多元凸函数的性质及其应用_游煦
凸函数的性质与应用
凸函数的性质与应用凸函数是一种特殊的函数，它的图像在任何一点处都是凸的，也就是说，它的图像在任何一点处都是向上凸的。
凸函数的性质和应用非常广泛，它们在数学、统计学、经济学、机器学习等领域都有着重要的应用。
首先，凸函数的性质可以用来求解最优化问题。
最优化问题是指在给定条件下，求解使目标函数取得最大值或最小值的变量值。
凸函数的性质可以用来求解最优化问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解最优化问题。
其次，凸函数的性质可以用来求解线性规划问题。
线性规划问题是指在给定条件下，求解使目标函数取得最大值或最小值的变量值，而且变量值必须满足一组线性约束条件。
凸函数的性质可以用来求解线性规划问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解线性规划问题。
此外，凸函数的性质还可以用来求解最小二乘问题。
最小二乘问题是指在给定条件下，求解使目标函数取得最小值的变量值，而且变量值必须满足一组线性约束条件。
凸函数的性质可以用来求解最小二乘问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解最小二乘问题。
最后，凸函数的性质还可以用来求解机器学习问题。
机器学习是一种人工智能技术，它可以自动从数据中学习规律，并做出预测。
凸函数的性质可以用来求解机器学习问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解机器学习问题。
总之，凸函数的性质和应用非常广泛，它们在数学、统计学、经济学、机器学习等领域都有着重要的应用。
凸函数的性质可以用来求解最优化问题、线性规划问题、最小二乘问题和机器学习问题，从而为科学研究和实际应用提供了重要的理论支持。
例谈凸函数的性质及应用
例谈凸函数的性质及应用江苏省盐都县龙冈中学吕成荣（224011）随着新高考模式的确定，高考命题将更加依据课程标准而又不拘泥于课程标准，在知识边缘处命题将会不断出现，在今年高考北京卷（第12题）中就涉及到凸函数理论，现行教材中没有阐明凸函数理论，本文通过具体的例子进行简要的论述。
一、凸函数的定义1、设f(x)是定义在区间D上的函数，若对于任何x1、x2∈D 和实数λ∈（0，1），有f[λx1+（1-λ）x2]≥λf(x1)+（1-λ）f(x2)，则称f(x)是D上的凸函数。
（如图1）2、若-f(x)是区间D上的凸函数，则称f(x)是D上的凹函数（如图2）。
3、线性函数既是凸函数，也是凹函数。
图1 凸函数图2 凹函数h1=f[λx1+（1-λ）x2]，h2=λf(x1)+(1-λ)f(x2)现行教材中所涉及的一次函数、二次函数、指数、对数函数、三角函数等都存在凸函数，掌握凸函数理论解题有时很容易，反之茫然。
例1：（2002高考北京卷）如图所示，f i （x ）（i=1, 2, 3, 4）是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“[0，1]中任意的x 1和x 2，任意λ∈[0，1]，f[λx 1+（1-λ）x 2]≤λf(x 1)+(1-λ)f(x 2)恒成立”的只有( )A f 1(x)， f 3（x ）B f 2(x)C f 2(x)，f 3(x)D f 4(x)分析：由于x 1∈[0，1]，x 2∈[0，1]，λ∈[0，1]，设x 1=x 2 = 21, λ=21，代入题目所给的不等式，则f[21x 1+21x 2] ≤21f(x 1)+ 21f(x 2) ,即 f(221x x ) ≤ 21[f(x 1) + f(x 2)]，当且仅当x 1 = x 2时等号成立。
上式与凸函数的定义②、③相同，即凹的，而y = ax+b (a ≠0) ，也可看成凸函数或凹函数，故选（A ）。
例2：（94全国文）已知函数f(x) = log a x （a > 0且 a ≠1 ,x ∈R +）,若x 1， x 2∈R +，判断21[f(x 1) + f(x 2)]与f(221x x +)的大小，并加以证明。
凸函数的判定与应用
凸函数的判定与应用凸函数是数学中一种常见的函数类型。
它在优化问题、经济学、工程和自然科学等领域中得到广泛应用。
本文将介绍凸函数的判定准则，以及凸函数在各个领域中的应用。
一、凸函数的定义与性质在数学中，凸函数可以通过其定义和性质来进行判定。
定义：设函数f在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导。
如果对于任意x1、x2∈[a, b]，以及任意0≤t≤1，都满足f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f为[a, b]上的凸函数。
性质：凸函数具有以下性质：1. 对于凸函数f(x)，若f''(x)存在且恒大于等于0，则f(x)是凸函数。
2. 若函数f(x)在[a,b]上是凸函数且在(a,b)内可导，则在(a,b)内f'(x)是递增函数。
二、凸函数与判定方法凸函数的判定方法包括一阶导数、二阶导数和Jensen不等式等。
1. 一阶导数判定法若函数f(x)在区间[a,b]上可导，且对于任意x1、x2∈(a,b)，有f'(x)在[a,b]上单调递增，则f(x)是在[a,b]上的凸函数。
2. 二阶导数判定法若函数f(x)在区间[a,b]上两次可导，且对于任意x∈(a,b)，有f''(x)≥0，则f(x)是在[a,b]上的凸函数。
3. Jensen不等式对于凸函数f(x)，若λ1、λ2、...、λn为非负实数，且满足λ1+λ2+...+λn=1，以及x1、x2、...、xn为任意n个区间[a,b]上的数，则有以下不等式成立：f(λ1x1+λ2x2+...+λnxn)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λnf(xn)三、凸函数的应用领域凸函数广泛应用于各个领域，包括优化问题、经济学、工程和自然科学。
1. 优化问题在优化问题中，凸函数常被用来描述目标函数或约束条件。
由于凸函数具有良好的性质，如弱凹性和全局极小值，因此可以通过凸优化算法来求解各种优化问题。
凸函数的性质及其在不等式证明中的应用
凸函数的性质及其在不等式证明中的应用凸函数是数学中一个重要的概念，广泛应用于优化理论、经济学、物理学等领域。
在不等式证明中，凸函数可以帮助我们简化证明过程，并且提供了一些常用的不等式。
1. 定义：对于定义在实数域上的函数f(x)，如果对于任意的x1、x2，以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f(x)是凸函数。
如果不等式方向反过来，即f(tx1+(1-t)x2)≥tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f(x)是凹函数。
2.一阶导数判别法：如果函数f(x)在区间(a,b)上二次可导，且f''(x)≥0，则f(x)是凸函数；如果f''(x)≤0，则f(x)是凹函数。
3. Jensen不等式：如果函数f(x)是凸函数，则对于任意的实数x1，x2，…，xn，以及任意的正实数λ1，λ2，…，λn，满足λ1+λ2+…+λn=1，有f(λ1x1+λ2x2+…+λnxn)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)。
在不等式证明中，凸函数可以用来简化证明过程，常用的应用有：1. 平均值不等式：对于任意的正实数x1，x2，…，xn，有(x₁+x₂+⋯+xₙ)/n ≥ √(x₁x₂⋯xₙ)。
这个不等式可以通过使用以函数f(x)=ln(x)为代表的凸函数来证明。
由于ln(x)在定义域(0,+∞)上是凸函数，我们可以使用Jensen不等式来证明平均值不等式。
2. Cauchy-Schwarz不等式：对于任意的实数a1，a2，…，an以及b1，b2，…，bn，有(a₁²+a₂²+⋯+aₙ²)(b₁²+b₂²+⋯+bₙ²) ≥(a₁b₁+a₂b₂+⋯+aₙbₙ)²。
这个不等式也可以通过使用凸函数来证明，常用的方法是构造凸函数f(x)=x²，然后应用Jensen不等式。
凸函数的性质及其应用
摘要高等数学的重点研究对象凸函数是数学学科中的一个最基本的概念。
凸函数的许多良好性质在数学中都有着非常重要的作用。
凸函数在数学，对策论，运筹学，经济学以及最优控制论等学科都有非常广泛的应用，现在已经成为了这些学科的重要理论基础和强有力的工具。
同时，凸函数也有一些局限性，因为在实际的运用中大量的函数并不是凸函数的形式，这给凸函数的运用造成了不便。
为了突破其局限性并加强凸函数在实际中的运用，于是在60年代中期便产生了凸分析。
本文主要是研究凸函数在数学和经济学方面的应用，在数学方面，文主要探究了不等式的证明，看看它与传统方法比较哪个更为简洁；在经济学方面，主要介绍了凸函数的一些新的发展，即最优问题，该问题在投资决策中起到了非常重要的作用；最后简单的介绍了一下经济学中的有关Arrow-pratt风险厌恶度量的知识。
