1-1 映射与函数
映射与函数教案范文
映射与函数教案范文第一章：映射的概念与性质1.1 映射的定义教学目标：让学生理解映射的概念，掌握映射的表示方法。
教学内容：介绍映射的定义，举例说明映射的概念。
教学方法：通过具体例子引导学生理解映射的概念，互动提问，巩固学生对映射的理解。
教学步骤：（1）引入映射的概念，引导学生思考在日常生活中遇到的映射现象。
（2）给出映射的定义，解释映射的基本要素：集合、对应关系。
（3）通过具体例子，让学生理解映射的表示方法，如图示、表格等。
（4）引导学生总结映射的性质，如单射、满射、双射等。
1.2 映射的性质教学目标：让学生掌握映射的性质，学会判断映射的类型。
教学内容：介绍映射的性质，包括单射、满射、双射等。
教学方法：通过实例分析，让学生理解映射的性质，互动提问，巩固学生对映射性质的掌握。
教学步骤：（1）回顾上一节的内容，引导学生思考映射的性质。
（2）讲解单射、满射、双射的定义与特点，举例说明。
（3）让学生通过实例分析，判断映射的类型。
（4）总结映射的性质，引导学生掌握判断映射类型的方法。
第二章：函数的概念与性质2.1 函数的定义教学目标：让学生理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
教学内容：介绍函数的定义，举例说明函数的概念。
教学方法：通过具体例子引导学生理解函数的概念，互动提问，巩固学生对函数的理解。
教学步骤：（1）引入函数的概念，引导学生思考在日常生活中遇到的函数现象。
（2）给出函数的定义，解释函数的基本要素：定义域、值域、对应关系。
（3）通过具体例子，让学生理解函数的表示方法，如图示、表格等。
（4）引导学生总结函数的性质，如单调性、奇偶性等。
2.2 函数的性质教学目标：让学生掌握函数的性质，学会判断函数的类型。
教学内容：介绍函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性等。
教学方法：通过实例分析，让学生理解函数的性质，互动提问，巩固学生对函数性质的掌握。
教学步骤：（1）回顾上一节的内容，引导学生思考函数的性质。
（2）讲解单调性、奇偶性、周期性的定义与特点，举例说明。
高等数学上册1.1 映射与函数
一、映 射
二、函 数
第一章 函数与极限
一、映射
1. 映射的概念
定义1
设 X 、Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 , 使得对X中
每个元素, 按法则 , 在Y中有唯一确定的与之对应, 则称
为从 X 到 Y 的映射. 记作 : X→Y.
X
定义域
D =X
第一节 映射与函数
()
()=
若既是满射又是单射, 则称为双射或一一映射.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
注 映射又称为算子, 在不同数学分支中有不同的名称.
Y
非空集X
上的泛函
数集Y
非空集X
上的变换
非空集Y
实数集X
上的函数
实数集Y
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 逆映射与复合映射
注 分段函数是一个函数,不是多个函数.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 函数的几种特性
设函数 = () 的定义域为D , 且数集 ⊂ D 或区间 I ⊂ D .
(1) 有界性
∀ ∈ , ∃ > 0, 使 () ≤, 称 () 在上有界.否则称无界.
∀ > 0, ∃0 ∈ , 使|( 0)|≥M, 称() 在I上无界.
<0
第一章 函数与极限
例8 设为任一实数,不超过的最大整数称为的整数部分,记作[].
例如:
5
= 0,
7
阶梯曲线
2 = 1, [π] = 3, [−1] = −1, [−3.5] = −4.
求函数 = [] 的定义域和值域并画图.
