苏教版高中数学选修2-3排列1
苏教版高中数学选修(2-3)-1.3考点分析：排列与组合
考点分析：排列与组合由于排列与组合的题目与实际生活密切相关，所以在复习中应立足基础知识和基本方法的复习，从不同角度，不同侧面对题目进行分析，查找思维的缺陷，提高分析问题和解决实际问题的能力．同时应当加强数学思想和方法的训练，排列、组合题大多能与集合、数列、立体几何等内容组合构成综合性较强的小型综合题. 考点1. 分类计数原理与分步计数原理这两个原理都是用来计算“完成一件事”的方法的种数的，在概念上比较相近，容易混淆，应注意它们的区别：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，无论哪一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与”分步“有关，这几个步骤缺一不可，相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。
例1.(高考天津文16）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．解: 首末两格涂法为6×5=30(种），中间两格有两种情况，故涂法种法为①6×5×5×4=600，②6×5=30，共有600+30=630(种)．答案：630.点评: 本例旨在让学生理解两个基本原理.考点2.排列数的有关计算准确掌握排列数公式是顺利进行计算的关键，判断一个问题是否为排列问题的依据是是否有顺序，有顺序且是从n个不同的元素中任取m(m,n∈N,且m≤n)个不同元素的问题就是排列，否则就不是排列.例2. 6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有( )A.30种B.360种C.720种D.1440种思路分析: 本题属排列问题，表面上看似乎带有附加条件，但实际上这和六个人站成一排照像一共有多少种不同排法的问题完全相同．所以不同的排法总数为6A=6×5×4×3×2×1=720(种）．6答案选C.点评: 只有当元素完全相同,并且排列顺序也完全相同时,才是同一排列. 元素完全不同,或元素部分相同,或元素完全相同而顺序不同的排列都不是同一排列.考点3.组合的有关计算组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同元素中进行m次不放回地取出，取出的m个元素没有顺序，无序性是组合的本质，这也是区分排列和组合问题的关键．要重视组合数的性质在解题中的灵活运用. 例3.设集合A={1，2，3，…，10}，（1）设A的3个元素的子集的个数为n，求n的值；（2）设A的3个元素的子集中，3个元素的和分别为a1，a2，…，a n，求a1+a2+a3+…+a n的值.解：（1）A的3元素子集的个数为n=C310=120.（2）在A的3元素子集中，含数k（1≤k≤10）的集合个数有C29个，因此a1+a2+…+a n=C29×（1+2+3+…+10）=1980.评述：在求从n个数中取出m（m≤n）个数的所有组合中各组合中数字的和时，一般先求出含每个数字的组合的个数，含每个数字的个数一般都相等，故每个数字之和与个数之积便是所求结果.考点4.排列的应用问题排列的本质就是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现在：某些元素“排”或“不排”在哪个位子上，某些元素“相邻”或“不相邻”，对于这类问题在分析时，主要按“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子，对于“相邻”问题可用“捆绑法”，对于“不相邻”问题可用“插空法”例4.从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有实数根的有几个？剖析：（1）二次方程要求a不为0，故a只能在1、3、5、7中选，b、c没有限制.（2）二次方程要有实根，需Δ=b2－4ac≥0，再对c分类讨论.解：（1）可组成二次方程A14·A24=48个.（2）有实根的二次方程共有A24+A22+2A22=18个.考点5.组合的应用问题。
高二数学苏教版选修2-3教学案第1章1排列(一)
江苏省泰兴中学高二数学讲义（）
排列（一）
教学目标：
、理解排列和排列数的概念
、能用排列公式计算排列数
、初步体用排列数公式计算和解决简单的实际问题
教学重难点：
重点：排列的概念和排列数公式
难点：排列数公式的推导
课前预习：
.（）个人排成一行拍照；
（）将排成一个五位数；
（）安排四门科目的复习顺序.
以上事件有怎样的共同点？试归纳“排列”的概念.