关键词：凸函数；不等式；经济学；最优化问题AbstractConvex function, the main study object of higher mathematics, is one of the most fundamental concepts in mathematics. Many good properties of convex function have a very important role in mathematics. Convex function has a very wide range of applications in mathematics, game theory, operations research, economics and optimal control theory, and now has become the most important theoretical basis and the most powerful tool of these disciplines.Convex function has some limitations at the same time, because large numbers of functions are not convex functions in the practical application, which has caused inconvenience to the use of convex functions. In order to break its limitations and strengthen the use of convex function in practice, convex analysis was produced in the mid 60's.The paper is mainly study the applications of convex function in mathematics and economics. In mathematics, the paper mainly discusses the poof of inequality to see which is more simple compared with the traditional method. In the aspect of economics, the paper mainly introduces some new developments of convex functions, namely, optimal problems, which play an important role in the investment decision. Finally, the paper introduces the related knowledge of the Arrow-pratt risk aversion measure in economics simply.Key words：Convex function；Inequality；Economics；Optimization problem目录摘要 (I)Abstract ......................................................................................................................... I I第1章绪论 (1)第2章预备知识 (3)2.1 凸函数的定义 (3)2.2 凸函数的定理 (6)2.3 凸函数的简单性质 (9)2.4 几种常见的不等式 (10)第3章在数学中的应用 (12)3.1. 初等不等式的证明 (12)3.2 函数不等式的证明 (14)3.3 积分不等式的证明 (15)第4章凸函数在经济学的中应用 (19)4.1 最优化问题 (19)4.1.1 线性规划下的最优化问题 (19)4.1.2 非线性规划下的最优化问题 (21)4.2 Arrow-pratt风险厌恶度量 (26)结论 (28)参考文献 (29)致谢 (30)第1章绪论提起凸函数我们就知道它是一种性质特殊的函数，在初高中阶段我们只是对其性质，及其图像进行了简单的认识。
凸函数的性质及其在不等式证明中的应用
凸函数的性质及其在不等式证明中的应用凸函数是一类在数学中非常重要的函数，它具有很多重要的性质，并且在不等式证明中有着广泛的应用。
在本文中，我将介绍凸函数的性质，并给出一些在不等式证明中的具体应用。
一、凸函数的定义：对于定义在区间上的函数，如果对于区间上的任意两个点和以及任意实数，都有那么我们称函数是凸函数。
如果上式中的等号只在时成立，那么我们称函数是严格凸函数。
二、凸函数的性质：1.凸函数的一阶导数是非递减的。
2.凸函数的二阶导数是非负的。
3.函数的局部极小值点是凸函数。
4.凸函数的和、乘积以及复合仍然是凸函数。
三、凸函数在不等式证明中的应用：凸函数具有很多重要的性质，这些性质使得凸函数在不等式证明中有着广泛的应用。
下面是一些具体的应用示例：1.利用凸函数判断不等式的方向：考虑不等式f(x)≥g(x)如果函数和是凸函数，且在区间上有，那么可以得到f(x) ≥ g(x) for a ≤ x ≤ b2.利用凸函数证明不等式：有时候，我们需要证明一个不等式，其中和可能是一些函数或者表达式。
如果我们可以找到一个凸函数，使得在区间上有，以及在边界处有，那么我们就可以得到f(x) ≥ g(x) for a ≤ x ≤ b从而证明原始的不等式。
3.利用凸函数确定不等式的最优解：在一些优化问题中，我们需要求解一个约束条件下的最优解。
如果我们可以找到一个凸函数，使得在区间上有，且在边界处有，那么我们就可以确定约束条件的最优解。
4.利用凸函数证明柯西不等式：对于实数集和，柯西不等式指的是(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... +an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)其中和是任意实数。
我们可以通过构造一些凸函数的性质，如二次函数，来证明柯西不等式。
在不等式证明中，凸函数是一个非常重要的工具。
它的性质使得我们可以利用它来判断不等式的方向，证明不等式，确定不等式的最优解，甚至证明柯西不等式等等。
凸函数的应用
凸函数的应用一、引言凸函数是数学中的重要概念之一，广泛应用于自然科学、经济学、管理学等领域。
本文旨在介绍凸函数的定义、特性及应用，探讨在现代社会中的重要性。
二、凸函数的定义与特性凸函数的定义是：对于定义域内的任意两个点 x1 和 x2 以及任意一个介于它们之间的值θ，都有以下不等式成立：f(θx1 +（1-θ）x2) ≤ θf(x1) +（1-θ）f(x2)其中，θ是一个介于0和1之间的实数。
凸函数的特性包括两个方面：一是函数本身，二是函数的图像。
1. 函数本身的特性（1）导函数单调递增：若函数 f 的导数f′（x）在区间 [a, b] 内连续，则 f 在 [a, b] 内是凸函数当且仅当f′′（x）≥ 0。
（2）严格凸函数的一阶导数是凸函数，凸函数的一阶导数是单调递增函数。
（3）二阶导数大于零：如果函数 f 在区间 [a, b] 内两次可导，则 f 在 [a, b] 内是凸函数当且仅当f′′(x)≥0。
2. 函数图像的特性（1）图像上任意两点之间的割线斜率均小于函数的斜率。
（2）函数图像的下凸壳与函数图像重合。
以上是凸函数的定义和特性，在实际应用中，凸函数具有以下几个重要性质：3. 凸函数的重要性质（1）全局最小值：对于凸函数 f，它的全局最小值就等于它的局部最小值。
（2）可微性：凸函数都是可微的。
（3）局部最大值必为拐点：对于凸函数 f，它的局部最大值一定对应着凸函数的拐点。
以上是凸函数的定义、特性及重要性质，下面我们将探讨凸函数在现代社会中的应用。
三、凸函数的应用1. 金融风险管理在金融领域，凸函数被广泛用于估算资产的风险度量。
凸函数模型可以用于投资组合优化和资产定价。
一些基础经济学原理也依赖于凸函数，例如在高洛德·赛门·斯密的鹰派定律中就运用了此原理。
2. 凸优化凸函数在优化问题中有广泛的应用，包括凸优化、定量金融、最优化、统计估计、模式识别和控制等。
在支持向量机（SVM）的学习中，凸函数的应用是至关重要的，尤其是在二次规划及凸优化方面，凸函数的技巧成为常用项。
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用凸函数（Convex function）是数学中的一种特殊函数，具有一些特殊的性质和应用。
在证明不等式中，凸函数的性质可以帮助我们简化问题，提供了一种有效的方法。
1. 定义：对于定义在实数集上的函数f(x)，如果对于任意的x1,x2∈R以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，那么f(x)是凸函数。
2.几何意义：凸函数的几何意义可以通过以下两点来理解。
首先，凸函数的图像上的任意两点形成的线段在函数图像的上方或者处于函数图像上。
其次，凸函数的下方的切线都位于函数图像下方。
3.一阶导数条件：对于凸函数来说，一阶导数是单调递增的。
也就是说，如果f(x)是凸函数，则f'(x)≥0。
4.二阶导数条件：凸函数的二阶导数是非负的。
也就是说，如果f(x)是凸函数，则f''(x)≥0。
凸函数在证明不等式中的应用：1.约束条件：凸函数在一些约束条件下的最大值或最小值通常是问题的关键。