高一数学第二单元1：映射与函数(附答案)
高一（上）数学单元同步练习及期末试题（三）（第三单元 映射与函数）[重点难点]1． 了解映射的概念及表示方法，能识别集合A 与B 之间的一种对应是不是从集合A 到集合B 的映射；了解一一映射的概念。
2． 理解函数的概念，明确确定函数的三个要素；掌握函数的三种表示方法；理解函数的定义域、函数值和值域的意义，会求某些函数的定义域、函数值和简单函数的值域。
3． 理解函数的单调性和奇偶性的概念；掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程。
4． 了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系；会求一些简单函数的反函数。
一、选择题1．已知集合P={40≤≤x x }，Q={20≤≤y y }，下列不表示从P 到Q 的映射是（ ）（A ）f ∶x →y=21x （B ）f ∶x →y=x 31 （C ）f ∶x →y=x 32（D ）f ∶x →y=x2.下列命题中正确的是( )(A)若M={整数},N={正奇数},则一定不能建立一个从集合M 到集合N 的映射(B)若集合A 是无限集,集合B 是有限集,则一定不能建立一个从集合A 到集合B 的映射 (C)若集合A={a},B={1,2},则从集合A 到集合B 只能建立一个映射 (D)若集合A={1，2}，B={a},则从集合A 到集合B 只能建立一个映射3．集合A={x R x x ∈≠,1}⋃{x R x x ∈≠,2},集合B=（-∞，-1）⋃（1，2）⋃（2，+∞），则A 、B 之间的关系是（ ） （A ）A=B （B ）A ⊆B （C ）A ⊇B （D ）A ⊂B 4．下列函数中图像完全相同的是（ ） （A ）y=x 与y=2x （B ）y=xx 与0x y = （C ）y=(x )2与y=x （D ）y=)1)(1(11-+=-⋅+x x y x x 与 5.f(x)是一次函数且2f(1)+3f(2)=3,2f(－1)－f(0)=-1,则f(x)等于（ ）（A ）9194+x （B ）36x －9 （C ）9194-x （D ）9-36x 6.若f(x)=21x x+，则下列等式成立的是（ ）（A ）f()()1x f x= （B ）f(x 1)=-f(x)（C ）f(x 1)=)(1x f （D ）)(1)1(x f x f -= 7.函数y=2122--+-+x x xx的定义域是（ ） （A ）-21-≤≤x （B ）-21≤≤x （C ）x>2 （D ）x 1≠ 8.函数y=122+-x x 的值域是（ ）（A ）[0，+∞] （B ）（0，+∞） （C ）（-∞，+∞） （D ）[1，+∞ ]9．下列四个命题（1）f(x)=x x -+-12有意义;(2)函数是其定义域到值域的映射;(3)函数y=2x(x N ∈)的图像是一直线；（4）函数y=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥0,0,22x x x x 的图像是抛物线，其中正确的命题个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）410．已知g(x)=1-2x,f[g(x)]=)0(122≠-x xx ,则f(21)等于（ ） （A ）1 （B ）3 （C ）15 （D ）3011．下列函数中值域是R +的是（ ）（A ）y=132+-x x （B ）y=2x+1(x>0) （C ）y=x 2+x+1 （D ）y=112-x12.若函数y=f(x)的定义域为（0，2），则函数y=f(-2x)的定义域是（ ） （A ）（0，2） （B ）（-1，0） （C ）（-4，0） （D ）（0，4） 13．函数y=13+-+x x 的值域是（ ）(A)(0,2］ (B)[-2,0] (C)[-2,2] (D)(-2,2) 14.下列函数中在（-∞，0）上单调递减的是（ ） （A ）y ＝1-x x （B ）y=1-x 2（C ）y=x 2+x （D ）y=-x -115．设f(x)为定义在R 上的偶函数，且f(x)在[0，+∞）上为增函数，则f(-2),f(-π)、f(3)的大小顺序是（ ）（A ）f(-π)>f(3)>f(-2) （B ）f(-π)>f(-2)>f(3) （C ）f(-π)<f(3)<f(-2) （D ）f(-π)<f(-2)<f(3)16.函数y=xx ++-1912是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数（C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）非奇非偶数17．函数y=4(x+3)2-4的图像可以看作由函数y=4(x-3)2+4的图象，经过下列的平移得到（ ） （A ）向右平移6，再向下平移8 （B ）向左平移6，再向下平移8 （C ）向右平移6，再向上平移8 （D ）向左平移6，再向上平移818．若函数f(x)=x 2+bx+c 对任意的实数t,都有f(2+t)=f(2-t),那么（ ） （A ）f(2)<f(1)<f(4) （B ）f(1)<f(2)<f(4) （C ）f(2)<f(4)<f(1) （D ）f(4)<f(2)<f(1)19.f(x)=x 5+ax 3+bx-8且f(-2)=0，则f(2)等于（ ） （A ）-16 （B ）-18 （C ）-10 （D ）10 20．命题（1）y=R x d cx b ax ∈++(且x c d -≠)与y=)(cax R x a cx b dx ≠∈-+-且互为反函数；（2）函数y=f(x)的定义域为A ，值域为C ，若其存在反函数，则f 必是A 到C 上的一一映射；（3）偶函数一定没有反函数；（4）f(x)与f -1（x ）有相同的单调性，其中正确命题的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二、填空题1．若一次函数f(x)的定义域为[-3，2]，值域为[2，7]，那么f(x)= 。
