2016-2017学年浙江省嘉兴市高三上学期期末数学试卷含答案

2016-2017学年浙江省嘉兴市高三上学期数学期末试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）若复数z=（i是虚数单位）是实数，则实数m=（）A．1B．2C．D．2．（4分）若a∈R，则“a＞0”是“a+≥2”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件3．（4分）已知直线a，b和平面α，则下列命题正确的是（）A．若a∥b，b∥α，则a∥αB．a⊥b，b⊥α，则a∥αC．若a∥b，b⊥α，则a⊥αD．若a⊥b，b∥α，则a⊥α4．（4分）设数列{a n}是等差数列，且a2=﹣2，a8=6，数列{a n}的前n项和为S n，则S9=（）A．27B．18C．20D．95．（4分）sin，cos，tan的大小关系为（）A．sin＜cos＜tan B．cos＜sin＜tanC．sin＜tan＜cos D．tan＜sin＜cos6．（4分）已知任意两个向量，不共线，若=+，=+2，=2﹣，=﹣，则下列结论正确的是（）A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线7．（4分）下列函数中既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递增的是（）A．f（x）=x B．f（x）=sin（2x+）C．f（x）=3﹣x﹣3x D．f（x）=x+tanx8．（4分）若a0+a1（2x﹣1）+a2（2x﹣1）2+a3（2x﹣1）3+a4（2x﹣1）4+a5（2x﹣1）5=x5，则a2=（）A．B．C．D．9．（4分）如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，若以A，B为焦点的双曲线的渐近线经过点C，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（4分）已知a、b、c∈R，a＞b＞c，a+b+c=0，若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=2x+y（）A．有最大值，无最小值B．无最大值，有最小值C．有最大值，有最小值D．无最大值，无最小值二、填空题（共7小题，多空题6分，单空题4分，满分36分）11．（6分）已知集合M={x||x﹣1|≤2}，N={x|2x＞1}，则M∩N=，M ∪∁R N=．12．（6分）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则此三棱锥的体积是cm3，表面积是cm2．13．（6分）已知α、β都是锐角，cosα=，cos（α+β）=﹣，则tanα=，cosβ=．14．（6分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则恰好选到2名男生和1名女生的概率为，所选3人中至少有1名女生的概率为．15．（4分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的两焦点为F1，F2，A，B分别是椭圆的左顶点和上顶点，若线段AB上存在点P，使PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围为．16．（4分）设a＞1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程log a x+log a y=3，这时a的取值集合为．17．（4分）如图，已知E，F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点，现将正方形沿EF折成60°的二面角，则异面角直线AE与BF所成角的余弦值是．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且=．（1）求角A的大小；（2）若a=，b=2c，求△ABC的面积．19．（15分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n•a n，S n=b1+b2+…+b n，求使S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．20．（15分）如图，平面ABE⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，∠CBA=90°，AD∥BC∥EF，△ABE为等边三角形，AB=2，BC=2，AD=4，EF=3（Ⅰ）求证：平面CDF⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线AF与平面CDF所成角的正切值．21．（15分）已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）求F点坐标；（Ⅱ）试问在x轴上是否存在一点T（不与F重合），使∠ATF=∠BTF？