第二章分解因式

第二章因式分解
知识要点分布：
1. 分解因式的定义
2. 分解因式与整式除法
3. 因式分解应注意的事项：
⑴提公因式法分解因式的依据是惩罚对加法的分配律（逆运算），公因式中的系数是各项系数的最大公约数，同一字母或因式的指数取各项中指数最低的。

⑵每一个多项式因式都必须分解到不能再分解为止。

⑶因式分解的结果必须是几个整式的积德形式。

⑷因式分解的结果中相同因式地积应写成幂的形式，单项式应写在多项式因式的前面。

4. 用提公因式分解因式
⑴定义：
⑵提公因式的依据：逆用乘法分配律。

⑶找一个多项式的公因式：
⑷提取公因式后余下的因式的确定：余下的因式应是多项式除以公因式后的商式。

5. 运用公式法分解因式：
⑴定义：利用分解因式与整式乘法的互逆关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

⑵乘法公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，多项式，同样，因式分解公式中的字母也可以表示数，单项式或多项式。

只要符合公式的结构特点，就可以运用公式法分解因式。

⑶平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)适用于分解的多项式是二项式且是平方差的形式。

特点：①左边是二项式，两项都可以写成平方的形式，并且符号相反。

②右边是两个数的和与这两个数的差的积，而且被减数是左边平方项为正的那个数。

⑷完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2; a2-2ab+b2=(a−b)2;适用于分解的多项式是三项式并且是完全平方式。

特点：①左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的完全平方，这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可；（符合完全平方公式左边特点的三项式，形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称谓完全平方式。

②右边是两个数（或两个式子）的和（或者差）的平方。

当中间的乘积项与首末两项的符号相同时，是和的平方；当中间的乘积与首末两项的符号相反时，是差的平方。

6. 综合运用提公因式法，公式法两种方法分解因式。

顺序是：先看多项式是否有公因式，再看多项式是几项式，如果是二项式，现考虑是否是平方差公式；如果是三项式，考虑是否符合完全平方公式。

简称：一提二公三查。

考试题型：
1. 分解因式与某些相关证明题
1）证明：对于任意正整数n,（n+7）2
-(n−5)2都能被24整除
2）已知：a2+b2=1, x2+y2=1, 求证：(ax+by)2+(bx−ay)2=1
2. 分解因式的技巧与应用1)计算下列各题
① (1-1
22)(1-1
32
)(1-1
42
)…(1-1
20002
)(1-1
20012
)
②1002
(992 +198+1)2
2) ①当 x=0.99, y=1.03时，求xy+1-x-y的值
②若a(a-1)-(a2-b)= -2, 求：a 2 + b2
2
–ab的值
3. 考察分解因式与其他相关知识结合的问题
1）多项式9x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是___________________(填上一个你认为正确的即可)
2）一个矩形的面积a3 _2a2+a, 宽为 a,则矩形的长为_____________
3) 已知三条线段长分别为a,b,c,且满足a>b, a2+c2<b2+2ac, 则以a,b,c为边是否构成三角形？并说明理由。

4）老师在黑板上写出三个算式：52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27，王华接着又写出两个具有同样规律的算式：112-52=8×12，152-72=8×22……
①请你再写出两个（不同于上面的算式）具有上述规律的算式；
②用文字写出反映上述算式的规律；③证明这个规律的正确性。

近三年中考题：
1. 若|m-1|+(n−5)2=0, 则m=______, n=________,此时将m x2-ny2=___________
2.如图（1）边长为a,b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+a b2的值为___________
3.因式分解：(a+b)2+4(a−b)2-4(a2-b2)
4. 使用简便方法计算 : (1-1
22)(1-1
32
)(1-1
42
)…(1-1
992
)(1-1
1002
)
5. 分解因式：2a2-2ab =_________________________
6. 分解因式：a3-a=__________________________
7. 分解因式：x2-16=_____________________
8. 分解因式：2m2-8n2=______________________
9. 分解因式： x y2 -2xy+x=___________________
10. 分解因式：2x2-18=______________________
11. 分解因式：a2-9=___________________
12. 分解因式：x2-3x=__________________
13. 分解因式：b2-4=__________________
14. 分解因式：x3-6x2+9x=____________________
15. 在实数范围内分解因式：4m2+8m-4=___________________
16. 分解因式：a3+a2=_______________________
17. 分解因式：a x2_4ax+4a=__________________
18. 给出三个多项式1
2x2+x-1, 1
2
x2+3x+1,1
2
x2-x,请你选择其中两个进行加法运算，并把结
果分解因式。

19. 求证：相邻两个自然数的平方差等于这两个数的和。

20. 已知a2+b2+c2-ab-bc-ac=0, 求证: a=b=c
21.下列多项式从左到右的变形是分解因式的是（）
A）(1+3x)(1-3x)=1-9x2 B) 9x2-6x+1=(3x−1)2
C) 2x2-6xy+1=2x(x-3y)+1 D) ax-ay+bx+by=x(a+b)-y(a-b)
22.计算：(−1
2)199+(−1
2
)200的结果是____________________
23.若将2x n -81分解为(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n=________________________
A) 1 B) 2 c) 3 D) 4
24. 分解因式x2-y2-4x+4=_______________________
25. 分解因式：x3 -x y2 =_________________________
26. 把代数式x y2-9x分解因式的结果正确的是（）
A）x(x2-9) B) x(y+3)2 C) x(y+3)(y-3) D)x(y+9)(y-9)
27. 已知a+b=13, ab=40, 则a b2+a2b的值___________________
28. 已知y=2，请你说明无论x取何值，代数式(3x+5y)2-2(3x+5y)(3x-5y)+(3x−5y)2的值不变。

29. 已知2a-b=3，则-8a2+8ab-2b2的值为（）
A）16 B) -16 C) 18 D) -18
30. 分解因式 -3a n−1+12a n-12a n+1 (n>1的正整数)，结果正确的是（）
A）3a n−1(2a−1)2 B) -3a n−1(2a−1)2
C) 12a(1+a) D) -12a(1+a)
31. 化简求值：已知x-3y=2007, 求：（-2x3+12x2y-18x y2）÷x的值
32. 利用因式分解计算：
1）5722×1
4 -4282×1
4
2）121×0.13+12.1×0.9-1.21×12
33. 如图所示,立方体的每个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为a,b,c，则a2+b2+c2-ab-ac-bc的值为____________。