高中数学第三章直线与方程 3.2.2 直线的两点式方程课时作业新人教A版必修2

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高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程学案(含解析)新人教A版必修2

3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程知识导图学法指导1.体会直线的两点式方程、截距式方程的推导过程，并由此求直线的方程．2．明确平面上的直线和二元一次方程的区别与联系．3．弄清楚直线的一般式方程和其他几种形式之间的关系以及每种形式的适用条件，在解题时注意选择恰当的直线方程．4．明确利用直线方程的几种形式判断直线平行和垂直问题的方法．高考导航1.利用两点坐标求直线的方程或利用直线的截距式求直线的方程是常考知识点，分值5分．2．由直线的一般式方程判断直线的位置关系或求参数的值也是高考的常考题型，以选择题或填空题为主，分值5分.知识点一直线的两点式、截距式方程1．截距式方程中间以“＋”相连，右边是1.2．a 叫做直线在x 轴上的截距，a∈R ，不一定有a >0.知识点二线段的中点坐标公式若点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.知识点三直线的一般式方程 1．直线与二元一次方程的关系在平面直角坐标系中的直线与二元一次方程的对应关系如下：2．直线的一般式方程式子：关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0；条件：A ，B 不同时为零；简称：一般式．3．直线的一般式方程与其他四种形式的转化认识直线的一般式方程(1)方程是关于x ，y 的二元一次方程；(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列； (3)x 的系数一般不为分数和负数；(4)平面直角坐标系内的任何一条直线都有一个二元一次方程与它相对应，即直线的一般式方程可以表示任何一条直线．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示．( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1) (x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )答案：(1)× (2)√2．经过点A (－3,2)，B (4,4)的直线的两点式方程为( ) A.y －22＝x ＋37 B.y －2－2＝x －37C.y ＋22＝x －37D.y －2x ＋3＝27解析：由方程的两点式可得直线方程为y －24－2＝x －－4－－，即y －22＝x ＋37.答案：A3．在x 轴和y 轴上的截距分别为－2,3的直线方程是( ) A.x 3＋y －2＝1 B.x 2＋y－3＝1 C.x －2＋y 3＝1 D.x －3＋y2＝1 解析：由直线的截距式方程，可得直线方程是x －2＋y3＝1.答案：C4．直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3)C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12解析：直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为4x ＋3y －12＝0. 答案：C。

高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程练习(含解析)新人教A版必修2

第23课时直线的两点式方程直线的两点式方程A ．2 B ．－3 C ．－27 D ．27 答案 D解析由两点式得直线方程为y －65－6＝x ＋32＋3，即x ＋5y －27＝0．令y ＝0，得x ＝27．2．已知点P(3，m)在过点M(2，－1)和N(－3，4)的直线上，则m 的值是( ) A ．5 B ．2 C ．－2 D ．－6 答案 C解析由两点式方程，得直线MN 的方程为y －－4－－＝x －2－3－2，化简，得x ＋y －1＝0．又点P(3，m)在此直线上，代入得3＋m －1＝0，解得m ＝－2．直线的截距式方程A ．x 2－y 3＝1 B ．x 2＋y3＝1 C ．y 3－x 2＝1 D ．x 2＋y3＝0 答案 A解析根据截距式方程x a ＋yb＝1，(其中a ，b 分别为x 轴和y 轴上的截距)得所求直线方程为x 2＋y －3＝1，即x 2－y3＝1，选A ．4．过点(5，2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上截距的2倍的直线方程是( ) A ．x 6＋y 12＝1 B ．x 6＋y 12＝1或y ＝25x C ．x －y 2＝1 D ．x －y 2＝1或y ＝25x答案 B解析当直线过原点时满足题意，所求方程为y ＝25x ；当直线不过原点时，可设其截距式为x a ＋y 2a ＝1，由该直线过点(5，2)，解得a ＝6，对应的方程为x 6＋y12＝1．故选B ．直线方程的应用形各边所在的直线方程．解由题意可知A(－4，0)，C(4，0)，B(0，－3)，D(0，3)，由截距式方程可知直线AB 的方程为x －4＋y－3＝1，即3x ＋4y ＋12＝0．同理可得直线BC 的方程为3x －4y －12＝0，直线CD 的方程为3x ＋4y －12＝0，直线AD 的方程为3x －4y ＋12＝0．6．已知线段BC 的中点为D3，32．若线段BC 所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，求BC 所在直线的方程．解由已知得直线BC 的斜率存在且不为0．设直线BC 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ．则直线BC 的截距式方程为x a ＋yb ＝1．由题意得a ＋b ＝9， ① 又点D3，32在直线BC 上，∴3a ＋32b ＝1，∴6b＋3a ＝2ab ， ② 由①②联立得2a 2－21a ＋54＝0，即(2a －9)(a －6)＝0，解得a ＝92或a ＝6．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝92，b ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝3.故直线BC 的方程为2x 9＋2y 9＝1或x 6＋y3＝1，即2x ＋2y －9＝0或x ＋2y －6＝0．一、选择题1．有关直线方程的两点式，有如下说法：①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程； ②直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1也可写成y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2；③过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线可以表示成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)．其中正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ①正确，从两点式方程的形式看，只要x 1≠x 2，y 1≠y 2，就可以用两点式来求解直线的方程．②正确，方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2的形式有异，但实质相同，均表示过点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)的直线．③显然正确．2．若直线x a ＋yb ＝1过第一、二、三象限，则( )A ．a>0，b>0B ．a>0，b<0C ．a<0，b>0D ．a<0，b<0 答案 C解析因为直线过第一、二、三象限，所以结合图形可知a ＜0，b ＞0．3．一条光线从A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0处射到点B(0，1)后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝12x －12D ．y ＝－12x －12答案 B解析由光的反射定律可得，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0关于y 轴的对称点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0在反射光线所在的直线上．再由点B(0，1)也在反射光线所在的直线上，用两点式可求得反射光线所在的直线的方程为y －01－0＝x －120－12，即y ＝－2x ＋1．4．过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程是( ) A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＋1＝0或3x －2y ＝0C ．x ＋y －5＝0D ．x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0 答案 B解析若直线l 过原点，则方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0；若直线l 不过原点，则设直线方程为x a －ya ＝1，将(2，3)代入方程，得a ＝－1，故直线l 的方程为x －y ＋1＝0．所以直线l的方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0．5．若直线过点(1，1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条答案 C解析设直线的方程为x a ＋yb＝1，∵直线经过点(1，1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，∴1a ＋1b ＝1，12|ab|＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝－22－2，b ＝22－2或⎩⎨⎧a ＝22－2，b ＝－22－2.∴满足条件的直线有3条．二、填空题6．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点是(1，－1)，则l 的斜率是________．答案－23解析设P(m ，1)，由线段PQ 的中点是(1，－1)，得Q(2－m ，－3)，∴2－m －(－3)－7＝0，∴m＝－2，∴P(－2，1)，∴直线l 的斜率k ＝1－－－2－1＝－23．7．已知直线l 经过点A(－4，－2)，且点A 是直线l 被两坐标轴截得的线段中点，则直线l 的方程为________．答案 x ＋2y ＋8＝0解析设直线l 与两坐标轴的交点为(a ，0)，(0，b)，由题意知a ＋02＝－4，b ＋02＝－2，∴a＝－8，b ＝－4．∴直线l 的方程为x －8＋y－4＝1，即x ＋2y ＋8＝0．8．已知A(1，－2)，B(5，6)，经过线段AB 的中点M ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．答案 2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0解析点A(1，－2)，B(5，6)的中点M 的坐标为(3，2)．当直线过原点时，方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x ＋y ＝m ，把中点M 的坐标(3，2)代入直线的方程，得m ＝5，故所求直线的方程是x ＋y －5＝0．综上，所求的直线方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0．三、解答题9．已知△ABC 中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．解 (1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB ，AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得，6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136＋y－138＝1．(2)因为BC 边上的中点为(2，3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117＋y－11＝1．10．已知直线l ：x m ＋y4－m＝1．(1)若直线l 的斜率等于2，求实数m 的值；(2)若直线l 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 是坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程．解 (1)直线l 过点(m ，0)，(0，4－m)，则k ＝4－m －m ＝2，则m ＝－4．(2)由m ＞0，4－m ＞0，得0＜m ＜4，则S ＝－2＝－－2＋42，易知当m ＝2时，S 有最大值2，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0．。

