2018高中数学必修三练习：3.3 几何概型(一) Word版含答案

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2018版高中数学必修三学案：3-3 几何概型精品

[学习目标] 1.了解几何概型与古典概型的区别.2.理解几何概型的定义及其特点.3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率．知识点一几何概型的含义 1．几何概型的定义设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． (2)每个基本事件出现的可能性相等． [思考] 几何概型与古典概型有何区别？答几何概型与古典概型的异同点知识点二几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.[思考] 计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？答首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量．题型一与长度有关的几何概型例1 取一根长为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？解如图，记“剪得两段的长都不小于1m ”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A 发生，因为中间一段的长度为1m ，所以事件A 发生的概率为P (A )＝13.反思与感悟在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找区域d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率．跟踪训练1 平面上画了一组彼此平行且相距2a 的平行线．把一枚半径r ＜a 的硬币任意投掷在平行线之间，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．解设“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A .如图，在两条相邻平行线间画出与平行线间距为r 的两条平行虚线，则当硬币中心落在两条虚线间时，与平行线不相碰．故P (A )＝虚线间距离平行线间距离＝2a －2r 2a ＝a －r a .题型二与面积有关的几何概型例2 射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12.2cm ，运动员在一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解如图，记“射中黄心”为事件B .因为中靶点随机地落在面积为⎝⎛⎭⎫14×π×1222cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为⎝⎛⎭⎫14×π×12.22cm 2的黄心内时，事件B 发生，所以事件B 发生的概率P (B )＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01.反思与感悟解此类几何概型问题的关键：(1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题．(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．跟踪训练2 一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30m ，宽20m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率．解如图所示，区域Ω是长30m 、宽20m 的长方形．图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2m ”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m 2)．所以P (A )＝184600＝2375≈0.31.即海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率约为0.31. 题型三与体积有关的几何概型例3 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取点M ，试求点M 到底面的距离小于h2的概率．解如图，分别在SA ，SB ，SC 上取点A 1，B 1，C 1，使A 1，B 1，C 1分别为SA ，SB ，SC 的中点，则当点M 位于平面ABC 和平面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于h2.设△ABC 的面积为S ，由△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为2，得△A 1B 1C 1的面积为S4.由题意，知区域D (三棱锥S －ABC )的体积为13Sh ，区域d (三棱台ABC －A 1B 1C 1)的体积为13Sh －13·S 4·h 2＝13Sh ·78.所以点M 到底面的距离小于h 2的概率为P ＝78.反思与感悟如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A 所占的区域体积．其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.跟踪训练3 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．解依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P ＝1333＝127.题型四与角度有关的几何概型例4 如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在∠xOT 内的概率．解以O 为起点作射线OA 是随机的，因而射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件．于是，记事件B ＝{射线OA 落在∠xOT 内}．因为∠xOT ＝60°，所以P (B )＝60°360°＝16.反思与感悟当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．跟踪训练4 如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M .求AM ＜AC 的概率．解因为CM 是∠ACB 内部的任意一条射线，而总的基本事件是∠ACB 的大小，即为90°，所以作AC ′＝AC ，且∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.如图，当CM 在∠ACC ′内部的任意一个位置时，皆有AM ＜AC ′＝AC ，即P (AM ＜AC )＝67.5°90°＝34.转化与化归思想的应用例5 把长度为a 的木棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率．分析将长度为a 的木棒任意折成三段，要能够构成三角形必须满足“两边之和大于第三边”这个条件，进而求解即可．解设将长度为a 的木棒任意折成三段的长分别为x ，y ，a －x －y ，则(x ，y )满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤a ，0≤y ≤a ，0≤x ＋y ≤a ，它所构成的区域为图中的△AOB .设事件M ＝{能构成一个三角形}，则当(x ，y )满足下列条件时，事件M 发生．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a －x －y ，x ＋a －x －y ＞y ，y ＋a －x －y ＞x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a 2，y ＜a2，x ＜a 2，它所构成的区域为图中的阴影部分，故P (M )＝S 阴影S △AOB ＝12×⎝⎛⎭⎫a 2212×a 2＝14.故满足条件的概率为14.解后反思解决本题的关键是将之转化为与面积有关的几何概型问题．一般地，有一个变量可以转化为与长度有关的几何概型，有两个变量可以转化为与面积有关的几何概型，有三个变量可以转化为与体积有关的几何概型．1．在区间[0,3]上任取一个数，则此数不大于2的概率是________．答案 23解析此数不大于2的概率P ＝区间[0，2]的长度区间[0，3]的长度＝23.2．在半径为2的球O 内任取一点P ，则|OP |＞1的概率为________．答案 78解析问题相当于在以O 为球心，1为半径的球外，且在以O 为球心，2为半径的球内任取一点，所以P ＝43π×23－43π×1343π×23＝78.3．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影区域的面积是________．答案 43解析在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设“落在阴影区域内”为事件A ，则事件A 构成的区域是阴影部分．设阴影区域的面积为S，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P (A )＝S 22＝S 4＝13，解得S ＝43.4．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为________．答案 58解析至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58.5．在1000mL 水中有一个草履虫，现从中随机取出3mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是________．答案31000解析由几何概型知，P ＝31000.1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型． 2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目． 3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).。

