高中数学2.1.2.2第2课时指数函数及其性质的应用课件新人教A版必修

第2课时 指数函数及其性质的应用
1.理解指数函数的单调性 与底数a的关系，能运用 指数函数的单调性解决一 些问题.
1.指数函数单调性在 比较大小，解不等式 及求最值中的应 用．(重点)
1．函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，值域 (0，＋∞)． 是________ 若a>1，则当x＝0时，y__1 ＝ ；当x>0时，y>1；当 < x<0时，y__1. ＝ ；当x>0时，y<1， 若0<a<1，则当x＝0时，y__1 > 当x<0时，y__1. 增函数 ． 2．a>1时，函数y＝ax在R上是_______ 减函数 ． 0<a<1时，函数y＝ax在R上是_______
[解题过程] (1)设y＝au，u＝x2＋2x－3. 由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4知，u在(－∞，－ 1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数． 根据y＝au的单调性，当a>1时，y关于u为增函 数； 当0<a<1时，y关于u为减函数． ∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)， 减区间为(－∞，－1]； 当0<a<1时，原函数的增区间为(－∞，－1]， 减区间为[－1，＋∞)．
2．y＝φ(ax)型或y＝af(x)型函数的单调规律 研究形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性 ，可以有如下结论：当a>1时，函数y＝af(x)的 单调性与f(x)的单调性相同；当0<a<1时，函 数y＝af(x)的单调性与f(x)的单调性相反．而对 于形如y＝φ(ax)(a>0，且a≠1)的函数单调性的 研究，也需结合ax的单调性及φ(t)的单调性进 行研究．
1 1 5.已知 f(x)＝( x ＋ )x. 2 －1 2 (1)求函数的定义域； (2)判断 f(x)的奇偶性； (3)求证：f(x)>0.
解析： (1)由2x－1≠0，得x≠0， ∴函数定义域为{x|x≠0，x∈R}； (2)在定义域内任取x，则－x在定义域内
1 1 f(－x)＝( －x ＋ )(－x) 2 －1 2 x x 1 ＋ 2 2 1 ＝－( x x＋ )x＝－ x · 2 1－ 2 21－2 2x＋1 ＝ x · x， 22 －1 x 2 ＋1 1 1 而 f(x)＝( x ＋ ) x＝ x · x， 2 －1 2 22 －1 ∴f(－x)＝f(x)． ∴函数 f(x)为偶函数．
复合函数y＝af(x)单调性的确定： 相同 ； 当a>1时，单调区间与f(x)的单调区间_____ 减区 当0<a<1时，f(x)的单调增区间是y的单调_____ 间 ．f(x)的单调减区间是y的单调_______ ___ 增区间 ．
1．函数 f(x)＝ 1－2x的定义域是( ) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
1 4.已知函数 f(x)＝ x ，则 y＝f(x) 2 ＋1 在(－∞，＋∞)上是( ) A．单调递减函数且无最小值 B．单调递减函数且有最小值 C．单调递增函数且无最大值 D．单调递增函数且有最大值
解析：
函数定义域为 R，
1 设 y＝ ，u＝2x，易知 u＝2x 是增函数， u＋ 1 1 而 y＝ 在(－1，＋∞)上是减函数． u＋ 1 1 ∴y＝ x 在 R 上是减函数，无最小值，故选 2 ＋1 A.
1．y＝f(ax)型或y＝af(x)型的图象特征 函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象与y＝a－x(a>0且 a≠1)的图象关于y轴对称，y＝ax(a>0且a≠1)的 图象与y＝－ax(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称 ，函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象与y＝－a－x(a>0 且a≠1)的图象关于坐标原点对称．
y＝3x(x<0)的图象关于 y 轴对
称， 所以原函数图象关于 y 轴对称． 由图象可知值域是(0,1]， 递增区间是(－∞， 0]， 递减区间是[0，＋∞)．
与指数函数有关的单调性问题 求下列函数的单调区间： (1)y＝ax2＋2x－3； 1 (2)y＝ x . 0.2 －1
利用复合函数的单调规律求之.