我们可以通过构造一个约束函数和一个目标函数，来求解最优化问题。
通常情况下，约束函数是一个凸函数，而目标函数是可以转化为凸函数的。
2.差分近似：在证明不等式过程中，我们常常需要利用凸函数近似一些复杂的函数。
这是因为凸函数在大部分区间上是递增的，所以可以将复杂的问题简化为凸函数问题。
3. Jensen不等式：Jensen不等式是证明凸函数不等式的重要工具。
Jensen不等式指出，如果f(x)是凸函数且x1, x2, ..., xn是任意实数，那么有f(λ1x1+λ2x2+...+λnxn) ≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λnf(xn)，其中λ1, λ2, ..., λn是非负实数且满足λ1+λ2+...+λn=14. Karamata不等式：Karamata不等式是一种更加广义的不等式，可以被用于证明许多重要的几何不等式。
这个不等式是基于对凸函数定义的一个扩展。
凸函数的性质及其应用研究论文
凸函数的性质及其应用研究论文凸函数是数学分析中的一个重要概念，它在许多领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍凸函数的性质，并探讨其在实际应用中的研究。
首先，凸函数的定义是：如果函数 f（x）在区间上连续，且对于任意的 a 和 b（a<b），都有 f（(1-t)a + tb）≤ (1-t)f(a)+tf(b)，那么 f（x）就是在区间上的凸函数。
其中，(1-t)a + tb 是 a 和 b 的凸组合，t 是一个取值在 [0,1] 的实数。
凸函数具有以下几个基本性质：1.一阶导数和二阶导数的关系：凸函数的一阶导数是严格递增的，而二阶导数是非负的。
这个性质可以通过凸函数的定义来证明。
2.凸函数的局部和全局性质：凸函数在局部和全局上都具有单调性和凸性。
如果一个函数在区间上是凸函数，那么它在该区间上的任意子区间也是凸函数。
3.凸函数的支撑超平面：对于凸函数f（x），在任意一点x0处，存在一个超平面，使得这个超平面与函数图像的接触点就是x0。
这个超平面被称为凸函数在x0处的支撑超平面。
凸函数具有许多应用，下面将介绍几个常见的应用：1.最优化问题：在最优化问题中，凸函数经常被用来建立目标函数和约束条件。
利用凸函数的性质，我们可以推导出最优解的存在性、唯一性和求解方法。
2.经济学：在经济学中，凸函数被广泛应用于建模和分析。
例如，成本函数、效用函数和收益函数都可以用凸函数来描述。
3.控制理论：在控制理论中，凸函数被用来建立系统的性能指标和优化问题。
通过优化这些凸函数，我们可以设计出更好的控制方案。
4.图像处理：在图像处理中，凸函数经常被用来作为图像去模糊、图像分割和图像重建等问题的约束条件或目标函数。
5.金融学：在金融学中，凸函数被广泛应用于资产组合优化、风险管理和衰退模型等问题。
通过研究凸函数的性质，我们可以更好地理解和管理金融风险。
综上所述，凸函数具有一些重要的性质，并且在许多领域中都有着广泛的应用。
对凸函数的研究不仅可以推动数学理论的发展，还可以解决各种实际问题。
凸函数的性质
凸函数的性质凸函数是数学中非常重要的一类函数，它在经济学、物理学、计算机科学等领域中得到广泛应用。
在本篇文章中，我将会讲解凸函数的性质及其应用。
一、凸函数的定义首先，我们先来回顾一下凸函数的定义。
对于定义在$R^n$上的函数$f(x)$，若对任意$ x_1, x_2∈R^n $，以及$0≤λ≤1$都有$$ f(λx_1+(1−λ)x_2)≤λf(x_1)+(1−λ)f(x_2)$$则称$f(x)$为凸函数。
当$λ \in (0,1)$时，式子称为严格凸。
凸函数的定义很简单，但是它却有着非常重要的数学性质。
二、（一）一阶导数首先，我们来考虑凸函数的一阶导数。
对于一元函数$f(x)$而言，若其在点$x$处可导，则有：$$f(x + h) = f(x) + f'(x)h + o(h)$$其中$o(h)$为比$h$高阶的无穷小，即当$h$趋于0时，$o(h)/h$趋近于0。
因为$f(x)$是凸函数，所以有：$$ \begin{aligned} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} &≥ \frac{(1-λ)f(x) + λf(x + h) - f(x)}{λh} \\ &≥ \frac{(1-λ)f(x) + λf(x) + λhf'(x) + o(h) -f(x)}{λh} \\ &= f'(x) + \frac{o(h)}{h} \end{aligned} $$所以有：$$ f'(x+)≥f'(x) $$也就是说，凸函数的导数是单调非减的。
类似地，我们可以证明一阶导数单调非增的函数是凹函数。
（二）二阶导数接下来，我们来考虑凸函数的二阶导数。
对于一元函数$f(x)$而言，若其在$x$处二阶可导，则有：$$f(x+h) = f(x) + f'(x)h + f''(x)\frac{h^2}{2} + o(h^2)$$同时，因为$f(x)$是凸函数，所以有：$$\begin{aligned} f(λx_1+(1-λ)x_2)&≤λf(x_1)+(1-λ)f(x_2) \\f′(λx_1+(1-λ)x_2)&≥ \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2−x_1} \end{aligned}$$对右边的式子取极限，得到：$$ f''(x_)≥0 $$也就是说，凸函数的二阶导数是非负的。
凸集和凸函数的性质和应用
凸集和凸函数的性质和应用凸集和凸函数是数学领域中的两个重要概念，分别在几何、优化、概率等领域中都有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将会详细讨论凸集和凸函数的性质以及它们的应用。
一、凸集凸集是指满足任意两个点之间的线段都在集合内的集合。
换句话说，如果有一个集合S，那么S是凸集当且仅当对于S中的任意两个点x和y，x和y之间的线段上的所有点都在S内。
对于凸集，我们可以根据其性质进行分类。
首先，全空间和空集都是凸集，这两个极端情况被称为平凸集和空凸集。
而对于非平凸集来说，则可以有以下几种情况。
1.开凸集：对于某个凸集，如果它不包含任何边界点，则被称为开凸集。
2.闭凸集：对于某个凸集，如果它包含所有边界点，则被称为闭凸集。
3.紧凸集：对于某个凸集，如果它是有限的并且紧致的，则被称为紧凸集。
4.凸包：对于一组点，包含这些点的最小凸集，被称为凸包。
凸集不仅仅在数学中有着广泛的应用，还在计算机科学、优化问题等领域中得到广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，我们可以使用凸集来进行边界的处理和剪裁等；在优化问题中，我们可以使用凸集来化简复杂问题，以便更好地对其求解。
二、凸函数凸函数是指函数图像上任意两点的连线不在函数图像下方的函数。
更具体地说，如果一个函数f(x)满足以下不等式：f(λx+(1−λ)y)≤λf(x)+(1−λ)f(y)，其中0≤λ≤1则f(x)是凸函数。
这个不等式的意义是，对于函数图像上的任意两点x和y，它们之间线段上的所有点都在函数图像上方，即满足上述不等式。
凸函数的常见形式包括线性函数、指数函数、幂函数、对数函数等。
此外，两个凸函数的和、积和复合函数也都是凸函数。
凸函数的定义和凸集的定义类似，都是指在某一区间（或者全空间）内，满足一定的条件（凸性）。
凸函数的性质包括以下几个方面。
1.凸函数的上确界在左连续下降。
2.凸函数的导函数单调不减，且导函数的左导数和右导数存在并相等。
3.凸函数的一阶导数是凸函数。
凸函数的若干性质及应用
凸函数的若干性质及应用凸函数是数学分析中的重要概念，具有许多重要的性质和广泛的应用。
本文将从性质和应用两个方面来阐述凸函数的相关内容。
一、性质：1. 定义：凸函数的定义是指函数f(x)在定义域的任意两点x1和x2，对于任意的t∈[0,1]，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)成立。
这个定义也可以用来判定函数的凹凸性。
2. 凸函数的图像：凸函数的图像总是位于其切线的下方，且曲线向上凸起，在凸函数的图像上取任意两点，连接这两点与曲线的切线，切线位于曲线的下方。
3. 严格凸函数：如果函数f(x)在定义域内的每两个不同的点x1和x2之间，对于任意的t∈(0,1)，都有f(tx1+(1-t)x2)<tf(x1)+(1-t)f(x2)成立，则称函数f(x)为严格凸函数。
4. 凸函数的一次导数：凸函数的一次导数是非递减的，也就是说，若函数f(x)是凸函数，则它的导函数f'(x)是非递减的。
二、应用：凸函数在许多领域都有广泛的应用，以下介绍凸函数的一些常见应用：1. 最优化问题：凸函数在最优化问题中具有重要作用，特别是线性规划和凸规划。
通过建立优化问题的目标函数为凸函数，可以快速求得该问题的最优解。
2. 机器学习：在机器学习中，凸函数常用于构建损失函数和约束条件。
通过选择合适的凸函数作为损失函数，可以用来拟合模型和训练模型，如线性回归和逻辑回归等。
3. 经济学：凸函数在微观经济学中具有广泛的应用，特别是在效用函数和供求关系中。
凸函数可以描述消费者偏好和生产者的成本、收益等经济现象，为经济学家提供了重要的理论工具。
