复变函数大纲
数学与应用数学专业《复变函数》教学大纲
数学与应用数学专业《复变函数》教学大纲课程编码()课程总学时：54 学分：3一、课程说明1．课程性质《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程，是数学分析的后续课程。
本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数。
复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。
因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也非常类似。
复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。
早在19世纪，Cauchy、Weierstrass及Riemann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。
复变函数论作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。
复变函数论作为一门学科，有其自身的特点，有其特有的研究方法。
在学习过程中，应注意将所学的知识融汇贯通，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它自身所固有的理论和方法。
2．课程教学目标与要求（1）通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些相关理论和实际问题的能力。
为进一步学习其他课程，并为将来从事教学，科研及其他实际工作打好基础。
（2）通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，逐步提高学生的数学修养。
同时注意扩展学生的学习思路，使他们了解更多的和现代生活息息相关的数学应用知识。
（3）作为师范专业，在有关内容方面注重高等数学对初等数学的提高和指导意义，使学生在今后的工作中有较高的起点。
3．选用教材与参考书目选用教材：《复变函数论》（第三版），钟玉泉，高等教育出版社，2003年。
参考书目：《复变函数》（第二版），余家荣，高等教育出版社，1992年。
《多复变函数》[美]那托西姆汉著，科学出版社。
《解析函数边值问题》路见可著，上海科技出版社。
《解析函数的边界性质》[苏]N.普里瓦洛夫著，科学出版社。
复变函数复习提纲
复变函数复习提纲一、复数及复平面上的运算1.复数的定义和基本性质2.复数的表示形式：直角坐标形式和极坐标形式3.复数的加法和减法4.复数的乘法和除法5.复数的共轭、模和幅角二、复变函数的定义1.复变函数的定义和常见符号表示2.复变函数的实部和虚部3.复变函数的可导性和全纯性4.复变函数的解析函数和全纯函数5.复变函数与实变函数的区别三、复变函数的基本运算1.复变函数的和、差、积、商的性质2.复变函数的乘方和开方3.复变函数的复合函数和反函数4.复变函数的三角、指数和对数函数5.基本初等函数的推广四、复变函数的级数展开1.复变函数的幂级数展开2.零点的意义和展开中的唯一性3.幂级数的敛散性和收敛半径4.幂级数的和函数和导函数5.复变函数的泰勒级数展开和洛朗级数展开五、复变函数的积分1.复变函数的定积分和不定积分2.瑕积分和主值积分的定义3.复变函数的原函数和柯西-黎曼积分定理4.瑕积分和主值积分的计算方法5.狄利克雷定理和焦函数的应用六、解析函数的应用1.几何转化和连续映射2.物理应用：流体流动和电场问题3.工程应用：电阻网络和热传导问题4.统计应用：随机过程和随机变量5.数学应用：多复变数函数和复变函数的边界性质七、复变函数的解析延拓1.裂点和分岔点的概念和性质2.加点后的解析延拓和解析延拓的唯一性3.互补法和不动点法的应用4.点列内闭包性质和整函数性质的判别5.亚纯函数和亚纯函数的零点性质八、复变函数的几何应用1.复变函数的映射和对应关系2.线性变换和保持角度的特殊变换3.保形映射和自共轭函数的性质4.圆盘映射和单位圆盘函数5.黎曼映射和分式线性变换的应用九、复变函数的调和函数1.调和方程和调和函数的概念2.调和函数的基本性质和解析条件3.核函数和调和函数的唯一性4.调和函数的积分表示和傅里叶展开5.调和函数的应用：电势和温度分布以上是复变函数的复习提纲，包括了复数及复平面上的运算、复变函数的定义、复变函数的基本运算、复变函数的级数展开、复变函数的积分、解析函数的应用、复变函数的解析延拓、复变函数的几何应用和复变函数的调和函数等内容。
复变函数与积分变换复习提纲
复变函数复习提纲(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：两个复数不能比较大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下：当0,x >arg arctan yz x =；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二)复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z eθθ==,则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nnin z z n i n z eθθθ=+=。
