1.6.2.1《直线与平面垂直的性质》课件(北师大版必修2)
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2014年(北师大版)数学必修二课件：1.6.2.1直线与平面垂直的性质
(2)取CE的中点G，连接FG，BG，AF. 因为F为CD的中点，所以GF∥DE， 且GF= 1 DE.
2
因为AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， 所以AB∥DE.则GF∥AB. 又因为AB=
1 DE，所以GF=AB. 2
则四边形GFAB为平行四边形.所以AF∥BG. 因为△ACD为等边三角形，F为CD的中点， 所以AF⊥CD.
语言
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知直线a和直线c，a⊥α ，若c∥a，则c⊥α .( )
(2)在平面α 和平面β 中，a⊥α ，b⊥β ，且a∥b，则α 和β 互相平行.( )
(3)已知平面α ⊥β 和直线a，b.若a⊥α ，b⊥α ，则a∥β ， b∥β .( )
【解析】(1)正确.由a⊥α，c∥a，所以c⊥α. (2)正确.由线面垂直的性质知. (3)错误.a⊥α，b⊥α，α⊥β，则a∥β，b∥β或a， b Ü β. 答案：(1)√ (2)√ (3)×
【探究提示】1.由PA垂直于□ABCD所在平面可得PA垂直于BD， PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥BC，PA⊥CD.由PC⊥BD，结合 PA⊥BD可以得到BD⊥平面PAC. 2.由线面垂直的性质定理可得，AB∥DE，在平面BCE中，找一 条直线垂直于平面CDE即可.
【自主解答】(1)因为PA垂直于□ABCD所在平面，BD□ABCD所 在平面， 所以PA⊥BD，又因为PC⊥BD，PA∩PC=P. 所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC， 所以□ABCD一定是菱形. 答案：菱形
行的直线，因为a∥b′，a⊥α ，所以
b′⊥α ，这样，经过同一点O的两条
直线b、b′都垂直于平面α ，这是不可能的.因此a∥b.
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高中数学第一章立体几何初步1.6.2垂直关系的性质第一课时直线与平面垂直的性质北师大版必修
1 ∴ON＝2AN， 在△ONB 中，∠NOB＝120°－90°＝30°＝∠NBO，
1 ∴NB＝ON＝2AN. 又∵AB＝3AQ，∴Q 为 AN 的中点． 在△CAN 中， ∵P，Q 分别为 AC，AN 的中点， ∴CN∥PQ. 由 ON⊥OA，OC⊥OA 知 OA⊥平面 ONC， 又∵NC 平面 ONC，∴OA⊥NC， 由 CN∥PQ 知 PQ⊥OA.
线面垂直性质定理的应用 如图所示，△ABC 是正三角形，AE 和 CD 都垂直于平面 ABC，且 AE＝AB＝2a，CD＝a，F 为 BE 中点． 求证：DF∥平面 ABC.
[思路探究] 要证DF∥平面ABC，关键是在平面ABC内找到一条直线与DF 平行，结合题目条件，可以利用作辅助线构造平行四边形的方法找这条直线．
6.2 垂直关系的性质 第一课时 直线与平面垂直的性质
自主学习·新知突破
1．在平面几何中我们有结论：“垂直于同一条直线的两直线平行”，这个结 论在空间还成立吗？如果不成立，这两条直线的位置关系又有哪些可能呢？
[提示] 不成立，在空间，垂直于同一条直线的两条直线既可能是平行的， 也可能是相交的，也可能是异面直线．
文字语言
图形语言
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两 条直线_平__行___.
符号语言
a⊥α b⊥α⇒ __a_∥_b___
[强化拓展] (1)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同 一个平面垂直)． (2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直” 与“平行”关系相互转化的依据．
A．AC
B．BD
C．A1D1
D．A1A
解析： 可证 BD⊥平面 AA1C1C，而 CE 平面 AA1C1C，故 BD⊥CE. 答案： B
1 ∴NB＝ON＝2AN. 又∵AB＝3AQ，∴Q 为 AN 的中点． 在△CAN 中， ∵P，Q 分别为 AC，AN 的中点， ∴CN∥PQ. 由 ON⊥OA，OC⊥OA 知 OA⊥平面 ONC， 又∵NC 平面 ONC，∴OA⊥NC， 由 CN∥PQ 知 PQ⊥OA.
线面垂直性质定理的应用 如图所示，△ABC 是正三角形，AE 和 CD 都垂直于平面 ABC，且 AE＝AB＝2a，CD＝a，F 为 BE 中点． 求证：DF∥平面 ABC.
[思路探究] 要证DF∥平面ABC，关键是在平面ABC内找到一条直线与DF 平行，结合题目条件，可以利用作辅助线构造平行四边形的方法找这条直线．
6.2 垂直关系的性质 第一课时 直线与平面垂直的性质
自主学习·新知突破
1．在平面几何中我们有结论：“垂直于同一条直线的两直线平行”，这个结 论在空间还成立吗？如果不成立，这两条直线的位置关系又有哪些可能呢？
[提示] 不成立，在空间，垂直于同一条直线的两条直线既可能是平行的， 也可能是相交的，也可能是异面直线．
文字语言
图形语言
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两 条直线_平__行___.