1-1 映射与函数
例： f ( x ) x 2 在[0, )上单调增加
在 ( , 0]上单调减少 在 ( , )上不是单调的
函数的几种特性
3．函数的奇偶性
设函数f (x) 的定义域D关于原点对称
如果对于任一 x D, f ( x ) f ( x )恒成立
那么称函数f (x)为偶函数
四则运算
函 数
构造 复合映射
构造
基本初等函数
基本初等函数与初等函数
基本初等函数 幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次
的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数
否则称为非初等函数
概念
概念 初等函数
逆映射
集 合 区 邻 间 域
即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,
则称f为X到Y上的映射或满射 若对X中任意两个不同的元素
则称f为X到Y的单射 若映射 f 既是满射又是单射, 则称 f 为一一映射或双射. X f
它们的像
逆映射 若f 是从X到Y的单射，可定义一个从 对每个 规定
到X的新映射g
这x满足
这个映射g称为f的逆映射，记作 注 (1) 只有单射才存在逆映射 (2) 逆映射
1 y f ( x ), x f ( D) y f ( x ), x D 的反函数记成 一般地，
注 (1) f 在D上单调增加（减少），f 1 必定存在
1 且 f 在f (D)上也单调增加（减少）
(2) 函数y=f (x)与其反函数 y f 1 ( x ) 的图形 关于直线y=x对称
函数的几种特性
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
1-1 映射与函数
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 连续 定 积分 积分学 无穷 级数
微分学
导数
分析 引论
微分
极限
函数
空间解析几何
常微分 方程
多元函数
多元函数 微分学 应用 偏导数 全微分 重积分 线面积分 曲面面积 体积、质心… 多元函数 积分学
切线、法平面 、梯度…
应用
切线、图形 、速度… 中值定理
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 连续 定 积分 积分学 无穷 级数
函数的特性
1．有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D
如果存在数 K 1 , 使得 f ( x ) K 1 对任一 x X 都成立 y 则称函数f (x)在X上有上界
K 1 称为函数f (x)在X上的一个上界
类似可以定义函数f (x)在X上有下界
o
x
函数的特性
1．有界性
映射，这个映射称为映射g和f 构成的复合映射，记作
即：
Y1
注 （1）映射g和f 构成复合映射的条件： （2） 映射g和f 的复合是有顺序的
例题 例1 写出下列映射的定义域和值域，并回答如下问题： （1）映射f 是否单射？是否满射？ （2）若存在逆映射，求出逆映射 1. 设
对每个
2. 设映射f 将平面上的一个圆心在原点单位圆周上的点
（3） 映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的名称
X
非空集X 非空集X 实数集X
f
X上的泛函 X上的变换
Y
数集Y 非空集X 实数集Y
X上的函数
概念
集 合 区 邻 间 域
映 射
构造
逆映射
函 数
逆映射
《高等数学》第一节：映射与函数
[
, ] 2 2
y
y tan x 定义域 (,) y x 值域 ( 2 , 2 ) 2 y arctan x
2
2
0
2
x
| arctanx |
定义域 (,)
2
2
y
y x
0
2
y arc cot x x
x
shx e e 双曲正切 thx x chx e e x 反双曲正切
1 1 x y arthx ln . 2 1 x
(3)非初等函数 狄利克雷函数、 取整函数、 分段函数等
练习
[ x] (1) f ( x )定义域为 (0,1)，求 g( x ) f ( )的定义域 . x D { x R | x 1且x 2,3,}.
cos
,
(2)初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和 有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.
例3：双曲函数与反双曲函数 双曲函数 反双曲函数
e x e x 双曲正弦 shx 2 e x e x 双曲余弦 chx 2
x
反双曲正弦 y arshx ln( x x 2 1) 反双曲余弦 y archx ln( x x 2 1)
高 等 数 学
研究对象 研究内容 研究工具
上册 极限
一元函数 微分学与积分学 函数 微分方程 空间解析几何与向量代数 多元函数 微分学与积分学 下册 无穷级数
高 等 数 学
应用
用哪个？ 条件？
不合条件， 改造！
映射与函数
1 ≤2}， x (3)A={x|0≤y ≤2}，对应法则f :x→y= 3
(4)A={1,2,3}，B={2,4,8}， (4)A={1,2,3}，B={2,4,8}，对应法则 f :x→y=2x (5)A={平面 内的圆} B={平面 (5)A={平面α内的圆}，B={平面α内的 矩形} 对应法则“作圆的内接矩形” 矩形}，对应法则“作圆的内接矩形”