2）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭ （有n 个相异的值）（三）复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射.2．复初等函数1）指数函数：()cos sin zxe ey i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z z e e '=。
《复变函数》课程简介及教学大纲
《复变函数》课程简介及教学大纲课程代码：112000091课程名称：复变函数/Function of a Complex Variable课程类别：公共基础课总学时/学分：48/3开课学期：第三或四学期适用对象：非数学专业本科生先修课程：高等数学内容简介：本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共性映射等内容。
一、课程性质、目的和任务本课程是理工科学生继高等数学后的又一门数学基础课。
本课程主要讲授复变函数的基本理论和方法。
通过本课程的学习，学生不仅能够学到复变函数的基本理论和数学物理及工程技术中常用的数学方法，同时还可以巩固和复习高等数学的基础知识，提高数学素养，为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力等方面起着特殊重要的作用。
二、课程教学内容及要求本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共性映射共六章。
第1章复数与复变函数主要内容：1复数的概念、运算及几何表示。
2 复平面上区域、曲线的概念及它们的复数表示。
3 复变函数、映射的概念及其复变函数的极限与连续性。
基本要求：1熟悉复数概念及各种几何表示。
2掌握复数的四则运算、乘幂方根共轭等运算并能简单应用。
3了解复平面上区域、曲线的概念，掌握用复数表示它们的方法。
4 了解复变函数与实二元函数的关系及复变函数的极限与连续性，熟悉复变函数极限与连续性的运算法则及性质，熟悉复变函数与实变函数的极限与连续性之间的联系与区别。
重点：复数的运算及各种几何表示法，复变函数及映射概念。
难点：用复数方法表示平面区域、曲线。
第2章解析函数主要内容：1 复变函数的导数及解析函数的概念。
2 复变函数可导与解析的充要条件，柯西-黎曼方程及解析函数的性质。
3 初等函数。
基本要求：1 理解复变函数的导数及解析函数的概念，掌握复变函数连续、可导、解析之间的关系及求导法则。
复变函数教学大纲
复变函数教学大纲课程名称：复变函数课程编码：英文名称：ComplexAnalysis学时：48学分：3适用专业：信息与计算科学课程类别：任选课程性质：学科基础课先修课程：数学分析高等代数空间解析几何教材：复变函数论钟玉泉第三版高等教育出版社一、课程性质与任务复变函数论是一门古老而富有生命力的学科;早在19世纪,Cauchy、Weierstrass及Riemann等人就已经给这门学科奠定了坚实的基础;复变函数论不但是我们所学数学分析的理论推广,而且作为一种强有力的工具,它不仅在数学学科众多分支如微分方程、计算数学、解析数论、微分几何、拓扑学、泛函分析…有着广泛应用,而且还被广泛的应用于自然科学的众多领域,如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等,目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域;复变函数论课程是信息与计算科学专业的一门重要必修基础课;开设本课程,主要是使学生在学习与掌握复变函数的基本理论与方法的基础上,一方面对于学生建立良好的数学基础及学习其它课程有所帮助,另一方面,使学生具备一定的分析问题、解决实际问题的能力;二、课程教学的基本要求复变函数论作为一门学科,有其自身的特点和研究方法与研究工具,在学习过程中,应注意与微积分理论的比较,从而加深理解,同时也须注意复变函数本身的特点,并掌握它自身所固有的理论和方法,抓住要点,融会贯通;本课程主要包括：复数与复变函数、解析函数——柯西黎曼定理、复变函数的积分——柯西定理、柯西积分公式与高阶导数公式、级数——泰勒级数与洛朗级数、应用留数计算及其应用;教学要求层次：有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解、理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求;在复变函数论的学习过程中,使学生逐步提高数学修养,掌握数学研究的基本思想方法,最终使学生的数学思维能力得到根本的提高,同时极大的扩展学生的学习思路,使他们了解更多的应用知识,特别是和现代生活息息相关的数学应用知识;三、课程内容及教学要求第一章复数与复变函数教学基本内容：1.