答案： A
与指数函数有关的综合问题 －x x 10 －10 已知 f(x)＝ x －x， 10 ＋10 (1)判断函数 f(x)的奇偶性； (2)证明 f(x)是定义域内的增函数； (3)求 f(x)的值域．
[策略点睛 ] (1)直接利用奇偶性定义进行判断． (2)欲直接利用单调性定义进行证明，则变形时 较为复杂， 故可先将 f(x)化简， 然后用定义判断． 2 (3) 将 f(x) 化简可变为 f(x) ＝ 1－ 2x ，故把 10 ＋1 102x 看成一个整体，进行换元再求值域．
[解题过程]
作出
1 x f(x)＝ 的图象， 2
如图所示： (1)f(x－1)的图象：需将f(x)的图象向右平移1 个单位得f(x－1)的图象，如下图
(2)－f(x)的图象：作f(x)的图象关于x轴对称的 图象得－f(x)的图象，如图(1)
(3)f(－x)的图象：作f(x)的图象关于y轴对称的图 象得f(－x)的图象，如图(2)
∵u＝1－x 在 R 上为减函数， 1 u 又∵y＝2 在(－∞，＋∞)上为减函数， 1 1－ x ∴ y＝ 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上是增函数，故选 2 A. 答案： A
3．设23－2x>0.53x－4，则x的取值范围是 ________． 解析： 23－2x>0.53x－4 ⇒23－2x>24－3x ⇒3－2x>4－3x ⇒x>1. 答案： {x|x>1}
(3)证明：当 x<0 时， 由指数函数的性质知 0<2x<1，－1<2x－1<0. 1 ∴ x <－1. 2 －1 1 1 1 ∴ x ＋ <－ 2 2 －1 2 ∴x<0 时，f(x)>0 当 x>0 时，由指数函数的性质知 x x 2 >1,0<2 －1 1 1 1 1 ∴ x >0， x ＋ > ， 2 －1 2 －1 2 2 ∴f(x)>0.
1 x 故当 x>0 时，函数为 y＝3 ； 1 －x 当 x<0 时，函数为 y＝3 ＝3x， 1 x x 其图象由 y＝ ( x ≥ 0) 和 y ＝ 3 ( x <0) 的图象合并 3
而成． 而
1 x y＝3 (x>0)和
解析： 要使函数有意义， 则1－2x≥0，即2x≤1， ∴x≤0.故选A. 答案： A
2．函数
1 1－x y＝2 的单调递增区间为(
)
A．(－∞，＋∞) C．(1，＋∞)
解析：
B．(0，＋∞) D．(0,1)
定义域为 R.设
1 u u＝1－x，y＝ ， 2
[题后感悟] 如何求形如y＝b(ax)2＋c·ax＋d的 值域？ ①换元，令t＝ax； ②求t的范围，t∈D； ③求二次函数y＝bt＋ct＋d，t∈D的值域．
2.已知－1≤x≤2， 求函数 f(x)＝3 ＋2· 3x＋1－9x 的值域．
解析： f(x)＝3＋2· 3x＋1－9x＝－(3x)2＋6· 3x＋3. 令 3x＝t， 则 y＝－t2＋6t＋3＝－(t－3)2＋12. 1 ∵－1≤x≤2，∴ ≤t≤9. 3 ∴当 t＝3，即 x＝1 时，y 取得最大值 12； 当 t＝9，即 x＝2 时，y 取得最小值－24， 即 f(x)的最大值为 12，最小值为－24. ∴函数 f(x)的值域为[－24,12]．
求函数 y＝4 ＋2
x
x＋1
＋1 的值域．
解答本题可以看成关于2x的一个二次函数， 故可令t＝2x，利用换元法求值域.
[解题过程] 函数定义域为R. 令2x＝t(t>0)，则y＝4x＋2x＋1＋1＝t2＋2t＋1＝ (t＋1)2. ∵t>0，∴t＋1>1，∴(t＋1)2>1，∴y>1， ∴值域为{y|y>1，y∈R}．
4．函数 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)在区间[1,2]上的 a 最大值比最小值大 ，求 a 的值． 2 解析： 当 a>1 时，f(x)＝ax 为增函数，在 x∈ [1,2]上， f(x)最大＝f(2)＝a2，f(x)最小＝f(1)＝a， a 2 ∴a －a＝ ，即 a(2a－3)＝0， 2 3 3 ∴a＝0(舍)或 a＝ >1，∴a＝ . 2 2
[题后感悟] 对于y＝af(x)这类函数， (1)定义域是指只要使f(x)有意义的x的取值范围 (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出u＝f(x)的值域； ②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值 域．
1.求下列函数的值域．
1 1 (1)y＝3 ；(2)y＝2x2－4x. x－1
[题后感悟] 利用熟悉的函数图象作图，主要 运用图象的平移、对称等变换，平移需分清楚 向何方向移，要移多少个单位，如(1)(2)；对 称需分清对称轴是什么，如(3)(4)．
3.函数
1 |x| y＝ 的图象有什么特征？ 3
你能根据图象指出其值域和单调区间源自？解析： 因为|x|＝ x x≥0 . x<0 －x
当 0<a<1 时，f(x)＝ax 为减函数， 在 x∈[1,2]上，f(x)最大＝f(1)＝a，f(x)最小＝f(2)＝ 2 a. a 2 ∴a－a ＝ ，∴a(2a－1)＝0，∴a＝0(舍)或 a＝ 2 1 ， 2 1 1 3 ∴a＝ .综上可知，a＝ 或 a＝ . 2 2 2
与指数函数有关的定义域、值域问题 求下列函数的定义域与值域： 1 1 2 (1)y＝3 ；(2)y＝ x －4x. x－1 2
由题目可获取以下主要信息：①所给函数与指 数函数有关；②定义域是使函数式有意义的自 变量的取值集合，③值域是函数值的集合，依 据定义域和函数的单调性求解.