最新衡水中学校内自用精品高三数学一轮复习： 第2章 第4节 二次函数与幂函数
高三数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.4二次函数与幂函数课件
解析：(1)由于 f(x)有两个零点 0 和－2， 所以可设 f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)。 这时 f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋1)2－a， 由于 f(x)有最小值－1，
所以必有－a>a0＝，－1， 解得 a＝1。 因此 f(x)的解析式是 f(x)＝x(x＋2)＝x2＋2x。
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(2)若 g(x)与 f(x)图象关于原点对称，求 g(x)解析式。 解析：(2)设点 P(x，y)是函数 g(x)图象上任一点，它关于原点对称的点 P′(－x， －y)必在 f(x)图象上， 所以－y＝(－x)2＋2(－x)， 即－y＝x2－2x，y＝－x2＋2x， 故 g(x)＝－x2＋2x。
解析：因为函数 f(x)＝4x2－mx＋5 的单调递增区间为m8 ，＋∞，所以m8 ≤2，即 m≤16。
答案：(－∞，16]
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5．设函数 f(x)＝mx2－mx－1，若 f(x)＜0 的解集为 R，则实数 m 的取值范围是 __________。
m＜0， 解析：当 m＝0 时，显然成立；当 m≠0 时，Δ＝－m2＋4m＜0， 解得－4＜m ＜0。 综上可知，实数 m 的取值范围是(－4,0]。 答案：(－4,0]
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►名师点拨 二次函数解析式的求法 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： (1)已知三个点坐标，宜选用一般式； (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式； (3)已知图象与 x 轴两交点坐标，宜选用两根式。
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通关特训 2 已知二次函数 f(x)同时满足条件： (1)f(1＋x)＝f(1－x)； (2)f(x)的最大值为 15； (3)f(x)＝0 的两根平方和等于 17。 求 f(x)的解析式。 解析：依条件， 设 f(x)＝a(x－1)2＋15 (a<0)， 即 f(x)＝ax2－2ax＋a＋15。 令 f(x)＝0，即 ax2－2ax＋a＋15＝0， ∴x1＋x2＝2，x1x2＝1＋1a5。 x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－21＋1a5＝2－3a0＝17， ∴a＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4x＋13。
高三数学一轮复习第二章函数第4课时幂函数与二次函数课件
√ √
[2，4]
(2) f (x)＝－3x2＋6x＝－3(x－1)2＋3，其图象的顶点坐标为(1， 3)．因为函数f (x)在[a，b]上的值域是[－9，3]，所以令－ 3x2＋6x＝－9，可得x＝－1或x＝3．作出f (x)在[－1，3]上的 图象如图所示，数形结合，得b－a的取值范围为[2，4]．]
√ √
√
点拨 如本例(1)，应注意幂函数的特征：①指数α是常数；②底数x是自变量； ③函数式前的系数都是1；④形式都是y＝xα，其中α是常数． 本例(2)中，应注意幂函数只有一个未知数，所以只需知道幂函数图象上一个点 的坐标，就可以利用待定系数法设出函数表达式，进而求出解析式． 本例(3)考查对幂函数图象及性质的理解．
第二章 函数 第4课时 幂函数与二次函数
考点一 幂函数的图象及性质 1．定义：一般地，函数_y_＝__x_α_(_α_∈__R_)_叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．常见的五种幂函数的图象及性质
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x-1
定义域
R
R
R
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞) [0，＋∞)
3．幂函数的性质 (1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义； (2)当α>0时，幂函数的图象都过点__(_1_，__1_)_和__(0_，__0_)__，且在(0，＋∞)上单调 递增； (3)当α<0时，幂函数的图象都过点__(_1_，__1_) _，且在(0，＋∞)上单调递减； (4)当α为奇数时，y＝xα为_奇__函__数_；当α为偶数时，y＝xα为偶__函__数__．
2．二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
高三数学一轮复习知识点专题2-4二次函数与幂函数
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！专题2-4二次函数与幂函数【核心素养分析】1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.3.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。
【重点知识梳理】 知识点一 幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 知识点二 二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象和性质【特别提醒】1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.【典型题分析】高频考点一 幂函数的图象与性质例1.(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧－2，－1，－12，⎭⎬⎫12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.【答案】－1【解析】由题意知α可取－1，1，3.又y ＝x α在(0，＋∞)上是减函数， ∴α<0，取α＝－1.【方法技巧】(1)幂函数y ＝x α的形式特点是“幂指数坐在x 的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y 轴左侧的增减性即可．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【变式探究】（2020·山东临沂一中质检）幂函数y ＝x (m ∈Z)的图象如图所示，则m 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3＜0，即－1＜m ＜3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数，将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．