2课向量的加法和减法
题目：向量的加法和减法说课稿
题目：向量的加法和减法说课稿向量的加法和减法说课稿一、课程背景和目标本节课的主题是向量的加法和减法。
通过本课，学生将研究如何进行向量的加法与减法运算，并能够应用这些知识解决与向量相关的实际问题。
二、教学内容与方法1. 教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个方面：- 向量的定义和表示方式- 向量的加法和减法的运算规则- 向量加法和减法的几何意义- 向量运算在实际问题中的应用2. 教学方法为了达到有效的教学效果，本课采用以下教学方法：- 讲授与演示结合，通过示例向学生介绍向量的定义和表示方式、向量加法和减法的运算规则等基本概念。
- 给予学生练机会，通过练题让学生巩固所学的知识。
- 强调实际应用，通过实际问题的分析和解决，帮助学生理解向量运算在现实生活中的应用场景。
三、教学流程第一步：引入通过引入一些生活中的例子，引起学生对向量的认知和兴趣。
第二步：向量的定义和表示方式- 通过图示介绍向量的定义和表示方式。
- 向学生解释向量的方向、大小等概念。
第三步：向量的加法和减法的运算规则- 通过示例演示向量的加法和减法的运算过程。
- 引导学生总结加法和减法的运算规则。
第四步：向量加法和减法的几何意义- 通过图示解释向量加法和减法的几何意义。
- 帮助学生理解向量加法和减法的结果在平面坐标系中的表示。
第五步：实际问题的应用- 选取一些简单的实际问题，引导学生运用向量的加法和减法解决问题。
- 提醒学生分析问题，找到解决问题的关键步骤。
第六步：总结与拓展- 总结本节课的教学内容和研究要点。
- 提供一些拓展性问题，激发学生对向量的进一步思考和研究热情。
四、教学资源- 平面坐标系示意图- 向量加法和减法的示例图片- 练题和答案五、教学评估通过教学过程中的参与情况、学生练题的完成情况以及对实际问题的解决能力等多个方面进行评估。
六、课后作业布置练题，要求学生运用所学的向量加法和减法解决问题，并编写课后总结报告。
以上是本节课《向量的加法和减法》的说课稿，希望通过本节课的教学，能够帮助学生深入理解和掌握向量的加法和减法运算，提高他们的问题解决能力和空间思维能力。
向量的减法运算ppt课件
法则进行几何表示，那么向量的减法该如何用几何
表示？ B
设 由向量减法的定义知
O D
A C
连接AB，在四边形OCAB中， ∵OB∥CA∴OCAB是平行四边形
∴
二、向量减法的几何意义
思考 ：不借助向量的加法法则你能直接作出
吗？
①将两向量平移,使它们 有相同的起点.
②连接两向量的终点.
③箭头的方向是指向 “被减数”的终点. “共起点，连终点，指向被减向量”.长度相等、方向相反1、相反向量零向量
练习：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相反向量就是方向相反的向量．( × ) (2)向量 与 是相反向量．( √ ) (3)相反向量是共线向量．( √ )
2、向量减法 即：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
思考：向量的加法可以用三角形法则或平行四边形
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
1.向量加法的三角形法则 2.向量加法的平行四边形法则
首尾相连，起点指向终点. 起点相同，对角为和.
一、向量的减法
向量是否有减法?如何理解向量的减法? 我们知道,减去一个数等于加上这个数的相反数， 如:5-1=5+(-1)
向量的减法是否也有类似的法则？
一架飞机由北京飞往香港,然后再由香港返回北京,我们把北京记作A点, 香港记作B点,那么这架飞机的位移是多少?怎样用向量来表示呢?
“共起点，连终点，指向被减向量”.
“共起点，连终点，指向被减向量”.
平行向量
共线同向
共线向量
共线反向
D C
例3：
如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形
外一点，且
试用向量
表示向量
(完整版)平面向量的加减法运算和数乘运算
注意：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a r 与b r 不共线时，a r +b r 的方向不同向，且|a r +b r |<|a r |+|b r |;（3）当a r 与b r 同向时，则a r +b r 、a r 、b r 同向，且|a r +b r |=|a r |+|b r |；当a r 与b r 反向时，若|a r |>|b r |,则a r +b r 的方向与a r 相同，且|a r +b r |=|a r |-|b r |，若|a r |<|b r |,则a r +b r 的方向与b r 相同，且|a r +b r |=|b r |-|a r |.2、向量加法的交换律：a r +b r =b r +a r3．向量加法的结合律：(a r +b r ) +c r =a r + (b r +c r )证：知识点二 向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法：“相反向量”的定义： 记作 规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a r ) = a r任一向量与它的相反向量的和是零向量a r + (-a r ) =0r如果a r 、b r 互为相反向量，则a r = -b r , b r = -a r , a r + b r = 0r向量减法的定义：向量a r 加上的b r 相反向量，叫做a r 与b r 的差，即：a r - b r = a r + (-b r )2．用加法的逆运算定义向量的减法：3．求作差向量：已知向量a r 、b r ，求作向量∵(a r -b r ) + b r = a r + (-b r ) + b r = a r +0r = a r减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA u u u r = a r , OB uuu r = b r , 则BA u u u r = a r - b r即a r - b r 可以表示为从向量b r 的终点指向向量a r 的终点向量知识点三 向量的数乘运算 1、定义：实数λ与向量a ρ的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，其长度与方向规定如下：（1）|λa ρ|=|λ||a ρ| （2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=02、运算定律 结合律：λ(μa ρ)=第一分配律：(λ+μ)a ρ= 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=3、向量共线定理。
【课件】向量的加法运算 向量的减法运算课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
6.2.1 向量的加法运算 6.2.2 向量的减法运算
教学目标
借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量
1
的加法、减法运算及其运算规律.
