4.3 两个三角形相似的判定(第1课时)
《相似三角形的判定》PPT课件(第1课时)
④中的三角形的三边分别是：3, 17, 4 2
∵①与③中的三角形的三边的比为：1: 2
∴①与③相似．故答选：A
02
练一练
2．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（
）
【详解】
解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为 2，2 2， 10．
目录
02
重点
03
难点
运用两种判定方法判定两个三角形相似。
三角形相似的条件归纳、证明。
01
LEARNING OBJECTIVES
学习目标
1、初步掌握“三边成比例的两个三角形相似”和
“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法。
2、能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。
01
判定三角形全等条件知识点回顾
AB
AC
在△ABC和△A’B’C’中, A′B′ = A′C′ , ∠A = ∠A′ ,
求证:△ ABC ∽△ A′B′C′？
A’
∵△A'DE∽△A'B‘C’
A
A′D
D
B
DE
′
∴ A′B′ = B′C′ = A′C′，而AB=A’D
E
C
∴
AC
A′C′
=
′
A′C′
∴ AC=A’E 而∠A = ∠A′
可得△A'DE∽△A'B'C'．
01
探究与证明（通过三边判定两个三角形相似）
AB
BC
AC
在△ABC和△A’B’C’中， A′B′ = B′C′ = A′C′ , 求证:△ ABC ∽△ A′B′C′？
相似三角形的判定1.3 两个三角形相似的判定(1)及答案
4.3两个三角形相似的判定(1)【要点预习】相似三角形的判定三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形 . 有 角对应相等的两个三角形相似.【课前热身】1. 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，则下列比例式不成立的是……………………………（ ）A.AD AE AB AC = B.AD DE AB BC = C.AD DE DB BC = D.AD AEDB EC=答案：C2. 如图，P 是△ABC 的边AB 上一点，若∠1= ，则△APC ∽△ACB .答案：∠ACB 3. 图中x = .答案：24. 如图，AB ∥DC ，AC 交BD 于点O ．已知35AO CO =，BO ＝6，则DO =_________. 答案：10【讲练互动】【例1】 如图， D 为△ABC 的AB 边上一点，过点D 作DE //AC 交 BC 于点E ．已知BE ∶CE =2∶1，AC =6cm ，求DE 的长．【分析】先证明△BDE ∽△BAC ，再根据比例线段求出DE 的长. 【解】∵DE ∥AC ，∴ΔBDE ∽ΔBAC ，∴BE DEBC AC=. ∵21BE CE =，∴23BE BC =，∴236DE=，∴DE =4cm. 【绿色通道】利用相似三角形可得到多组比例线段，在运用时要注意结合已知条件及所求的线段来选择相应的比例线段.【变式训练】第1题第2题第3题第4题1. 如图，AB//CD，AE//FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中共有相似三角形…………………………………………（）A. 4对B. 5对C. 6对D. 7对【解析】由已知易得△BFH∽△BAG∽△CEG∽△CDH.【答案】C【例2】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，CD是AB边上的高，AE是⊙O的直径．求证：AC·BC=AE·CD．【分析】先将结论化为比例式AC AECD AB=，因此只须证△ACE∽△CDB.【证明】连结CE. ∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°. ∵CD是AB边长的高，∴∠CDB=90°.∴∠ACE=∠CDB. 又∵∠E=∠B，∴△ACE∽△CDB，∴AC AECD AB=，即AC·BC=AE·CD.【绿色通道】已知或求证中出现线段的等积形式时，通常转化为比例式，再考虑比例式所在的三角形相似.【变式训练】2. 将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内. 请找出图中的相似(不包括全等)三角形，并证明其中的一对．【解】△ABE∽△DAE∽△DCA.∵∠DAE=∠B=45°，∠AEB=∠DEA，∴△ABE∽△DAE.【例3】如图所示，一圆桌正上方3米处有一灯泡（视为一点），圆桌高1米，圆桌面直径为1米，请你求出圆桌面在水平地面上的投影面积.（图中阴影部分）（圆桌面与地面平行）（π取3.14，答案精确到0.1平方米）【解】建立平面图如图. OA=3，AC=1，AB=1 2 .∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCB∴OA ABOC CD=，∴CD=142233AB OCOA⨯⋅==.∴S=π·CD2=3.14×49≈1.4 (m2). 答：圆桌面在地面上的投影面积为1.4 m2.【变式训练】3. 九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度3mCD=，标杆与旗杆的水平距离15mBD=，人的眼睛与OBDCABHGFEDCAABCDOE图7ECAHBG地面的高度 1.6m EF =，人与标杆CD 的水平距离2m DF =，求旗杆AB 的高度．【解】∵CD ∥AB ，∴△ECG ∽△EAH ，∴EG CGEH AH=. ∵EG =DF =2m ，EH=FB=17m ，CG =CD-EF =1.4m ， ∴2 1.417AH=，∴AH =11.9m ，∴AB =11.9+1.6=13.5m.【同步测控】基础自测1.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若13AD AB =，DE ＝4，则BC =…………（ ） A ．9 B ．10 C ． 11 D ．122. 有一个角相等的两个等腰三角形…………………………………………………（ ）A. 一定相似B. 一定不相似C. 不一定相似D. 一定全等 3.如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，则图中相似三角形的对数有……（ ）A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对4. 如图，在△ABC 中，若∠AED ＝∠B ，DE ＝6，AB ＝10，AE ＝8，则BC 的长为…（ ） A.154 B. 7 C. 152 D. 2455. 如图，∠1＝∠2，请补充条件：________________(写一个即可)，使△ABC ∽△ADE .答案：∠D =∠B 或∠E =∠C6.如图，∠C =∠E =90°，AD =10，DE =8，AB =5，则AC = ．7. 要测量河两岸相对的两点A ，B 间的距离，先从B 处出发与AB 成90°角方向，向前走50米到C 处立一BEDC A第1题第3题BDCA第4题BEDCA第5题第6题第7题根标杆，然后方向不变继续朝前走10米到D处，在D处转90°，沿DE方向再走17米，到达E处，使A（目标物）C（标杆）与E在同一直线上（如图），那么可测得A，B的距离是____________米.8. 如图，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD=∠B，若AD＝6，AB=8，BD=7，求DC的长．9．如图，DE∥BC，且DB＝AE，若AB＝5，AC＝10，求AE的长.10. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线分别交⊙O，BC于点D，E，连结BD．根据题意条件，找出图中各对相似三角形并加以证明．11.如图，AB ∥CD ，BO ∶CO =1∶4，点E ，F 分别是OC ，OD 的中点，则EF ∶AB 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412. 如图，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有（ ）A. 6对B. 4对C. 5对D. 3对13.如图在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，DE BC ⊥，那么与ABC △相似的三角形的个数有（ ） A ．1个B ．4个C ．3个D ．2个14. 要判断如图ΔABC 的面积是ΔPBC 面积的几倍，只用一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是………………………………………………………………………………（ ） A. 3次 B. 2次 C. 1次 D. 3次以上 15. 如图，已知Rt ABC △的两条直角边AC BC ，的长分别为3，4，以AC 为直径作圆与斜边AB 交于点D ，则AD = ． 16. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 是角平分线．(1) 求证：△ABC ∽△BCD ；（2）求证：BC 是CD 与CA 的比例中项．第11题AB OE F CD第12题 第13题第14题17. 已知：如图，△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°；△A' B'C'中，∠C'=90°， A'C'＝B'C'，能否分别将这两个三角形各分割成两个三角形，使△ABC 所分成的每个三角形与△A'B'C'所分成的每个三角形分别对应相似?