2018届人教B版(文) 几何证明选讲单元测试

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几何证明选讲(教师版)

BCDO AP1.如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB=OB=2,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则PC= ， CD=.2．如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，,32=PC 若∠CAP ＝30°，则⊙O 的直径AB ＝___________答案43．已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为22，3AB =，则切线AD 的长为 _____。

解：依题意，BC =，∴AC =5，2AD =.AB AC =15，∴AD =154．如图，PA 切O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB=PB=1, OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为 .解：∵PA 切O 于点A ，B 为PO 中点，∴AB=OB=OA, ∴60AOB ∠=,∴120POD ∠=, 在△POD中由余弦定理，得2222cos PD PO DO PO DO POD =+-⋅∠=1414()72+-⨯-=∴PD 5．如图，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过B 点的切线与ADAD=DC ，则sin ∠ACO=_________解：由条件不难得ABC ∆为等腰直角三角形，设圆的半径为1，则1OB =，2BC =，OC =sin BCO ∠==，s co BCO ∠= ∴ sin ∠ACO=0sin(45BCO -∠）=10106．如图，PT 是O 的切线，切点为T ，直线PA 与O 交于A 、B 两点，TPA ∠的平分线分别交直线TA 、TB 于D 、E 两点，已知2PT =，PB =，则PA = ，TEAD= ．；7．已知AB 是圆O 的直径，EF 切圆O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 长为_______. 、23；8．已知AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD AB ⊥于点D ，且4AD DB =，设COD θ∠=，则cos 2θ＝．解：()44,AD DB OC OD OC OD =∴+=- 即35OC OD =，22237cos 22cos 12121525OD OC θθ⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD =3AB BC ==。

2017-2018学年高中数学人教B版必修2学业分层测评：章

章末综合测评(二) 平面解析几何初步(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在直角坐标系中，直线3x －y －3＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°【解析】直线的斜率k ＝3，倾斜角为60°. 【答案】 B2．若A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 三点共线，则m 的值为( )【导学号：45722126】A.12 B ．－12 C ．－2 D ．2【解析】由－2－33－(－2)＝m ＋212－3，得m ＝12.【答案】 A3．在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是( )【解析】当a >0时，A ，B ，C ，D 均不成立；当a <0时，只有C 成立．【答案】 C4．两平行直线5x ＋12y ＋3＝0与10x ＋24y ＋5＝0之间的距离是( ) A.213 B.113 C.126D.526【解析】 5x ＋12y ＋3＝0可化为10x ＋24y ＋6＝0.由平行线间的距离公式可得d＝|6－5|102＋242＝126.【答案】 C5．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定【解析】由题意知点在圆外，则a2＋b2＞1，圆心到直线的距离d＝1a2＋b2＜1，故直线与圆相交．【答案】 B6．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是()A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝0【解析】圆心C(1,0)，k PC＝0－(－1)1－2＝－1，则k AB＝1，AB的方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0，故选D.【答案】 D7．圆心在x轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是()A．(x－2)2＋y2＝1B．(x＋2)2＋y2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－2)2＝1【解析】设圆心坐标为(a,0)，则由题意可知(a－2)2＋(1－0)2＝1，解得a ＝2.故所求圆的方程是(x－2)2＋y2＝1.【答案】 A8．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是()A．36 B．18C．6 2 D．5 2【解析】圆x2＋y2－4x－4y－10＝0的圆心为(2,2)，半径为32，圆心到直线x＋y－14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52＞32，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R＝6 2.【答案】 C9．过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为()A．4 B．2C.85 D.125【解析】P为圆上一点，则有k OP·k l＝－1，而k OP＝4－1－2－2＝－34，∴k l＝43.∴a＝4，∴m：4x－3y＝0，l：4x－3y＋20＝0.∴l与m的距离为|20|42＋(－3)2＝4.【答案】 A10．一个几何体的三视图如图1所示，主视图和左视图都是等边三角形，该几何体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，则第五个顶点的坐标可能是()图1A．(1,1,1) B．(1,1, 2)C．(1,1, 3) D．(2,2, 3)【解析】由三视图知，该几何体为正四棱锥，正四棱锥的顶点在底面的射影是底面正方形的中心，高为3，则第五个顶点的坐标为(1,1，3)．故选C.【答案】 C11．经过点(2,1)的直线l到A(1,1)、B(3,5)两点的距离相等，则直线l的方程为()A．2x－y－3＝0B．x＝2C．2x－y－3＝0或x＝2D．以上都不对【解析】满足条件的直线l有两种情况：①过线段AB的中点；②与直线AB平行．由A(1,1)，B(3,5)可知线段AB的中点坐标为(2,3)，所以直线x＝2满足条件．由题意知k AB＝5－13－1＝2.所以直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0，综上可知，直线l的方程为x＝2或2x－y－3＝0，故选C.【答案】 C12.已知圆O：x2＋y2－4＝0，圆C：x2＋y2＋2x－15＝0，若圆O的切线l交圆C于A，B两点，则△OAB面积的取值范围是()图2A．[27，215] B．[27，8]C．[23，215] D．[23，8]【解析】S△OAB ＝12|AB|·2＝|AB|，设C到AB的距离为d，则|AB|＝242－d2，又d∈[1,3]，7≤42－d2≤15，所以S△OAB＝|AB|∈[27，215]．【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．若直线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x ＋2)，且l 在y 轴上的截距为6，则a ＝________.【解析】令x ＝0，得y ＝(a －1)×2＋a ＝6，∴a ＝83. 【答案】 8314．经过两条直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为________.【导学号：45722127】【解析】由方程组⎩⎨⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得交点A (－2,2)，因为所求直线垂直于直线3x －2y ＋4＝0，故所求直线的斜率k ＝－23，由点斜式得所求直线方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0.【答案】 2x ＋3y －2＝015．若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．【解析】 ∵以原点O 为圆心的圆过点P (1,2)， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝5. ∵k OP ＝2，∴切线的斜率k ＝－12.由点斜式可得切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 【答案】 x ＋2y －5＝016．若x ，y ∈R ，且x ＝1－y 2，则y ＋2x ＋1的取值范围是________．【解析】 x ＝1－y 2⇔x 2＋y 2＝1(x ≥0)，此方程表示半圆，如图，设P (x ，y )是半圆上的点，则y ＋2x ＋1表示过点P (x ，y )，Q (－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．从而由|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.又k BQ ＝3，∴所求范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求经过两点A (－1,4)，B (3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程．【解】法一 ∵圆心在y 轴上，设圆的标准方程是x 2＋(y －b )2＝r 2. ∵该圆经过A 、B 两点，∴⎩⎨⎧ (－1)2＋(4－b )2＝r 2，32＋(2－b )2＝r 2，∴⎩⎨⎧b ＝1，r 2＝10.所以圆的方程是x 2＋(y －1)2＝10. 法二线段AB 的中点为(1,3)， k AB ＝2－43－(－1)＝－12，∴弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)，即y ＝2x ＋1.由⎩⎨⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，得(0,1)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r 为 (0＋1)2＋(1－4)2＝10， ∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.18．(本小题满分12分)如图3所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1,1)在AD 边所在直线上．求：图3(1)AD边所在直线的方程；(2)DC边所在直线的方程．【解】(1)由题意知ABCD为矩形，则AB⊥AD，又AB边所在直线方程为x－3y－6＝0，∴AD边所在的直线的斜率k AD＝－3，而点T(－1,1)在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为3x＋y＋2＝0.(2)∵M为矩形ABCD两条对角线的交点，∴点M到直线AB和直线DC的距离相等．又DC∥AB，∴可令DC的直线方程为x－3y＋m＝0(m≠－6)．而M到直线AB的距离d＝410＝2510.∴M到直线DC的距离为2 510，即|2＋m|10＝2510⇒m＝2或－6，又m≠－6，∴m＝2，∴DC边所在的直线方程为x－3y＋2＝0.19．(本小题满分12分)已知△ABC的顶点B(－1，－3)，AB边上高线CE 所在直线的方程为x－3y－1＝0，BC边上中线AD所在的直线方程为8x＋9y－3＝0.(1)求点A的坐标；(2)求直线AC的方程．【解】(1)设点A(x，y)，则⎩⎨⎧8x ＋9y －3＝0，y ＋3x ＋1·13＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝3.故点A 的坐标为(－3,3)． (2)设点C (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧m －3n －1＝0，8·m －12＋9·n －32－3＝0，解得m ＝4，n ＝1，故C (4,1)，又因为A (－3,3)，所以直线AC 的方程为y －13－1＝x －4－3－4，即2x ＋7y －15＝0.20．(本小题满分12分)点A (0,2)是圆x 2＋y 2＝16内的定点，B ，C 是这个圆上的两个动点，若BA ⊥CA ，求BC 中点M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．【解】设点M (x ，y )，因为M 是弦BC 的中点，故OM ⊥BC . 又∵∠BAC ＝90°，∴|MA |＝12|BC |＝|MB |. ∵|MB |2＝|OB |2－|OM |2，∴|OB |2＝|MO |2＋|MA |2，即42＝(x 2＋y 2)＋[(x －0)2＋(y －2)2]，化简为x 2＋y 2－2y －6＝0，即x 2＋(y －1)2＝7.∴所求轨迹为以(0,1)为圆心，以7为半径的圆．21．(本小题满分12分)如图4所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于E 点，定点A ，C 的坐标分别是A (－2,3)，C (2,1)．图4(1)求以线段AC为直径的圆E的方程；(2)若B点的坐标为(－2，－2)，求直线BC截圆E所得的弦长.【导学号：45722128】【解】(1)AC的中点E(0,2)即为圆心，半径r＝12|AC|＝1242＋(－2)2＝5，所以圆E的方程为x2＋(y－2)2＝5.(2)直线BC的斜率k＝1－(－2)2－(－2)＝34，其方程为y－1＝34(x－2)，即3x－4y－2＝0.点E到直线BC的距离为d＝|－8－2|5＝2，所以BC截圆E所得的弦长为25－22＝2.22. (本小题满分12分)如图5，已知圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0，点A(0,6)．图5(1)求圆心在直线y＝x上，经过点A，且与圆C相外切的圆N的方程；(2)若过点A的直线m与圆C交于P，Q两点，且圆弧PQ恰为圆C周长的1 4，求直线m的方程．【解】(1)由x2＋y2＋10x＋10y＝0，化为标准方程：(x＋5)2＋(y＋5)2＝50.所以圆C的圆心坐标为C(－5，－5)，又圆N的圆心在直线y＝x上，所以当两圆外切时，切点为O，设圆N的圆心坐标为(a，a)，则有(a－0)2＋(a－6)2＝(a－0)2＋(a－0)2，解得a＝3，所以圆N的圆心坐标为(3,3)，半径r＝32，故圆N的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18.(2)因为圆弧PQ恰为圆C周长的14，所以CP⊥CQ.所以点C到直线m的距离为5.当直线m的斜率不存在时，点C到y轴的距离为5，直线m即为y轴，所以此时直线m的方程为x＝0.当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y＝kx＋6，即kx－y＋6＝0.所以|－5k＋5＋6|1＋k2＝5，解得k＝4855.所以此时直线m的方程为4855x－y＋6＝0，即48x－55y＋330＝0，故所求直线m的方程为x＝0或48x－55y＋330＝0.。

2018届人教B版反证法在证明题中的应用单元测试

1. 【2016高考山东文数】观察下列等式：22π2π4(sin )(sin )12333--+=⨯⨯； 2222π2π3π4π4(sin )(sin )(sin )(sin )2355553----+++=⨯⨯； 2222π2π3π6π4(sin )(sin )(sin )(sin )3477773----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯； 2222π2π3π8π4(sin )(sin )(sin )(sin )4599993----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯； …… 照此规律，2222π2π3π2π(sin)(sin )(sin )(sin )21212121n n n n n ----+++⋅⋅⋅+=++++_________．【答案】()413n n ⨯⨯+ 【解析】考点：合情推理与演绎推理【名师点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，本题以三角函数式为背景材料，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于分析类比等号两端数学式子的特征，找出共性、总结规律，降低难度.本题能较好的考查考生逻辑思维能力及归纳推理能力等.2. 【2015高考广东，理8】若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（）A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3【答案】C ．【考点定位】空间想象能力，推理能力，含有量词命题真假的判断．【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，推理求解能力和含有量词命题真假的判断，此题属于中高档题，如果直接正面解答比较困难，考虑到是选择题及选项信息可以根据平时所积累的平面几何、空间几何知识进行排除则不难得出正确答案C ，由于3n =时易知正三角形的三个顶点是两两距离相等的从而可以排除A 、B ，又当4n =时易知正四面体的四个顶点也是两两距离相等的从而可以排除D ．3.【2014山东.理4】用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（）A.方程02=++b ax x 没有实根B.方程02=++b ax x 至多有一个实根C.方程02=++b ax x 至多有两个实根D.方程02=++b ax x 恰好有两个实根【答案】A【名师点睛】本题考查反证法.解答本题关键是理解反证法的含义，明确至少有一个的反面是一个也没有.本题属于基础题，难度较小.4. 【2015高考北京，理20】已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…．记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．【答案】（1）{6,12,24}M =，（2）证明见解析，（3）8（Ⅲ）由于M 中的元素都不超过36，由136a ≤，易得236a ≤，类似可得36n a ≤，其次M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由n a 的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M 中的数除以9的余数,由定义可知，1n a +和2n a 除以9的余数一样，①若n a 中有3的倍数，由（2）知：所有的n a 都是3的倍数，所以n a 都是3的倍数，所以n a 除以9的余数为为3，6，3，6，...... ,或6，3，6，3......，或0，0，0，...... ,而除以9余3且是4的倍数只有12，除以9余6且是4的倍数只有24，除以9余0且是4的倍数只有36，则M 中的数从第三项起最多2项，加上前面两项，最多4项.②n a 中没有3的倍数，则n a 都不是3的倍数，对于3a 除以9的余数只能是1，4，7，2，5，8中的一个，从3a 起，n a 除以9的余数是1，2，4，8，7，5，1，2，4，8，...... ,不断的6项循环（可能从2，4，8，7或5开始），而除以9的余数是1，2，4，8，5且是4的倍数(不大于36)，只有28，20，4，8，16，32，所以M 中的项加上前两项最多8项，则11a =时，{1,2,4,8,16,32,28,20}M =，项数为8，所以集合M 的元素个数的最大值为8. 考点定位：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.【名师点睛】本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二、三两步难度较大，适合选拔优秀学生.【反馈练习】1．【2015-2016学年陕西延川县中学高二下学期期末数学（文）试卷】用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（）A ．有两个内角是钝角B ．有三个内角是钝角C ．至少有两个内角是钝角D ．没有一个内角是钝角【答案】C【解析】考点：否定命题的写法．2．【2016-2017学年江西南昌市高三新课标一轮复习一数学试卷】用反证法证明命题“设3()3||()f x x x a a R =+-∈为实数，则方程()0f x =至少有一个实根”时，要做的假设是（）A ．方程()f x 没有实根B ．方程()0f x =至多有一个实根C ．方程()0f x =至多有两个实根D ．方程()0f x =恰好有两个实根【答案】A【解析】试题分析：由反证法证明命题的格式和步骤,可知应设方程()f x 没有实根,故应选A. 考点：反证法证明命题的格式及步骤.3．【2016-2017河北武邑中学高二上周考9.25理数学试卷】在用反证法证明命题“已知()0,2a b c ∈、、，求证()()()222a b b c c a ---、、不可能都大于1”时，反证时假设正确的是（）A ．假设()()()222a b b c c a ---、、都小于1B ．假设()()()222a b b c c a ---、、都大于1C ．假设()()()222a b b c c a ---、、都不大于1D ．以上都不对【答案】D【解析】试题分析：根据反证法的概念可知，命题“已知()0,2a b c ∈、、，求证()()22a b b c --、、()2c a -不可能都大于1”时，反证时假设因为“假设()()()222a b b c c a ---、、都大于1”，故选D ．考点：反证法．4．【2015-2016学年山东枣庄三中高二6月调查数学（理）试卷】用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）A. 假设三内角都不大于60度B. 假设三内角都大于60度C. 假设三内角至多有一个大于60度D. 假设三内角至多有两个大于60度【答案】B【解析】考点：反证法．5．【2015-2016学年福建晋江平山中学高二下学期期中数学（文）试卷】用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数【答案】B【解析】试题分析：原命题的结论为：“恰有一个偶数”。

2018年高考数学题分类汇编(20)选修4-1：几何证明选讲精品

2018年全国各地高考数学真题分章节分类汇编第20部分:选修系列---（选修4-1：几何证明选讲）一、填空题：1．（2018年高考天津卷文科11）如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P 。

若PB=1，PD=3，则BC AD 的值为。

【答案】13【解析】因为ABCD 四点共圆，所以∠DAB =∠PCB ，∠CDA=∠PBC ，因为∠P 为公共角，所以PBC ∆∽PAB ∆，所以PB PD =PC PA =BC AD ，所以BC AD =PB PD =13。

【命题意图】本题考查四点共圆与相似三角形的性质。

2．（2018年高考广东卷文科14）（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB,CB AB ⊥,AB=AD=a ,CD=2a , 点E,F 分别为线段AB,AD 的中点，则EF= 。