高频考点二 求二次函数的解析式例2.（2020·河北衡水中学调研） 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，求二次函数f (x )的解析式．【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【解析】法一：(利用二次函数的一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用二次函数的顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12，又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 2-2-3mm法三：(利用二次函数的零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值y max ＝8， 即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，故所求函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 【方法技巧】求二次函数解析式的策略 （1）已知三点坐标，选用一般式（2）已知顶点坐标、对称轴、最值，选用顶点式 （3）已知与x 轴两点坐标，选用零点式【变式探究】（2020·湖南湘潭二中模拟）已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f (x )＝________.【答案】19x 2＋49x －59【解析】法一：(一般式)设所求解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由已知得⎩⎨⎧－b2a＝－2，4ac －b24a＝－1，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝19，b ＝49，c ＝－59，所以所求解析式为f (x )＝19x 2＋49x －59.法二：(顶点式)设所求解析式为f (x )＝a (x －h )2＋k . 由已知得f (x )＝a (x ＋2)2－1， 将点(1,0)代入，得a ＝19，所以f (x )＝19(x ＋2)2－1，即f (x )＝19x 2＋49x －59.高频考点三 二次函数的图象及应用例3.（2020·吉林长春实验中学模拟）对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是()【答案】A【解析】若0<a<1，则y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减，y＝(a－1)x2－x开口向下，其图象的对称轴在y轴左侧，排除C，D.若a>1，则y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，y＝(a－1)x2－x图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B项不正确，只有选项A满足.【方法技巧】1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.【变式探究】（2020·河南商丘一中模拟）已知abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()A BC D【答案】D【解析】A项，因为a＜0，－b2a＜0，所以b＜0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故A错．B项，因为a＜0，－b2a＞0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＞0，故B错．C项，因为a＞0，－b2a＜0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故C错．D项，因为a＞0，－b2a＞0，所以b＜0，因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＜0，故选D。
高考数学一轮复习 2-4二次函数与幂函数课件 文
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基础诊断
考课点堂突总破结
(2)令 f(x)＝g(x)，即 x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8， 即 x2－2ax＋a2－4＝0，解得 x＝a＋2 或 x＝a－2.f(x)与 g(x)的 图象如图．
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基础诊断
考课点堂突总破结
3. 3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为________．
解析 因为 3－aa＋6＝ 18－3a－a2
＝ －a＋322＋841，由于－6≤a≤3，
所以当 a＝－32时， 3－aa＋6有最大值92.
答案
9 2
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基础诊断
考课点堂突总破结
4．已知幂函数
q}表示 p，q 中的较大值，min{p，q}表示 p，q 中的较小值)．记
H1(x)的最小值为 A，H2(x)的最大值为 B断
考课点堂突总破结
解析 (1)由①③④知，f(0)＝c＜0. ∵abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴 x＝－2ba＞0， 知①，③错误，④符合要求． 由②知 f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－2ba＜0，②错误．
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基础诊断
考课点堂突总破结
诊断自测 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( × ) (2)幂函数的图象不经过第四象限．( √ ) (3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．( × ) (4) 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c ， x ∈ [a， b] 的 最 值 一 定 是 4ac－b2
．
• ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． • ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
高考文数学一轮复习课件第二章第四节二次函数与幂函数
-3, 2.
∴f(x)=-3x2+6x-1,
当a=0时,不符合题意,故f(x)=-3x2+6x-1.
2-3 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,其两根之和为4,两根之积为3,且其图象过
点(2,-1),求不等式f(x)≤0的解集.
