2013年上海高一数学自主招生专题第6讲：期中复习(2)(学生)

合集下载

上海高一高中数学期中考试带答案解析

上海高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.集合的真子集的个数是．2.命题“如果都是奇数，那么是偶数”的逆否命题是．3.已知函数，，，则．4.已知集合，集合，则．5.函数（常数），若，则．6.已知全集，且，,，则集合．7.已知集合关于的方程有唯一实数解，，用列举法表示集合．8.对于集合，定义运算：，．若，，则．9.已知全集，实数满足，集合，则．10.已知关于的不等式的解集为，其中，则关于的不等式的解集是．11.对于实数，若规定，则不等式的解集是．12.不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是．13.定义关于的不等式的解集称为的邻域．若的邻域是区间，则的最小值是．14.给出下列四个命题：（1）若，则；（2）若，则；（3），则；（4）若，则．其中正确命题的是．（填所有正确命题的序号）二、选择题1.下列每组中的两个函数是同一函数的是（）A．与B．与C．与D．与2.若，，则不等式的解是（）A．或B．C．或D．或3.下列说法正确的是（）A．“若，则”的否命题是“若，则”B．“”是“”的必要非充分条件C．“”是“或”的充分非必要条件D．“”是“且”的充分必要条件4.若，，且恒成立，则的最小值是（）A．B．C．D．三、解答题1.解关于的不等式：．2.已知集合，集合．（1）求集合与集合；（2）若，求实数的取值范围．3.设集合，，．（1）若，求实数的值；（2）若，且，求实数的值；（3）若，求实数的值．4.我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为（平方米）的矩形健身场地．如图，点在上，点在上，且点在斜边上．已知，米，米，．设矩形健身场地每平方米的造价为元，再把矩形以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（为正常数）．（1）试用表示，并求的取值范围；（2）求总造价关于面积的函数；（3）如何选取，使总造价最低（不要求求出最低造价）．5.已知是满足下列性质的所有函数组成的集合：对于函数，使得对函数定义域内的任意两个自变量，均有成立．（1）已知函数，，判断与集合的关系，并说明理由；（2）已知函数，求实数的取值范围；（3）是否存在实数,使得，属于集合？若存在，求的取值范围，若不存在，请说明理由．上海高一高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.集合的真子集的个数是．【答案】【解析】，真子集个数，所以答案应填：3．【考点】集合的子集概念．2.命题“如果都是奇数，那么是偶数”的逆否命题是．【答案】如果不是偶数，那么不都是奇数【解析】命题的条件和结论否定后交换，所以答案应填：如果不是偶数，那么不都是奇数．【考点】逆否命题．3.已知函数，，，则．【答案】【解析】注意函数变形时，定义域要保持不变，应满足且，所以答案应填：．【考点】函数的定义域．4.已知集合，集合，则．【答案】【解析】由，，知，所以答案应填：．【考点】1、集合；2、二次函数值域．5.函数（常数），若，则．【答案】【解析】得：，故，所以答案应填：3．【考点】函数概念．6.已知全集，且，,，则集合．【答案】【解析】，且，，知中无，有，知中无，故，所以答案应填：．【考点】1、集合的交集2、集合的补集．7.已知集合关于的方程有唯一实数解，，用列举法表示集合．【答案】【解析】由，当或时，方程有一解，当有一解时，，，所以答案应填：．【考点】含参分式方程．8.对于集合，定义运算：，．若，，则．【答案】【解析】，，，所以答案应填：．【考点】集合的运算．9.已知全集，实数满足，集合，则．【答案】【解析】，因为，，故，所以答案应填：．【考点】集合的交集、补集．10.已知关于的不等式的解集为，其中，则关于的不等式的解集是．【答案】【解析】由不等式的解集为知，解得，所以即为，解得，所以答案应填：．【考点】1、一元二次不等式；2、一元二次方程．【思路点晴】本题主要考查的是含参一元二次不等式的解法，属于中档题．解题时一定注意不等式的解集端点与相应方程的关系，即端点是方程的根，再根据根与系数关系得出，，从而解出的解集．11.对于实数，若规定，则不等式的解集是．【答案】【解析】解一元二次不等式得：，，所以，所以答案应填：．【考点】二次不等式．12.不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】当时恒成立，当时，利用二次函数图象知，所以答案应填：．【考点】含参二次不等式恒成立．【思路点晴】本题主要考查是含参数二次不等式的恒成立问题，属于中档题．解题时一定注意对的分类讨论，不能忘记的情况，同时，要结合二次函数图象及方程根的情况，应该开口向下，判别式小于零，列出满足的条件求解．13.定义关于的不等式的解集称为的邻域．若的邻域是区间，则的最小值是．【答案】【解析】由邻域的定义知的解集是，解此不等式：，所以，由重要不等式知：，所以答案应填：．【考点】1、绝对值不等式；2、重要不等式．【思路点晴】本题主要考查的是绝对值不等式及重要的均值不等式，属于难题题．解题时先有邻域的概念及绝对值不等式的解法得，再考查与条件的关系，利用重要不等式求出的最小值．14.给出下列四个命题：（1）若，则；（2）若，则；（3），则；（4）若，则．其中正确命题的是．（填所有正确命题的序号）【答案】（1）（2）（4）【解析】（1）由得：，同向不等式相加得：；（2）若，显然，所以成立；（3），则不一定成立，如；4）若，则，所以，即，所以答案应填：（1）（2）（4）．【考点】1、不等式性质2、做差法比较大小．二、选择题1.下列每组中的两个函数是同一函数的是（）A．与B．与C．与D．与【答案】B【解析】与，与的定义域不同，与对应法则不同，所以两个函数不是同一函数，故选B．【考点】函数的概念．2.若，，则不等式的解是（）A．或B．C．或D．或【答案】D【解析】根据题意分类讨论，当时，只需，所以，当时，只需，所以，因此的解是或，故选D．【考点】1、分式不等式；2、分类讨论；3、不等式的恒成立．3.下列说法正确的是（）A．“若，则”的否命题是“若，则”B．“”是“”的必要非充分条件C．“”是“或”的充分非必要条件D．“”是“且”的充分必要条件【答案】C【解析】A中注意区分命题的否定与否命题是两个不同概念，B中能推出，所以是充分条件，C转化为其逆否命题：且是充分非必要条件，命题正确，D 取，可知选项不成立，故选C．【考点】1、充分条件、必要条件；2、逆否命题；3、否命题．【方法点晴】本题主要考查的是否命题、充分条件与必要条件的真假性，属于中档题．解题时一定要注意时，是的充分条件，是的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．4.若，，且恒成立，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分离参数得恒成立，两边平方得，而，当且仅当时等号成立，所以，故选B．【考点】1、不等式性质；2、均值不等式；3、不等式的恒成立．【方法点晴】本题主要考查的是含参不等式的恒成立问题，属于中档题题．首先利用不等式的性质将不等式变形分离出常数，转化为求的最大值问题，再平方后运用基本不等式求其最大值，注意分析等号能否取得．三、解答题1.解关于的不等式：．【答案】当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．【解析】含参不等式的求解，注意对参数的分类讨论，当不等式是二次不等式时，优先考虑分解因式，然后分析零点和的三种关系，结合二次函数图象，写出不等式的解．试题解析：（1）当时，原不等式可化为，即；（2）当时，分两种情形：①当时，原不等式化为，即；若时，即时，不等式的解集为；若时，即时，不等式的解集为；若时，即时，不等式的解集为；②当时，原不等式化为；显然，不等式的解集为；综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．【考点】1、分类讨论；2、二次不等式；3、二次函数；4、数形结合．2.已知集合，集合．（1）求集合与集合；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）分式不等式优先考虑分解因式得：然后用数轴穿根法得出解；（2）由题意知，注意讨论的情形，当时，结合数轴写出满足的关系，求出的取值范围．试题解析：（1），当时，即时，；当时，即时，；（2），当时，满足题意；当时，；或，解得，或；综上所述，．【考点】1、分式不等式；2、绝对值不等式；3、集合的交集；4、集合的子集．3.设集合，，．（1）若，求实数的值；（2）若，且，求实数的值；（3）若，求实数的值．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）因为，所以，是方程的根，再由根与系数关系求；（2）由，且，知是的根，且不是方程的根，求并注意检验；（3）由题意得，，代入方程得：或，经检验适合题意．试题解析：（1），，由题意得，，，；（2）由题意得，，所以或，当时，，不符合题意，舍去；当时，，满足题意；所以；（3）由题意得，，所以或，当时，，不符合题意，舍去；当时，，满足题意；所以．【考点】1、集合的交集；2、集合的并集；3、集合的真子集．4.我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为（平方米）的矩形健身场地．如图，点在上，点在上，且点在斜边上．已知，米，米，．设矩形健身场地每平方米的造价为元，再把矩形以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（为正常数）．（1）试用表示，并求的取值范围；（2）求总造价关于面积的函数；（3）如何选取，使总造价最低（不要求求出最低造价）．【答案】（1），；（2），；（3）选取的长为12米或18米时总造价最低．【解析】（1）根据图形及三角函数写出矩形面积，再根据二次函数知识求的取值范围；（2）由题意，两部分造价之和即为所求，；（3）根据，使用均值不等式求最值，并注意等号成立的条件．试题解析：（1）在中，显然，，，矩形的面积，于是为所求．（2）矩形健身场地造价,又的面积为，即草坪造价，由总造价，，．（3），当且仅当即时等号成立，此时，解得或，答：选取的长为12米或18米时总造价最低．【考点】1、二次函数的值域；2、均值不等式；3、实际问题中的函数．【方法点晴】本题主要考查的是函数在实际问题中的应用，及函数定义域值域和均值不等式求最值，属于难题．在实际问题中，要特别注意函数定义域的实际意义，根据函数形式选取合适方法求其值域，在运用均值不等式时，注意等号成立的条件．5.已知是满足下列性质的所有函数组成的集合：对于函数，使得对函数定义域内的任意两个自变量，均有成立．（1）已知函数，，判断与集合的关系，并说明理由；（2）已知函数，求实数的取值范围；（3）是否存在实数,使得，属于集合？若存在，求的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）属于集合，理由见解析；（2），；（3）存在时，．【解析】（1）由题意，判断函数对定义域内的任意两个自变量，是否有成立，根据的范围及绝对值的性质可解决；（2）由意义，转化出成立，所以即可；（3）假设存在，得：，只需求的最小值即可．试题解析：（1）任取，∵∴∴∴即成立，属于集合（2）∵，∴使得任意，均有成立．即存在∴（3）若，则对任意的都成立．即∴∵∴∴，∴当时，；当时，．【考点】1、绝对值的性质；2、函数的最值；3、绝对值不等式的恒成立；4、集合的概念．【方法点晴】本题主要考查的是利用绝对值不等式的性质、解决含参绝对值不等式及绝对值不等式恒成立问题，属于难题．注意本题中涉及绝对值不等式，要善于运用相关绝对值的性质，同时含参数恒成立问题，要学会分离参数，转化为求函数最值问题．。

