定积分的应用

图1-1

图1-2

定积分的应用

微积分学是微分学和积分学的统称;它的创立;被誉为“人类精神的最高胜利”..

在数学史上;它的发展为现代数学做出了不朽的功绩..恩格斯曾经指出：微积分是变量数学最重要的部分;是数学的一个重要的分支;它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具..凡是复杂图形的研究;化学反映过程的分析;物理方面的应用;以及弹道﹑气象的计算;人造卫星轨迹的计算;运动状态的分析等等;都要用得到微积分..正是由于微积分的广泛的应用;才使得我们人类在数学﹑科学技术﹑经济等方面得到了长足的发展;解决了许多的困难..以下将讲述一下定积分在数学﹑经济﹑工程﹑医学﹑物理方面的中的一些应用..

1 定积分的概念的提出

1.1问题的提出

曲边梯形的面积

如图1所谓曲边梯形;是指由直线a x =、

b x =b a <;x 轴及连续曲线)

(x f y =0

)(≥x f 所围成的图形..其中x 轴上区间],[b a 称为底边;曲线)(x f y =称为曲边..

不妨假定0)(≥x f ;

下面来求曲边梯形的面积..由于

c x f ≠)(],[b a x ∈无法用矩形面积公式来计算;

但根据连续性;任两点],[,21b a x x ∈ ;12x x -很小时;)(1x f ;)(2x f 间的图形变化不大;即点1x 、点2x 处高度差别不大..于是可用如下方法求曲边梯形的面积..

（1） 分

割

用

直

线

1x x =;2x x =;1-=n x x b

x x x a n <<<<<-121 将整个曲边梯形任意分割成n 个小曲边梯形;区间上分点为：

b x x x x x a n n =<<<<<=-1210

这里取0x a =;n x b =..区间],[b a 被分割成n 个小区间],[1i i x x -;用i x ∆表示小区间

],[1i i x x -的长度;i S ∆表示第i 块曲边梯形的面积;),,2,1(n i =;整个曲边梯形的面积S

等于n 个小曲边梯形的面积之和;即

∑=∆=n

i i S S 1

2近似代替: 对每个小曲边梯形;它的高仍是变化的;但区间长度i x ∆很小时;每个小曲边梯形各点处的高度变化不大;所以用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积;就是;在第i 个小区间],[1i i x x -上任取一点i ξ;用以],[1i i x x -为底;)(i f ξ为高的小矩形面积

i i x f ∆)(ξ;近似代替这个小曲边梯形的面积图1-1; 即

i i i x f S ∆≈∆)(ξ.

3求和 整个曲边梯形面积的近似值为 n 个小矩形面积之和;即

n S S S S ∆++∆+∆= 21

=

∆++∆+∆≈n n x f x f x f )()()(2211ξξξ i

n

i i

x f ∆∑=)(1

ξ

上式由于分割不同;i ξ选取不同是不一样的;即近似值与分割及i ξ选取有关图1－2..

4取极限 将分割不断加细;每个小曲边梯形底边长趋于零;它的高度改变量趋于零;曲边梯形的面积与取代它的矩形面积无限接近;从而和式∑=∆n

i i i x f 1)(ξ的极限就定义为曲

边梯形面积的精确值..

令 },,,m ax {21n x x x ∆∆∆= λ;当0→λ时;有

∑=→∆=n

i i i x f S 1

)(lim ξλ

上面的例子;最终归结为一个特定的形式和式逼近..在科学技术中还有许多同样的数学问题;解决这类数学问题的思想方法概括说来就是“分割;近似求和;取极限”这是定积分概念的背景..

1.2定积分的定义

设函数)(x f y =在区间],[b a 上有界;在],[b a 中任意插入若干个分点

b x x x x x a n n =<<<<<=-1210

把],[b a 分成n 个小区间：

],,[10x x ],[,],,[,],,[],,[113221n n i i x x x x x x x x --

各个小区间的长度依次为：011x x x -=∆;122x x x -=∆;…; 1--=∆n n n x x x

在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i ξ)(1i i i x x ≤≤-ξ;作函数值与小区间长度i x ∆的乘积

i i x f ∆)(ξ..并作和

=S ∑=∆n

i i i x f 1

)(ξ

记},,,m ax {21n x x x ∆∆∆= λ;如果不论对],[b a 怎样分割;也不管在小区间],[1i i x x -上点

i ξn i ,,2,1 =怎样取法;只要当0→λ时;和S 总是趋于确定的极限I ;我们称这个极限值为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分简称为积分;记作⎰b

a dx x f )(;即

⎰

b

a

dx x f )(==I ∑=→∆n

i i i x f 1

)(lim ξλ 1

其中)(x f 称为被积函数;dx x f )(称为被积表达式;a 称为积分下限;b 称为积分上限;x 称为积分变量;

∑=∆n

i i

i

x

f 1

)(ξ称为积分和..

（1） 曲边梯形的面积是曲边方程)(x f y =在区间],[b a 上的定积分..即

=

S ⎰

b

a

dx x f )()0)((≥x f

2定积分在几何学上的应用

2.1定积分在平面几何中的应用

在初高中我们学习过求圆;三角形;平四边形;梯形等比较规则的图形面积;然而对于不规则的图形就无能为力了;所以再学定积分以前我们只能求一些简单图形的面积;部分稍复杂的图形;可能用有限个简单图形的分割也能求出来;但有很大的局限性;定积分的出现为这些问题;提出了很好的解决条件..

一般地;由上、下两条连续曲线y=2f x 与y=1f x 以及两条直线x=a 与x=ba