解析
由题意可得-acba34, ,
4a 2b
c
Байду номын сангаас
a
解得b
-1,
c
1, -4, 3,
∴f(x)=x2-4x+3,f(x)≤0,即x2-4x+3≤0,即(x-1)(x-3)≤0,解得1≤x≤3,
因此,不等式f(x)≤0的解集为{x|1≤x≤3}.
考点三 二次函数的图象与性质
命题方向一 二次函数的图象
典例3 下图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,图象过点A(-3,0),对 称轴为直线x=-1,给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.其 中正确的结论是 ( B ) A.②④ B.①④ C.②③ D.①③
(1)幂函数的定义: 形如⑦ y=xα 的函数称为幂函数,其中x是⑧ 自变量 ,α为⑨ 常数 . (2)幂函数的性质: (i)当α>0时,幂函数y=xα有下列性质: a.图象都经过点⑩ (0,0) 、(1,1). b.在第一象限内,函数值随x的增大而增大. (ii)当α<0时,幂函数y=xα有下列性质:
命题方向三 二次函数的最值问题
典例5 已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3. (1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域; (2)若函数f(x)在[1,3]上的最大值为1,求实数a的值.
高三数学一轮复习课件之2.4二次函数与幂函数
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(3)当 a＜0 时，f(x)＝ax2－2x 的图象开口向下且对称轴 x＝1a＜0， 在 y 轴的左侧，
所以 f(x)＝ax2－2x 在[0,1]上单调递减， 所以 f(x)min＝f(1)＝a－2.
a－2，a＜1， 综上所述，f(x)min＝－1a，a≥1.
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[拓展探究] 若将本例中的函数改为 f(x)＝x2－2ax，其他不变， 应如何求解？
奇偶性
当 b＝0 时为偶函数
对称性
函数的图象关于直线 x＝－2ba对称
答案
2．幂函数
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(1)定义：形如_y_＝__x_α (α∈R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，
α 是常数．
(2)五种常见幂函数的图象与性质
函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3
1
y＝x2
y＝x－1
图象
定义域
_R__ _R__ _R__ {_x_|_x_≥_0_}__ {_x_|_x_≠_0_}___
02 课堂题型全突破
导 03 真题自主验效果 航
04 课后限时集训
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课前 知识全 通 关
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1．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝__a_x_2＋__b__x＋__c____ (a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为_(_h_，__k_) _； 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2 为 f(x)的零点．
解析答案
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4．(教材改编)如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc 在第一象限的图 象，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b②③的指数大于零且 b＞c，①的指数小于零，因 此 b＞c＞a，故选 D.]
高考数学一轮复习讲义2.4讲 幂函数与二次函数
第4讲幂函数与二次函数[最新考纲]1．了解幂函数的概念．2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝的图象，了解它们的变化情况．3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]增增(－∞，0)减，(0，减，[0，＋∞)增＋∞)减定点 (0,0)，(1,1)(1,1)(1)二次函数的定义形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数． (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，(m ，n )为顶点坐标；③两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)其中x 1，x 2分别是f (x )＝0的两实根． (3)二次函数的图象和性质函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)图象a >0a <0定义域 RR值域 y ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞y ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 对称轴 x ＝－b2a 顶点 坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性 b ＝0⇔y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数 递增 区间 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 递减 区间 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ 最值当x ＝－b2a 时，y 有最小值y min当x ＝－b2a 时，y 有最大＝4ac －b 24a值y max ＝4ac －b 24a辨 析 感 悟1．对幂函数的认识(1)函数f (x )＝x 2与函数f (x )＝2x 2都是幂函数．(×) (2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．(×) (3)幂函数的图象不经过第四象限．(√) 2．对二次函数的理解(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数．(×)(5)(教材习题改编)函数f (x )＝12x 2＋4x ＋6，x ∈[0,2]的最大值为16，最小值为－2.