.写出从这个字母中，每次取出个字母的所有排列.
. 计算，，.
典型例题：
例、（）已知，求，的值；
（）求证：
例、某地区有个学校利用暑假进行篮球比赛，每校都要与其余各校在主客场分别比赛一场，共要进行多少场比赛？
例、用，，，排成四位数
() 若允许各位上数字重复，共有多少个四位数？
（）共有多少个无重复数字的四位数？
()共有多少个千位上，且无重复数字的四位数？
课堂小结：
、排列的概念要抓住两层含义：（）取出元素；（）按一定顺序排列
、排列数的计算时，常用公式；。
苏教版高中数学选修(2-3)课件排列与排列数(1)
数学运用
练习1.在A、B、C、D四位候选人中，选举正、副班长各
一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果．
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
练习2.写出从5个元素a，b，c，d，e中任取2个元素的所
有排列． 解决办法是先画“树形图”，再由此写出所有的排列， 共20个．
建构数学
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照 一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 一个排列． 注意： 1.我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既没有 重复元素，也没有重复抽取相同的元素．
2.排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二 是“按照一定顺序排列”．“一定顺序”就是与位置有关， 这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志．
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不 同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n 步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N =
种m不1×同m的2×方…法×.mn
知识回顾
总结出两个原理的联系、区别：
(1)都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题;
(2)分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互 独
= Anm
重要结论：Anm
=
n! (n-m)!
,并规定:
0！＝ 1
常用阶乘变形:
(1)2 1!=2!,3 2!=3!
(n+1) n!=(n+1)!
(2)1!+1 1!=2!,2!+2 2!=3! n!+n n!=(n+1)!
(3) 2 ! =1!,3! =2!
2
3
(4)2!-1!=1!,3!-2!=2 2!
苏教版高中数学选修2-3 1.2 排 列(一)课件(37张)
故所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,共有
12个.
1.2 4个元素a,b,c,d中任取3个元素的所有排列. 解 由题意作树形图,如图.
故 所 有 的 排 列 为 abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,
31
当堂检测
自查自纠
1234
1.下列问题属于排列问题的是__①__④____.
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；
②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；
④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算.
解析 根据排列的定义,选出的元素有顺序的才是排列问题.
1.2 排 列(一)
1.2 排 列(一)
36
32
1234
2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有排列为 _甲__乙__,甲__丙__,_乙__甲__,乙__丙__,_丙__甲__,丙__乙___. 解析 选出两人,两人的不同站法都要考虑.
1.2 排 列(一)
33
1234
3. 设 m∈N*, 且 m<15, 则 (15 － m)(16 － m)·…·(20 － m) ＝ _A__620_－_m___.(用排列数表示)
1.2 排 列(一)
11
反思与感悟 确认一个具体问题是否为排列问题,一般从 两个方面确认： (1)首先要保证元素的无重复性,否则不是排列问题. (2)其次要保证选出的元素被安排的有序性,否则不是排列 问题,而检验它是否有顺序的标准是变换某一结果中两元 素的位置,看结果是否变化,有变化就是有顺序,无变化就是 无顺序.