4. 几何学：凸函数与凸集有着密切的关系，可以通过凸函数来描述凸集。
凸函数在几何学中被广泛用于解决凸优化问题、凸包问题等凸几何相关的问题。
5. 图像处理：在数字图像处理中，凸函数常用于图像的分割、边缘检测、图像重建等问题。
通过构建合适的凸函数和优化算法，可以提高图像处理的效率和精度。
凸函数的性质及其应用2
本案设计中，全玻璃展示柜的出现不仅减轻了柜体的视觉重量
功能区域、干净整洁的环境、良好的通风设施、悦耳的背景音乐、亲
感，而且更加突显展品的视觉效果。专卖店是卖场，是舞台，装饰只 是发挥背景衬托的作用，最重要的还是突出对产品的展示效果，换 句话说就是产品的营销方式是主角、是主题，装饰是道具、是配角。 4 店面入口设计的重要性
＞f(
x+y 2
)
证明 设 f(t)=tlnt(t＞0)
∴f'(t)=1+lnt f''(t)= 1 (t＞0) t
∴f(t)在(0,+∞)上是严格凸函数,
∴
对坌x,y＞0
且
x≠y，有：f(x)+2f(y)
＞f(
x+y 2
)
即：xlnx+2ylny
＞ x+y 2
ln
x+y 2
即：xlnx+ylny＞(x+y)ln
通过以上例题可以看出利用凸函数的性质证明有关不等式可以使难度较大且证明过程复杂的问题转化成证明比较容易证明过程简单的问题关键是寻找合适的凸函数若不能直接找出则可以对不等式进行适当的变形从而达到证明不等式的目的
理工科研
凸函数的性质及其应用
２００９．３（下旬刊）
狄雷
（南京晓庄学院 江苏·+f'(c)(xi- c),i=(1,2,…n)
n
所以Σf(xi)≥nf(c) i=1
n
Σ 故
1 n
i
=
1
f(xi)≥f(c)=f(
x1+x2+…+xn n
)
3 凸函数的应用
在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一
凸函数的性质和应用论文
凸函数性质及其应用摘 要 本文首先给出了凸函数的几种定义，然后给出了凸函数的几种重要性质，最后举例说明了凸函数在微分学、积分学、及在证明不等式中的应用.关键词 凸函数的积分性质;凸函数的不等式Abstract In this article ，first we list several kind of definitions for convex functions ，then we give several important properties of convex functions ; finally we discuss the application of convex functions in differential calculus , integral calculus, and the proof of inequality.Keywords integral properties of convex functions ; inequality of convex functions凸函数是一类非常重要的函数,广泛应用于数学规划、控制论、黎曼几何、复分析等领域.本文先给出凸函数的几种等价定义,然后列出重要的相关性质,最后给出在微分学、积分学、以及在证明不等式中应用.1 凸函数的定义及其相互关系 定义1 设()f x 在区间I 上有定义,()f x 在区间I 称为是凸函数当且仅当:12,,(0,1)x x I λ∀∈∀∈,有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-上式中“”改成“<”则是严格凸函数的定义.定义2 设()f x 在区间I 上有定义, ()f x 在区间I 称为是凸函数当且仅当:12,,x x I ∀∈有1212()().22x x f x f x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭定义3 设()f x 在区间I 上有定义, ()f x 在区间I 称为是凸函数当且仅当：1,2,...,n x x x I ∀∈,有1212......()()......().n n x x x f x f x f x f n n +++++⎛⎫≤⎪⎝⎭定义 4 ()f x 在区间I 上有定义,当且仅当曲线()y f x =的切线恒保持在曲线以下,则成()f x 为凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则称曲线()f x 为严格凸的.引理1 定义2与定义3等价.引理2 若()f x 连续,则定义1，2，3等价.2 凸函数的性质定理 1 设()f x 在区间I 上有定义,则以下条件等价（其中各不等式要求对任意,123,,,x x x I ∈123x x x << 保持成立）：（i ）()f x 在I 上为凸函数 （1）（ii ）2121()()f x f x x x --3131()()f x f x x x -- （2）(iii)31323132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- （3）(iv)2121()()f x f x x x --3232()()f x f x x x -- （4）推论1若()f x 在区间I 上为凸函数，则I 上任意三点123x x x <<，有2121()()f x f x x x -≤-3131()()f x f x x x -≤-3232()()f x f x x x --.推论2 若()f x 在区间I 上的凸函数，则0,x I ∀∈过0x 的弦的斜率()k x = 00()()f x f x x x --是x 的增函数（若f 为严格凸的,则()k x 严格增）.推论3 若()f x 是区间I 上的凸函数，则I 上任意四点s<t<u<v 有()()f t f s t s --()()f v f u v u-≤-.推论4 若()f x 是区间I 上的凸函数，则对I 上的任一点x,单侧导数(),()f x f x +-''皆存在，皆为增函数，且()()f x f x -+''≤ 0()x I ∀∈这里0I 表示I 的全体点组成之集合.（若f 为严格凸的，则'f +与'f -为严格递增的）.证明 因x 为点,故12,,x x I ∃∈使得12x x x <<,从而（利用推论2）,1212()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--.再由推论2所述,当1x 递增时,11()()f x f x x x--也递增.故由单调有界原理知,如下极限存在且'f -(x)= 101212()()()()limx x f x f x f x f x x x x x-→--≤--.同理,在此式中，令2x x →时,可知'()f x +存在,且''()()f x f x -+≤.最后由推论3中的不等式重新取相应的极限,可知'f +与'f -皆为增函数.推论5 若()f x 在区间I 上为凸的，则f 在任一点x ∈0I 上连续. 事实上由推论4知f +'与f -'存在，所以f 在x 处左右都连续.定理2 设函数()f x 在区间I 上有定义，则()f x 为凸函数的充要条件是：00,x I ∈α∃，使得x I ∀∈,有()f x 00()()x x f x α≥-+.证明（必要性）因()f x 为凸函数，由上面的推论4知， 0'00,()x I f x -∀∈存在且'000()()()f x f x f x x x --→-. 由此任取一'0(),f x α-≥则0x x <时有00()()()f x x x f x α≥-+.因''00()f x f x -+≤(),所以对任一α:''00()(),f x f x x Iα-+≤≤∀∈恒有()f x 00()()x x f x α≥-+.(充分性)设123x x x <<是区间I上的任意三点，由已知条件222,,()()()x f x x x f x αα∀∃≥-+()x I ∀∈,由此令1x x =和3x x =，可以得到32123212()()()()f x f x f x f x x x x x α--≥≥--,由定理1可知()f x 为凸的.定理3 设()f x 在区间I 上有导数，则()f x 在I 上为凸函数的充要条件是()()f x I '∈x 递增. 证明 （充分性）12,x x I ∀∈,不妨设12x x <及λ∈（0,1）,记12(1)x x x λλ≡+-，则1212()[(1)]()(1)()f x f x x f x f x λλλλ≡+-≤+-,或12()()(1)()0f x f x f x λλ---≤ (1)由于()()(1)()f x f x f x λλ=+- (1)式等价于12[()()](1)[()()]0f x f x f x f x λλ-+--≤ (2)应用Largrange 定理，12,:,x x εηεη∃<<<使得''1212[()()](1)[()()]()()(1)()()f x f x f x f x f x x f x x λλλελη-+--=-+--，但112121[(1)](1)()x x x x x x x λλλ-=+--=--,212212[(1)]()x x x x x x x λλλ-=+--=-.