2 理解平面向量的加法、减法运算的几何意义.
（1）向量的加法：求两个向量和的运算， 叫做向量的加法.
对于零向量与任意向量a ，规定a+0 0 a a .
本节课学习了平面向量的加法、减 法运算.
解析：由题意和图形可知 BAC 90 ，因为| AB | 300 ，| BC | 300 2 ，
所以| AC | 300 ，因为 ABC 45 ，A 地在 B 地南偏东 30°的方向处. 所以 C 地在 B 地南偏东 75°的方向处. 故飞机从 B 地向 C 地飞行的方向为南偏东 75°.
9.化简下列各式： （1） ( AB MB) (OB MO) . （2） AB AD DC .
B a-b
b Oa A
例 1 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运 输.如图，一艘船从长江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行， 航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为向东 6 km/h. （1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度 间的夹角表示，精确到 1°）.
（2）向量加法的三角形法则：已知非零向量a，b ，在平面内
任取一点 A ，作 AB a ， BC b ，则向量 AC 叫做a 与b 的和，
记作 a b ，即 a b AB BC AC .如图.
C
b a+b
Aa
B
（3）向量加法的平行四边形法则：已知两个不共线向量a，b ， 作 AB a ， AD b ，以 AB ， AD 为邻边作 ABCD ，则对角线 上的向量 AC a b .如图.
第二章向量的加法【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟 求和向量的方法
(1)利用三角形法则.在平面内任取一点,以该点为始点,将其中一向量的
起点平移至该点,之后再将其他向量平移并首尾相接,从一个向量的始
点到另外一个向量的终点的向量就是这两个向量的和.
(2)利用平行四边形法则.在平面内任取一点,从此点出发分别作两个向量
如今,两岸直航包机启航.若台北到香港的位移用向量a表示,香港到
上海的位移用向量b表示,台北到上海的位移用向量c表示.
想一想,向量a、b、c有何关系?
激趣诱思
知识点拨
一、向量的加法及其运算法则
1.向量加法的概念
求两个向量和的运算,称为向量的加法.
2.向量加法的平行四边形法则
已知两个不共线的向量 a,b,如图,在平面内任取一点 A,作有向线段
想一想,向量a、b、c有何关系?
以前台胞春节期间来大陆探亲,乘飞机先从台北到香港,再从香港到上海.
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.
变式训练2在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是(
)
实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
的结合律调整向量相加的顺序.
探究一
探究二
探究三
变式训练3下列等式错误的是(
A.a+0=0+a=a
B. + + =0
C. + =0
D. + = + +
答案B
探究四
)
当堂检测
探究一
探究二
高中数学第一册第五章第二节向量的加法
（2）两向量不共线
b
.
A
D
a
b+a
a+b
a
B
C’C
b
b+a
a b
向量加法的三角形法则
a （2）两向量不共线
b
D
a
b
b+a
C 向量加法的三角形法则
b a+b
.
A
a
B
向量加法的平行四边形法 则
a+ b = b + a
D C
b
a+b
.