符号语言
a⊥α b⊥α⇒ __a_∥_b___
[强化拓展] (1)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同 一个平面垂直)． (2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直” 与“平行”关系相互转化的依据．
A．AC
B．BD
C．A1D1
D．A1A
解析： 可证 BD⊥平面 AA1C1C，而 CE 平面 AA1C1C，故 BD⊥CE. 答案： B
1.6.2.1《直线与平面垂直的性质》课件(北师大版必修2)
边形ABCD一定是____________. 【解析】∵PA⊥平面ABCD, ∴PA⊥BD， 又∵PC⊥BD,∴BD⊥平面PAC, ∴BD⊥AC. 又∵ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD为菱形. 答案:菱形
6.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和 AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于_____. 【解析】∵B1C1⊥平面ABB1A1,
∴BC⊥PC，∴∠PCB=90°.
4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,
并且总保持AP⊥BD1,则动点P的轨
迹是（ ） （A）线段B1C （B）线段BC1 （C）BB1中点与CC1中点连成的线段 （D）BC中点与B1C1中点连成的线段
【解题提示】解答本题应注意正方体中常见的线面垂直
其中正确的命题是（
(A)(1)(2)
）
(C)(2)(4) (D)(3)(4)
(B)(1)(3)
【解析】选B.对于(1)l⊥平面α，α∥β,则有l⊥β.
又∵m 平面β，∴l⊥m.
对于(2)l⊥平面α，α⊥β,则l∥β或l β.
故l与m位置关系不确定;
对于（3）l⊥平面α，l∥m，则有m⊥α,
又因为m 平面β，故有α⊥β. 对于(4)l⊥α,l⊥m，则m∥α或m α, 又因为m 平面β，故有α∥β或α∩β=m.
2.已知直线PG⊥平面α 于G，直线EFα 且EF不过G点， PF⊥EF于F，那么线段PE，PF，PG的大小关系是（ (A)PE＞PG＞PF (C)PE＞PF＞PG 【解析】选C. 在Rt△PEF中,PF＜PE, (B)PG＞PF＞PE (D)PF＞PE＞PG ）
在Rt△PGF中,PG＜PF,
6.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和 AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于_____. 【解析】∵B1C1⊥平面ABB1A1,
∴BC⊥PC，∴∠PCB=90°.
4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,
并且总保持AP⊥BD1,则动点P的轨
迹是（ ） （A）线段B1C （B）线段BC1 （C）BB1中点与CC1中点连成的线段 （D）BC中点与B1C1中点连成的线段
【解题提示】解答本题应注意正方体中常见的线面垂直
其中正确的命题是（
(A)(1)(2)
）
(C)(2)(4) (D)(3)(4)
(B)(1)(3)
【解析】选B.对于(1)l⊥平面α，α∥β,则有l⊥β.
又∵m 平面β，∴l⊥m.
对于(2)l⊥平面α，α⊥β,则l∥β或l β.
故l与m位置关系不确定;
对于（3）l⊥平面α，l∥m，则有m⊥α,
又因为m 平面β，故有α⊥β. 对于(4)l⊥α,l⊥m，则m∥α或m α, 又因为m 平面β，故有α∥β或α∩β=m.
2.已知直线PG⊥平面α 于G，直线EFα 且EF不过G点， PF⊥EF于F，那么线段PE，PF，PG的大小关系是（ (A)PE＞PG＞PF (C)PE＞PF＞PG 【解析】选C. 在Rt△PEF中,PF＜PE, (B)PG＞PF＞PE (D)PF＞PE＞PG ）
在Rt△PGF中,PG＜PF,
《直线与平面垂直(2)》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
第六章 立体几何初步
直线与平面垂直(2)
如何判定一条直线与一个平面平行？
1、定义法：线面无交点；
2、线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
1、定义法：直线与平面内所有直线垂直
不方便！
线线平行
线面平行
不方便！
如果一条直线垂直于平面内的一条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？
解：
连接BD，∵SA=SC，点D为AC的中点，∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，∵点D为斜边AC的中点，∴BD=AD.在△SAD与△SBD中∴△SAD≌△SBD（SSS），∴∠SDB=∠SDA=90°，∴SD⊥BD，又SD⊥AC，，BD、AC都在平面ABC中，∴SD⊥平面ABC.
找
如图，长杆l与地面相交于点O，在杆子上距地面2 m的点P处挂一根长2.5 m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的点A或点B(A，B，O三点不在同一条直线上.)如果A，B两点和点O的距离都是1.5 m，那么长杆l和地面是否垂直？为什么？
解：在空间中，与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确；
由线面垂直的定义可知，②正确；
这两条直线也可能平行，并不能保证相交，线面垂直的判定定理不成立，③不正确；
如图，与不垂直，但，故④不正确.
②
如图所示，Rt△ABC所在平面外一点S，SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点，求证：直线SD⊥平面ABC.
A选项，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC；
B选项，∵AB是圆的直径，∴AC⊥BC又，∴BC⊥平面PAC；
C选项，无法证明，错误；
D选项，∵BC⊥平面PAC，∴PC⊥BC.
C
已知：在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VB⊥AC.