复数发展史略；2.复数定义及运算：复数的定义、相等及运算,复数的代数式,复数的模与辐角,共轭复数；3.复平面与复球面：复平面,复数的向量式、三角式与指数式,复数的乘幂与n次方根,无穷远点与复球面；4.复数的应用举例；5.平面点集：邻域,聚点,孤立点,内点,外点,边界点,边界,开集,闭集,有界集,曲线连续曲线,简单曲线,简单闭曲线,光滑曲线,逐段光滑曲线,区域,闭区域,单连通区域,复连通区域,几个重要定理闭矩形套定理,有限覆盖定理,聚点原理,无穷远点的邻域；6.复变函数,极限,连续：复变函数单值函数,多值函数,单叶函数,反函数,无界函数,极限,有界数列,无界数列,几个定理柯西收敛准则等,复变函数的连续性,复变函数连续性与其实部和虚部连续性的关系;重点：1．复数及其运算；2．复平面,复数的模与辐角；3．复平面上的点集,区域；4．无穷远点与扩充复平面；5．复变数函数,极限与连续概念;难点：复数的球面表示及无穷远点的概念的理解;本章节主要教学要求：了解复数定义及其几何意义,熟练掌握复数的运算；知道无穷远点邻域；了解单连通区域与复连通区域；理解复变函数、极限与连续;第二章解析函数教学基本内容：1．复变函数的导数定义；2．解析函数的概念及基本性质；3．解析函数的求导公式与求导法则；4．柯西－黎曼条件.条件；5．指数函数；6．多值函数导引：辐角函数；7、对数函数；8．幂函数；9．三角函数;重点：1.解析函数定义；2.解析函数的充分必要条件及柯西－黎曼条件所揭示的解析函数的特征；3．初等函数概念与性质;难点：1．已知解析函数的实部或虚部,求该解析函数、支点;本章节主要教学要求：复变函数的概念,能把复变函数理解为两个复平面集合间的映射,能把一个复变函数看成两个实的二元函数；能精确的叙述复变函数的极限概念,并直观的理解起意义；掌握复变函数的连续性概念和基本性质；理解复变函数可导与解析的概念,弄清这两个概念之间的关系；熟练掌握解析函数的.条件；能运用.条件判定函数的解析性；熟练掌握和运用解析函数的求导与求导公式；熟练掌握指数函数、幂函数、三角函数的定义、基本性质和简单映射性质,并会运用欧拉公式和复数的指数表示；掌握各初等多值函数的定义和基本性质,了解其多值性;第三章复变函数积分教学基本内容：1．复变函数积分的定义及基本性质；2．单连通区域内的柯西积分定理；3．不定积分概念；4．多连通区域内的柯西积分定理；5．柯西积分公式,高阶导数公式；6．平均值公式,最大模原理；7．柯西不等式,刘维尔定理,代数基本定理的证明,摩勒拉定理; 重点：1．柯西积分定理；2．柯西积分公式；3．高阶导数公式;难点：1．计算非解析函数沿积分路径为非闭曲线的积分;本章节主要教学要求：掌握复变函数沿一条逐段光滑曲线积分的定义,基本性质和计算方法,及其与实函数积分的关系；熟练掌握柯西积分定理,能证明柯西积分定理；理解解析函数在单连通区域内的不定积分概念；熟练掌握和运用柯西积公式与高阶导数公式；掌握柯西不等式、刘维尔定理、最大模原理,并能应用它们做一些较简单的证明题,了解摩勒拉定理;第四章解析函数的幂级数表示法数学基本内容：1．复数项级数、序列,柯西收敛准则；2．复函数项级数,一致收敛及其判别准则,维尔斯特拉斯定理；3．幂级数的收敛圆,收敛半径公式,幂级数在收敛圆内表示解析函数；4．解析函数在一点邻域内展开成泰勒级数,展开式的唯一性、系数公式,初等函数的泰勒展开；5．解析函数零点的孤立性,唯一性定理;重点：1.幂级数的收敛圆及收敛半径的求法；2.将函数在一点展成幂级数的方法；3.解析函数的唯一性定理;难点：1．利用级数乘法将函数在指定点展成泰勒级数;本章节主要教学要求：理解复数项级数的基本概念,掌握一致收敛性的判别法；掌握幂级数的基本性质和求收敛半径的公式,理解幂级数在收敛圆内的内闭一致收敛性与所定义函数的解析性；牢记e z,In1+z,sinz,cosz和1+z a的幂级数展开式,并能熟练的运用；掌握解析函数零点的孤立性定理和唯一的定理;第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点教学基本内容：1．洛朗级数的定理与收敛域,内闭一致收敛性,所定义函数的解析性；2．解析函数洛朗展开式的系数公式、收敛域；3．解析函数的孤立奇点包括无穷远点的分类,三类奇点的特征与性质；4．整函数与亚纯函数的概念;重点：1.将函数展成洛朗级数的方法；2.识别孤立奇点类别的方法；3.解析函数在其孤立奇点的去心邻域内的性质;难点：1.孤立奇点类别的识别；2.将在其孤立奇点展成洛朗级数;本章节主要教学要求：理解洛朗级数的概念,会求出一些简单的洛朗级数的收敛域；能熟练的求出一些较简单函数的洛朗展开式；掌握解析函数奇点的三种类型及其特征与性质,了解解析函数在无穷远点的性质；了解整函数与亚纯函数的概念;第六章留数理论及其应用教学基本内容：1．留数的定义及计算方式,在无穷远点的留数；2．留数定理；3．利用留数定理计算实积分；重点：1.计算留数的方法；2.留数基本定理;难点：1．函数在无穷远点处留数的计算;本章节主要教学要求：理解留数的定义；熟练掌握计算留数的方法；理解留数基本定理,会用留数理论计算积分；知道利用留数定理计算实积分的一般方法,并能计算常见的三种类型的实积分;三、课程学时分配五、课程习题要求每章根据学生学习情况,留有一定数量的思考题供学生课后复习,巩固课堂教学效果,并进行讲评;六、考核方式以期末闭卷考试成绩为主,参考课堂提问、课堂讨论、实验、平时作业及出勤情况等,综合评定给出成绩;七、课程的主要参考书1、复变函数论钟玉泉编高等教育出版社2、复变函数余家荣编人民教育出版社3、复变函数引论N·N·普里瓦洛夫着人民教育出版社。