A
a
B
以同一起点A 为起点作两个量 ,a b, 以 a ,b 为邻边作 ABCD，则以A为起 点的对角线AC 就是a ,b 的和,称这种作
两个向量和的方法为平行四边形法则。
说明：向量加法的三角形法则 对两个向量共线和不共线两种情 况都适用，但平行四边形法则体 现了向量加法的交换律，且在不 共线时，三角形法则和平行四边 形法则是一致的。
2.向量加法的运算律
交换律
a+ b = b + a
结合律
（ +a ）+b = +(c + ) a b
面 向
表示方法
几何表示法 代数表示法 a AB
量
加法
运算
基本知识讲解
向量的加法
1. 定义:
已知向量 , .a
b
在平面内任取一
点A，作 = A,B = a ,则向量BC
叫做 与 的和，记作 + ，
即+= + =
AC
a
b
a b AB
BC AC
b ab
向量加法、减法运算及其几何意义
(2)作 OA = a , AB = b
(3)作OB = a + b
B
位移的合成可以看 这种作法叫做向量 作向量加法三角形 加法的三角形法则 法则的物理模型
还有没有其他的做法？
尝试练习一：
（1）根据图示填空：
E
D
AC AB BC _____
BC CD _____ BD
C
A
AD AB BC CD _____ AE AB BC CD DE _____
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
若a ， b不共线，则 | a b || a | | b |
任意向量a， b，有|| a | | b ||| a b || a | | b |
任意向量a， b，有|| a | | b ||| a b || a | | b |
任意向量a， b，有|| a | | b ||| a b || a | | b |
a b。
b
a
A
b a
O
B
ab
三角形法则
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b ，求作向量
作法2：在平面内任取一点O， OB b ， 作 OA a ， 以 OA、OB为邻边作 OACB
a b。
b
a，
连结OC，则 OC OA OB a b.
A
a
O
ab
C
平行四边形法则
起点相同连对角
向量加法的平行四边形法则：
B C
b
O
ab
A
起 点 相 同
向量基础知识点总结
向量基础知识点总结一、向量的概念与表示方法向量是指有大小和方向的物理量，可以用箭头表示。
向量用a 或者AB来表示，其中a表示单个向量，而AB表示由点A指向点B的向量。
二、向量的加法与减法向量的加法可以用三角形法则或者平行四边形法则进行计算。
具体地，对于三角形法则，我们在向量A的末端画出向量B的起点，在连接向量A的起点和向量B的末端，得到向量C。
而平行四边形法则则是在向量A和B所在的平面内，以向量A和向量B 为邻边，连接两条对角线求出向量C。
向量的减法可以通过加上相反向量的方式进行计算。
即A-B=A+(-B)。
三、向量的数量积与点积向量的数量积（也称为内积）是指两个向量的数量乘积再乘以它们夹角的余弦值。
具体地，设向量A和向量B的夹角为θ，则A·B=|A||B|cosθ。
这个值可以表示向量A在向量B方向上的投影长度。
如果两个向量垂直，则它们的数量积为0；如果两个向量平行，则它们的数量积为它们长度的积。
向量的点积（也称为外积）是指两个向量中一个向量在另一个向量的方向上的大小。
记向量A在向量B上的投影长度为|A|cosθ，则A×B=|A|×|B|×sinθ×n，其中n为单位向量，表示A、B的法向量方向。
具体而言，我们可以用右手法则来确定A、B乘积的方向。
四、向量的线性运算向量的线性运算包括向量的数乘、向量的加法以及向量的减法。
具体而言，向量的数乘是指对向量的每个分量进行相同的数乘，即kA=(ka1,ka2,ka3,...,kan)；向量的加法和减法则是对向量的对应分量进行加和或减和的运算。
五、向量的模长和单位向量向量的模长是指向量的大小，用|A|表示。
如果一个向量的模长为1，则它是一个单位向量。
具体而言，我们可以使用向量的数量积来计算向量的模长。
设向量A的数量积为A·A，则|A|=sqrt(A·A)。
六、向量的投影和分解向量的投影是指向量在另一个向量方向上的长度。
向量的加法、减法及几何意义
平行四边形法则:
C
C
b
B
b
B
A
bb
A
a
O
a
形成新知 两种特例
a
a
b
b
A
B
C
AC a b
方向相同
B
C
A
AC a b
方向相反
零向量与任一向量 a ,有 a + 0 = a
类比探究
交换律：a b b a 结合律：(a b) c a (b c)
c a
b
形成新知
向量ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ法结合律：(a b) c a (b c)
C
c (a+b)+c a+(b+c)
b+c
B
a+b
O a
b A
形成新知
C a+b
A
b B
a
结论：a b __<_≤____ a b
类比引入 减去一个数等于加上这个数的相反数。
a b a (b)
向量减法是否也有类似的运算？
河水的流速为 2km/ h ，求船的实际航行速度和方向。
解:如图,设用向量AC 表示船向垂直于对岸 的速度,用向量AB 表示水流的速度
C
D
以AC,AB为邻边作平行四边形,则 AD 就是
船实际行驶的速度
在Rt ABD中, AB 2, BD 2 3
A
B
AD AB BD
AD 4
变式：如果已知船实际航行的速度和 船的速度，你能求出水流的速度吗？
深入，向量做为一种 新的工具被人们越来
越广泛的应用着。