1.2 排 列(一)
苏教版高中数学选修2-3排列 第1课时
排列（第一课时）教学目标：理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导教学重点：理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导教学过程一、复习引入：1、分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k 种途径，由第1种途径有n 1种方法可以完成，由第2种途径有n 2种方法可以完成，……由第k 种途径有n k 种方法可以完成。
那么，完成这件工作共有n 1+n 2+……+n k 种不同的方法。
2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K 个步骤，完成第1步有n 1种不同的方法，完成第2步有n 2种不同的方法，……，完成第K 步有nK 种不同的方法。
那么，完成这件工作共有n 1×n 2×……×n k 种不同方法二、讲解新课：1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺．．．．序．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m元素的排列数，用符号m n A 表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m n A 只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：求m n A 以按依次填m 个空位来考虑(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+，排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+=!()!n n m -（,,m n N m n *∈≤） 说明：（1）公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是1n m -+，共有m 个因数；（2）全排列：当n m =时即n 个不同元素全部取出的一个排列全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）4.例子：例1．计算：（1）316A ； （2）66A ； （3）46A ．解：（1）316A ＝161514⨯⨯＝3360 ；（2）66A ＝6!＝720 ；（3）46A ＝6543⨯⨯⨯＝360例2．（1）若17161554m n A =⨯⨯⨯⨯⨯，则n = ，m = ．（2）若,n N ∈则(55)(56)(68)(69)n n n n ----用排列数符号表示 ． 解：（1）n = 17 ，m = 14 ．（2）若,n N ∈则(55)(56)(68)(69)n n n n ----＝ 1569n A -．例3．（1）从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？解：（1）255420A =⨯=；（2）5554321120A =⨯⨯⨯⨯=；（3）2141413182A =⨯=课堂小节：本节课学习了排列、排列数的概念，排列数公式的推导。
苏教版高中数学选修2-3《排列(第1课时)》参考课件
课 常用于求解．
时 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.2（一）
跟踪训练 3 (1)某年全国足球甲级(A 组)联赛共有 10 个队参
加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少
场比赛？
(2)解不等式：Ax9>6Ax9－2.
本 解 (1)任意两队间进行 1 次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于
课 时
排第一，B 不排第四，共有多少种不同的排列方法？
栏 目
解
(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示，共有 12 种
开 机票．
关
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.2（一）
故符合题意的机票种类有：
北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州
北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，
1．排列：一般地，从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素，按
本
照 一定的顺序 排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个
课 时 栏
元素的一个排列(arrangement)．
2．排列数：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有排列
目 开
的个数 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，
天津南京，共 12 种．
本 课
(2)因为 A 不排第一，排第一位的情况有 3 类(可从 B、C、D 中
时 栏
任选一人排)，而此时兼顾分析 B 的排法，列树图如图．
目
开
关
所以符合题意的所有排列是： BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD， CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA 共 14 种．
苏教版高中数学选修(2-3)课件排列(一)
89，求n。
(4) 2 A75 A66 ? 6!5!
(5)3 Ax3
2
A2 x1
6 Ax2，求x。
例5 求证下列各式：
(1) Anm
n
Am1 n1
(2) Anm
Ank (n 1)! n! (n k 1) n!
acb bca cba dba acd bcd cbd dbc adb bda cda dca adc bdc cdb dcb
排列数公式
从 n 个不同元素中取出m (m≤n) 个元素的所有排列的个数， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个
A 元素的排列数，用符号 m表示。 n
第1位 第2位
n
n-1
根据排列的定义，两个排列相同， 且仅当两个排列的元素完全相同， 而且元素的排列顺序也相同。