若能，请设计一种分割方案；若不能，请说明理由.C /B /A /CBA同步测控参考答案基础自测1.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若13AD AB ，DE ＝4，则BC =…………（ ） A ．9 B ．10 C ． 11 D ．12 答案：D2. 有一个角相等的两个等腰三角形…………………………………………………（ ）A. 一定相似B. 一定不相似C. 不一定相似D. 一定全等 答案：C3.如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，则图中相似三角形的对数有……（ ）A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对 答案：D4. 如图，在△ABC 中，若∠AED ＝∠B ，DE ＝6，AB ＝10，AE ＝8，则BC 的长为…（ ） A.154 B. 7 C. 152 D. 245答案：C5. 如图，∠1＝∠2，请补充条件：________________(写一个即可)，使△ABC ∽△ADE .答案：∠D =∠B 或∠E =∠C6.如图，∠C =∠E =90°，AD =10，DE =8，AB =5，则AC =．答案：37. 要测量河两岸相对的两点A ，B 间的距离，先从B 处出发与AB 成90°角方向，向前走50米到C 处立一BEDC A第1题第3题BDCA第4题BEDCA第5题第6题第7题根标杆，然后方向不变继续朝前走10米到D 处，在D 处转90°，沿DE 方向再走17米，到达E 处，使A （目标物）C （标杆）与E 在同一直线上（如图），那么可测得A ，B 的距离是____________米. 答案：858. 如图，D 为△ABC 中BC 边上的一点，∠CAD =∠B ，若AD ＝6， AB =8，BD =7，求DC 的长．解：∵∠CAD =∠B , ∠C =∠C , ∴△ACD ∽△BCA . ∴AD AC CD AB BC AC ==, ∴687AC CDCD AC==+, ∴()37434CD AC AC CD⎧+=⎪⎨=⎪⎩, 解得912CD AC =⎧⎨=⎩.9．如图，DE ∥BC ，且DB ＝AE ，若AB ＝5，AC ＝10，求AE 的长.解：设DB=AE=x . ∵DE ∥BC , ∴AD AEAB AC=. ∴5510x x -=, 解得x =103, 即AE =103. 10. 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线分别交⊙O ，BC 于点D ，E ，连结BD ．根据题意条件，找出图中各对相似三角形并加以证明．解：相似三角形有：△ACE ∽△ADB ∽△BDE . 证明如下： ∵AD 平分∠BAC , ∴∠1=∠2. 又∠CBD =∠2, ∴∠2=∠1=∠CBD . 又∠C =∠D =∠D , ∴△ACE ∽△ADB ∽△BDE .能力提升11.如图，AB ∥CD ，BO ∶CO =1∶4，点E ，F 分别是OC ，OD 的中点，则EF ∶AB 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B12. 如图，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有…………………………………………………………（ ） A. 6对 B. 4对 C. 5对 D. 3对解析：由题设可得以下相似三角形：△ADF ∽△GCF ∽△GBA , △ABE ∽△FDE , △ADE ∽△GBE ,△第11题ABOE F CD第12题第13题第14题ABD ∽△CDB . 答案：A13.如图在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，DE BC ⊥，那么与ABC △相似的三角形的个数有…………………………………………………………（ ） A ．1个B ．4个C ．3个D ．2个解析：由题设可得以下相似三角形：△BDE ∽△DCE ∽△BCD ∽△CAD ∽△BAC . 答案：B14. 要判断如图ΔABC 的面积是ΔPBC 面积的几倍，只用一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是………………………………………………………………………………（ ） A. 3次 B. 2次 C. 1次 D. 3次以上解析：设AP 的延长线交BC 于D . 因此, 只要将刻度尺一端与A 点重合, 置于AD 上, 直接度量一次读出AP 和AD 的长度, 易证ΔABC 的面积是ΔPBC 面积的倍数关系即为AD 与PD 的比值.答案：C15. 如图，已知Rt ABC △的两条直角边AC BC ，的长分别为3，4，以AC 为直径作圆与斜边AB 交于点D ，则AD = ．解析：连结CD . ∵AC 是⊙O 的直径, ∴∠ADC =90°. 又∠ACB = 90°, ∠A =∠A , ∴△ACD ∽△ABC ,∴AD ACAC AB=, 结合已知可求得AD 的长. 