3.2.2直线的两点式方程课时作业2020-2021学年高一数学人教A版必修2 第三章直线与方程

课时作业21 直线的两点式方程1．经过两点(5,0)，(2，－5)的直线方程为( ) A ．5x ＋3y －25＝0 B ．5x －3y －25＝0 C ．3x －5y －25＝0 D ．5x －3y ＋25＝0 2．下列说法中正确的是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)来表示B ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 来表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1来表示D ．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)来表示3．已知M (3，72)，A (1,2)，B (3,1)，则过点M 和线段AB 的中点的直线方程为( )A ．4x ＋2y ＝5B ．4x －2y ＝5C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝5 4．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－2C ．－2或1D ．2或15．过点A (5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为( )A ．x －y －3＝0B ．2x －5y ＝0C ．2x －5y ＝0或x －y －3＝0D ．2x ＋5y ＝0或x ＋y －3＝06．若直线l 过点(－1，－1)和(2,5)，且点(1 004，b )在直线l 上，则b 的值为( ) A ．2 009 B ．2 008 C ．2 007 D ．2 0067．过点(－1,5)，且与直线x 2＋y 6＝1垂直的直线方程是y －5＝13(x ＋1)．8．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是. 9．已知直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点分别为B (1,4)，D (5,0)，则直线l 的方程为y ＝23x .10．已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的方程并化为截距式方程． 11．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．12．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )13．已知两点A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy ( ) A ．无最小值且无最大值 B ．无最小值但有最大值 C ．有最小值但无最大值 D ．有最小值且有最大值14．若直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，且过定点A (6，－2)，则直线l 的方程为x2＋y ＝1或x 3＋y2＝1. 15．已知直线l ：x －y ＋3＝0，一束光线从点A (1,2)处射向x 轴上一点B ，又从B 点反射到l 上的一点C ，最后从C 点反射回A 点，求直线BC 的方程．课时作业21 直线的两点式方程1．经过两点(5,0)，(2，－5)的直线方程为( B ) A ．5x ＋3y －25＝0 B ．5x －3y －25＝0 C ．3x －5y －25＝0 D ．5x －3y ＋25＝0解析：经过两点(5,0)，(2，－5)的直线方程为y －0－5－0＝x －52－5，整理得5x －3y －25＝0.故选B.2．下列说法中正确的是( D )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)来表示B ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 来表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1来表示D ．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)来表示解析：直接根据方程的定义判断即可．3．已知M (3，72)，A (1,2)，B (3,1)，则过点M 和线段AB 的中点的直线方程为( B )A ．4x ＋2y ＝5B ．4x －2y ＝5C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝5解析：线段AB 中点为⎝⎛⎭⎫2，32，又M 3，72，所以所求直线方程为y －3272－32＝x －23－2，即4x －2y －5＝0. 4．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( C ) A ．1 B ．－2 C ．－2或1D ．2或1解析：由题意知a ≠0，令x ＝0得y ＝a ＋2；令y ＝0得x ＝a ＋2a ，由a ＋2＝a ＋2a 得a ＝－2或a ＝1.5．过点A (5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为( C ) A ．x －y －3＝0 B ．2x －5y ＝0C ．2x －5y ＝0或x －y －3＝0D ．2x ＋5y ＝0或x ＋y －3＝0解析：设直线在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为－a . 若a ＝0，则直线过原点，其方程为2x －5y ＝0. 若a ≠0，则设其方程为x a ＋y－a ＝1，又点(5,2)在直线上，∴5a ＋2－a ＝1，∴a ＝3.所以直线方程为x －y －3＝0.综上，直线l 的方程为2x －5y ＝0或x －y －3＝0.6．若直线l 过点(－1，－1)和(2,5)，且点(1 004，b )在直线l 上，则b 的值为( A ) A ．2 009 B ．2 008 C ．2 007 D ．2 006解析：由直线的两点式方程得直线l 的方程为y －(－1)5－(－1)＝x －(－1)2－(－1)，即y ＝2x ＋1，令x ＝1 004，则有b＝2×1 004＋1，即b ＝2 009.7．过点(－1,5)，且与直线x 2＋y 6＝1垂直的直线方程是y －5＝13(x ＋1)．解析：直线x 2＋y 6＝1的斜率是－3，所以所求直线的斜率是13，所以直线方程是y －5＝13(x ＋1)．8．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是3或－3.解析：直线3x －4y －7＝0的斜率为34，所求直线垂直于该直线，所以所求直线斜率为－43，设直线为y＝－43x ＋b ，令x ＝0和y ＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别为b ，34b ，所以，6＝12×|b |×⎪⎪⎪⎪34b ＝38b 2，所以，b ＝±4，则直线在x 轴上的截距为3或－3.9．已知直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点分别为B (1,4)，D (5,0)，则直线l 的方程为y ＝23x .解析：若直线l 平分平行四边形ABCD 的面积，则直线l 过BD 的中点(3,2)，又因为直线l 过原点，所以直线l 的方程为y ＝23x .10．已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．解：(1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB 、AC 中点坐标为⎝⎛⎭⎫72，1，⎝⎛⎭⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得，6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117－y11＝1.11．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解：(1)令x ＝0，得y ＝a －2；令y ＝0，得x ＝a －2a ＋1(a ≠－1)．∵l 在两坐标轴上的截距相等，∴a －2＝a －2a ＋1，解之，得a ＝2或a ＝0，∴所求的直线l 方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∵l 不过第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0，∴a ≤－1，∴a 的取值范围为(－∞，－1]．12．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( A )解析：化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a ＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．13．已知两点A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy ( D ) A ．无最小值且无最大值 B ．无最小值但有最大值 C ．有最小值但无最大值 D ．有最小值且有最大值解析：线段AB 的方程为x 3＋y 4＝1(0≤x ≤3)，于是y ＝4⎝⎛⎭⎫1－x 3(0≤x ≤3)，从而xy ＝4x ⎝⎛⎭⎫1－x 3＝－43⎝⎛⎭⎫x －322＋3，显然当x ＝32∈[0,3]时，xy 取最大值为3；当x ＝0或3时，xy 取最小值0. 14．若直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，且过定点A (6，－2)，则直线l 的方程为x2＋y ＝1或x 3＋y2＝1. 解析：设直线l 在y 轴上的截距为a (a ≠0)，则在x 轴上的截距为a ＋1，则l 的方程为x a ＋1＋ya ＝1，代入点A (6，－2)得6a ＋1－2a＝1，即a 2－3a ＋2＝0，∴a ＝2或a ＝1，∴直线l 的方程为x 2＋y ＝1或x 3＋y2＝1.15．已知直线l ：x －y ＋3＝0，一束光线从点A (1,2)处射向x 轴上一点B ，又从B 点反射到l 上的一点C ，最后从C 点反射回A 点，求直线BC 的方程．解：作点A 关于x 轴的对称点A 2，则A 2(1，－2)．设点A 关于l ：x －y ＋3＝0的对称点为A 1(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋12－y 0＋22＋3＝0，y 0－2x 0－1×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝4，即A 1点坐标为(－1,4)．由已知条件知点A 1，A 2均在直线BC 上，∴由直线的两点式方程得y －4－2－4＝x ＋11＋1，即3x＋y －1＝0.故直线BC 的方程为3x ＋y －1＝0.。

高中数学第三章直线与方程3.2第23课时直线的两点式方程作业aa高一数学

A．2 008 B．2 009 C．2 010 D．2 011
12/9/2021
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5．已知 A，B 两点分别在两条互相垂直的直线 y＝2x 和 x＋ay ＝0 上，且线段 AB 的中点为 P0，1a0，则直线 AB 的方程为( C )
A．y＝－34x＋5 B．y＝34x－5 C．y＝34x＋5 D．y＝－34x－5
A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5 C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5
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解析：由于 AB 的中点坐标为2，32，点 M3，72，由两点式可得72y－－3232＝3x－－22，即 4x－2y＝5，故选 B.
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4．直线 l 过(－1，－1)、(2,5)两点，点(1 005，b)在 l 上，则 b 的值为( D )
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9．直线 l 过两点(m,3)和(3,2)，且在 x 轴上的截距是 1，则 m ＝4.
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10．已知直线 l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点分别为 B(1,4)，D(5,0)，则直线 l 的方程为 y＝23x.
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13．(本小题 13 分)已知直线 l 经过点(7,1)，且在两坐标轴上的截距之和为 0，求直线 l 的方程．
解：当直线 l 经过原点时，直线 l 在两坐标轴上的截距均等于 0，符合题意．
又直线 l 过点(7,1)， ∴所求直线方程为 y＝17x，即 x－7y＝0. 当直线 l 不经过原点时，设其方程为ax＋by＝1，由题意可得 a＋b＝0， ①

