2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-2课件：第三章 数系的扩充与复数的引入

1＋i 4 1＋i 2 2 1 3 18 1 3 36 ∴( ) ＋(－2＋ 2 i) ＝[( ) ] ＋[(－2＋ 2 i) ] ＝2. 1－i 1－i

[答案]

D

第三章

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[例 3]

2 若 z＝ ，则 z2 008＋z2 012 的值是________． 1＋i

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三、复平面 建立直角坐标系表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实 轴，y 轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚 轴上的点都表示纯虚数．原点对应复数 0，建立复平面后，复 平面内的点与复数集构成一一对应关系．以原点 O 为起点， → 复数 z 在复平面内的对应点 Z 为终点的向量OZ，与复数 z 一 → 一对应，OZ的模叫做复数 z 的模．

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题型探究

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题型 1 复数的概念

熟练掌握复数的代数形式，复数的相等及复数表示各类 数的条件是熟练解答复数题的前提．
成才之路· 数学
人教A版 ·选修1-2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
数系的扩充与复数的引入

第三章

数系的扩充与复数的引入章

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1＋i 4 1 3 18 ( ) ＋(－ ＋ i) ＝( 2 2 1－i

)

B．－1＋i D．2

C．1＋i

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[解析]

1＋i 2 2 1 3 3 ∵( ) ＝i ＝－1，(－ ＋ i) ＝1， 2 2 1－i

A．E C．G [分析]

B．F D．H 若 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z 在复平面内的对应点

为 Z(a，b)，据此可由点的坐标写出点对应的复数，也可描出 复数在复平面内的对应点．

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[解析]

∵点 Z(3,1)对应的复数为 z，

3．复数的分类 复数 z＝a＋bi(a、b∈R)中， z 是实数⇔b＝0， z 是虚数⇔b≠0 z
a＝0  是纯虚数⇔ b≠0 

4．a＋bi 与 a－bi(a，b∈R)互为共轭复数

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二、复数相等的条件 a＋bi＝c＋di(a、b、c、d∈R)⇔a＝c 且 b＝d. 特别 a＋bi＝0(a、b∈R)⇔a＝0 且 b＝0.

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题型 5

共轭复数

只要掌握共轭复数的定义，会进行简单的运算即可，不 必在复数的模与其轭复数的性质上下功夫．

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[例 6] 于( ) A．i C．± 1

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知识梳理

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本章在小学、 初中和高中所学知识的基础上， 介绍复数的 概念、复数的代数形式的运算和数系的扩充等内容． 本章共分两大节．第一大节是“数系的扩充与复数的概 念”．第二大节是“复数的运算”．在第一大节中，首先简要 地展示了数系的扩充过程， 回顾了数的发展， 并指出当数集扩 充到实数集时， 由于负数不能开平方， 因而大量代数方程无法 求解， 于是就产生了要开拓新数集的要求， 从而自然地引入虚 数 i，复数由此而产生，接着，介绍了复数的有关概念和复数

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本章有两条主线： 一条主线是以复数代数形式来表示复数 的概念．规定了加、乘两种运算法则，然后把减、除法分别定 义为加、 乘法的逆运算来推导出其运算法则． 利用复数的四则 运算， 可把复数代数形式 a＋bi 看成由 a 和 bi 两个非同类项组 成， 这样多项式的运算法则几乎可以全部搬过来照用不误， 于 是复数就与多项式、 方程联系起来， 从而能帮助解决一些多项 式中的因式分解、 解方程等数学问题． 另一条主线是用复平面 上的点或向量来描述复数．由此引出了复数运算的几何意义， 使复数在平面几何、 解析几何中得到广泛应用． 这两条主线在

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的几何表示．主要涉及的概念有：复数、虚数、纯虚数、共轭 复数、实部、虚部、复数相等、复数的模等．在第二大节中， 介绍了复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则，同时指出 了复数加法、减法的几何意义，复平面上两点间的距离公式， 沟通了“数与形”之间的联系，提供了用“形”来帮助处理 “数”和用“数”来帮助处理“形”的工具．
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教材中是交替安排的， 这样能加强学生的“形与数”结合的观 念， 使学生在看到代数形式时就能联想到几何图形， 看到几何 图形就能联想到对应的复数．有利于学生深入理解复数概念， 开阔学生的思路， 培养和提高用“数形结合”观点来处理问题 的能力．
21－i 21－i 2 ∵z＝ ＝ ＝ ， 2 1＋i 1＋i1－i