四种有界区间： 四种有界区间： 表示{x|a≤x≤b} 叫闭区间； {x|a≤x≤b}， 1)[a,b] 表示{x|a≤x≤b}，叫闭区间； 表示{x|a {x|a＜ b}，叫开区间； 2)(a,b) 表示{x|a＜x＜b}，叫开区间； 表示{x|a x≤b}，叫左开右闭区间； {x|a＜ 3)(a,b] 表示{x|a＜x≤b}，叫左开右闭区间； 表示{x|a≤x b}，叫左闭右开区间。 {x|a≤x＜ 4)[a,b) 表示{x|a≤x＜b}，叫左闭右开区间。 五种无界区间： 五种无界区间： 表示{x|x≥a} {x|x≥a}； 1)[a,+∞) 表示{x|x≥a}； 表示{x|x a}； {x|x＞ 2)(a,+∞) 表示{x|x＞a}； )(表示{x|x≤a} {x|x≤a}； 3)(-∞,a] 表示{x|x≤a}； )(表示{x|x a}； {x|x＜ 4)(-∞,a) 表示{x|x＜a}； )(表示实数集R 5)(-∞,+∞) 表示实数集R；
• 如果函数中含有分式，那么函数的分母必须不 如果函数中含有分式， 分式 为零。 为零。 • 如果函数中含有偶次根式，那么根号内的式 如果函数中含有偶次根式， 偶次根式 子必须不小于零。 子必须不小于零。 • 零的零次幂没有意义。 零的零次幂没有意义。 零次幂没有意义
练习 1、函数 f ( x ) =
高数课件-映射与函数
义的一切实数组成的合集，这种定义域称为函数的自然定义域。在这种约定之下，一
般的用算是表达的函数可用“y=∱（x）”表达，而不必再出Df。
例如，函数y=
1- x 2 的定义域是封闭间 -1，1 ，函数y=
1 的定义域是开区间 1- x2
（-1，1）。
表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公 式法）。其中，用图形法表下）的像，并记作∱（χ）,即
y=∱（χ）, 而元素χ称为元素y（在映射∱下）的一个原像；集合X称为映射∱的定义域，记作Df， 即Df=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射∱的值域，记作Rf或者∱（χ），即
Rf=∱(X)= f(x) I χ∈X
在上述映射的定义中，需要注意的是：
映 射
与
主讲人： 日期 :
函 数
第一节 映射与函数
映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射的一 种。本节主要介绍映射、函数及有关概念，函数的性质与运算等。
一.映射
1.映射概念 定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则∱，使得对X中的每个元素χ，按法则∱， 在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称∱为从X到Y的映射，记作
由复合映射的定义可知，映射ℊ和∱构成复合映射的条件是：ℊ的值域Rg必须包含 在∱的定义域内，即Rg⊂Df,否则，不能构成复合映射。由此可以知道，映射ℊ和∱的复 合是有顺序的，∱∘ℊ有意义并不表示ℊ∘∱也有意义。即使∱∘ℊ与ℊ∘∱都有意义，复合映 射∱∘ℊ与ℊ∘∱也未必相同。
例4
设有映射ℊ：R→ -1，1 ，对每个x∈R，ℊ（x)=sinx；映射∱： -1，1 → 0，1 ， 对每个 u∈ -1，1 ，∱（u)= 1- u2,则映射ℊ和∱构成的复合映射∱∘ℊ：R→ 0，1
1-1函数与映射
在[1，+ ]，有界；在(0, 1)无界。
2019年12月24日星期二
蚌埠学院 高等数学
18
2）单调性
设函数 f (x)的定义域为D, 区间I D,
如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2, 当 x1 x2时,
恒有 (1) f (x1) f (x2 ), 则称函数 f (x)在区间I上是单调增加的 ;
蚌埠学院 高等数学
21
设D关于原点对称 , 对于x D, 有
f (x) f (x) 称 f (x)为奇函数 ;
-x f (x)
y
y f (x)
f (x)
o
xx
奇函数
2019年12月24日星期二
蚌埠学院 高等数学
22
4）周期性 设函数f ( x)的定义域为D, 如果存在一个不为零的
y sin x2 y u u sin v v x2
或 y u u sin x 注：不是任何函数都可以复合成一个函数。 如： y u 与 u sin x 不能进行复合。
2019年12月24日星期二
蚌埠学院 高等数学
28
4. 函数的运算
和、差、积、商。 注：只有具备公共定义域的函数才能运算 。
y
y f (x)
f (x1)
f (x2 )
o
x
I
2019年12月24日星期二
蚌埠学院 高等数学
20
3）奇偶性
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数
映射、对应和函数1
中都有唯一的元素和它对应.
8
四.映射与函数的联系和区别
映射、对应和函数 2019/4/29
映射:
设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应法则f,
对A中的任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y
与x对应,则称f是集合A到集合B的映射。
记作 f: A → B 函数： 设集合A是一个非空的数集，对A内任意数x，按
如果A、B是非空数集，那么A到B 的映射f:A B 就叫做A到B的函数
记作： y=f(x)
函数是一种特殊的映射
10
映射、对应和函数
例3：在下列对应中、哪些是映射、那些映射是20函19/4数/29 、
那些不是？为什么？
（1）设A={1,2,3,4}，B={3,5,7,9}，对应关系：
f(x)=2x+1,x∈A .