上海市某重点高中2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题

上海市某重点中学2012-2013学年度第一学期高一数学期中试卷（满分100分，90分钟完成. 答案一律写在答题纸上）一、填空题（本大题共14题，每题3分,满分42分） 1。

已知全集{}1,2,3,4,5U =，A {}1,2,3=，B {}4,3,2=，那么B ∩()UCA =.2. 满足条件{0,1,2}{0,1,2,3,4,5}M ⊆⊆的集合M 有个。

3. 在①1⊆{0,1,2｝;②{1｝∈{0，1,2}；③｛0｝⊆{0}；④φφ;⑤φ｛0｝上述五个关系中，错误的个数是。

4。

已知,a b 都是整数，命题P 的否命题是“如果,a b 都是奇数,则a b +是偶数”,那么命题P的逆命题是。

5. 不等式12x ≤的解为________ .6。

不等式5|5>的解为________ .7。

已知x xx f 2)12(2-=+,则)3(f = 。

8. 已知f (x ）的定义域是［0，1]，则(1)f x +的定义域为。

9。

设集合{0}M x x m =-<，2{(2)3,}N x x y y R ==+-∈,若M ∩N =Φ，则实数m 的取值范围是________________ 。

10。

设U 为全集，A 、B 为U 的子集，在答题纸上用阴影表示A ∪()uC B .11。

已知函数2()23f x axax =+-对任意实数x 都有()0f x <成立,则实数a 的取值范围是。

12. 若0a >，0b <，143a b -=,则ab 的最小值为__________.13. 设实数x 、y 满足2x y⋅3,1x y2，则使得34x a by≤≤恒成立的b的最小值是 . 14. 已知2()f x x ax b=++，,a b R ∈，{(),}(2,4)A x x f x x R =>∈=-，试用区间表示{[()],}B x x f f x x R =>∈= . 二、选择题(本大题共4题，每题4分，满分16分) 15。

上海高一数学自主招生专题第五讲：期中复习(学生)

