高考数学专题复习系列导数及其应用导学案

导数及其应用1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2. 熟记八个基本导数公式(c,mx (m 为有理数)，x x a e x x a x x log ,ln ,,,cos ,sin 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.第1课时 变化率与导数、导数的计算1．导数的概念：函数y ＝)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx的比xy ∆∆的 ，即)(x f '＝ ＝ ．2．导函数：函数y ＝)(x f 在区间(a, b)内 的导数都存在，就说)(x f 在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的 ，记作)(x f '或x y '，函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值 ，就是)(x f 在0x 处的导数.3．导数的几何意义：设函数y ＝)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的 .4．求导数的方法 (1) 八个基本求导公式)('C ＝ ； )('nx ＝ ；(n∈Q))(sin 'x ＝ ， )(cos 'x ＝)('xe ＝ ， )('x a ＝ )(ln 'x ＝ ， )(log 'x a ＝(2) 导数的四则运算)('±v u ＝ ])(['x Cf ＝)('uv ＝ ，)('vu ＝ )0(≠v(3) 复合函数的导数 设)(x u θ=在点x 处可导，)(u f y =在点)(x u θ=处可导，则复合函数)]([x f θ在点x 处可导， 且)(x f '＝ ，即xu x u y y '⋅'='.例1．求函数y=12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.解 ∵Δy=11)(11)(11)(22020202020+++∆+--+∆+=+-+∆+x x x x x x x x x.11)(2,11)()(220200202020+++∆+∆+=∆∆∴+++∆+∆+∆=x x x xx xy x x x x x x 变式训练1. 求y=x在x=x 0处的导数解)())((limlimlim000000000x x x x x x x x x x xx x x xy x x x +∆+∆+∆+-∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆.211lim00x x x x x =+∆+=→∆例2. 求下列各函数的导数： （1）;sin 25xxx x y ++=（2）);3)(2)(1(+++=x x x y（3）;4cos 212sin2⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x y （4）.1111xxy ++-=解 (1)∵,sin sin 23232521xx x x xxx x y ++=++=-∴y′.cos sin 2323)sin ()()(232252323x xx xx x x xx x-----+-+-='+'+'=（2）方法一 y=（x 2+3x+2）（x+3）=x 3+6x 2+11x+6，∴y′=3x 2+12x+11. 方法二 'y =[])3)(2)(1()3()2)(1('+++++'++x x x x x x =[])2)(1()2(）1（'++++'+x x x x （x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x 2（3）∵y=,sin 212cos 2sinx x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴.cos 21)(sin 21sin 21x x x y ='='⎪⎭⎫⎝⎛='（4）xx x x x xxy -=+--++=++-=12)1)(1(111111 ，∴.)1(2)1()1(21222x x x x y -=-'--='⎪⎭⎫⎝⎛-=' 变式训练2：求y=tanx 的导数.解 y′.cos 1cos sin cos cos )(cos sin cos )(sin cos sin 22222x x x x x x x x x x x =+='-'='⎪⎭⎫⎝⎛=例3. 已知曲线y=.34313+x（1）求曲线在x=2处的切线方程； （2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解 （1）∵y′=x 2,∴在点P （2，4）处的切线的斜率k='y |x=2∴曲线在点P （2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. （2）设曲线y=34313+x 与过点P （2，4）的切线相切于点⎪⎭⎫⎝⎛+3431,300x x A ，则切线的斜率k='y |0x x ==20x .∴切线方程为),(343102030x x x x y -=⎪⎭⎫⎝⎛+-即.34323020+-⋅=x x x y∵点P （2，4）在切线上，∴4=,343223020+-x x即,044,0432020302030=+-+∴=+-x x x x x ∴,0)1)(1(4)1(00020=-+-+x x x x ∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.变式训练3：若直线y=kx 与曲线y=x 3-3x 2+2x 相切，则k= .答案 2或41-例4. 设函数bx ax x f ++=1)( (a,b∈Z )，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为y=3.（1）求)(x f 的解析式；（2）证明：曲线)(x f y =上任一点的切线与直线x=1和直线y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.