【答案】2a 解：连结DE ，可知AED ∆为直角三角形。

则EF 是DEA Rt ∆斜边上的中线，等于斜边的一半，为2a . 3．（2018年高考陕西卷文科15）（几何证明选做题）如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝ cm. 【答案】165cm二、解答题：1．（2018年高考辽宁卷文科22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，ABC ∆的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点.E（Ⅰ）证明：ABE ∆∽△ADC ;（Ⅱ）若ABC ∆的面积12S AD AE =⋅，求BAC ∠的大小. 证明：（Ⅰ）由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD .因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD .故△ABE ∽△ADC .（Ⅱ）因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AD AE AC=，即AB ·AC ＝AD ·AE . 又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE .则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90°.2(2018年高考宁夏卷文科22)（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图：已知圆上的弧AC BD =，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：（Ⅰ）ACE ∠=BCD ∠。

2018年秋人教B版数学选修1-1第一章检测(含精品解析)

第一章检测一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 给出下列命题:(1)有的四边形是菱形;(2)有的三角形是等边三角形;(3)无限不循环小数是有理数;(4)∀x∈R,x>1;(5)0是最小的自然数.其中假命题的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：逐一分析各个命题的真假，综合可得答案详解：是真命题，无限不循环小数是无理数，故为假命题为假命题，故为假命题综上所述，假命题的个数为故选点睛：本题主要考查的知识点是命题的真假判断与应用，结合各知识点的概念即可判断。

2. 设p,q是两个命题,则命题“p∨q”为真的充要条件是( )A. p,q中至少有一个为真B. p,q中至少有一个为假C. p,q中有且只有一个为真D. p为真,q为假【答案】A【解析】分析：由课本知识即可判断点睛：本题考查了“或”命题的真假性，结合课本知识即可得出答案。

3. 已知p:{1}⊆{0,1},q:{1}∈{1,2,3},由它们构成的新命题“p∧q”“p∨q”“ p”中,真命题的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】分析：分别判断命题的真假，然后利用复合命题的真假关系进行判断。

详解：由题意可知，为真命题，为假命题是假命题，是真命题，是假命题故真命题的个数为故选点睛：本题主要考查了复合命题与简单命题的真假关系，比较基础。

4. 已知命题p:∃x∈R,x+6>0,则p是( )A. ∃x∈R,x+6≥0B. ∃x∈R,x+6≤0C. ∀x∈R,x+6≥0D. ∀x∈R,x+6≤0【答案】D【解析】分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到答案详解：命题：为全称命题，根据全称命题的否定是特称命题可得：：故选点睛：本题主要考查了全称命题和命题的否定，属于基础题，熟练掌握根据全称命题的否定是特称命题是解题的关键5. 已知命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在该命题的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】试题分析：因为根据幂函数的定义，易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题．故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个．故答案为B考点：本试题主要考查四种命题的真假，本题解题的关键是在这四个命题中，正确命题的个数是成对出现的，注意判断．点评：解决该试题的关键是明确互为逆否命题真值相同的道理，那么原命题真和逆否命题真值一样，其否命题和其逆命题真值相同，只要判定两个即可。

2018届人教B版立体几何 (1) 单元测试

(限时40分钟)[基础练]扣教材练双基一、选择题1．一个几何体的三视图如图7-2-12所示，其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是( )图7-2-12A ．16 πB ．14 πC ．12 πD ．8 π【解析】由三视图可知，该几何体为一个球切去四分之一个球后剩余部分，由于球的半径为2，所以这个几何体体积为34×43π×23＝8π.【答案】 D2．(2015·北京高考)某三棱锥的三视图如图7-2-13所示，则该三棱锥的表面积是( )图7-2-13A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5【解析】作出三棱锥的示意图如图，在△ABC 中，作AB 边上的高CD ，连接SD .在三棱锥S -ABC 中，SC ⊥底面ABC ，SC ＝1，底面三角形ABC 是等腰三角形，AC＝BC ，AB 边上的高CD ＝2，AD ＝BD ＝1，斜高SD ＝5，AC ＝BC ＝ 5.∴S表＝S △ABC ＋S △SAC ＋S △SBC ＋S △SAB ＝12×2×2＋12×1×5＋12×1×5＋12×2×5＝2＋2 5.【答案】 C3．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图7-2-14，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )图7-2-14A.18B.17C.16D.15【解析】由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V 2＝13－16＝56. 所以V 1V 2＝1656＝15，故选D.【答案】 D4．(2015·安徽高考)一个四面体的三视图如图7-2-15所示，则该四面体的表面积是( )图7-2-15A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 2【解析】根据三视图还原几何体如图所示，其中侧面ABD ⊥底面BCD ，另两侧面ABC 、ACD 为等边三角形，则S 表面积＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋ 3.【答案】 B5．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A. 81π4 B ．16π C ．9π D.27π4【解析】如图所示，设球半径为R ，底面中心为O ′且球心为O ，∵正四棱锥P -ABCD 中AB ＝2，∴AO ′＝ 2. ∵PO ′＝4， ∴在Rt △AOO ′中，AO 2＝AO ′2＋OO ′2，∴R 2＝(2)2＋(4－R )2，解得R ＝94，∴该球的表面积为4πR 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫942＝81π4，故选A.【答案】 A 二、填空题6．如图7-2-16，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1-EDF 的体积为．图7-2-16【解析】 VD 1-EDF ＝VF -DD 1E ＝13 ·AB ＝13×12×1×1×1＝16.【答案】 167．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是．【解析】设甲、乙两圆柱的底面半径分别为r 1，r 2，母线长分别为l 1，l 2，则由S 1S 2＝94得r 1r 2＝32.又两圆柱侧面积相等，即2πr 1l 1＝2πr 2l 2，则l 1l 2＝r 2r 1＝23，所以V 1V 2＝S 1l 1S 2l 2＝94×23＝32.【答案】 328．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图7-2-17所示，则该几何体的体积是．图7-2-17【解析】根据三视图，画出其直观图，几何体由正方体切割而成，即正方体截去一个棱台．如图所示．其中正方体棱长为2，AF ＝AE ＝1，故所求几何体体积为V ＝23－13×2×12×1×1＋12×2×2＋12×1×1×12×2×2＝173.【答案】 173 三、解答题9．(2015·荥阳月考)已知球的两平行截面的面积分别为5π和8π，它位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的体积．【解】如图，设以r 1为半径的截面面积为5π，圆心为O 1，以r 2为半径的截面面积为8π，圆心为O 2，O 1O 2＝1，球的半径为R ，设OO 2＝x ，可得下列关系式：r 22＝R 2－x 2，πr 22＝π(R 2－x 2)＝8π，r 21＝R 2－(x ＋1)2，πr 21＝π[R 2－(x ＋1)2]＝5π，∴R 2－x 2＝8，R 2－(x ＋1)2＝5，解得R ＝3，∴球的体积为V ＝43πR 3＝43π×33＝36π.10．(2015·全国卷Ⅱ)如图7-2-18，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．图7-2-18(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．【解】 (1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)如图，作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8.因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6. 故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56， S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97⎝ ⎛⎭⎪⎫79也正确.[能力练]扫盲区提素能1．(2015·山东高考)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3 D ．2π【解析】过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，选C.【答案】 C2．如图7-2-19，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB ＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为( )图7-2-19A ．2B ．1 C. 2 D.22【解析】由题意知，球心在侧面BCC 1B 1的中心O 上，BC 为截面圆的直径，∴∠BAC ＝90°，△ABC 的外接圆圆心N 是BC 的中点，同理△A 1B 1C 1的外心M 是B 1C 1的中点．设正方形BCC 1B 1的边长为x ，在Rt △OMC 1中，OM ＝x 2，MC 1＝x 2，OC 1＝R ＝1(R 为球的半径)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝1，即x ＝2，则AB ＝AC＝1，∴S 矩形ABB 1A 1＝2×1＝ 2.【答案】 C3．圆锥的全面积为15 π cm 2，侧面展开图的圆心角为60°，则该圆锥的体积为 cm 3.【解析】设底面圆的半径为r ，母线长为a ，则侧面积为12×(2πr )a ＝πra .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧πra ＋πr 2＝15π，πra ＝16πa 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r2＝157，a 2＝36×157，故圆锥的高h ＝a 2－r 2＝53，所以体积V ＝13πr 2h ＝13π×157×53＝2537π(cm 3)．【答案】 2573π4．已知正四面体的俯视图如图7-2-20所示，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，则这个正四面体的表面积为，体积为．图7-2-20【解析】由题意知正四面体的直观图E -ACF 补成正方体如图所示．由正方体棱长为2，知正四面体的棱长为22，正四面体表面积为34×(22)2×4＝8 3.点E 到平面ACF 的距离为(22)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22×232＝433.正四面体的体积为13×433×34×(22)2＝83. 【答案】 83 835．如图7-2-21所示，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，求该多面体的体积．图7-2-21【解】如图所示，分别过A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，∵三棱锥高为12，直三棱柱高为1， AG ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32，取AD 中点M ，则MG ＝22，∴S △AGD ＝12×1×22＝24， ∴V ＝24×1＋2×13×24×12＝23.6．如图7-2-22，已知平行四边形ABCD 中，BC ＝2，BD ⊥CD ，四边形ADEF 为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．记CD ＝x ，V (x )表示四棱锥F -ABCD 的体积．图7-2-22(1)求V (x )的表达式； (2)求V (x )的最大值．【解】 (1)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD 且F A ⊥AD ，∴F A ⊥平面ABCD .∵BD ⊥CD ，BC ＝2，CD ＝x ， ∴F A ＝2，BD ＝4－x 2(0＜x ＜2)， ∴S ▱ABCD ＝CD ·BD ＝x 4－x 2，∴V (x )＝13S ▱ABCD ·F A ＝23x 4－x 2(0＜x ＜2)． (2)V (x )＝23x 4－x 2＝23－x 4＋4x 2 ＝23－ x 2－2 2＋4.∵0＜x ＜2，∴0＜x 2＜4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，V (x )取得最大值，且V (x )max ＝43.。