2013年上海高一数学自主招生专题第五讲：期中复习（1）班级：姓名：得分：一、填空题：1.已知集合},02{2R x x x x A ∈=--=，集合}31|{≤≤=x x B ，则A ∩B =.2.集合{}52<<-=x x A ，集合{}121-≤≤+=m x m x B ，若A B ⊆，且B 为非空集合，则m 的取值范围为.3.命题“若实数b a ,满足,7<+b a 则2=a 且3=b ”的否命题是.4. “y x >”是“y x >”的条件.5. 不等式1312>+-x x 的解是 6. 已知不等式052>+-b x ax 的解集是}23|{-<<-x x ，则不等式052>+-a x bx 的解是___________ .7. 不等式（1＋x ）（1－｜x ｜）＞0的解集是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽8.设集合(){}()(){}521,,31,2+-==-==x m y y x B x y y x A ，其中R m R y x ∈∈,,. 若∅=⋂B A ，则实数m 的取值范围是.9.集合A 中有10个元素，B 中有6个元素，全集U 有18个元素，B A ≠φ.设集合)(B A C U 有x 个元素，则x 的取值集合为______________.10.已知非空集合{},6,5,4,3,2,1⊆S 满足：若S a ∈，则必有S a ∈-7.问这样的集合S 有请将该问题推广到一般情况：.11. 对于实数x ，设[]x 表示不超过x 的最大整数，则不等式021][20][42<+-x x 的解集是：_____________12． Δ和各代表一个自然数，且满足1∆+9=1，则当这两个自然数的和取最小值时，Δ=_______,=_______.13.若函数1()||1f x k x =--只有一个零点，则实数k =_____________。

初升高数学衔接班第6讲——二次函数的最值问题

初升高数学衔接班第6讲——二次函数的最值问题初升高数学衔接班第6讲——二次函数的最值问题一、学习目标：1.会求自变量在某个范围内取值时二次函数的最值。

2.了解二次函数最值问题在实际生活中的简单应用，能建立二次函数模型，从而解决实际问题。

二、学习重点：会求二次函数在给定区间上的最值问题三、新课讲解：［旧知复习］对于二次函数当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值．［新知探秘］二次函数的图象和性质二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）具有下列性质：（1）当a＞0时，函数图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着x的增大而增大；当时，函数取最小值y=．（2）当a＜0时，函数图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的增大而减小；当x=时，函数取最大值y=．【典型例题】例1.求二次函数y=－3x2－6 x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小），并画出该函数的图象。

思路导航：借助二次函数的图象，能够很好地得出函数的性质解：∵y=－3x2－6x＋1=－3（x＋1）2＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x=－1；顶点坐标为（－1，4）；当x=－1时，函数y取最大值y=4；当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小。

点津：函数的图象，能够直观地刻画出变量间的对应关系，使得函数的有关性质明显地从图形上反映出来，因此，很多问题的解决，如果能借助于函数的图象，往往起到事半功倍的效果。

【直击高中】（一）求一元二次函数的最值例2.求一元二次函数的最值思路导航：在求一元二次函数的最值时，如果函数的表达式不宜配方，我们可以先判断函数图象的开口方向，再把二次函数顶点的横坐标值代入表达式，得到相应的最值解：因为函数的图象开口向下，所以函数有最大值，无最小值又该函数顶点的横坐标为，代入表达式，得函数的最大值为点津：二次函数求最值，除配方法、顶点法外，还可直接用公式法，即先判断二次项系数的正负，再把对应的系数代入求出最值。

上海高中自主招生—专题讲座·数学(试读文档)

高中自主招生是每一位初中学生都可以尝试的活动鉴于现在市面

上自招的材料比较少而且多数培训机构都打着自招的牌子这或许会

让大家很难去选择所以我们就想着尽我们的能力编写一套复习材料给大家一些帮助
我们建议大家可以从七年级升八年级的暑假开始学习这套材料本
书分为!"讲难度在课本以上竞赛以下每讲都分为知识要点例题
%第一讲!代数式 !
已知是方程的一根求的值 !!$" 8
)" &))&#%$
"8" &)8#8#"
!
%" 若)&!为正整数且是")" 的约数 &))##! 求 )的所有可能值总和!
若求的值 &"
析可得当时有整数解
$./% "((

&)#* %(("$#) %*#+%#%("$#) '+#) %#%("$#)
&) %($!$
解得 %* %($!$
'+%"'"#$!
通过奇偶分析无整数解 "$#
#
# .
#
# /
%"$./%
#""
!
已知求的值例题"!
"&
# "
%(
"" #"#" "! &"#!
!
解析!这样的题目在自招的试卷中出现的次数也是非常的多应熟练选用合适的公式!
熟用完全平方公式注意符号

2013级高三自主招生专题讲座——三角函数(学生版)

2016年自主招生专题讲座三角函数第一部分：考点清单一、高考部分1.三角函数概念、同角公式、诱导公式、图象和性质2.三角公式：和、差、倍、半、万能公式、3.正弦定理、余弦定理、二、自招部分1.★射影定理B c C b a cos cos +=2.★积化和差、★和差化积公式（你知道吗？）3.★反三角函数4. ★补充结论：（1）三倍角公式：=α3sin _____________ . =α3cos _____________ . （2）若20πα<<，则αααtan sin <<(你能证吗). （3）函数x x y sin =在),0(π上为减函数；函数x x y tan =在)2,0(π上为增函数.（4）面积公式：记ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，外接圆、内切圆半径分别为R,r ，半周长为2cb a p ++=. 21112sin sin sin (sin sin sin )2224ABC a b c abcS ah bh ch rp R A B C rR A B C R ∆=======++=))()((c p b p a p p --- (海伦公式)第二部分：高考题真题对接1．三角函数图象变换例1.【2015湖南，理9】将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=（）A.512π B.3π C.4π D.6π 【答案】D.2．三角变换公式（注意升降次公式）例2.【2015湖北，理12】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22xf x x x x =---+的零点个数为．【答案】2 3．三角恒等变换例3.（1）【2015重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】C（2）【2015江苏，8】已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3（3）.【2015四川，理12】=+ 75sin 15sin .4.解三角形例4.（1）【2015新课标1，理16】在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是 . 【答案】（2）.【2015湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m.【答案】6100（3）.【2015重庆，理13】在△ABC 中，B =120o ，AB，A 的角平分线AD ,则AC =_______.例5.【2015新课标2，理17】ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (Ⅰ) 求sin sin BC∠∠；(Ⅱ)若1AD =，DC =BD 和AC 的长．【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)1．例6.【2015安徽，理16】在ABC ∆中，3,6,4A AB AC π=== ,点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.5、三角等式证明例7.【2015四川，理19】如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角. （1）证明：1cos tan;2sin A A A-= （2）若180,6,3,4,5,A C AB BC CD AD +=====o 求tantan tan tan 2222A B C D+++的值. 【答案】（1）切化弦；（2.第三部分：自招真题讲解一、三角函数的求值与化简例1.（04同济）设θ是第二象限角，3sin 5θ=，则57sin(2)8πθ-=例2.（01复旦）1sec50cot10+=例3．（10清华）求444sin 10sin 50sin 70++的值. 答案：98变式：22sin 10cos 40sin10cos 40++ 答案：34例4.（11卓约2）2.已知sin 2()sin 2,r n αβ+=则tan()tan()αβγαβγ++=-+( )A.11n n -+ B. 1n n + C .1n n - D.11n n +- 答案：DA例5.（13华约）已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51cos cos 31sin sin y x y x ，求)sin(),cos(y x y x -+ 。