人教版高中数学必修3训练 3.3.1几何概型

3.3几何概型3.3.1几何概型一、基础达标1．下列概率模型：①在区间[－10，10]中任取一个数，求取到1的概率；②从区间[－10，10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[－10，10]内任取一个整数，求取到大于1且小于5的整数的概率；④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率．其中，是几何概型的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析①是．因为区间[－10，10]有无限多个点，取到1这个数的概率为0.②是．因为在[－10，10]和[－1，1]上有无限多个点可取，且在这两个区间上每个数取到的可能性相同．③不是．因为[－10，10]上的整数只有21个，不满足无限性．④是．因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点，且每个点被投中的可能性相同．2．有四个游戏盘，如图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为()答案 A解析对A，P(A)＝38，对B，P(B)＝13；对C，P(C)＝4－π4＜14；对D，P(D)＝1π，显然P (A )最大，因此应选游戏盘A.3．已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是 ( )A.110 B.19 C.111D.18答案 A解析试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝110.4．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A.14B.12 C.34 D.23答案 C解析如右图所示，在边AB 上任取一点P ，因为△ABC 与△PBC 是等高的，所以事件“△PBC 的面积大于S4”等价于事件“|BP |∶|AB |＞14”．即P (△PBC 的面积大于S 4)＝|PA ||BA |＝34. 5．在如图所示的正方形中随机撒入1 000粒芝麻，则撒入圆内的芝麻数大约为________(结果保留整数)．答案 785解析设正方形边长为2a ，则S 正＝4a 2，S 圆＝πa 2.因此芝麻落入圆内的概率为P ＝πa 24a 2＝π4，大约有1 000×π4≈785(粒)． 6．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．答案 0.005解析由几何概型知P ＝2400＝0.005.7．平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r ＜a 的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．解设事件A ：“硬币不与任一条平行线相碰”．为了确定硬币的位置，由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM ，垂足为M ，参看图，这样线段OM 长度(记作|OM |)的取值范围是[0，a ]，只有当r ＜|OM |≤a 时，硬币不与平行线相碰，其长度范围是(r ，a ]．所以P (A )＝（r ，a ]的长度[0，a ]的长度＝a －r a .二、能力提升8．(2013·蚌埠高一检测)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ( ) A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π答案 A解析设OA ＝OB ＝r ，则两个以r2为半径的半圆的公共部分面积为2⎣⎢⎡⎦⎥⎤14π·⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22＝（π－2）r 28，两个半圆外部的阴影部分面积为14πr 2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12π⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22×2－（π－2）r 28＝（π－2）r 28，所以所求概率为2×（π－2）r 2814πr 2＝1－2π. 9．已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，则此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率为 ( )A ．1－3π12B ．1－3π24 C.3π12D.3π24答案 B解析设正三角形ABC 的边长为4，其面积为4 3.分别以A ，B ，C 为圆心，1为半径在△ABC 中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域，其面积为43－3×12×π3×12＝43－π2，故所求概率P ＝43－π243＝1－3π24.10．(2013·湖北高考)在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________．答案 3解析由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2＜m ＜4时，由题意得m －（－2）6＝56，解得m ＝3.11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，求使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率．解如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设M －ABCD 的高为h ，则13×S 四边形ABCD ×h <16，又S 四边形ABCD ＝1，则h <12，即点M 在正方体的下半部分．故所求概率P ＝12V 正方体V 正方体＝12.三、探究与创新12．在街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm 的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm 的小圆板．规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交5角钱才可玩；若压在正方形塑料板的顶点上，可获得一元钱．试问： (1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？ (2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解 (1)如图(1)所示，因为O 落在正方形ABCD 内任何位置是等可能的，小圆板与正方形塑料板ABCD 的边相交接是在圆板的中心O 到与它靠近的边的距离不超过1 cm 时，所以O 落在图中阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD 的边相交接，这个范围的面积等于92－72＝32(cm 2)，因此所求的概率是3292＝3281.(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在圆心O 与正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径1 cm 时，如图(2)阴影部分，四块合起来面积为π cm 2，故所求概率是π81.13．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．(2)若a是从区间[0，3]上任取的一个数，b是从区间[0，2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.(1)基本事件共有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A包含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A)＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}．构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．所以所求的概率为P(A)＝3×2－12×223×2＝23.。

2017-2018学年高中数学人教B版必修三课时作业：第三章 3-3-1几何概型含解析精品

第三章 3.3 3.3.1几何概型A 级基础巩固一、选择题1．已知函数f (x )＝2x，若从区间[－2,2]上任取一个实数x ，则使不等式f (x )>2成立的概率为导学号 95064796( A )A ．14 B ．13 C ．12D ．23[解析] 这是一个几何概型，其中基本事件的总数构成的区域对应的长度是2－(－2)＝4，由f (x )>2可得x >1，所以满足题设的基本事件构成的区域对应的长度是2－1＝1，则使不等式f (x )>2成立的概率为14.2．一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为45秒．当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是导学号 95064797( C )A ．112 B ．38 C ．116D ．56[解析] 设看到黄灯亮为事件A ，构成事件A 的“长度”等于5，试验的全部结果所构成的区域长度是30＋5＋45＝80，所以P (A )＝580＝116.3．已知ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点P ，则取到的点P 到O 的距离大于1的概率为导学号 95064798( B )A ．π4B ．1－π4C ．π8D ．1－π8[解析] 如图所示，设取到的点P 到O 的距离大于1为事件M ，则点P 应在阴影部分内，阴影部分的面积为2×1－12×π×12＝2－π2，所以P (M )＝2－π22＝1－π4.4．一只小狗在图所示的方砖上走来走去，最终停在涂色方砖的概率为导学号 95064799( C )A ．18B ．79C ．29D ．716[解析] 由题意知，这是一个与面积有关的几何概型题．这只小狗在任何一个区域的可能性一样，图中有大小相同的方砖共9块，显然小狗停在涂色方砖的概率为29.故选C ．5．平面上有一组平行线且相邻平行线的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是导学号 95064800( B )A ．14 B ．13 C ．12D ．23[解析] 如图，要使硬币不与平行直线l 1、l 4中任何一条相碰，则应使硬币的中心在两平行线l 2、l 3之间，故所求概率为P ＝13.6．某人从甲地去乙地共走了500 m ，途中要过一条宽为x m 的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为2425，则河宽为导学号 95064801( B )A ．16 mB ．20 mC ．8 mD ．10 m[解析] 物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的，所以符合几何概型的条件．找到的概率为2425，即掉到河里的概率为125，则河流的宽度占总距离的125，所以河宽为500×125＝20(m)．二、填空题7.如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为__0.18__.导学号 95064802[解析] 由几何概型的概率可知，所求概率P ＝S 阴S 正＝1801 000＝0.18，∴.S 阴＝0.18. 8．设有一均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间 [0,1]上的数字，另一半均匀地刻上区间[1,3]上的数字，旋转它，则它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32上的概率是 38.导学号 95064803[解析] 由题意，记事件A 为“陀螺停止时，其圆周上触及桌面的刻度位于⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32”．设圆的周长为C ，则P (A )＝12×12C ＋14×12C C ＝38.三、解答题9．某同学向如图所示的正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分内的概率.导学号 95064804[解析] 由于是随机投掷飞镖，故可认为飞镖落在正方形内任一点的机会是均等的，因此落在阴影部分的概率应等于三角形面积与正方形面积的比，如图所示．记“飞镖落在阴影内”为事件A ，则P (A )＝△ECD 的面积正方形的面积＝14.10．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.导学号 95064805(1)若a 是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b 是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．[解析] 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,0)、(1,1)、(1,2)、(2,0)、(2,1)、(2,2)、(3,0)、(3,1)、(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}．构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }即如右图的阴影区域所示，所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.B 级素养提升一、选择题1．在1 000 mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率导学号 95064806( B )A ．0B ．0.002C ．0.004D ．1[解析] 由于取水样的随机性，所求事件A ：“在取出的2mL 水样中有草履虫”，属于几何概型．∴P (A )＝水样的体积总体积＝21 000＝0.002.2．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为导学号 95064807( C )A ．16 B ．13 C ．23D ．45[解析] 本题考查几何概型．设AC ＝x cm ，则BC ＝(12－x ) cm ，∴x (12－x )＝20，解得x ＝2或x ＝10，故所求概率P ＝12－2－212＝23. 3．一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体六个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为导学号 95064808( A )A ．18B ．116C ．127D ．2764[解析] 根据几何概型知识，概率为体积之比，即P ＝(4－2)343＝18.选A ． 4．已知直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距在区间[－2,3]内，则直线在y 轴上的截距b 大于1的概率是导学号 95064809( B )A ．15 B ．25 C ．35D ．45[解析] 由几何概型的概率公式知，所求概率P ＝3－13－(－2)＝25.二、填空题5．如果在一个5万平方千米的海域里有表面积达40平方千米的大陆架贮藏着石油，假如在这个海域里随意选定一个点探，则钻到石油的概率是__0.000_8__.导学号 95064810[解析] 如图，设Ω为海域，A 为贮藏着石油的大陆架，由于选点的随机性，可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的，因而所求概率自然认为等于贮油海域的面积与整个海域面积之比，即P ＝S A S Ω＝4050 000＝0.000 8.6．如图所示，设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率是 12.导学号 95064942[解析] 由图可知，符合条件的点应在与点A 相对的另一半圆弧BC 上，BC圆O 周长＝12.三、解答题7．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10 min 的概率.导学号 95064811[解析] ∵假设他在0 min ～60 min 这段时间的任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件．设事件A ＝“等待时间不多于10 min”，事件A 发生是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内，所以μA ＝60－50＝10，μΩ＝60.所以P (A )＝μA μΩ＝1060＝16.8．设有一个正方形网络，其中每个最小正方形的边长都等于6 cm.现用直径等于2 cm 的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线有公共点的概率.导学号 95064812[解析] 如图所示，硬币落下后与格线无公共点时，硬币中心应在如图所示的阴影部分(边长为4 cm 的正方形)内，其概率为1636＝49，故硬币落下后与格线有公共点的概率为1－49＝59.C级能力拔高在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率.导学号 95064813[解析]如图设事件A＝“作射线OC，使∠AOC和∠BOC都不小于30°”，μA＝90－30－30＝30，μΩ＝90，由几何概率公式得P(A)＝μAμΩ＝3090＝13.。