沪教版数学九年级上册24.7《向量的线性运算》(第2课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.7《向量的线性运算》（第2课时）教学设计一. 教材分析《向量的线性运算》（第2课时）是沪教版数学九年级上册第24章的一部分，主要介绍了向量的线性运算性质，包括向量的加法、减法、数乘和向量与标量的乘法。
这部分内容是向量学习的重要部分，也是学生理解向量几何意义的关键所在。
通过这部分的学习，学生能够掌握向量的基本运算规则，并能够运用这些规则解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数和几何基础，对向量的概念和几何意义有一定的理解。
但学生在运算方面的规律和性质的理解上可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中抽象出向量的运算规律，并通过大量的例子来帮助学生理解和巩固。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握向量的线性运算性质，能够熟练地进行向量的加法、减法、数乘和向量与标量的乘法运算。
2.过程与方法：通过实际问题，引导学生从实际问题中抽象出向量的运算规律，培养学生的抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：向量的线性运算性质。
2.难点：向量的线性运算在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过实际问题引导学生抽象出向量的运算规律，通过案例讲解使学生理解向量运算的实质，通过小组合作让学生在讨论中巩固知识，培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生抽象出向量的运算规律。
2.准备典型案例，用于讲解向量的运算规律。
3.分组学生，进行小组合作学习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如物体在平面直角坐标系中的运动问题，引导学生思考如何进行向量的加法运算。
2.呈现（15分钟）呈现典型案例，讲解向量的加法、减法、数乘和向量与标量的乘法运算的实质和规律。
3.操练（15分钟）让学生进行向量的线性运算练习，教师巡回指导，及时纠正学生的错误。
向量的加法
B
a b
a
b
C
a+b
A
首 尾 顺 次 相 连
根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为
向量加法的三角形法则。
注意： 1 两个向量的和仍是一个向量。
２．三角形法则：两向量首尾相连，和向 量由第一个向量的起点指向第二个向量的 终点. ３．当向量 a 与 b 不共线时，则 向量 a ＋ b , a , b 不同向，且/a+b/</a/+/b/
用向 形 注 。量 法 意 共则： 线对平 时于行 不两四 适个边
2. 平行四边形法则：
思考：两种方法作出的和向量是否一致？
ab
b
b ab a
a
注1：两种法则具有一致性. 注2：平行四边形法则对于两 个向量共线的情况不适用.
例1:如图，已知 a , b , c ，请作出 a + b , b + a , b + c
D
AB BC CD DE AE
C
C
c
A
b
a
B
AB BC CA 0
A
B
例 2 ．一艘船从 A 点出发以2 3 km/h 的速度向垂直于对 岸的方向行驶，同时江水的流速为向东2km/h
(1) 试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度 （ 2 ）求船实际航行的速度的大小与方向 . （用与江水速 度间的夹角表示，精确到度）
（1）
ab a b
b
（2）
b
ab
a
b
（3）
ab
（ 4）
C
a b
B
a
b
b
ab
O
b a
2.2.2向量的减法
重要提请示问: AB重的要相B提A反示向: A量B是 BA
uuur uuur 重要提示 : AB BA
A
B
练习1： （1） (a)
(2)a (a)
_____a__0____(a)
a
__0____
a(3)如__果__ab_, b_互, b为 _相__反_a_的_,向a量 b，那__么0____
b就
可以表示为从向量b的终点指向向量a
的终点的向量.
(比较：如果两个向量a,
b首尾顺次连接，
则a b可表示为从向量a的始点指向向量
向量的减法：
r
r
a
Oa
r
起 A点
r
b
rr
相
b
ab
同
B 指向被减向量
rr
uuur r uuur r
已知向量 a 、b , 在平面内任取一点O，作OA a,OB b,
((33))aa((aa)) 00;; (４)(若3)a,b(是a互) 为0相; 反向量,那么(3)a =_(__ba_), 0b; (=3–_)_a_, (a)
(3)(a1)(b0a)=__00;_;_
§ 2.2 向量的减法
向量的加法：
a r b
首
C
尾
相
ab
r接
b
A
a
B
rr
uuur r uuur r
已知非零向量 a 、b , 在平面内任取一点A，作 AB a, BC b,
uuur r r
rr
则向量 AC叫做a与b的和，记作a b,即
r r uuur uuur uuur
向量加减法运算
向量加减法运算
向量加法满足和三角形法则。
向量加法的运算律有交换律：
a+b=b+a；：(a+b)+c=a+(b+c)。
向量减法的运算法则为：如果a、b是互为相反的向量，那么a-b=0。
在数学中，向量（也称为向量、几何向量、矢量），指具有大小和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。
向量定义是既有大小，又有方向的量叫做向量。