人教A版必修2第三章3.2.2 直线的两点式方程精选课时练习(含答案)-2

人教A 版必修2第三章3.2.2《直线的两点式方程》精选课时练习（含答案)-1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线2x a +2y b =1在y 轴上的截距是 ( ) A ．|b|B ．-b 2C ．b 2D ．±b 2．直线2x －5y ＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为 ( ) A ．2,5 B ．2，－5 C ．－2，－5 D ．－2,5 3．如右图所示，直线l 的截距式方程是x y a b＝1，则有 ( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0 4．直线l 过点A(-4，-6)，B(2，6)两点，点C(1006，b)在直线l 上，则b 的值为 ( ) A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．2016 5．已知△ABC 三顶点坐标A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的截距式方程为 ( )A ．x 4+y 8=1 B ．x 8+y 4=1 C ．x 6+y 4=1 D ．x 4+y 6=1 6．两直线x m -y n =1与x n -y m =1的图象可能是图中的哪一个 ( ) A ． B ．C ．D ．7．过M(3，2)与N(6，2)两点的直线方程为 ( )A ．x=2B ．y=2C ．x=3D ．x=68．过点P(1，4)且在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等的直线共有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 9．直线x p -y q=1在y 轴上的截距为-3，则q= ( )A ．3B ．-3C ．D 10．两直线1x y m n -=与1x y n m-=的图象可能是图中的( )A. B. C. D. 11．已知732M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，A(1,2)，B(3,1)，则过点M 和线段AB 的中点的直线方程为( )A ．4x ＋2y ＝5B ．4x －2y ＝5C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝512．直线1x y a b+=过一、二、三象限，则( ) A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜013．在y 轴上的截距是－3，且经过A(2，－1)，B(6,1)中点的直线方程为( )A ．143x y += B ．143x y -= C ．134x y += D ．136x y -= 14．直线125x y -=在x 轴、y 轴上的截距分别为( ) A ．2,5 B ．2，－5C ．－2，－5D ．－2,515．下列命题中正确的是( )A ．经过点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k(x －x 0)表示B ．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示C ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可用方程(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)表示D ．不经过原点的直线都可以用方程1x y a b +=表示 16．过点P(1，－2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条17．已知(2,4)A 关于直线10x y -+=对称的点为B ，则B 满足的直线方程为（）A ．0x y +=B ．20x y -+=C ．50x y +-=D ．0x y -=18．已知()3,1A ，()1,2B -，若ACB ∠的平分线方程为1+=x y ，则AC 所在的直线方程为（）A ．42+=x yB ．321-=x y C ．012=--y x D ．013=++y x 19．已知直线2()41x m m y m +-=-与直线250x y --=垂直，则m 的值为（）A ．1-B ．2C ．1-或2D ．120．直线420mx y +-=与直线250x y n -+=垂直，垂足为()1,p ，则n 的值为（）A ．12-B ．2-C ．0D ．1021．直线330kx y k --+=经过点（）A ．(3，0)B ．(3，3)C ．(1，3)D ．(0，3)二、填空题22．直线123x y +=--在x 轴，y 轴上的截距分别为____ 23．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________． 24．已知直线16x y a +=与坐标轴围成的图形面积为6，则a 的值为_____ 25．经过点A(－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程为________ 26．直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，且A －2B ＋3C ＝0，则直线的方程是______ 27．平面直角坐标系中，直线320x y ++=的斜率为________28．斜率与直线4x ＋3y ＝0相等，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是______29．已知直线l 的斜率是直线2x －3y ＋12＝0的斜率的，l 在y 轴上的截距是直线2x －3y ＋12＝0在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为_____30．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为______31．光线从A(－3，4)点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点C(1，6)，则BC 所在直线的方程为_____32．直线221x y a b -=在y 轴上的截距是_____ 33．已知△ABC 三顶点A(1,2)、B(3,6)、C(5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为______34．过点(0，1)和(-2，4)的直线的两点式方程是____________.35．过点P(1，3)的直线l 分别与两坐标轴交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是________.36．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)，(ab≠0)共线，则11a b+=______. 37．过点P(6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程是_______________．38．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是_________.39．已知直线():1210l ax a y a +-+-=不通过第四象限，则a 的取值范围是________.40．以()1,3A ，()5,1B -为端点的线段的垂直平分线方程是 .三、解答题41．已知在△ABC 中，A ，B 的坐标分别为（－1，2），（4，3），AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．（1）求点C 的坐标；（2）求直线MN 的方程．42．为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形PQRC 的草坪，且PQ//BC,RQ BC ．另外的内部有一文物保护区不能占用，经测量AB="100m," BC="80m," AE="30m," AF=20m,应如何设计才能使草坪的占地面积最大？43． △ABC 的三个顶点分别为A (0,4)、B (－2,6)、C (－8,0).(1)分别求边AC 和AB 所在直线的方程；(2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程；(3)求AC 边的中垂线所在直线的方程；(4)求AC 边上的高所在直线的方程；(5)求经过两边AB 和AC 的中点的直线方程．44．求分别满足下列条件的直线l 的方程.(1)斜率是34,且与两坐标轴围成的三角形的面积是6; (2)经过两点(1,0)A ，(,1)B m ;(3)经过点(4,3)-，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等.45．已知直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，且过点(6，-2)，求直线l 的方程.46．已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求：(1)点P(－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2)直线12:l y x =-关于直线l 对称的直线l 2的方程；(3)直线l 关于点(1，1)对称的直线方程．47．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的斜率为2.（1）若直线l 过点()2,1A -，求直线l 的方程；（2）若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和为3，求直线l 的方程.参考答案1．C2．B3．B4．C5．A6．B7．B8．C9．A10．B11．B12．C13．B14．B15．C16．B17．D18．C19．C20．A21．B22．2,3--23．)40y x +=-14y=-4y =-40y --=24．2±25．210x y ++=或250x y +=26．15370x y --=27．28．3或3-29．3240x y -+=30．30x y -+=31．5270x y -+=32．2b -33．280x y +-=34．104120y x --=--- (或421402y x -+=-+ ) 35．126x y += 36．1237．132x y +=或12x y += 38．3x ＋2y －6＝0 39．]1,21[40．340x y ++=41．（1）(1,3)-；（2）21050x y --=．42．见解析43．（1）x －2y ＋8＝0. x ＋y －4＝0.（2）2x －y ＋10＝0.（3）2x ＋y ＋6＝0.（4）2x ＋y －2＝0.（5）x －y ＋6＝044．（1）y ＝43x ±3.（2）当m ≠1时，y ＝11m -(x －1)，当m ＝1时， x ＝1.（3）x ＋y ＝1或70x y --=或y ＝－34x . 45．y=-23x+2或y=-12x+1. 46．(1)219,55⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)l 2的方程为7x －y －14＝0(3)x ＋2y －4＝047．（1）052=+-y x （2）062=+-y x。

高中数学3.2直线的方程3.2.2直线的两点式方程课时作业新人教A版必修2

高中数学第3章直线与方程32直线的方程322直线的两点式方程课件新人教A版必修2

3．如图，直线 l 的截距式方程是ax＋by＝1，则 a________0， b________0.
> < [M(a，0)，N(0，b)，由题图知 M 在 x 轴正半轴上，N 在 y 轴负半轴上，所以 a>0，b<0.]
14
4．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在 x 轴上的截距为________．－32 [直线方程为1y－－99＝－x－1－33，化为截距式为－x32＋3y＝1，则在 x 轴上的截距为－32.]
34
2．本例中条件不变，试求与 AB 平行的中位线所在直线方程． [解] 由探究 1 知 kAB＝－34，即中位线所在直线斜率为－34，由例题知 BC 的中点为52，－3，所以由点斜式方程可得，中位线所在直线方程为 y＋3＝－34x－52，即 6x＋8y＋9＝0.
35
直线方程的选择技巧 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距．
D．x－y－1＝0
D [由直线的两点式方程，得3y－－22＝4x－－33，化简得 x－y－1＝0.]
12
2．过 P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线方程是( )
A. 3x＋2y＝0
B. 2x＋3y＝0
C. 2x＋3y＝1
D. 2x－3y＝1
C [由截距式得，所求直线的方程为2x＋3y＝1.]
13
【例 3】已知 A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC 中， (1)求 BC 边的方程； (2)求 BC 边上的中线所在直线的方程．思路探究：(1) B，C两点坐标两――点→式求方程 (2) 求中点坐标两――点→式求直线方程

高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程测试题新人教A版必修

直线的两点式方程
本试卷满分60+5分
一．选择题（每小题5分，共25分）
1.过点(-3,2), (9,2)的直线方程是
( ) A.y=-3 B.y=2
C.x=-3
D.x=9
2．直线x a 2－y b 2=1在y 轴上的截距是 ( ) A ．|b| B ．b 2 C ．－b 2 D ． b
3. 已知点A(1,2),B(3,1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是 ( ) A.4x+2y=5 B.4x-2y=5 C.x+2y=5 D.x-2y=5
4. 过点A （1,2）且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有 ( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
5.已知直线l 1:y=kx+b,l 2:y=bx+k,则它们的图象为 ( )
A
C D
二．填空题（每小题5分，共15分）
6.直线423=-y x 化为截距式方程是______________.
7.过点（－2,3）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是
8.若三点A （2,2）、B （a ，0）、C （0，b ）共线（a b ≠0），则1a +1b
的值等于
三．解答题（每小题10分，共20分）
9.△ABC 三点分别为A （0,4），B （－2,6），C （－8,0）
（1）求边AC 所在直线的方程;
（2）求AB 边上中线所在直线的方程；
（3）求AC 边上的中线所在直线的方程;
x
（4）求AC 边上的高线所在直线的方程.
10.求过点P(-2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为4的直线方程：
附加题（本题5分）一条光线从点(3,2)A 发出，经x 轴反射且过点(1,6)B ，求反射光线所在的直线方程 .。