2013年上海中学自招数学卷答案

x y z 36 6 x y z 2 y z x 6
x 5126 两两相加，（观察仔细，即刻发现规律），可得到 y 2 3 6 3 6 z 4
14. 解析：过点 A’作 BC 的平行线 L 1，过点 B’做 AC 的平行线 L 2，交于点 M，第一种特殊情形就是点 A ’与点 M 重合时， M 到 AB 的距离也等于 C’到 AB 的距离（设为 x），则点 M 将∆ABC 划分为三个三角形，分别为∆ABM，∆ACM，∆BCM ，由面积关系，得到： S∆ABM+S∆ACM +S∆BCM=S∆ABC，左边三个三角形面积由底乘以高除以 2 得到，右边三角形由于已知了三边长，所以求面积可以用海伦公式，从而 0.5（6x+5× 1+7× 3）= p=9，计算得到 x = 2 6
A B
E
D
C
8. k =7/4 10.
9. y 只能取 1,2，所以，n 只能取 3，或 5，两种可能。 11． f(x)=－x 2+2
2 3 a 7 10
12. 解析：考察类比递推式的应用。恒等式 (k+1)3=k3+3k 2+3k+1 ，即(k +1) 3－k3=3k 2+3k +1 令 k=1, 则 23－13=3× 12+3× 1+1 令 k=2, 则 33－23=3× 22+3× 2+1 令 k=3, 则 43－33=3× 32+3× 3+1 …… 令 k=n, 则 (n+1) 3－n3=3×n 2+3×n+1 上述各式相加，得到 (n+1) 3－ 13=3×(12+22+32+…+n2)+3×(1+2+3+… +n)+1×n 故 (12+22+32+…+n 2)= [(n+1) 3－13－n]/3－n(n+1)/2=n(n+1)(n+2)/3－n(n+1)/2=n(n+1)(2n+1)/6 13. 解：原方程组可以用平方差公式化为(这是最关键的一步)

2013年上海重点中学高一第二学期期中考试数学试卷

2012学年第二学期高一期中考试姓名：__________班级：__________学号：__________数学试卷命题人：审核人：打印：时间：90分钟满分：100分 2013年4月题号填空题选择题17、1819、2021成绩得分一、填空题（每小题 3分，共36 分）1、若，则sinα=_________。

2、函数的周期为_________。

3、如果，那么角α的终边在第____________象限。

4、若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所在的扇形面积为______ cm25、方程的解集是_________________。

6、的值是________。

7、若，，则=__________。

8、设0<α<π，且函数f(x)=sin(x+α)+cos(x-α)是偶函数，则α的值为_________。

9、若，则______ _.10、设函数f(x)是以2为周期的奇函数，且，若，则的值为___________________。

11、设tanα和tanβ是方程mx2+(2m-3)x+m-2=0的两个实根，则tan(α+β)的最小值为______________。

12、下列命题：①终边在坐标轴上的角的集合是{α∣，k∈Z}；②若，则必为；③当时函数取得最大值，则；④函数在区间[，]上的值域为[，]；⑤方程在区间[0，]上有两个不同的实数解x1，x2，则。

其中正确命题的序号为_____________。

二、选择题（每小题4分，共16分）13、若A，B为锐角三角形ABC的两个内角，则点P(sinA-cosB，cosA-sinB)位于( )(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限14、函数的定义域是 ( )(A) R (B) [2kπ，2kπ+]（k∈Z）(C) [2kπ-，2kπ]（k∈Z） (D) [2kπ-，2kπ+]（k∈Z）15、函数y=sin(2x+)的图象是由函数y=sin2x的图像 ( )(A) .向左平移单位 (B) 向右平移单位(C) 向左平移单位 (D) 向右平移单位16、函数在区间(，)上的图象为 ( )(A) (B) (C) (D)三、解答题（共48分）17. (8分）已知，都是锐角，，，求的值18. (8分)定义行列式运算=。

上海市2013届高三数学上学期期中试题沪教版

2013届第一学期市八中学期中考试高三数学(考试时间：120分钟满分：150分) 2012．11．8一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．函数的定义域为．2．3和9的等比中项是．3．函数的反函数．4．设函数是上的奇函数，若时，则．5．集合A={x|x24x5<0}，集合B={x|<1,x R}，则A B= .6．当不等式2x2+px+106中恰好有一个解时，实数p的值是.7．在无穷等比数列中，，则无穷等比数列各项和为. 8．若，则= .9．设函数是最小正周期为的偶函数，它在区间上的时图象为如图所示的线段，则在区间上函数的解析式．10．设数列均为等差数列，且公差不为0，，则= .11．某银行准备新设一种定期存贷款业务，经预测，该业务的存款量与存款利率成正比，比例系数为，贷款的利率为，若银行吸收的存款全部放贷出去，则存款利率定为时，该业务银行可获得最大利差收益．12．若，且函数的图象不经过第一象限，则常数的取值范围是．13．右数表为一组等式，如果能够猜测，则。

14．设，若关于的不等式对的一切实数成立，则实常数的取值的集合是．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．“成等差数列”是“”成立的（）A．充分非必要条件；B．必要非充分条件；C．充要条件；D．既非充分也非必要条件.16．下列不等式一定成立的是( )(A)．(B)．(C)．(D)．17．关于函数，有下列三个结论：(1)函数是偶函数；(2)函数在上是减函数；(3)函数的值域是；(4)方程有大于的实数解．其中所有错误结论的个数是( )(A)个．(B)个．(C)个．(D)个．18．函数的定义域是，若对于任意的正数，函数在其定义域上为增函数，则函数的图像可能是( )三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分)记关于x的不等式的解集为P，不等式|x1|1的解集为Q，若Q P，求实数a的取值范围。