例 写出从 a , b , c , d四 个元素中 任取三个元素的 所有排列。
cdbd bc cdadacbd ad ab bcacab
bcd a cd a b d a b c
a
b
c
d
所有的排列为：
abc bac cab dab abd bad cad dac
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
排列 与
排列数公式
10.2 排列
问题1 北京、上海、广 州三个民航站之间的直达 航线，需要准备多少种不 同的飞机票？
起点站 北京 上海 广州
终点站 上海 广州 北京 广州 北京 上海
飞机票 北京 上海
北京 上海
广州 北京
上海 广州
广州 北京
广州 上海
我们把上面问题中被取的对象 叫做元素。于是，所提出的问题就 是从3个不同的元素a、b、c中任取 2个，然后按一定的顺序排成一列， 求一共有多少种不同的排列方法。
苏教版高中数学选修2-3排列1
排列什么叫排列？从n个不同元素中，任取m(nm≤)个元素〔这里的被取元素各不相同〕按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 .表示为 .什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同.什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列.从n个不同元素中取出m〔nm≤〕个元素的排列数是 .什么叫全排列？n个元素的全排列表示为 = ，这是个连续自然数的积，n个元素的全排列叫做，表示为 .用全排列〔或阶乘〕表示的排列数公式为 .[例题与练习]计算：①38p= ②316p= 33p= ④44p=⑤55p= ⑥66p= 22p=某段铁路上有12个车站，共需准备多少种普通客票？某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂一面、二面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？小结：解有关排列的应用题时，先将问题归结为排列问题，然后确定原有元素和取出元素的个数，即n、m的值.用0到9这十个数字，可以组成没有重复数字的三位数个.用排列数表示以下各式：① 10⨯9⨯8⨯7⨯6= ② 24⨯23⨯22⨯…⨯3⨯2⨯1=③n•(n-1) •(n-2) •(n-3)=6.①从x个不同元素中任取3个的排列数为720，那么x= ；②1111++--=+n n n n n n xp p p ，求x 的值.小结：解有关排列数的方程关键在于用排列数公式将方程转化为关于x 的一元方程.[课后检测]1.由数字1、2、3、4、5、6可以组成没有重复数字的五位数 个； 自然数 个；三位数 个.2.5个人排成一排，共有 种不同的排法.3.从5个人中任选两人分别担任班长和团书记，所有选法的总数为 .4.求以下各式中的n ：89557=-n n n p p p ②33210n n p p =③4345=+n n n p p p5.求证：①11--=m n m n np p ②11211--++=-n n n n n n p n p p③()()()!!1!1!!!1k n k n k n k n ⋅+-=--+。
苏教版高中数学选修2-3排列、组合、二项式定理
排列、组合、二项式定理一．课标要求：1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2．排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3．二项式定理能用计数原理证明二项式定理； 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
二．命题走向本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。
排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。
考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测2007年高考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大。
三．要点精讲1．排列、组合、二项式知识相互关系表2．两个基本原理（1）分类计数原理中的分类； （2）分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键。
3．排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：系mn A =)!(!m n n -=n·(n－1)…(n－m+1)；（3）全排列列：nn A =n!；（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 4．组合（1）组合的定义，排列与组合的区别； （2）组合数公式：C n m =)!(!!m n m n -=12)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n ；（3）组合数的性质 ①C n m=C nn-m；②r n r n r n C C C 11+-=+；③rC n r =n·C n-1r-1；④C n 0+C n 1+…+C n n =2n；⑤C n 0-C n 1+…+(-1)n C n n =0，即 C n 0+C n 2+C n 4+…=C n 1+C n 3+…=2n-1；5．二项式定理（1）二项式展开公式：(a+b)n =C n 0a n +C n 1a n-1b+…+C n k a n-k b k +…+C n n b n ；（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：T k+1=C n k a n-k b k ； 6．二项式的应用（1）求某些多项式系数的和； （2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。
苏教版高中数学选修2-3§1.2 排 列