高中数学第三章直线与方程3.2直线的方程第2课时直线的两点式方程讲义含解析新人教A版必修20517123.doc

第2课时直线的两点式方程[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 95～P 97，回答下列问题：某区商业中心O 有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东P 处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km 和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A 、B 两处，并使区商业中心O 到A 、B 两处的距离之和最短．(1)在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB ，那么直线AB 的方程确定后，点A 、B 能否确定？提示：可以确定．(2)根据上图知建立平面坐标系后，A 、B 两点的坐标值相当于在x 轴、y 轴上的什么量？提示：在x 轴、y 轴上的截距．(3)那么若已知直线在坐标轴的截距可以确定直线方程吗？提示：可以．2．归纳总结，核心必记 (1)直线的两点式方程①定义：如图所示，直线l 经过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，叫做直线l 的两点式方程，简称两点式． ②说明：与坐标轴垂直的直线没有两点式方程． (2)直线的截距式方程①定义：如图所示，直线l 与两坐标轴的交点分别是P 1(a,0)，P 2(0，b )(其中a ≠0，b ≠0)，则方程为x a ＋yb＝1，叫做直线l 的截距式方程，简称截距式．②说明：一条直线与x 轴的交点 (a,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距．与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距．(3)中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．[问题思考](1)方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1和方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)的适用范围相同吗？提示：不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．(2)方程x 2－y 3＝1和x 2＋y3＝－1都是直线的截距式方程吗？提示：都不是截距式方程．截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为1.[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)直线的两点式方程是什么？怎样求？；(2)直线的截距式方程是什么？怎样求？；(3)中点坐标公式是什么？ .观察下面坐标系中的直线，思考如下问题：[思考1] 怎样利用点P 1，P 2的坐标写出直线l 的方程？名师指津：可利用两点坐标求出直线的斜率，再利用点斜式求出其方程．[思考2] 给定两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是否就可以用两点式写出直线AB 的方程？名师指津：不一定．只有在x 1≠x 2，y 1≠y 2的前提下才能写出直线的两点式．当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1.所以，直线的两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，但如果将方程变形为：(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，它是两点式的变形，可以表示任何直线，包括与坐标轴垂直的直线．[思考3] 直线的两点式方程能用y －y 1x －x 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)代替吗？名师指津：方程y －y 1x －x 1＝y 2－y 1x 2－x 1所表示的图形不含点(x 1，y 1)，故不能表示整条直线，故不能用其代替两点式方程．讲一讲1．已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中，(链接教材P 96—例4) (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程．[尝试解答] (1)∵BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)， ∴由两点式得y －－－2－－＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0.故BC 边的方程为2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)． (2)设BC 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝5＋02＝52，y 0＝－＋－2＝－3.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3，又BC 边上的中线经过点A (－3,2)．∴由两点式得y －2－3－2＝x －－52－－，即10x ＋11y ＋8＝0.故BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0.求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．练一练1．已知△ABC 三个顶点坐标A (2，－1)，B (2,2)，C (4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．解：∵A (2，－1)，B (2,2)，A 、B 两点横坐标相同， ∴直线AB 与x 轴垂直，故其方程为x ＝2.∵A (2，－1)，C (4,1)，由直线方程的两点式可得直线AC 的方程为y －1－1－1＝x －42－4，即x －y －3＝0.同理可由直线方程的两点式得直线BC 的方程为y －21－2＝x －24－2，即x ＋2y －6＝0.观察下面坐标系中的直线，思考如下问题：[思考1] 由上述条件能否求出直线的方程？名师指津：结合条件可知直线过点(a,0)，(0，b )，利用两点式可求出直线的方程． [思考2] 怎样理解直线的截距式方程？名师指津：(1)由截距式方程可以直接得到直线在x 轴与y 轴上的截距．(2)由截距式方程可知，截距式方程只能表示在x 轴、y 轴上的截距都存在且不为0的直线，因此，截距式不能表示过原点的直线、与x 轴垂直的直线、与y 轴垂直的直线．(3)过原点的直线可以表示为y ＝kx ；与x 轴垂直的直线可以表示为x ＝x 0；与y 轴垂直的直线可以表示为y ＝y 0.讲一讲2．求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程． [尝试解答] 法一：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b . (1)当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋y b＝1. ∵点(4，－3)在直线上， ∴4a ＋－3b＝1，若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，此时直线的方程为x －y ＝7. (2)当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0. 法二：设直线l 的方程为y ＋3＝k (x －4)，令x ＝0，得y ＝－4k －3；令y ＝0，得x ＝4k ＋3k.又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， ∴|－4k －3|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k ＋3k ，解得k ＝1或k ＝－1或k ＝－34.∴所求的直线方程为x －y －7＝0或x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0.截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用．练一练2．求过点A (5,2)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍的直线l 的方程．解：由题意知，当直线l 在坐标轴上的截距均为零时，直线l 的方程为y ＝25x ；当直线l 在坐标轴上的截距不为零时，设l 的方程为x 2a ＋ya ＝1，将点(5,2)代入方程得52a ＋2a ＝1，解得a ＝92，所以直线l 的方程为x ＋2y －9＝0.综上知，所求直线l 的方程为y ＝25x ，或x ＋2y －9＝0.讲一讲3．直线l 与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线l 的方程．[思路点拨] 利用直线方程的截距式列出关于截距的方程组，解方程组即可． [尝试解答] 由题设知，直线l 不过原点，且在x 轴、y 轴上的截距都大于0，设直线l 的方程为x a ＋x b＝1(a ＞0，b ＞0)，则由已知可得 ⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，|a －b |＝3.①当a ≥b 时，①可化为⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－4(舍去)；当a ＜b 时，①可化为⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，b －a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－1(舍去)．所以，直线l 的方程为x 4＋y ＝1或x ＋y4＝1，即x ＋4y －4＝0或4x ＋y －4＝0.利用截距求面积(1)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点)，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长时较方便．(2)从题意看，本题只告诉了截距之间的关系，因此解题时，设出了直线的截距式，由于不知截距的大小，因此，需要进行分类讨论．练一练3．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，若直线过定点A (－3,4)，求直线l 的方程．解：由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，则12|3k ＋4|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4k －3＝3，显然k >0时不成立．解得k 1＝－23，k 2＝－83.所以直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.——————————[课堂归纳·感悟提升]————————————1．本节课的重点是了解直线方程的两点式的推导过程，会利用两点式求直线的方程，掌握直线方程的截距式，并会应用．难点是直线方程两点式的推导．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求直线的两点式方程的策略，见讲1. (2)直线的截距式方程应用的注意点，见讲2. (3)应用直线截距式方程求面积问题，见讲3.3．本节课的易错点是在截距相等时求直线方程易漏掉直线过原点的情况，如讲2.课下能力提升(十八)[学业水平达标练]题组1 直线的两点式方程1．过点A (3,2)，B (4,3)的直线方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y －1＝0解析：选D 由直线的两点式方程，得y －23－2＝x －34－3，化简得x －y －1＝0.2．已知△ABC 三顶点A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝0解析：选A 点M 的坐标为(2,4)，点N 的坐标为(3,2)，由两点式方程得y －24－2＝x －32－3，即2x ＋y －8＝0.3．直线l 过点(－1，－1)和(2,5)，点(1 002，b )在直线l 上，则b 的值为( ) A ．2 003 B ．2 004 C ．2 005 D ．2 006解析：选C 直线l 的方程为y －－5－－＝x －－2－－，即y ＝2x ＋1，令x ＝1 002，则b ＝2 005.4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－32 B ．－23C.25D ．2 解析：选A 直线方程为y －91－9＝x －3－1－3，化为截距式为x －32＋y3＝1，则在x 轴上的截距为－32.题组2 直线的截距式方程5．(2016·淄博高一检测)过P 1(2,0)、P 2(0,3)两点的直线方程是( ) A.x 3＋y 2＝0 B.x 3－y 2＝1 C.x 2＋y3＝1 D.x 2－y3＝1 解析：选C 由截距式得，所求直线的方程为x 2＋y3＝1.6．直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：选B 直线在x 轴上截距为3，在y 轴上截距为－4，因此截距之和为－1. 7．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( ) A.3x 4－y 2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y －2＝1 D.x 43＋y－2＝1 解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为x a ＋y b＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．8．求过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程．解：设直线方程的截距式为x a ＋1＋ya＝1. 则6a ＋1＋－2a＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.题组3 直线方程的综合运用9．已知在△ABC 中，A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．解：(1)设点C (m ，n )，AC 中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧m －12＝0，n ＋32＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－3.∴C 点的坐标为(1，－3)．(2)由(1)知：点M 、N 的坐标分别为M ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，由直线方程的截距式，得直线MN 的方程是x 52＋y －12＝1，即y ＝15x －12.10．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程．解：∵直线AB 过点A (0，－5)，B (－3,3)两点，由两点式方程，得y ＋53＋5＝x －0－3－0.整理，得8x ＋3y ＋15＝0.∴直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0. 又∵直线AC 过A (0，－5)，C (2,0)两点，由截距式得x 2＋y－5＝1，整理得5x －2y －10＝0，∴直线AC 的方程为5x －2y －10＝0.[能力提升综合练]1．在y 轴上的截距是－3，且经过A (2，－1)，B (6,1)中点的直线方程为( ) A.x 4＋y 3＝1 B.x 4－y 3＝1 C.x 3＋y4＝1 D.x 3－y6＝1 解析：选B A (2，－1)，B (6,1)的中点坐标为(4,0)，即可设直线的截距式方程为x a ＋y－3＝1，将点(4,0)代入方程得a ＝4，则该直线的方程为x 4－y3＝1.2．已知直线ax ＋by ＋c ＝0的图象如图，则 ( ) A ．若c ＞0，则a ＞0，b ＞0 B ．若c ＞0，则a <0，b ＞0 C ．若c ＜0，则a >0，b <0 D ．若c <0，则a >0，b ＞0解析：选D 由ax ＋by ＋c ＝0，得斜率k ＝－ab ，直线在x 、y 轴上的截距分别为－c a、－c b .如题图，k <0，即－a b ＜0，∴ab >0.∵－c a ＞0，－c b＞0，∴ac ＜0 ，bc ＜0.若c <0，则a >0，b >0；若c >0，则a ＜0，b ＜0.3．(2016·唐山高一检测)下列命题中正确的是( ) A ．经过点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示 B ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示C ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可用方程(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)表示D ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示解析：选C A 中当直线的斜率不存在时，其方程只能表示为x ＝x 0；B 中经过定点A (0，b )的直线x ＝0无法用y ＝kx ＋b 表示；D 中不经过原点但斜率不存在的直线不能用方程x a ＋yb＝1表示．只有C 正确，故选C.4．两直线x m －y n ＝1与x n －y m＝1的图象可能是图中的( )解析：选B 由x m －y n ＝1，得到y ＝n m x －n ；又由x n －y m ＝1，得到y ＝m nx －m .即k 1与k 2同号且互为倒数．5．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________．解析：设直线方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a ＋b ＝5，解得a ＝2，b ＝3，则直线方程为x 2＋y3＝1.答案：x 2＋y3＝16．直线l 过点P (－1,2)，分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则直线l 的方程为________．解析：设A (x,0)，B (0，y )．由P (－1,2)为AB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02＝－1，0＋y 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4.由截距式得l 的方程为x －2＋y4＝1，即2x －y ＋4＝0. 答案：2x －y ＋4＝07．直线l 过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则a ＋b ＝12.① 又直线l 过点(－3,4)， ∴－3a ＋4b＝1.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝16.故所求的直线方程为x 9＋y 3＝1或x －4＋y16＝1，即x ＋3y －9＝0或4x －y ＋16＝0.8．一条光线从点A (3,2)发出，经x 轴反射后，通过点B (－1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．解：如图所示，作A 点关于x 轴的对称点A ′，显然，A ′坐标为(3，－2)，连接A ′B ，则A ′B 所在直线即为反射光线．由两点式可得直线A ′B 的方程为y －6－2－6＝x ＋13＋1，即2x ＋y －4＝0.同理，点B 关于x 轴的对称点为B ′(－1，－6)，由两点式可得直线AB ′的方程为y －2－6－2＝x －3－1－3，即2x －y －4＝0，∴入射光线所在直线方程为2x －y －4＝0，反射光线所在直线方程为2x ＋y －4＝0.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