（1）解2)(1)(b x a x f +-='，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++,0)2(1,32122b a b a 解得⎩⎨⎧-==,1,1b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.38,49b a因为a,b ∈Z ，故.11)(-+=x x x f（2）证明 在曲线上任取一点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+11,000x x x ．由200)1(11)(--='x x f 知，过此点的切线方程为)()1(11110200020x x x x x x y -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-+--．令x=1，得1100-+=x x y ，切线与直线x=1交点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+11,100x x ．令y=x ，得120-=xy ，切线与直线y=x 的交点为)12,12(00--x x．直线x=1与直线y=x 的交点为(1,1)． 从而所围三角形的面积为22212211121112100000=--=----+x x x x x ．所以，所围三角形的面积为定值2.变式训练4：偶函数f （x ）=ax 4+bx 3+cx 2+dx+e 的图象过点P （0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f （x ）的解析式解 ∵f（x ）的图象过点P （0，1），又∵f（x ）为偶函数，∴f（-x ）=f （x）故ax 4+bx 3+cx 2+dx+e=ax 4-bx 3+cx 2-∴b=0，∴f（x ）=ax 4+cx2∵函数f （x ）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）∴a+c+1=-1. ③ ∵)1('f =(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c ，∴4a+2c=1.由③④得a=25，c=29-函数y=f （x ）的解析式为.12925)(24+-=x x x f1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。

2．要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导.3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础.第2课时 导数的概念及性质1． 函数的单调性 ⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则)(x f 为 .（逆命题不成立）(2) 如果在某个区间内恒有)(='x f ，则)(x f .注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数)(x f 的 ；② 求)(x f '，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间；④ 确定)(x f '在各小开区间内的 ，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性.2．可导函数的极值 ⑴ 极值的概念 设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有 （或 ），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点.⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '； ② 求方程)(x f '＝0的 ；③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 .3．函数的最大值与最小值： ⑴ 设y ＝)(x f 是定义在区间[a ,b ]上的函数，y ＝)(x f 在(a ,b )内有导数，则函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值．(2) 求最值可分两步进行： ① 求y ＝)(x f 在(a ,b )内的 值；② 将y ＝)(x f 的各 值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3) 若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递增，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 ；若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递减，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 .例1. 已知f(x)=e x-ax-（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.解：)(x f '=e x-（1）若a≤0，)(x f '=e x-a≥0恒成立，即f(x)在R 上递增若a>0,e x-a≥0,∴e x≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(（2）∵f（x ）在R 内单调递增，∴)(x f '≥0在R 上恒成立∴e x-a≥0，即a≤e x在R 上恒成立 ∴a≤（e x）min ，又∵e x>0，（3）方法一 由题意知e x-a≤0在（-∞，0］上恒成立∴a≥e x在（-∞，0］上恒成立.∵e x在（-∞，0］上为增函数∴x=0时，e x最大为1.∴a≥1.同理可知e x-a≥0在［0，+∞）上恒成立∴a≤e x在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴)0('f =0,即e 0-a=0,∴a=1.变式训练1. 