§1.2排列课时目标1.了解排列与排列数的意义，能根据具体问题，写出符合要求的排列.2.能利用树形图写出简单问题中的所有排列.3.掌握排列数公式，并能利用它计算排列数.4.掌握解决排列应用题的基本思路和常用方法．1．排列(1)定义：一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照____________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)相同排列：若两个排列相同，则两个排列的________完全相同，且元素的____________也相同．2．排列数(1)定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号________表示．(2)排列数公式：A m n＝________________＝n！(n－m)！；特别地，A n n＝n·(n－1)·…·3·2·1＝n！(m，n∈N*，且m≤n)，0！＝1.一、填空题1．下列问题属于排列问题的是________．(填序号)①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人参加某一项活动；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算．2．若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作，则选派方案共有______种．3．A、B、C三地之间有直达的火车，则需要准备的车票种数是________．4．5名同学排成一排照相，不同排法的种数是________．5．某班上午要上语文、数学、体育和外语4门课，又体育老师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是________．6．5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有__________种．7．从1～9的9个数字中任取5个数组成没有重复数字的五位数，且个位、百位、万位上必须是奇数的五位数的个数为________．8．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，则不同的排法共有________种．二、解答题9．用0、1、2、3、4五个数字：(1)可组成多少个五位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．。
2019-2020江苏高二数学下册 选修2-3 第1章 1.2 排列
1.2排列1．排列的概念一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．排列数与排列数公式(n，m∈N*，m≤n)阶乘式A m n＝n！n－m！思考1：北京—上海，上海—北京的车票是同一个排列吗？[提示]由于北京—上海，上海—北京的车票都与顺序有关，所以不是同一个排列．思考2：你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗？它们有什么区别？[提示]“排列”与“排列数”是两个不同的概念，排列是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事．“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数．1．下列问题属于排列问题的是()①从10名学生中抽2名学生开会；②从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表；③从数字5,6,7,8中任取两个不同的数做幂运算．A．①B．②C．③D．②③D[①中无顺序；②中6人担任课代表有顺序；③中幂分底数和指数，存在顺序．]2．9×10×11×…×20可表示为()A．A1020B．A1120C．A1220D．A1320C[A1220＝20×19×18×…×(20－12＋1)＝20×19×18×…×9.]3.A345！＝________.15[A345！＝4×3×25×4×3×2×1＝15.]4．由1,2,3这三个数字组成的三位数分别是________．123,132,213,231,312,321[用树形图表示为由“树形图”可知组成的三位数为123,132,213,231,312,321，共6个．]排列的概念【例1】判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．[思路探究]判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．[解](1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题．1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”．2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．1．判断下列问题是否是排列问题．(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？[解](1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．(2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题．简单的排列问题【例2】写出下列问题的所有排列．(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．[思路探究](1)直接列举数字．(2)先画树形图，再结合树形图写出．[解](1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．(2)由题意作树形图，如图．故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个．在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列．2．(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有________种机票．(2)A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有________种不同的排列方法？(1)12(2)14[(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．故符合题意的机票种类有：北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京，广州→天津，广州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种．(2)因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图．