(部编版)2020学年高中数学3.2直线的方程3.2.2直线的两点式方程课时作业新人教A版必修6

第三章 3.2 3.2.2直线的两点式方程一、选择题1．直线x 2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为 ( B )A ．2,5B ．2，－5C ．－2，－5D ．－2,5[解析] 将x 2－y 5＝1化成直线截距式的标准形式为x 2＋y －5＝1，故直线x 2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为2、－5.2．已知点M (1，－2)、N (m,2)，若线段MN 的垂直平分线的方程是x2＋y ＝1，则实数m 的值是 ( C )A ．－2B ．－7C ．3D ．1[解析] 由中点坐标公式，得线段MN 的中点是(1＋m 2，0)．又点(1＋m 2，0)在线段MN 的垂直平分线上，所以1＋m4＋0＝1，所以m ＝3，选C ．3．如右图所示，直线l 的截距式方程是x a ＋yb＝1，则有 ( B )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0[解析] 很明显M (a,0)、N (0，b )，由图知M 在x 轴正半轴上，N 在y 轴负半轴上，则a >0，b <0.4．已知△ABC 三顶点A (1,2)、B (3,6)、C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为 ( A ) A ．2x ＋y －8＝0 B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝0[解析] 点M 的坐标为(2,4)，点N 的坐标为(3,2)，由两点式方程得y －24－2＝x －32－3，即2x ＋y －8＝0.5．如果直线l 过(－1，－1)、(2,5)两点，点(1 008，b )在直线l 上，那么b 的值为 ( D ) A ．2 014B ．2 015C ．2 016D ．2 017[解析] 根据三点共线，得5－－2－－＝b －51 008－2，得b ＝2 017. 6．两直线x m －y n ＝1与x n －y m＝1的图象可能是图中的哪一个 ( B )[解析] 直线x m －y n＝1化为y ＝n m x －n ，直线x n －ym＝1化为 y ＝mnx －m ，故两直线的斜率同号，故选B ． 7．已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线y ＝2x 和x ＋ay ＝0上，且线段AB 的中点为P (0，10a)，则直线AB 的方程为 ( C )A ．y ＝－34x ＋5B ．y ＝34x －5C ．y ＝34x ＋5D ．y ＝－34x －5[解析] 依题意，a ＝2，P (0,5)．设A (x 0,2x 0)、B (－2y 0，y 0)，则由中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0－2y 0＝02x 0＋y 0＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4y 0＝2，所以A (4,8)、B (－4,2)．由直线的两点式方程，得直线AB 的方程是y －82－8＝x －4－4－4，即y ＝34x ＋5，选C ．8．过P (4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有 ( B ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[解析] 解法一：设直线方程为y ＋3＝k (x －4)(k ≠0)．令y ＝0得x ＝3＋4kk，令x ＝0得y ＝－4k －3.由题意，3＋4k k ＝－4k －3，解得k ＝－34或k ＝－1.因而所求直线有两条，∴应选B ．解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为(a,0)，(0，a )，a ≠0，则直线方程为x a ＋y a＝1，把点P (4，－3)的坐标代入方程得a ＝1.∴所求直线有两条，∴应选B ．二、填空题9．已知点P (－1,2m －1)在经过M (2，－1)、N (－3,4)两点的直线上，则m ＝__32__.[解析] 解法一：MN 的直线方程为：y ＋14＋1＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0，代入P (－1,2m －1)得m ＝32.解法二：M 、N 、P 三点共线， ∴4－m －－3＋1＝4－－－3－2，解得m ＝32.10．(2016～2017·衡水高一检测)已知直线l 的斜率为6，且在两坐标轴上的截距之和为10，则此直线l 的方程为__6x －y ＋12＝0__.[解析] 设l ：y ＝6x ＋b ，令y ＝0得x ＝－b6.由条件知b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 6＝10，∴b ＝12.∴直线l 方程为y ＝6x ＋12.解法2：设直线l ：x a ＋y b ＝1，变形为y ＝－b ax ＋b .由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－b a＝6，a ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝12，a ＝－2.∴直线l 方程为x－2＋y12＝1.即6x －y ＋12＝0.三、解答题11．求分别满足下列条件的直线l 的方程：(1)斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；(2)经过两点A (1,0)、B (m,1)；(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． [解析] (1)设直线l 的方程为y ＝34x ＋b .令y ＝0，得x ＝－43b ，∴12|b ·(－43b )|＝6，b ＝±3. ∴直线l 的方程为y ＝43x ±3.(2)当m ≠1时，直线l 的方程是y －01－0＝x －1m －1，即y ＝1m －1(x －1) 当m ＝1时，直线l 的方程是x ＝1. (3)设l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b . 当a ≠0，b ≠0时，l 的方程为x a ＋y b＝1； ∵直线过P (4，－3)，∴4a －3b＝1.又∵|a |＝|b |，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a －3b ＝1a ＝±b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7b ＝－7.当a ＝b ＝0时，直线过原点且过(4，－3)， ∴l 的方程为y ＝－34x .综上所述，直线l 的方程为x ＋y ＝1或x 7＋y －7＝1或y ＝－34x .12．△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)、B (－2,6)、C (－8,0). (1)分别求边AC 和AB 所在直线的方程； (2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程； (3)求AC 边的中垂线所在直线的方程； (4)求AC 边上的高所在直线的方程； (5)求经过两边AB 和AC 的中点的直线方程．[解析] (1)由A (0,4)，C (－8,0)可得直线AC 的截距式方程为x －8＋y4＝1，即x －2y ＋8＝0.由A (0,4)，B (－2,6)可得直线AB 的两点式方程为y －46－4＝x －0－2－0，即x ＋y －4＝0.(2)设AC 边的中点为D (x ，y )，由中点坐标公式可得x ＝－4，y ＝2，所以直线BD 的两点式方程为y －62－6＝x ＋2－4＋2，即2x －y ＋10＝0.(3)由直线AC 的斜率为k AC ＝4－00＋8＝12，故AC 边的中垂线的斜率为k ＝－2.又AC 的中点D (－4,2)，所以AC 边的中垂线方程为y －2＝－2(x ＋4)，即2x ＋y ＋6＝0.(4)AC 边上的高线的斜率为－2，且过点B (－2,6)，所以其点斜式方程为y －6＝－2(x ＋2)，即2x ＋y －2＝0. (5)AB 的中点M (－1,5)，AC 的中点D (－4,2)，∴直线DM 方程为y －25－2＝x －－－1－－，即x －y ＋6＝0.13．已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在此抛物线上，点N 在y 轴上，以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，求点M 的坐标.[解析] 容易求得抛物线与x 轴的交点分别为(－3,0)、(1,0)不妨设A (－3,0)、B (1,0)，由已知，设M (a ，b )、N (0，n )，根据平行四边形两条对角线互相平分的性质，可得两条对角线的中点重合．按A 、B 、M 、N 两两连接的线段分别作为平行四边形的对角线进行分类，有以下三种情况：①若以AB为对角线，可得a＋0＝－3＋1，解得a＝－2；②若以AN为对角线，可得a＋1＝－3＋0，解得a＝－4；③若以BN为对角线，可得a＋(－3)＝1＋0，解得a＝4.因为点M在抛物线上，将其横坐标的值分别代入抛物线的解析式，可得M(－2,3)或M(－4，－5)或M(4，－21)．。