2018届人教B版立体几何(文)检测卷

第七章综合过关规范限时检测(文)(时间：120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2016·山东枣庄八中高三月考)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 ( D )A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④[解析] ①的正视图、侧视图、俯视图均为正方形，不符合题意；②的正视图、侧视图、俯视图分别为三角形、三角形、圆；③的正视图、侧视图、俯视图分别为等腰梯形且左右中间加一条线、一般梯形、三角形，不符合题意；④正四棱锥的正视图、侧视图、俯视图分别为三角形、三角形、正方形且连接两条对角线．故选D ．2．(2016·四川雅安高三模拟)下列说法错误的是 ( D ) A ．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B ．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直C ．如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直D ．如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行[解析] 由平面性质的公理1,2,3易知A ，B 两项正确；由面面垂直的判定定理知C 项正确；D 项不正确，因为这两条直线可能相交，可能平行，可能异面．故选D ．3．(2017·福建省南平市邵武七中高三上学期第一次月考数学试题)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ( B )A ．16B ．13C ．23D ．1[解析] 由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中P A ⊥底面ABC ，P A ＝2，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1.据此即可得到体积．解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中P A ⊥底面ABC ，P A ＝2，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1.∴S △ABC ＝12×AB ×BC ＝12×12＝12.因此V ＝13×S △ABC ×P A ＝13×12×2＝13.故选B ．4．(2016·宁夏回族自治区银川一中高三一模)已知直线m ，n 和平面α，则m ∥n 的必要非充分条件是 ( A )A ．m ，n 与α成等角B ．m ⊥α，且n ⊥αC ．m ∥α，且n ⊂αD ．m ∥α，且n ∥α[解析] 因为m ∥n ，所以m ，n 与α所成角相等，但m ，n 与α所成角相等，m 与n 可能相交、异面，也可能平行．故选A ．5．(2016·广东江门3月模拟)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 1，BC 1的中点．下列结论中，正确的是 ( B )A ．EF ⊥BB 1 B ．EF ∥平面ACC 1A 1 C ．EF ⊥BDD ．EF ⊥平面BCC 1B 1[解析] 如图所示，取BB 1的中点M ，连接ME ，MF ，延长ME 交AA 1于P ，延长MF 交CC 1于Q ，∵E ，F 分别是AB 1，BC 1的中点，∴P 是AA 1的中点，Q 是CC 1的中点，从而可得E 是MP 的中点，F 是MQ 的中点，所以EF ∥PQ .又PQ ⊂平面ACC 1A 1，EF ⊄平面ACC 1A 1，所以EF ∥平面ACC 1A 1.故选B ．6．(2016·河北邯郸上学期1月份教学质量检测)在正四棱锥P－ABCD中，P A＝2，直线P A与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线P A与BE所成的角为(C) A．90°B．60°C．45°D．30°[解析]连接AC，BD交于点O，连接OE，OP.因为E为PC中点，所以OE∥P A，所以∠OEB即为异面直线P A与BE所成的角．因为四棱锥P－ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，所以AO为P A在平面ABCD内的射影，所以∠P AO即为P A与平面ABCD所成的角，即∠P AO＝60°.因为P A＝2，所以OA＝OB＝1，OE＝1.所以在直角三角形EOB中，∠OEB＝45°，即异面直线P A与BE所成的角为45°.故选C．7．(2016·贵州八校联盟第二次联考)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD 的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O.则下列说法正确的是(D)A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的内心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心[解析]易知P A，PE，PF两两垂直，P A⊥平面PEF，从而P A⊥EF，而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，所以EF⊥平面P AO，∴EF⊥AO.同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O为△AEF 的垂心．故选A．8．(2017·浙江省名校协作体2016届高三下学期3月联考数学试题)已知α，β是相异两平面，m，n是相异两直线，则下列命题中不正确的是(D)A．若m∥n，m⊥α，则m⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n[解析]由α，β是相异两平面，m，n是相异两直线，知：若m∥n，m⊥α，则m⊥α；若m⊥α，m⊥β，则α∥β；若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；若m∥α，α∩β＝n，则m与n相交、平行或异面．解：由α，β是相异两平面，m，n是相异两直线，知：若m∥n，m⊥α，则m⊥α，故A正确；若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故B正确；若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，故C正确；若m∥α，α∩β＝n，则m与n相交、平行或异面，故D不正确．故选D．9．(2015·福建厦门期末)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°.侧面P AD为正三角形，且平面P AD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是(D)A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB．异面直线AD与PB所成的角为90°C．二面角P－BC－A的大小为45°D．BD⊥平面P AC[解析]对于A项，如图，取AD的中点M，连接PM，BM.因为则面P AD为正三角形，所以PM⊥AD．又底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，所以△ABD是等边三角形，所以AD ⊥BM，所以AD⊥平面PBM，故A项正确，对于B项，因为AD⊥平面PBM，所以AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B项正确．对于C项，因为底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，平面P AD⊥平面ABCD，所以BM⊥BC，则∠PBM是二面角P－BC－A的平面角．设AB＝1，则BM＝32，PM＝32.在Rt△PBM中，tan∠PBM＝PMBM＝1，即∠PBM＝45°，所以二面角P－BC－A的大小为45°，故C项正确．故选D．10．正三棱锥P －ABC 的高为2，侧棱与底面ABC 成45°角，则点A 到侧面PBC 的距离为 ( B )A ．355B ．655C ． 5D ．5[解析] 如图所示，正三棱锥P －ABC 中高PO ＝2，侧棱P A 与底面所成的角∠P AO ＝45°延长AO 交BC 、于点M ，则点M 为BC 边的中点，连接PM ，∴AO ＝PO ＝2，OM ＝1，PM ＝PO 2＋OM 2＝5，过点A 作AN ⊥PM 于点N ，则AN ⊥平面PBC ，即得AN 的长就是点A 到平面PBC 的距离，∵AM ×PO ＝PM ×AN ，∴AN ＝AM ×PO PM ＝3×25＝655.11．(2016·河南商丘高三一模)已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为 ( A )A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π[解析] 由三棱锥的三视图，易得俯视图斜边上的中点到三棱锥各顶点的距离均为1，所以三棱锥的外接球球心为俯视图斜边上的中点，外接球的半径为1.由球的表面积公式S 球＝4πR 2，知外接球表面积为4π，故选A ．12.(2016·江西上饶第一次模拟)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都等于2，D 在AC 1上，F 为BB 1的中点，且FD ⊥AC 1，有下述结论：(1)AC 1⊥BC ； (2)ADDC 1＝1；(3)平面F AC 1⊥平面ACC 1A 1； (4)三棱锥D －ACF 的体积为33. 其中正确结论的个数为 ( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] BC ⊥CC 1，但BC 不垂直于AC ，故BC 不垂直于平面ACC 1A 1，所以AC 1与BC 不垂直，故(1)错误；连接AF ，C 1F ，可得AF ＝C 1F ＝ 5.因为FD ⊥AC 1，所以可得D 为线段AC 1的中点，故(2)正确；取AC 的中点为H ，连接BH ，DH ，因为该三棱柱是正三棱柱，所以CC 1⊥底面ABC ，因为BH ⊂底面ABC ，所以CC 1⊥BH ，因为底面ABC 为正三角形，可得BH ⊥AC ，所以BH ⊥侧面ACC 1A 1.因为D 和H 分别为AC ，AC 1的中点，∴DH ∥CC 1∥BF ，DH ＝BF ＝12CC 1，可得四边形BFDH 为平行四边形，所以FD ∥BH ，所以可得FD ⊥平面ACC 1A 1，所以平面F AC 1⊥平面ACC 1A 1，故(3)正确；V D －ACF ＝V F －ADC ＝13·FD ·S △ACD ＝13×3×(12×1×2)＝33，故(4)正确．故选C ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．(2016·山东青岛模拟)已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的表面积之比是_2∶3__.[解析] 设球的半径为R ，则球的表面积S 球＝4πR 2，圆柱的底面半径为R ，高为2R ，则圆柱的表面积S 柱＝2×πR 2＋2πR ×2R ＝6πR 2.球的表面积与圆柱的表面积的比为4πR 2∶6πR 2＝2∶3.14．(2016·浙江，6分)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_72__cm 2，体积是_32__cm 3.[解析] 将三视图还原成直观图如图所示，它由2个长方体组合而成，其体积V＝2×2×2×4＝32 cm 3，表面积为6×2×4＋6×2×2＝72 cm 2.15．如图所示是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E ，F ，分别为P A ，PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BE 与直线AF 异面； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面P AD ．其中正确的有_2__个.[解析] 将几何体展开图拼成几何体(如图)，因为E ，F 分别为P A ，PD 的中点，所以EF ∥AD ∥BC ，即直线BE 与CF 共面，①错；因为B ∉平面P AD ，E ∈平面P AD ，E ∉AF ，所以BE 与AF 是异面直线，②正确；因为EF ∥AD ∥BC ，EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ，③正确；平面P AD 与平面BCE 不一定垂直，④错．16．(2016·浙江，4分)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ＝BC ＝3，CD ＝1，AD＝5，∠ADC ＝90°.沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD ′，直线AC 与BD ′所成角的余弦的最大值是66.[解析] 作BE ∥AC ，BE ＝AC ，连接D ′E ，则∠D ′BE 为所求的角或其补角，作D ′N ⊥AC 于点N ，设M 为AC 的中点，连接BM ，则BM ⊥AC ，作NF ∥BM 交BE 于F ，连接D ′F ，设∠D ′NF ＝θ，∵D ′N ＝56＝306，BM ＝FN ＝152＝302，∴D ′F 2＝253－5cos θ，∵AC ⊥D ′N ，AC ⊥FN ，∴D ′F ⊥AC ，∴D ′F ⊥BE ，又BF ＝MN ＝63，∴Rt △D ′FB 中，D ′B 2＝9－5cos θ，∴cos ∠D ′BE ＝BF D ′B ＝639－5cos θ≤66，当且仅当θ＝0°时取“＝”．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)如图，在三棱锥P －ABC 中，BC ⊥平面P AB ．已知P A ＝AB ，点D ，E 分别为PB ，BC 的中点.(1)求证：AD ⊥平面PBC ；(2)若F 在线段AC 上，满足AD ∥平面PEF ，求AFFC 的值．[答案] (1)略 (2)12[解析] (1)证明：∵BC ⊥平面P AB ，AD ⊂平面P AB ，∴BC ⊥AD ． ∵P A ＝AB ，D 为PB 的中点，∴AD ⊥PB ． ∵PB ∩BC ＝B ，∴AD ⊥平面PBC ．(2)解：如图所示，连接DC 交PE 于G ，连接FG . ∵AD ∥平面PEF ，平面ADC ∩平面PEF ＝FG ， ∴AD ∥FG .∵G 为△PBC 的重心， ∴AF FC ＝DG GC ＝12. 18.(本小题满分12分)(2016全国卷Ⅰ)如图，已知正三棱锥P －ABC 的侧面是直角三角形，P A ＝6.顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G(1)证明：G 是AB 的中点；(2)在图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积．[解析] (1)因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以AB ⊥PD ．因为D 在平面P AB 内的正投影为E ，所以AB ⊥DE .所以AB ⊥平面PED ，故AB ⊥PG .又由已知，可得P A ＝PB ，所以G 是AB 的中点．(2)在平面P AB 内，过点E 作PB 的平行线交P A 于点F ，F 即为E 在平面P AC 内的正投影．理由如下：由已知可得PB ⊥P A ，PB ⊥PC ，又EF ∥PB ，所以EF ⊥P A ，EF ⊥PC ，因此EF ⊥平面P AC ，即点F 为E 在平面P AC 内的正投影．连接CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心．由(1)知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故CD ＝23CG .由题设可得PC ⊥平面P AB ，DE ⊥平面P AB ，所以DE ∥PC ，因此PE ＝23PG ，DE ＝13PC ．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A ＝6，可得DE ＝2，PE ＝2 2. 在等腰直角三角形EFP 中，可得EF ＝PF ＝2. 所以四面体PDEF 的积体V ＝13×12×2×2×2＝43.19．(本小题满分12分)(2017·黑龙江省大庆市高三上学期第一次质检数学试题)如图，已知三棱锥A ﹣BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形.(1)求证：BC⊥平面APC；(2)若BC＝3，AB＝10，求点B到平面DCM的距离．[解析](1)根据正三角形三线合一，可得MD⊥PB，利用三角形中位线定理及空间直线夹角的定义可得AP⊥PB，由线面垂直的判定定理可得AP⊥平面PBC，即AP⊥BC，再由AC⊥BC结合线面垂直的判定定理可得BC⊥平面APC；(2)记点B到平面MDC的距离为h，则有V M﹣BCD＝V B﹣MDC．分别求出MD长，及△BCD 和△MDC面积，利用等积法可得答案．证明：(1)如图，∵△PMB为正三角形，且D为PB的中点，∴MD⊥PB．又∵M为AB的中点，D为PB的中点，∴MD∥AP，∴AP⊥PB．又已知AP⊥PC，PB∩PC＝P，PB，PC⊂平面PBC∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，AC∩AP＝A，∴BC⊥平面APC，(2)记点B到平面MDC的距离为h，则有V M﹣BCD＝V B﹣MDC．∵AB＝10，∴MB＝PB＝5，又BC＝3，BC⊥PC，∴PC ＝4，∴S △BDC ＝12S △PBC ＝14PC ·BC ＝3. 又MD ＝532， ∴V M －BCD ＝13MD ·S △BDC ＝532. 在△PBC 中，CD ＝12，PB ＝52，又∵MD ⊥DC ，∴S △MDC ＝12MD ·DC ＝2583， ∴V B －MDC ＝13h ·S △MDC ＝13·h ·2583＝532 ∴h ＝125即点B 到平面DCM 的距离为125. [点拨] 本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，点到平面的距离，其中(1)的关键是熟练掌握空间线线垂直与线面垂直之间的相互转化，(2)的关键是等积法的使用．20.(本小题满分12分)(2016·福建莆田一中等上学期三校联考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝1，AB ＝3，点F 是PD 的中点，点E 是边DC 上的任意一点.(1)当点E 为DC 边的中点时，判断EF 与平面P AC 的位置关系，并加以证明；(2)证明：无论点E 在边DC 的何处，都有AF ⊥EF ；(3)求三棱锥B －AFE 的体积．[答案] (1)平行 (2)略 (3)312[解析] (1)解：当点E 为DC 边的中点时，EF 与平面P AC 平行．证明如下：在△PDC 中，E ，F 分别为DC ，PD 的中点，∴EF ∥PC ，又EF ⊄平面P AC ，而PC ⊂平面P AC ，∴EF ∥平面P AC ．(2)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥CD ．∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥AD ．∵AD ∩AP ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ．又AF ⊂平面P AD ，∴AF ⊥CD ．∵P A ＝AD ，点F 是PD 的中点，∴AF ⊥PD ．又CD ∩PD ＝D ，∴AF ⊥平面PCD ．∵EF ⊂平面PCD ，∴AF ⊥EF .即无论点E 在边DC 的何处，都有AF ⊥EF .(3)解：作FG ∥P A 交AD 于G ，则FG ⊥平面ABCD ，且FG ＝12，又S △ABE ＝32，∴V B －AEF ＝V F －AEB ＝13S △ABE ·FG ＝312. ∴三棱锥B －AFE 的体积为312. 21.(本小题满分12分)(2016·洛阳统一考试)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是PD 的中点，且AB ＝2，∠BAD ＝60°.(1)求证：OM ∥平面P AB ；(2)求证：平面PBD ⊥平面P AC ；(3)当三棱锥M －BCD 的体积等于34时，求PB 的长． [答案] (1)略 (2)略 (3)52[解析] (1)∵在△PBD 中，O ，M 分别是BD ，PD 的中点，∴OM 是△PBD 的中位线，∴OM ∥PB ，又OM ⊄平面P AB ，PB ⊂平面P AB ，∴OM ∥平面P AB ．(2)∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BD ．∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，又AC ⊂平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，AC ∩P A ＝A ，∴BD ⊥平面P AC ．∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面P AC ．(3)∵底面ABCD 是菱形，M 是PD 的中点，∴V M －BCD ＝12V M －ABCD ＝14V P －ABCD ，从而V P －ABCD ＝ 3. 又AB ＝2，∠BAD ＝60°，∴S 四边形ABCD ＝2 3.∵四棱锥P －ABCD 的高为P A ，∴13×23×P A ＝3，得P A ＝32， ∵P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AB ．在Rt △P AB 中，PB ＝P A 2＋AB 2＝(32)2＋22＝52. 22．(本小题满分12分)(2017·福建省南平市邵武七中高三上学期第一次月考数学试题)如图，直角梯形ACDE 与等腰直角△ABC 所在平面互相垂直，F 为BC 的中点，∠BAC ＝∠ACD ＝90°，AE ∥CD ，DC ＝AC ＝2AE ＝2.(1)求证：AF ∥平面BDE ；(2)求四面体B ﹣CDE 的体积．[解析] (1)取BD 的中点P ，连接EP 、FP ，△BCD 中利用中位线定理，证出PF ∥DC且PF ＝DC ，结合题意EA ∥DC 且EA ＝12DC ，可得PF 与EA 平行且相等，从而得到四边形AFPE 是平行四边形，可得AF ∥EP ，再由线面平行判定定理可得AF ∥平面BDE ；(2)由面面垂直的性质定理，证出BA ⊥面ACDE ，得BA 就是四面体B ﹣CDE 的高．根据直角梯形ACDE 的上下底边长和直角腰长，算出△CDE 的面积为S △CDE ＝S 梯形ACDE ﹣S △ACE ＝2，最后利用锥体的体积公式即可算出四面体B ﹣CDE 的体积．解：(1)取BD 的中点P ，连接EP 、FP ，∵△BCD 中，PF 为中位线，∴PF ∥DC 且PF ＝12DC ，又∵AE ∥CD ，DC ＝2AE ＝2，∴EA ∥DC 且EA ＝12DC ，由此可得PF ∥EA ，且PF ＝EA∴四边形AFPE是平行四边形，可得AF∥EP∵EP⊂面BDE，AF⊄面BDE，∴AF∥面BDE(2)∵BA⊥AC，面ABC⊥面ACDE，面ABC∩面ACDE＝AC ∴BA⊥面ACDE，即BA就是四面体B﹣CDE的高，BA＝2 ∵DC＝AC＝2AE＝2，AE∥CD∴S梯形ACDE＝12(1＋2)×2＝3，S△ACE＝12×1×2＝1因此，△CDE的面积为S△CDE＝3﹣1＝2∴四面体B﹣CDE的体积V B－CDE＝13·BA·S△CDE＝13×2×2＝43.。

