即可．-解法与答案：-解：∵点P（4m-6，m-3）在第四象限，-∴ ⎩⎨⎧<->-03064m m - 解得： 3/2＜m ＜3．搭配课堂训练题-题目：在平面直角坐标系内，点P （x -2，2x -1）在第二象限，则x 的取值范围是 - . -答案： 1/2＜x ＜2例题6题目： 如图，直线y =ax +b 经过点（-4，0），则不等式ax +b ≥0的解集为 ．-难度分级：A 类 -试题来源：课课通 -选题意图（对应知识点）：一次函数与一元一次不等式． -解题思路：根据图象得出当x ≥-4时，y ≥0，即可得到答案． -解法与答案： -解：由图象可以看出：当x ≥-4时，y ≥0， -∴不等式ax +b ≥0的解集为x ≥-4， - 故答案为：x ≥-4． 搭配课堂训练题- 题目：如图，直线y =kx -1经过点（2，1），则不等式0≤x ＜2kx +2的解集为 ．- 解析：先解出k 的值，然后解不等式0≤x ＜2kx +2，求出不等式的解集即可．- 答案：x ≥0．总结归纳：以上六个例题都涉及到了一次不等式(组）和我们所学过知识点的综合应用。
分别是一次不等式（组）和一次方程、一次不等式(组）和三角形、一次不等式(组）和二元一次方程、一次不等式(组）和分式方程、一次不等式(组）和图形的坐标、一次不等式(组）和一次函数。
处理这些题型的关键就是；根据其它知识的知识点，找出等量或是不等量关系，建立不等式。
在一次不等式组的应用题中，类型有很多，但主要有如下几种类型：一分配问题二速度、时间问题三工程问题四价格问题五方案选择与设计六其他问题在处理这些实际问题时，主要步骤如下：⑴审题，找出不等关系；⑵设未知数；⑶列出不等式；⑷求出不等式的解集；⑸找出符合题意的值；⑹作答。
例题7（分配问题）题目：鹿门宾馆一楼客房比二楼少5间，某旅游团有48人，若全安排在一楼，每间住4人，房间不够；每间住5人，有房间没有住满5人．又若全安排在二楼，每间住3人，房间不够，每间住4人，有房间没有住满4人，求该宾馆一楼有客房多少间？-难度分级：B类-试题来源：2010年中考试题汇编-选题意图（对应知识点）：一元一次不等式组的应用．-解题思路：关系式为：48除以5得到的房间数＜一楼房间数＜48除以4得到的房间数；3×二楼房间数＜48＜4×二楼房间数．-解法与答案：-解：设该宾馆一楼有客房x间，则二楼有客房（x+5）间．-依题意，得：⎪⎩⎪⎨⎧+<<+<<)5(448)5(3448548xxx．-解不等式①得：9.6＜x＜12，-所以x可能为10或11；③-解不等式②，得7＜x＜11，-所以x可能为8、9、10．④-综合③、④知x=10．-答：该宾馆一楼有客房10间．搭配课堂训练题-题目：某校利用周日选派学生协助交通警察维护交通秩序，若每个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个学校共选派了多少名学生参与值勤？共在多少个路口安排值勤？-解析：该题应设两个未知量，根据题意列出一个等式和两个不等式，通过解等式和不等式组可以求出两个变量．-答案：学生数为158；路口数位20.例题8（速度、时间问题）题目：甲、乙两班同时从学校A出发去距离学校75km的军营B军训，甲班学生步行速度为4km/h，乙班学生步行速度为5km/h，学校有一辆汽车，该车空车速度为40km/h，载人时的速度为20km/h，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？-难度分级：B类-试题来源：2010年中考试题汇编-选题意图（对应知识点）：二元一次方程；不等式的应用-解题思路：根据题意可让甲班学生从学校A乘汽车akm出发至某处下车步行，汽车空车返回至某处，乙班同学此处上车，此处距离学校bkm，根据汽车接到乙班同学的时间=乙班同学及步行的时间，甲班步行时间=汽车接乙班返回时间+乙班坐车时间列出两个方程，求方程组的解即可．然后根据时间= 路程/速度即可得他们至少需要多少时间才能到达．