沪教版高一数学上—10—期中复习—学生版

期中复习知识梳理一、集合与命题12．研究集合必须注意集合元素的特征，即集合元素的三性：确定性、互异性、无序性． 3．集合的性质：① 任何一个集合P 都是它本身的子集，记为P P ⊆． ① 空集是任何集合P 的子集，记为P ⊆∅． ① 空集是任何非空集合P 的真子集，记为P ∅Ü．注意：若条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了∅=A 的情况．集合的运算：①()()C B A C B A I I I I =、()()C B A C B A Y Y Y Y =； ()()()U UU A B A B =I U 痧?、()()()U UU A B A B =U I 痧?．①U UU A B A A B B A B B A A B =⇔=⇔⊆⇔⊆⇔=∅I U I 痧?．①对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为：n2、12-n 、12-n 、22-n．4．命题是表达判断的语句．判断正确的叫做真命题；判断错误的叫做假命题． ① 命题的四种形式及其内在联系：原命题：如果α，那么β；逆命题：如果β，那么α；否命题：如果α，那么β；逆否命题：如果β，那么α；① 等价命题：对于甲、乙两个命题，如果从命题甲可以推出命题乙，同时从命题乙也可以推出命题甲，既“甲⇔乙”，那么这样的两个命题叫做等价命题．① 互为逆否命题一定是等价命题，但等价命题不一定是互为逆否命题． ① 当某个命题直接考虑有困难时，可通过它的逆否命题来考虑． 56在判断“充要条件”的过程中，应注意步骤性：首先必须区分谁是条件、谁是结论，然后由推导关系判断结果．二、不等式 1．基本性质：（注意：不等式的运算强调加法运算与乘法运算）① b a >且c b >⇒c a >；① 推论：①．a b a c b c >⇔±>±； ①． b a >且d c >⇒d b c a +>+；①0000ac bcc a b ac bc c ac bc c >>⎧⎪>⇒===⎨⎪<<⎩；① 推论：①．0,0a b c d ac bd >>>>⇒>； ①．b a >且a 、b 同号11a b⇒<； ①．b a >>0110a b ⇒>>； ①．0,0,a b a b ααα>>>⇒>> ① 0>>b a ，0>m ⇒ ma mb a b ++<； ① ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-000b a ⇔⎪⎩⎪⎨⎧<=>b b b a ；2．解不等式：（解集必须写成集合或区间的形式）① 一元二次或一元高次不等式以及分式不等式的解题步骤：①．分解因式⇒找到零点； ①．画数轴⇒标根⇒画波浪线； ①．根据不等号，确定解集；注意点：①．分解因式所得到的每一个因式必须为x 的一次式； ①．每个因式中x 的系数必须为正． ①绝对值不等式−−−→关键去绝对值：①．x a x a a >⇔><-或 )0(>a ； ①．x a a x a <⇔-<<)0(>a ；①．22a b a b >⇔>； ①．()()()()()(0)f x g x gx f x g x >>⇔<-或()()x g x f >；①．()()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<；① 解含参数的不等式时，定义域是前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．而分类讨论的关键在于“分界值”的确定以及注意解完之后要总结：综上所述L ① 对于不等式恒成立问题，常用“函数思想．．．．”、“分离变量思想．．．．．．”以及“图象思想．．．．”． 3．基本不等式：①,a b ∈R ，则222a b ab +≥，当且仅当b a =时，等号成立．,a b +∈R ，则a b +≥b a =时，等号成立．综上，若,a b ∈R ，则ab b a b a 22)(222≥+≥+，当且仅当b a =时，等号成立． *①若,a b +∈R2112a b a b+≥≥≥+，当且仅当b a =时，等号成立．*①120,1,1120,1,x x x xx x x x x x⎧≥>==⎪⎪+⎨⎪≤-<==-⎪⎩当且仅当即时等号成立当且仅当即时等号成立，，．4．不等式的证明：① 比较法：作差 → 因式分解或配方 → 与“0”比较大小 →L ① 综合法：由因导果．① 分析法：执果索因；基本步骤：要证L 即证L 即证L ． ① 反证法：正难则反．① 最值法：()max x f a >，则)(x f a >恒成立； ()min x f a <，则)(x f a <恒成立．三、函数1．函数的要素：定义域、值域、对应法则 ① 定义域：①．给出函数解析式，求函数的定义域（即求使函数解析式有意义的x 的范围）（1）0)()]([0≠⇒=x f x f y ；（2）()()0()P x y Q x Q x =⇒≠；（3）0)()(2≥⇒=x P x P y n ． ①．使实际问题有意义的自变量的范围． ①．求复合函数的定义域：若()x f 的定义域为[]b a ,，则()[]x g f 的定义域由不等式()b x g a ≤≤解出；若()[]x g f 的定义域为[]b a ,，则()x f 的定义域相当于[]b a x ,∈时()x g 的值域．① 值域：函数的值域（或最值）有哪几种常用解题方法？①．二次函数型或可化为二次函数型；①．单调性；①．基本不等式；①．换元法；①．数形结合；一、集合与命题（一）集合的概念与运算【例1】已知集合A =},1|{2Z x x y x ∈-=,},12|{A x x y y B ∈-==,则B A I =_____．【例2】集合+∈∈R y R x ,，{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--=---++=1,2,,1,,12y y y B x x x x A ，B A =，求y x ,．【例3】已知集合{}{}k x k x B k x k x A <<-=-<<+-=,3622，若A B ，求实数k 的取值范围．【例4】集合{}(){}{}22224430,10,220A x x ax a B x x a x a C x x ax a =+-+==+-+==+-=，若C B A ,,中至少有一个不是空集，求a 的取值范围．【巩固训练】1．{}{}=⋂∈++-==∈-==B A R x x x y y x B R x x y y x A ,,152),(,,2),(2 ．2．若集合{}2135A x a x a =+≤≤-，{}322B x x =≤≤，则能使A B ⊆成立的所有实数a 的集合是 ( ) A ．{}19a a ≤≤ B ．{}69a a ≤≤ C ．{}9a a ≤D ．∅3．已知集合()(){}210M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3，则实数a 的值为______．4．设集合},0|{},0422|{2<==++-=x x B m x x x A ，φ≠⋂B A 若,求实数m 的取值范围．（二）命题与充要条件【例5】命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是___________________________．【例6】一元二次方程)0(0122≠=++a x ax 有一个正根和一个负根的充分不必要．．．．．条件是_____．【巩固训练】1．有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是_____．2．若非空集合,,A B C 满足A B C =U ，且B 不是A 的子集，则()A. “x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件B. “x C ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件C. “x C ∈”是“x A ∈”的充要条件D. “x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”必要条件（三）集合与命题综合应用【例7】集合{}1,2,...,2008M =，若X M ⊆，X ≠∅，x a 为X 中最大数与最小数的和（若集合X 中只有一个元素，则此元素既为最大数，又为最小数），那么，对M 的所有非空子集，全部x a 的平均值为__________.【例8】若是一个集合，τ是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：（1）属于τ，∅属于τ；（2）τ中任意多个元素的并集属于τ；（3）中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合上的一个拓扑．已知集合{},,X a b c =，对于下面给出的四个集合τ：① {},{},{},{,,}a c a b c τ=∅；② {},{},{},{,},{,,}b c b c a b c τ=∅；③ {},{},{,},{,}a a b a c τ=∅； ④ {},{,},{,},{},{,,}a c b c c a b c τ=∅．其中是集合上的拓扑的集合τ的序号是．（写出所有集合上的拓扑的集合τ的序号）【巩固训练】1．设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S L ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈L 、，，，，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是．2．对正整数n ，记{}1,2,3,,n I n =L，,n n n P I k I ⎫=∈∈⎬⎭. (1) 在集合n I 中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.求所有子集的元素之和。