2018届人教B版导数的几何意义与应用单元测试

【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1.【2013⋅新课标全国】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x x ≤0ln(x ＋1) x ＞0,若| f (x )|≥ax ,则a 的取值范围是( )A 、（－∞,0]B 、（－∞,1]C 、[－2,1]D 、[－2,0] 【答案】D ；2.【2013⋅新课标全国】已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ,g (x )＝e x (cx ＋d ),若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2),且在点P 处有相同的切线y ＝4x +2 （Ⅰ）求a ,b ,c ,d 的值【解析】（1）因为曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P(0,2),所以b=d=2；因为'()2f x x a =+,故'(0)4f a ==；'()()xg x e cx d c =++,故'(0)24g c =+=,故2c =；所以2()42f x x x =++,()(22)x g x e x =+；3.【2014全国卷2理】设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a =（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D【解析】设()()ln 1f x ax x =-+,则()()1012 3.1f x a f a a x ''=-⇒=-=⇒=+ 4.【2014全国卷1文21(1)】设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠,曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0（1）求b; 【解析】'()(1)af x a x b x=+--,由题设知'(1)0f =,解得1b =.5.【2014全国卷2文21（1）】已知函数32()32f x x x ax =-++,曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-. （1）求a ；【解析】'()f x =236x x a -+,'(0)f a =.曲线()y f x =在点（0,2）处的切线方程为2y ax =+.由题设得22a-=-,所以a =1. 6.【2015全国Ⅰ卷文】已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 处的切线过点()2,7,则a = 【答案】1【解析】()12f a =+,()131f a '=+,所以切线方程为()()()2311y a a x -+=+-.又过点()2,7,即()()723121a a --=+-,解得1a =.故填1.7.【2015全国2卷文】已知曲线ln y x x =+在点()11，处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切, 则=a . 【答案】88.【2015全国1理21（1）】已知函数()314f x x ax =++,当a 为何值时,x 轴为曲线()y f x =的切线.【解答】设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ,则()00f x =,()00f x '=,即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩,解得012x =,34a =-,所以当34a =-时,x 轴为曲线()y f x =的切线．【热点深度剖析】从近几年的高考试题来看,导数的几何意义是高考的热点,几乎年年都出题,题型既有客观题,又有解答题,试题多以二次函数、三次函数及对数函数为载体,难度中档左右,如出现在解答题中一般是解答题的第一问．在2013年高考中,涉及到导数的几何意义有两道,一道选择题文科是第12题,理科第11题,都作为把关题,一道是解答题考查了利用导数的几何意义求曲线的切线方程,在2014年高考中,无论是客观题、解答题都是根据切线求参数取值,难度较小；2015年高考中依然是根据切线方程求参数取值.预测2016年高考仍将以导数的几何意义为背景设置成选择题或解答题第一问,理科难度有可能增加,有可能是根据切线条数求参数范围,另外指数函数的切线问题在近几年高考中还没有涉及到．请考生重视．【重点知识整合】导数的概念与几何意义（1）导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义,当自变量在0x x =处有增量x ∆时,则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆,如果0→∆x 时,y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数,记作0x x y =',即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆.注意：在定义式中,设x x x ∆+=0,则0x x x -=∆,当x ∆趋近于0时,x 趋近于0x ,因此,导数的定义式可写成000000()()()()()limlim x ox x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. （2.）导数的几何意义：导数0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率,它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此,如果)(x f y =在点0x 可导,则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-注意：“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不相同的,后者A 必为切点,前者未必是切点.3（）导数的物理意义：函数()s s t =在点0t 处的导数0(),s t '就是物体的运动方程()s s t =在点0t 时刻的瞬时速度v ,即0().v s t '=【应试技巧点拨】利用导数求切线问题中的“在”与“过”在解决曲线的切线问题时,利用导数求切线的斜率是非常重要的一类方法.在求解过程中特别注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条,曲线过某点的要切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个.因此在审题时应首先判断是“在”还是“过”.若“在”,利用该点出的导数为直线的斜率,便可直接求解；若“过”,解决问题关键是设切点,利用“待定切点法”,即：设点A （x 0,y 0）是曲线y=f(x)上的一点,则以A 为切点的切线方程为y －y 0=f ))((00/x x x -,再根据题意求出切点. 【考场经验分享】函数切线的相关问题的解决,抓住两个关键点：其一,切点是交点；其二,在切点处的导数是切线的斜率．因此,解决此类问题,一般要设出切点,建立关系——方程(组)．其三,求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异．过点P 的切线中,点P 不一定是切点,点P 也不一定在已知曲线上；在点P 处的切线,点P 是切点．【名题精选练兵篇】1．【2016届安徽省合肥168中学高三上10月月考】设曲线y=ax ﹣ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x,则a=（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】根据导数的几何意义,即f′（x 0）表示曲线f （x ）在x=x 0处的切线斜率,再代入计算．解：,∴y′（0）=a ﹣1=2,∴a=3．故答案选D ．2．【2016届湖北省孝感市六校联盟高三上学期期末】曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（）A ．45°B ．30°C ．60°D ．120° 【答案】A【解析】2132,|3121,x y x y =''=-∴=⨯-= 所以切线在点()1,3处切线的斜率1k =,设切线的倾斜角为α,则tan 1α=,又)0α⎡∈⎣ ，180,解得=45α ,故选A ．3．【2016届广东省广州实验中学高三上学期第二次段考】已知函数f （x ）=e x ﹣mx+1的图象是曲线C,若曲线C 不存在与直线y=ex 垂直的切线,则实数m 的取值范围是（） A ．（﹣∞,﹣） B ．[,+∞） C ．（﹣∞,） D ．（﹣∞,] 【答案】D4．【2016届河北省邯郸一中高三下学期调研】已知函数()()2212,3ln 2f x x axg x a x b =+=+,设两曲线()(),y f x y g x ==有公共点,且在该点处的切线相同,则()0,a ∈+∞时,实数b 的最大值是（）A ．6136eB ．616e C ．2372e D ．2332e【答案】D【解析】设切点为（0x ,0y ）,则由切点处的斜率相同且切线相同得,0203x a a x =+2……①,b x a ax x +=+02003221ln ……②.因为(0,)a ∈+∞,所以由①得0x a =,并将其代入②得,a a a b ln 22325-=．设a a a a h ln )(22325-=,利用导数法求得函数在区间），（31e 0上单调递增,在区间),(+∞31e 上单调递减,所以323123e e h a h ==)()(max ,则=maxb 2332e ．选D ． 5．【2016届广西省武鸣县高中高三上学期8月月考】已知,a b R ∈,直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =的图象在4x π=-处相切,设()2xg x e bx =+a +,若在区间[]1,2上,不等式()22m g x m ≤≤-恒成立,则实数m （）A ．有最小值e -B ．有最小值eC ．有最大值eD ．有最大值1e + 【答案】D6．【2016届吉林省长春外国语学校高三上第二次质检】已知函数()y f x =的图像在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=,若()()xg x f x =,则()1g '=（） A ．12 B ．12- C ．32- D ．2 【答案】A【解析】由切线方程得()01121=+-f ,()11=∴f ,由导数的几何意义得()211='f , ()()()()()()()x f x f x x f x f x f x x f x x g 22'⋅-='⋅-⋅'=',()()()()21111112-='-='∴f f f g 21=,故答案为A ．7．【2016届河北省衡水中学高三上学期一调】设a R ∈,函数()xxf x e ae-=-的导函数为()'f x ,且()'f x 是奇函数,则a =（）A ．0B ．1C ．2D ．-1 【答案】D8．【2016届广西河池高中高三上第五次月考】函数2()2ln f x x x =-在1x =处的切线方程是（）A ．45y x =-B ．31y x =-C ．32y x =-D ．42y x =-【答案】B【解析】由题意,得1()4f x x x'=-．因为(1)2f =,(1)4113f '=⨯-=,所以切线方程为23(1)y x -=-,即31y x =-,故选B ．9．【2016届云南师范大附中高考适应性月考】若曲线21x y C =：与曲线xae y C =：2存在公切线,则a 的A ．最大值为28eB ．最大值为24e C ．最小值为28e D ．最小值为24e【答案】B【解析】设公共切线与曲线1C 切于点211()x x ，,与曲线2C 切于点22(e )x x a ，,则2221121e 2e x x a x x a x x -==-,将212ex x a =代入221121e 2x a x x x x -=-,可得1222x x =-,代入212e x x a =可得224(1)e x x a -=,设4(1)()e xx f x -=,求导得4(2)()e xx f x -'=,可得()f x 在(12)，上单调递增,()f x 在(2)+∞，上单调递减,所以max 24()(2)e f x f ==, 故选B ．10．【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期第三次月考】已知()y f x =是(0,)+∞上的可导函数,满足[](1)2()'()0x f x xf x -+>（1x ≠）恒成立,(1)2f =,若曲线()f x 在点(1,2)处的切线为()y g x =,且()2016g a =,则a 等于（）A ．500.5-B ．501.5-C ．502.5-D ．503.5- 【答案】C11.函数()ln f x x ax =+存在与直线20x y -=平行的切线,则实数a 的取值范围是（） A ．]2,(-∞ B ．(,2)-∞ C ．(2,)+∞ D ．(0,)+∞ 【答案】B ．【解析】∵()ln f x x ax =+,∴1'()f x a x =+,由题意得,12a x +=有解,122a x=-<, ∴实数a 的取值范围是(,2)-∞． 12.若曲线212y x e=与曲线ln y a x =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线,则实数a =（） A ．2- B ．12C ．1D ．2 【答案】C【解析】根据题意可知：1,a y x y e x ''==,两曲线在点(),P s t 处由公共的切线,所以1a s e s=即：s =代入2ln 2s a s e=解得：1a =,所以答案为C ．13．【2016届江西师大附中高三上学期期末】已知函数()y f x =的图象在点()()2,2M f 处的切线方程是4y x =+,则()()22f f '+= ．【答案】7【解析】由函数在某点的导数等于函数在该点的切线的斜率可知1)2(='f ,有点M 必在切线上,代入切线方程4y x =+,可得6)2(=f ,所以有7)2()2(=+'f f ．14．【2016届辽宁省沈阳二中高三第一次模拟】322()13f x x x ax =-+-己知曲线存在两条斜率为3的切线,且切点的横坐标都大于零,则实数a 的取值范围为．【答案】7(3,)215．【2016届重庆一中高三下学期3月月考】已知函数2()ln f x x ax =-在点(2,(2))f 处的切线的斜率是32-,则a =________．【答案】12【解析】由题意,得1()2f x ax x '=-,则由导数的几何意义,知13(2)422f a '=-=-,解得12a =． 16．【2016届山东省枣庄市三中高三12月月考】若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（i ）直线l 在点00(,)P x y 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,则称直线l 在点P 处“切过”曲线C,下列命题正确的是________（写出所有正确命题的编号）． ①直线:0l y =在点(0,0)P 入“切过”曲线3:C y x = ②直线:1l y x =-在点(1,0)P 处“切过”曲线:ln C y x = ③直线:l y x π=-+在点(,0)P π处“切过”曲线:sin C y x = ④直线:1l y x =+在点(0,1)P 处“切过”曲线:x C y e = 【答案】①③【解析】对于①,3y x =在点(0,0)P 处的切线为0y =,符合题中两个条件,所以正确；对于②曲线:ln C y x =在直线:1l y x =-的同侧,不符合题意,所以错误；对于③,由图象可知,曲线:sin C y x =在点(,0)P π附近位于直线l 的两侧,符合题意,所以正确；对于④,曲线:x C y e =在直线:1l y x =+的同侧,不符合题意,所以错误；即正确的有①③．【名师原创测试篇】1．已知曲线2()ln(1)f x x a x =++在原点处的切线方程为y x =-,则a =________．【答案】-1【解析】由题意()21af x x x '=++,所以(0)f a '=,又切线方程为y x =-,所以1a =-,所以答案应填：1-．2.已知函数1)(+-=mx e x f x的图像为曲线C ,若曲线C 存在与直线ex y =垂直的切线,则实数m 的取值范围为（）A ．),[+∞eB ．),(+∞eC ．),1(+∞e D ．)1,(e-∞ 【答案】C 【解析】设切点的横坐标为0x ,因为()f x '=x e m -,所以函数()f x 在))(,(00x f x 的切线斜率为0xe m -,由题知,01xe m e -=-,所以011xm e e e =+>,所以实数m 的取值范围为),1(+∞e． 3. 设点P 在曲线上ln y x =上,点Q 在曲线11y x=-(x >0)上,点R 在直线y x =上,则||||PR RQ +的最小值为（）A 1)e -B . 1)e -C D4. 已知函数2()f x x = 的图像在点11(,())A x f x 与点22(,())B x f x 处的切线互相垂直并交于一点P ,则点P 的坐标可能为（） A.3(,3)2- B.(0,4)- C.(2,3) D.1(1,)4- 【答案】D【解析】由已知得,()()221122,,,A x x B x x ()12x x ≠ ,因为()2f x x '= ,则在A,B 两点的切线斜率为11222,2k x k x == ,由于切线垂直,∴1212114k k x x =-⇒=-,两条切线方程分别为 22111222:2,:2l y x x x l y x x x =-=- ,可得()()121220x x x x x --+=⎡⎤⎣⎦ , ∴122x x x += ,则1214y x x ==- ,结合所给的选项,可得P 点的坐标可能是D 5. 在平面直角坐标系中xOy 中,直线2y x b =+是曲线ln y a x =的切线,则当0a >时,实数b 的最小值是【答案】-2【解析】设切点为(00,ln x a x ),则y=alnx 上此点处的切线为00ln a y x a x a x =+-,故002ln a x a x a b ⎧=⎪⎨⎪-=⎩∴()ln 02a b a a a =- 在（0,2）上单调递减,在()2,+∞上单调递增. ∴b 的最小值为-2.6.已知函数()=-x af x x e 存在单调递减区间,且()=y f x 的图象在0=x 处的切线l 与曲线x y e =相切,符合情况的切线l （）（A ）有3条（B ）有2条（C ）有1条（D ）不存在【答案】D所以()h x 在)0,(-∞上单调递减,在),0(+∞上单调递增,当,()1x h x →-∞→-,,()x h x →+∞→+∞ 所以()h x 在(0,)+∞有唯一解,则01x e >,而0>a 时,111<-a,与01x e >矛盾,所以不存在．。

2018届人教B版立体几何大题(文) 单元测试

【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1.【2013⋅新课标全国】如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠= .（Ⅰ）证明：1AB AC ⊥；（Ⅱ）若2AB CB ==，1AC =111ABC A B C -的体积.C 1B 1AA 1B C2.【2014高考全国1文】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.（1）证明：;1AB C B ⊥（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB求三棱柱111C B A ABC -的高.3.【2015新课标2文19】如图所示，长方体1111ABCD A B C D ﹣中，16AB =，10BC =，18AA =，点E ，F 分别在11A B ， 11D C 上，114AE D F ==.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.FE DCBA 1D 1C 1B1A（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.4.【2015全国1文18】如图所示，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .（1）求证：平面AEC ⊥平面BED ；（2）若120ABC ∠= ，AE EC ⊥，三棱锥E ACD -的体积为积.GEDCBA解析（1）因为BE ⊥平面ABCD ，所以BE AC ⊥. 又ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥. 又因为BD BEB = ，BD ，BE ⊂平面BED ，所以AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .【名题精选练兵篇】1．【2016届江苏省南京市高三第三次模拟】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱BC 上一点．（1）若AB ＝AC ，D 为棱BC 的中点，求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1；（2）若A 1B ∥平面ADC 1，求BDDC的值．【答案】（1）详见解析（2）1（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，所以O为AC1中点．因为A1B∥平面ADC1，A1B 平面A1BC，平面ADC1∩平面A1BC＝OD，所以A1B∥OD．因为O为AC1中点，所以D为BC中点，所以BDDC＝1．2．【2016届江苏省泰州市姜堰区高三下期初考试】如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD=DC=1，点E是PC的中点，作EF PB交PB于点F.（Ⅰ）求证：PA∥平面EBD；（Ⅱ）求证：PB平面EFD．3．【2016届河南省洛阳市一中高三下学期第二次模拟】如图（1），等腰直角三角形ABC 的底边4AB =，点D 在线段AC 上，DE AB ⊥于E ，现将ADE ∆沿DE 折起到PDE ∆的位置（如图（2））．（1）求证：PB DE ⊥；（2）若PE BE ⊥，1PE =,求点B 到平面PEC 的距离．4．【2016届湖北省沙市中学高三下第三次半月考】如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形EFBD 为等腰梯形，//EF BD ，12EF BD =，平面⊥EFBD 平面ABCD .（1）证明：AC ⊥平面EFBD ；（2）若210=BF ，求多面体ABCDEF 的体积.5．【2016届河北省衡水中学高三下学期一模考试】如图，在斜三棱柱111ABC A B C -，侧面11ACC A 与侧面11CBB C 都是菱形，11160,2ACC CC B AC ∠=∠=︒=.（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB =11A BB C C -的体积.6．【2016届宁夏六盘山高中高三第二次模拟】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，点D 是BC 的中点，1BC BB =.B 1A 1C 1BCAD（1）求证：1//A C 平面1AB D ；（2）试在棱1CC 上找一点M ，使得1MB AB ⊥，并说明理由.（2）当M 为棱1CC 中点时，1MB AB ⊥ ，理由如下：因为在直三棱柱111ABC-A B C 中，1BC BB = 所以四边形11BCC B 为正方形所以M 为棱1CC 中点，D 为BC 的中点，易证1B BD BCM ≅1,BB D CBM ∠=∠所以112BB D BDB π∠+∠=又因为112CBM BDB BM B D π∠+∠=⊥所以，故.因为D BC ,ABC 是正三角形，是的中点.AD BC ⊥所以因为平面1111,ABC =,ABC BB C C BB C C BC AD ABC ⊥⋂⊂平面平面平面平面所以11AD BB C C ⊥平面因为11BM BB C C AD BM ⊂⊥平面，所以, 因为111,,D AD B D D AD B AB D ⋂=⊂平面所以1BM AB D ⊥平面因为111,AB AB D MB AB ⊂⊥平面所以7．【2016届福建省漳州市高三下学期第二次模拟】如图，四边形PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，//PM BC ，1,2PM BC ==，又1,AC =120ACB ∠=︒，AB PC ⊥，AM=2．（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求三棱锥P MAC -的体积．因为1,AC CN ==120ACB ∠=︒，所以30ANC ∠=︒．∴在Rt AHN ∆中，有ABC8．【2016届甘肃省天水市一中高三下第四次模拟】如图，四棱锥P ABCD -，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是060ABC ∠=的菱形，M 为PC 的中点．（1）求证：PC AD ⊥；（2）求点D 到平面PAM 的距离．在PAC ∆中2,PA AC PC ===PC上的高AM ==，所以PAC ∆的面积1122∆=⋅==PAC S PC AM ，设点D 到平面PAC 的距离为h ，由D PAC P ACD V V --=得，1133∆∆⋅=⋅PAC ACD S h S PO ，又22ACD S ∆==，，解得h =， ABCNH所以点D 到平面PAM 9．【2016届重庆市巴蜀中学高三3月月考】如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60=∠DAB ，点F E ,分别是边CD ，CB 的中点，O EF AC = ，沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆，连接PD PB PA ,,，得到如图的五棱锥ABFED P -，且10=PB .（1）求证：PA BD ⊥；（2）求四棱锥BFED P -的体积.（2）解：设H BD AO = ．连接BO ，∵ 60=∠DAB ，∴ABD ∆为等边三角形，∴3,32,2,4=====PO HO HA BH BD ，10. 【湖南省怀化市2015届高三上学期期中考试】如图所示的长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD的交点，1BB =， M 是线段11B D 的中点．（Ⅰ）求证：//BM 平面1D AC ；（Ⅱ）求三棱锥11D AB C -的体积．【解析】（Ⅰ）连接1D O ，如图，∵O 、M 分别是BD 、11B D 的中点，11BD D B 是矩形，∴四边形1D OBM 是平行四边形，∴1//D O BM ，∵1D O ⊂平面1D AC ，BM ⊄平面1D AC ，∴//BM 平面1D AC ；（Ⅱ）连接1OB ，∵正方形ABCD 的边长为2，1BB =11B D =，12OB =，12D O =，则2221111OB D O B D +=，∴11OB D O ⊥，又∵在长方体1111ABCD A B C D -中，AC BD ⊥，1AC D D ⊥，且1BD D D D = ，∴AC ⊥平面11BDD B ，又1D O ⊂平面11BDD B ，∴1AC D O ⊥，又1AC OB O = ，∴1D O ⊥平面1AB C ，即1D O 为三棱锥11D AB C -的高，∵1111222AB C S AC OB ∆=⋅⋅=⨯=12D O =，∴111111233D AB C AB C V S D O -∆=⋅⋅=⨯=. 11. 【山东省济南市2015届高三上学期期末】如图，在三棱柱111A B C 中，四边形1111ABB A ACC A 和都为矩形. （I ）设D 是AB 的中点，证明：直线1//BC 平面1A DC ;（II ）在ABC ∆中，若AC BC ⊥，证明：直线BC ⊥平面11ACC A .12. 【山东省日照市2015届高三3月模拟】如图，已知四边形ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，CD=PD=2EA,PD//EA ，F ，G ，H 分别为PB ，BE ，PC 的中点. （I ）求证：GH//平面PDAE ；（II ）求证：平面FGH ⊥平面PCD.13. 【广东省广州市2015届高中毕业班综合测试】如图4，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，AC EF O = ．沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA,PB,PD ，得到如图5的五棱锥P ABFED -，且PB =．（1）求证：BD ⊥平面POA ；（2）求四棱锥P BFED -的体积．图4OFEDCB A图5FE PODB A【解析】（1）证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，∴BD ∥EF . ∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥. ∴EF AC ⊥. ∴EF AO ⊥，EF PO ⊥. ∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO PO O = ，∴EF ⊥平面POA . ∴BD ⊥平面POA .H FEPODBA14. 【广东省广州市2015届高三1月模拟】如图，在多面体ABCDEF 中，DE ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，平面BCEF 平面ADEF EF =，60BAD ︒∠=，2AB =，1DE EF ==．（1）求证：BC ∥EF ；（2）求三棱锥B DEF -的体积．FEDCBAHFEDCBA【解析】（1）∵AD ∥BC ，AD ⊂平面ADEF ，BC ⊄平面ADEF ，∴ BC ∥平面ADEF . 又BC ⊂平面BCEF ，平面BCEF 平面ADEF EF =，∴BC ∥EF ．（2）在平面ABCD 内作BH AD ⊥于点H ， ∵DE ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，∴DE BH ⊥. ∵AD ⊂平面ADEF ，DE ⊂平面ADEF ，AD DE D = ，∴BH ⊥平面ADEF . ∴BH 是三棱锥B DEF -的高．在Rt △ABH 中，o 60BAD ∠=，2AB =，故BH =. ∵ DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴ DE AD ⊥. 由（1）知，BC ∥EF ，且AD ∥BC ，∴ AD ∥EF . ∴ DE EF ⊥.∴三棱锥B DEF -的体积11111332DEF V S BH ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯=15. 【辽宁省朝阳市三校协作体2015届高三下学期开学联考】如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=，2,AB PD ==,O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；(Ⅱ)若PD ∥平面EAC ,求三棱锥P EAD -的体积.16. 【唐山市2014-2015学年度高三年级第一次模拟】如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，PABCD E OPABCD EOH侧面11ACC A 与侧面11CBB C 都是菱形，011160ACC CC B ∠=∠=，2AC =. （Ⅰ）求证：11AB CC ⊥；（Ⅱ）若1AB =，求四棱锥11A BB C C -的体积.【名师原创测试篇】1．已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥面ABC ,D 是PC 的中点，PD DB ⊥，2, 4.PA AC AB ===(Ⅰ)求证：AB AC ⊥;(Ⅱ)若G 是PB 的中点，则平面ADG 将三棱锥P ABC -分成的两部分的体积之比.【解析】(Ⅰ) 证明：∵PA =AC ,D 是PC 的中点，∴AD ⊥PC ，∵PD ⊥BD ，BD AD D ⋂=，∴PC ⊥面ADB ， ∴PC ⊥AB ， ∵PA ⊥面ABC , ∴PA ⊥AB ，∵PA PC P ⋂=， ∴AB ⊥面PAC ，∴PA ⊥AC ;（Ⅱ）由(Ⅰ)知，AB ⊥AC ，∵PA ⊥面ABC ，AC =PA =2，AB =4，∴P ABC V -=1124232⨯⨯⨯⨯=83，BC=PC=PB=∴PBC S ∆=12⨯=6，∵D ,G 分别为PC 、PB 的中点，∴PDG S ∆=14PBC S ∆=32，设A 到面PCB 的距离为h ，∵P ABC V -=A PBC V -=13PBC S h ∆⨯⨯，∴=h 8336⨯=43，∴A PDG V -=13PDG S h ∆⨯⨯=134323⨯⨯=23，∴A BCDG V -=A PBC A PDG V V ---=2，∴A PDG A BCDG V V --=13.2. 如图，已知矩形CDEF 所在的平面与直角梯形ABCD 所在的平面垂直，且////1,,1,2,, 3.,2AB CD BC CD AB BC CD MB FC MB FC P Q =⊥====分别为,BC AE 的中点．（I ）求证：//PQ 平面MAB ；（II ）求证：平面EAC ⊥平面MBD ．（II ）平面ABCD ⊥平面CDEF ，平面ABCD 平面CDEF CD =，在矩形CDEF 中,FC CD FC ⊥∴⊥平面,ABCD FC AC ∴⊥，又//,MB FC MB AC ∴⊥．在Rt ABC∆和Rt BCD ∆中，11,2,4,90.,2AB BC AB BC CD ABC BCD BC CD ===∠=∠=︒==Rt ABC ∴∆∽,Rt BCD ∆ ,90,ACB BDC DBC ACB DBC BDC AC BD ∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠=︒∴⊥，又,BD BM B AC =∴⊥ 平面MBD ，AC ⊂ 平面,EAC ∴平面EAC ⊥平面MBD ．3. 如图，在三棱锥C P -AB 中，PA ⊥PB ，C C A ⊥B ，PA =PB ，C C A =B ，D 、E 、F 分别是C P 、C A 、C B 的中点．（I ）证明：平面D F//E 平面PAB ；（II ）若2C AB =P =C P -AB 的体积．【解析】（I ）证明：∵E 、F 分别是AC 、BC 的中点，∴F//E AB ，∵,AB PAB EF PAB ⊂⊄平面平面∴//EF PAB 平面，同理，//DF PAB 平面，∵,EF DF F EF DEF DF DEF =⊂⊂ 且平面平面，∴//DEF PAB 平面平面.∴1133P ABC PCG V AB S -=⋅⋅== 4. 如图，在矩形11C CDD 中，111////CC BB AA ，2,1,21====AA BC AD AB ，将在矩形11C CDD 沿11,BB AA 分别将四边形C C BB D D AA 1111,折起，使1CC 与1DD 重合（如图所示）（Ⅰ）在三棱柱111C B A ABC -中，取AB 的中点F ，求证：⊥CF 平面11A ABB ；（Ⅱ）当E 为棱1CC 中点时，求证：//CF 平面1AEB.F5. 如图所示，在边长为12的正方形11ADD A 中，点,B C 在线段AD 上，且3,4AB BC ==,作11//BB AA ，分别交111,A D AD 于点1B ，P .作11//CC AA ，分别交111,A D AD 于点1C ，Q .将该正方形沿11,BB CC 折叠，使得1DD 与1AA 重合，构成如图的三棱柱111ABC A B C -.（1）求证：AB ⊥平面11BCC B ；（2）求四棱锥A BCQP -的体积.。