复变函数复习考试提纲
• 复数的三角（指数）表示以及复数的几何意义
z = x + iy = r (cos θ + i sin θ) = reiθ θ = Argz = arg z + 2kπ, k = 0, ±1, ±2, . . .
y
y
z
r
.θ O
xx
• 复数辐角主值的取值范围：−π < θ0 ≤ π. 辐角主值的计算方法（采用在复平面作图的 办法确定辐角的取值）。
复变函数复习考试提纲
I 知识要点
第一章 复数及平面区域
• 必备知识：复数的定义，实部、虚部。共轭复数，复平面，复数对应的向量及其模，复 数的四则运算。
• 欧拉公式 由此可得 以及
eiθ = cos θ + i sin θ
cos θ
=
eiθ
+ e−iθ ,
sin θ = eiθ − e−iθ
2
2i
ei2kπ ≡ 1, k ∈ Z
• 留数基本定理 设 D 是由复围线 L 围成的区域，函数 f (z) 在 D¯ 上连续，f (z) 在 D
内除去有限个孤立奇点 z1, z2, . . . , zn 外处处解析，则
∮
∑n
f (z)dz = 2πi Res(f, zk)
L
k=1
如果积分路径内各孤立奇点的留数都能求出，则立即可求出 f (z) 的路径积分。
2
2i
第四章 复变函数的积分
• 由于复数是二元变量，关于复变函数的积分就成为平面曲线的曲线积分。
∫
∫
∫
∫
f (z)dz = [u(x, y) + iv(x, y)] d (x + iy) = [udx − vdy] + i [vdx + udy]
《复变函数》复习大纲及例题
《复变函数》复习大纲及例题1.复数的简单加减乘除运算、共轭复数、模2.复数的三角表示式、指数表示式例：1-=；例：23i +=.3.复数的对数或乘幂运算例：对数()1Ln -+的主值为；i i 的主值为.4.幂级数的收敛半径例：幂级数n n ∞=的收敛半径为3.5.复数的幂或方根运算例5-1：求()131i -的值.解：例5-2：求)55i 的值.解：)56556322ieie ππ--⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭=.6—9.灵活运用柯西-古萨基本定理、复合闭路定理、柯西积分公式、高阶求导公式、留数定理、留数的规则I、II、III求积分6.柯西-古萨基本定理例6-1沿指定曲线的正向计算积分：2cos ,:1Czzdz C z =⎰ .解：()2cos f z z z =在复平面内处处解析，由柯西—古萨基本定理可知2cos 0Cz zdz =⎰ .56552cos sin266i i e πππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭3arctan 233cos arctan sin arctan 22i i e⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 5ln 26i π+2eπ-()11136432244cos sin ,0,1,2.3312k k i k i e πππππ-⎡⎤-+-+⎫⎢⎥+=⎪⎢⎥⎪⎭⎢⎥⎣⎦-==7.柯西积分公式（或留数定理、规则）例7-1沿指定曲线的正向计算积分：12,:322C dz C z z z i ⎛⎫+= ⎪+-⎝⎭⎰ .解：1211222262222C C Cdz dz dz i i i z z i z z i πππ⎛⎫+=+=+⋅=⎪+-+-⎝⎭⎰⎰⎰ 例7-2沿指定曲线的正向计算积分：,:212zCe dz C z z -=-⎰.解：法1（柯西积分公式）()22222zz z Ce dz i e e iz ππ==⋅=-⎰法2（留数定理）2z =是函数()2ze f z z =-的一级极点，则()()22Re ,2lim 22z z e s f z z e z →=-=⎡⎤⎣⎦-，由留数定理得()22Re ,222z Ce dz i sf z e i z ππ=⋅=⎡⎤⎣⎦-⎰.8.高阶导数公式（或留数定理、规则）例8-1沿指定曲线的正向计算积分：5,:1zCe dz C z z =⎰ .解：法1（高阶导数公式）()()4050224!4!12z z z C e i i idz e e z πππ=⎡⎤=⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦⎰ .法2（留数定理）0z =是函数()5ze f z z =的五级极点，则()()455011Re ,0lim 4!24z z e s f z z z →⎛⎫=⋅=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，由留数定理得()52Re ,012z Ce i dz i sf z z ππ==⎡⎤⎣⎦⎰ .例8-2沿指定曲线的正向计算积分：()3sin ,:21Czdz C z z =-⎰ .解：法1（高阶导数公式）()()()231sin 2sin sin12!1z Czi dz z i z ππ=⎡⎤=⋅=-⎣⎦-⎰法2（留数定理）1z =是函数()()3sin 1zf z z =-的三级极点，则()()()()23311sin 1Re ,1lim 12!21z z s f z z z →⎛⎫=-⋅=-⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪-⎝⎭，由留数定理得()()3sin 2Re ,1sin11Czdz i s f z i z ππ==-⎡⎤⎣⎦-⎰ .9.复合闭路定理联合柯西积分公式（或留数定理、规则）例9-1沿指定曲线的正向计算积分：21,:32Cz dz C z z z+=-⎰.解：法1()()21121010111222Cz z z z z dz dz dzz zz z z z =-=+++=+---⎰⎰⎰()1102210101121122222z z z z z z z z z z dz dz i i i zz z z πππ===-=++-++⎡⎤⎡⎤=+=⋅+⋅=⎢⎢--⎣⎦⎣⎦⎰⎰.法2（留数定理）()()21122z z f z z z z z ++==--，0z =，2z =均为函数()f z 的一级极点，则()()011Re ,0lim 22z z s f z z z z →+=⋅=-⎡⎤⎣⎦-，()()()213Re ,2lim 222z z s f z z z z →+=-⋅=⎡⎤⎣⎦-，由留数定理得()()212Re ,02Re ,222Cz dz i s f z i s f z i z zπππ+=+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-⎰.例9-2沿指定曲线的正向计算积分：2,:21zCe dz C z z =-⎰.解：()()()()21111101011111zzzCz z e e e dz dz z z z z z +=-==+-+-+-⎰⎰⎰1111111101011221111zzz zz z z z e e e e z z dz dz i i ie ie z z z z ππππ-=-=+=-=⎡⎤⎡⎤-+=+=⋅+⋅=-⎢⎥⎢⎥+--+⎣⎦⎣⎦⎰⎰.（留数定理同样可解）10.参数法求函数积分例10-1计算积分()2Cx iy dz +⎰,其中C 为直线y x =上原点到1i +的直线段.解：设z x iy =+，则积分曲线的参数方程为()01x z x ix ≤≤=+，所以()()()()()()()1211000132211212222Cx x iy dz x ix i dx i i xdx i i i ⎛⎫+=++=++=++=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰例10-2计算积分Czdz ⎰,其中C 点i 到3i +的直线段.解：设z x iy =+，且点i 到3i +所在水平直线参数方程为()03x z x i ≤≤=+，则()()323009322C Cx zdz x i dz x i dx ix i ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰.11.原函数与不定积分例11-1计算积分：32iz ie dz ππ-⎰.解：()()333222112022ii iz z z i ii e dz e d z e ππππππ---===⎰⎰例11-2计算积分：1sin z zdz ⎰.解：()11110000sin cos cos cos sin1cos1z zdz zd z z z zdz ⎡⎤=-=--=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.12.函数可导、解析的充要条件例12-1函数()2iy f x x -=何处可导，何处解析.解：由题得()()2,,,x y x v x y y u ==-，则2,1,0,0xyyxx uvuv∂∂∂∂==-==∂∂∂∂，故当且仅当21x =-时柯西黎曼方程,xy yxuv uv∂∂∂∂==-∂∂∂∂，解得21x -=，所以函数()f x 在直线21x -=上可导，但处处不解析.13.将函数展开成洛朗级数例13-1将函数()13f z z=-在圆环域01z <<内展开成洛朗级数.解：()1113313f z z z ==⋅--，101,0133z z <<∴<<< ，由间接法展开得()100111333313nn n n n z z f z z ∞∞+==⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅==-∑∑.14.复数运算公式证明例13-1证明1212z z z z ⋅=⋅.证：设111222,z x iy z x iy =+=+，则()()()()12121212121122z z x x y y i x y y x x iy x iy ⋅=-++++=，()()1212121212z z x x y y i x y y x ∴⋅--+=.又()()()()11221212121212x iy x iy x x y y i x y y x z z --==--+⋅ ,1212z z z z ∴⋅=⋅，等式得证.。