所以符合题意的所有排列是：BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA共14种．]排列数公式的推导及应用[探究问题]1．两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数字游戏．从这4个数字中选出2个或3个分别能构成多少个无重复数字的两位数或三位数？[提示]从这4个数字中选出2个能构成A24＝4×3＝12个无重复数字的两位数；若选出3个能构成A34＝4×3×2＝24个无重复数字的三位数．2．由探究1知A24＝4×3＝12，A34＝4×3×2＝24，你能否得出A2n的意义和A2n的值？[提示]A2n的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素a1，a2，…，a n中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A2n.由分步计数原理知完成上述填空共有n(n－1)种填法，所以A2n＝n(n－1)．3．你能写出A m n的值吗？有什么特征？若m＝n呢？[提示]A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，m≤n)．(1)公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数；(2)全排列：当n＝m时，即n个不同元素全部取出的一个排列．全排列数：A n n＝n(n－1)(n－2)·…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.所以A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！＝A n nA n－mn－m.【例3】(1)计算：A59＋A49A610－A510；(2)证明：A m n＋1－A m n＝m A m－1n.[思路探究]第(1)题可直接运用排列数公式，也可采用阶乘式；第(2)题首先分析各项的关系，利用A m n＝n！(n－m)！进行变形推导．[解](1)法一：A59＋A49A610－A510＝5A49＋A4950A49－10A49＝5＋150－10＝320.法二：A59＋A49A610－A510＝9！4！＋9！5！10！4！－10！5！＝5×9！＋9！5×10！－10！＝6×9！4×10！＝320.(2)[证明]∵A m n＋1－A m n＝(n＋1)！(n＋1－m)！－n！(n－m)！＝n！(n－m)！·⎝⎛⎭⎪⎫n＋1n＋1－m－1＝n！(n－m)！·mn＋1－m＝m ·n ！(n ＋1－m )！＝m A m －1n ，∴A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n .排列数的计算方法(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．3．求3A x 8＝4A x －19中的x .[解] 原方程3A x 8＝4A x －19可化为3×8！(8－x )！＝4×9！(10－x )！，即3×8！(8－x )！＝4×9×8！(10－x )(9－x )(8－x )！，化简，得x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13. 由题意知⎩⎨⎧x ≤8，x －1≤9，解得x ≤8.所以原方程的解为x ＝6.1．本节课的重点是排列的概念、排列数公式及其简单应用．难点是排列数公式的计算与证明问题．2．本节课的易错点是利用排列数公式A m n 解决问题时，易忽视条件m ≤n ，且m ∈N *，n ∈N *.3．在画树状图时，先以安排哪个元素在首位为分类标准进行分类，在每类中，再按余下元素在前面元素不变的情况下确定第二位并按序分类，依次进行直到完成一个排列，最后把所有的排列列举出来．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列．()(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题．()(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题．()(4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题．()(5)从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题．()[解析](1)×因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序相同．(2)√因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题．(3)×因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题．(4)√因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同、结果不同．结果与顺序有关，故属于排列问题．(5)√因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题．[答案](1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2．从5本不同的书中选出2本送给2名同学，每人一本，共有给法() A．5种B．10种C．20种D．60种C[由排列数定义知，共有A25＝5×4＝20种．]3．A66－6A55＋5A44＝________.120[原式＝A66－A66＋A55＝A55＝5×4×3×2×1＝120.]4．将玫瑰花、月季花、莲花各一束分别送给甲、乙、丙三人，每人一束，共有多少种不同的分法？请将它们列出来．[解]按分步计数原理的步骤：第一步，分给甲，有3种分法；第二步，分给乙，有2种分法；第三步，分给丙，有1种分法．故共有3×2×1＝6种不同的分法．列出这6种分法，如下：。
苏教版数学选修2-3第一章第二节排列