直线与平面垂直(2)
如何判定一条直线与一个平面平行？
1、定义法：线面无交点；
2、线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
1、定义法：直线与平面内所有直线垂直
不方便！
线线平行
线面平行
不方便！
如果一条直线垂直于平面内的一条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？
解：
连接BD，∵SA=SC，点D为AC的中点，∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，∵点D为斜边AC的中点，∴BD=AD.在△SAD与△SBD中∴△SAD≌△SBD（SSS），∴∠SDB=∠SDA=90°，∴SD⊥BD，又SD⊥AC，，BD、AC都在平面ABC中，∴SD⊥平面ABC.
找
如图，长杆l与地面相交于点O，在杆子上距地面2 m的点P处挂一根长2.5 m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的点A或点B(A，B，O三点不在同一条直线上.)如果A，B两点和点O的距离都是1.5 m，那么长杆l和地面是否垂直？为什么？
解：在空间中，与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确；
由线面垂直的定义可知，②正确；
这两条直线也可能平行，并不能保证相交，线面垂直的判定定理不成立，③不正确；
如图，与不垂直，但，故④不正确.
②
如图所示，Rt△ABC所在平面外一点S，SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点，求证：直线SD⊥平面ABC.
A选项，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC；
B选项，∵AB是圆的直径，∴AC⊥BC又，∴BC⊥平面PAC；
C选项，无法证明，错误；
D选项，∵BC⊥平面PAC，∴PC⊥BC.
C
已知：在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VB⊥AC.
北师大版必修第二册第六章立体几何初步直线与平面垂直的证明技法课件共36张PPT
一、量化证明法
1.如图，四面体ABCD中，O是BD的中点， =
= = = 2, = = 2,
求证： ⊥ 平面.
证明：在 中， = = 2, = 2,O为BD
的中点， ⊥ ⋯ ①
在 ∆中， = = = 2,O为BD的中点，
A在PB上的射影为E，求证： ⊥ 平他.
证明： ⊥ , ⊂ , ⊥ . . . . . . ① ⊥
. . . . . ②, ∩ = ⋯ ⋯ 3 .由①②③可得，
⊥ .
⊂ , ⊥ , ∩ = ⋯ 3 .由①②③可
连接DE、AE.在 中，由于PD⊥平面ABCD，AB ⊂ 平面ABCD，
PD⊥AB，AB⊥AD、PD∩AD=D，AB⊥平面PAD，PA ⊂ 平面PAD，
⊥ ,所以，△PAB为直角三角形，又E为PB的中点， =
1
.连接BD，在△PBD中， ⊥ ,所以△PBD为直角三角形，
2
1
.
2
又E为PB的中点， =
于是，在 中， = ,F为AD的中点，所以 ⊥
, //,EF⊥BC……②, ∩ = ...③.由①②③可得，EF⊥
平面PBC.
3.如图在底面为直角梯形的四棱锥 − 中，
∘
⊥底面ABCD， //, ∠ = 90 , = 2, =
2 3, = 6,求证： ⊥平面PAC，
证明： ⊥ , ⊂ , ⊥ ⋯ ⋯ ①,
在四边形ABCD中， //, ∠ = 90∘ ,所以，四
边形ABCD是直角梯形，在∆ABD中，AD=2, =
∘
2 3,所以 ∠ = 30 ,
得， ⊥
1.6.1 垂直关系的判定 课件(北师大必修2)
的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证： AN⊥平面PBM.
[自主解答]
设圆O所在的平面为α， α，
已知PA⊥α，且BM ∴PA⊥BM.
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，
∴AM⊥BM.∵直线PA∩AM＝A，
∴BM⊥平面PAM. 又AN 平面PAM，
∴BM⊥AN.这样，AN与PM，BM两条相交直线垂直． 故AN⊥平面PBM.
当a＝2时，以AD为直径的圆与边BC相切，故只有一
个点Q，使PQ⊥QD. 当a>2时，以AD为直径的圆与边BC相交，故只有两个 点Q，使PQ⊥QD. 当0<a<2时，以AD为直径的圆与边BC无公共点，故
BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD.
Байду номын сангаас
连接AD，SD. ∵∠ASB＝∠ASC， 且SA＝SB＝SC， ∴AS＝AB＝AC. ∴AD⊥BC. 又△ABS是正三角形，△BSC为等腰直角
三角形，
∴BD＝SD. ∴AD2＋SD2＝AD2＋BD2＝AB2＝AS2. 由勾股定理的逆定理，知AD⊥SD. 又∵SD∩BC＝D，∴AD⊥平面BSC.
又AD
平面ABC，
∴平面ABC⊥平面BSC.
法二：同法一证得 AD⊥BC，SD⊥BC，则∠ADS 即为 二面角 A－BC－S 的平面角． ∵∠BSC＝90° ，令 SA＝1， 2 2 则 SD＝ ，AD＝ ，∴SD2＋AD2＝SA2. 2 2 ∴∠ADS＝90° .∴平面 ABC⊥平面 BSC.
[悟一法] 常用的两个平面互相垂直的判定方法： (1)定义法，即证明这两个平面所成的二面角是直二面 角；
但l不垂直于α.