故（2）式左端=12[()()](1)[()()]f x f x f x f x λλ-+--''221()(1)()(1)()()f x x f x x λελληλ=--+--21(1)()[()()]x x f f λλεη''=---按已知条件()()f x I '∈x 递增，得知()()f f εη''≤,从而上式≤0,(2)式获证.（必要性）由定理1的推论4,()f x +'在0I 为递增的，因()f x '存在，故()()f x f x +''=亦在0I 为递增的，若I 有右端点b,按照已知条件f 在b 点有左导数，0x I ∀∈易知: ''''()()()()()()f x f b f x f x f b f b x b+--=≤≤=-同理，若I 有左端点a,则()(),f a f x ''≤即()f x '在I 上为递增的.推论 若()f x 在区间I 上有二阶导数，则()f x 在I 上为凸函数的充要条件是：()0f x ''≥ 定理4 （Jensen 不等式）若()f x 为[a,b]上的凸函数，则[,]i x a b ∀∈ ,0(1,2,...,),i i n λ>=11,nii λ==∑，有11()()n ni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑.证明 应用数学归纳法.当n=2时，由定义1命题显然成立.设n=k 时命题成立,即对任何 12,,...,[,]k x x x a b ∈与10,1,2,...,,1ni ii i k αα=>==∑都有11()()k ki i i i i i f x f x αα==≤∑∑现设121,,...,,[,]k k x x x x a b +∈及0i λ>（i=1,2,…k+1）,111k ii λ+==∑.令1,1ii k λαλ+=-i=1,2,…,k,则11ki i α==∑.由数学归纳法假设可推得1111111()[(1)]1ki ik i i i k k k i k xf x f x λλλλλ+=+++=+=-+-∑∑1111(1)()kk i i k k i x f x λαλ+++=≤-+∑1111(1)()()kk i i k k i f x f x λαλ+++=≤-+∑=11111(1)()()1kik i k k i k f x f x λλλλ+++=+-+-∑=11()k iii f x λ+=∑即对任何正整数n(n 2)≥,上述不等式成立.推论 设()f x 在区间I 上是凸函数,则对于任意的12,,...,m x x x I ∈和120m βββ>，，...,都有1122111212...()...()()......m m m m m mx x x f x f x f βββββββββββ+++++≤++++++.3 凸函数的应用3.1在微分学中的应用我们讨论了凸函数的有界性，左右函数极限和Lipschitz 性质.例1 设函数()f x 在区间I 上为凸函数，试证：()f x 在I 上的任一闭子区间上有界. 证明 设[,]a b I ⊂为任一闭子区间:①（证明()f x 在[,]a b 上有上界）[,],x a b ∀∈取[0,1],x ab aλ-=∈-(1)x b a λλ=+-. 因()f x 为凸函数,所以()[(1)]()(1)()(1)f x f b a f b f a M M M λλλλλλ=+-≤+-≤+-=其中max{(),()}M f a f b =. 故在[,]a b 上有上界M ；②（证明()f x 在[,]a b 上有下界）记2a bc +=为,a b 的中点，则[,]x a b ∀∈，有关于c 的对称点x '，因()f x 为凸函数，所以()()11()()222f x f x f c f x M '+≤≤+ ,从而 ()2()f x f c M m ≥-≡ ， 即m 为()f x 在[,]a b 上的下界.例2 设()f x 为区间(a,b)的凸函数，试证：()f x 在I 上的任一闭区间[,][,]a b αβ⊂上满足Lipschitz 条件.证明 要证明()f x 在区间[,]αβ上满足Lipschitz 条件，即要证明：0,L ∃>使得12,[,]x x αβ∀∈有1212()()f x f x L x x -≤- (1)因为[,][,]a b αβ⊂，故可取h>0充分小，使得[,](,)h h a b αβ-+⊂与此12,[,],x x αβ∀∈若12,x x <取32x x h =+.由凸性，32212132()()()()f x f x f x f x M mx x x x h---≤≤--（其中M,m 分别表示()f x 在[,]h h αβ-+上的上下界）,从而2121()()M mf x f x x x h--≤- (2) 若21,x x < 可取32,x x h =-由()f x 的凸性，有()23122312()()()f x f x f x f x x x x x --≤--， 从而 ()21322132()()()f x f x f x f x M mx x x x h---≤≤-- 由此可得(2)式成立. 若12x x =，则（2）式明显成立.这就证明了（2）式对一切12,[,]x x αβ∈皆成立.因此（2）式当1x 与2x 互换位置也成立，故有2121()()M m f x f x x x h--≤-，令,M mL h -=则（1）式也获证. 例3 设()f x 为区间(,)a b 的凸函数,并且有界,试证极限 lim ()x af x +→与lim ()x bf x -→存在. 证明 设x ∈（a,b ）时10x ≤>>f(x)M,x x 为(,)a b 任意三点，根据()f x 的凸性,当x 递增时00()()f x f x x x --也递增.又因为0010010()()()()f x f x M f x x x x x x x x --≤∀>>--, 根据单调有界原理,有极限 00()()limx b f x f x A x x →--=- ,从而 000000()()lim ()lim ()()()()x b x b f x f x f x x x f x A b x f x x x --→→⎡⎤-=-+=-+⎢⎥-⎣⎦亦存在.3.2凸函数的积分性质将凸性与函数的连续性（甚至单侧连续性）、单调性等联系起来,应用到积分学中可以得到许多好的结论,我们举例如下:例4 设()f x 为区间[,]a b 上连续的凸函数.试证:1212,[,],x x a b x x ∀∈<，有21121221()()1()()22x x x x f x f x f f t dt x x ++≤≤-⎰. 证明 令 121(),(0,1),t x x x λλ=+-∈则2111210211()[()]x x f t dt f x x x d x x λλ=+--⎰⎰, (1) 同理，令221()t x x x λ=--，亦有2111210211()[()]x x f t dt f x x x d x x λλ=+--⎰⎰ 从而21112122102111(){[()][()]}2x x f t dt f x x x f x x x d x x λλλ=+-+---⎰⎰, (2) 注意121()x x x λ+-与221()x x x λ--关于中点122x x +对称.由于()f x 是凸函数,故由（2）式得2112211()()2x x x x f t dt f x x +≥-⎰ . 另外,由（1）式,应用()f x 的凸性211210211()[(1))]x x f t dt f x x d x x λλλ=+--⎰⎰ 1210()(1)()]f x f x d λλλ≤+-⎰1122122100()()(1)()()222f x f x f x f x λλ⎡⎤⎡⎤+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.例5 设()f x 是[0,)+∞上的凸函数,求证：01()()xF x f t dt x =⎰ （1）为(0,)+∞上的凸函数.证明 ()f x 为[0,)+∞上的凸函数,因此它在(0,)+∞连续,()f x 在[0,]x 上有界.由此知积分(1)有意义. 0x ∀>,令 tu x=时 101()()()xx t tF x f t dt f x d f xu du x x x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ （2） 12(0,1),,0x x λ∀∈∀>恒有112120[(1)]{[(1)]}F x x f x x u du λλλλ+-=+-⎰ [因(2)]=1120[(1)]f x u x u du λλ+-⎰112[()(1)()]f x u f x u du λλ≤+-⎰ （因f 的凸性）12()(1)()F x F x λλ=+-所以F 是(0,)+∞上的凸函数.例6 设函数()g x 在[,]a b 上递增,试证 (,),c a b ∀∈函数()()xc f x g x =⎰为凸函数.证明 因()g x 递增,积分有意义.且∀123x x x <<212122121()()1()()x x f x f x g x dx g x x x x x -=≤--⎰ 32323232()()1()x x f x f x g x dx x x x x -≤=--⎰故由定理1知()f x 为凸函数.