在几何上，向量用有向线段来表示，有向线段长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。
其实有向线段本身也是向量，称为几何向量。
在实际问题中，有些向量与其起点有关，有些向量与其起点无关。
由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（以后简称向量），即只考虑向量的大小和方向，而不论它的起点在什么地方。
在只讨论自由向量的约定下，向量可以平行移动，所以两个向量相等的定义如下：定义如果两个向量大小相等，且方向相同，我们就说这两个向量是相等的。
即：经过平行移动后能完全重合的向量是相等向量，或者说它们是同一个向量。
15平面向量加减运算-学生版
待提升的知识点/题型…知识点一：向量的加法1:向量的加法(1) 求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
(2)已知向量a,b，在平面内任取一点A,作AB a, BC b，则向量AC叫做向量a,b的和。
记作：a b，即a b AB BC AC2 :向量的加法法则(1)三角形法则：两个向量“首尾”相接(2) 平行四边形法则:由同一点A为起点的两个已知向量a,b为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的向量AC就是向量a,b 的和。
这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则3:向量和的特点(1)两相向量的和仍是一个向量；r r r r r r r「r「(2)当向量a与b不平行时，a +b与a,b的方向不同向，且|a + b |<|a|+|b |；(3)当向量a,b同向时，a b的方向与a,b同向，且|a b | | a | | b |当向量a,b反向时，若|a| |b|，则a b的方向与a,b同向，且|a b | |a | |b | ；若| a | | b |，则a b的方向与a,b反向，且|a b | |b | |a | ；4:向量的运算律(1)交换律：abb a ；( 2)结合律：(a b) c a (b c)说明：由于向量的加法满足交换律和结合律，对于多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合来进行了如：(a b) (c d) (b d) (a c)；abcd e[d (ac)] (b e)(3) 实数的运算律与向量运算律比较丄…知识点二：向量的减法1向量的减法(1)用"相反向量”定义向量的减法①与a长度相同、方向相反的向量•叫做a的相反向量，记作a。
②规定：零向量的相反向量仍是零向量r r r r r r r③性质：(a) a ；a ( a) ( a) a 0如果a、b互为相反向量，则a= b，b = a，a+b = 0④向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.r r r r即: a b a ( b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.(2)用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b+x = a，则x叫做a与b的差，记作a2:向量的减法法则 已知如图有a , b ，求作a(1)三角形法在平面内任取一点 uuu O ，作 OA r uuu r mu a ，OB b ，贝U BA(2)平行四边形: 在平面内任取一点uuu O ，作 OA r uuura , BOuuu uuw uuu r r则 BA BO OA a b . 知识精析、向量的加法 uuu uuruuu umr r r r r r (1) 如果 AB CD , 则 AB CD 5 (2) a (b c) (a b) cuuur uuur uuur uuuuuur AC uur uuu(3) AC CD DE AE (4) CD DA 0A . 1个B . 2个C . 3个D 4个uuu r uuur r r r r r 1-2 已知正万形 ABCD 的边长为 1, AB =a , AC =c , BC = b ,则 | a + b + c A.0 B.3 C. 72 D.2 72(一)典例分析、学一学例1-1下列各式中正确的有 ( )例 I 为()a例1-3已知正六边形 ABCDEF , O 为它的中心，若 BA a , BC b ，试用a , b 来表示向量 OE, BF,BD.（二）限时巩固，练一练1. (1) umr uuu uuu 在四边形 ABCD 中，向量 AB 、BC 、CD 的和向量是3. (2) (3) 向量(AB + MB )+( BO + BC )+ OM 化简后等于a ="向东走 4km ”，b ="向南走 3km ”，则 | a + b | == c ,DE=d ,AE3, AOB 60，则 a b且有 EB=DF 中，设 uuur r uur EC a,EA uuur r ,AD c ，则:r c 、向量的减法（一）典例分析、学一学uuu r uuu r uiur r uuu ur 例2-1如图，已知 AB a, BC b,CD c, DE d ，在图中标出已知的4个向量，并用向量r r r u uuu uuu uuu(2) AB AE a, b, c, d 表示卜列向量 (1) AD例2-2已知平行四边形 ABCD ，对角线AC 和BD 相交于点O ，下列等式成立的是（2. 