答案：9516. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 是角平分线．(1) 求证：△ABC ∽△BCD ；（2）求证：BC 是CD 与CA 的比例中项． 证明：(1) ∵AB=AC , ∠A =36°，∴∠ABC =∠ACB =72°. ∵BD 是角平分线, ∴∠ABD =∠CBD =36°. ∴∠BCD=∠A . 又∠C =∠C , ∴△ABC ∽△BCD . (2) ∵△ABC ∽△BCD , ∴BC ACCD BD=. ∵∠C =∠BDC =72°, ∴BD=BC . ∴BC ACCD BC=, 即BC 是CD 与CA 的比例中项. 创新应用17. 已知：如图，△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°；△A' B'C'中，∠C'=90°， A'C'＝B'C'，能否分别将这两个三角形各分割成两个三角形，使△ABC 所分成的每个三角形与△A'B'C'所分成的每个三角形分别对应相似?若能，请设计一种分割方案；若不能，请说明理由.解：如按上图分割.C /B /A /CBA45︒45︒30︒60︒45︒45︒60︒30︒D /D C /B /A /C BA。
数学人教版九年级下册《相似三角形的判定》第一课时
27.2.1相似三角形的判定第一课时教学设计一、教材依据：《相似三角形的判定》是人教版义务教育教科书九年级数学下册第二十七章《相似》第二节《相似三角形》第一课时的内容。
二、设计思路：1.指导思想：为了更好地落实新课程的目标，培养学生的逻辑推理能力，提高学生学习几何证明的能力。
在教学中重点抓好学生的三种几何语言能力的训练。
几何教学有三种不同形式的语言即图形语言、文字语言及符号语言。
教学中不仅要让学生建立三种几何语言，还要培养学生对三种语言相互转化的能力。
因此教师在教学过程中应不失时机地训练、培养学生对这三种语言相互转化的意识和能力。
通过本课的学习，让学生经历“观察－探索－猜测－证明”的学习过程，体验科学发现的一般规律，同时提高几何的图形语言、符号语言、文字语言的表达能力及相互转换的能力。
《相似三角形的判定》是在学生认识相似图形，了解相似多边形的性质及判定的基础上进行学习的，是本章的重点内容。
本课时首先利用“如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。
”证明两个三角形相似，然后引导学生通过测量来探究得到平行线分线段成比例定理（三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。
），继而引导出相似三角形的判定：“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”。
通过类比的方法进一步研究三角形相似的条件，是今后进一步研究其他图形的基础。
学生已经学过相似多边形的判定方法和成比例线段及全等三角形的有关知识，全等三角形的判定也掌握的非常好，对于相似的判定，大多数学生的知识基础比较好。
并且九年级的学生推理与证明的经验比较丰富，合情推理的能力也比较强。
相似三角形的判定既是本章的重点，也是整个初中几何的重点。
同时，在我们的生活中相似图形的应用也比较广泛。
由于有了相似图形、相似多边形和全等三角形的基础，学生应不难理解相似三角形的判定。
2.教学目标：知识与技能：（1）、掌握平行线分线段成比例定理；（2）、掌握平行线分线段成比例定理的推论；（3）、掌握判定两个三角形相似的方法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
《相似三角形的判定》完整版PPT1
1.对应线段是指被两条平行线所截得的线段，如上 图中的 A1A2 与B1B2 是对应线段，A2A3与 B2B3是对应 线段，A1A3 与 B1B3 是对应线段. 2.对应线段成比例是指同一条直线上的两条线段的比，等 于另一条直线上与它们对应的线段的比，书写时，要把对 应线段写在对应的位置上.
3.基本事实中的“所得的对应线段”是指被截直线上的线段，与 这组平行线上的线段无关.
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构 成的三角形与原三角形相似. 几何语言：如下图所示，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC.
定理中“和其他两边相交”是指和其他两边所在的直线相交.
三角形相似的两种常见类型：
A
D
E
B
C
B
“A ”型
D
E
A
C
“X ” 型
巩固新知
如图，AB//EF//DC，AD//BC，EF 与 AC 交于点 G，则图
平行线 DE，交 AC 于点 E.
A
D
E
B
C
△ADE 与△ABC 的三个角分别相等吗？
如图，在△ABC 中，D 为 AB 上任意一点，过点 D 作 BC 的
平行线 DE，交 AC 于点 E.