(完整版)《复变函数》教学大纲.docx
《复变函数》教学大纲说明1．本大纲适用数学与应用数学本科教学2．学科性质：复变函数论是成人高等师范数学专业基础课程之一，它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。
复变函数论主要研究解析函数。
解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。
复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。
保形映照是复变函数几何理论的基本概念。
；留数理论和保形映照也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。
3．教学目的：复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。
复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。
4．教学基本要求：通过本课程的学习，要求学生达到：1．握基本概念和基本理论；2．熟练的引进基本计算（复数、判断可导性及解析性、复积分、函数的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求线性映照及简单映照等）；2．固和加深理解微积分学的有关知识。
5．教学时数分配：本课程共讲授 72 学时（包括习题课），学时分配如下表：教学时数分配表章节教学内容教学时数第一章复数与复变函数共计 8§ 1复数2§ 2复平面上的点集2§ 3复球面与无穷远点2§ 4复变函数2第二章解析函数共计 12§ 1解析函数的概念与C—R条件4§ 2初等解析函数4§ 3初等多值函数4第三章复变函数的积分共计 10§ 1复积分的概念及其简单性质2§ 2柯西定理4§ 3柯西积分公式及推论4第四章解析函数的幂级数表示共计 8§ 1复级数的基本性质2§ 2幂级数2§ 3解析函数的幂级数表示2§ 4解析函数零点的孤立性及唯一性定理2第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点共计 8§ 1解析函数的罗朗展式2§ 2解析函数的孤立奇点2§ 3解析函数在无穷远点的性质2§ 4整函数与亚纯函数2第六章留数理论及其应用共计 14§ 1留数计算及基本定理4§ 2用留数基本定理计算实积分6§ 3辐角原理及应用4第七章保形变换共计 12§ 1解析函数的映照性质及最大模原理4§ 2线性变换及其应用4§ 3初等函数所构成的保形变换4以上是二年制脱产数学本科的教学时数。
复变函数唐生强最新版复习提纲
1 1 1 1 z , cos z z 2i z 2 z
2. 形如
P( x) dx 的积分 Q( x)
解法：求出 R( z )
P( z ) 在上半平面的奇点 z1 , z2 , Q( z )
n
, zn
则 3. 形如
R( x)dx =2 i R( z ), zk
ux = v y , u y = vx
若f ( z ) u iv, 则f ( z ) u x ivx
注意：利用 C—R 条件是判断函数的可导性，再根据解析的定义判定函数的解析性 重点例题和习题：P21 例 1 ，P23 例 2， P35----1,2,3,4
（三）解析函数与调和函数 1.调和函数的定义： 若二元函数 x, y 满足 xx yy 0 ，则称其为调和函数 2.解析函数与调和函数的关系 若 f ( z) u iv 在区域 D 内解析，则 u，v 为 D 内的调和函数 重点例题：P52 例 1 三、级数 （一）复数项级数的定义和收敛性的判定 重点例题：P59 例 2 （二）幂级数的收敛半径公式 若 lim
w ei
z z
其中 的像为圆心
2. 把单位圆 z 1 映射成单位圆 w 1 的分式线性映射
w ei
za 1 az
其中 a 的像为圆心
重点例题和习题：P111 例 3，例 5，P129----7（1）8（1） （2） （五）初等函数的映射 1. 幂函数 w z n ：把角形域映射成角形域，辐角扩大 n 倍 2. 指数函数 w e z ：把带形域 0 Im( z) a 映射成角形域 0 arg w a
复变函数 知识框架
一、复数及其几何意义概念 代数形式，三角式与指数式
欧拉公式：e i cos i sin .