已知函数f(x)=x 3-ax-（1）若f(x)在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f(x)=x 3-ax-1的图象不可能总在直线y=a 的上方（1）解 由已知)(x f '=3x 2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，∴)(x f '=3x 2-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x 2对x∈R 恒成立∵3x 2≥0,∴只需a≤0,又a=0时，)(x f '=3x2故f(x)=x 3-1在R 上是增函数，则（2）解 由)(x f '=3x 2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x 2,x∈(-1,1)恒成立∵-1<x<1,∴3x 2<3,∴只需a≥3.当a=3时，)(x f '=3(x 2-在x∈(-1,1)上，)(x f '<0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，故存在实数a≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减（3）证明 ∵f(-1)=a-2<a,∴f(x)的图象不可能总在直线y=a 的上方.例2. 已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,曲线y=f(x ）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=32时，y=f(x ）有极值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x ）在［-3，1］上的最大值和最小值. 解 （1）由f(x)=x 3+ax 2+bx+c,得)(x f '=3x2当x=1时，切线l 的斜率为3，可得 当x=32时，y=f(x)有极值，则⎪⎭⎫⎝⎛'32f =0,可得由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为（2）由（1）可得f(x)=x 3+2x 2-4x+5,∴)(x f '=3x 2+4x-令)(x f '=0,得x=-2,x=32当x 变化时，y,y′的取值及变化如下表：x -3(-3,-2) -2⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,232⎪⎭⎫⎝⎛1,321y′+ 0 - 0 +y 8 单调递增↗13单调递减↘2795单调递增 ↗4∴y=f（x ）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为.2795变式训练2. 函数y=x 4-2x 2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值. 解 先求导数,得y′=4x 3-4x,令y′=0,即4x 3-4x=0.解得x 1=-1,x 2=0,x3导数y′的正负以及f(-2),f(2)如下表x -2(-2,-1)-1(-1,0) 0(0,1) 1 (1,2) 2y ′-+- 0+y13↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗13从上表知,当x=±2时,函数有最大值13,当x=±1时,函数有最小值4. 例3. 已知函数f(x)=x 2e-ax(a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值.解 ∵f（x ）=x 2e -ax（a ＞0）,∴)(x f '=2xe -ax +x 2·（-a)e -ax =e -ax (-ax 2+2x). 令)(x f '>0,即e -ax(-ax 2+2x)>0,得0<x<a2∴f(x)在（-∞,0),⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,2a 上是减函数，在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 2,0上是增函数①当0<a2<1,即a>2时,f(x ）在（1，2）上是减函数∴f（x ）max =f （1）=e -a. ②当1≤a2≤2,即1≤a≤2时，f(x)在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 2,1上是增函数，在⎪⎭⎫⎝⎛2,2a 上是减函数，∴f(x)max =f ⎪⎭⎫ ⎝⎛a 2=4a -2e -2.③当a2>2时，即0<a<1时，f(x)在（1，2）上是增函数，∴f（x ）max =f （2）=4e -2a综上所述，当0<a<1时，f(x)的最大值为4e -2a当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a -2e -2当a>2时，f(x)的最大值为e -a.变式训练3. 设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R ),其中a∈R（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程； （2）当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值解：（1）当a=1时，f(x)=-x(x-1)2=-x 3+2x 2-f(2)=-2,)(x f '=-3x 2+4x-=')2(f -12+8-1=-∴当a=1时，曲线y=f(x)在点（2,f(2))处的切线方程为 5x+y-8=0.（2）f(x)=-x(x-a)2=-x 3+2ax 2-a 2x,)(x f '=-3x 2+4ax-a 2=-(3x-a)(x-a), 令)(x f '=0,解得x=3a 或x=a.由于a≠0，以下分两种情况讨论①若a>0，当x 变化时，)(x f '的正负如下表：x(-∞,3a ) 3a (3a ,a)a (a,+∞))(x f '- 0+ 0 - f(x)↘3274a-↗↘因此，函数f(x)在x=3a 处取得极小值f （3a ），且f （3a ）=-;2743a函数f(x)在x=a 处取得极大值f(a),且②若a<0，当x 变化时，)(x f '的正负如下表：x(-∞,a )a (a,3a )3a(3a ,+∞))(x f '- 0 + 0 - f (x)↘↗-3274a↘因此，函数f(x)在x=a 处取得极小值f(a),且f(a)=0； 函数f(x)在x=3a 处取得极大值f （3a ）且f （3a ）=-3274a.例4. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x≤11）时，一年的销售量为(12-x)2万件（1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ）. 解 （1）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x∈［9,11］(2))(x L ' =(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-令'L =0得x=6+32a 或x=12（不合题意，舍去）∵3≤a≤5,∴8≤6+32a≤328在x=6+32a 两侧L′的值由正变负所以①当8≤6+32a ＜9即3≤a＜29时，L max =L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-②当9≤6+32a≤328，即29≤a≤5时，L max =L(6+32a)=(6+32a-3-a)［12-(6+32a)］2=4(3-31a)3.所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-<≤-=.529,3134,293),6(9)(3a a a a a Q答 若3≤a＜29，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=9(6-a)（万元）；若29≤a≤5，则当每件售价为(6+32a)元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q(a)=33134⎪⎭⎫⎝⎛-a (万元).变式训练4：某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R(x)=3 700x+45x 2-10x 3（单位：万元），成本函数为C(x)=460x+5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（提示：利润=产值-成本） （2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（3）求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解：（1）P(x)=R(x)-C(x)=-10x 3+45x 2+3 240x-5 000(x∈N *，且MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x 2+60x+3 275 (x∈N *,且（2）)(x P '=-30x 2+90x+3 240=-30(x-∵x>0,∴)(x P '=0时,x=12，∴当0<x<12时，)(x P '>0,当x>12时，)(x P'∴x=12时，P(x)有最大值即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大（3）MP(x)=-30x 2+60x+3 275=-30(x-1)2所以，当x≥1时，MP(x)单调递减， 所以单调减区间为［1，19］，且x∈N*MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.研究可导函数)(x f 的单调性、极值（最值）时，应先求出函数)(x f 的导函数)('x f ，再找出)('x f ＝0的x 取值或)('x f >0()('x f <0)的x 的取值范围．导数及其应用单元检测题一、选择题1.曲线y=e x在点（2，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）49e2 2C.e2D.2e22.如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数y=)(x f '的图象可能是 ( )3.设f(x)=x 2(2-x),则f(x)的单调增区间是 （ ）)34 B.(,34+∞) C.(--∞,0)∪(34,+∞）4.设a∈R ,若函数y=e x+ax,x∈R 有大于零的极值点，则--1 -e1-e15.已知函数y=f(x)=x 3+px 2+qx 的图象与x 轴切于非原点的一点，且y 极小值=-4，那么p 、q 的值分别为 （ ）6.已知x≥0,y≥0，x+3y=9,则x 2y 的最大值为 （ ） A.367.下列关于函数f(x)=(2x-x 2)e x的判断正确的是 （ ）①f(x)>0的解集是②f(-2)是极小值，f(2)是极大值；③f(x)没有最小值，也没有最大值8.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是.0＜)2('f ＜)3('f ＜f(3)-＜)3('f ＜f(3)-f(2) ＜)2('f ＜f(3)＜)2('f ＜f(3)-＜f(3)-f(2)＜)2('f ＜)3('f9.若函数f(x)=x 3-ax 2+1在（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围为 （ ）C.a≤310.函数f(x)=x 3-ax 2-bx+a 2,在x=1时有极值10，则a 、b 的值为 （ ）-3，或a=---以上都不正确11.使函数f(x)=x+2cosx 在［0，2π］上取最大值的x 为 （ ）6π3π D.2π12.若函数f(x)=x 3-3bx+3b 在（0，1）内有极小值，则 （ ）21二、填空题13.若f(x)=x 3+3ax 2+3(a+2)x+1没有极值，则a 的取值范围为14.如图是y=f(x)导数的图象，对于下列四个判断： ①f(x）在［-2，-1］上是增函数；②x=-1是f(x)的极小值点；③f(x)在［-1，2］上是增函数，在［2，4］上是减函数； ④x=3是f(x)的极小值点其中判断正确的是15.函数f(x)的导函数y=)(x f '的图象如右图，则函数f(x)的单调递增区间为16.已知函数f(x)的导函数为)(x f ',且满足f(x)=3x 2+2x)2('f ,则)5('f =三、解答题17.已知函数f(x)=x 3-21x2(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b 的取值范围(2)若f(x)在x=1处取得极值，且x∈［-1,2］时，f(x)<c 2恒成立，求c 的取值范围18.