上海中学自招数学真题(含答案)

上海中学自主招生试题1、因式分解：326114x x x -++=．【答案】()()()13421x x x --+．【解析】容易发现1x =是方程3261140x x x -++=的解，因此原式可以提出因式(1)x -，得到2(1)(654)x x x ---，对2(654)x x --用十字相乘可以得到原式等于(1)(34)(21)x x x --+．2、设0a b >>，224a b ab +=，则a ba b+=- ．【解析】由条件可得2()6a b ab +=，2()2a b ab -=．因此22()63()2a b aba b ab+==-．由于0a b +>，0a b ->，所以a ba b+=-3、若210x x +-=，则3223x x ++=．【答案】4．【解析】对多项式用带余除法可得32223(1)(1)4x x x x x ++=+-++，而由条件2(1)(1)0x x x +-+=，因此原式的值等于4．4、已知()()()24b c a b c a -=--，且0a ≠，则b ca+=_________．【答案】2．【解析】令a b m -=，c a n -=，则c b m n -=+，代入()()()24b c a b c a -=--中得()24m n mn +=， ()20m n ∴-=，m n ∴=，即a b c a -=-，即2a b c =+，2b ca+∴=．5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是．【答案】49．【解析】第一次取出红球的概率为23，且无论第一次取出什么球，第二次取出红球的概率仍为23，因此两次都是红球的概率是224339⨯=．6、直线:l y =与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是．【答案】32⎛ ⎝⎭．【解析】根据函数解析式可以算出A 、B 的坐标分别为(1,0)A，B ．由于ACB 是AOB 关于直线AB 对称得到的，所以AC AO =，BC BO =．设(,)C m n，则可列方程组2222(1)1(3m n m n ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得32m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩O重合，舍去．因此3(2C ．7、一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是．【答案】454．【解析】由题意知折痕是线段AC 的中垂线，设它与AB ,CD 分别交于,M N ．设MB x =，则由MC MA =可列方程2229(12)x x +=-，解得218x =．同理有218DN =．作ME CD ⊥，垂足为E ，则四边形MECB 是矩形，因此9ME BC ==，218CE BM ==．可知274NE CD DN CE =--=．而454MN ===．因此折痕长为454．8、任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半——得到2n，如果n 是奇数，则将它乘以3加1——得到31n +，不断重复这样的运算，如果对正整数n （视为首项）按照上述规则实施变换后（有些书可能多次出现）的第8项为1，则n 的所有可能取值为________．【答案】128，21，20，3，16，2．【解析】设某一项为k ，则它的前一项应该为2k 或者13k -．其中13k -必为奇数，即()4mod 6k ≡，按照上述方法从1开始反向操作7次即可．9、正六边形ABCDED 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为．【答案】22cm ．【解析】右图中，阴影部分是正六边形，且与正六边形ABCDEF的相似比为1:3．因为ABCDEF 的面积是26cm ，所以阴影部分的面积为2632()cm ÷=．10、已知()()21244y x m x m =+-+-与2y mx =在x 取任意实数时，1y ，2y 至少有一个是正数，m 的取值范围是________．【答案】4m <．【解析】取0x =，则14y m =-，20y =，40m ∴->，4m <，此时函数1y 的对称轴404mx -=-<，则对任意0x ≥总有10y >，只需考虑0x <；若04m ≤<，此时20y ≤，则对任意0x <，有10y >，()()24840m m ∴∆=---<，解得04m ≤<；若0m <，此时20y >对0x <恒成立；综上，4m <．11、已知a ，b ，c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：()()()()()()()()()222x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------________．【答案】1．【解析】令()()()()()()()()()()2222x a x b x c f x mx nx k a b a c c b a b c a c b ---=++=++------， ()()()1f a f b f c ∴===，即222111ma na k mb nb k mc nc k ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，01m n k ==⎧∴⎨=⎩ ，即()1f x ≡．12、已知实数a ，b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是________．【答案】133t -≤≤-．【解析】方法一：考虑基本不等式222a b ab +≥．则2212a b ab ab +=-≥，则113ab -≤≤，又2221t ab a b ab =--=-，133t ∴-≤≤-，其中1a =，1b =-时，3t =-成立；a b ==时，13t =-成立．方法二：逆用韦达定理． 12t ab +=，()2302t a b ++=≥，3t ∴≥-，a b +=，故a ,b 是方程2102t x ++=的两个根， 314022t t ++∴∆=-⨯≥，解得13t ≤-，133t ∴-≤≤-．13、（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒．【答案】（1（2．【解析】（1）设正五边形ABCDE ，联结,AC BE ，且设它们交于点M ．可以计算得到36ABM ABC ∠=∠=︒，因此ABM ACB ，可得2AB AM AC =⋅．同时，72BMC CBM ∠=∠=︒，所以BC MC =．若正五边形边长为1，则1AB BC CM ===，设AC x =，则由2AB AM AC =⋅可列方程21(1)x x =-，解得x去）．（2）根据诱导公式，sin18cos72︒=︒．在（1）的五边形中，BM AM AC CM ==-=．作CH BM ⊥，垂足为H ，则等腰三角形BMC 中12BH HM BM ===72CBM ∠=︒，所以sin18cos72BH BC ︒=︒==．14、（1）()32f x x ax bx c =+++，()()()01233f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）()432f x x ax bx cx d =++++，()110f =，()220f =，()330f =，求()()106f f +-．【答案】（1）69c <≤ ；（2）8104．【解析】（1）()()()01233f f f <-=-=-≤，()0f x k ∴-=有三个实根1,2,3x =---，()()()()123f x k x x x ∴-=+++，展开得6c k =+，69c ∴<≤；（2）方程()100f x x -=有三个实根1,2,3x =，记第4个根为x p =，则()()()()()10123f x x x p x x x -=----，()()()()()12310f x x p x x x x ∴=----+，()()()()()()()106109871006789608104f f p p ∴+-=-⨯⨯⨯++--⨯-⨯-⨯--=．15、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz D α+++=；球：()()()2222x a y b z c R -+-+-=；点(),,a b c 到平面:0Ax By Cz D α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R >时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值；问题（2）()12x y z =++．【答案】（1）13；（2）123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【解析】（1）条件可转化为点(,,)m n k 在平面10x y z ++-=上，而222m n k ++的最小值即该点到原点距离平方的最小值．这个距离最小为原点到平面10x y z ++-=的距离，而原点到平面的距离可由材料公式计算得到：3d ==，因此222m n k ++的最小值为213d =，等号在13m n k ===时取到．（2）移项后配方可以得到2221111)1)1)0222-+-+=，因此必有101010-==-=，于是解得123xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．。