苏教版2018-2019学年高中数学必修三教学案：第3章 3.3 几何概型 Word版含答案

观察下面两个试验：(1)早上乘公交车去上学，公交车到站的时间可能是7：00至7：10分之间的任何一个时刻． (2)“神七”返回大陆时着陆场为方圆200 km 2的区域，而主着陆场为方圆120 km 2的区域，飞船在着陆场的任何一个地方着陆的可能性是均等的．问题1：上述两个试验中的基本事件的结果有多少个？提示：无限个．问题2：每个试验结果出现的可能机会均等吗？提示：是均等的．问题3：上述两试验属古典概型吗？提示：不属于古典概型，因为试验结果是无限个．问题4：能否求两试验发生的概率？提示：可以求出．1．几何概型的定义对于一个随机试验，将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．2．几何概型的计算公式在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度．这里要求D 的测度不为0，其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等．1．在几何概型中，“等可能”应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与区域的位置、形状无关．2．判断一试验是否是几何概型的关键是看是否具备两个特征：无限性和等可能性．[例1] 在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长大于AC 的长的概率．[思路点拨] 在AB 上截取AC ′＝AC ，结合图形分析适合条件的区域可求概率．[精解详析] 设AC ＝BC ＝a ，则AB ＝2a ，在AB 上截取AC ′＝AC ，于是P (AM >AC )＝P (AM >AC ′) ＝BC ′AB ＝AB －AC AB ＝2a －a 2a＝2－22. 即AM 的长大于AC 的长的概率为2－22.[一点通]在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找d 的过程中确认边界是问题的关键．1．在区间[1，3]上任取一数，则这个数大于等于1.5的概率为________．解析：P ＝3－1.53－1＝0.75.答案：0.752．已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈[12，2]，在区间[12，2]上任取一点x 0，则使f (x 0)≥0的概率为________．解析：欲使f (x )＝log 2x ≥0，则x ≥1，而x 0∈[12，2]，∴x 0∈[1，2]，从而由几何概型概率公式知所求概率P ＝2－12－12＝23. 答案：23[例2] (湖南高考改编)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，则P (A )＝________．[思路点拨] 可判断为几何概型，利用面积比求其概率．[精解详析] 圆的半径是1，则正方形的边长是2，故正方形EFGH (区域d )的面积为(2)2＝2.又圆(区域D )的面积为π，则由几何概型的概率公式，得P (A )＝2π.[答案]2π[一点通]解决此类问题的关键是：(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形．利用图形的几何特征计算相关面积．3．射箭比赛的箭靶是涂有彩色的五个圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径为122 cm, 靶心直径为12.2 cm ，运动员在70 m 外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为________．解析：记“射中黄心”为事件B ，由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222 cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为14×π×12.22 cm 2的黄心内时，事件B 发生，所以事件B 发生的概率P (B )＝14π×12.2214π×1222＝0.01. 答案：0.014．如图，平面上一长12 cm ，宽10 cm 的矩形ABCD 内有一半径为1 cm 的圆O (圆心O 在矩形对角线交点处)．把一枚半径为1 cm 的硬币任意掷在矩形内(硬币完全落在矩形内)，求硬币不与圆O 相碰的概率．解：由题意可知：只有硬币中心投在阴影部分(区域d )时才符合要求，所以不与圆相碰的概率为8×10－π×2280＝1－π20.[例3] (12分)用橡皮泥做成一个直径为6 cm 的小球，假设橡皮泥中混入一个很小的砂粒，试求这个砂粒距离球心不小于1 cm 的概率．[思路点拨] 先判断概型为几何概型后利用体积比计算概率．[精解详析] 设“砂粒距离球心不小于1 cm ”为事件A ，球心为O ，砂粒位置为M ，则事件A 发生，即OM ≥1 cm.(3分)设R ＝3，r ＝1，则区域D 的体积为V ＝43πR3(5分)区域d 的体积为V 1＝43πR 3－43πr 3.(7分)∴P (A )＝V 1V ＝1－(r R )3＝1－127＝2627.(10分)故砂粒距离球心不小于1 cm 的概率为2627.(12分)[一点通]如果试验的结果所成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总的体积及事件A 所分布的体积．其概率的计算P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.5．一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是________．解析：记“蜜蜂能够安全飞行”为事件A ，则它位于与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10的区域飞行时是安全的，故区域d 为棱长为10的正方体，P (A )＝103303＝127.答案：1276．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M- ABCD 的体积小于16的概率为________．解析：设M 到平面ABCD 的距离为h ，则V M-ABCD ＝13S 底ABCD ·h ＝16，S 底ABCD ＝1，∴h ＝12.∴只要点M 到平面ABCD 的距离小于12.所有满足点M 到平面ABCD 的距离小于12的点组成以ABCD 为底面，高为h (h ＜12)的长方体，又正方体棱长为1.∴使棱锥M -ABCD 的体积小于16的概率P ＝121＝12.答案：12利用几何概型计算事件概率分以下几步：(1)判断是否为几何概型，此步关键是把事件看成一次试验，然后看试验是否是等可能试验，并且试验次数是否是无限的.(2)计算基本事件与事件A 所含的基本事件对应的区域的测度(长度、面积或体积)． (3)利用概率公式计算．课下能力提升(十七)一、填空题1．在区间[－1，2]上随机取一个数x ，则x ∈[0，1]的概率为 ________．解析：[－1，2]的长度为3，[0，1]的长度为1，所以概率是13.答案：132．如图，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆．现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为________．解析：由题意，硬币的中心应落在距圆心2～9 cm 的圆环上，圆环的面积为π×92－π×22＝77π cm 2，故所求概率为77π81π＝7781. 答案：77813.如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．解析：由几何概型知，S 阴S 正方形＝23，故S 阴＝23×22＝83. 答案：834．一只蚂蚁在三边边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．解析：边长为3，4，5三边构成直角三角形，P ＝（3－1－1）＋（4－1－1）＋（5－1－1）3＋4＋5＝612＝12. 答案：125.如图，在平面直角坐标系中，∠xOT ＝60°，以O 为端点任作一射线，则射线落在锐角∠xOT 内的概率是________．解析：以O 为起点作射线，设为OA ，则射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件．记“射线OA 落在锐角∠xOT 内”为事件A ，其几何度量是60°，全体基本事件的度量是360°，由几何概型概率计算公式，可得P (A )＝60360＝16. 答案：16二、解答题6．点A 为周长等于3的圆周上一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，求劣弧AB ︵的长度小于1的概率．解：如图，圆周上使AM ︵的长度等于1的点M 有两个，设为M 1，M 2，则过A 的圆弧M 1AM 2︵的长度为2，B 点落在优弧M 1AM 2︵上就能使劣弧AB ︵的长度小于1，所以劣弧AB ︵的长度小于1的概率为23.7．有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，求点P 到点O 距离大于1的概率．解：区域D 的体积V ＝π×12×2＝2π，当P 到点O 的距离小于1时，点P 落在以O 为球心，1为半径的半球内，所以满足P 到O 距离大于1的点P 所在区域d 的体积为V 1＝V －V 半球＝2π－23π＝43π.所求的概率为V 1V ＝23.8．两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间相见的概率．解：设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当－23≤x －y ≤23.两人到达约见地点所有时刻(x ，y )的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x ，y )的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示，因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为：S阴影S单位正方形＝1－（13）212＝89.P＝。