-解法与答案：-解：设甲班学生从学校A乘汽车出发至E处下车步行，乘车akm，空车返回至C 处，乙班同学于C处上车，此时已步行了bkm．--则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=-+47520754054020a b b a b b a a -解得a =60，b =20． -则至少需要 60/20+15/4=27/4（h ）=6.75（小时）． - 答：他们至少需要6.75小时才能到达．搭配课堂训练题- 题目：小明从家到学校，开始步行，后来跑步，小明离家的路程S （m ）与所用时间t（分）之间的关系如图所示．- （1）根据图象回答：小明家距学校的路及小明步行的速度．- （2）若h ≤8，小明跑步速度为210 m /分，求小明至少需要跑几分钟．-解析： -（1）由图象可得小明家距学校2100m ，小明步行的速度270÷3=90 m /分． -（2）步行的路程+跑步的路程=2100，列出方程求解即可． -答案： -解：（1）由图象可得小明家距学校2100m ，小明步行的速度90 m /分． - （2）由题意，若小明从家一直跑步到学校需时间2100÷210=10分钟，而h ≤8，所以此题无解。
例题9（工程问题）题目：下面是工厂各部门提供的信息：人事部：明年生产工人不多于800人，每人每年工时按2400工时计算；市场部：预测明年的产品销售是10000～12000件；技术部：该产品平均每件需用120工时，每件需要装4个某种主要部件；供应部：今年年终库存某种主要部件6000个，明年可采购到这些部件60000个．请判定：①工厂明年的生产量至多应多少件？②为了减少积压，至多可裁减多少工人用于开发其他新产品？-难度分级：B 类 -试题来源：2009年中考试题汇编 -选题意图（对应知识点）：一元一次不等式的应用． - 解题思路：本题第一问有工时和部件两个条件限制可列两个不等式找公共部分．至多裁减多少人就应该是留下工人生产销售最少量时也就是10000件的时候．-解法与答案： - （1）解：设工厂明年的生产量至多应为x 件．-①x ≤ 1202400800⨯ - x ≤16000-②x ≤ 4600006000+ -x ≤16500 -∴两不等式的公共部分x ≤16000 -答：工厂明年的产量至多为16000件． - （2）解：设生产10000件至少需要y 个工人- 1202400y ≥10000 -y ≥500 -800-500=300（人） - 答：至多裁减300人．搭配课堂训练题- 题目：某公司有员工50人，为了提高经济效益，决定引进一条新的生产线并从现有员工中抽调一部分员工到新的生产线上工作，经调查发现：分工后，留在原生产线上工作的员工每月人均产值提高40%；到新生产线上工作的员工每月人均产值为原来的3倍，设抽调x 人到新生产线上工作．- （1）填空：若分工前员工每月的人均产值为a 元，则分工后，留在原生产线上工作的员工每月人均产值是 元，每月的总产值是 元；到新生产线上工作的员工每月人均产值是 元，每月的总产值是 ；- （2）分工后，若留在原生产线上的员工每月生产的总产值不少于分工前原生产线每月生产的总产值；而且新生产线每月生产的总产值又不少于分工前生产线每月生产的总产值的一半．问：抽调的人数应该在什么范围？- 解析：（1）因为留在原生产线上工作的员工每月人均产值提高40%；到新生产线上工作的员工每月人均产值为原来的3倍，设抽调x 人到新生产线上工作，所以留在原生产线上工作的员工每月人均产值是（1+40%）a ，每月的总产值是（50-x ）（1+40%）元；到新生产线上工作的员工每月人均产值是3a 元，每月的总产值是3ax 元； - （2）因为留在原生产线上的员工每月生产的总产值不少于分工前原生产线每月生产的总产值；而且新生产线每月生产的总产值又不少于分工前生产线每月生产的总产值的一半，所以有由题可得不等式组⎩⎨⎧≥≥+-a ax a a x 25350%)401)(50(（其中a ＞0），解之即可．-答案： -（1）（1+40%）a ；（50-x ）（1+40%）a ；3a ；3ax 。