例7 设()f x 为[,]a b 上的凸函数,证明 ,(,)c x a b ∀∈有''()()()()xxccf x f c f t dt f t dt -+-==⎰⎰ （1）证明 因()f x 为凸函数, 由定理1推论4 '()f t -，'()f t +存在且递增（当(,)t a b ∈）.故(1)中的积分有意义.对[c,x]任作一分划 012...,n c x x x x x =<<<<=有11()()[()()].ni i i f x f c f x f x -=-=-∑ 参看定理2，我们有'111()()()(),i i i i i f x f x f x x x -----≥-'11()()()()i i i i i f x f x f x x x ----≤-于是由.(1)式知'111()()()()ni i i i fx x x f x f c ---=-≤-∑'11()()ni i i i fx x x --=≤-∑.将分划无限分细,令1max()0,i i x x λ-=-→取极限可知 '()()().xc f x dx f x f c -=-⎰ 同理有 '()()().xcf x dx f x f c +=-⎰3.3利用凸函数的性质证明不等式利用凸函数证明不等式已经有了许多结果,我们所做的就是由定理4证明了Holder 不等式，并且利用Jensen 不等式证明了几个复杂的不等式.例8 设352x ≤≤ 证明证明 由于函数y =在区间[0,)+∞上是凸函数，由凸函数的性质，即定理 4 有=≤=由于1,23,153x x x +--不可能同时相等，从而有<≤例 9 设函数()f x 是区间[0,)+∞上的凸函数，对于12,,...(0,),n x x x ∀∈+∞则1212()()...()(1)(0)+(...)n n f x f x f x n f f x x x +++<-+++证 明 由于120...i i n n x x x x x x <<+<+++,则由定理1中（4）式，有1212()(0)()()(...)()0...i i n i n n i i n i n nf x f f x x f x f x x x f x x x x x x x x x -+-+++-<<-+-+++-即12121()(0)[(...)()] (i)i n n n x f x f f x x x f x x x x --<++-+++令1,21i n =-,对上式两边求和，有1121[()(0)](...)()n i n n i f x f f x x x f x -=-<++-∑即1212()()...()(1)(0)(...)n n f x f x f x n f f x x x +++<-++++例 10 设111,1,1αβαβ>>+=及0,0(1,2,...,)i i a b i n >>=则有Holder 不等式成立：11111()()n nni i i ii i i a b a b αββα===≤∑∑∑ 当且仅当i a α与i b β成正比例时等号成立. 证明 取()f x =(1,0)x x αα><<+∞，(1,0)x x αα><<+∞，因为2()(1)0f x x ααα-''=->，所以()f x x α=在(0,)+∞上为凸函数,由定理4得:112211221212......()......n n n n n nt x t x t x t x t x t x t t t t t t αααα+++++≤++++++ 即1111()()()nn ni i i i i i i i t x t x t ααα-===≤∑∑∑ ， 亦即11111()()nnni ii i i i i i t xt x t αααα-===≤∑∑∑令,1αβα=-则有11111ααβαα-+=+=，于是有11111()()n n ni i i i i i i i t x t x t αβα===≤∑∑∑ 令111111()(),nnni ii i i i i i i i i i i t xt x t t b x t a αββαα-===≤==∑∑∑，则有11111()()nnni i i i i i i a b a b αββα===≤∑∑∑当i a α与i b β成正比例时，即i i a kb αβ= (k 为正常数，1,21,i n n =-)111111111111()()()n n nnni i i i i i i i i i i i i a b k b k b a b a b ββαββββαβαααα+-==========∑∑∑∑∑∑当i a α与i b β不成正比例时，i t 不全相等，又因为()f x x α=在(0,)+∞为严格凸函数，故严格不等式成立.例11 设12,,,n a a a ⋅⋅⋅和12,,,n q q q ⋅⋅⋅是两组正数，11niq=∑.证明1111n q q n n n a q a q a ⋅⋅⋅≤+⋅⋅⋅+a .证明 要证原不等式即要证明 1111ln ...ln ln(...)n n n n q a q a q a q a +≤++. 令()ln f x x =(0)x >,则由于21()0f x x''=-<，所以f 为凹函数，由Jensen 不等式 111122(...)()()...()n n n n f q a q a q f a q f a q f a ++≥++ 即得所证.例12 12...0(1,2,...),1,,n i n a a a a i p A n +++>=>=设证明：1111mm pp n n n n n p A A a p -==<-∑∑. 证明 设00A =，则由于1111111[(1)]11mm mm pp pp nn n n n n n n n n n p p A A a A A nA n A p p ---====-=-----∑∑∑∑ 11111(1)11mm m ppp nn n n n n n p p A nA n A A p p --====-+---∑∑∑ (1)111111(1)(1)11p mmp ppn n n n n pn p A n A n A p p --==⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-+--⎢⎥⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑ （用Holder 不等式）11(1)11111111(1)(1)11p ppp ppp m m m p ppn n n n n n pn p A n A n A p p ----===⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎪⎪⎪⎪≤-+--⎢⎥⎢⎥⎨⎬⎨⎬ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭∑∑∑ 1111111(1)(1)11mm m pp p nn n n n n pn p p A n A n A p p p p -===⎛⎫⎧⎫-≤-+-+-⎨⎬ ⎪--⎝⎭⎩⎭∑∑∑ 1111(11)11mm ppnk n k pn A n kA p p -===-+-+--∑∑111(11)11mmpp nk n k pn A n kA p p ==≤-+-+--∑∑ 1(11)011mp n n pn nA n p p ==-+-+=--∑ 所以 1111mm pp nn n n n p A A a p -==<-∑∑ 由于Holder 不等式中等号成立的条件是1(1,2,...,)n nA n m A -=均为常数,而00A =，这实际上是不可能的，所以上式中的等号不成立.例 13 证明不等式3a b ca b c a b c ++≤（abc ），其中,,a b c 均为正数.证 明 设()ln ,0f x x x x =>,由1()ln 1,()f x x f x x'''=+=可见()ln f x x x =在0x >时为严格凸函数.由Jensen 不等式有1()[()()()]33a b c f f a f b f c ++≤++, 从而1ln (ln ln ln )333a b c a b c a a b b c c ++++≤++.即3a b ca b c a b c a b c ++++≤（）又因3a b c++≤, 所以3a b ca b c a b c ++≤（abc ） . 例14应用Jensen 不等式证明：设0(1,2,....)i i n >=a ，有1212111n n a a a a a a n n++≤++⋅⋅⋅+ 证明 取函数()ln f x x =,(0,)x ∈+∞ . 因为21()0,f x x ''=-<f 是区间(0,)+∞上严格凹函数，则对12,,...(0,)n a a a ∀∈+∞及1(1,2,...),i i n n N nλ+==∈ 1. 12...n a a a ===，则上式等号成立 ;2.若1,2,...,n a a a 不全相等，则由Jensen 不等式11()()n ni iiii i f a f a λλ==≥∑∑ ①即12121211ln(...)[ln ln ...ln ]ln(...)n n n a a a a a a a a a n n n n n+++≥+++= 1111n ni i i i i i f f a a λλ==⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ ②即121212*********ln(...)(ln ln ...ln )ln ...n n nna na na n a a a n a a a +++≥+++= 12111111ln(...)ln ln ...n n n a a a a a a n⇒++-≥- 因为f 在(0,)+∞上单调递增,综合①②结论得1212111...nn a a a a a a n n ++≤≤++，命题成立.参考文献[1]裘兆泰等.《数学分析学习指导》,科学,2004年..[2]徐利治等.《大学数学解题法诠释》第一版,教育，1999年 [3]徐利治等. 《数学分析的方法和例题选讲》,高等教育,1984年. [4]裴礼文.《数学分析中的典型问题和方法》,高等教育,1988年. [5]从军.《数学分析》,大学，2000年.[6]欧中、允龙.《数学分析概要二十讲》,复旦大学,1999年. [7]筑生.《数学分析新讲》,大学,1991年. [8] 华东师大学数学系，《数学分析》第三版，高等教育,2001年.。