若存在，求出T点坐标；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）若P是抛物线上异于A，B的任意一点，l1是抛物线的准线，直线PA、PB 分别交l1于点M、N，求证：•为定值，并求出该定值．22．（15分）已知函数f（x）=x﹣lnx，g（x）=．（1）求f（x）的最小值；（2）求证：f（x）＞g（x）；（3）若f（x）+ax+b≥0，求的最小值．2016-2017学年浙江省嘉兴市高三上学期数学期末试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）若复数z=（i是虚数单位）是实数，则实数m=（）A．1B．2C．D．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由已知条件得虚部等于0，求解即可得答案．【解答】解：z===，∵复数z=（i是虚数单位）是实数，∴，即m=1．故选：A．2．（4分）若a∈R，则“a＞0”是“a+≥2”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【分析】根据基本不等式的性质以及充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：若a＞0，则a+≥2=2，当且仅当a=1时“=”成立，a＜0时，a+≤﹣2=﹣2，当且仅当a=﹣1时“=”成立，故若a∈R，则“a＞0”是“a+≥2”的充分必要条件，故选：C．3．（4分）已知直线a，b和平面α，则下列命题正确的是（）A．若a∥b，b∥α，则a∥αB．a⊥b，b⊥α，则a∥αC．若a∥b，b⊥α，则a⊥αD．若a⊥b，b∥α，则a⊥α【分析】利用空间线面平行与垂直的判定及其性质即可判断出正误．【解答】解：A．a∥b，b∥α，则a∥α或a⊂α，因此不正确；B．a⊥b，b⊥α，则a∥α或a⊂α，因此不正确；C．a∥b，b⊥α，则a⊥α，正确；D．a⊥b，b∥α，则a⊥α，a∥α，或相交，因此不正确．故选：C．4．（4分）设数列{a n}是等差数列，且a2=﹣2，a8=6，数列{a n}的前n项和为S n，则S9=（）A．27B．18C．20D．9【分析】由等差数列的性质可得：a2+a8=a1+a9，再利用求和公式即可得出．【解答】解：由等差数列的性质可得：a2+a8=a1+a9，∴S9==9×=18．故选：B．5．（4分）sin，cos，tan的大小关系为（）A．sin＜cos＜tan B．cos＜sin＜tanC．sin＜tan＜cos D．tan＜sin＜cos【分析】根据∈（，），利用三角函数的单调性与特殊值，判断sin，cos，tan的大小关系．【解答】解：∵1∈（，），∴∈（，），∴0＜sin＜1，＜cos ＜1，∴0＜sin＜tan=＜cos＜1，故选：C．6．（4分）已知任意两个向量，不共线，若=+，=+2，=2﹣，=﹣，则下列结论正确的是（）A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线【分析】利用向量共线，且有公共点，证明三点共线，对选项逐一判定即可．【解答】解：，，，和共线，且有公共点，所以A，B，D三点共线．故选：B．7．（4分）下列函数中既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递增的是（）A．f（x）=x B．f（x）=sin（2x+）C．f（x）=3﹣x﹣3x D．f（x）=x+tanx【分析】根据函数的单调性和奇偶性，判断答案即可．【解答】解：对于A：f（x）=，x＞0，不是奇函数，故A错误；对于B：f（x）=cos2x，是偶函数，故B错误；对于C：f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，在[﹣1，1]递减，不合题意，故C错误；对于D：f（x）=x+tanx是奇函数，在[1，1]递增，符合题意，故D正确；故选：D．8．（4分）若a0+a1（2x﹣1）+a2（2x﹣1）2+a3（2x﹣1）3+a4（2x﹣1）4+a5（2x ﹣1）5=x5，则a2=（）A．B．C．D．【分析】把二项式变形为a0+a1（2x﹣1）+a2（2x﹣1）2+a3（2x﹣1）3+a4（2x﹣1）4+a（2x﹣1）5=x5=，利用展开式的通项公式即可求出对应项5的系数．【解答】解：令a0+a1（2x﹣1）+a2（2x﹣1）2+a3（2x﹣1）3+a4（2x﹣1）4+a5（2x﹣1）5=x5=，其展开式的通项公式为T r=••（2x﹣1）r，+1令r=2，得a2=×=．故选：C．9．（4分）如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，若以A，B为焦点的双曲线的渐近线经过点C，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设AB=BC=2，取AB的中点为O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC，由余弦定理可得OC，cos∠COB，求得tan∠COB，即为渐近线的斜率，由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到．