(×)(6)(2011·陕西卷改编)设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ≤4.(×)学生用书第19页[感悟·提升三个防范 一是幂函数的图象最多出现在两个象限内，一定会经过第一象限，一定不经过第四象限，若与坐标轴相交，则交点一定是原点，但并不是都经过(0,0)点，如(2)、(3)．二是二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方求得结论，如(5)中的最小值就忽略了函数的定义域．三是一元二次方程有实根的充要条件为Δ≥0，但还要注意n ∈N *，如(6)．考点一 幂函数的图象与性质的应用【例1】 (1)(2014·济南模拟)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 4f (2)的值为()．A.14B．－14C．2 D．－2(2)函数y＝13x的图象是()．解析(1) 设f(x)＝xα，由图象过点⎝⎛⎭⎪⎫12，22，得⎝⎛⎭⎪⎫12α＝22＝1212⎛⎫⎪⎝⎭⇒α＝12，log4f(2)＝4log122＝14.(2)显然f(－x)＝－f(x)，说明函数是奇函数，同时由当0＜x＜1时，x31＞x；当x ＞1时，x31＜x，知只有B选项符合．答案(1)A(2)B规律方法(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【训练1】比较下列各组数的大小：⑴121.1，120.9，1；⑵2322⎛⎫- ⎪⎝⎭，23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭，()431.1-.解⑴把1看作121，幂函数y＝12x在(0，＋∞)上是增函数．∵0＜0.9＜1＜1.1，∴120.9＜121＜121.1.即120.9＜1＜121.1.⑵因为2322⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2322⎛⎫⎪⎝⎭，23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭＝23710⎛⎫- ⎪⎝⎭＝23710⎛⎫⎪⎝⎭，()431.1-＝()2321.1＝231.21，幂函数y＝23x在(0，＋∞)上是增函数，且710＜22＜1.21.∴23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭＜2322⎛⎫- ⎪⎝⎭＜(－1.1)43.考点二二次函数的图象与性质【例2】(2013·浙江七校模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是()．A．②④B．①④C．②③D．①③解析因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a ＜0，所以5a ＜2a ，即5a ＜b ，④正确． 答案 B规律方法 解决二次函数的图象问题有以下两种方法： (1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．【训练2】 (2014·广东六校教研协作体联考)已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a ＞0)，对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．解析 当x 0∈[－1,2]时，由f (x )＝x 2－2x 得f (x 0)∈[－1,3]，又对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，∴当x 1∈[－1,2]时，g (x 1)∈[－1,3]．当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≥－1，2a ＋2≤3，解得a ≤12.综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12考点三 二次函数的综合运用【例3】 若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 审题路线 f (0)＝1求c →f (x ＋1)－f (x )＝2x 比较系数求a ，b →构造函数g (x )＝f (x )－2x －m →求g (x )min →由g (x )min ＞0可求m 的范围． 解 (1)由f (0)＝1，得c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎨⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1).学生用书第20页规律方法 一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．【训练3】 (2014·江西九校联考)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (c ＞0且为常数)的导函数的图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式(用含c 的式子表示)； (2)令g (x )＝f (x )x ，求y ＝g (x )在[1,2]上的最大值． 解 (1)∵f ′(x )＝2ax ＋b ，由图可知，f ′(x )＝2x ＋1， ∴⎩⎨⎧ 2a ＝2，b ＝1，得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，故所求函数的解析式为f (x )＝x 2＋x ＋c . (2)g (x )＝f (x )x ＝x 2＋x ＋c x ＝x ＋c x ＋1， 则g ′(x )＝1－c x 2＝x 2－c x 2＝(x ＋c )(x －c )x 2.①若c ＜1，即0＜c ＜1时，g ′(x )＞0， ∴g (x )在[1,2]上是增函数，故g (x )max ＝g (2)＝c2＋3.②若1≤ c ≤2，即1≤c ≤4，当1≤x ＜c 时，g ′(x )＜0，当c ＜x ≤2时，g ′(x )＞0，∵g (1)＝c ＋2，g (2)＝c2＋3，∴当1≤c ≤2时，g (1)≤g (2)，g (x )max ＝g (2)＝c2＋3； 当2＜c ≤4时，g (1)＞g (2)，g (x )max ＝g (1)＝c ＋2. ③若c ＞2，即c ＞4时，g ′(x )＜0，∴g (x )在[1,2]上是减函数，故g (x )max ＝g (1)＝c ＋2. 综上所述，当0＜c ≤2时，g (x )max ＝c2＋3；当c ＞2时， g (x )max ＝c ＋2.1．对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． 2．二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想．3．