二、复数运算 代数形式与三角形式（指数式）的六种运算法则
复数运算的几何意义 三 . 复变函数及其反函数的定义（多值）与几何意义（映射） 四、极限与连续 复极限与复连续的定义，运算法则及其与实连续的关系
2. f z 解析 Im f z 是 Re f z 的共轭调和函数 .
3.
共轭调和函数对的三种求法
十三、复级数
1.
n 1
n
＝lim S n ,
n
lim Re an = Re a n 2. lim n n lim Im an = Im a n Re n Re S n1 n S . n 1 Im Im S n n1
f z ( u iv )(dx idy ) f z dz lim f z u iv C
n c 0 k 1 k k
z x iy
f z t z t dt t
2. Lnz ln z iArgz . 强调：多值性.
e iz e iz e iz e iz 3. sin z , cos z . 强调：无界性. 2i 2
4. z e bLnz . 强调：多值性.
b
例： 1 2 =？，i i =？
九、复积分概念，性质与计算
n 0
f ( n ) ( z0 ) ( z z0 ) n . n!
f ( z )在以z0为心的圆环域内解析 f ( z )
复变函数教学大纲(工科)(2)
课程编号：×××课程名称：复变函数(Complex Functions)《复变函数》教学大纲一、课程说明复变函数的理论和方法，对物理、力学、工程及数学的其他分支都有广泛的应用。
通过本课程的教学，使学生掌握复变函数的基本理论和基本方法，培养学生具有较好的分析问题和解决问题的能力。
为了贯彻“少而精”的原则，本大纲在内容选取上注意了突出基本理论和基本方法，本大纲内容，重点放在单复变函数的微分、积分、解析函数的级数展开、残数定理等内容上。
对于初等多值解析函数和解析开拓，要求只作初步介绍。
本课程总时数为36学时左右，其中讲授时数与习题课时数之比大致是3:1。
二、学时分配表三、教学目的与要求教学目的：1、通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决些有关的理论和实际问题的能力。
为进一步学习其他课程，并为其他实际工作打好基础。
2、通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，使学生受到严格的思维训练，为初步掌握数学思维方法打下基础。
基本要求：掌握解析函数的基本性质，并能初步地运用这些性质来证明或计算四、教学内容纲要第一章复数与复变函数主要内容：复数的有关概念，复数点集的概念，复数的运算。
要求：1、理解复数的下列概念：实部、虚部、模、幅角、共轭复数、乘幂与方根，熟练掌握相应的运算。
）2、理解平面点集(复数集)的下列概念：区域、单连通区域，边界、闭区域。
3、了解Jordan曲线概念，复变函数的极限与连续定义并能进行相应的运算，知道复球面与无穷远点的关系。
重点: 复变函数的概念，极限与连续性难点: 同上第二章解析函数主要内容：解析概念与初步运算性质，Cauchy——Riemann 条件，初等解析函数与初等多值函数。
要求：1、了解复函数的可导与微分的概念，理解解析的概念及其与Cauchy——Riemann 条件的关系。
2、熟练掌握初等解析函数的运算。
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Complex Functions
课程编号：10021006
学时： 32 学分： 2
课程性质：必修
选课对象：计算机与信息学院、精密仪器学院、电气工程学院等。
内容概要：介绍复变函数的基本理论和方法。
为学生学习有关
专业课和扩大数学知识面提供必要的数学基础。
建议选用教材：《复变函数》（第四版）西安交通大学高等数学教研室编，高等教育出版社;
主要参考书：
《复变函数》胡家延彭旭麟编著，高等教育出版社;
教学大纲
学时： 40
教学大纲说明
一、课程的目的和任务
复变函数是研究复变数之间的相互依赖关系的一门数学学科，复变函数、的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。
通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数的基本理论和方法，为学习有关专业课和扩大数学知识面打下必要的数学基础。
二、课程的基本要求
在课程的学习中，要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法，逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力.