上海市上海中学高一数学下学期期中试题(含解析)

上海市上海中学高一数学下学期期中试题（含解析）一、填空题(每题3分,共36分)1.函数的最小正周期是_________.【答案】【解析】【分析】直接由周期公式得解。

【详解】函数的最小正周期是：故填：【点睛】本题主要考查了的周期公式，属于基础题。

2.已知点P 在角的终边上,则_______.【答案】0【解析】【分析】求出到原点的距离，利用三角函数定义得解。

【详解】设到原点的距离，则所以，，所以【点睛】本题主要考查了三角函数定义，考查计算能力，属于基础题。

3.已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为__________．【答案】【解析】由题意或，则圆心角是，应填答案。

4.在△ABC中,若则△ABC为_______(填“锐角”或直角”或“钝角”)三角形.【答案】钝角【解析】【分析】整理得，利用可得，问题得解。

【详解】因为，所以，又,所以，所以所以为钝角，故填：钝角【点睛】本题主要考查了三角恒等变换及转化思想，属于基础题。

5.若则______.【答案】【解析】【分析】直接由三角函数的诱导公式得解。

【详解】因，又所以【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，考查观察能力及计算能力，属于基础题。

6.若则化简_______.【答案】0【解析】【分析】由正弦、余弦的二倍角公式升幂去根号，问题得解。

【详解】由题可得：，，因为所以，所以所以【点睛】本题主要考查了二倍角的正弦、余弦公式，考查了三角函数的性质及计算能力，属于中档题。

7.已知则_______.【答案】【解析】【分析】将整理成，问题得解。

【详解】因为.将代入上式可得：【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系及正、余弦的二次齐次式变形，考查化简能力及计算能力，属于中档题。

8.方程的实数根的个数是______.【答案】6【解析】如下图，由于函数y＝lg|x|是偶函数，所以它的图象关于y轴对称．9.若则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】由整理可得：，由此可得，对消元可得：，令，把问题转化成函数，值域问题，从而得解。

上海高一高中数学期中考试带答案解析

上海高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.设集合，集合，则__________.2.命题“若，则”的逆命题是_____ .3.“都是0”的否定形式是____________________.4.“四边形的四个内角相等”是“四边形是正方形”的_________条件.5.方程组的解组成的集合为__________________.6.已知集合,集合,且,则实数的值为______________.7.若函数为偶函数，则=__________.8.若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是____________.9.若，则化简的结果是___________.10.函数的定义域为______________.11.不等式的解集为_______________________.12.定义域和值域均为（常数）的函数和的图像如图所示，给出下列四个命题：（1）方程有且仅有三个解；（2）方程有且仅有三个解；（3）方程有且仅有九个解；（4）方程有且仅有一个解.其中正确命题的序号是（注：把你认为正确命题的序号都填上）.二、选择题1.下列函数中为偶函数的是（）A．B．C．D．2.已知函数，那么集合中所含元素的个数是（）A．0个B．1个C．0个或1个D．1个或2个3.已知为非零实数，且，则下列命题成立的是( )A．B．C．D．4.如果正数满足，那么（）A．，且等号成立时的取值唯一B．，且等号成立时的取值唯一C．，且等号成立时的取值不唯一D．，且等号成立时的取值不唯一三、解答题1. (本题满分10分)设函数,求:(1);(2);(3)函数.2. (本题满分10分) 求函数在区间上的最大值和最小值,并指出何时取得最值.3. (本题满分10分)用定义证明函数在定义域上是增函数.4.(本题满分10分)甲乙两地相距 km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 km/h,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 km/h的平方成正比,比例系数为,固定部分为元.(1)把全程运输成本(元)表示为速度(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?5. (本题满分12分)若实数、、满足，则称比接近.（1）若比3接近0，求的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；（3）已知函数的定义域.任取，等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最值和单调性（结论不要求证明）.上海高一高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.设集合，集合，则__________.【答案】【解析】略2.命题“若，则”的逆命题是_____ .【答案】若，则【解析】略3.“都是0”的否定形式是____________________.【答案】不都是0【解析】略4.“四边形的四个内角相等”是“四边形是正方形”的_________条件.【答案】必要不充分【解析】略5.方程组的解组成的集合为__________________.【答案】【解析】略6.已知集合,集合,且,则实数的值为______________.【答案】【解析】略7.若函数为偶函数，则=__________.【答案】1【解析】略8.若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】略9.若，则化简的结果是___________.【答案】【解析】略10.函数的定义域为______________.【答案】【解析】略11.不等式的解集为_______________________.【答案】【解析】略12.定义域和值域均为（常数）的函数和的图像如图所示，给出下列四个命题：（1）方程有且仅有三个解；（2）方程有且仅有三个解；（3）方程有且仅有九个解；（4）方程有且仅有一个解.其中正确命题的序号是（注：把你认为正确命题的序号都填上）.【答案】(1)(4)【解析】略二、选择题1.下列函数中为偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略2.已知函数，那么集合中所含元素的个数是（）A．0个B．1个C．0个或1个D．1个或2个【答案】C【解析】略3.已知为非零实数，且，则下列命题成立的是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】略4.如果正数满足，那么（）A．，且等号成立时的取值唯一B．，且等号成立时的取值唯一C．，且等号成立时的取值不唯一D．，且等号成立时的取值不唯一【答案】A【解析】略三、解答题1.(本题满分10分)设函数,求:(1);(2);(3)函数.【答案】解: (1)4; (2)6; (3) =【解析】略2.(本题满分10分) 求函数在区间上的最大值和最小值,并指出何时取得最值.【答案】时最大值为4,时最小值为0.【解析】略3.(本题满分10分)用定义证明函数在定义域上是增函数.【答案】解:函数的定义域是，设，则=，即.因此，函数的定义域上是增函数.【解析】略4.(本题满分10分)甲乙两地相距 km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 km/h,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 km/h的平方成正比,比例系数为,固定部分为元.(1)把全程运输成本(元)表示为速度(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?【答案】（1）所求函数及其定义域为y=s(+bv),v∈.（2）为使全程运输成本y最小,当≤c时,行驶速度为v=;当>c时,行驶速度为v=c.【解析】解:(1)依题意知,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为y=a·+bv2·=s(+bv).故所求函数及其定义域为y=s(+bv),v∈.(2)依题意知s,a,b,v都是正数,故有s(+bv)≥2s.当且仅当=bv,即v=时上式中等号成立.①当≤c时,则当v=时全程运输成本最小;②当>c时,则当v∈时有s(+bv)-s(+bc)=s[(-)+(bv-bc)]=(c-v)(a-bcv).∵c-v≥0且a>bc2,故有a-bcv≥a-bc2>0,∴s(+bv)≥s(+bc),当且仅当v=c时等号成立.即当v=c时全程运输成本最小.综上知,为使全程运输成本y最小,当≤c时,行驶速度为v=;当>c时,行驶速度为v=c.5.(本题满分12分)若实数、、满足，则称比接近.（1）若比3接近0，求的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；（3）已知函数的定义域.任取，等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最值和单调性（结论不要求证明）.【答案】（1）xÎ(-2,2)；（2）略（3）f(x)是偶函数;函数f(x)的最小值为,最大值为;函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减．【解析】解：(1) xÎ(-2,2)；(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，，因为，所以，即a2b+ab2比a3+b3接近；(3) =,f(x)是偶函数;函数f(x)的最小值为,最大值为;函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减．。