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用．答题模板2——二次函数在闭区间上的最值问题【典例】 (12分)(经典题)求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1,1]上的最大值．[规范解答] 函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a24的图象的对称轴为x ＝a 2，应分a 2＜－1，－1≤a 2≤1，a2＞1，即a ＜－2，－2≤a ≤2和a ＞2三种情形讨论． (2分) (1)当a ＜－2时，由图(1)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ； (5分)(2)当－2≤a ≤2时，由图(2)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24；(8分)(3)当a ＞2时，由图(3)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝a －1. (11分)综上可知，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ＜－2，a 24，－2≤a ≤2，a －1，a ＞2.(12分)[反思感悟] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)部分学生易出现两点错误：①找不到分类的标准，无从入手；②书写格式不规范，漏掉结论f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ＜－2，a24，－2≤a ≤2，a －1，a ＞2.答题模板 第一步：配方，求对称轴．第二步：分类，将对称轴是否在给定区间上分类讨论． 第三步：求最值． 第四步：下结论． 【自主体验】已知函数f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a 的值．解 f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－4a ，对称轴为x ＝a 2，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－4a .①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )在区间[0,1]上递增． ∴y max ＝f (1)＝－4－a 2.令－4－a 2＝－5， ∴a ＝±1＜2(舍去)．②当0＜a2＜1，即0＜a ＜2时，y max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－4a ，令－4a ＝－5，∴a ＝54∈(0,2)． ③当a2≤0，即a ≤0时，f (x )在区间[0,1]上递减， 此时f (x )max ＝f (0)＝－4a －a 2.令－4a －a 2＝－5，即a 2＋4a －5＝0，∴a ＝－5或a ＝1(舍去)．综上所述，a ＝54或a ＝－5.对应学生用书P233基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．幂函数的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是( )．A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析 设幂函数y ＝x α，则2α＝14，解得α＝－2，所以y ＝x －2，故函数y ＝x －2的单调递增区间是(－∞，0)． 答案 C2．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )．A ．f (－2)＜f (0)＜f (2)B ．f (0)＜f (－2)＜f (2)C ．f (2)＜f (0)＜f (－2)D ．f (0)＜f (2)＜f (－2)解析 函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x )．可知函数f (x )图象的对称轴为x ＝12，又函数图象开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大． 答案 D3．(2014·北京八十中模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )． A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x 为增函数，由于f (x )是奇函数，故f (x )在R 上为增函数．由f (2－a 2)＞f (a )得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1.故实数a 的取值范围是(－2,1)． 答案 C4．若a ＜0，则0.5a,5a,5－a 的大小关系是( )． A ．5－a ＜5a ＜0.5a B ．5a ＜0.5a ＜5－a C ．0.5a ＜5－a ＜5a D ．5a ＜5－a ＜0.5a解析 5－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15a ，因为a ＜0时，函数y ＝x a 单调递减，且15＜0.5＜5，所以5a ＜0.5a ＜5－a . 答案 B5．设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )．解析 由A ，C ，D 知，f (0)＝c ＜0. ∵abc ＞0，∴ab ＜0，∴对称轴x ＝－b2a ＞0， 知A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c ＞0，∴ab ＞0，∴x ＝－b2a ＜0，B 错误． 答案 D 二、填空题6．(2014·上海中学一检)方程x 2－2ax ＋4＝0的一根大于1，一根小于1，则实数a 的取值范围是________．解析 设f (x )＝x 2－2ax ＋4，则f (1)＜0，解得a ＞52. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞7．(2013·南昌检测)已知函数y ＝－x 2＋4ax 在区间[1,3]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析 根据题意，得对称轴x ＝2a ≤1，所以a ≤12. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，128．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，(x －1)3，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析 将方程有两个不同的实根转化为两个函数图象有两个不同的交点．