三、与其它课程的联系和分工
复变函数中的许多概念和方法是《高等数学》中的实变量函数在复数领域的推广和发展，因此在学习本课程之前必须学习《高等数学》课程。
本课程是数学学科的一门重要分支，同时也是数学中的其它分支如《微分方程》、《积分变换》等的基础理论课。
《积分变换》与《复变函数》有着密切的联系,《积分变换》也是《复变函数》的后继课程之一。
对于理工科类专业的学生来说它们是《电磁学》、《热学》、《弹性理论》、《流体力学》等相关课程的基础理论课。
四、教学形式与学时分配：
五、课程的性质及适应对象：
计算机与信息学院、精密仪器学院、电气工程学院等必修。
教学大纲内容
第一章 复数和复变函数
1．熟练掌握复数的各种表示方法及其运算。
2．了解区域的概念。
3．理解复变函数的概念及其几何意义——映射。
4．知道复变函数的极限和连续的概念。
教学提示：鉴于复数表示法及其运算在中学已学过，区域概念在高等数学中已讲过，在
此可仅作扼要复习。
复变函数在部分内容上类同于一元函数，因此在类同部分不必详讲，而在与一元部分不同的内容上要讲透。
第二章 解析函数
1．理解复变函数的导数及复变函数解析的概念。
2．熟练掌握函数解析的充要条件。
3．了解指数函数、三角函数、对数函数及幂函数的定义及它们的主要性
质（包括在单值域中的解析性）。
教学提示：解析函数是本课程的重点，因而一定要讲透。
尤其是要使学生明白解析来
自于导数但又不同于可导函数，解析与可导有联系又有区别；明白解析函数具
有一般函数不具备的性质。
第三章 复变函数的积分
1．理解复变函数积分的定义，了解其性质，会求复变函数的积分。
2．理解柯西积分定理；掌握柯西积分公式、高阶导数公式；知道解析函
数无限次可导的性质。
3．了解调和函数与解析函数的关系，掌握从解析函数的实（虚）部求其
虚（实）部的方法。
教学提示：复变函数的积分是本课程的另一个重点。
积分中的重点是三个定理：柯西
积分定理、柯西积分公式和高阶导数公式。
第四章 级数
1．理解复数项级数的收敛、发散及绝对收敛等概念。
2．了解幂级数收敛圆的概念，掌握简单的幂级数收敛半径的求法。
知道
幂级数在收敛圆内的一些基本性质。
3．了解泰勒定理。
4．掌握函数m z z z z z e )1(),1ln(,cos ,sin ,++的麦克劳林级数展开式，并能
利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数。
5．了解罗朗定理。
6．掌握用间接法将在圆环域内解析的简单函数展开为罗朗级数方法。
教学提示：解析函数的泰勒级数与实变数函数的泰勒级数相似，因此本章的重点是罗
朗级数。
在讲述求泰勒级数展开式时应强调既可用直接展开法也可用间接展开
法，而函数在圆环域内的罗朗级数展开式一般采用间接展开法而不采用系数公
式：
⎰+-=C n n d z f i c ςςςπ1)
()(21 来进行直接展开，因为此积分不易计算。
相反却利用罗朗级数的系数来计算积分：
⎰-=C
c d f i 1)(21ςςπ 第五章 留数
1．了解孤立奇点的分类（不包括无穷远点）。
会判别奇点的类型和极点的
级数。
2．理解留数的概念，掌握极点处留数的求法。
3．理解留数定理。
4．掌握用留数求围道上的积分的方法，会用留数求一些实积分。
教学提示：本章的重点是留数定理，留数定理在理论上有着重要意义。
留数定理为我
们计算复变函数的围道积分和某些实变量函数的积分提供了一个全新的方法。
第六章 共形映射
1．了解解析函数导数的几何意义及保角映射的概念。
2．掌握分式线性映射的性质及分式线性映射的保角、保圆及保对称性。
3．知道z e w =及αz w =（α为有理数）的映射性质。
4．会求一些简单区域（例如平面、半平面、角形域、圆、带形域等）之
间的保角映射。
教学提示：保角映射是本课程的难点必须注意。
讲授此内容时，特别要讲清楚保角映
射的概念以及几个映射的特性：分式线性映射具有保角、保圆、保对称性，即能将圆（或直线）映射成圆或直线；指数映射将条形域映成角形域。
建议选用教材：
《复变函数》（第四版）西安交通大学高等数学教研室 编，高等教育出版社;
主要参考书：
《复变函数》胡家延 彭旭麟 编著，高等教育出版社;。