2017年上海中学自主招生数学试题及答案

2013年上海中学自主招生试卷答案一、填空题 1、计算111++...+1+22+32012+2013=_____________.【答案】20131-【解析】利用分母有理化进行计算可得结果；2、设x ，y ，z 为整数且满足201220131x yy z -+-=，则代数式333x y y z z x -+-+-的值为_____________.【答案】2【解析】3.若有理数a ，b 满足21334a b -=+，则a ＋b ＝_____________. 【答案】32【解析】4.如图，ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，线段DE⊥AB，且△BDE的面积是△ABC面积的三分之一，那么线段BD长为_____________.ED B【答案】43 3【解析】5、二次函数2y ax bx c =++的图像与x 个交点M 、N ，顶点为R ，若△MNR 恰好是等边三角形，则24b ac -＝_____________.【答案】12【解析】6.如图为25个小正方形组成的5×5棋盘，其中含有符号“#”的各种正方形共有______个.#【答案】19【解析】7.平面上有n 个点，其中任意三点都是直角三角形的顶点，则n 的最大值为____________.【答案】4【解析】8.若方程()()2214x x k --=有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则实数k ＝____________.【答案】74【解析】9、一个老人有n匹马，他把马全部分给两个儿子，大儿子得x匹，小儿子得y匹，(x＞y≥1)，并且满足x是n＋1的约数，y也是n＋1的约数，则正整数n共有_____种可能的取值?【答案】2【解析】10.已知a ＞0,且不等式1＜ax ＜2恰有三个正数解，则当不等式2＜ax ＜3含有最多的整数解时，正数a 的取值范围为_____________.【解析】解答题11.设方程210x x --=的两个根为a,b ，求满足f(a)＝b,f(b)＝a,f(1)＝1的二次函数f(x ).【解析】12、已知1＋2＋3＋…＋n ＝(1)2n n +，这里n 为任意正整数，请你利用恒等式()3321331n n n n+=+++，推导出2222123n+++⋅⋅⋅+的计算公式.【解析】13.解方程组2222221()2()3()x y zy z xz x y⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩【解析】14.已知△ABC，CA＝5，AB＝6，BC＝7，△A'B'C'中，∠A'＝∠A，∠B'＝∠B，但△A'B'C'的大小和位置不定，当A'到BC的距离为3，B'到AC的距离为1(如图)，问：C'到AB的距离是否定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.B CAC'A'B'【答案】不是【解析】如图，在ABCV中，构造直线m、l平行于AC且距离为3，构造直线k、i平行于BC且距离为1，则在直线m、l上任取一点'A，在直线k、i上取一点'B，找到对应的点'C，则'C的位置不固定，所以'C到AB不是固定长度附：无答案试卷一、填空题1.1+22+32012+2013=_____________2.设x，y，z为整数且满足|x－y|2012＋|y－z|2013＝1，则代数式|x－y|3＋|y－z|3＋|z－x|3的值为_____________3.若有理数a，b21334a b-=+a＋b＝_____________.4.如图，ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，线段DE⊥AB，且△BDE的面积是△ABC面积的三分之一，那么线段BD长为_____________.CED BA5.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x个交点M、N，顶点为R，若△MNR恰好是等边三角形，则b2－4ac＝_____________6.如图为25个小正方形组成的5×5棋盘，其中含有符号“#”的各种正方形共有______个.#7.平面上有n个点，其中任意三点都是直角三角形的顶点，则n的最大值为____________8.若方程(x2－1)(x2－4)＝k有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则实数k＝____________.9.一个老人有n匹马，他把马全部分给两个儿子，大儿子得x匹，小儿子得y匹，(x＞y≥1)，并且满足x是n＋1的约数，y也是n＋1的约数，则正整数n共有_____种可能的取值?10.已知a＞0,且不等式1＜ax＜2恰有三个正数解，则当不等式2＜ax＜3含有最多的整数解时，正数a的取值范围为_____________.二、解答题11.设方程x2－x－1＝0的两个根为a,b，求满足f(a)＝b,f(b)＝a,f(1)＝1的二次函数f(x).已知1＋2＋3＋…＋n＝(1)2n n+，这里n为任意正整数，请你利用恒等式(n＋1)3＝n3＋2n2＋3n＋1，推导出12＋22＋32＋…＋n2的计算公式.13.解方程组2222221()2()3() x y z y z x z x y ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩。

2013年上海高一数学自主招生专题第6讲 ：期中复习(2)(学生)

上海高一高中数学期中考试带答案解析

上海市某重点高中2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题

上海高一数学自主招生专题第五讲 ：期中复习(学生)

初升高数学衔接班第6讲——二次函数的最值问题

上海高中自主招生—专题讲座·数学(试读文档)

2013级高三自主招生专题讲座——三角函数(学生版)

2013年上海中学自招数学卷答案

2013年上海重点中学高一第二学期期中考试数学试卷

上海市2013届高三数学上学期期中试题沪教版

沪教版高一数学上—10—期中复习—学生版

上海中学自招数学真题(含答案)

上海市上海中学高一数学下学期期中试题(含解析)

上海高一高中数学期中考试带答案解析

2017年上海中学自主招生数学试题及答案

2013年上海高一数学自主招生专题第6讲：期中复习(2)(学生)

上海高一数学自主招生专题第五讲：期中复习(学生)