作出函数f (x )的图象，如图，由图象可知，当0<k <1时，函数f (x )与y ＝k 的图象有两个不同的交点，所以所求实数k 的取值范围是(0,1)． 答案 (0,1) 三、解答题9．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且f (x )＞－2x 的解集为{x |1＜x ＜3}，方程f (x )＋6a ＝0有两相等实根，求f (x )的解析式． 解 设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3) (a ＜0)， 则f (x )＝ax 2－4ax ＋3a －2x ，f (x )＋6a ＝ax 2－(4a ＋2)x ＋9a ，Δ＝[－(4a ＋2)]2－36a 2＝0，即(5a ＋1)(a －1)＝0， 解得a ＝－15或a ＝1(舍去)．因此f (x )的解析式为f (x )＝－15x 2－65x －35.10．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．解 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．当－2<a <1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ； 当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎨⎧a 2－2a ，－2<a <1，－1，a ≥1.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·江门、佛山模拟)已知幂函数f (x )＝x α，当x ＞1时，恒有f (x )＜x ，则α的取值范围是( )．A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)解析 当x ＞1时，恒有f (x )＜x ，即当x ＞1时，函数f (x )＝x α的图象在y ＝x 的图象的下方，作出幂函数f (x )＝x α在第一象限的图象，由图象可知α＜1时满足题意，故选B. 答案 B2．设函数f (x )＝－2x 2＋4x 在区间[m ，n ]上的值域是[－6,2]，则m ＋n 的取值所组成的集合为( )． A ．[0,3] B ．[0,4] C ．[－1,3] D ．[1,4]解析 由题意得，函数f (x )＝－2x 2＋4x 图象的对称轴为x ＝1，故当x ＝1时，函数取得最大值2.因为函数的值域是[－6,2]，令－2x 2＋4x ＝－6，可得x ＝－1或x ＝3， 所以－1≤m ≤1,1≤n ≤3， 所以0≤m ＋n ≤4. 答案 B 二、填空题3．已知函数f (x )＝12x ，给出下列四个命题： ①若x ＞1，则f (x )＞1；②若0＜x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1； ③若0＜x 1＜x 2，则x 2f (x 1)＜x 1f (x 2)； ④若0＜x 1＜x 2，则f (x 1)＋f (x 2)2＜f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 其中，所有正确命题的序号是________． 解析 对于①：∵y ＝12x 在(0，＋∞)上为增函数，∴当x ＞1时，f (x )＞f (1)＝1，①正确；对于②：取x 1＝14，x 2＝4，此时f (x 1)＝12，f (x 2)＝2，但f (x 2)－f (x 1)＜x 2－x 1，②错误；对于③：构造函数g (x )＝f (x )x ＝xx ，则g ′(x )＝x2x －x x 2＝－x2x 2＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上为减函数，当x 2＞x 1＞0时，有f (x 2)x 2＜f (x 1)x 1，即x 1f (x 2)＜x 2f (x 1)，③错误；对于④：画出f (x )＝12x 在(0，＋∞)的图象，可知f (x 1)＋f (x 2)2＜f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，④正确． 答案 ①④ 三、解答题4．(2014·辽宁五校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值． 解 (1)f (x )在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．(2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x ＞0)， ∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x (x ＞0)，x 2＋2x (x ≤0).(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1， 当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值；当a ＋1＞2，即a ＞1时，g (2)＝2－4a 为最小值．综上，g (x )min ＝⎩⎨⎧1－2a (a ≤0)，－a 2－2a ＋1(0＜a ≤1)，2－4a (a ＞1).学生用书第21页必记内容: 高中数学三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos 正切：xy=αtan 余切：y x =αcot正割：xr=αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。
高考数学一轮复习规划2.3幂函数与二次函数课件
解：f(8)＝83＝4，因为 f(x)为奇函数，所以 f(－8)＝－f(8)＝－4. 故填－4.
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第二章 函数
考点一 幂函数的图象和性质
(1)已知幂函数 y＝f(x)的图象过点12， 22，则 log2f(2)的值为
1 A. 2
B. －12
C. －1
() D. 1
考试要求
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第二章 函数
【教材梳理】
1. 幂函数 (1)定义：一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数. (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
图象
定义域
值域
y＝x
R
R
y＝x2
{y| R
y≥0}
y＝x3
1 y＝x2
y＝x－1
R
R
{x|
{y|
x≥0}
C. (0，1)
D. (－∞，0)∪(1，＋∞)
第二章 函数
()
2
解：y＝x3是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，故|x－1|>|3x＋1|，所
以(x－1)2>(3x＋1)2，解得－1<x<0. 故选 B.