高中数学人教B版必修3学案3.3.1 几何概型 Word版含解析

随机数的含义与应用几何概型.理解几何概型的定义及特点.(重点).掌握几何概型的计算方法和求解步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题.(难点).与长度、角度有关的几何概型问题.(易混点)[基础·初探]教材整理几何概型阅读教材，完成下列问题..定义如果把事件理解为区域Ω的某一子区域(如图--所示)，的概率只与子区域的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型.图--.几何概型的概率公式在几何概型中，事件的概率定义为：()＝，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μ表示子区域的几何度量..判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()几何概型的概率与构成事件的区域形状无关.( )()在射击中，运动员击中靶心的概率在()内.( )()几何概型的基本事件有无数多个.( )【答案】()√()×()√.在区间[－]上随机取一个数，则≤的概率为.【解析】∵区间[－]的长度为，由≤得∈[－]，而区间[－]的长度为，取每个值为随机的，∴在[－]上取一个数，≤的概率＝.【答案】[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]某汽车站每隔有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过的概率.【精彩点拨】乘客在上一辆车发车后的之内到达车站，等车时间会超过.【尝试解答】设上一辆车于时刻到达，而下一辆车于时刻到达，则线段的长度为，设是线段上的点，且＝，＝，如图所示.记“等车时间超过”为事件，则当乘客到达车站的时刻落在线段上(不含端。