2018届人教B版(文) 导数、三角函数、立体几何检测题

单元测试考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·包头一模)全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x －2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}2．(2016·南昌调研)“x >1”是“1x <1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增加的，那么区间A 是( ) A ．(－∞，0) B ．[0，12] C ．[0，＋∞) D ．(12，＋∞)4．若f (x )是奇函数，且x 0是y ＝f (x )＋e x 的一个零点，则－x 0一定是下列哪个函数的零点( ) A ．y ＝f (－x )e x －1 B ．y ＝f (x )e －x ＋1C ．y ＝f (x )e x －1D ．y ＝f (x )e x ＋15．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上的一点，它的主视图和左视图如图所示，则下列命题正确的是( )A ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为83B ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为83C ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D －ABC 的体积为163D ．BD ⊥平面P AC 且三棱锥D －ABC 的体积为1636．(2016·济宁模拟)设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若－a m <a 1<－a m ＋1(m ∈N ＋且m ≥2)，则必定有( ) A ．S m >0，且S m ＋1<0 B ．S m <0，且S m ＋1>0 C ．S m >0，且S m ＋1>0D ．S m <0，且S m ＋1<07．(2016·黄山联考)设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)(|φ|<π2)，且其图像关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π2)上是增加的B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π2)上是减少的C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在(0，π4)上是增加的D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在(0，π4)上是减少的8．(2017·昆明统考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( ) A.34 B.43 C ．－43 D ．－349．设1<x <2，则ln x x ，(ln x x )2，ln x 2x 2的大小关系是( )A ．(ln x x )2<ln x x <ln x 2x 2B.ln x x <(ln x x )2<ln x 2x 2 C ．(ln x x )2<ln x 2x 2<ln x xD.ln x 2x 2<(ln x x )2<ln x x10．(2016·滨州一模)若对任意的x ＞1，x 2＋3x －1≥a 恒成立，则a 的最大值是( )A ．4B ．6C ．8D ．1011．(2016·衡水质检)已知实数a ，b ，c ，d 成等比数列，函数y ＝ln(x ＋2)－x ，当x ＝b 时，取到极大值c ，则ad 等于( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．212．(2016·泰安模拟)在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2016·福州质检)在△ABC 中，AR →＝2RB →，CP →＝2PR →，若AP →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n ＝________.14．在算式“4×△＋1×○＝30”中的△，○中，分别填入两个正整数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对(△，○)应为________．15．某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可以求得该几何体的体积为________ cm 3.16．设f (x )＝－cos x －sin x ，f ′(x )是其导函数，若命题“任意x ∈[π2，π]，f ′(x )<a ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )的部分图像如图所示.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π，－π6]时，求f (x )的取值范围.18.(12分)已知数列{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n2n }的前n 项和.19.(12分)(2016·江西上饶重点中学第二次联考)已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，－1).(1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos(2A ＋π6)(x ∈[0，7π24])的取值范围.20.(12分)(2016·江淮十校联考)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1，ACC 1A 1为全等的正方形，AB ⊥AC ，BD ＝CD . (1)求证：A 1B ∥平面ADC 1； (2)求证：C 1A ⊥B 1C .21.(12分)(2016·合肥质检)已知△ABC 的三边长AB ＝13，BC ＝4，AC ＝1，动点M 满足CM →＝λCA →＋μCB →，且λμ＝14.(1)求|CM →|最小值，并指出此时CM →与C A →，C B →的夹角；(2)是否存在两定点F 1，F 2，使||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数k ？若存在，指出常数k 的值，若不存在，说明理由.22.(12分)(2016·云南高中毕业生统一测试)已知a ≠0，f (x )＝a ln x ＋2x . (1)当a ＝－4时，求f (x )的极值；(2)当f (x )的最小值不小于－a 时，求实数a 的取值范围.答案解析1．B [易知A ＝{x |2x (x－2)<1}＝{x |x (x －2)<0}＝{x |0<x <2}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x >0} ＝{x |x <1}，则∁U B ＝{x |x ≥1}，阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}．] 2．A [当x >1时，1x <1，当1x <1时，x >1或x <0，所以“x >1”是“1x<1”的充分不必要条件．]3．B [y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x ≥0，－x (1－x )，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x <0＝⎩⎨⎧－(x －12)2＋14，x ≥0，(x －12)2－14，x <0.画出函数的图像，如图．由图易知原函数在[0，12]上是增加的．故选B.]4．C [可得f (x 0)＝－e x 0，则e －x 0f (x 0)＝－1，即e －x 0·f (－x 0)＝1，则－x 0一定是y ＝e x f (x )－1的零点．] 5．C [∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥BC ，又AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥AD ，又由三视图可得在△P AC 中，P A ＝AC ＝4，D 为PC 的中点， ∴AD ⊥PC ，∴AD ⊥平面PBC .又BC ＝4，∠ADC ＝90°，BC ⊥平面P AC . 故V D －ABC ＝V B －ADC ＝13×12×22×22×4＝163.]6．A [因为－a m <a 1<－a m ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a m >0，a 1＋a m ＋1<0.易得S m ＝a 1＋a m 2·m >0，S m ＋1＝a 1＋a m ＋12·(m ＋1)<0.]7．B [∵f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)＝2sin(2x ＋π3＋φ)，且其图像关于x ＝0对称，∴f (x )是偶函数， ∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z . 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin(2x ＋π3＋π6)＝2cos 2x .易知f (x )的最小正周期为π，在(0，π2)上是减少的．]8．C [因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，则结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4， sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2Csin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)，故选C.]9．A [方法一令f (x )＝x －ln x (1<x <2)，则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0，∴函数y ＝f (x )在(1,2)上是增加的， ∴f (x )>1>0，∴x >ln x >0⇒0<ln xx <1，∴(ln x x )2<ln x x.又ln x 2x 2－ln x x ＝2ln x －x ln x x 2＝(2－x )ln x x 2>0，∴(ln x x )2<ln x x <ln x 2x2，故选A.方法二 ∵1<x <2，∴0<ln x x <1，∴(ln x x )2<ln x x ，又ln x 2x 2＝2x ·ln x x >ln xx，∴(ln x x )2<ln x x <ln x 2x2.]10．B [a ≤x 2＋3x －1对x ∈(1，＋∞)恒成立，即a ≤(x 2＋3x －1)min ，x 2＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋2，∵x ＞1，∴(x －1)＋4x －1＋2≥2(x －1)·4x －1＋2＝6，当且仅当x －1＝4x －1，即当x ＝3时取“＝”，∴a ≤6，∴a 的最大值为6，故选B.] 11．C [设y ＝f (x )＝ln(x ＋2)－x ，则y ′＝1x ＋2－1＝－x －1x ＋2，由y ′＝0，得x ＝－1，又f (－1)＝ln 1＋1＝1.所以b ＝－1，c ＝1，所以ad ＝bc ＝－1.]12．B [由题知表格中第三纵列中的数成首项为4，公比为12的等比数列，故有x ＝1.根据每横行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，52，故第四列的公比为12.所以y ＝5×(12)3＝58，同理z ＝6×(12)4＝38，因此x ＋y ＋z ＝2.] 13.79解析由CP →＝2PR →，得AP →－AC →＝2(AR →－AP →)，得AP →＝13(AC →＋2AR →)．又由AR →＝2RB →，得AR →＝2(AB →－AR →)，得AR →＝23AB →，故AP →＝13AC →＋49AB →，所以m ＋n ＝79.14．(5,10)解析设数对为(a ，b )，则4a ＋b ＝30，所以1a ＋1b ＝130(1a ＋1b )(4a ＋b )＝130(5＋b a ＋4a b )≥130(5＋2 b a ·4a b )＝310，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝4a b ，4a ＋b ＝30，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝10时等号成立，所以满足题意的数对为(5,10)． 15．12解析利用割补法，将该几何体补成一个底面边长分别为2 cm 和4 cm ，高为3 cm 的棱柱，所以体积为12×2×4×3＝12 (cm 3)．16．(2，＋∞)解析 f ′(x )＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，π4≤x －π4≤3π4，最大值为2，a > 2.17．解 (1)由题图得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1，将(π6，1)代入得1＝sin(π6＋φ)，因为－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin(x ＋π3)．(2)由于x ∈[－π，－π6]，则－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin(x ＋π3)≤12，所以f (x )的取值范围是[－1，12]．18．解 (1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2,3，由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而a 1＝32. 所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1. (2)设{a n 2n }的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则 S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1， 12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2. 两式相减得12S n ＝34＋(123＋…＋12n ＋1)－n ＋22n ＋2 ＝34＋14(1－12n －1)－n ＋22n ＋2. 所以S n ＝2－n ＋42n ＋1. 19．解 (1)∵a ∥b ，∴34cos x ＋sin x ＝0，得tan x ＝－34， cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. (2)f (x )＝2(a ＋b )·b＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＋12＝sin 2x ＋cos 2x ＋32＝2sin(2x ＋π4)＋32. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝22， ∴A ＝π4或A ＝3π4. ∵b >a ，∴B >A ，∴A ＝π4. ∴f (x )＋4cos(2A ＋π6)＝2sin(2x ＋π4)－12. ∵x ∈∈[0，7π24]，∴2x ＋π4∈[π4，5π6]， ∴sin(2x ＋π4)∈[12，1]， ∴2－12≤f (x )＋4cos(2A ＋π6)≤2－12. 故f (x )＋4cos(2A ＋π6)的取值范围为 [2－12，2－12]． 20．证明 (1)如图所示，连接A 1C .设A 1C 交AC 1于点O ，连接OD .因为侧面ACC 1A 1是正方形，所以O 为A 1C 的中点．又因为D 为BC 的中点，所以OD 为△A 1BC 的中位线，所以A 1B ∥OD .因为OD 平面ADC 1，A 1B 平面ADC 1，所以A 1B ∥平面ADC 1.(2)由(1)可知C 1A ⊥CA 1.因为侧面ABB 1A 1是正方形，所以AB ⊥AA 1.因为∠BAC ＝90°，所以AB ⊥平面ACC 1A 1.因为AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1⊥平面ACC 1A 1.又因为C 1A 平面ACC 1A 1，所以A 1B 1⊥C 1A ，所以C 1A ⊥平面A 1B 1C .又因为B 1C 平面A 1B 1C ，所以C 1A ⊥B 1C .21．解 (1)由余弦定理知cos ∠ACB ＝12＋42－132×1×4＝12⇒∠ACB ＝π3，因为|CM →|2＝CM →2＝(λC A →＋μC B →)2 ＝λ2＋16μ2＋2λμC A →·C B →＝λ2＋1λ2＋1≥3，所以|CM →|≥3，当且仅当λ＝±1时，“＝”成立，故|CM →|的最小值是3，此时〈CM →，C A →〉＝〈CM →，C B →〉＝π6或5π6. (2)以C 为坐标原点，∠ACB 的平分线所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，所以A (32，12)，B (23，－2)，设动点M (x ，y )，因为CM →＝λC A →＋μC B →，所以⎩⎨⎧ x ＝32λ＋23μ，y ＝12λ－2μ⇒⎩⎨⎧ x 23＝(λ2＋2μ)2，y 2＝(λ2－2μ)2，再由λμ＝14知x 23－y 2＝1，所以动点M 的轨迹是以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点，实轴长为23的双曲线，即||MF 1→|－|MF 2→||恒为常数23，即存在k ＝2 3.22．解 (1)由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2＝a ＋2x x .当a ＝－4时，f ′(x )＝2x －4x. ∴当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )单调递减；当x >2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴f (x )只有极小值，且在x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝4－4ln 2.∴当a ＝－4时，f (x )只有极小值4－4ln 2.(2)f ′(x )＝a ＋2x x，当a >0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，即f (x )在x ∈(0，＋∞)上是增加的，没有最小值．当a <0时，由f ′(x )>0，得x >－a 2， ∴f (x )在(－a 2，＋∞)上是增加的；由f ′(x )<0，得x <－a 2，∴f (x )在(0，－a 2)上是减少的． ∴当a <0时，f (x )的最小值为f (－a 2)＝a ln(－a 2)＋2(－a 2)．根据题意得f (－a 2)＝a ln(－a 2)＋2(－a 2)≥－a ，即a [ln(－a )－ln 2]≥0.∵a <0，∴ln(－a )－ln 2≤0，解得a ≥－2.∴实数a 的取值范围是[－2,0)．。