如图，B 、D 在口AECF 的对角线上,UJ UUT uuur JUU UU UJU uuur UJ A. AB CD AC BD B. AB CD AC BD UU J UUT ULUT uuu UU J uuur UUT uu ur C. AB CD AC BD D. AB CD AC BD例2-3化简下列各式：① AB + BC + CA ；② AB — AC + BD — CD ；③ OA — OD + AD ； A 、1 B 、2 (二) 限时巩固、 练一练如图， 已知向量uuu r AB a 、 uuu BC r b 、 uuu CD UUJ uuuruuu uuu（ 1)AB AC ； （2） A B AE ④ NQ + QP + MN — MP C 、3 D 、4 r uuu J r r r u c 、 DEd ；试用a 、b 、c 、d 表示下列向量 E结果为零向量的个数是（ )D C B 三、向量的画法（一）典例分析，学一学例3-1已知向量a, b,c ；r cr r c 例3-2如图，已知向量 r r r u a 、b 、c 、d ，分别画出下列向量:1.在平行四边形ABCD中，若uuu r uuu r uuurAD a, AB b,贝U DB （用a和b表示）2. 已知向量a、b的模分别为3, 4,则| a —b |的取值范围为3. 已知I OA | =4, |OB | =8, / AOB=60 ,则 | AB | =4.uu已知OA a ,uurOBuuub ,若OA 12 ,5，且AOB 90°,则a b5•如图，在平行四边形ABCD中，已知AC BD交于点uuu O,ABr ujura, ADuur 则AO uur DO6.平行四边形ABCD中，M为DC中点, N为BC的中点. uunAB,AD b,7 .8.9. …uuuu则MN （用a , b表示）.F列等式中，正确的个数是（① abba ② abbauurF列四式不能化简为AD的是（uuu uuu uuu A.( AB + CD )+ BCuuu uur uuuuC. AD + AD - BMa ④（a）C. 3a) 0uur uurB. (AD + MB)+(uuir uuu uuu D.OC -OA + CD已知AD是厶ABC的中线，试用第二部分1 .已知正方形ABCD的边长为1 ,uuiu uuuuBC +CM )uuiruuu uurAB, AD, AC表示向量uuurBD, DCuuiruuuABr uuu r a , BC b,则 a b为.uuu r uuu r 2 .在口ABCD中 , AC = a , AB = b , uuu BC =uuu uuu uuu 3.在四边形ABCD中，若AC AB ADuuu,且ABuurAD ,那么四边形ABCD为（7.如图，点 E 、 F 在平行四边形 ABCD 的对角线 uuu uurULU UUU (1)填空: BC BA =BA AF =BC AF6.如图，已知在梯形 ABCD 中，AD // BC ,点E 在边BC 上，联结 DE , AC .「士宀 uuir uuur uuu uuu(1) 填空：CD DE ______________ ; BC BA _______________ ;(2)如果把图中线段都画成有向线段 ，那么在这些有向线段所表示的向量中，试写出四个与向量 uuuBE 平行的向量是 __________________ ;uuu uur(3) 求作：AB AD .(请说明哪个向量是所求作的向量)8.已知口 ABCD 点E 是BC 边的中点，请回答下列问题：uuir ULUT ULUT uuir(1)在图中求作 AD 与DC 的和向量：AD DC = ______________ A 、矩形 B 、菱形 C 、正方形 D 、不是矩形、菱形的四边形4.已知平行四边形 ABCD , O 为平面上任意一点 UJU r uun •设 OA a ,0B r uuu r uuur u b ，OC c ，OD d ，则（ r o r o 出d In d M dr 出d r uuu uuur 5.化简：（1） AB CD uuu uuir BE DE uur uuu uuur_________ ； （2） BC DA MBuuu u CMA nBD 上，且 EB = DF . uuu ULUT______ ； BC AF _________1. __________________ (1) 既有 __________ 、又有的量，叫做向量.(2) _________________ 向量的--------------------------- 也叫向量的模(或向量的长度) ______________________ 它是一个--------------------------(3)零向量：大小为 ______ ，方向_________ 的向量；记作_________.2. __________________ (1)方向 ______ 且大小的两个向量叫做相等向量.(2) ____________ 方向___________ 且大小的两个向量叫做相反向量.(3) _____________________方向的两个向量叫做平行向量.(1) 向量加法、减法的三角形法则：uuu uuu ujur ujuAB BC;AC BC(2) 向量加法、减法的平行四边形法则：uuu uuur uuu uuuAB AD;AB AD3. 向量的运算(3)向量的加法运算律：向量加法满足交换律，即：_________________________向量加法满足结合律，即：_________________________1.如图，梯形ABCD中，AD//BC , AB=CD, O为对角线AC与BD的交点，那么下列结论正确的B第6题图C . AB AD BD2•下列关于向量的运算，正确的是（（A ） AB BC CA 0;(C ) AB AC CB ；D . ABAD BD)(B ) AB CB CA ；匚(D ) AB AD BD 。
《向量的加减法》课件