3．如图所示的是一块三角形纸片，过顶点A 翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸 片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接 触)，折痕AD与桌面垂直吗？ 提示：不一定垂直，只有当AD⊥BC时， AD才与桌面所在的平面垂直．
高中数学 1.6.2 第1课时 直线与平面垂直的性质多媒体教学优质课件 北师大版必修2
经过同一点 O的两直线 b， b '
都垂直于 是不可能(kěnéng)
的，a所/以/ b
第十页，共22页。
直线与平面垂直(chuízhí)的性质 定理
定理6.3 如果两条直线同垂直于一个平面，那么(nà me)这两 条直线平行
用符号语言可表述(biǎo shù)为：
a ,b a // b
第二十页，共22页。
1.直线与平面垂直的性质(xìngzhì) 2.空间想象能力，逻辑推理能力
第二十一页，共22页。
不论做什么事，相信(xiāngxìn)自己，别让别人 的一句话将你击倒。
第二十二页，共22页。
第四页，共22页。
国旗与地面都是垂直的，你能发现什么(shén 旗杆(qígān)互相
me)现象?
平行
第五页，共22页。
问题1.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1, DD1所在直线与底面ABCD的位置关系(guān xì)如何？它们彼此之间 具有什么位置关系(guān xì)？
β
a
第十三页，共22页。
３.设l为直线，α、β为平面，若l⊥α，l⊥β，则平面 α、β的位置关系(guān xì)如何？
l α
平行 (píngxí
ng)
β
第十四页，共22页。
例１.如图，已知 a b, b , a .
求证(qiaúz/h/èng.)：
b
a
α
第十五页，共22页。
β b α
6.2 垂直(chuízhí)关系的性质 第1课时 直线与平面垂直 (chuízhí)的性质
第一页，共22页。
1.掌握直线与平面垂直(chuízhí)的性质，并能用性质分析 解决有关问题； 2.通过定理的学习，培养空间想象能力、推理论证能力、 运用图形语言进行交流的能力; 3.恰当利用身边的简单物体进行自主探索活动，理解数学 概念和结论形成过程，体会蕴涵在其中的思想方法.
(北师大)高中数学必修2课件：1.6.2 第一课时直线与平面垂直的性质
∵F 为 BE 的中点，
1 ∴FG∥AE 且 FG＝2AE＝a，
而 AE⊥平面 ABC，∴FG⊥平面 ABC.
又∵CD⊥平面 ABC，
∴FG∥CD 且 FG＝CD＝a.
∴四边形 CDFG 为平行四边形．
于是 DF∥CG.故 DF∥平面 ABC.
数 学 第一章 立体几何初步
必修2
自主学习·新知 突破
数 学 第一章 立体几何初步
必修2
自主学习·新知 突破
合作探究·课堂 互动
高效测评·知能 提升
[自主练习]
1．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为 A1C1 的中点，则直线 CE 垂直于( )
A．AC
B．BD
C．A1D1
D．A1A
解析： 可证 BD⊥平面 AA1C1C，而 CE 平面 AA1C1C，故 BD⊥CE. 答案： B
自主学习·新知 突破
合作探究·课堂 互动
高效测评·知能 提升
1．在平面几何中我们有结论：“垂直于同一条直线的两直线平行”，这个结 论在空间还成立吗？如果不成立，这两条直线的位置关系又有哪些可能呢？
[提示] 不成立，在空间，垂直于同一条直线的两条直线 既可能是平行的，也可能是相交的，也可能是异面直线．
数 学 第一章 立体几何初步
必修2
自主学习·新知 突破
合作探究·课堂 互动
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又平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1 且平面 AA1FE 与它们的交线分别为 AE 和 A1F， ∴AE∥A1F， ∴AA1FE 为平行四边形，
∴A1F 綊 AE.
数 学 第一章 立体几何初步
必修2
求证：DF∥平面 ABC.
[思路探究] 要证DF∥平面ABC，关键是在平面ABC内找 到一条直线与DF平行，结合题目条件，可以利用作辅助线构 造平行四边形的方法找这条直线．
数学北师大版高中必修2北师大版高中数学必修二第一章第六节《直线平面垂直的判定及性质》ppt
0, . 2
共 71 页
2
(2)直线与平面垂直 ①定义:如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直,
那么就说直线l和平面α互相垂直.
②判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都 垂直,那么这条直线垂直于这个平面. ③性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直 线平行.
不正确. 如果l∥α,那么,α内的直线m不可能与l相交,所以,选项B不正 确. 在上述三种情况下,α内总存在直线m,使得m⊥l.
答案:C
共 71 页
13
类型一
线线垂直
解题准备:判定直线与直线垂直的方法:
(1)计算两直线所成的角为90°(包括平面角与异面直线所成
的角). (2)线面垂直的性质(若a⊥α,b⊂α,则a⊥b). (3)a·b=0⇔a⊥b.
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16
[反思感悟] 证明空间中两直线互相垂直,通常先观察两直线 是否共面.若两直线共面,则一般用平面几何知识即可证出,
如勾股定理,等腰三角形的性质等.若两直线异面,则转化为
线面垂直进行证明.