设A,B是两个非空集合,如果按照 某种对应法则f,对A中的任意一个 元素x,在B中有且仅有一个元素y与 x对应,则称f是集合A到集合B的映 射.
这时, X称作y的原象,y称作是x在映射f的作
用的象,记作f(x), 于是
y=f(x).
映射f也可记为:
f: A →B
X → f(x)
4
二、对概念的认识
映射、对应和函数 2019/4/29
照 确定的法则f，都有唯一确定的数值y与它应，则这 种对应关系叫做集合A上的一个函数。
记作 y=f(x),x∈A
联系：都是从A到B 的单值对应 区别：构成函数的两个集合必须是数集，而构成映射的两个集
合可以是其它集合
9
四.映射和函数的联系和区别
映射、对应和函数 2019/4/29
因此还可以用映射的概念来定义函数：
1_1映射与函数——时老师
为平面上的全体点集
B ABAc
y
B AB
OA x
山东农业大学高等数学A1
制作人: 时彬彬
二、映射
引例1.
按一定规则查号
第一章
山东农业大学高等数学A1
按一定规则入座
制作人: 时彬彬
引例2.
第一章
引例3.
山东农业大学高等数学A1
向 y 轴投影
(点集) (点集)
制作人: 时彬彬
元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) .
M *表示 M 中排除 0 的集;
注: M 为数集 M 表示 M 中排除 0 与负数的集.
山东农业大学高等数学A1
制作人: 时彬彬
第一章
表示法：
(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.
例:
有限集合
A a1 , a2 , , an
例如,
,
,
显然有下列关系:
山东农业大学高等数学A1
制作人: 时彬彬
定义3. 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
第一章
并集 A B x
或
A B
交集 A B x
且
B A
差集 A \ B x
且 xB
A \ B AB
余集
B
c A
A
\
B
(其中B
A)
直积 A B ( x , y ) x A , y B
r
(双射)
制作人: 时彬彬
第一章
说明: 映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用 名称. 例如,
X (≠ ) f Y (数集) f 称为X 上的泛函 X (≠ ) f X f 称为X 上的变换 X (数集或点集 ) f R
教学设计1第2课时映射与函数
教学设计1第2课时映射与函数一、教学内容本节课的教学内容来自小学数学教材《数学》的第七章第一节，主要内容包括映射与函数的概念、特点和运用。
具体内容有：1. 映射的概念：介绍映射是一种数学关系，是一种从一种数学对象到另一种数学对象的规则。
2. 函数的概念：介绍函数是一种特殊的映射，具有输入和输出的关系，每个输入都对应一个唯一的输出。
3. 映射与函数的特点：介绍映射和函数的单射、满射和一一对应的特性。
4. 映射与函数的运用：介绍如何运用映射和函数解决实际问题，如坐标系中的点与坐标的对应关系。
二、教学目标1. 学生能够理解映射和函数的概念，掌握它们的基本性质。
2. 学生能够运用映射和函数解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 学生能够培养逻辑思维能力，提高对数学概念的理解和运用能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：映射和函数的概念及其性质的理解和运用。
2. 教学重点：掌握映射和函数的概念，能够运用映射和函数解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。
2. 学具：教材、练习本、铅笔、橡皮。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中的实际例子，如地图上的位置对应关系，引导学生思考数学中的映射和函数概念。
2. 概念讲解：讲解映射和函数的概念，引导学生理解映射和函数的基本性质。
3. 例题讲解：通过具体的例题，解释映射和函数的概念及其运用。
4. 随堂练习：学生独立完成随堂练习，巩固映射和函数的概念。
5. 小组讨论：学生分组讨论如何运用映射和函数解决实际问题，分享解题思路。
7. 课后作业：布置相关的作业题目，让学生进一步巩固映射和函数的概念。
六、板书设计板书设计如下：映射与函数1. 映射的概念：数学关系，从一种数学对象到另一种数学对象的规则。
2. 函数的概念：特殊的映射，具有输入和输出的关系，每个输入都对应一个唯一的输出。
3. 映射与函数的特性：单射、满射、一一对应。
4. 映射与函数的运用：解决实际问题，如坐标系中的点与坐标的对应关系。
高等数学1-1映射与函数
A : y 1 cos 2x ，y 2 cos x
B: y
1 x 1 x
，y
1 x 1 x
C:y
2x
, y 1 x 1 x
1 x 1 x
D : y ln x2, y 2 ln x
EX2
下列函数能否复合为函数 y f [g( x)]，
称为由函数y与u构成的复合函数,它的定义域为D, 变量u称为中间变量.
讨论： 函数
何时可复合？ຫໍສະໝຸດ 可得复合函数显然 不能构成复合函数 .