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第二章 函数
【点拨】 ①α 的正负与幂函数图象的关系：当 α>0 时，图象过原点和(1，1)，在第一象 限的图象上升；当 α<0 时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降. ②在比较 幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
1
高考数学(理)一轮复习精选课件：第2章 第4节 2次函数与幂函数
[例 2] (2013·辽宁高考)已知函数 f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋
2(a － 2)x － a2 ＋ 8. 设 H1(x) ＝ max{f(x) ， g(x)} ， H2(x) ＝ min{f(x) ，
Hale Waihona Puke g(x)}(max{p，q}表示 p，q 中的较大值，min{p，q}表示 p，q 中的较小
2a 错；C 项，∵a＞0，－ b ＜0，∴b＞0，又∵abc＞0，∴c＞0，而 f(0)＝c＜0，故 C 错；
2a D 项，∵a＞0，－ b ＞0，∴b＜0，又∵abc＞0，∴c＜0，由图知 f(0)＝c＜0，故选 D.
2a
【答案】 D
高频考点全通关——二次函数图象与性质的应用
闯关二：典题针对讲解——二次函数的最值问题
次函数及题目所涉及的相应函数的图象，要注意其相对位置关系．
高频考点全通关——二次函数图象与性质的应用 闯关四：及时演练，强化提升解题技能
1. 函数 y＝ax2＋a 与 y＝a(a≠0)在同一坐标系中的 x
图象可能是( )
解析：选 D 当 a＞0 时，二次函数 y＝ax2＋a 的图象开口向上， 且对称轴为 x＝0，顶点坐标为(0，a)，故排除 A，C；当 a＜0 时， 二次函数 y＝ax2＋a 的图象开口向下，且对称轴为 x＝0，顶点坐标 为(0，a)，函数 y＝ax的图象在第二、四象限，故排除 B，选 D.
值)．记 H1(x)的最小值为 A，H2(x)的最大值为 B，则 A－B＝( )
A．a2－2a－16
B．a2＋2a－16
C．－16
D．16
【解析】 f(x)＝g(x)，即 x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，
新课标2023版高考数学一轮总复习第2章函数第4节二次函数与幂函数课件
考向3 二次函数的最值 已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，
求实数a的值．
解：f(x)＝a(x＋1)2＋1－a． ①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题 意，舍去．
②当a＞0时，函数f(x)在区间[－1,2]上单调递增，最大值为f(2) ＝8a＋1＝4，解得a＝38．
考向2 二次函数的单调性
若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递
减，则实数a的取值范围是( )
A．[－3,0)
B．(－∞，－3]
C．[－2,0]
D．[－3,0]
D 解析：当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递 减，满足题意．当a≠0时，f(x)的图象对称轴为x＝3－ 2aa．由f(x)在[－
第二章 函数
第四节 二次函数与幂函数
考试要求：1．通过具体实例，结合y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝
1
x2，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 2．理解简单二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不
等式之间的关系解决简单问题．
01
必备知识·回顾教材重“四基”
一、教材概念·结论·性质重现 1．幂函数的概念 一般地，函数 y＝xα 称为幂函数，其中 α 为常数．
求二次函数解析式的策略
1．若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值 是m，则M－m( )
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
B 解析：设x1，x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值 点，
考点1 考点2 考点3
2024年高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 §2.6 二次函数与幂函数
方法三 (利用“零点式”解题) 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值 8，即4a－2a－4a1－－a2＝8. 解得a＝－4. 故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
__－__2b_a_，__4_a_c4_－a__b_2_ 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
知识梳理
单调性
在－∞，－2ba上单调递 减 ； 在－2ba，＋∞上单调递_增__
在－∞，－2ba上单调递 增 ； 在－2ba，＋∞上单调递_减__
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(2)(2022·镇江模拟)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2,2]， 则b－a的取值范围是_[_2_,4_]_.
解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，解得x＝0或x＝4， 解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，解得x＝2， 由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[－2,2]. 若函数f(x)在区间[a，b]上单调， 则[a，b]＝[0,2]或[a，b]＝[2,4]，此时b－a取得最小值2； 若函数f(x)在区间[a，b]上不单调， 且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0,4]， 所以b－a的最大值为4. 所以b－a的取值范围是[2,4].