高中数学《几何证明选讲》测试题新人教a版选修

高中数学《几何证明选讲》测试题新人教A版选修4-1(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第1题图第6题图人教（A ）版选修4-1《几何证明选讲》综合复习一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.如图4所示,圆O 的直径AB =6,C 为圆周上一点,BC =3过C 作圆的切线l ,过A 作l 的垂线AD ,垂足为D ,则∠DAC =( )A .15︒B .30︒C .45︒D .60︒【解析】由弦切角定理得60DCA B ∠=∠=︒,又AD l ⊥,故30DAC ∠=︒, 故选B .2.在Rt ABC ∆中,CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线,是该图中共有x 个三角形与ABC ∆相似,则x =( )【解析】2个:ACD ∆和CBD ∆,故选C .3.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm 和18cm 两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为( )A .11cmB .33cmC .66cmD .99cm【解析】设另一弦被分的两段长分别为3,8(0)k k k >,由相交弦定理得381218k k ⋅=⨯,解得3k =,故所求弦长为381133k k k +==cm .故选B . 4.如图,在ABC ∆和DBE ∆中,53AB BC AC DB BE DE ===,若ABC ∆与 DBE ∆的周长之差为10cm ,则ABC ∆的周长为( ) A .20cm B .254cm C .503cm cm 【解析】利用相似三角形的相似比等于周长比可得答案D .5.O 的割线PAB 交O 于,A B 两点,割线PCD 经过圆心,已知226,12,3PA PO AB ===,则O 的半径为( )B .614C .614【解析】设O 半径为r ,由割线定理有226(6)(12)(12)3r r ⨯+=-+,解得8r =.故选D . 6.如图,AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆上,CD AB ⊥于点D ,且DB AD 3=,设COD θ∠=,则2tan 2θ＝( ) A .13B .14C .423-D .3 【解析】设半径为r ,则31,22AD r BD r ==,由2CD AD BD =⋅得3CD =,从而3πθ=,故21tan 23θ=,选A . 7.在ABC ∆中,,DE 分别为,AB AC 上的点,且//DE BC ,ADE ∆的面积是22cm ,梯形DBCE 的面积为26cm ,则:DE BC 的值为( )A B CD E 第4题图P CA B Q 第11题图 P M NC A B Q A第10题图第9题图 A .3 B .1:2 C .1:3 D .1:4【解析】ADE ABC ∆∆,利用面积比等于相似比的平方可得答案B .8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个.【解析】一共可作5个,其中均外切的2个,均内切的1个,一外切一内切的2个,故选D .9.如图甲,四边形ABCD 是等腰梯形,//AB CD .由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形,则四边形ABCD 中A ∠度数为 ( )A .30︒B .45︒C .60︒D .75︒【解析】6360A ∠=︒,从而60A ∠=︒,选A .10.如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得凹坑直径为10mm ,若所用钢珠的直径为26 mm ,则凹坑深度为( )mm mm【解析】依题意得222OA AM OM =+,从而12OM mm =,故13121CM mm =-=,选A . 11.如图,设,P Q 为ABC ∆内的两点,且2155AP AB AC =+,AQ ＝23AB ＋14AC ,则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为( )A . 15B . 45C . 14D . 13【解析】如图,设25AM AB =,15AN AC =,则AP AM AN =+. 由平行四边形法则知//NP AB ,所以ABP AN ABC AC∆=∆＝15, 同理可得14ABQ ABC ∆=∆．故45ABP ABQ ∆=∆,选B . 12.如图,用与底面成30︒角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的离心率为 ( )A ．12B ．33 C ．32 D ．非上述结论【解析】用平面截圆柱,截线椭圆的短轴长为圆柱截面圆的直径,弄清了这一概念,考虑椭圆所在平面与底面成30︒角,则离心率1sin 302e =︒=.故选A . 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.13.一平面截球面产生的截面形状是_______;它截圆柱面所产生的截面形状是________【解析】圆;圆或椭圆.14.如图,在△ABC 中,AB ＝AC ,∠C ＝720,⊙O 过A 、B 两点且第12题图第15题图 A C PD OE F B 第18题图第17题图 A C P D OE F B 与BC 相切于点B ,与AC 交于点D ,连结BD ,若BC ＝15-,则AC ＝【解析】由已知得BD AD BC ==,2()BC CD AC AC BC AC =⋅=-,解得2AC =.15.如图,AB 为O 的直径,弦AC 、BD 交于点P ,若3,1AB CD ==,则sin APD ∠=【解析】连结AD ,则sin AD APD AP ∠=,又CDP BAP ∆∆, 从而1cos 3PD CD APD PA BA ∠==, 所以2122sin 1()33APD ∠=-=. 16.如图为一物体的轴截面图,则图中R 的值是【解析】由图可得22230()(180135)2R R =+--,解得25R =. 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)如图:,EB EC 是O 的两条切线,,B C 是切点,,A D 是O 上两点,如果46,32E DCF ∠=︒∠=︒,试求A ∠的度数.【解析】连结,,OB OC AC ,根据弦切角定理,可得1(180)6732992A BAC CAD E DCF ∠=∠+∠=︒-∠+∠=︒+︒=︒. 18.(本小题满分12分) 如图,⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ,E 为⊙O 上一点,AE AC =,DE 交AB 于点F ,且42==BP AB , 求PF 的长度.【解析】连结,,OC OD OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件AE AC =可得CDE AOC ∠=∠,又CDE P PFD ∠=∠+∠, AOC P C ∠=∠+∠,从而PFD C ∠=∠,故PFD ∆PCO ∆,∴PF PD PC PO =, 由割线定理知12PC PD PA PB ⋅=⋅=,故1234PC PD PF PO ⋅===. 19.(本小题满分12分) 已知:如右图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC , AB ＝DC ,过点D 作AC 的平行线DE ,交BA 的延长线于点E ．求证：(1)△ABC ≌△DCB (2)DE ·DC ＝AE ·BD ．【解析】证明：(1) ∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AC ＝DB ∵AB ＝DC ，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△BCD(2)∵△ABC ≌△BCD ，∴∠ACB ＝∠DBC ，∠ABC ＝∠DCB135 R 180 30 第16题图 A B CED 第19题图第20题图第21题O D GC A E F B P ∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ，∠EAD ＝∠ABC∵ED ∥AC ，∴∠EDA ＝∠DAC ∴∠EDA ＝∠DBC ，∠EAD ＝∠DCB∴△ADE ∽△CBD ∴DE:BD ＝AE:CD ， ∴DE ·DC ＝AE ·BD.20.(本小题满分12分)如图,△ABC 中,AB=AC ,AD 是中线,P 为AD 上一点,CF∥AB ，BP 延长线交AC 、CF 于E 、F ,求证: PB 2=PE •PF ．【解析】连结PC ,易证,PC PB ABP ACP =∠=∠∵//CF AB ∴F ABP ∠=∠,从而F ACP ∠=∠又EPC ∠为CPE ∆与FPC ∆的公共角,从而CPE FPC ∆∆,∴CP PE FP PC = ∴2PC PE PF =⋅ 又PC PB =, ∴2PB PE PF =⋅,命题得证. 21.(本小题满分12分)如图,A 是以BC 为直径的O 上一点,AD BC ⊥于点D , 过点B 作O 的切线,与CA 的延长线相交于点E G ，是AD的中点,连结CG 并延长与BE 相交于点F , 延长AF 与CB 的延长线相交于点P . (1)求证:BF EF =；(2)求证:PA 是O 的切线；(3)若FG BF =,且O 的半径长为32,求BD 和FG 的长度. 【解析】(1)证明：BC ∵是O 的直径，BE 是O 的切线， EB BC ⊥∴．又AD BC ⊥∵，AD BE ∴∥．易证BFC DGC △∽△，FEC GAC △∽△． BF CF EF CF DG CG AG CG ==∴，．BF EF DG AG =∴． G ∵是AD 的中点，DG AG =∴．BF EF =∴． (2)证明：连结AO AB ，．BC ∵是O 的直径，90BAC ∠=°．在Rt BAE △中，由（1），知F 是斜边BE 的中点，AF FB EF ==∴．FBA FAB ∠=∠∴．又OA =∵BE ∵是O 的切线，90EBO ∠=∴°．90EBO FBA ABO FAB BAO FAO ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∵°，PA ∴是O 的切线．(3)解：过点F 作FH AD ⊥于点H ．BD AD FH AD ⊥⊥∵，，FH BC ∴∥．由(1)，知FBA BAF ∠=∠，BF AF =∴．由已知，有BF FG =，AF FG =∴，即AFG △是等腰三角形．FH AD ⊥∵，AH GH =∴．DG AG =∵，2DG HG =∴，即12HG DG =． 90FH BD BF AD FBD ∠=∵∥，∥，°，∴四边形BDHF 是矩形，BD FH =．FH BC ∵∥，易证HFG DCG △∽△．FH FG HG CD CG DG ==∴，即12BD FG HG CD CG DG ===． O ∵的半径长为32，62BC =∴．1262BD BD CD BC BD BD ===--∴．解答用图 O D GC A F B P Ｈ解得22BD =．22BD FH ==∴．12FG HG CG DG ==∵，12FG CG =∴．3CF FG =∴．在Rt FBC △中，3CF FG =∵，BF FG =，由勾股定理，得222CF BF BC =+． 222(3)(62)FG FG =+∴．解得3FG =（负值舍去）．3FG =∴．［或取CG 的中点H ，连结DH ，则2CG HG =．易证AFC DHC △≌△，FG HG =∴，故2CG FG =，3CF FG =．由GD FB ∥，易知CDG CBF △∽△，2233CD CG FG CB CF FG ===∴．由622362BD -=，解得22BD =．又在Rt CFB △中，由勾股定理，得 222(3)(62)FG FG =+，3FG =∴（舍去负值）．］22.(本小题满分14分)如图1,点C 将线段AB 分成两．部分,如果AC BC AB AC=,那么称点C 为线段AB 的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分,这两部分的面积分别为1S ,2S ,如果121S S S S =,那么称直线l 为该图形的黄金分割线. (1)研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图2),则直线CD 是ABC △的黄金分割线．你认为对吗为什么(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ,再过点D 作直线DF CE ∥,交AC 于点F ,连接EF (如图3),则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由．(4)如图4，点E 是ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线EF 是ABCD 的黄金分割线.请你画一条ABCD 的黄金分割线,使它不经过ABCD 各边黄金分割点.【解析】(1)直线CD 是ABC △的黄金分割线.理由如下:设ABC △的边AB 上的高为h ．12ADC S AD h =△,12BDC S BD h =△,12ABC S AB h =△,所以ADC ABC S AD S AB =△△，BDC ADC S BD S AD=△△ 又因为点D 为边AB 的黄金分割点，所以有AD BD AB AD =．因此ADC BDC ABC ADCS S S S =△△△△．所以，直线CD 是ABC △的黄金分割线.第22题图（第22题答图（第22题答图 (2)因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时1212s s s ==,即121s s s s ≠，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线.(3)因为DF CE ∥,∴DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等,所以有DEC FCE S S =△△ 设直线EF 与CD 交于点G ．所以DGE FGC S S =△△．所以ADC FGC AFGD S S S =+△△四边形DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形，BDC BEFC S S =△四边形．又因为ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△，所以BEFC AEF ABC AEF S S S S =四边形△△△.因此，直线EF 也是ABC △的黄金分割线． (4)画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF 的中点G ，再过点G 作一条直线分别交AB ,DC 于M ,N 点,则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．画法二:如答图2,在DF 上取一点N ,连接EN ,再过点F 作FM NE ∥交AB 于点M ，连接MN ，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．。