03 向量的数乘
数乘的定义
定义
对于向量$overset{longrightarrow}{a}$ 和实数$k$，数乘 $koverset{longrightarrow}{a}$是一个 向量，其长度为 $|k||overset{longrightarrow}{a}|$，方 向与$overset{longrightarrow}{a}$相同 或相反，取决于$k$的正负。
向量加法的性质
向量加法满足结合律
即$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
谢谢聆听
02
当$k < 0$时，$koverset{longrightarrow}{a}$表示向 量$overset{longrightarrow}{a}$按比例缩小$-k$倍。
03
当$k = 0$时，$0overset{longrightarrow}{a} = mathbf{0}$，即零向量。
数乘的性质
箭头表示法
详细描述
向量通常用带箭头的线段表示，箭头指向代表方向，长度代表大小。
向量的模
总结词
向量的长度
详细描述
向量的模表示向量的长度，记作$|overrightarrow{AB}|$，计算公式为$sqrt{x^2+y^2}$。
02 向量的加法
向量加法的定义
定义
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点为 共同起点，以第二个向量的终点为共同终点，连接第一个向 量的终点与第二个向量的起点的向量。
中职数学教案：向量的加法运算(全2课时)
中等专业学校2024-2025-1教案教学内容通情况发现成昆之间的高速公路严重拥堵，只好改变出行路线，先驾车到重庆，再从重庆到成都.小张自驾旅程中的位移情况如图所示，其中，点A 、B、C分别代表昆明、重庆和成都三地.试问，小张从点A经点B到达点C接连两次位移，AB、BC的结果，与原计划从点A直接到达点C的位移AC有什么关系？三、探索新知可以看出，这两种方式的位移结果是一样的，都是从昆明到成都.因此我们可以把位移AC看作两次位移AB与BC的和.=AB a，=BC b，得到一个新的向量AC，称向量AC为向量a与向量b的和，记作a+b .一般地，对于平面内给定的两个不平行的非零向量a、b，在平面上任取一点A，依次做=AB a，教学内容=BC b，得到一个△ABC，称向量AC为向量a与向量b的和,也称为向量a与向量b的和向量，记作a+b，如图所示. 即a+b=AC=AB+BC.求两个向量的和的运算称为向量的加法.上述把两个非零向量表示成有向线段并借助于三角形作出其和向量的方法，称为向量加法的三角形法则.当非零向量平行时，在平面上任取一点A，依次作规定：a+b=0+a=a；a+(−a)=0 . 由上面的分析可知，表示各个向量的有向线段首尾相接，由起点指向终点的有向线段表示的向量就是这些向量的和向量，这是向量加法的几何意义，如图所示 .四、典型例题例1 如图所示，在⏥ABCD中，用向量AB、AD表示向量AC.解根据向量加法的三角形法则可知，AC=AB+BC.1. 如图所示，已知向量a、b、c,则板书设计教后札记中等专业学校2024-2025-1教案编号：备课组别数学组课程名称向量的加法运算所在年级主备教师授课教师授课系部人授课班级授课日期课题 2.2.1向量的加法运算（第二课时）教学目标通过学习，理解向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义；能按要求作出两个向量的和向量、差向量；会判定两个非零向量是否平行；逐步提升直观想象、数学运算和数学抽象等核心素养.重点向量加法的运算、减法、数乘运算及其几何意义．难点向量减法法则．教法讲授法教学设备一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容前面，我们利用双曲线的标准方程获得了双曲线的几何性质，是否可以利用抛物线的标准方程研究抛物线的几何性质呢？下面以抛物线的标准方程y²=2px为例，研究抛物线的几何性质.1.范围在方程y²=2px中，由p>0，y²≥0，可知x≥0. 这表明，抛物线在y轴的右侧，如图所示. 当x的值增大时，y²的值也随着教学内容又因为⏥ABCD中，AD=BC，所以AC=AB+AD.五、探索新知一般地,给定两个非零向量AB与AD，以线段AB和AD为邻边作⏥ABCD，则向量AC就是向量AB与AD的和，这种作两个向量的和向量的方法称为向量加法的平行四边形法则．可以验证，向量的加法满足以下运算律：a+b=b+a；(交换律)a+(b+c)= a+(b+c) .(结合律)六、典型例题例2 已知向量a、b，如图(1)所示，试分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作向量a+b.解(1)运用三角形法则.如图(2)所示，在平面内任取一点O，作=OA a，=AB b，则=OB a+b；(2)运用平行四边形法则.如图(3)所示,在平面内任取一点O，作=OA a，=OB b，以OA、OB为邻边作⏥ABCD，连接OC，则=OC OA OB=a+b.例3一艘渡轮要从南岸到北岸,它在静水中速度的大小为12km/h，方向正北. 若水流速度的大小为 12km/h，方向正东，求渡轮实际航行的速度.解如图所示，AC表示船在静水中的速度, AB为水流速度. 以AB、AC为邻边作⏥ABCD，由向量加法的平行四边形法则可知，AD是船的实际航行速度.在RtΔABC中，教学内容因此, 船实际航行的速度大小是13km/h,方向为北偏东22°37’.七、巩固练习练习2.2.1如图所示，分别求作下列情形下的向量a+b2. 如图所示，已知向量a、b、c,则教学内容3.化简.4.某同学从A地向东走2km到达B地,又向北走2km到达C地.试求该同学的位移AC的大小和方向.八、布置作业1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾；3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.板书设计教后札记。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D