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17
直线､平面垂直的判定及性
质
金溪一中汪君兴
共 71 页
1
1.直线与平面所成的角
(1)平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角叫做
这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,就说 它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,就 说它们所成的角是0°的角,可见,直线和平面所成的角的范 围是
共 71 页
3
注意:(1)定义中的“任意一条”与“所有条”是同义词,不同 于“无数条”.
(2)判定定理在应用时,一定要明确“平面内的两条相交直
【数学】 垂直关系的判定----直线与平面垂直的判定 课件 (北师大版必修2)
直线与平面垂直
A
A
C
D
B
D
C
B
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在直 线与桌面所在平面 垂直．
直线与平面垂直
（1）有人说，折痕AD所在直线与桌面所在平面 上的一条直线垂直，就可以判断AD垂直平面 ，你 同意他的说法吗？ （2）如图，由折痕 AD BC ，翻折之后垂直关 系不变，即 AD CD ， AD BD ．由此你能得到什 么结论？
归纳: 1.要证明线线垂直,往往转化为证明线面垂直,然后用线面垂直的基本 性质. 2.要证明线面垂直,只要在该平面内找到两条相交直线与已知直线垂 直就行.
l
三:探究性学习篇
探究1. (1)过一点有几条直线与已知平面垂直？
(2)过一点有几个平面与已知直线垂直?
l
P
l
P
l
（2）
P
（3）
（1）
A
D
B
三棱锥中最多有4个直角三角形,四棱锥中最多 也有4个直角三角形.
C
练习：如图，空间中直线L和三角形的两边 AC,BC同时垂直，则这条直线和三角形的第 三边AB的位置关系是（ B ） A 平行 L B 垂!
如图，直四棱柱 A B C D ABCD （侧棱与底面垂直 的棱柱成为直棱柱）中，底面四边形 ABCD 满足什么 条件时，A C B D ？(只能添加一个合适的条件)
证明：在平面 内作 两条相交直线m，n．
因为直线 a ， 根据直线与平面垂直的定义知
a m , a n.
a
b
m
n
又因为 b // a 所以 b m , b n . 又 m , n , m , n 是两条相交直线， 所以 b .
「精品」高中数学第一章立体几何初步1.6.2垂直关系的性质第二课时平面与平面垂直的性质课件北师大版必修2(1
图形语言
[强化拓展] (1)应用面面垂直的性质定理时要注意的问题 ①四个条件缺一不可“α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l”． ②一般要作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点，作交线的垂线，把 面面垂直转化为线面垂直． (2)面面垂直的另外两个性质： ①若两个平面垂直，则经过第一个平面内的点作第二个平面的垂线必在第一 个平面内． ②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．
1．如图，已知 PA⊥平面 ABC，平面 APB⊥平面 BPC.求证：AB⊥BC.
证明： 平面 PAB⊥平面 CPB，且 PB 为交线． 如图，在平面 PAB 内，过 A 点作 AD⊥PB，D 为垂足，则 AD⊥平面 CPB. 又 BC 平面 CPB，所以 AD⊥BC. 因为 PA⊥平面 ABC，BC 平面 ABC，所以 PA⊥BC.又 PA∩AD＝A，所以 BC⊥平面 PAB.又 AB 平面 PAB，所以 AB⊥BC.
2．平面 PAB⊥平面 ABC，平面 PAC⊥平面 ABC，AE⊥平面 PBC，E 为垂 足．
(1)求证：PA⊥平面 ABC； (2)当 E 为△PBC 的垂心时，求证：△ABC 是直角三角形．
证明： (1)在平面 ABC 内取一点 D，作 DF⊥AC 于 F. ∵平面 PAC⊥平面 ABC，且交线为 AC， ∴DF⊥平面 PAC， PA 平面 PAC，∴DF⊥PA. 作 DG⊥AB 于 G.同理可证 DG⊥AP. DG、DF 都在平面 ABC 内，且 DG∩DF＝D， ∴PA⊥平面 ABC.
第二课时 平面与平面垂直的性质
自主学习·新知突破
1.如图，已知平面 α⊥平面 β，α∩β＝l，α 内的两条直线 a、b，则 a 与 β 垂 直吗？b 与 β 垂直吗？a 与 b 相对交线 l 的位置有什么不同？
高中数学第一章立体几何初步1611直线与平面垂直的判定课件北师大版必修2
A．若l⊥α，l∥m，则m⊥α B．若l∥α，m⊂α，则l∥m C．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α D．若l∥α，m∥α，则l∥m
解析：易知A正确．B项，l与m可能异面，也可能平行．C 项，当l与α内两条相交直线垂直时，才能判定l⊥α.D项，l与m可能 平行、异面或相交．
答案：A
4．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则
∴SC⊥平面AEF. ∵AF 平面AEF，∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面ABCD，DC 平面ABCD，∴SA⊥DC.
又AD⊥DC，AD∩SA＝A， ∴DC⊥平面SAD. 又AG 平面SAD，∴DC⊥AG. 又由(1)有SC⊥平面AEF，AG 平面AEF， ∴SC⊥AG.又SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC. ∵SD 平面SDC，∴AG⊥SD.