2018届人教B版(文) 选讲部分单元测试

【2017年高三数学优质试卷分项精品】一、选择题二、填空题三、解答题1. 【2017年第一次全国大联考（新课标卷Ⅰ）】已知平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为3x a y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(0a >,t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为()2213sin 4ρθ+=. (1)求曲线C 的参数方程；(2)若点A 在直线l 上,点B 在曲线C 上,且AB的最小值为,求a 的值. 【答案】(1) 2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数),5分(2)1a =-.5分因为点B 在曲线C 上,所以设()2cos ,sin B ϕϕ,则点B 到直线l 的距离,当()π2π4k k ϕ=+∈Z 时取等号,(9分)所以AB 的最小值为得1a =-.(10分) 2. 【2017年第一次全国大联考（新课标卷Ⅰ）】已知函数()22f x x a =-. (1)若()()301af f a+>,求实数a 的取值范围； (2)对任意1x ≤,()1f x ≤恒成立,求实数a 的值. 【答案】(1)()5,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ,5分(2) 1a =.10分①当02a <≤时,得23>,不成立, ②当2a >时,得223a ->,所以52a >. 综上可得,实数a 的取值范围是()5,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭. (5分)(2) 由对任意1x ≤,()1f x ≤恒成立,可得()01f a =-≤,即11a -≤≤,① (7分) 又()121f a =-≤,即121a -≤-≤,所以13a ≤≤,② 由①②可得1a =.当1a =时,对任意1x ≤,()2=211f x x -≤恒成立,所以1a =.(10分)3. 【2017年第一次全国大联考（新课标卷Ⅱ）】选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+．（Ⅰ）求1C 的极坐标方程与2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的极坐标为7π)4，1C 与2C 相交于,A B 两点,求PAB △的面积.4．【2017年第一次全国大联考（新课标卷Ⅱ）】选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）求不等式()7f x >的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()32f x m ≤-有解，求实数m 的取值范围.【解析】（I ）()41,135,12341,2x x f x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，当1x <-时，417x -+>，解得32x <-，32x ∴<-；当312x -≤<时，57>，解得x ∈∅；当32x ≥时，417x ->，解得2x >，2x >∴，综上所述，不等式()7f x >的解集为………………5分（II当且仅当312x -≤≤时，等号成立，即min ()5f x =，又不等式()32f x m ≤-有解，则325m -≥，解得73m ≥或1m ≤-．………………10分5. 【2017年第一次全国大联考（新课标卷Ⅲ）】选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 过定点(1,1)P ，且倾斜角为π4，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C 的极坐标方程为32cos ρθρ=+．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求||AB 及||||PA PB 的值．【解析】（1）曲线C 的极坐标方程为22cos 3ρρθ=+，将222,cos x y x ρρθ=+=代入上式得2223x y x +=+，即22230x y x +--=．因为直线l 过定点(1,1)P ，且倾斜角为π4，所以直线l 的参数方程为π1cos ,4π1sin 4x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即1,1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．…………………5分（2）将直线l 的参数方程代入22230x y x+--=中得230t +-=．…………………7分设方程两根分别为12,t t ，则12123,t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=-⎪⎩所以1AB t =-==，123PA PB t t ⋅==． (10)6．【2017年第一次全国大联考（新课标卷Ⅲ）】选修4-5：不等式选讲设函数()21,f x x x =-∈R ．（1）解不等式()5(1)f x f x ≤--；（2）已知不等式()(1)||f x f x x a ≤+--的解集为M ，若1(,1)2M ⊆，求实数a 的取值范围．【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式的应用等基础知识，意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力，以及分类讨论思想与转化思想．【解析】（1）原不等式等价于|21|5|23|x x -≤--，等价于|2|21|53|x x --+≤，等价于1133222244525445x x x x x ⎧⎧⎧<≤≤>⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪-≤≤-≤⎩⎩⎩或或,…………………3分解三个不等式组，得1142x -≤<或1322x ≤≤或3924x <≤，故不等式的解集为19,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…………………5分7. 【2017年第一次全国大联考（江苏卷）】【选修4-1：几何证明选讲】如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，,BC BD BA =的延长线交CD 的延长线于点,E 求证：AE 平分DAF ∠.【命题意图】本题主要考查圆的性质，等弦对等角等基础知识，意在考查学生平面几何推理证明和逻辑思维能力.【解析】因为四边形ABCD 是圆的内接四边形，所以,DAE BCD FAE BAC BDC ∠=∠∠=∠=∠ 因为BC BD =，所以BCD BDC ∠=∠，所以FAE DAE ∠=∠，所以AE 平分DAF ∠.……………10分8．【2017年第一次全国大联考（江苏卷）】【选修4-2：矩阵与变换】已知矩阵21414331M N --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，，求满足方程MX N = 的二阶矩阵.X 【命题意图】本题考查矩阵运算等基础知识，意在考查运算求解能力．9. 【2017年第一次全国大联考（江苏卷）】【选修4-4：坐标系与参数方程】过点()3,0P 的直线l 与曲线2:cos 21C ρθ=相交于不同的两点,A B ．若直线l 的斜率为2，求PA PB ⋅的值．【命题意图】本题主要考查极坐标方程化为直接坐标方程，直线参数方程几何意义等基本内容. 意在考查转化与化归能力、基本运算能力，方程思想与数形结合思想. 【解析】2222cos 21(cos sin )1ρθρθθ=⇒-=，所以C 的普通方程是221x y -=．．．．．．．．．．2分设直线l 倾斜角为α，则直线l 的参数方程为3cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，．．．．．．4分将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得()222cossin 6cos 80t t ααα-++=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分则21222288(1tan )||||cos sin 1tan PA PB t t αααα+⋅===--，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分因为tan 2α=，故403PA PB ⋅=.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 10．【2017年第一次全国大联考（江苏卷）】【选修4-5：不等式选讲】设123,,a a a 均为正数，且1231a a a ++=，求证1231119.a a a ++≥ 【命题意图】本题考查利用柯西不等式证明不等式等基础知识，意在考查综合分析问题解决问题以及运算求解能力、逻辑思维能力．【解析】因为123,,a a a 均为正数，且1231a a a ++=，所以123123123111111()()a a a a a a a a a ++=++++≥+29+=，当且仅当时12313a a a ===取等号，所以1231119.a a a ++≥……………10分 11. 【2017年第二次全国大联考（新课标卷Ⅰ）】选修4－4：坐标系与参数方程已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的极坐标方程为221613sin ρθ=+.(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程； (Ⅱ)已知直线l 的参数方程为112cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线l 交曲线C 于,A B 两点，若(2,1)M 恰好为线段AB 的三等分点，求直线l 的斜率.【解析】(Ⅰ)由曲线C 的极坐标方程为221613sin ρθ=+,得2223sin 16ρρθ+=，所以曲线C 的直角坐标方程为221164x y +=. ………………4分(Ⅱ)将直线l 的参数方程112cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程，得2221111(cos 4sin )(4cos 8sin )80t t θθθθ+++-=，所以111222111222114cos 8sin cos 4sin 8cos 4sin t t t t θθθθθθ+⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，由题意可知122t t =-，所以22111112sin 16sin cos 3cos 0θθθθ++=，即2121630k k ++=（k 为直线l 的斜率），解得k =所以直线l.……………………10分12. 【2017年第二次全国大联考（新课标卷Ⅰ）】选修4－5：不等式选讲已知函数()|1|f x x =+．(Ⅰ)若0x ∃∈R 使不等式(2)(3)f x f x t ---≥成立，求满足条件的实数t 的取值集合T ； (Ⅱ)若二次函数223y x x =++与函数2()(2)y m f x f x =---的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．【解析】(Ⅰ) 由题意得1,1(2)(3)1223,121,2x f x f x x x x x x -≤⎧⎪---=---=-<<⎨⎪≥⎩，则()11f x -≤≤，由于0x ∃∈R 使不等式12x x t ---≥成立，则有1t ≤，即{}|1T t t =≤. ．．．．．．．．．．．．．5分(Ⅱ)由二次函数()222312y x x x =++=++，该函数在1x =-取得最小值2，因为()()()3112()(2)311311x m x y m f x f x x m x x m x ++<-⎧⎪=---=--+-≤≤⎨⎪-+->⎩，该函数在1x =-处取得最大值2m -，所以要使二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，只需22m -≥，即4m ≥．…………10分13. 【2017年第二次全国大联考（新课标卷Ⅱ）】选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（I ）求直线l 的极坐标方程与曲线C 的参数方程；（II ）设点D 在曲线C 上，且曲线C 在点D 处的切线与直线l 垂直，试确定点D 的坐标. 【命题意图】本题考查直线的参数方程、极坐标方程和圆的参数方程等基础知识，意在考查数形结合思想和运算求解能力．【解析】（I ）直线l的普通方程为1y =+，则极坐标方程为sin cos 10ρθθ--=；曲线C 的参数方程为1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩是参数，0π)α≤≤．……5分（II ）设点D 的坐标为(1cos ,sin )αα+，由已知得，曲线C 是以(1,0)E 为圆心的半圆，因为曲线C 在点D 处的切线与直线l 垂直，所以直线ED 与l的斜率相同，则tan α=，π3α=，故点D 的直角坐标为ππ(1cos,sin )33+，即3(2. …………10分14．【2017年第二次全国大联考（新课标卷Ⅱ）】选修4-5：不等式选讲已知函数()()1f x x a x a =-+-∈R . (Ⅰ)当2a =时，求()2f x ≤的解集；(Ⅱ)若()1f x x ≤+的解集包含集合[]1,2，求实数a 的取值范围.【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法和恒成立问题等基础知识，意在考查运算求解能力．【解析】 (Ⅰ)当2a =时，()21f x x x =-+-，()2212f x x x ≤⇒-+-≤，上述不等式可化为1,212,x x x ≤⎧⎨-+-≤⎩或12,212,x x x <<⎧⎨-+-≤⎩或2,212,x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩解得1,1,2x x ≤⎧⎪⎨≥⎪⎩或12,12,x <<⎧⎨≤⎩或2,5,2x x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩∴112x ≤≤或12x <<或522x ≤≤，∴原不等式的解集为1522x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. ……5分15. 【2017年第二次全国大联考（新课标卷Ⅲ）】选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为11x y αα⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数，2a <）．（Ⅰ）当2a =-时，若曲线C 上存在,A B 两点关于点(0,2)M 成中心对称，求直线AB 的参数方程；（Ⅱ）在以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，极坐标方程为sin()04ρθπ++=的直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，若||4PQ =，求实数a 的值．【命题意图】本题考查直线的极坐标方程与直角坐标方程、圆的参数方程与普通方程的互化，以及直线与圆的位置关系，意在考查转化能力、运算求解能力．所以直线AB 的倾斜角为34π，……………4分所以直线AB 的参数方程为30cos 432sin 4x t y t π⎧=+⎪⎪⎨π⎪=+⎪⎩，即2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． (6)分（Ⅱ）消去曲线C 的参数方程中的参数得()()22112x y a ++-=-，圆心为(1,1)-，半径为r =7分又直线l 的极坐标方程可化为sin cos 20ρθρθ++=，……………8分由cos ,sin x y ρθρθ==，代入上式，得直线的普通方程为20x y ++=，222a +=-，∴4a =-．……………10分16．【2017年第二次全国大联考（新课标卷Ⅲ）】选修4-5：不等式选讲已知不等式|1|||x m x ++≥()m ∈R 的对任意实数x 恒成立．（Ⅰ）求实数m 的最小值t ；（Ⅱ）若,,a b c ∈R ＋，且满足abc t =，求证：≤+．而1,1,()|1|||21,10,1,0,x g x x x x x x -<-⎧⎪=+-=+-≤<⎨⎪≥⎩作出函数()g x 的图象，由图可知，函数()g x 的最小值为min ()1g x =-，所以1m -≤-，即1m ≥，故1t =．……………5分（II ）由（I ）知1abc =，其中,,a b c ∈R ＋===111a b c+≤++ ()*．……………6分下面证明此不等式()*：因为11a b +≥==，（当且仅当a b =时取等号）11b c +≥==，（当且仅当b c =时取等号）11a c +≥==．（当且仅当a c =时取等号）……………8分三式相加得：1112()a b c+≤++，（当且仅当a b c ==时取等号） ……………9分111a b c +≤++，即≤．………10分17. 【2017年第二次全国大联考（江苏卷）】【选修4—1几何证明选讲】如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点,连接AE BE ，，APE ∠的平分线与AE BE ，分别交于C D ，，其中30AEB ∠= ．求PCE ∠的大小．【命题意图】本题主要考查弦切角定理等基础知识，意在考查学生平面几何求解能力和逻辑思维能力.【解析】由PC 为APE ∠的平分线得EPC APC ∠=∠,由弦切角定理得PEB PAC ∠=∠,因为,CDE PED EPD DCE PAC APC ∠=∠+∠∠=∠+∠ ，所以CDE DCE ∠=∠，因此1803075.2PCE -∠== …………10分 18．【2017年第二次全国大联考（江苏卷）】【选修4—2：矩阵与变换】已知矩阵212M x -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为4，求1.M -19. 【2017年第二次全国大联考（江苏卷）】【选修4—4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为πsin()3ρθ-=直线l 与曲线2cos :()2sin x t C t y t =⎧⎨=⎩为参数相交于不同的两点,A B ．求||AB 的值．【命题意图】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程，直线与圆位置关系等基本内容. 意在考查转化与化归能力、基本运算能力，方程思想与数形结合思想.【解析】π1:sin()cos sin 032l y ρθθρθ-=-=-=，C的普通方程是224x y+=…………5分所以|d AB=====. …………10分20．【2017年第二次全国大联考（江苏卷）】【选修4—5：不等式选讲】设0x y z>>>，求证：86.()()x zx y y z-+≥--【解析】88()() 6.()()()()x z x y y zx y y z x y y z-+=-+-+≥= ----当且仅当时8()()x y y zx y y z-=-=--取等号所以86.()()x zx y y z-+≥--……………10分21．【2017年第三次全国大联考（新课标卷Ⅰ）】选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，点(0P，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Cl)．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点分别为,A B，求11PA PB+的值．【命题意图】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，涉及极坐标方程与平面直角坐标方程的互化等基础知识，意在考查转化与化归能力、基本运算能力，方程思想与数形结合思想.【解析】（Ⅰ）曲线C l 的普通方程为y +=.…………5分（Ⅱ）点(0P 在直线:l y +=上，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得221242t ⎫⎛⎫-+=⎪⎪⎪⎝⎭⎭， 251240t t ∴+-=，设两根为1t ， 2t ，12125t t +=- ， 124·05t t ∴=-<，故1t 与2t 异号，1PA PB t ∴+=-=，121245PA PB t t t t ⋅=⋅=-⋅=， 11·PA PB PA PB PA PB+∴+==………………10分 22. 【2017年第三次全国大联考（新课标卷Ⅰ）】选修4－5：不等式选讲（Ⅰ）解不等式()0f x x +>；（Ⅱ）若关于x 的不等式()22f x a a ≤-在R 上的解集为R ，求实数a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）不等式()0f x x +>可化为1x <-时，()()21x x x --+>-+，解得3x >-，即31x -<<-；当12x -≤≤时，()21x x x --+>+，解得1x <，即11x -≤<；当2x >时， 21x x x -+>+，解得3x >，即3x >，综上所述，不等式()0f x x +>的解集为{|31x x -<<或3}x >.……………5分（Ⅱ）由不等式()22f x a a ≤-可得2212x x a a ≤--+-，∴223a a -≥，即2230a a --≥，解得1a ≤-或3a ≥，故实数a 的取值范围是1a ≤-或3a ≥.…10分23．【2017年第三次全国大联考（新课标卷Ⅱ）】选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线C的参数方程为11x y αα⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 过点(1,0)-，且斜率为12,射线OM（I ）求曲线C 和直线l 的极坐标方程；（II ）已知射线OM 与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．【命题意图】本题考查圆的参数方程和直线的极坐标方程等基础知识，意在考查数形结合思想和运算求解能力．【解析】（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22(1)(1)2x y ++-=，将cos x ρθ=， sin y ρθ=代入整理得2cos 2sin 0ρθθ+-=，即曲线C3分直线l 的方程为1(1)2y x =+，所以极坐标方程为cos 2sin 10ρθρθ-+=．……5分线段PQ10分 24．【2017年第三次全国大联考（新课标卷Ⅱ）】选修4-5：不等式选讲（I ）解不等式： ()()34f x f x ++≤；（II ）若0a >，求证：()()()f ax af x f a +≥.【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法和三角不等式等基础知识，意在考查运算求解能力．（II ）由题意得()()f ax af x +111ax a x ax ax a=-+-=-+-(1)()ax ax a ≥---1a =-()f a =．……10分25．【2017年第三次全国大联考（新课标卷Ⅲ）】选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为()4cos 2sin m ρρθθ--=-，且直线l 与圆C 相交于不同的,A B 两点．（Ⅰ）求线段AB垂直平分线l '的极坐标方程；（Ⅱ）若||AB =m 的值．（Ⅲ）若1m =，求过点()4,4N 与圆C 相切的切线方程．因为圆C 的极坐标方程可化为24cos 2sin 0m ρρθρθ--+=，所以将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入上述方程得圆C 的直角坐标方程为22420x y x y m +--+=，则配方，得()()22215x y m -+-=-，其圆心为()2,1C ，半)5m <．………………3分由题意，知直线l '经过圆心()2,1C ，所以直线l '的方程为()12y x -=--，即30x y +-=，所以由cos ,sin x y ρθρθ==，得直线l '的极坐标方程为()cos sin 3ρθθ+=．………………5分（Ⅱ）因为||AB=C到直线l的距离为)5m=<．)5m=<，解得1m=．………………7分（Ⅲ）当所求切线的斜率存在时，设切线方程为4(4)y k x-=-，即440kx y k--+=．2=，解得512k=，所以所求切线的方程为512280x y-+=；当所求切线的斜率不存在时，切线方程为4x=．………………9分综上，所求切线的方程为4x=或512280x y-+=．………………10分26．【2017年第三次全国大联考（新课标卷Ⅲ）】选修4-5：不等式选讲已知不等式2222x x+-->的解集为M．（Ⅰ）求集合M；（Ⅱ）已知t为集合M中的最小正整数，若1,1,1a b c>>>，且()()()111a b c t---=，求证：8abc≥．【解析】（Ⅰ）设()222f x x x=+--，则()4,13,124,2x xf x x xx x--<-⎧⎪=-≤<⎨⎪+≥⎩，………………1分当1x<-时，由42x-->，得6x<-，6x<-∴；………………2分当12x-≤<时，由32x>，得23x>，223x<<∴；………………3分当2x≥时，由42x+>，得2x>-，2x≥∴．………………4分综上所述，集合M为2|63x x x⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或．………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1t=，则()()()1111a b c t---==．因为1,1,1a b c>>>，所以10,10,10a b c->->->，………………6分则()110a a=-+≥>（当且仅当2a=时等号成立），……………7分()110b b=-+≥>（当且仅当2b=时等号成立），………………8分()110c c =-+≥>（当且仅当2c =时等号成立），………………9分则8abc ≥≥（当且仅当2a b c ===时等号成立），即8abc ≥．………………10分27．【2017年第三次全国大联考（江苏卷）】【选修4-1：几何证明选讲】如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE AC =，求证：PDE POC ∠=∠．PE B ODAC【命题意图】本题主要考查等弧对等角等基础知识，意在考查学生平面几何求解能力和逻辑思维能力．【解析】AE AC = ，AB 为直径，OAC OAE ∴∠=∠，POC OAC OCA OAC OAC EAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠，又EAC PDE ∠=∠，PDE POC ∴∠=∠．…………10分28．【2017年第三次全国大联考（江苏卷）】【选修4-2：矩阵与变换】已知矩阵212x -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 的一个特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求1.-M 【命题意图】本题考查矩阵运算、矩阵特征向量、逆矩阵等基础知识，意在考查运算求解能力．【解析】由2111222x λ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可得22222x λλ+=⎧⎨--=-⎩，解得43x λ=⎧⎨=⎩，因此2123-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ，所以13144.1122-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M …………10分 29．【2017年第三次全国大联考（江苏卷）】【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为sin()4ρθπ-=直线l 与曲线2:sin 8cos C ρθθ=相交于不同的两点,A B ，求||AB 的值．【解析】:sin()cos sin 104l x y ρθθθπ-=-=--=，C 的直角坐标方程是28y x =．…………5分由2810y xx y ⎧=⎨--=⎩可得212121010,10,1x x x x x x -+=+==，所以AB =．…………10分30．【2017年第三次全国大联考（江苏卷）】【选修4-5：不等式选讲】设0,0,0,1x y z xyz >>>=，求证：333111111.x y y z z x x y z++≥++【解析】因为x y z ，，均为正实数，且1xyz =，所以3112z x x y +≥，3112x y y z +≥，3112y z z x+≥．……8分所以333111111.x y y z z x x y z++≥++……10分 31．【2017年原创押题预测卷01（新课标卷Ⅰ）】选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程是244cos 3sin ρθθ=+，以极点为原点O ，极轴为x轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy 中，曲线2C 的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（1）求曲线1C 的直角坐标方程与曲线2C 的普通方程；（2）若用)2y代换曲线2C 的普通方程中的(,)x y 得到曲线3C 的方程，若,M N 分别是曲线1C 和曲线3C 上的动点，求||MN 的最小值．【命题意图】本题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，涉及极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化等基础知识，意在考查转化与化归能力、基本运算能力，方程思想与数形结合思想. 【解析】（1）∵1C 的极坐标方程是244cos 3sin ρθθ=+，∴4cos 3sin 11ρθρθ+=，整理得43240x y +-=，∴1C 的直角坐标方程为43240x y +-=.……3分曲线2C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，∴221x y +=,故2C 的普通坐标方程为221x y +=．……5分（2）用)2y代换曲线2C 的普通方程中的(,)x y 得到曲线3C 的方程22184x y +=，则曲线3C 的参数方程为：2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩设(),2sin N αα，则点N 到曲线1C 的距离为d当()sin 1αϕ+=时，d ||MN ……10分32．【2017年原创押题预测卷01（新课标卷Ⅰ）】选修4－5：不等式选讲设函数()|2||3|f x x x =--+．（1）求不等式()3f x <的解集；（2）若不等式()3f x a <+对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）由233x x --+<，当3x ≤-时，233x x -++<，解集为空集；当32x -<<时，()233x x --+<，解得22x -<<；当2x ≥时，()233x x --+<，解得2x ≥．综上所述，所求不等式解集为{}|2x x >-．……5分（2）不等式()3fx a <+等价于233x x a --+<+．()23235x x x x --+≤--+= （当且仅当3x ≤-时取等号），∴35a +>，即2a >．故实数a 的取值范围为(2,).+∞…… 10分33. 【2017年原创押题预测卷01（新课标卷Ⅱ）】选修4—4 ：坐标系与参数方程已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的极坐标方程为cos 212cos 0ρρθθ--=，直线l 的参数方程为42535x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）求直线l 被曲线C 截得的弦长. 22.（Ⅰ）26y x =,3460x y +-=；（Ⅱ）3720. 【解析】（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程为cos 212cos 0ρρθθ--=，可化为22sin 12cos ρθθ=，即22sin 6cos ρθρθ=，化为直角坐标方程为26y x =.（3分）直线l 的普通方程为3460x y +-=.（5分）（Ⅱ）设直线l 与曲线C 的交点B A ,对应的参数分别为21,t t ，将42535x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入26y x=整理得，01004032=-+t t ， ∴21t t +=340-，21t t =3100-，24043(100)0∆=-⨯⨯->， ∴12||||AB t t =-=212214)(t t t t -+=)3100(4)340(2-⨯--=3720, ∴直线l 被曲线C 截得的弦长为3720.（10分） 34．【2017年原创押题预测卷01（新课标卷Ⅱ）】选修4—5：不等式选讲（Ⅰ）已知正实数,,x y z 满足lg lg lg x y z +=，求22x y xyz+-的最小值；（Ⅱ）若不等式21|2|2x a x a -+>-对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 23.（Ⅰ）1；（Ⅱ）（1,21-）. （Ⅱ）设()f x =|2|x a x -+，则()f x =,23,2a a x x a x a x ⎧-≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，则()f x 在(,)2a-∞上是减函数，在(,)2a +∞上是增函数，∴当x =2a 时，()f x 取最小值且最小值为()22a af =，（8分） ∴2122a a >-，解得112a -<<， ∴实数a 的取值范围为（1,21-）. （10分）35．. 【2017年原创押题预测卷01（新课标卷Ⅲ）】选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C ：4x y +=，曲线2C ：1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）若射线l ：θα=（0ρ>）分别交1C ，2C 于,A B 两点，求||||OB OA 的最大值．【解析】（1）C 1：ρ(cos θ＋sin θ)＝4，C 2的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以ρ＝2cos θ． …………………4分（2）设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，则ρ1＝ 4 cos α＋sin α，ρ2＝2cos α，所以||||OB OA ＝ ρ2 ρ1＝ 14×2cos α(cos α＋sin α)…………………8分＝ 14(cos 2α＋sin 2α＋1) ＝ 1 4[2cos (2α－ π4)＋1]，当α＝ π 8时，||||OB OA 取得最大值 1 4(2＋1)．…………………10分36. 【2017年原创押题预测卷01（新课标卷Ⅲ）】选修4-5：不等式选讲已知函数()223f x x a x =-++，()|23|2g x x =-+．（1）解不等式|()|5g x <；（2）若对任意1R x ∈，都存在2R x ∈，使得1()f x =2()g x 成立，求实数a 的取值范围．【命题意图】本题考查绝对值不等式的求解，三角绝对值的灵活应用，意在考查学生的运算求解能力．【解析】（1）∵()|23|2g x x =-+，∴|()|5g x <等价于 5232<+-x ，即233x -<，解得30<<x . 故不等式|()|5g x <的解集为(0,3).…………（5分）（2）由题意，得{}{}()()y y f x y y g x =⊆=，又()223(2)(23)3f x x a x x a x a =-++≥--+=+，()2322g x x =-+…，则32a +…，解得1a -…或5a -…，故实数a 的取值范围是(,5]-∞-[1,)-+∞ . …………（10分）37．【2017年原创押题预测卷01（江苏卷）】[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，,,A B E 是⊙O 上的点，过E 点的⊙O 的切线与直线AB 交于点P ，APE ∠的平分线和,AE BE 分别交于点,C D .求证：(1) DE CE =；(2)CA PECE PB=．【解析】A CPA BEP DPE ∠+∠=∠+∠.又,ECD A CPA EDC BEP DPE ∠=∠+∠∠=∠+∠，∴ECD EDC ∠=∠，∴EC ED =.·······5分 (2)∵PDB EDC ∠=∠，EDC ECD ∠=∠，∴PDB PCE ∠=∠.又BPD EPC ∠=∠，∴PBD△∽PEC △，∴PC PE PD PB =.同理PDE PCA △∽△，∴CA PC DE PD=，∴PE CA PB DE =.又DE CE =，∴CA PECE PB=．·······10分 38．【2017年原创押题预测卷01（江苏卷）】[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 将点(1,3)-变换为(4,16)，求矩阵M ．【解析】试题分析：设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由11811a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦及14316a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦列出方程组可解得．试题解析：设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由11811a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦及14316a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦中，得8834316a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩，解得5326a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，∴5326M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ·······10分 39．【2017年原创押题预测卷01（江苏卷）】[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线lt 为参数），曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin ρθθ=．（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，点M 为AB 的中点，点P求||PM 的值．试题解析：（1（t 为参数），消去参数t 得直线l 的普30y -+=．由曲线C 的极坐标方程2cos 4sin ρθθ=，得22cos 4sin ρθρθ=．所以曲线C 的直角坐标方程为24x y =．（2）由234y x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB的中点，又点P 的直角坐标为，所以|||96|3PM =-=．40．【2017年原创押题预测卷01（江苏卷）】[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）若实数,,x y z 满足43121x y z ++=，求222x y z ++的最小值.【解析】由柯西不等式，得2222222(4312)(4312)()x y z x y z ++≤++⋅++，即又因为43121x y z ++=，所以.41．【2017年原创押题预测卷02（新课标卷Ⅰ）】选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x （t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2=ρ．（Ⅰ）证明：不论t 为何值，直线l 与曲线C 恒有两个公共点；（Ⅱ）以α为参数，求直线l 与曲线C 相交所得弦AB 的中点轨迹的参数方程．【解析】（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为422=+y x ，将⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x 代入422=+y x ，得03cos 22=-+αt t （*），由2(2cos )4(3)0∆α=-⨯->，知方程（*）恒有两个不等实根，故不论t 为何值，直线l 与曲线C 恒有两个公共点．…………………………5分42．【2017年原创押题预测卷02（新课标卷Ⅰ）】选修4-5：不等式选讲已知函数|1||2|)(-+-=x a x x f ，a ∈R ．（Ⅰ）若不等式|1|2)(--≥x x f 恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当1=a 时，直线m y =与函数)(x f 的图象围成三角形，求m 的取值范围．【解析】（Ⅰ）∵|1|2)(--≥x x f 恒成立，即1|1||2|≥-+-x ax 恒成立，∴1|)1||2(|min ≥-+-x ax 成立，由|12||12||1||2|-=+--≥-+-ax a x x a x 知，当1|12|≥-a时，满足题意，解得0≤a 或4≥a ，∴所求a 的取值范围为),4[]0,(+∞-∞ ．43．【2017年原创押题预测卷02（新课标卷Ⅱ）】选修4—4 ：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的极坐标方程为2sin()2=04ρθπ-+-，曲线D 的参数方程为12sin 22cos x y θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标方程和曲线D 的普通方程；（2）判定曲线C 与曲线D 的位置关系，若相交，求出交点间的距离．【解析】（1）曲线C 的极坐标方程2sin()2=04ρθπ-+-可化为22sin 2cos 2=0ρρθρθ---，∴曲线C 的直角坐标方程为222220x y x y +---=，曲线D 的参数方程化为普通方程为22(1)(2)4x y +++=． 5分（2）由（1）知曲线C 是圆心为C （1，1），半径为2的圆，曲线D 是圆心为D （−1，−2），半径为2的圆，圆心间的距离||CD ==2+2=4，∴圆C 与圆D 相交，∴两圆的直角坐标方程相减可得两圆公共弦所在的直线方程，即为4630x y ++=，∴圆心（1,1）到公共弦的距离d === 10分 44．【2017年原创押题预测卷02（新课标卷Ⅱ）】选修4—5：不等式选讲已知)(x f =|||12|m x x +--（m ∈R ）．（1）当2=m 时，解不等式)(x f ＞3；（2）当0>m 时，若存在0x ∈R ，使3)(0-<x f ，求正实数m 的取值范围．【解析】（1）当2=m 时，不等式)(x f ＞3，即3|2||12|>+--x x ，等价于⎩⎨⎧>+++--<32122x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>--+-≤≤-3212212x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>--->321221x x x ，解得34-<x 或6>x ，∴原不等式解集为4(,)(6,)3-∞-+∞ ．（5分）45．【2017年原创押题预测卷02（新课标卷Ⅲ）】选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为1x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为222cos24sin 3ρθρθ+=. (1)求出直线l 的普通方程及曲线1C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线1C 交于A ,B 两点,点C 是曲线1C 上与A ,B 不重合的一点,求△ABC 面积的最大值.【命题意图】本题考查曲线的参数方程、极坐标方程,三角函数最值的求法,意在考查学生分析问题、解决问题的能力．【解析】(1)由1,x y =-+=消去t ,得直线l 的普通方程为10x y -+=.由222cos24sin 3ρθρθ+=得2222cos 3sin 3ρθρθ+=,把cos ,sin x y ρθρθ==代入上式得曲线1C 的直角坐标方程为2233x y +=,即2213x y +=.(2)把10x y -+=与2213x y +=联立得()310,1,,22A B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,所以=,因为点C 是曲线1C 上一点,所以设),sin Cϕϕ,则点C 到直线l的距离d =,当πcos 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时取等号,所以△ABC的面积119224S d AB =⨯⨯≤⨯=,即△ABC面积的最大值为94. 46．【2017年原创押题预测卷02（新课标卷Ⅲ）】选修4-5：不等式选讲已知()11f x x=+. (1)解不等式()()2f x f x >；(2)若101x <<,()()2132,x f x x f x ==,求证：2132211132x x x x x x -<-<-. 【解析】(1)()()2f x f x >⇔1112112121x x x x x ⎧≠-⎪>⇔⎨++⎪+>+⎩,当0x ≥时,12121x x x ⎧≠-⎪⇔⎨⎪+>+⎩00121x x x x ≥⎧⇔>⎨+>+⎩；当102x -<<时,11022121121x x x x x x ⎧⎧≠--<<⎪⎪⇔⎨⎨⎪⎪+>++>-⎩⎩,该不等式组无解；当12x <-时,11222121121x x x x xx x ⎧⎧≠-<-⎪⎪⇔⇔<-⎨⎨⎪⎪+>+-->-⎩⎩,所以不等式()()2f x f x >的解集为()(),20,-∞-+∞ .(2)因为101x <<,所以()2111112x f x x ==>+,()()()121111111121x x x x x ⎛⎫++=++=+ ⎪+⎝⎭,因为101x <<,所以1223x <+<,所以()()()()12121112113,3112x x x x <++<<<++,又()()21322112111111x x x x x x x x --=-=++++,所以2132211132x x x x x x -<-<-. 47．【2017年原创押题预测卷02（江苏卷）】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，已知圆O 的半径OB 垂直于直径M AC ,为AO 上一点，BM 的延长线交圆O 于点N ，过N 点所作的切线交CA 的延长线于点P .求证：PC PA PM ⋅=2；PC48．【2017年原创押题预测卷02（江苏卷）】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵⎢⎣⎡=b M 1 ⎢⎣⎡=⎥⎦⎤0,1c N a ⎥⎦⎤d 2，若2420MN ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 求实数d c b a ,,,的值. 【命题意图】本题考查矩阵运算等基础知识，意在考查学生的运算求解能力．【解析】因为⎢⎣⎡=b MN 1 ⎢⎣⎡⎥⎦⎤21c a ⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤-221bc a c d ⎥⎦⎤+-+-d b ad 1，故由题设可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+=+-=+0224122d b bc ad a c ，解之可得3,34,3,35=-===d c b a . 49. 【2017年原创押题预测卷02（江苏卷）】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系中，已知点)3,1(),2,2(ππ-B A ，圆O 的极坐标方程为θρsin 4=. （Ⅰ）求直线AB 的直角坐标方程；（Ⅱ）求圆O 的直角坐标方程. 【解析】（Ⅰ）运用极坐标与直角坐标之间的关系可得)23,21(),2,0(-B A ，则)34(21232+-=-+=AB k ，所以直线AB 的方程是x y )34(2+-=-，即02)34(=-++y x（Ⅱ）由θρsin 4=可得θρρsin 42=，则运用极坐标与直角坐标之间的关系可得0422=-+y y x50．【2017年原创押题预测卷02（江苏卷）】【选修4—5：不等式选讲】已知c b a ,,都是正数，求证：abc cb a ac c b b a ≥++++222222.【解析】因为c b a ,,均为正数，所以ab b a 222≥+且02>c ，则22222)(abc b a c ≥+--------（2分），同理c ab c a b 22222)(≥+--------（4分）；bc a c b a 22222)(≥+--------（6分），将以上三式两边相加可得bc a c ab abc a c c b b a 222222222222)(2++≥++--------（8分），即)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++，也即abc c b a a c c b b a ≥++++222222.------------（10分）。