复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
例如 y cot x , 2
（1）基本初等函数：幂函数,指数函数,对数函数, 三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
一、集合
1.集合概念 P1-2 2.集合的运算
定义 给定两个集合 A, B,
并集
或
定义下列运算:
交集
且
差集
且
余集
3.区间和邻域: 区间—P3-4
邻域-- 设a与是两个实数 , 且 0. 数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
幂函数、指数函数、对数函数 三角函数、反三角函数
（2）初等函数：由常数及基本初等函数经过有 限次四则运算和复合步骤所构成 ,并可用一个 式子表示的函数 ,称为初等函数 .
小结
基本概念 集合, 区间, 邻域 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 复合函数 基本初等函数与初等函数
EX1
g( x)的值域与 f (u) 的定义域之交集是空集.
高数1-1映射与函数12121
C { x x 2 3 x 2 0}, 则 A C .
不含任何元素的集合称为空集. (记作 )
2 { x x R , x 1 0} 例如,
规定 空集为任何集合的子集.
表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 A a1 , a2 , , an (2) 描述法： M x x 所具有的特征 例: 整数集合 Z x
a
a
a
0
x
点a的去心的邻域, 记作U (a, ).
U (a, ) {x 0 x a }.
0
a a0 4.绝对值: a a a 0 ab a b ; 运算性质:
( a 0)
x a ( a 0) x a ( a 0)
o
a o
b
x x
区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. 3.邻域:
设a与是两个实数, 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径.
U (a, ) {x a x a }.
o
x
o
x
(5)绝对值函数
y
x ,x 0 y | x | x, x 0 值域 [0, ) 定义域 R
o
x
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
x0 x0
y x2 1
恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调减少的 ;
经典高等数学课件D01-1映射与函数1
几何表示：
oa
b
x
区间长度: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
9
类似的有：
闭区间: [a,b] {x | a x b};a [a,b], b[a,b].
oa
b
x
半开区间：(a,b] {x | a x b} 和 [a,b) {x | a x b};
a0
绝对值不等式:
x a (a 0) a x a;
常用数学符号： , , , , max, min
x a (a 0) x a 或 x a; a b a b a b .
14
二、映射:
定义: 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应, 则称
19
(4)定义域及其求法：有实际背景的函数要考虑实际意义； 对于抽象地用算式表达的函数通常约定这种函数 的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围. (自然定义域) 在这个约定下,表示函数时,不必写出 D,只用y f ( x)表示函数，如y 1 x2
1)分式函数：分母不等于零的自变量的值. 2)开偶次方：2n u(x), 须使u( x) 0；
即U(a, ) {x x a δ} {x a δ x a δ} (a δ,a δ).
(2)几何意义:
δ
aδ
a
aδ x
o
(3)点a的去心的
0
邻域：记作：U
(a
,
)或U
0 δ
(a
).
U(a, ) {x 0 x a δ} (a δ,a) (a,a δ)
a的左 邻域(a , a) ； a的右 邻域(a, a )
1-1映射与函数
Teaching Plan on Advanced Mathematics
(3)常用的集合记号 常用的集合记号 集合 A∗ :集合 内排除 的集 集合A内排除 的集. 集合 内排除0的集 集合A +:集合 内排除0与负数的集 集合B内排除 与负数的集. 集合 内排除 与负数的集 N={全体自然数}，Z={全体整数}， ={全体自然数 ={全体整数 ={全体自然数} ={全体整数} Q={全体有理数}，R={全体实数}. ={全体有理数 ={全体实数 ={全体有理数} ={全体实数}. (4) 集合的关系 则称A是 的子集 的子集， ⊂ 如果 x ∈ A ，必有x ∈ B ,则称 是B的子集，记为 A⊂ B. 则称A与B相等 相等, 若 A ⊂ B ，且 B ⊂ A ,则称A与B相等,记为 A = B . 则称A是 的真子集 的真子集, 若 A ⊂ B ，且 A ≠ B ,则称 是B的真子集,记为 A ⊂ B . ≠ 不含任何元素的集合，则称为空集记为 不含任何元素的集合，则称为空集记为Φ. Φ是任何集合的 空集记为 是任何集合的 子集. 子集
Tianjin Polytechnic University
Teaching Plan on Advanced Mathematics