凸函数的性质及其应用研究论文
凸函数的性质及其应用研究摘要凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen [1905]著述中。
它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制学等学科的理论基础和有力工具。
凸函数的许多重要性质在数学的许多领域中都有着广泛的应用，但是它的局限性也很明显，所以研究凸函数的一些定义和性质就显得十分必要了。
考虑到凸函数的连续性，可导性及凸函数在不等式证明方面的应用和意义，本文结合现有文献给出了凸函数12种定义，总结了凸函数常用的性质;由于凸函数的定义是由不等式给出的，基于此，凸函数广泛应用于对某些特殊不等式的证明，本文探讨了它在证明Jensen不等式、一般不等式、Cauchy不等式、Holder不等式中的重要应用，并讨论了Jensen不等式，Cauchy 不等式，Holder不等式在证明其他不等式的应用。
关键词：凸函数，定义，性质，应用，不等式Properties and Applications of Convex FunctionAbstractConvex function is a kind of important function. The concept of the earliest can be found in Jensen’s [1905] writing. Convex function has applied in pure mathematics and many applied mathematics extensive fields. Now it become the foundation and powerful tool to study mathematical programming, theory of strategy, mathematical economics, calculus of variations and such disciplines as the optimal control theory. Many important properties of convex function have been widely used in many fields of mathematics application, but its limitations are also obviously. So the study of some definitions and properties of convex function is necessary. Considering the application and significance to prove inequality and the continuity and conductivity of convex function, this paper presents 13 kind definitions and summarizes the properties of convex function which are commonly used. Convex function are widely used in some special inequality proof, because of convex function is defined by the inequality. This paper discusses the important applications of convex function in proving Jensen inequality, general inequality, Cauchy inequality, Holder Inequality. The important applications of Cauchy inequality, Holder inequality and Jensen inequality to prove other inequalities are also discussed.Key Words: Convex function, definition, properties, applications, inequality目录中文摘要 (I)英文摘要 (Ⅱ)1 引言 (1)2凸函数的定义 (1)2.1凸函数的12种定义 (1)3 凸函数的性质 (4)3.1凸函数的常用性质 (4)4 凸函数的应用 (11)4.1凸函数在微分学中的应用 (11)4.2凸函数在积分学中的应用 (13)4.3利用凸函数和Jensen不等式证明不等式 (15)4.4利用凸函数证明Cauchy不等式 (17)4.5利用凸函数证明Holder不等式 (18)4.6利用凸函数证明一般不等式 (19)参考文献 (24)致谢 (25)1 引言凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen [1905]著述中。
关于多元凸函数性质的探讨
多元凸函数性质是一种常见的数学函数，它可以用来描述多元变量之间的关系。
它可以用来描述多维空间中的函数，以及它们之间的关系。
它在统计学、机器学习、图像处理、数值计算等领域都有广泛的应用。
多元凸函数的性质有很多，首先它是一个多元函数，它的变量可以是实数、向量或矩阵，它的定义域和值域也可以是实数、向量或矩阵。
其次，多元凸函数是凸函数，它的凸性指的是它的值域只有一个最大值。
它的凸性可以用来判断一个函数的取值范围，也可以用来求解函数的极值点。
此外，多元凸函数还具有可微性，即它可以被微分。
它的微分可以用来求解函数的局部极值点，从而求解函数的极值点。
最后，多元凸函数还具有可积性，即它可以被积分。
它的积分可以用来求解函数的积分，从而求解函数的积分值，从而求解函数的取值范围。
以上就是多元凸函数的性质，它的应用非常广泛，可以用来描述多元变量之间的关系，也可以用来求解函数的极值点和积分值，为统计学、机器学习、图像处理、数值计算等领域提供了重要的性质。
多元凸函数判据
多元凸函数判据是数学中的一个重要概念，它在优化理论、机器学习等领域有着广泛的应用。
下面我将简要介绍多元凸函数判据的基本概念和性质。
首先，我们需要了解什么是多元函数。
在n个变量中的实值函数就是n元函数。
在数学上，多元函数是一个集合，其中的元素是一个二元有序数组，代表一个变量和该变量对应的函数值。
凸函数是一种特殊的函数，它在定义域的某个子集上是凸的。
对于多元函数，如果它在定义域的某个子集上的所有点处的导数都存在，且满足一定的条件（如对所有的点都成立），则这个多元函数被称为凸函数。
多元凸函数判据是一种判断多元函数是否为凸函数的准则。
它的基本思想是利用函数的几何性质来判断函数的导数性质。
在多元函数的几何学习中，我们知道函数的局部性态常常反映了全局的性质，因此可以通过研究局部性质来判断全局性质。
多元凸函数判据的主要内容包括：1. 定义域和值域：多元凸函数的定义域是一个凸集，值域是一个凸集。
这意味着函数的定义域和值域都满足一定的凸性条件。
2. 梯度：多元函数的梯度是一个向量场，它描述了函数在某一点处的变化趋势。
如果一个多元函数的梯度在某个子集上是存在的，且具有某些特定的性质（如线性或恒等性），则这个多元函数被称为是可微分的。
3. 拉格朗日函数：在多元函数中，拉格朗日函数是一个非常重要的工具。
它可以用来表示多元函数的泛函关系，并且可以借助它来推导函数的性质。
综上所述，多元凸函数判据是数学中的一个重要概念，它提供了一种判断多元函数是否为凸函数的简便方法。
通过定义域、梯度、拉格朗日函数等概念和性质的研究，我们可以更深入地了解多元函数的性质，为解决实际问题提供更有价值的工具和方法。
多元凸函数的性质及其应用
多元凸函数的性质及其应用
游煦
【期刊名称】《北京石油化工学院学报》
【年(卷),期】2008(016)004
【摘要】从多元凸函数的定义及文献中已有的性质出发,利用方向导数和极限等数学工具,给出了一个判别多元函数凸性的充分必要条件,进一步利用函数f(x)的Hesse矩阵H(f(x))的半正定性来判定函数的凸性.特别地,对于二次函数
f(x)=1/2xTAx+bTx直接利用矩阵A的正定性可以判别它的凸性.这在实际应用中有一定的意义.