[解析]

1－i2 ∴z2＝ ＝－i，∴z4＝－1， 2 ∴z2 008＋z2 012＝(z4)502＋(z4)503＝0.
[答案] 0

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误区警示

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1．复数代数形式 z＝a＋bi 中，a，b∈R 应用复数相等的 条件，必须先化成代数形式． 2．复数表示各类数的条件的前提必须是代数形式 z＝a＋ bi(a，b∈R)，z 为纯虚数的条件为 a＝0 且 b≠0，注意虚数与 纯虚数的区别．

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知识结构

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题型 2

复数的运算

复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、 除，加减法是实部与实部、虚部与虚部分别相加减，而乘法 类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意 i2＝ －1.

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[例 2] A．2i

[例 4]

若 i 为虚数单位，图中复平面内点 Z 表示复数 z， )

z 则表示复数 的点是( 1＋i

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，

，所以 m＝0.

所以 m＝0 时，z 为纯虚数．
mm－1＝2  (3)由题意可得 2 m ＋2m－3＝5  m＝2或m＝－1  解得 m＝－4或m＝2 

，

，∴m＝2.

所以当 m＝2 时，复数 z 为 2＋5i.
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四、运算法则 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R)． 1．z1± 2＝(a± z c)＋(b± d)i； 2．z1·2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； z z1 ac＋bd bc－ad 3. ＝ 2 ＋ i. z2 c ＋d2 c2＋d2

z 设 z 的共轭复数为 z ， z＋ z ＝4， z ＝8， 若 z 则 等 z

熟记复数模的计算公式和复数的模与以原点为起点的向 量的模之间的关系，就能迅速求解有关复数模的问题．

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[例 4]

已知复数 z＝cosθ＋isinθ(0≤θ≤2π)．当 θ 为何值

时，|1－i＋z|取得最值．并求出它的最值．

3＋i 3＋i1－i 4－2i z ∴z＝3＋i， ＝ ＝ ＝ 2 ＝2－i， 1＋i 1＋i 1＋i1－i 该复数对应的点的坐标是(2，－1)，即 H 点.
[答案] D

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题型 4

复数的模

题型 3

复数及其运算的几何意义

复数的几何意义及复数加减运算的几何意义充分体现了 数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究 代数问题．熟练掌握复平面内的点、以原点为起点的平面向 量和复数三者之间的对应关系，就能有效地利用数形转换来 解决实际问题．

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[解析] |1－i＋z|＝|cosθ＋isinθ＋1－i|

＝ cosθ＋12＋sinθ－12 ＝ 2cosθ－sinθ＋3＝ π 2 2cosθ＋4＋3，

7π 当 θ＝ 4 时，|1－i＋z|max＝ 2＋1； 3π 当 θ＝ 4 时，|1－i＋z|min＝ 2－1.
第三章 章末归纳总结

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一、复数的概念 1．虚数单位 i：(1)i2＝－1；(2)i 和实数在一起，服从实数 的运算律． 2．代数形式：a＋bi(a，b∈R)，其中 a 叫实部，b 叫虚部．

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[例 1]

已知复数 z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i

当 m 取何实数值时，复数 z 是： (1)零； (2)纯虚数； (3)z＝2＋5i.

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3．复数运算的法则，不要死记硬背，加减可类比合并同 类项，乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化． 4．a2≥0 是在实数范围内的性质，在复数范围内 z2≥0 不 一定成立，|z|2≠z2. 5． 复数与平面向量联系时， 必须是以原点为始点的向量． 6．不全为实数的两个复数不能比较大小． 7．复平面的虚轴包括原点．

[解析]

mm－1＝0  (1)由题意可得 2 m ＋2m－3＝0 

，

m＝0或m＝1  即 m＝－3或m＝1 

，∴m＝1.

所以当 m＝1 时，复数 z 为零．

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mm－1＝0  (2)由题意可得 2 m ＋2m－3≠0  m＝0或m＝1  解得 m≠－3且m≠1 