(2)(多选)(2023·哈尔滨模拟)已知函数y＝x m2－5 m＋4 (m∈Z)为偶函数且在区
间(0，＋∞)上单调递减，则实数mC.3
D.4
因为函数在区间(0，＋∞)上单调递减， 所以m2－5m＋4<0，解得1<m<4， 因为m∈Z， 所以m＝2或3， 当m＝2时，函数y＝x－2为偶函数，符合题意； 当m＝3时，函数y＝x－2为偶函数，符合题意， 综上，m＝2或m＝3.
新高考2023版高考数学一轮总复习第2章第4讲幂函数与二次函数课件
a＝－4，
解得b＝4， c＝7.
∴所求二次函数为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
解法二：利用“顶点式”解题： 设 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ∵f(2)＝f(－1)， ∴抛物线的对称轴为 x＝2＋2－1＝12，∴m＝12. 又根据题意，函数有最大值 8，∴n＝8， ∴y＝f(x)＝ax－122＋8.
且在(0，＋∞)上是减函数，则 n 的值为
( B)
A．－3
B．1
C．2
D．1 或 2
1
(4)若(a＋1)2
1
<(3－2a)2
，则实数 a 的取值范围是__－__1_，__23__.
[解析] (1)由题意得 a－1＝1，且12＝ab，因此 a＝2，且 b＝－1，故 f(x)＝x－1 是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数．
(3)∵f(x)的对称轴为 x＝1. 当 t≥1 时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，∴f(x)min＝f(t)＝t2－2t＋5， 当 t<1<t＋1 即 0<t<1 时，f(x)在[t,1]上单调递减，在[1，t＋1]上单调 递增，∴f(x)min＝f(1)＝12－2＋5＝4. 当 t＋1≤1 即 t≤0，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，f(x)min＝f(t＋1)＝t2 ＋4.
[解析] 由mm22－ －3mm－＋23≤＝0，1， 解得 m＝1 或 m＝2. 经检验 m＝1 或 m＝2 都适合．
4 ． ( 必 修 1P53T2 改 编 ) 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 的 图 象 如 图 所 示，确定下列各式的正负：b__>___0，ac__<___0，a－b＋c_<____0.
2025高考数学一轮复习-2.4-幂函数与二次函数【课件】
单调递减，则 n 的值为( B )
A．－3
B．1
C．2
D．1 或 2
【解析】 由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，解得 n＝1 或 n＝－3，经检验只 有 n＝1 符合题意，故选 B.
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3．若 a＝ 2 3 ，b＝ 5 3 ，c＝ 2 3 ，则 a，b，c 的大小关系是( D )
提醒：幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝
ax2＋bx＋c(a≠0)
．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 (m，n) ．
两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2 为 f(x)＝0 的两根．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 幂函数的图象与性质
【题组练透】
1．(多选)已知幂函数 f(x)的图象经过点(4,2)，则下列选项正确的有( AC ) A．f(x)为增函数
B．f(x)为偶函数
C．若 x≥9，则 f(x)≥3
D．若
x2>x1>0，则fx1＋2 fx2>f
x1＋x2 2
【解析】 设幂函数 f(x)＝xα，将点(4,2)的坐标代入函数 f(x)＝xα 得 2＝4α，则 α＝12，
则 a，b，c 的大小关系为( D ) A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．a<c<b 【解析】 由图可知，a<0，b>1>c>0，故 a<c<b.故选 D.
4．函数 f(x)＝2x2－mx＋3 在[－2，＋∞)上单调递增，则实数 m 的取值范围是 _____(_－__∞__，__－__8_] _________________．
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第四节二次函数与幂函数
[考纲传真] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，
y＝x，y＝1
x的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，
能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象与性质
2.幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)五种常见幂函数的图象与性质
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数．( )
(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a .( )
(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( )
(4)当n ＞0时，幂函数y ＝x n 在(0，＋∞)上是增函数．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( ) A.3 B.±3 C ．±9 D.9
D [由题意可知4α＝22α＝2，所以α＝12.
所以f (x )＝x ＝x ，。