2018届人教B版立体几何检测卷 5

第七章一、选择题1．(2016·海淀模拟)若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则(D)A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直[解析]对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错；对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错；对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错；易知D正确，故选D．2．(2017·新疆哈密地区第二中学期末数学试题)已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则(C)A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直[解析]作两个相交平面，交线为n，使得直线m⊥α，假设β内一定存在直线α与m 平行，因为m⊥α，而α∥m，所以直线a⊥α，而α⊂β，所以α⊥β，这与平面α与平面β相交不一定垂直矛盾，所以β内不一定存在直线a与m平行，因为直线m⊥α，n⊂β，所以m ⊥n，所以在β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直，故选C．3．(2016·杭州模拟)已知l，m为不同的直线，α，β为不同的平面，如果l⊂α，且m⊂β，那么下列命题中不正确的是(C)A．“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件B．“l⊥m”是“l⊥β”的必要不充分条件C．“m∥α”是“l∥m”的充要条件D．“l⊥m”是“α⊥β”的即不充分也不必要条件[解析]对于A中命题由“l⊥β”可得“α⊥β”，但反之不一定，故A中命题正确；对于B中命题，“l⊥m”不一定有“l⊥β”，但反之成立，故B中命题正确；对于C中命题，因为m∥α⇒l∥m或l与m为异面直线，所以“m⊥α”l∥m，故C错误；对于D中命题，“l⊥m”“α⊥β”，反之亦然，故D中命题正确，故选C．4．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分不必要条件是(C)A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，a⊂α，b⊂βC．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α[解析]对于C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D中一定推出a∥b.5．(2016·南昌模拟)设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β (D)A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对[解析]过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b 确定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α，故选D．6.(教材改编题)已知直线P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B 的任一点，则下列关系中不正确的是(C)A．P A⊥BC B．BC⊥平面P ACC．AC⊥PB D．PC⊥BC[解析]AB为直径，C为圆上异于A，B的一点，所以AC⊥BC．因为P A⊥平面ABC，所以P A⊥BC．因为P A∩AC＝A，所以BC⊥平面P AC，从而PC⊥BC．故选C．7.如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E中AC的中点，则下列命题中正确的是(C)A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE[解析]因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同量，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C．8.如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是BC和CD的中点，G是EF的中点，现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在四面体A－EFH中必有(A)A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面[解析]∵AD⊥DF，AB⊥BE，又∵B，C，D重合记为H，∴AH⊥HF，AH⊥HE.∴AH ⊥平面EFH.二、填空题9．如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有_AB、BC、AC__；与AP垂直的直线有_AB__.[解析]∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC ＝C，∴AB⊥平面P AC，∴与AP垂直的直线是AB．10．在正三棱锥(底面为正三角形且侧棱相等)P－ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为_①②__.[解析]如图，∵P－ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC；又∵DE∥AC，DE⊂平面PDE，AC⊄平面PDE，∴AC∥平面PDE.故①②正确．11．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为6 3[解析]画出图形，如图，BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角，在三棱锥D－ACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H，连接D1H，DH，则∠DD1H为DD1与平面ACD1所成的角，设正方体的棱长为a，则cos∠DD1H＝63aa＝63.三、解答题12．(2017·广东省揭阳市普宁市华侨中学高三上学期期末数学试题)如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD ⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.[解析](1)根据三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似(1)的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE.解：(1)∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)∵△A1B1C1中，A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1交于点C1，∴A1F⊥面BCC1B1，又∵AD⊥面BCC1B1，∴A1F∥AD，又A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴A1F∥面ADE.13．(2016·山东)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．(1)已知AB＝BC，AE＝EC．求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC．[解析](1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC．同理可得BD⊥AC．又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF，因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB．(2)设FC的中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥BD，所以GI∥DB．在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC．因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC．1．(2016·衡水模拟)设l是直线，α，β是两个不同的平面(B)A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β[解析]对于A，若l∥α，l∥β，则α，β可能相交；对于B，若l∥α，则平面α内必存在一直线m与l平行，则m⊥β，又m⊂α，故α⊥β.选项C，l可能平行于β或l在平面β内；选项D，l还可能平行于β或在平面β内．2.(2016·沧州七校联考)如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC．则下列结论不正确的是(D)A．CD∥平面P AF B．DF⊥平面P AFC．CF∥平面P AB D．CF⊥平面P AD[解析]A中，∵CD∥AF，AF⊂面P AF，CD⊄面P AF，∴CD∥平面P AF成立；B中，∵ABCDEF为正六边形，∴DF⊥AF.又∵P A⊥面ABCDEF，∴DF⊥平面P AF成立；C中，CF∥AB，AB⊂平面P AB，CF⊄平面P AB，∴CF∥平面P AB；而D中CF与AD不垂直，故选D．3．(2016·天津模拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC．其中正确的是(B)A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④[解析]由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错，故选B．4．(2016·泉州模拟)点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列命题：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是_①②④__.[解析]对于①VA－D1PC＝VP－AD1C点P到面AD1C的距离即为线BC1与面AD1的距离，为定值故①正确，对于②，因为面A1C1B∥面AD1C1所以线A1P∥面AD1C对于③，DB 与BC1就成60°角，故③错，对于④由于B1D⊥面ACD1，所以面B1DP⊥面ACD1.5.(2016·天津)如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，BC＝EF＝1，AE＝6，DE＝3，∠BAD＝60°，G为BC的中点.(1)求证：FG ∥平面BED ： (2)求证：平面BED ⊥平面AED ；(3)求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值．[解析] (1)取BD 的中点O ，连接OE ，OG .在△BCD 中，因为G 是BC 中点，所以OG ∥DC 且OG ＝12DC ＝1，又因为EF ∥AB ，AB ∥DC ，所以EF ∥OG 且EF ＝OG ，即四边形OGFE 是平行四边形，所以FG ∥OE .又FG ⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ，所以，FG ∥平面BED ．(2)在△ABD 中，AD ＝1，AB ＝2， ∠BAD ＝60°，由余弦定理可得BD ＝3，进而∠ADB ＝90°，即BD ⊥AD ．又因为平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，平面AED ∩平面ABCD ＝AD ，所以BD ⊥平面AED ．又因为BD ⊂平面BED ，所以平面BED ⊥平面AED ．(3)因为EF ∥AB ，所以直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所成的角．过点A 作AH ⊥DE 于点H ，连接BH .又平面BED ∩平面AED ＝ED ，由(2)知AH ⊥平面BED ．所以直线AB 与平面BED 所成的角即为∠ABH .在△ADE 中，AD ＝1，DE ＝3，AE ＝6，由余弦定理得cos ∠ADE ＝23，所以sin ∠ADE ＝53，因此，AH ＝AD ·sin ∠ADE ＝53. 在Rt △AHB 中，sin ∠ABH ＝AH AB ＝56. 所以，直线EF 与平面BED 所成角的正弦值为56.。

《几何证明选讲》知识点归纳与练习(内含答案)

一、相似三角形的判定及有关性质平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。

由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。

所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。

预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。

判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

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