课时3 排列（1）【学习目标】1．理解排列的意义，并能借助树形图写出所有排列；2．了解排列数的意义，掌握排列数计算公式及推导方法．【学习过程】活动一：问题情境考察下面两个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学模型来刻画？（1）高二（1）班准备从甲、乙、丙这3名学生中选出2人分别担任班长和副班长，有多少种不同的选法？（2）从1，2，3这3个数字中取出2个数字组成两位数，这样的两位数共有多少个？活动二：概念建构与运用1．排列：例1．（1）写出从a，b，c，d这4个字母中，取出2个字母的所有排列；（2）写出从a，b，c，d这4个字母中，取出3个字母的所有排列．活动三：合作探究从例1中，你能否归纳出处理排列问题的方法？能否将你的发现推广到一般情形？活动四：数学建构与运用2．排列数：3．排列数公式：4．全排列：例2．计算：（1）35A ； （2）55A ； （3）410A ；（4）435A ．例3．（1）求证：mn A ＝)!(!m n n -（n ＞m ）；（2）求证：m n A ＝n 11A --m n （n ≥m ≥2）．活动五：回顾小结（1）排列与全排列；（2）排列数与排列数公式．课时3 排列（1）作业班级___________ 姓名___________ 1．已知A m10＝10×9×…×5，那么m＝．2．已知A2n＝56，那么n＝．3．已知A2n＝7A2n－4，那么n＝．4．写出从a，b，c，d，e这5个字母中取出2个字母的所有排列．5．由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的四位数？并写出所有的四位数．6．计算：（1）4A24＋5A35；（2）A14＋A24＋A34＋A44；（3）2A712A35A1212；（4）A310A7710!．7．从0，1，2，3这4个数字中选出3个不同的数字组成1个三位数，试写出所有满足条件的三位数．8．a，b，c排成一行，其中a不排第1位，b不排第2位，c不排第3位，写出所有满足条件的排列．9．证明(n＋1)!－n!＝n·n!，并用它来化简1×1!＋2×2!＋3×3!＋…＋10×10!．10．（1）求证：A n n＝A m n·A n－m；n－m（2）求证：A m n＋m A m－1n＝A m n＋1．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.2.1 排列》
1.2“排列〞学历案〔一〕授课人：孙玉勇地点：录播教室课标要求：1.理解排列的意义，并能用树形图正确写出一些简单排列问题的所有排列2.了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归〞的数学思想，并能运用排列数公式进行计算学习目标：1．能说出排列的定义，会用树形图描述简单排列的所有排列 2．会运用排列数公式进行简单的计算学习重点：排列定义的理解、排列数公式的运用学法建议：1.联系生活中彩票、排队等实际问题理解排列的意义2.尝试用乘法原理推导排列数公式学习过程一．课前学习1、以咨询等方式，了解彩票的游戏规那么2、预习课本第11页到15页〔1〕列举生活中排列问题的事例(2例〕〔2〕尝试完成课本第15页练习二．课中学习〔一〕问题：〔1〕高二〔1〕班准备从甲，乙，丙三名学生中选出两人分别担任班长和副班长，有多少种不同的选法？请列出所有可能的结果〔2〕从1，2，3,4三个数字中选出2个数字组成两位数，这样的两位数共有多少个？请列出所有可能的结果〔二〕探究11.观察这些问题，发现有什么共同点，并描述出来2.请给排列下个定义〔三〕建构数学1.排列定义:一般地，从n个不同的元素中取出m〔〕个元素，并按一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
问题：你认为要满足排列问题，应具备几个条件？练习：以下问题是排列问题吗？（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同的结果有多少种？（2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其不同的结果有多少种？（3）从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得到多少个不同的点的坐标？（4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？（5）10个学生排队照相，那么不同的站法有多少种？问题:你能更快地得到所有排列的结果个数吗？2.排列数定义：从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有排列的个数，叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号表示。
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排列
什么叫排列？从n个不同元素中，任取m(n
m≤)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 .表示为 .
什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同.
什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列.
从n个不同元素中取出m（n
m≤）个元素的排列数是 .
什么叫全排列？n个元素的全排列表示为 = ，这是个连续自然数的积，n个元素的全排列叫做，表示为 .
用全排列（或阶乘）表示的排列数公式为 .
【例题与练习】
计算：
①
3
8
p= ②3
16
p= 3
3
p= ④4
4
p=
⑤
5
5
p= ⑥6
6
p= 2
2
p=
某段铁路上有12个车站，共需准备多少种普通客票？
某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂一面、二面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
小结：解有关排列的应用题时，先将问题归结为排列问题，然后确定原有元素和取出元素的个数，即n、m的值.
用0到9这十个数字，可以组成没有重复数字的三位数个.
用排列数表示下列各式：
① 10⨯9⨯8⨯7⨯6= ② 24⨯23⨯22⨯…⨯3⨯2⨯1=
③ n∙(n-1) ∙(n-2) ∙(n-3)=
6.①从x个不同元素中任取3个的排列数为720，则x= ；
②
1111++--=+n n n n n n xp p p ，求x 的值.
小结：解有关排列数的方程关键在于用排列数公式将方程转化为关于x 的一元方程.
【课后检测】
1.由数字1、2、3、4、5、6可以组成没有重复数字的五位数 个； 自然数 个；三位数 个.
2.5个人排成一排，共有 种不同的排法.
3.从5个人中任选两人分别担任班长和团书记，所有选法的总数为 .
4.求下列各式中的n ：
89557=-n n n p p p ② 33210n n p p = ③ 4345=+n n n p p p
5.求证：① 11--=m n m n np p ②
11211--++=-n n n n n n p n p p ③
()()()!!1!1!!!1k n k n k n k n ⋅+-=--
+。