【解答】解：设AB=BC=2，取AB的中点为O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC，在三角形OBC中，cosB=﹣，∴OC2=OB2+BC2﹣2OB•BC•cosB=1+4﹣2×1×2×（﹣）=7，∴OC=，则cos∠COB==，可得sin∠COB==，tan∠COB==，可得双曲线的渐近线的斜率为，不妨设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），渐近线方程为y=±x，可得=，可得e=====．故选：D．10．（4分）已知a、b、c∈R，a＞b＞c，a+b+c=0，若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=2x+y（）A．有最大值，无最小值B．无最大值，有最小值C．有最大值，有最小值D．无最大值，无最小值【分析】判断直线bx+ay+c=0由y轴的交点位置，画出可行域，即可判断目标函数的最值情况．【解答】解：a、b、c∈R，a＞b＞c，a+b+c=0，可得bx+ay+c=0，在y轴上的截距为正，并且﹣＜2．由实数x，y满足不等式组，的可行域如图：可知目标函数z=2x+y，一定存在最大值和最小值．故选：C．二、填空题（共7小题，多空题6分，单空题4分，满分36分）11．（6分）已知集合M={x||x﹣1|≤2}，N={x|2x＞1}，则M∩N={x|0＜x≤3} ，M∪∁R N={x|x≤3} ．【分析】求出M与N中不等式的解集分别确定出M，求出M与N的交集，找出M与N补集的并集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：﹣2≤x﹣1≤2，解得：﹣1≤x≤3，即M={x|﹣1≤x≤3}，由N中不等式变形得：2x＞1=20，解得：x＞0，即N={x|x＞0}，∴∁R N={x|x≤0}，则M∩N={x|0＜x≤3}，M∪∁R N={x|x≤3}，故答案为：{x|0＜x≤3}；{x|x≤3}12．（6分）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则此三棱锥的体积是2cm3，表面积是5+3+cm2．【分析】根据已知画出几何体的直观图，进而代入锥体体积和表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中三视图，可得几何体的直观图如下图所示：底面三角形ABC的面积为：×2×2=2cm2，高h=3cm，故棱锥的体积V=Sh=2cm3，侧面三角形VAB的面积为：×2×3=3cm2，侧面三角形VAC的面积为：××3=3cm2，侧面三角形VBC的面积为：×2×=cm2，故表面积S=（5+3+）cm2，故答案为：2，5+3+13．（6分）已知α、β都是锐角，cosα=，cos（α+β）=﹣，则tanα=4，cosβ=．【分析】利用同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵α、β都是锐角，cosα=，cos（α+β）=﹣，∴sinα==，sin（α+β）==，则tanα==4．cosβ=co s[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣•+•==，故答案为：4；．14．（6分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则恰好选到2名男生和1名女生的概率为，所选3人中至少有1名女生的概率为．【分析】先求出基本事件总数n=，再求出恰好选到2名男生和1名女生包含的基本事件个数m=，由此能求出恰好选到2名男生和1名女生的概率；所选3人中至少有1名女生的对立事件是选到的3人都是男生，由此利用对立事件概率计算公式能求出所选3人中至少有1名女生的概率．【解答】解：从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，基本事件总数n==20，恰好选到2名男生和1名女生包含的基本事件个数m==12，∴恰好选到2名男生和1名女生的概率p1=．∵所选3人中至少有1名女生的对立事件是选到的3人都是男生，∴所选3人中至少有1名女生的概率p=1﹣=．故答案为：，．15．（4分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的两焦点为F1，F2，A，B分别是椭圆的左顶点和上顶点，若线段AB上存在点P，使PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围为．【分析】依题意，作图如下：A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AB的方程为：bx﹣ay+ab=0，设直线AB上的点P（x，y），则bx=ay﹣ab，由PF1⊥PF2，=x2+y2﹣c2=+y2﹣c2=f（y），令f′（y）=2+2y=0，解得：y=，x=﹣，满足=0，解得e=，为最小值．当点P取B时，b=c，e=取得最大值．即可得出．【解答】解：依题意，作图如下：∵A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），∴直线AB的方程为：+=1．