人教A版高中数学必修三练习：第三章概率3.3几何概型含答案

分层训练·进阶冲关A组基础练( 建议用时 20 分钟)1.以下概率模型中 , 几何概型的个数为( B )①从区间 [-10,10]内任拿出一个数,求取到1的概率;②从区间 [-10,10]内任拿出一个数,求取到绝对值不大于 1 的数的概率;③从区间 [-10,10]内任拿出一个整数,求取到大于1而小于2的数的概率;④向一个边长为 4 cm 的正方形 ABCD内投一点 P, 求点 P 离中心不超出1 cm 的概率 .A.1B.2C.3D.42.两根电线杆相距 100 m, 若电线遭到雷击 , 且雷击点距电线杆 10 m 以内时 , 电线杆上的输电设施将受损 , 则遭到雷击时设施受损的概率为( B )3.在长为 10 厘米的线段 AB上任取一点 G,以 AG为半径作圆 , 则圆的面积介于 36π平方厘米到 64π平方厘米的概率是( D )A. B. C. D.4.用计算器或计算机产生 20 个[0,1] 之间的随机数 x, 可是基本领件都在区间 [-1,3]上,则需要经过的线性变换是( D )A.y=3x-1B.y=3x+1C.y=4x+1D.y=4x-15.已知事件“在矩形 ABCD的边 CD上随机取一点 P, 使△APB的最大边是 AB”发生的概率为, 则=( D )A. B. C. D.6.有四个游戏盘 , 以以下图所示 , 假如撒一粒黄豆落在暗影部分 , 则可中奖, 小明希望中奖时机大 , 他应入选择的游戏盘为( A )7.如图 , 图 2 中实线围成的部分是长方体 ( 图 1) 的平面睁开图 , 此中四边形 ABCD是边长为 1 的正方形 . 若向虚线围成的矩形内随意扔掷一质点, 它落在长方体的平面睁开图内的概率是, 则此长方体的体积是3 .8.一只小蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随机飞翔 , 若蜜蜂在飞翔过程中与正方体玻璃容器 6 个表面中有一个的距离不大于 10,则就有可能撞到玻璃上而不安全 ; 若一直保持与正方体玻璃容器 6 个表面的距离均大于 10, 则飞翔是安全的 , 假定蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一地点可能性同样, 那么蜜蜂飞翔是安全的概率是.9.在正方体 ABCD-A1B1C1D1内随机取点 , 则该点落在三棱锥 A1-ABC内的概率是 .10.以下图 , 在直角坐标系内 , 射线 OT落在 60°角的终边上 , 任作一条射线 OA,则射线 OA落在∠ xOT内的概率是 .11.(1) 从区间 (0,5) 内随意选用一个实数x, 求事件“ 9x>27”发生的概率.(2) 从区间 (0,8) 内任取一个整数x, 求事件“ lo x>-2 ”发生的概率 .【分析】 (1) 由 9 x >27, 解得 x>log9 27,即x> .由几何概型可知 ,所求概率为 P1 ==.(2) 由 lo x>-2, 因此 0<x<4.则在区间 (0,8) 内知足不等式的整数为1,2,3 共 3 个.故由古典概型可知 ,所求概率为 P= .12.在正方体 ABCD-A1B1 C1 D1中, 棱长为 1, 在正方体内随机取一点 M,求使M-ABCD的体积小于的概率.【分析】设点 M 到面 ABCD 的距离为 h,则=·h=,即 h= .因此只需点 M 到面ABCD 的距离小于时,即知足条件.所有知足点 M 到面 ABCD 的距离小于的点构成以面ABCD为底,高为的长方体,其体积为.又由于正方体体积为1, 因此使四棱锥 M-ABCD的体积小于的概率为P= = .B组提高练( 建议用时 20 分钟)13.在区间 [-1,1] 上任取两数 x 和 y, 构成有序实数对 (x,y), 记事件 A为“ x2+y2<1”, 则 P(A) 等于 ( A )A. B. C.π D.2π14.球 O与棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1的各个面均相切 , 如图 , 用平行于底面的平面截去长方体 A2B2C2D2-A 1B1C1D1, 获得截面 A2 B2C2D2, 且A2A= a, 现随机向截面A2B2C2D2上撒一粒黄豆 , 则黄豆落在截面中的圆内的概率为( B )A. B. C. D.15.方程 x2+x+n=0(n∈(0,1)) 有实根的概率为 .16.有一个圆面 , 圆面内有一个内接正三角形 , 若随机向圆面上投一镖都中圆面 , 则镖落在三角形内的概率为.17.设有一个等边三角形网格 , 此中各个最小等边三角形的边长都是4cm, 现用直径等于 2 cm 的硬币扔掷到此网格上 , 求硬币落下后与格线没有公共点的概率 .【分析】记 A={ 硬币落下后与格线没有公共点},如图 ,在边长为 4cm 的等边三角形内作小等边三角形,使其三边与原等边三角形三边距离都为1,则等边三角形 A ′B′C′的边长为4-2=2,当硬币的中心落在△ A ′B′C′内时,硬币与格线没有公共点 .由几何概率公式得 :P(A)== .18. 已知函数 f(x)=-x2+ax-b.(1)若 a,b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数 , 求上述函数有零点的概率 .(2)若 a,b 都是从区间 [0,4] 任取的一个数 , 求 f(1)>0 建立的概率 .【分析】 (1)a,b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数的基本领件总数为 N=5 ×5=25( 个).函数有零点的条件为=a 2 -4b ≥0,即 a2≥4b.由于事件“ a 2≥4b ”包括 (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共12个.因此事件“ a2≥4b”的概率为P=.(2) 由于 a,b 都是从区间 [0,4] 上任取的一个数 ,f(1)=-1+a-b>0,因此a-b>1, 此为几何概型 ,因此事件“f(1)>0 ”的概率为 P==.C组培优练 ( 建议用时 15 分钟 )19.如图 , 在一个边长为 a,b(a>b>0) 的矩形内画一个梯形 , 梯形上、下底分别为 a 与a, 高为 b, 向该矩形内随机投一点, 则所投的点落在梯形内部的概率为.20. 设对于 x 的一元二次方程x2+2ax+b2=0.(1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数 ,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数 , 求上述方程有实根的概率 ;(2)若 a 是从区间 [0,3] 任取的一个数 ,b 是从区间 [0,2] 任取的一个数 ,求上述方程有实根的概率.【分析】设事件 A 为“方程 x 2 +2ax+b 2 =0有实根”,当a≥0,b≥0时,此方程有实根的条件是 a ≥b.(1) 全集Ω={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)},共12个,此中第一个数表示 a 的取值 ,第二个数表示b的取值 ,事件A={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)},共9个,故 P(A)== .(2)试验的所有结果所构成的地区为 {(a,b)|0 ≤a ≤3,0 ≤b ≤2}, 而构成 A 的地区为 {(a,b)|0 ≤a≤3,0 ≤b ≤2,a ≥b}, 即以下图的暗影部分 ,因此 P(A)== .封闭 Word 文档返回原板块。

2017-2018学年高中数学人教A版必修三课时作业：第3章概率 3.3 习题课 Word版含答案

课时目标
的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为
．如图所示，在直角坐标系内，射线
落在∠xOT内的概率是
落在直角坐标系的每个位置可能性是一样的，这是与角度有关的几何概型问题．因为周角是
为事件A，其概率为
BP BA
的面积大于S
4)|BA|4
．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为
假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，
()。

2018学年高中数学(人教a版)必修三：(二十) 3.3.1 几何概型含解析

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课时提升作业(二十)几何概型(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A. B. C. D.【解析】选A.试验的所有结果构成的区域长度为10min，而构成事件A的区域长度为1min，故P(A)=.【补偿训练】某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间不超过3分钟的概率为( )A. B. C. D.【解析】选C.把汽车到站的间隔时间分为[0，5]上的实数，其中乘客候车时间不超过3分钟时应在[0，3]内取值，所以发生的概率为.2.(2015·顺义高一检测)在区间[-2，3]上随机选取一个数X，则X≤2的概率是( )A. B. C. D.【解析】选D.因为基本事件空间为[-2，3]，它的度量是长度5，X≤2的度量为4，所以所求概率为.3.下列概率模型中，几何概型的个数为( )①从区间[-10，10]内任取出一个数，求取到1的概率；②从区间[-10，10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[-10，10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1cm 的概率.A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①不是几何概型，虽然区间[-10，10]有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；②是几何概型，因为区间[-10，10]和[-1，1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；③不是几何概型，因为区间[-10，10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；④是几何概型，因为在边长为4cm的正方形和半径为1cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有等可能被投到，故满足无限性和等可能性.4.(2015·临沂高一检测)如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是( )A. B. C. D.【解析】选B.设事件A={小鸡正在正方形的内切圆中}，则事件A的几何区域为内切圆的面积S=πR2(2R为正方形的边长)，全体基本事件的几何区域为正方形的面积，由几何概型的概率公式可得P(A)==，即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为.【补偿训练】面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为( )A. B. C. D.【解析】选B.向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型.设点落在△ABD内为事件M，则P(M)==.5.已知正三棱锥S-ABC，在正三棱锥内任取一点P，使得V P-ABC<V S-ABC的概率是( )A. B. C. D.【解析】选B.如图，由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满足：。