高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程课件【新人教A版】

(A)1
(B)-1
(C)7
(D)-7
4.(中点坐标公式)若已知A(1,2)及AB中点(2,3),则B点的坐标是答案:(3,4) 5.(直线两点式方程)经过点A(3,2),B(4,3)的直线方程是答案:x-y-1=0 .
.
课堂探究
题型一直线的两点式方程
【教师备用】
1.直线的两点式方程运用条件是什么?
综上,直线 l 的方程为 y=
1 x 或 x+y=6 或 x-y=2. 2
题型三直线方程的应用
【例 3】直线过点 P（
4 ,2）且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,O 为坐 3
标原点,是否存在这样的直线分别满足下列条件: (1)△AOB 的周长为 12; (2)△AOB 的面积为 6. 若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
三边所在直线的方程.
解:由两点式,直线 AB 方程为
0 1
y 1
=
x3 ,即 x+4y+1=0. 1 3
同理,直线 BC 方程为即 2x+y-5=0. 直线 AC 方程为即 3x-2y+3=0.
y 3 x 1 = , 1 3 3 1
y 3 x 1 = , 0 3 1 1
由直线方程的截距式得直线 l 的方程为
x y + =1,即 x+4y-8=0. 8 2
【思维激活】 (2015日照一中月考)过A(1,4)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有条.
解析:一条是截距为0,一条是截距相等(不为0),一条是截距互为相反数(不为0)共三条. 答案:3
【备用例1】 (2015青岛一中联考)已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1, 且过定点(6,-2),求直线l的方程.

201X-201x学年度高中数学第三章直线与方程 3.2.2 直线的两点式方程课时作业新人教A

3.2.2 直线的两点式方程【选题明细表】知识点、方法题号直线的两点式方程2,3,11直线的截距式方程5,7,10中点坐标公式、直线方程的理解及应用1,4,6,8,9,12,131.下列四个命题中的真命题是( B )(A)经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示(B)经过任意两个不同点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示(C)不经过原点的直线都可以用方程+=1表示(D)经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示解析:当直线与y轴重合时,斜率不存在,选项A、D不正确;当直线垂直于x轴或y轴时,直线方程不能用截距式表示,选项C不正确,选项B正确.故选B.2.(2018·三明市高一测试)已知直线l经过点A(1,-2),B(-3,2),则直线l的方程为( A )(A)x+y+1=0 (B)x-y+1=0(C)x+2y+1=0 (D)x+2y-1=0解析:由两点式得直线l的方程为=,即y+2=-(x-1).故选A.3.已知△ABC的三个顶点A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN 所在的直线方程为( A )(A)2x+y-8=0 (B)2x-y-8=0(C)2x+y-12=0 (D)2x-y-12=0解析:由中点坐标公式知M(2,4),N(3,2),由两点式方程知MN所在的直线方程为2x+y-8=0.故选A.4.直线l过点P(1,3),且与x,y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( A )(A)3x+y-6=0 (B)x+3y-10=0(C)3x-y=0 (D)x-3y+8=0解析:设所求的直线方程为+=1.所以解得a=2,b=6.故所求的直线方程为3x+y-6=0.故选A.5.(2018·安徽黄山调研)已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是( D )(A)1 (B)-1 (C)-2或-1 (D)-2或1解析:①当a=0时,y=2不合题意.②当a≠0时,令x=0,得y=2+a,令y=0,得x=,则=a+2,得a=1或a=-2.故选D.6.点M(4,1)关于点N(2,-3)的对称点P的坐标为.解析:设P(x,y),则所以故点P的坐标为(0,-7).答案:(0,-7)7.已知直线mx-2y-3m=0(m≠0)在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍,则m= . 解析:直线方程可化为-=1,所以-×4=3,所以m=-.答案:-8.已知△ABC的三个顶点为A(0,3),B(1,5),C(3,-5).(1)求边AB所在的直线方程;(2)求中线AD所在直线的方程.解:(1)设边AB所在的直线的斜率为k,则k==2.它在y轴上的截距为3.所以,由斜截式得边AB所在的直线的方程为y=2x+3.(2)B(1,5)、C(3,-5),=2,=0,所以BC的中点D(2,0).由截距式得中线AD所在的直线的方程为+=1.能力提升9.已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则xy ( D )(A)无最小值且无最大值(B)无最小值但有最大值(C)有最小值但无最大值(D)有最小值且有最大值解析:线段AB的方程为+=1(0≤x≤3),于是y=4(1-)(0≤x≤3),从而xy=4x(1-)=-(x-)2+3,显然当x=∈[0,3]时,xy取最大值为3;当x=0或3时,xy取最小值0.故选D.10.(2018·四川宜宾模拟)过点P(2,3)并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( B )(A)2x-3y=0(B)3x-2y=0或x+y-5=0(C)x+y-5=0(D)2x-3y=0或x+y-5=0解析:①当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时,设该直线的方程为x+y=a,把(2,3)代入所设的方程得a=5,则所求直线的方程为x+y=5即x+y-5=0;②当所求的直线与两坐标轴的截距都为0时,设该直线的方程为y=kx,把(2,3)代入所求的方程得k=,则所求直线的方程为y=x,即3x-2y=0.综上,所求直线的方程为3x-2y=0或x+y-5=0.故选B.11.经过A(1,3)和B(a,4)的直线方程为.解析:当a=1时,直线AB的斜率不存在,所求直线的方程为x=1;当a≠1时,由两点式,得=,即x-(a-1)y+3a-4=0.这个方程中,对a=1时方程为x=1也满足.所以,所求的直线方程为x-(a-1)y+3a-4=0.答案:x-(a-1)y+3a-4=012.已知A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若直线AB⊥CD,求m的值.解:因为A、B两点纵坐标不相等,所以AB与x轴不平行.因为AB⊥CD,所以CD与x轴不垂直,-m≠3,即m≠-3.①当AB与x轴垂直时,-m-3=-2m-4,解得m=-1.而m=-1时C、D纵坐标均为-1,所以CD∥x轴,此时AB⊥CD,满足题意.②当AB与x轴不垂直时,由斜率公式k AB==,k CD==.因为AB⊥CD,所以k AB·k CD=-1,即·=-1,解得m=1,综上m的值为1或-1.探究创新13.某房地产公司要在荒地ABCDE(如图,BC⊥CD)上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发.问:如何设计才能使开发面积最大?并求出最大面积.(已知|BC|=210 m,|CD|=240 m,|DE|=300 m,|EA|=180 m)解:以BC所在直线为x轴,AE所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy,如图,则A(0,60),B(90,0).AB所在的直线方程为+=1,即y=60-x.所以可设P(x,60-x),其中0<x<90,开发面积S=(300-x)(240-y)=(300-x)[240-(60-x)]=-x2+20x+ 54 000(0<x<90).当x=-=15,且y=50时,S取最大值54 150.即矩形顶点P距离AE 15 m,距离BC 50 m时,面积最大,为54 150 m2.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