复习课件
高中数学第一章立体几何初步1.6.1.1直线与平面垂直的判定课件北师大版 必修2
2021/4/17
高中数学第一章立体几何初步1611直线与平面垂直的判定
1
课件北师大版必修2
【课标要求】 1.了解线面垂直的定义. 2.理解线面垂直的判定定理. 3.能运用判定定理证明线面垂直．
自主学习 基础认识
解析：三角形两边必相交，圆的两条直径必相交，梯形的两 边有可能是平行的一组对边，正六边形的两边也可能是一组平行 对边．故由线面垂直的判定定理知，能保证该直线与平面垂直的 是①③.
答案：①③
课堂探究 互动讲练 类型一证明线面垂直 [例1] 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1.
(1)求证：AC⊥平面B1D1DB； (2)求证：BD1⊥平面ACB1.
符号语言
a α，b α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝A⇒l⊥α
解析：易知A正确．B项，l与m可能异面，也可能平行．C 项，当l与α内两条相交直线垂直时，才能判定l⊥α.D项，l与m可能 平行、异面或相交．
答案：A
4．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则
∴SC⊥平面AEF. ∵AF 平面AEF，∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面ABCD，DC 平面ABCD，∴SA⊥DC.
又AD⊥DC，AD∩SA＝A， ∴DC⊥平面SAD. 又AG 平面SAD，∴DC⊥AG. 又由(1)有SC⊥平面AEF，AG 平面AEF， ∴SC⊥AG.又SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC. ∵SD 平面SDC，∴AG⊥SD.
复习课件
高中数学第一章立体几何初步1.6.1.1直线与平面垂直的判定课件北师大版 必修2
2021/4/17
高中数学第一章立体几何初步1611直线与平面垂直的判定
1
课件北师大版必修2
【课标要求】 1.了解线面垂直的定义. 2.理解线面垂直的判定定理. 3.能运用判定定理证明线面垂直．
自主学习 基础认识
解析：三角形两边必相交，圆的两条直径必相交，梯形的两 边有可能是平行的一组对边，正六边形的两边也可能是一组平行 对边．故由线面垂直的判定定理知，能保证该直线与平面垂直的 是①③.
答案：①③
课堂探究 互动讲练 类型一证明线面垂直 [例1] 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1.
(1)求证：AC⊥平面B1D1DB； (2)求证：BD1⊥平面ACB1.
符号语言
a α，b α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝A⇒l⊥α
【高中课件】北师大版必修2高中数学1.6.2.2平面与平面垂直的性质课件ppt.ppt
中小学精编教育课件
面面垂直的性质定理的应用
1.应用面面垂直的性质定理时要注意的问题 (1)四个条件缺一不可“α ⊥β ，α ∩β =l， a α ， a⊥l”. (2)一般要作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点， 作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直.
2.面面垂直的两个重要结论 (1)若两个平面垂直，则经过第一个平面内的点作第二个平 面的垂线必在第一个平面内. (2)若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线 垂直于第三个平面.
【规范解答】 (1)取BD的中点O,连接OA、OC. ∵AB=AD，∴AO⊥BD. 又∵平面ABD⊥平面BCD, 平面ABD∩平面BCD=BD, AO 平面ABD,∴AO⊥平面BCD. 又∵OC 平面BCD，∴AO⊥OC.
在△ABD中，∠BAD=90°，AB＝AD＝3 2， ∴BD=6，AO=3.
又∵AB⊥平面BCD,∴AB∥OM,∴AB与OM共面. 又∵平面ABOM∩平面BCD=BO, E∈AM 平面ABOM，E∈平面BCD, ∴E∈BO, ∴B、O、E三点共线.
(2)在等边三角形MCD中,
OM 3 CM 3 2 3,
2
2
而 AB 2 3 且OM∥AB,∴△EOM∽△EBA,
折叠问题
折叠问题的解答要注意以下几点 (1)抓住折叠前后不变的垂直关系； (2)抓住折叠前后不变的平行关系； (3)抓住折叠前后不变的长度和角度等不变量.
一般地，在折线同侧的量折叠前后不变，跨 过折线的量，折叠前后可能会发生变化.
【例2】如图，在平行四边形ABCD中， 已知AD=2AB=2a，BD 3a，AC∩BD=E， 将其沿对角线BD折成直二面角. 求证：(1)AB⊥平面BCD; (2)平面ACD⊥平面ABD. 【审题指导】(1)由线段AB、AD、BD的长度关系可证AB⊥BD， 结合平面ABD⊥平面BCD，可利用面面垂直的性质定理证明 线面垂直. (2)利用(1)的结论可知平面ABD的垂线，即可证 出.
面面垂直的性质定理的应用
1.应用面面垂直的性质定理时要注意的问题 (1)四个条件缺一不可“α ⊥β ，α ∩β =l， a α ， a⊥l”. (2)一般要作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点， 作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直.
2.面面垂直的两个重要结论 (1)若两个平面垂直，则经过第一个平面内的点作第二个平 面的垂线必在第一个平面内. (2)若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线 垂直于第三个平面.
【规范解答】 (1)取BD的中点O,连接OA、OC. ∵AB=AD，∴AO⊥BD. 又∵平面ABD⊥平面BCD, 平面ABD∩平面BCD=BD, AO 平面ABD,∴AO⊥平面BCD. 又∵OC 平面BCD，∴AO⊥OC.