数学人教B版必修3教案：3.3 几何概型 Word版含答案

例2 ：某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)=605060 =61，即此人等车时间不多于10分钟的概率为61．小结：在本例中，到站等车的时刻X 是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X 服从[0,60]上的均匀分布，X 为[0,60]上的均匀随机数．例3：在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而40平方千米可看作构成事件的区域面积，有几何概型公式可以求得概率．解：记“钻到油层面”为事件A ，则P(A)= 所有海域的大陆架面积储藏石油的大陆架面积=1000040=0.004．答：钻到油层面的概率是0.004．例4：在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率．解：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则P(A)= 所有种子的体积取出的种子体积=100010=0.01．答：取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01．例5 （课本例2）（三）课堂练习1．已知地铁列车每10min 一班，在车站停1min ，求乘客到达站台立即乘上车的概率．2．两根相距6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m 的概率．3．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是．。

(人教b版)数学必修三练习：3.3.1几何概型(含答案)

第三章 3.3 3.3.1一、选择题1．下面关于几何概型的说法错误的是( ) A ．几何概型也是古典概型的一种B ．几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关C ．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限个D ．几何概型中每个结果的发生具有等可能性 [答案] A[解析] 几何概型基本事件的个数是无限的，而古典概型要求基本事件有有限个，故几何概型不是古典概型，故选A.2．平面上有一组平行线且相邻平行线的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．23[答案] B [解析] 如图，要使硬币不与平行直线l 1、l 4中任何一条相碰，则应使硬币的中心在两平行线l 2、l 3之间，故所求概率为P ＝13.3．一只小狗在图所示的方砖上走来走去，最终停在涂色方砖的概率为( )A ．18B ．79C ．29D ．716[答案] C[解析] 由题意知，这是一个与面积有关的几何概型题．这只小狗在任何一个区域的可能性一样，图中有大小相同的方砖共9块，显然小狗停在涂色方砖的概率为29.故选C.4．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A ．14B ．12C ．34D ．23[答案] C[解析] 如下图，在AB 边上取点P ′，使AP ′AB ＝34，则P 只能在AP ′内运动，则所求概率为P ＝AP ′AB ＝34.故选C.5．在1 000mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率( )A ．0B ．0.002C ．0.004D ．1[答案] B[解析] 由于取水样的随机性，所求事件A ：“在取出的2mL 水样中有草履虫”，属于几何概型．∴P (A )＝水样的体积总体积＝21 000＝0.002.6．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为( )A ．16B ．13C ．23D ．45[答案] C[解析] 本题考查几何概型．设AC ＝x cm ，则BC ＝(12－x ) cm ，∴x (12－x )＝20，解得x ＝2或x ＝10，故所求概率P ＝12－2－212＝23.二、填空题7. (2014·福建文，13)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．[答案] 0.18[解析] 由几何概型的概率可知，所求概率P ＝S 阴S 正＝1801 000＝0.18，∴.S 阴＝0.188．设有一均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间 [0,1]上的数字，另一半均匀地刻上区间[1,3]上的数字，旋转它，则它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于⎣⎡⎦⎤12，32上的概率是____________．[答案] 38[解析] 由题意，记事件A 为“陀螺停止时，其圆周上触及桌面的刻度位于⎣⎡⎦⎤12，32”．设圆的周长为C ，则P (A )＝12×12C ＋14×12C C ＝38.三、解答题9．某同学向如图所示的正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分内的概率．[解析] 由于是随机投掷飞镖，故可认为飞镖落在正方形内任一点的机会是均等的，因此落在阴影部分的概率应等于三角形面积与正方形面积的比，如图所示．记“飞镖落在阴影内”为事件A ，则P (A )＝ △ECD 的面积正方形的面积＝14.一、选择题1．如图所示，设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率是()A ．34B ．12C ．13D ．35[答案] B[解析] 由图可知，符合条件的点应在与点A 相对的另一半圆弧BC 上，BC圆O 周长＝12.故选B.2．如图，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为()A ．12B ．23C ．32D ．14[答案] B[解析] 如图所示，当AA ′长度等于半径时，A ′位于B 或C 点，此时∠BOC ＝120°，则优弧BC ＝43πR ，∴满足条件的概率P ＝43πR 2πR ＝23，故选B.3．已知直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距在区间[－2,3]内，则直线在y 轴上的截距b 大于1的概率是( )A ．15B ．25C ．35D ．45[答案] B[解析] 由几何概型的概率公式知，所求概率P ＝3－13－(－2)＝25.4．设有一个正方形网络，其中每个最小正方形的边长都等于6cm.现用直径等于2cm 的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率是( )A ．0B ．1C ．59D ．49[答案] C[解析] 如图所示，硬币落下后与格线无公共点时，硬币中心应在如图所示的阴影部分(边长为4 cm 的正方形)内，其概率为1636＝49，故硬币落下后与格线有公共点的概率为1－49＝59，故选C. 二、填空题5．如图所示，大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个小正方形即阴影部分，较短的直角边长为2，向大正方形的投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为____________．[答案]113[解析] 阴影部分面积为1，故所求概率为113.6．(2014·重庆文，15)某校早上开始上课，假设该校学生小张与小王在早上～之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5min 到校的概率为________．(用数字作答)[答案]932[解析] 设小张到校时间是－任意时刻x ，小王到校时间是－任意时刻y ，则x 、y ∈[0,20]的任意实数，因为x 在该时间段的任何时刻到校是等可能的，故为几何概型事件“小张比小王至少早到5min ”为事件A ，即y －x ≥5，如图所示Ω和事件对应测度为∴所求概率P (A )＝12×15×1520×20＝932.三、解答题7．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．[解析] ∵假设他在0分～60分钟这段时间的任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件．设事件A ＝“等待时间不多于10分钟”，事件A 发生是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内，所以μA ＝60－50＝10，μΩ＝60.所以P (A )＝μA μΩ＝1060＝16.8．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．[解析] 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为 P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}．构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }即如右图的阴影区域所示，所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.。

高中数学必修三课时训练：3.3-几何概型(含答案)