高中数学第三章直线与方程 3.2 直线的方程 3.2.2 直线的两点式方程课件新人教A版必修

基础预习点拨要点探究归纳知能达标演练课后巩固作业
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高中数学第三章直线与方程 3.2.2 直线的两点式方程学案(含解析)新人教A版必修2-新人教A版

3．2.2 直线的两点式方程学习目标 1.掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围；2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围；3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标．知识点一直线方程的两点式思考1 已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程．答案 y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)，即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 思考2 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？答案不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示.名称已知条件示意图方程使用范围两点式 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1斜率存在且不为0知识点二直线方程的截距式思考1 过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5＋y7＝1表示吗？答案能．由直线方程的两点式得y －07－0＝x －50－5，即x 5＋y7＝1. 思考2 已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程．答案由直线方程的两点式得y －0b －0＝x －a 0－a 得x a ＋yb＝1. 名称已知条件示意图方程使用范围截距式在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 且a ≠0，b ≠0x a ＋yb ＝1 斜率存在且不为0，不过原点知识点三线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x22，y ＝y 1＋y22.类型一直线的两点式方程例1 (1)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 答案－2解析由直线方程的两点式得y －－14－－1＝x －2－3－2，即y ＋15＝x －2－5.∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2， ∵点P (3，m )在直线AB 上，则m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2.(2)△ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： ①AC 所在直线的方程 ②BC 边的垂直平分线的方程．解 ①由直线方程的两点式得y －03－0＝x －－3－2－－3，所以AC 所在直线的方程是3x －y ＋9＝0.②因为B (2,1)，C (－2,3)，所以k BC ＝3－1－2－2＝－12，线段BC 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，1＋32，即(0,2)，所以BC 边的垂直平分线方程是y －2＝2(x －0)，整理得2x －y ＋2＝0.反思与感悟 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．跟踪训练1 已知△ABC 的顶点是A (－1，－1)，B (3,1)，C (1,6)．求与CB 平行的中位线的直线方程．解方法一由A (－1，－1)，C (1,6)，则AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52. 又因为A (－1，－1)，B (3,1)，则AB 的中点为N (1,0)．故过MN 的直线为y －052－0＝x －10－1(两点式)，即平行于CB 的中位线方程为5x ＋2y －5＝0.方法二由B (3,1)，C (1,6)得k BC ＝6－11－3＝－52，故中位线的斜率为k ＝－52.又因为中位线过AC 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，故中位线方程为y ＝－52x ＋52(斜截式)，即5x ＋2y －5＝0.类型二直线的截距式方程例2 求过定点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程．解设直线的两截距都是a ，则有①当a ＝0时，直线设为y ＝kx ，将P (2,3)代入得k ＝32，∴直线l 的方程为3x －2y ＝0；②当a ≠0时，直线设为x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a ，把P (2,3)代入得a ＝5，∴直线l 的方程为x ＋y ＝5. ∴直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.反思与感悟如果直线与两坐标轴都相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可．选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．跟踪训练2 (1)直线l 过定点A (－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则直线l 的方程为____________．(2)直线l 过点P (43，2)，且与两坐标轴围成的三角形周长为12，则直线l 的方程为_____________．答案 (1)x ＋2y －4＝0或9x ＋2y ＋12＝0； (2)3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0. 解析 (1)由题意可知直线l 的方程为x a ＋yb＝1(ab ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋3b ＝1，12|ab |＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－43，b ＝－6.∴直线l 的方程为x 4＋y2＝1或x －43＋y－6＝1，即x ＋2y －4＝0或9x ＋2y ＋12＝0. (2)设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0)，由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. 又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b ＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 或15x ＋8y －36＝0.类型三直线方程的综合应用例3 已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．解如图，过B (3，－3)，C (0,2)的两点式方程为y －2－3－2＝x －03－0，整理得5x ＋3y －6＝0. 这就是BC 边所在直线的方程．BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段，由中点坐标公式可得点M 的坐标为(3＋02，－3＋22)，即(32，－12)．过A (－5,0)，M (32，－12)的直线的方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.这就是BC 边上中线所在直线的方程．反思与感悟直线方程的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程． (4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．跟踪训练3 如图，已知正方形ABCD 的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，则正方形边AB ，BC 所在的直线方程分别为__________________________________．对称轴所在直线的方程为__________________．答案 x ＋y －22＝0，x －y ＋22＝0y ＝±x ，x ＝0，y ＝0解析 ∵AB ＝4，在Rt△OAB 中，|OA |2＋|OB |2＝|AB |2， ∴|OA |＝|OB |＝22，由直线的截距式方程可得AB 的直线方程为 x 22＋y22＝1，即x ＋y －22＝0.由上面可得：B (0,22)，C (－22，0)， ∴BC 的直线方程为x －22＋y22＝1，即x －y ＋22＝0，易得对称轴所在直线的方程为y ＝±x ，x ＝0，y ＝0.1．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为( ) A ．y ＝x ＋3 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝x ＋2 D ．y ＝－x －2答案 A解析代入两点式得直线方程y －14－1＝x ＋21＋2，整理得y ＝x ＋3.2．经过P (4,0)，Q (0，－3)两点的直线方程是( ) A.x 4＋y 3＝1 B.x 3＋y 4＝1 C.x 4－y3＝1 D.x 3－y4＝1 答案 C解析由点坐标知直线在x 轴，y 轴上的截距分别为4，－3，所以直线方程为x 4＋y －3＝1，即x 4－y3＝1.3．经过M (3,2)与N (6,2)两点的直线方程为( ) A ．x ＝2 B ．y ＝2 C ．x ＝3 D ．x ＝6 答案 B解析由M ，N 两点的坐标可知，直线MN 与x 轴平行，所以直线方程为y ＝2，故选B. 4．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________________．答案 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 解析 ①若直线过原点，则k ＝－43，∴y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点，设x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a . ∴a ＝3＋(－4)＝－1，∴x ＋y ＋1＝0.5．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上的高AD 所在直线的方程； (3)BC 边上的中线AE 所在直线的方程．解 (1)直线BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)由(1)知k BC ＝－12，则k AD ＝2，又AD 过A (－3,0)，故直线AD 的方程为y ＝2(x ＋3)，即2x －y ＋6＝0. (3)BC 边中点为E (0,2)，故AE 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点： (1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x 、y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．一、选择题1．下列说法正确的是( ) A ．方程y －y 1x －x 1＝k 表示过点P 1(x 1，y 1)且斜率为k 的直线 B ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点为B (0，b )，其中截距b ＝|OB | C ．在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b 的直线方程为x a ＋y b＝1D ．方程(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)表示过任意不同两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程答案 D 解析方程y －y 1x －x 1＝k 表示过P 1(x 1，y 1)且斜率为k 的直线，但不包括点P 1(x 1，y 1)，故A 错；对于B ，截距可正、可负、可为零，从而错误；对于截距式方程x a ＋y b＝1中要求ab ≠0. 2．直线x a 2－y b2＝1在y 轴上的截距是( ) A ．|b | B ．－b 2C ．b 2D ．±b 答案 B解析令x ＝0得，y ＝－b 2.3．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0答案 B解析因为k AB ＝1－3－5－1＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)，所以所求直线方程为y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0. 4．若直线x a ＋y b＝1过第一、二、三象限，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <0 答案 C解析因为直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，且经过第一、二、三象限，故a <0，b >0.5．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )答案 A解析两条直线化为截距式分别为x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a＝1. 假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．6．过点(4，－3)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条答案 C解析当a ≠0且在两坐标轴上截距相等时，设直线方程为x a ＋y a＝1， ∵(4，－3)在直线上， ∴4a －3a＝1得a ＝1，∴直线方程为x ＋y －1＝0；当a ≠0，且截距互为相反数时，设直线方程x a －y a＝1，∵(4，－3)在直线上，即4a ＋3a＝1，解得：a ＝7，∴直线方程为x －y －7＝0，当与两坐标轴上截距都为零时，可设直线方程为y ＝kx ，由－3＝4k ，得k ＝－34，∴y ＝－34x ，∴所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或y ＝－34x ，故共3条．二、填空题7．过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是_____________．答案 x 2＋y6＝1解析设A (m,0)，B (0，n )，由P (1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6，即A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,6)．则l 的方程为x 2＋y6＝1.8．过点(－2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________________．答案 3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0 解析该直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，将x ＝－2，y ＝3代入得：k ＝－32，∴直线方程为3x ＋2y ＝0. 当与两坐标轴截距不为零时，设直线方程为x a －y a＝1， ∵直线过点(－2,3)，即－2a －3a＝1，得a ＝－5，∴直线方程为x －y ＋5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0.9．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是______________．答案 3x ＋2y －6＝0解析由题意知，直线在y 轴上的截距为3，则在x 轴上的截距为2，∴该直线截距式方程为x 2＋y3＝1即3x ＋2y －6＝0.三、解答题10．求经过点P (－5，－4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程．解设所求直线方程为x a ＋y b ＝1.∵直线过点P (－5，－4)，∴－5a ＋－4b＝1，① 于是得4a ＋5b ＝－ab ，又由已知，得12|a |·|b |＝5，即|ab |＝10.②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋5b ＝－ab ，|ab |＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－52，b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2. 故所求直线方程为x －52＋y 4＝1或x 5＋y －2＝1. 即8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0.11．在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的方程．解 (1)设C (x 0，y 0)，则AC 边的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0－22， BC 边的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋72，y 0＋32，因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0得x 0＝－5. 又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3.即C (－5，－3)．(2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎪⎫0，－52，N (1,0)，所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1.12．已知三角形的顶点是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)．(1)求直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若过点C 的直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围．解 (1)由两点式得直线AB 的方程为y －0－3－0＝x －－53－－5，整理得3x ＋8y ＋15＝0.直线AB 在x 轴上的截距为－5，在y 轴上的截距为－158，所以直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×5×158＝7516. (2)因为k AC ＝2－00－－5＝25， k BC ＝2－－30－3＝－53.要使过点C 的直线l 与线段AB 相交，结合图形知k ≥25或k ≤－53.。