在△ABD中，∠BAD=90°，AB＝AD＝3 2， ∴BD=6，AO=3.
又∵AB⊥平面BCD,∴AB∥OM,∴AB与OM共面. 又∵平面ABOM∩平面BCD=BO, E∈AM 平面ABOM，E∈平面BCD, ∴E∈BO, ∴B、O、E三点共线.
(2)在等边三角形MCD中,
OM 3 CM 3 2 3,
2
2
而 AB 2 3 且OM∥AB,∴△EOM∽△EBA,
折叠问题
折叠问题的解答要注意以下几点 (1)抓住折叠前后不变的垂直关系； (2)抓住折叠前后不变的平行关系； (3)抓住折叠前后不变的长度和角度等不变量.
一般地，在折线同侧的量折叠前后不变，跨 过折线的量，折叠前后可能会发生变化.
【例2】如图，在平行四边形ABCD中， 已知AD=2AB=2a，BD 3a，AC∩BD=E， 将其沿对角线BD折成直二面角. 求证：(1)AB⊥平面BCD; (2)平面ACD⊥平面ABD. 【审题指导】(1)由线段AB、AD、BD的长度关系可证AB⊥BD， 结合平面ABD⊥平面BCD，可利用面面垂直的性质定理证明 线面垂直. (2)利用(1)的结论可知平面ABD的垂线，即可证 出.
【全程复习方略】高中数学 1.6.2 第1课时 直线与平面垂直的性质多媒体教学优质课件 北师大版必修2
因为b a可得AB a，又AB l，且a、AB、l均在平 面内，所以a / /l
又因为a , l , 所以a / /
例2
如图，在正方体 ABCD ABC D 中， BD, BC , DC 分别为三条对角线，
AC 为一条体对角线
求证： （ 1） AC BD; （ 2） AC 平面DBC;
1.直线与平面垂直的性质 2.空间想象能力，逻辑推理能力
不论做什么事，相信自己，别让别人的一句
话将你击倒。
a , b a // b
思考交流
1．设a，b为直线，α 为平面，若a⊥α ，b//a，则b与α 的位置关系如何？
a
b
垂直
α
２.设l为直线，α ，β 为平面，若l⊥α ，α //β ，则l与β 的位置关系如何？
l
b α β a
垂直
３.设l为直线，α 、β 为平面，若l⊥α ，l⊥β ，则平面 α 、β 的位置关系如何？ 平行
DC D ,
1．直线 l 平面 , 直线 m 内,则有（ D ） A
l 和 m 异面
B
l 和 m 相交
C
l ∥m
D
l m
2 直线 a∥ 平面 ，直线 b a, 则 b 与 的关系是 A．b∥ B、b 与 相交 C、b D、不能确定
（ D）
3. 直线 b 直线 a，直线 b 平面 ，则直线 a 与平面 的关系是（ C ） A. a∥ B a C a 或 a∥ D a
6.2 垂直关系的性质
第1课时 直线与平面垂直的性质
1.掌握直线与平面垂直的性质，并能用性质分析解决有关 问题；
2.通过定理的学习，培养空间想象能力、推理论证能力、
又因为a , l , 所以a / /
例2
如图，在正方体 ABCD ABC D 中， BD, BC , DC 分别为三条对角线，
AC 为一条体对角线
求证： （ 1） AC BD; （ 2） AC 平面DBC;
1.直线与平面垂直的性质 2.空间想象能力，逻辑推理能力
不论做什么事，相信自己，别让别人的一句
话将你击倒。
a , b a // b
思考交流
1．设a，b为直线，α 为平面，若a⊥α ，b//a，则b与α 的位置关系如何？
a
b
垂直
α
２.设l为直线，α ，β 为平面，若l⊥α ，α //β ，则l与β 的位置关系如何？
l
b α β a
垂直
３.设l为直线，α 、β 为平面，若l⊥α ，l⊥β ，则平面 α 、β 的位置关系如何？ 平行
DC D ,
1．直线 l 平面 , 直线 m 内,则有（ D ） A
l 和 m 异面
B
l 和 m 相交
C
l ∥m
D
l m
2 直线 a∥ 平面 ，直线 b a, 则 b 与 的关系是 A．b∥ B、b 与 相交 C、b D、不能确定
（ D）
3. 直线 b 直线 a，直线 b 平面 ，则直线 a 与平面 的关系是（ C ） A. a∥ B a C a 或 a∥ D a
6.2 垂直关系的性质
第1课时 直线与平面垂直的性质
1.掌握直线与平面垂直的性质，并能用性质分析解决有关 问题；
2.通过定理的学习，培养空间想象能力、推理论证能力、
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2.已知直线PG⊥平面α 于G，直线EFα 且EF不过G点， PF⊥EF于F，那么线段PE，PF，PG的大小关系是（ (A)PE＞PG＞PF (C)PE＞PF＞PG 【解析】选C. 在Rt△PEF中,PF＜PE, (B)PG＞PF＞PE (D)PF＞PE＞PG ）
在Rt△PGF中,PG＜PF,
∴PG＜ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱF＜PE.