数学·必修3(苏教版)第3章概率3．3 几何概型基础巩固 1．在(0，1)内任取一个数m ，能使方程x 2＋2mx ＋12＝0有两个不相等的实数根的概率为( )A.12B.14C.22D.2－22答案：D2．已知实数x ，y ，可以在0＜x ＜2，0＜y ＜2的条件下随机取数，那么取出的数对(x ，y)满足(x －1)2＋(y －1)2＜1的概率是( ) A.π4 B.4πC.π2D.π3答案：A3．取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长都不少于1 m的概率是________．解析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，4]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的．因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0，4]上的均匀随机数，其中[1，3]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，3]内，也就是剪得两段长都不小于1 m．这样[1，3]的几何度量与[0，4]的几何度量之比就是事件A发生的概率．答案：1 24．在圆心角为90°的扇形OAB中，以圆心O为起点作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为________．解析：角的范围在0°到90°之间，作射线OC使得∠AOC的范围在30°到60°之间才能满足条件．答案：1 35．在区间[－1，2]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为________．答案：1 3能力升级6．已知直线y＝x＋b，b∈[－2，3]，则直线在y轴上的截距大于1的概率是________．解析：直线在y轴上截距范围长度为5，满足条件的截距长度为2，故所求概率为2 5.答案：2 57．在△ABC中，已知a∶b∶c＝5∶12∶13，在边AB上任取一点M，则△AMC是钝角三角形的概率为________．解析：设a＝5k，b＝12k，c＝13k(k＞0)，∵a2＋b2＝c2，∴∠ACB＝90°，过C作CM⊥AB于M.由AC2＝AM·AB得：AM＝144 13k.∴△AMC 是钝角三角形的概率为：14413k 13k ＝144169. 答案：1441698．甲、乙两人相约10天之内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过3天以后方可离开．若他们在限期内到达目的地是等可能的，求甲、乙两人会面的概率．解析：以x ，y 表示甲、乙两人到达会面地点的时间，两人能够会面的条件为|x －y |≤3，在平面上建立如下图所示的直角坐标系，则(x ，y )的所有可能结果是边长为10的正方形(用Ω表示)的面积，而可能会面的时间由图中阴影部分(用A 表示)面积表示，显然这是一个几何概型．所以P (A )＝102－72102＝51100＝0.51. 即两人能够会面的概率为0.51.9．设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是4 3 cm，现用直径为2 cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．解析：如图，记“硬币落下后与格线无公共点”为事件M，则易得小等边三角形A′B′C′的边长为2 3.由三角形的面积之比等于边长比的平方，得P(M)＝S△A′B′C′S△ABC＝⎝⎛⎭⎪⎫B′C′BC2＝⎝⎛⎭⎪⎫23432＝14.10．甲、乙两艘船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．解析：(1)设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ，则0≤x ≤24，0≤y ≤24.且y －x ≥4或y －x ≤－4.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤24，0≤y ≤24，y －x ≥4或y －x ≤－4表示的区域(如上图)．设“两船无需等待码头空出”为事件A ，则P (A )＝2×12×20×2024×24＝2536. (2)当甲船的停泊时间为4小时，两船不需等待码头空出，则满足y －x ≥4；当乙船的停泊时间为2小时，两船不需等待码头空出，则满足x －y ≥2.即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤24，0≤y ≤24，y －x ≥4或x －y ≥2.设满足上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B ，画出区域(如下图)．P (B )＝12×20×20＋12×22×2224×24＝442576＝221288.。

2018学年高一数学人教A版必修3课时3.3 几何概型含解

绝密★启用前人教版必修3 课时3.3 几何概型一、选择题1．【题文】在[]1,2-内，任取一个数，则“123x -<<”的概率是（）A ．49B ．59C ．23D ．792．【题文】在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率为（） A ．π16 BCD3．【题文】如图所示，1OA =，在以O 为圆心，OA 为半径的半圆弧上随机取一点B ，则AOB ∆的面积小于14的概率为（）A ．13B ．14C ．12D ．164．【题文】一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A.B. C. 127 D. 7165．【题文】如图，在圆心角为120︒的扇形OAB 中，以OA 为直径作一个半圆.若在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A ．π85B ．85C ．83 D ．π836．【题文】在ABC ∆中，60,2,6ABC AB BC ∠=︒==，在BC 上任取一点D ，则ABD ∆是以BAD ∠为钝角的三角形的概率为（） A ．16 B ．13 C ．12 D ．237．【题文】如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)．且点C 与点D在函数()1,0,11,02x x f x x x +≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则该点取自空白部分的概率等于（）A ．34B ．14C ．16D ．128．【题文】如图，圆C 内切于扇形AOBAOB 内随机投掷600个点，则落入圆内的点的个数估计值为（）A. 100B. 200C. 400D. 450二、填空题（考试研究中心)9.【题文】在区间[]1,3-内任取一个实数，满足()2log 10x ->的概率是____.10．【题文】在矩形ABCD 中，2,1,AB BC O ==为AB 边的中点，若在该矩形内随机取一点，则取到的点与O 点的距离大于概率为．11．【题文】小华的家长为他订了一份鲜牛奶，送奶人每天都在早上6:107:20之间将鲜牛奶送达，小明需要早上6:307:30之间出发去上学，则小明在离开家前能喝到鲜牛奶的概率是________.三、解答题12．【题文】射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色，金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122 cm ，靶心直径12.2 cm ，运动员在70米外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，求射中“黄心”的概率.13．【题文】已知正方形ABCD 的边长为1，如图所示. （1）在正方形内任取一点M ，求事件“||1AM ≤”的概率；（2）用芝麻颗粒将正方形均匀铺满，经清点，发现芝麻一共56粒，有44粒落在扇形BAD 内，请据此估计圆周率的近似值（精确到0.001）．14．【题文】如图，已知AB 是半圆O 的直径，8AB =，,,M N P 是将半圆圆周四等分的三个分点．（1）从,,,,P A B M N 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；（2）在半圆内任取一点S ，求SAB ∆的面积大于人教版必修3 课时3.3 几何概型参考答案与解析一、选择题 1．【答案】D【解析】根据几何概型及其概率的计算公式可得，“123x -<<”的概率是1(2)732(1)9P --==--，故选D ．考点：几何概型及其概率的计算．【题型】选择题【难度】较易 2．【答案】B【解析】如图，以等腰直角三角形的直角顶点为圆心，1半径作圆，阴影中的点到此三角形的直角顶点的距离不大于1，所以概率就是阴影的面积与三角形的面积比值，即21π1π418222P ⨯==⨯⨯，故选B.考点：几何概型. 【题型】选择题【难度】较易3．【答案】A【解析】∵1=OA ，AOB ∆的面积小于1，∴41sin 111<∠⨯⨯⨯AOB ， ∴21sin <∠AOB AOB ∆的面积小于41的概率为31，故选A.考点：几何概型. 【题型】选择题【难度】较易 4．【答案】C【解析】蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心且棱长为1的正方体内，这个小正方体的体积为大正方体的体积的271，故安全飞行的概率为271，故选C. 考点：几何概型.【题型】选择题【难度】较易 5．【答案】B【解析】设扇形的半径为2R ，则阴影部分的面积为()22112π12π232S R R =⋅- OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率B. 考点：几何概型. 【题型】选择题【难度】一般 6．【答案】B【解析】ABD ∆是以BAD ∠为钝角的三角形，此时情况的边界为90BAD ∠=︒，此时4BD =，所以要使90BAD ∠>︒，必有46BD <<，所以概率为64163P -==，故选B ．考点：几何概型及其概率的求解．【题型】选择题【难度】一般 7．【答案】A【解析】由题意得(1,2)C ，(2,2)D -，(2,0)A -，()0,1F ，326ABCD S =⨯=，则阴影部39622-=，所求概率为93264P ==．考点：几何概型．【题型】选择题【难度】一般 8．【答案】C【解析】设扇形半径为R ，圆C 半径为，则23R r r r =+=，C.考点：几何概型. 【题型】选择题【难度】一般二、填空题（考试研究中心) 9. 【答案】14【解析】由()2log 10x ->，得2x >，又[]1,3x ∈-，所以符合条件的的区间为(]2,3，所以所求概率为3213(1)4P -==--.考点：几何概型. 【题型】填空题【难度】较易 10．【解析】所求点应在矩形ABCD 内且在以O 为圆心，半径为的半圆外.由于矩形的面积为，以O 为圆心，半径为的半圆的面积所以满足条件的概率为考点：几何概型的计算公式及运用．【题型】填空题【难度】一般 11．【答案】5984【解析】设送奶人到达的时间为，小明离开家的时间为y ，则(),x y 可以看成平面中的点，基本事件的全部结果所构成的集合为()1111,67,676322Ωx y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭，一个矩形区域，面积为76S =，小明在离开家前能喝到鲜牛奶所构成的集合为()1111,67,67,6322A x y x y x y ⎧⎫=≤≤≤≤<⎨⎬⎩⎭，即图中的阴影部分，其中116,622A ⎛⎫⎪⎝⎭，117,632B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，117,733C ⎛⎫⎪⎝⎭．△ABC 的面积=1552526672⨯⨯=，则阴影部分的面积7255967272S '=-=，所求概率5959727846P ==.考点：几何概型的计算公式及运用．【题型】填空题【难度】一般三、解答题 12．【答案】0.01【解析】记“射中黄心”为事件A ，中靶点随机的落在面积为×1222 cm 2的大圆内，当中靶点在面积为×12.22 cm 2的黄心时，事件A 发生，于是事件A 发生的概率P （A ）=22π12.20.01π122⨯=⨯，所以射中“黄心”的概率为0.01. 考点：几何概型. 【题型】解答题【难度】一般 13．【答案】（1（2）3.143 【解析】（1故事件“||1AM ≤”（2）正方形内的56粒芝麻颗粒中有44粒落在扇形BAD 内，频率为44115614=，用频率估计概率，由（1∴11224 3.143147π≈⨯=≈，即的近似值为3.143．考点：几何概型与古典概型及其概率的计算与应用．【题型】解答题【难度】一般 14．【答案】（1）310（2【解析】（1）从,,,,A B M N P 这个点中任取个点，一共可以组成10个三角形：,,,,,,,,,ABM ABN ABP AMN AMP ANP BMN BMP BNP MNP ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆，其中直角三角形为,,ABM ABN ABP ∆∆∆，共个，所以组成直角三角形的概率为310．（2）连接MP ，取线段MP 的中点D ，则OD MP ⊥，易求得OD =S 点在线段MP 上时，182ABS S ∆=⨯=，所以只有当S 点落在阴影部分时，SAB ∆面积才能大于221π144222OMP MOP S S S =-=⨯⨯-⨯阴影扇形4π8=-，由几何概型的概率公式得SAB ∆的面积大于4π8π28π2π--=．考点：古典概型，几何概型. 【题型】解答题【难度】一般。