【总页数】4页(P61-64)
【作者】游煦
【作者单位】北京石油化工学院数理系,北京,102617
【正文语种】中文
【中图分类】O174
【相关文献】
1.浅析多元凸函数的分析学性质 [J], 李兵方;胡水玲
2.关于多元凸函数性质的探讨 [J], 胡芳
3.凸函数性质在不等式证明中的应用 [J], 徐建中
4.凹凸函数的性质及其应用 [J], 刘斐倩;
5.α-半预拟不变凸函数的性质及应用 [J], WANG Jingjing;LI Zhong;SHAO Chongyang;PENG Zaiyun;WANG Ruyun
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x x
+
2
1 x
2 xT H
f (x* )
x+ t2o
由式( 9) 、式( 10) 可得
x2, ( 10)
1 2x
2 xT H
f (x* )
x+ t2o
x2
0,
令 t 0, 有
xT H f ( x* ) x 0,
即 f ( x) 的 H esse 矩阵 H f ( x) 半正定。
的凸性, 但是从例 1 中可以看到在实际应用的
过程中计算比较复杂, 很不实用。下面进一步
研究凸函数的判别方法。
定理 1 设 f ( x) 是定义在非空开凸集 D
Rn 上的可微函数, 则 f ( x) 是凸函数的充分必
要条件是对于任意两点x1 , x2 D , 都有
f ( x2 )
f ( x1 ) + g radf ( x1 )
直接利用矩阵 A
的正定性可以判
别它的凸性。这在实际应用中有 一定的意义。
关 键 词 多元凸函数 ; 梯度向 量; H esse 矩阵; 半正定阵; 二次函数 中图法分类号 O 174
凸分析是近几十年形成和发展起来的一个 新数学分支。它在数学规划、控制论、多元统计 等领域都有广泛的应用。文献[ 1 3] 给出了一 些判别多元函数凸性的充分必要条件, 但是这 些定理在实际使用过程中比较复杂。为了改进 判别方法, 笔者利用极限和方向导数等数学工 具得到定理 1[ 4] , 给出了利用多元函数的 H esse 矩阵来判别函数的凸性, 改进了文献[ 1, 3] 中的 判别方法, 在实际计算中很方便。
f ( x1 ) + gradf ( x1 )
x2 x2 -
x1 x1
,
( 6)
令 y= t x 2+ ( 1- t ) x1, t ( 0, 1) , 显然 y D , 则
由式( 6) 有
f ( x1 )
f ( y) + gr adf ( y )
x1 x1 -
y y
,
( 7)
f ( x2 )
f ( y) + gr adf ( y )
t1 f ( x1 ) + t2 f ( x2 ) + + tkf ( xk ) ; ( 1) 如果 f ( x) 是定义在 Rn 上的严格凸函数,
当x1 , x2 xk 不全相等时, 有
f t 1 x1 + t 2 x2 + + t k x k <
t1 f ( x1 ) + t2 f ( x2 ) + + tkf ( xk ) 。 ( 2)
t 0+
t
则由式( 5) 得
f l
,
x1
f ( x2 ) - f ( x1 ) 即
f l
= g radf ( x1 )
x1
x2 - x1 x2 - x1
f (x2)
f ( x1 ) + gradf ( x1 )
x2 - x1 。 x2 - x1
再证充分性。对任意的x1 , x2 D , 都有
f (x2)
根据凸函数的定义可以得到 f ( x) 为凸函 数。同理可以证明严格凸函数的情形。
定理 2 设 f ( x) 是定义在非空开凸集 D Rn 的二次可微函数, 则 f ( x) 是凸函数的充分 必要条件是在任意 点 x D 处 f ( x) 的 H esse 矩阵 H f ( x) 半正定。
第4期
游 煦 多元凸函数的性质及其应用
这里 H( f ) = - 1 x - 1 e- x- y , 因为它 x- 1 x
的 1 阶 顺序 主子 式- e- x - y 、2 阶顺 序主 子式
( - x 2 + x - 1) e- x- y = -
x-
1 2
2
+
3 4
e- x- y
在任意点 x y
R2 处都小于 0。所以 H( f ) =
摘
要 从多元凸函 数的定义及文献中已有的性质出发, 利用方向导数和 极限等数 学工具,
给出了一个判别多元函 数凸性的充分必要条件, 进一 步利用 函数 f ( x) 的 H esse 矩阵 H f ( x) 的半正
定性来判定函数的凸性。特别地, 对于二次函数 f ( x)=
1 2
xT Ax +
bT x
( 11)
其中 = t x* + ( 1- t) x, t ( 0, 1) , 因为 D 是凸
集, 所以 D, 而 H f ( ) 半正定, 则
x - x* T H f ( ) ( x - x* ) 0, ( 12)
由式( 11) 、式( 12) 得
f (x)
f ( x* ) + gradf ( x* )
特别的在式( 1) 、式( 2) 中令
i=
1-
ti tn+
1
,
ti=
1+
i
2+
+
, i= 1, 2,
k
, k, 有
f
1 x1 + 2 x2 + + k x k 1 + 2+ + k
1 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) + + 1+ 2+ + k
kf ( xk ) ;
( 3)
这里 f ( x) 是定义在 Rn 上的凸函数; 如果 f ( x)
2008 年第 16 卷
利用 凸函 数 的 定 义可 以 得 到 如 下的
性质[ 1] :
设 f ( x) 是定义在 Rn 上的凸函数, 则对于 任意的x1 , x2 xk Rn 和 t 1 , t2 tk 0 且 t 1 +
t 2+ + tk = 1, 有
f t 1 x1 + t 2 x2 + + t k x k
R 上的凸
t( a1 - b1 ) + ( 1 - t) ( a2 - b2 ) 2 t( a1 - b1 ) 2 + ( 1 - t) ( a2 - b2 ) 2 , 因此, f ( x , y ) = x 2 - 2x y + y 2 + x + y 是 R2 上 的凸函数。
62
北京石油化工学院学报
- 1 x - 1 e - x- y 在任意点 x
x2 x2 -
y y
,
( 8)
用 1- t 乘式( 7) 两端, t 乘式( 8) 两端, 相加
可得
( 1 - t ) f ( x1) + tf ( x2 ) f ( y ) + gr adf ( y )
1x1 -
t y
(x1 -
y) +
t x2 -
y
(x2 -
y)
令 M= max x1 - y , x2 - y , 则
1 2
x
T
Ax
+
bTx , 因
为 H f ( x) = A, 则有
推论 2
二次函数 f ( x) =
1 2
xT Ax +
bT x
是严格凸函数的充分必要条件是 f ( x) 的 H es
se 矩阵 A 正定。
凹函数也可以得到以上类似的结论。
3 应用举例
例 2 函数 f ( x , y ) = x e- x - y 是 R2 上的严 格凹函数。
63
证明 先证必要性。设 f ( x) 是 D 上的凸
函数。对任意的x* D 及 x Rn , 因为 D 为开
集, 则必存在 > 0, 当 t [ - , ] 时, x* + tx
D, 由定理 1 得
f ( x* + tx ) f ( x* ) + g radf ( x* )
x x
,
( 9) 又 f ( x) 在x* 处二阶可微, 根据 T aylor 公式有
是定义在 Rn 上的严格凸函数, 有
f 1 x1 + 2 x2 +
+ kxk <
1 + 2+ + k
1 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) + + 1+ 2+ + k
kf ( xk ) 。 ( 4)
式( 3) 、式( 4) 则是推广的多元函数 Jensen
不等式。
2 主要结论及其证明
利用凸函数的定义及其性质可以判别函数
1 预备知识
多元凸函数和严格凸函数的定义: 定义 1 设 f ( x) , x D Rn, 其中 D 为非 空凸集, 若对于任意的x1 , x2 D 及 t ( 0, 1) 有 f t x1 + ( 1 - t) x2 tf ( x1) + ( 1- t) f ( x2) , 则称 f ( x) 为 D 上的凸函数; 若对于任意的x1 , x2 D 且x1 x2 及 t ( 0, 1) 有 f t x1 + ( 1 - t) x2 < tf ( x1) + ( 1- t) f ( x2) , 则称 f ( x) 为 D 上的严格凸函数。 凸函数的几何意义如下: 设x1 , x2 是凸集 上的任意两点, t x 1 + ( 1- t) x2 为这两点连线 上的一点, 则 f ( x) 在 t x1 + ( 1- t ) x2 处的函数 值 f t x1 + ( 1- t ) x2 不超过 f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的 加权平均值 f ( x1 ) + ( 1- t ) f ( x2 ) 。