A
D
E
B
C
分别度量△ADE 与△ABC 的边长，它们的边长 是否对应成比例？
△ADE 与△ABC 之间有什么关系？平行移动DE 的位置，结论还成立吗？
F
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，
C
AB AC BC k，
DE DF EF
A
BD
E
即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC 与
△DEF 相似，记作△ABC∽△DEF，△ABC 和△DEF 的相似比为 k， △DEF 与△ABC 的相似比为 1 .
《4.4探索三角形相似的条件》第1课时教案
在今天的教学中，我引导学生们探索了三角形相似的条件。整体来看，学生们对于新知识的接受程度不错，但我也注意到了一些需要改进的地方。
课堂上，我通过提问的方式导入新课，让学生们回顾日常生活中的相似三角形，这个环节的效果比我预期的要好。我发现学生们能够积极地参与到课堂讨论中，这为后续的学习奠定了良好的基础。然而，在理论介绍部分，我意识到需要更加简洁明了地讲解相似三角形的定义和性质，可能的话，结合一些动态的图像或实物模型，这样能让学生们更直观地理解对应角和对应边的关系。
三、教学难点与重点
1.教学重点
本节课的核心内容是掌握三角形相似的条件及其应用。以下是教学重点的详细说明：
a.理解并掌握相似三角形的定义及基本性质，如对应角相等、对应边成比例。
b.掌握判定三角形相似的方法，包括两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例。
c.学会运用三角形相似的性质和判定方法解决实际问题，例如求三角形中未知线段的长度或证明线段之间的比例关系。
b.在实际应用中，学生可能会难以识别哪些角和边是对应的，特别是在复杂的图形中。
c.学生在运用相似三角形的判定方法解决问题时，可能会忽视证明过程中的逻辑严密性。
举例：在解决一个包含多个相似三角形的复杂问题时，学生可能难以识别哪些是关键的对应角和对应边。教师可以通过以下方法帮助学生突破难点：
-使用直观的教具或动态软件，展示相似三角形的形成过程，让学生清晰地看到对应角和对应边的变化。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用相似三角形的模型来观察和测量对应角和对应边。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形相似在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
4.3(1)相似三角形的判定
1.相似三角形的定义是什么？
A A',B B',C C'
A
A/
AB AC BC
A'B' A'C ' B'C ' B
C
ΔABC∽ΔA/B/C/
B/
C/
2.相似三角形与全等三角形有什
么内在的联系呢？
全等三角形是相似比为1的特 殊的相似三角形。
3.三角形的中位线截得的三角形
与原三角形是否相似？相似比是
A Ａ 直线与另一边ＡＣ 或者BC相交，使截
得的小三角形与D●Leabharlann △ABC相似，这样的Ｂ
C 直线有几条？
2.如图，ABC内接于圆O，
的平B分A线C分别交圆O ，BC
于点D，E，连结BD、 CD B
A
E
C
（1）求证：ABE ~ CDE
D
（2）根据题中条件，找 出图中
各对相似三角形 。ECD ~ CAD
ABE ~ CDE BED ~ ABD
原三角形相似.
试一试
如图，已知EF∥CD∥AB，请说出
图中的相似三角形
C A
O
E
F
D B
试问：相似三角形的判定条件 是否可以弱化？
比如：有两个角对应相等的两个 三角形相似？ A
A/
B
C B/
C/
三角形相似的判定定理1：
有两个角对应相等的两个三
角形相似。
A
A′
数学语言: B
∵ A A B B
∴ ΔABC∽ △ABC
见书P109作业题的2,3,4
例1.为了测量大峡谷的宽度AB,地质勘 探人员采用了如下方法:从A处沿与AB垂 直的直线方向走４０m到达Ｃ处,插一根 标杆,然后沿同方向继续走１５m到达Ｄ 处,再右转９０度走到Ｅ处,使Ｂ,Ｃ,Ｅ 三点恰好在一条直线上,量得DE=20m.请 你帮他们算出峡谷的宽度.
北师大版七年级数学下册课件：4.3第1课时利用“边边边”判定三角形全等
30°
50°
6cm 4cm
6cm 4cm
有两个条件相 等不能保证三
角形相等
议一议 如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况吗？
给出三个条件 ①三个角：
300 300
60o
60o
1.三个角 2.三条边 3.两边一角 4.两角一边
②三条边：
先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′ ,
范围
有两个条件相等不能保证三角形相等
（3）连接线段A'B',A'C'.