2 例1 设 f : R → R , 对每个x ∈ R , f ( x ) = x . 显然, 是一个映射, 显然 f 是一个映射 f 的定义域 Df = R ,值域 Rf = y y ≥ 0 , 值域
( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
（3）分配律 ( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) ）
(A∩B) ∪C = (A∪C) ∩(B∪C)
( A ∪ B ) C = AC ∩ B C （4）对偶律 ） ( A ∩ B ) C = AC ∪ B C
同济7版高等数学精品智能课件-第1章-第1节-集合、映射、函数
f : XY，则对每个 (x , y) X，有唯一确定的(x , 0) Y 与之对应．显然f 是一个映射，定义域 Df = X ，值域 Rf = Y ．在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在 原点的单位圆上的点投影到 x 轴上的区间 [ -1 , 1 ]上．
第一节 映射与函数
注意
(1) 映射 g 和 f 能构成复合映射的条件是：Rg Df . (2) 映射 g 和 f 构成复合映射是有顺序的，f g 有 意义时， g f 可能没意义，即使它们同时都有意义，但 不一定表示同一映射．
三、函数
第一节 映射与函数
1. 函数的概念
定义 设数集合 D R ，则称映射 f : D R为定义 在 D 上的函数，通常简记为
y
1 (x , y)
-1 O x 1 x -1 (x , -y)
第一节 映射与函数
例3
设
f
:
π 2
,
π 2
[1
,
1]
,
对每个
x
π 2
,
π 2
,
f (x) = sin x ．则f 是一个映射，定义域
Df
π 2
,
π 2
,
y
值域 Rf = [ -1 , 1 ] ．
1
π 2
f (x) = sin x
二、映射
第一节 映射与函数
1. 映射的概念
定义 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应
规则 f , 使得 x X , 有唯一确定的 y Y 与之对应,
则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解析法 表格法 图象法 (1) 表示法：
(2) 解析式的理解：一系列的运算程序
1 x 例如： f ( x ) 1 x
1 理解为： f ( ) 1
注
只有当两个函数的定义域和对应法则都相同时， 这两个函数才是相同的，否则就是不同的.
例4 下列函数是否相同，为什么？
(1) (2)
值域
注 (1) 注意符号f 和f (x)的区别 (2) 表示函数的记号可以任意选取 (3) 函数的要素：定义域 对应法则
函数的要素
1．定义域 (1) 定义域是非空的数集 (2) 定义域的求法： 使表达式有意义的自变量的集合. 例3 求函数 f ( x ) ln( 4 x 3) arcsin( 2 x 1) 的定义域 2．对应法则
(2) 若函数f (x)在X上有上(下)界，则上(下)界不唯一 例：f ( x )
1 在 (0, 1)内有下界，但没有上界 x 在 (1, 2)内既有下界，也有上界
函数的几种特性
1．函数的有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D
如果存在正数M , 使得| f ( x ) | M 对任一 x X 都成立 y 那么称函数f (x)在X上有界 如果这样的 M不存在 即：
切线、法平面 、梯度…
应用
切线、图形 、速度… 中值定理
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 连续 定 积分 积分学 无穷 级数
微分学
导数
分析 引论
微分
极限
函数
空间解析几何
常微分 方程
多元函数
多元函数 微分学 应用 偏导数 全微分 重积分 线面积分 曲面面积 体积、质心… 多元函数 积分学
切线、法平面 、梯度…
函数的几种特性
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
如果对于区间I上的任意两点x1及x2，
y
当 x1 x2 时，恒有 f ( x1 ) f ( x2 )
那么称函数f (x)在区间I上是单调增加的 o 类似可定义函数f (x)在区间I上是单调减少的 x1 x2 x
映射，这个映射称为映射g和f 构成的复合映射，记作
即：
Y1
注 (1) 映射g和f 构成复合映射的条件： (2) 映射g和f 的复合是有顺序的
例题 例1 写出下列映射的定义域和值域，并回答如下问题： (1) 映射f 是否单射？是否满射？ (2) 若存在逆映射，求出逆映射 1. 设
对每个
2. 设映射f 将平面上的一个圆心在原点单位圆周上的点
函数
空间解析几何
理 论
不定 积分
定 积分
积分学 无穷 级数
连续
常微分 方程
多元函数
多元函数 微分学 偏导数 全微分 重积分 线面积分 曲面面积、体积、 质心… 多元函数 积分学
切线、法平面、 应用 梯度…
用
应用
切线、图形 、速度… 中值定理
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 连续 定 积分 积分学 无穷 级数
高等数学教学课件
教材版本：同济七版 课件研制：军械工程学院 张士军
高等教育出版社 高等教育电子音像出版社
绪 论
绪论 一、高等数学课程介绍
二、预备知识
绪论 一、高等数学课程介绍
二、预备知识
一、高等数学课程介绍 （一）研究对象
（二）教学内容 （三）研究方法
（四）教学目的
一、高等数学课程介绍 （一）研究对象
X
非空集X 非空集X
f
X上的泛函 X上的变换
Y
数集Y 非空集X 实数集Y
实数集X
X上的函数
概念
集 合 区 邻 间 域
映 射
构造
逆映射
函ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数
逆映射
满射、单射和双射 若f是从集合X到集合Y的映射
f X Y
逆映射
满射、单射和双射 设f是从集合X到集合Y的映射 若
即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,
到X的新映射g
这x满足
这个映射g称为f的逆映射，记作 注 (1) 只有单射才存在逆映射 (2) 逆映射
的定义域 值域
概念
集 合 区 邻 间 域
映 射
逆映射
函 数
构造 复合映射
复合映射
定义 设有两个映射 其中 则由映射g和f 可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个 映成 这个对应法则确定了一个从X到Z的
切线、图形 、速度… 中值定理
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 连续 定 积分 积分学 无穷 级数
微分学
导数
分析 引论
微分
极限
函数
空间解析几何
常微分 方程
多元函数
多元函数 微分学 应用 偏导数 全微分 重积分 线面积分 曲面面积 体积、质心… 多元函数 积分学
切线、法平面 、梯度…
应用
切线、图形 、速度… 中值定理
分析 引论
微分
极限
函数
空间解析几何
常微分 方程
多元函数
多元函数 微分学 应用 偏导数 全微分 重积分 线面积分 曲面面积 体积、质心… 多元函数 积分学
切线、法平面 、梯度…
一、高等数学课程介绍 （一）研究对象
（二）教学内容 （三）研究方法
（四）教学目的
一、高等数学课程介绍 （一）研究对象
（二）教学内容 （三）研究方法
1．函数的有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D
如果存在数 K 1 , 使得 f ( x ) K1 对任一 x X 都成立 y 那么称函数f (x)在X上有上界
K 1 称为函数f (x)在X上的一个上界
类似可以定义函数f (x)在X上有下界
o
x
注 (1) 有界性的概念须明确数集 X D
（四）教学目的
绪论 一、高等数学课程介绍
二、预备知识
绪论 一、高等数学课程介绍
二、预备知识
二、预备知识
逻辑符号 对任意的，对所有的，(Any) 存在一个，（Exist) 充要条件 A是B的充分条件，B是A的必要条件 A是B的充要条件 绝对值不等式
或
第一讲 映射与函数
映 射
特例
函 数
微分学
分析 引论
微 分
导数
微分
极限
积 分 学
函数
常微分 方程
空间解析几何
多元函数 微分学
偏导数 全微分
学
多元函数
重积分 线面积分 曲面面积、体积、 质心…
多元函数 积分学
切线、法平面、 应用 梯度…
应用
切线、图形 、速度… 中值定理
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 连续 定 积分 积分学
微分学
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 连续 定 积分 积分学 无穷 级数
微分学
导数
分析 引论
微分
极限
函数
空间解析几何
常微分 方程
多元函数
多元函数 微分学 应用 偏导数 全微分 重积分 线面积分 曲面面积 体积、质心… 多元函数 积分学
切线、法平面 、梯度…
应用
切线、图形 、速度… 中值定理
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 连续 定 积分 积分学 无穷 级数
（二）教学内容 （三）研究方法
（四）教学目的
函数
一、高等数学课程介绍 （一）研究对象
（二）教学内容 （三）研究方法
（四）教学目的
一、高等数学课程介绍 （一）研究对象
（二）教学内容 （三）研究方法
（四）教学目的
应用
切线、图形 、速度… 中值定理
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 定 积分 积分学 无穷 级数
导数
分析 引论
微分
极限
函数
空间解析几何
常微分 方程
多元函数
多元函数 微分学 应用 偏导数 全微分 重积分 线面积分 曲面面积 体积、质心… 多元函数 积分学
切线、法平面 、梯度…
应用
切线、图形 、速度… 中值定理
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 连续 定 积分 积分学 无穷 级数
微分学
导数
函数的几种特性
1．函数的有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D
如果存在数 K 1 , 使得 f ( x ) K1 对任一 x X 都成立 y 那么称函数f (x)在X上有上界
K 1 称为函数f (x)在X上的一个上界
类似可以定义函数f (x)在X上有下界
o
x
函数的几种特性
（二）教学内容 （三）研究方法
（四）教学目的
极限方法
应用
切线、图形 、速度… 中值定理
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 连续 定 积分 积分学 无穷 级数
微分学
导数
分析 引论
微分
极限
函数
空间解析几何
常微分 方程
多元函数
多元函数 微分学 应用 偏导数 全微分 重积分 线面积分 曲面面积 体积、质心… 多元函数 积分学
投影到x轴的区间 3. 设 对每个 上
例2 设有映射 映射
对每个 对每个
求复合映射
概念
概念
集 合 区 邻 间 域
映 射
逆映射
函 数
构造 复合映射
函数的概念
定义 设数集 D R , 则称映射 为定义在D 上的
定义域
函数 , 通常简记为
y f ( x) , x D
因变量 自变量
f(D)
微分学
导数
分析 引论