整理得：bx﹣ay+ab=0，设直线AB上的点P（x，y）则bx=ay﹣ab，∴x=y﹣a，∵PF1⊥PF2，∴=（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2=+y2﹣c2=f（y），令f′（y）=2+2y=0，∴由f′（y）=0得：y=，于是x=﹣，∴=﹣c2=0，整理可得：=c2，又b2=a2﹣c2，e2=，∴e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e=，为最小值．当点P取B时，b=c，e=．∴椭圆的离心率的取值范围为．故答案为：．16．（4分）设a＞1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程log a x+log a y=3，这时a的取值集合为[2，+∞）．【分析】先由方程log a x+log a y=3解出y，转化为函数的值域问题求解．【解答】解：易得在[a，2a]上单调递减，所以，故⇒a≥2，故答案为[2，+∞）17．（4分）如图，已知E，F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点，现将正方形沿EF折成60°的二面角，则异面角直线AE与BF所成角的余弦值是．【分析】连接BD，由AE∥DF，知∠DFB即为异面直线FB与AE所成角，由此能求出异面角直线AE与BF所成角的余弦值．【解答】解：如图，连接BD，∵AE∥DF，∴∠DFB即为异面直线FB与AE所成角设正方形ABCD的边长为2，则在△BDF中，DF=1，BF=，BD==，∴cos∠DFB===．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且=．（1）求角A的大小；（2）若a=，b=2c，求△ABC的面积．【分析】（1）由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣a2=﹣bc，再利用余弦定理求得cosA 的值，可得A的值．（2）由条件利用余弦定理求得c的值，可得△ABC的面积为bc•sinA 的值．【解答】解：（1）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且==，化简可得b2+c2﹣a2=﹣bc，∴cosA==﹣，∴A=．（2）∵△ABC中，a=，b=2c，∴a2=b2+c2﹣2bc•cosA=5c2﹣4c•（﹣）=7，∴c=1，∴△ABC的面积为bc•sinA=•2•=．19．（15分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n•a n，S n=b1+b2+…+b n，求使S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．【分析】（1）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，依题意，可得到关于a1与q的方程组，解之即可求得数列{a n}的通项公式；（2）（1）得a n=2n，再由b n=a n•a n，可得b n=﹣n•2n，于是S n=﹣（1×2+2×22+…+n•2n），利用错位相减法即可求得S n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1，解不等式S n+n•2P n+1P＞50即可求得使之成立的正整数n的最小值．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q．依题意，有2（a3+2）=a2+a4，代入a2+a3+a4=28，可得a3=8，∴a2+a4=20，…（2分）即，解之得或…（4分）又∵数列{a n}单调递增，所以q=2，a1=2，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．…（6分）（2）因为，所以S n=﹣（1×2+2×22+…+n•2n），2S n=﹣[1×22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1]，两式相减，得S n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1．…（10分）要使S n+n•2n+1＞50，即2n+1﹣2＞50，即2n+1＞52．易知：当n≤4时，2n+1≤25=32＜52；当n≥5时，2n+1≥26=64＞52．故使S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．…（12分）20．（15分）如图，平面ABE⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，∠CBA=90°，AD∥BC∥EF，△ABE为等边三角形，AB=2，BC=2，AD=4，EF=3（Ⅰ）求证：平面CDF⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线AF与平面CDF所成角的正切值．