人教版高中数学-必修3训练 3.3.1几何概型及其概率计算

数学·必修3(人教A版)3．3 几何概型3．3.1 几何概型及其概率计算基础达标1．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )A.π4B．1－π4C.π8D．1－π8答案：B2．关于几何概型和古典概型的区别，下列说法正确的是( ) A．几何概型中基本事件有有限个，而古典概型中基本事件有无限个B．几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有概率限个C．几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性相等D．几何概型中每个基本事件出现的可能性相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性不相等答案：B3．一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为45秒．当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是( )A.112B.38C.116D.56答案：C4．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为________．答案：2 35．(2013·山东卷)在区间[－3,3]上随机取一个数x，使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________________________________________________________________________．解析：先求出绝对值不等式的解集，再结合几何概型知识求解．当x<－1时，不等式可化为－x－1＋x－2≥1，即－3≥1，此式不成立，∴x∈∅；当－1≤x≤2时，不等式可化为x＋1－(2－x)≥1，即x≥1，∴此时1≤x≤2；当x>2时，不等式可化为x＋1－x＋2≥1，即3≥1，此式恒成立，∴此时x>2.综上可知，不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集为[1，＋∞)．∴不等式|x＋1|－|x－2|≥1在区间[－3,3]上的解集为[1,3]，其长度为2.又x∈[－3,3]，其长度为6，由几何概型知识可得P＝26＝13 .答案：1 3巩固提升6.如右图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点，作射线OC，则∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为________．答案：137．在体积为V的三棱锥SABC的棱AB上任取一点P，求三棱锥SAPC的体积大于V3的概率．解析：如右图，要使V SAPC＞V3，需有S△APC＞13S△ABC，∴P需满足PB＜23AB.∴三棱锥SAPC的体积大于V3的概率为P＝23VV ＝23或P＝23ABAB＝23.8．一个靶子如图所示，随机地掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖不会落在黑色靶心上，也不会落在两种颜色之间，求飞镖落在下列区域的概率：(1)编号为25的区域；(2)绿色区域(阴影部分)；(3)编号不小于24的区域；(4)编号为6号到9号的区域；(5)编号为奇数的区域；(6)编号能被5或3整除的阴影区域．解析：飞镖落在每一个区域的概率是一样的，那么只要计算小扇形的个数就可以了，一共有26个小扇形．这是几何概型问题． (1)P ＝1个小扇形的面积26个小扇形的面积＝126； (2)P ＝13个小扇形的面积26个小扇形的面积＝1326＝12； (3)P ＝编号不小于24的扇形面积全部区域的扇形面积＝编号大于等于24的扇形面积全部区域的扇形面积＝326； (4)P ＝6号到9号区域的扇形面积全部区域的扇形面积＝426＝213； (5)P ＝奇数号区域的扇形面积全部区域的扇形面积＝1326＝12； (6)阴影部分能被3整除的编号有6,12,18, 24共4个，能被5整除的编号有10,20共2个，所以P ＝4＋226＝313.9．甲、乙两人约定6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．解析：事件A ＝“两人能见面”．以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x －y |≤15，在如图所示平面直角坐标系下，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A 的可能结果由图中阴影部分表示．μA ＝602－452＝1 575，μΩ＝602＝3 600，P (A )＝μA μΩ＝1 5753 600＝716.1．正确理解并掌握几何概型的两个特点是解决相关问题的关键．两个特点为：①在一次试验中，可能出现的结果有无限多个(无限性)；②每个结果发生的可能性相等(等可能性)．2．求试验为几何概型的概率，关键是求出事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解．3．适当地选择观察角度是解决有关长度、角度、面积、体积等问题的关键．。