AB =AC (已知） AD =AD （公共边）
A,C两点之间
摆齐
只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等).
BD =CD （已证） AB=AB(
)，
三边对应相等的两个三角形全等．
依据
AD =AD （公共边） ∴ BD =DC．
三角形全等 的判定
三角形的稳定性： 三角形三边长度确定了，这个三 角形的形状和大小就完全确定了.
本节我们就来讨论这个问题.
获取新知 知识点一：“边边边”判定三角形全等 1. 只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等).
①只给一条边：
②只给一个角：
60°
60°
60°
只有一个条 件相等不能 保证三角形
相等
2. 给出两个条件： ①一边一内角：
③两边：
30°
30°
30°
②两内角：
30° 50°
三边对应相等的两个三角形全等．
使A B = AB ,B C =BC, A C =AC.把画好的△A B C 如两果个给 三出角三形个全条等件的′ 画判三定′ 角方形法，1：你能说出有′哪几′种可能的情况吗？ ′
新北师大版数学九年级上册课件：探索三角形相似的条件(第1课时)
7．[2018· 株洲]如图349所示，Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形 ABCD的边AB和AD，其中AM＝AN.
图349
(1)求证：Rt△ABM≌Rt△ADN； 1 (2)线段MN与线段AD相交于点T，若AT＝ AD，求tan ∠ABM的值． 4 (1)证明：∵AM＝AN，AB＝AD，
3．如图345，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于 点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：
△CDF∽△ABP等
△ABP∽△AED或△BEF∽△CDF或△BEF∽△AED或△CDF∽△
．
图345
【解析】 ∵BP∥DE，∴∠ABP＝∠AED，又∠A＝∠A，∴△ABP∽△ AED；同理△BEF∽△CDF；△BEF∽△AED.利用相似三角形的传递性，还可 以得到△CDF∽△AED，△CDF∽△ABP等．
6．如图348，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C， AB＝6，AD＝4，求线段CD的长．
图348
解：在△ABD和△ACB中， ∠ABD＝∠C，∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACB， AB AD ∴AC＝AB. ∵AB＝6，AD＝4， AB2 36 ∴AC＝ AD ＝ ＝9， 4 则CD＝AC－AD＝9－4＝5.
第四章 图形的相似
总第34课时——4 探索三角形相似的条件 (第1课时)
知识管 理 归类探 究 随堂练 习 分层作 业
1．相似三角形的概念
知识管 理
相似三角形：三角分别 相等 ，三边 成比例 的两个三角形叫做相似三角形． 表示方法：△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC∽△DEF. 注 意：(1)全等三角形是特殊的相似三角形，它的特殊性体现在相似比为 1. (2)相似三角形的定义，既可以作为相似三角形的判定，又可以作为相似三角形 的性质，其性质为：两个三角形相似，对应角相等、对应边成比例．
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已知：在△ABC 和△A'B'C'中, A = A' , B = B' 求证:ΔABC∽ △A'B'C'
B
A
A'
B' C
C'
A D E A'
证明：
B
C
B'
C'
在△ABC边AB上, 截取AD=A'B'，过D作 DE∥BC交AC于E.则有△ADE∽△ABC
∵∠ADE=∠B , ∠B=∠B ' ∴∠ADE=∠B ' 又∵∠A=∠A' , AD=A'B' ∴△ADE≌△A'B'C' (ASA) ∴△A'B'C'∽△ABC.
B
A
D C E
A D
O
D E
C
F
1、已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别是 BC、AC上的高，AD、BE相交于点F.
（1）求证：ΔAEF∽ΔADC；
（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出 . 答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF. A A E F
F
E
B
D
C
D
C
2、 如图，在ΔABC中 ，点D、E分别是边AB、AC上的点， 连结DE，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，ΔADE 与 ΔABC相似？
Ｄ、４个
60°
50°
70°
50°
通过这节课的学习， 你有什么收获？
下课了 !