DB⊥AC，点M是棱BB1上一点. （1）求证：B1D1∥平面A1BD； （2）求证：MD⊥AC； （3）试确定点M的位置，使得 平面DMC1⊥平面CC1D1D.
【解析】 （1）由直四棱柱，得BB1∥DD1，且BB1=DD1，
所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD.
而BD 平面A1BD，B1D1 平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD.
边形ABCD一定是____________. 【解析】∵PA⊥平面ABCD, ∴PA⊥BD， 又∵PC⊥BD,∴BD⊥平面PAC, ∴BD⊥AC. 又∵ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD为菱形. 答案:菱形
6.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和 AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于_____. 【解析】∵B1C1⊥平面ABB1A1,
∴BC⊥PC，∴∠PCB=90°.
4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,
并且总保持AP⊥BD1,则动点P的轨
迹是（ ） （A）线段B1C （B）线段BC1 （C）BB1中点与CC1中点连成的线段 （D）BC中点与B1C1中点连成的线段
【解题提示】解答本题应注意正方体中常见的线面垂直
∴B1C1⊥MN.
又∠B1MN是直角, ∴MN⊥B1M.
又B1C1∩B1M=B1，
∴MN⊥平面B1C1M, ∴MN⊥C1M,∠C1MN=90°. 答案：90°
三、解答题（每题8分，共16分）
7.如图，已知：α ∩β =l,EA⊥α 于A，EB⊥β 于B,a β ,
a⊥AB.求证：a∥l. 【证明】∵EA⊥α,l α, ∴EA⊥l,同理EB⊥l. ∵EA∩EB=E,∴l⊥平面EAB. ∵EB⊥β,aβ,∴EB⊥a. 又AB⊥a,AB∩EB=B,
关系.BD1⊥平面AB1C的应用. 【解析】选A.连接AC,PC,∵BD1⊥AC,BD1⊥AP, ∴BD1⊥平面APC, ∴BD1⊥PC,而在面BCC1B1中,BD1⊥B1C, ∴P在线段B1C上运动,即点P的轨迹是线段B1C.
二、填空题（每题4分，共8分）
5.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD,平行四
【证明】∵AC=CB=1,
M为AB中点，∴CM⊥AB.
又∵A1A⊥平面ABC,CM 平面ABC， ∴A1A⊥CM， 又AB∩A1A=A, ∴CM⊥平面ABB1A1. 又∵CM 平面CMD,∴平面CMD⊥平面ABB1A1.
9.(10分)如图所示，在直四棱柱
ABCD—A1B1C1D1中，DB=BC，
一、选择题（每题4分，共16分）
1.（2010·哈尔滨高一检测）
已知直线l⊥平面α ，直线m 平面β ，有下面四个命题： (1)α ∥β l⊥m； (3)l∥mα ⊥β ; (2)α ⊥β l∥m; (4)l⊥mα ∥β .
∴a⊥平面EAB.∴a∥l.
8.（2010·南阳高一检测）如图，
在直三棱柱ABC—A1B1C1中， ∠ACB=90°,AC=BC=CC1=1， M为AB的中点，A1D=3DB1. 求证：平面CMD⊥平面ABB1A1.
【解题提示】先由AC=BC，M为AB的中点入手，证明
CM⊥AB，再由A1A⊥平面ABC证A1A⊥CM.最后证明CM⊥平面 ABB1A1，从而平面CMD⊥平面ABB1A1.
3.(2010·永泰高一检测)如图△ABC中，
∠ACB=90°,直线l过点A且垂直于平面ABC，
动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB 的大小( (A)变大 (C)不变 ) (B)变小 (D)有时变大有时变小
【解析】选C.∵l⊥平面ABC，∴BC⊥l.
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC. 又l∩AC=A,∴BC⊥平面PAC，
（2）因为BB1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以BB1⊥AC.
又因为BD⊥AC，且BD∩BB1=B，
所以AC⊥平面BB1D1D.而MD 平面BB1D1D，
所以MD⊥AC.
（3）当点M为棱BB1的中点时，平面 DMC1⊥平面CC1D1D.如图所示, 取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接 NN1交DC1于O，连接OM， 因为N是DC中点，BD=BC，所以 BN⊥DC.又因为DC是平面ABCD与平 面DCC1D1的交线，
其中正确的命题是（
(A)(1)(2)
）
(C)(2)(4) (D)(3)(4)
(B)(1)(3)
【解析】选B.对于(1)l⊥平面α，α∥β,则有l⊥β.
又∵m 平面β，∴l⊥m.
对于(2)l⊥平面α，α⊥β,则l∥β或l β.
故l与m位置关系不确定;
对于（3）l⊥平面α，l∥m，则有m⊥α,
又因为m 平面β，故有α⊥β. 对于(4)l⊥α,l⊥m，则m∥α或m α, 又因为m 平面β，故有α∥β或α∩β=m.
而平面ABCD⊥平面DCC1D1，所以
BN⊥平面DCC1D1.
又可证得，O是NN1的中点，所以BM∥ON且BM=ON，即四边形
BMON是平行四边形， 所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC1D1D.
因为OM 平面DMC1，
所以平面DMC1⊥平面CC1D1D.