设p:f(x)=(x 2-4)(x-a)在(-∞,-2)和(2,+∞）上是单调增函数；q:不等式x 2-2x ＞a 的解集为R .如果p 与q 有且只有一个正确，求a 的取值范围19.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a的取值范围20.已知定义在R上的函数f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R)，函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数，函数f(x)在x=-1处取极值（1）求f(x)的解析式；（2）讨论f(x)在区间［-3，3］上的单调性1x2上一点，直线l过点P并与抛物线21.如图所示，P是抛物线C：y=2C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q，当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ的中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离.22.已知某质点的运动方程为s(t)=t 3+bt 2+ct+d ，下图是其运动轨迹的一部分，若t∈［21，4］时，s(t)<3d 2恒成立，求d 的取值范围导数及其应用单元检测题答案一、选择题 1.答案 2．答案 3.答案 4.答案 5.答案 6.答案7.答案 D 8.答案 9.答案 10.答案 11.答案 12.答案二、填空题13.答案 ［-1，2］ 14.答案 ②③15.答案 ［-1，0］和［2，+∞） 16.答案三、解答题17.解 （1）)(x f '=3x 2-x+b,因f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则)(x f '≥0.即3x 2-∴b≥x -3x 2在（-∞，+∞）恒成立.设g(x)=x-3x 2当x=61时，g(x)max =121,∴b≥121(2)由题意知)1('f =0，即3-1+b=0，∴b=-x∈［-1,2］时，f(x)<c 2恒成立，只需f(x)在［-1，2］上的最大值小于c 2即可.因)(x f '=3x 2-x-2,令)(x f '=0,得x=1或x=-32.∵f(1)=-23f(-,21)1(,2722)32c f c +=-+=∴f(x)max =f(2)=2+c,∴2+c<c 2.解得c>2或c<-1，所以c 的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）.18.解 命题p:由原式得f(x)=x 3-ax 2-∴)(x f '=3x 2-2ax-4,y′的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线由条件得)2(-'f ≥0且)2('f 即⎩⎨⎧≥-≥+.048084a a ∴-命题q:ax x x >--=-1)1(222∵该不等式的解集为R ，∴a<- 当p 正确q 不正确时,- 当p 不正确q 正确时，a<-∴a 的取值范围是（-∞，-2）∪［-1，2］19.解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x 3-(a+1)x 2+ax ∴)(x f '=3x 2-2(a+1)x+a要使函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2,+∞)上是增函数，只需)(x f '=3x 2-2(a+1)x+a 在（2，+∞）上满足)(x f '≥0即可. ∵)(x f '=3x 2-2(a+1)x+a 的对称轴是x=31+a∴a的取值应满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥'≤+0(2)231f a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+'>+0)31(231a f a解得:a≤38.∴a 的取值范围是a≤38.20.解 （1）∵函数F(x)=f(x)-3x 2是奇函数∴F(-x)=-F(x)，化简计算得∵函数f(x)在x=-1处取极值，∴)1(-'ff(x)=-2x 3+3x 2+cx, )(x f '=-6x2∴)1(-'f =-6-6+c=0,c=12.∴f(x)=-2x 3+3x 2（2）)(x f '=-6x 2+6x+12=-6(x 2-x-令)(x f '=0,得x 1=-1,x 2x-(-3-1 (-1, 2 （2 33,-1)2)，3）)(x f '- 0 + 0 - f(x)45↘-7↗20↘9∴函数f(x)在［-3，-1］和［2，3］上是减函数， 函数f(x)在［-1，2］上是增函数. 21. 解 设P （x 0，y 0），则y 0=,212x∴过点P 的切线斜率k=x当x 0=0时不合题意，∴x∴直线l 的斜率k l =-011x -=k∴直线l 的方程为y-)(1210020x x x x --=此式与y=221x联立消去y 得x 2+.022200=--x x x设Q （x 1,y 1）,M(x,y).∵M 是PQ 的中点，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+---=-=+=12121)1(112202020000010x x x x x x y x x x x 消去x 0，得y=x 2+221x+1 (x≠0)就是所求的轨迹方程.由x≠0知x2∴y=x 2+221x+1≥2.12121·22+=+x x上式等号仅当x 2=221x,即x=±421时成立， 所以点M 到x 轴的最短距离是2+1.22. 解 )(t s '=3t2由图象可知，s(t)在t=1和t=3处取得极值则)1('s =0, )3('s即,0627023⎩⎨⎧=++=++c b c b 解得⎩⎨⎧=-=96c b∴)(t s '=3t 2-12t+9=3(t-1)(t- 当t∈［21，1）时，)(t s'当t∈(1,3)时，)(t s'当t∈(3,4)时，)(t s则当t=1时，s(t)取得极大值为又s(4)=4+d ，故t∈［21，4］时，s(t)的最大值为已知s(t)<3d 2在［21，4］上恒成立，∴s(t)max <3d 2.即4+d<3d2解得d>34或d<-1.∴d 的取值范围是{d|d>34或d<-1}.。