【分析】（Ⅰ）取AB，CD的中点H，G，连接GH，GF，EH，证明：四边形EFGH 是平行四边形，FG∥EH，EH⊥平面ABCD，可得FG⊥平面ABCD，即可证明平面CDF⊥平面ABCD；（Ⅱ）连接AG，证明∠AFG为直线AF与平面CDF所成角，即可求直线AF与平面CDF所成角的正切值．【解答】（Ⅰ）证明：如图所示，取AB，CD的中点H，G，连接GH，GF，EH，则HG∥AD∥BC∥EF，∵BC=2，AD=4，∴HG=3，∵EF=3，∴EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∴FG∥EH∵△ABE为等边三角形，∴EH⊥AB，∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD=AB，∴EH⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，∵FG⊂平面CDF，∴平面CDF⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：连接AG，由题意，可得CD=4，∠ADC=60°，∵AD=4，∴AG=2，∴AG⊥GD，∵平面CDF⊥平面ABCD，平面CDF∩平面ABCD=CD∴AG⊥平面CDF，∴∠AFG为直线AF与平面CDF所成角，∵AG=2，FG=3，∴tan∠AFG=，即直线AF与平面CDF所成角的正切值为．21．（15分）已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）求F点坐标；（Ⅱ）试问在x轴上是否存在一点T（不与F重合），使∠ATF=∠BTF？若存在，求出T点坐标；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）若P是抛物线上异于A，B的任意一点，l1是抛物线的准线，直线PA、PB 分别交l1于点M、N，求证：•为定值，并求出该定值．【分析】（Ⅰ）由抛物线方程知F（1，0）；（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+1，将抛物线C的方程y2=4x与直线l的方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理求得k AT+k BT，设点T（a，0）存在，由TA，TB与x轴所成的锐角相等可得k TA+k TB=0，利用韦达定理，即可求得a；（Ⅲ）求出M，N点横坐标，利用向量的数量积公式，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）抛物线方程知F（1，0）；（Ⅱ）设A（x 1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程为x=my+1（m≠0），代入y2=4x得y2﹣4my﹣4=0，△=16m2+16＞0恒成立，假设存在T（a，0）满足题意，则k AT+k BT==0∴﹣8m+4m（1﹣a）=0，∴a=﹣1，∴存在T（﹣1，0）；（Ⅲ）设P（x0，y0），则直线PA的方程为：y﹣y1=当x=﹣1时，y=，即M点纵坐标为y M=，同理可得N点纵坐标为y N=．∴y M y N=×=∴═y M y N+（﹣1）•（﹣1）=﹣3为定值22．（15分）已知函数f（x）=x﹣lnx，g（x）=．（1）求f（x）的最小值；（2）求证：f（x）＞g（x）；（3）若f（x）+ax+b≥0，求的最小值．【分析】（1）求出原函数的定义域，再求出原函数的导函数，由导函数大于0求得原函数的增区间，由导函数小于0求得原函数的减区间，从而得到函数的最小值；（2）由（1）求得函数f（x）的最小值，再由导数求得函数g（x）的最大值，则结论得证；（3）由f（x）+ax+b≥0分离变量b，利用导数可得b≥1﹣ln（a+1），则．设φ（a）=．求导求其最小值，则的最小值可求．【解答】（1）解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=1﹣=，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＞0，解得：x＞1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴f（x）的最小值是f（1）=1；（2）证明：g（x）=，g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令g′（x）＜0，解得：x＞e，故g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，故g（x）max=g（e）=，由（1）f（x）min=f（1）=1＞g（e）=，故f（x）＞g（x）；（3）解：f（x）+ax+b≥0，即x﹣lnx+ax+b≥0．∴b≥lnx﹣ax﹣x，令h（x）=lnx﹣ax﹣x，h′（x）==，若a+1≤0，则h′（x）＞0，h（x）为增函数，无最大值；若a+1＞0，由h′（x）＞0，得0＜x＜，由h′（x）＜0，得x＞，∴h（x）在（0，）上为增函数，在（）上为减函数，∴h（x）≤h（）=﹣1﹣ln（a+1）．∴b≥﹣1﹣ln（a+1），∴．设φ（a）=．则φ′（a）=，由φ′（a）＞0，得a＞e﹣1；由φ′（a）＜0，得﹣1＜a＜e﹣1．∴φ（a）≥φ（e﹣1）=．∴的最小值为．。