C
A
B
练习 ：求两向量的和：
1、（1） （2）
a+b
a
（3）
b
b
a+b b
a
a+b
a
b
2、（1） b
b
（4） a + b
a
b b
（2）
a+b b a
b a
a+b
a
向量的减法
定义：向量 − a叫做向量 a的相反向量。 − (−a ) = a
a − b = a + ( −b)
b = ( a + b) − a
二、向量的加法： 1、定义：求两个向量和的运算叫向量的加法。
2、图示： 图示：
a a a a a a a a a b A a b b B b b C
b b 作法： 在平面内任取一点 在平面内任取一点A 作法：[1]在平面内任取一点 ， [3]则向量 叫 a 与 b 的和。 则向量AC叫 的和。 则向量
5.2 向量的加法与减法
练习
AB 则用a、 表示 （1）在平行四边形中 ）在平行四边形中ABCD， = a , AD = b 则用 、b表示 ，
向量的是（ 向量的是（ A ） A．a＋a ． ＋ B．b+b C．0 D．a＋b ． ． ． ＋ 内一点O， （2）若为△ABC内一点 ， + OB + OC = 0，则O是△ABC ）若为△ 内一点 OA 是 的（ D ） A．内心 ． B．外心 ． C．垂心 ． D．重心 ． （3）下列各等式或不等式中一定不能成立的个数（ A ） ）下列各等式或不等式中一定不能成立的个数（ ① a − b < a+b = a + b ② a − b < a+b < a + b ③ a − b = a+b < a + b A．0 ． B．1 ． C．2 ． ④ a − b = a+b = a + b D．3 ．
解：如图，设 AD表示船向垂直于对岸行 驶的速度 AB表示水流的速度，以 AD 、AB 为邻边作平行四边形 ABCD ，BC中 | AB |= 2，BC |= 2 3 | ∴| AC |= | AB |2 + | BC |2 = 4 ∵ tan ∠CAB = 3 ∴ ∠CAB = 60°。
a = ( a + b) − b
a+b
b a
已知a、, 求作a − b。 b
任取一点A，作向量 AB = a, 作向量 AC = b, 则CB = a − b。
b b
C
a−b
a
A
a
B
5.2 向量的加法与减法
向量和的特点： 向量和的特点： （1）两个向量的和仍是一个向量． ）两个向量的和仍是一个向量． 与向量b不共线时 的方向与a， 都不同 （2）当向量 与向量 不共线时，a+b的方向与 ，b都不同 ）当向量a与向量 不共线时， 的方向与 |a+b|<|a|+|b|． 向，且|a+b|<|a|+|b|． 同向时， 同向， （3）当a与b同向时，则a+b ，a，b同向，且|a+b|=|a|+|b|； ） 与 同向时 ， 同向 ； 当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与 相同，且 与 反向时， ， 的方向与a相同， 反向时 的方向与 相同 |a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|，则a+b的方向与 相同，且 ； 的方向与b相同 ， 的方向与 相同， |a+b|=|b|-|a|． ．
b
b
[2]作AB= a , BC= b ， 作
这种作法叫做三角形法则
特例：
a b A B C C A a b B
方向相同 注： a
−→
AC = a + b
−→
AC = a + b
方向相反
+0 = 0 + a = a
例1、已知向量 a 、b （如图），求作向量 a + b 。 作法：在平面内任取一点O，作 OA= a, AB =b, 则 OB = a + b . C b b b b b O a b b A B
向量的加法
一、提问： 1、什么叫向量？一般用什么表示？ 既有大小又有方向的量叫向量，一般用有向线段表示。 2、有向线段的三个要素是什么？ 三要素是：起点、方向和长度。 向量 与有向线段有什么区别？ 有向线段有三要素：起点、方向和长度；而向量是 向量是既有大小又有方 有向线段有 向量是 向的量。 有向线段与起点有关，而向量与 向量与起点无关可任意平移，但有向线段 有向线段与 向量与 有向线段 不能任意平移。 不能 3、什么叫相等向量？ 长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
a
a
a
这叫做向量加法的平行四边形法则
3、性质
① a+b=b+a ②（a+b)+c=a+(b+c)
以上两个性质可以推广到任意多个向量
D
a+b+c
A
b+c a+b
B
c
C
a
b
例二：如图，一艘船从 A点出发以2 3 km 的速度向垂直于对岸 h 的方向行驶，同时河水 的流速为2 km ，求船实际航行速度的 h 大小和方向。（用与水 流速间的夹角表示）
r r r r r r r r r r a+b =b+a (a+b)+c =a+(b+c) ;
5.2 向量的加法与减法
练习 （1）一架飞机向西飞行100 km 然后改变方向向南飞行100 km , ） 则飞机两次位移的和为 向西南方向飞行 100 2 km ． （2） a + b > a + b 一定成立吗？ 一定成立吗？ ） 不一定
CD CB （3）在四边形中 ABCD ， + AD + BA = ______ ． ）