结束寄语
•不经历风雨，怎么见 彩虹.,没有人能随随 便便成功!
数学周报将提供 本课小结 更多更精彩的资料给大家 通过这节课的学习你学会了什么？ 你有什么收获与困惑？
再 见
Ｂ、有一个角为60°的两个等腰三角形相似
Ｃ、有一个角为30°的两个等腰三角形相似 Ｄ、有一个角为100°的两个等腰三角形相似
选
择
下列结论中，正确的个数是（ Ｂ ）
①任意两个等腰三角形都相似
②任意两个等边三角形都相似 ③任意两个直角三角形都相似 ④任意两个等腰直角三角形都相似
Ａ、１个
Ｂ、２个
Ｃ、３个
A D E A'
证明：
B
C
B'
C'
在△ABC边AB上, 截取AD=A'B'，在AC边 上截取AE=A'C'.则有△ADE≌△A'B'C'
∴∠ADE=∠B'=∠B ∴ DE∥BC ∴ △ADE∽△ABC ∴△A'B'C'∽△ABC.
判定定理1: 如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
A A
D
D E
E
B C B C
看谁答得快！
填 空： 1、直角三角形被 斜边上的 高分成的两个直角 相似
三角形相似，它们和原三角形
2、两个等腰三角形都有一个角是45°，则这两个三角
形
不一定相 似
两个等腰三角形都有一个角是95° ，则这两个三角
形 一定相 似
选
择
下列结论中，不正确的是（ Ｃ ） Ａ、有一个角为90°的两个等腰三角形相似
1、相似三角形的定义？ 三角对应相等,三边对应成比例 的两个三角形叫做相似三角形.
2、三角形的中位线截得的三角形与原三 A 角形是否相似？ 相似比是多少？
D B E C
如图在△ABC中，点D、E分别 在AB、AC上，且DE‖BC，则 △ADE与△ABC相似吗？
•(1)议一议:这两个三角形的 B 三个内角是否对应相等？ •(2)量一量：这两个三角形的 边长，它们是否对应成比例？
B
A D E
E A
D
C
B
C
如图, 已知DE∥BC ,DF∥AC,请尽可能多地找出图中的 相似三角形，并说明理由.
A
D
E
B
F
C
如图 △ABC 和△ A‘B’C‘中，∠A=∠A’，∠ B=∠B’ . 问△ABC与△ A‘B’C‘是否相似？
A A'
B' B C
C'
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两 个角对应相等，那么这两个三角形相似.
例 在一次数学活动课上，为了测量河宽AB，张杰采
用了如下的方法（如图）：从A处沿与AB垂直的直线 方向走40米到达C处，插一根标竿，然后沿同方向继 续走15米到达D处，再向右转90度走到E处，使B、C、 E三点恰好在一条直线上，量得DE=20米，这样就可以 求出河宽AB，请你算出结果（要求写出解题过程）. 方法三 方法二 方法一 B
A
D
E
C
E A D
(3)平行移动DE的位置再试一试.
B
A
C
结论：
D E 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延 长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. B C
相似三角形的预备定理
平行于三角形一边的直线和其 他两边（或两边的延长线）相交， 所构成的三角形与原三角形相似.
几何语言叙述：
∵DE‖BC ∴⊿ADE∽⊿ABC
简称:
几何语言叙述: ∵∠A=∠A´，∠B=∠B´
A A'
∴⊿ABC∽⊿A´B´C´
B
C B'
C'
已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB
C
试
图中有几对相似三角形.
A
D B
已知：如图Rt△ABC中，CD是斜边上的高. 例、 求证：△ABC∽△CBD∽△ACD.
证明：∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°， ∴△ABC∽△CDB(两个角对应相等,两三角形相似). 同理可证：△ABC∽△ACD ∴△ABC∽△CBD∽△ACD.
此结论可以称为“母子相似定理”,今后可以直接使用
判定两个三角形相似的方法： 1、相似三角形的定义 2、预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边 （或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原 三角形相似. 3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三 角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似. 简单说成:两个角对应相等,两三角形相似. 4、母子相似定理：直角三角形被斜边上的高分成的 两个 直角三角形和原三角形相似.