高中数学 3.2 直线的方程 3.2.2 直线的两点式方程课时作业新人教A版必修2-新人教A版高一

第三章 3.2 直线的两点式方程一、选择题1．直线x 2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为( B )A ．2,5B ．2，－5C ．－2，－5D ．－2,5[解析] 将x 2－y 5＝1化成直线截距式的标准形式为x 2＋y －5＝1，故直线x 2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为2、－5.2．已知点M (1，－2)、N (m,2)，若线段MN 的垂直平分线的方程是x2＋y ＝1，则实数m的值是( C )A ．－2B ．－7C ．3D ．1[解析] 由中点坐标公式，得线段MN 的中点是(1＋m 2，0)．又点(1＋m2，0)在线段MN的垂直平分线上，所以1＋m4＋0＝1，所以m ＝3，选C ．3．如右图所示，直线l 的截距式方程是x a ＋y b＝1，则有( B )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0[解析] 很明显M (a,0)、N (0，b )，由图知M 在x 轴正半轴上，N 在y 轴负半轴上，则a >0，b <0.4．已知△ABC 三顶点A (1,2)、B (3,6)、C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为( A )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝0[解析] 点M 的坐标为(2,4)，点N 的坐标为(3,2)，由两点式方程得y －24－2＝x －32－3，即2x ＋y －8＝0.5．如果直线l 过(－1，－1)、(2,5)两点，点(1 008，b )在直线l 上，那么b 的值为( D ) A ．2 014B ．2 015C ．2 016D ．2 017[解析] 根据三点共线，得5－－12－－1＝b －51 008－2，得b ＝2 017.6．两直线x m －yn ＝1与x n －y m＝1的图象可能是图中的哪一个( B )[解析] 直线x m －y n＝1化为y ＝n m x －n ，直线x n －ym＝1化为 y ＝mnx －m ，故两直线的斜率同号，故选B ． 7．已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线y ＝2x 和x ＋ay ＝0上，且线段AB 的中点为P (0，10a)，则直线AB 的方程为( C )A ．y ＝－34x ＋5B ．y ＝34x －5C ．y ＝34x ＋5D ．y ＝－34x －5[解析] 依题意，a ＝2，P (0,5)．设A (x 0,2x 0)、B (－2y 0，y 0)，则由中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0－2y 0＝02x 0＋y 0＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4y 0＝2，所以A (4,8)、B (－4,2)．由直线的两点式方程，得直线AB 的方程是y －82－8＝x －4－4－4，即y ＝34x ＋5，选C ．8．过P (4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有( B ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[解析] 解法一：设直线方程为y ＋3＝k (x －4)(k ≠0)．令y ＝0得x ＝3＋4kk，令x ＝0得y ＝－4k －3.由题意，3＋4k k ＝－4k －3，解得k ＝－34或k ＝－1.因而所求直线有两条，∴应选B ．解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为(a,0)，(0，a )，a ≠0，则直线方程为x a ＋y a＝1，把点P (4，－3)的坐标代入方程得a ＝1.∴所求直线有两条，∴应选B ．二、填空题9．已知点P (－1,2m －1)在经过M (2，－1)、N (－3,4)两点的直线上，则m ＝__32__.[解析] 解法一：MN 的直线方程为：y ＋14＋1＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0，代入P (－1,2m －1)得m ＝32.解法二：M 、N 、P 三点共线， ∴4－2m －1－3＋1＝4－－1－3－2，解得m ＝32.10．(2016～2017·某某高一检测)已知直线l 的斜率为6，且在两坐标轴上的截距之和为10，则此直线l 的方程为__6x －y ＋12＝0__.[解析] 设l ：y ＝6x ＋b ，令y ＝0得x ＝－b6.由条件知b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 6＝10，∴b ＝12. ∴直线l 方程为y ＝6x ＋12.解法2：设直线l ：x a ＋y b ＝1，变形为y ＝－b ax ＋b .由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－b a＝6，a ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝12，a ＝－2.∴直线l 方程为x－2＋y12＝1.即6x －y ＋12＝0.三、解答题11．求分别满足下列条件的直线l 的方程：(1)斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；(2)经过两点A (1,0)、B (m,1)；(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．[解析](1)设直线l 的方程为y ＝34x ＋b .令y ＝0，得x ＝－43b ，∴12|b ·(－43b )|＝6，b ＝±3. ∴直线l 的方程为y ＝43x ±3.(2)当m ≠1时，直线l 的方程是y －01－0＝x －1m －1，即y ＝1m －1(x －1) 当m ＝1时，直线l 的方程是x ＝1. (3)设l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b . 当a ≠0，b ≠0时，l 的方程为x a ＋y b＝1； ∵直线过P (4，－3)，∴4a －3b＝1.又∵|a |＝|b |， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a －3b ＝1a ＝±b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7b ＝－7.当a ＝b ＝0时，直线过原点且过(4，－3)， ∴l 的方程为y ＝－34x .综上所述，直线l 的方程为x ＋y ＝1或x 7＋y －7＝1或y ＝－34x .12．△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)、B (－2,6)、C (－8,0). (1)分别求边AC 和AB 所在直线的方程； (2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程； (3)求AC 边的中垂线所在直线的方程； (4)求AC 边上的高所在直线的方程； (5)求经过两边AB 和AC 的中点的直线方程．[解析] (1)由A (0,4)，C (－8,0)可得直线AC 的截距式方程为x －8＋y4＝1，即x －2y ＋8＝0.由A (0,4)，B (－2,6)可得直线AB 的两点式方程为y －46－4＝x －0－2－0，即x ＋y －4＝0.(2)设AC 边的中点为D (x ，y )，由中点坐标公式可得x ＝－4，y ＝2，所以直线BD 的两点式方程为y －62－6＝x ＋2－4＋2，即2x －y ＋10＝0.(3)由直线AC 的斜率为k AC ＝4－00＋8＝12，故AC 边的中垂线的斜率为k ＝－2.又AC 的中点D (－4,2)，所以AC 边的中垂线方程为y －2＝－2(x ＋4)，即2x ＋y ＋6＝0.(4)AC 边上的高线的斜率为－2，且过点B (－2,6)，所以其点斜式方程为y －6＝－2(x ＋2)，即2x ＋y －2＝0.(5)AB 的中点M (－1,5)，AC 的中点D (－4,2)，∴直线DM 方程为y －25－2＝x －－4－1－－4，即x －y ＋6＝0.13．已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在此抛物线上，点N 在y 轴上，以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，求点M 的坐标.[解析] 容易求得抛物线与x 轴的交点分别为(－3,0)、(1,0)不妨设A (－3,0)、B (1,0)，由已知，设M (a ，b )、N (0，n )，根据平行四边形两条对角线互相平分的性质，可得两条对角线的中点重合．按A 、B 、M 、N 两两连接的线段分别作为平行四边形的对角线进行分类，有以下三种情况：①若以AB 为对角线，可得a ＋0＝－3＋1，解得a ＝－2； ②若以AN 为对角线，可得a ＋1＝－3＋0，解得a ＝－4； ③若以BN 为对角线，可得a ＋(－3)＝1＋0，解得a ＝4.因为点M 在抛物线上，将其横坐标的值分别代入抛物线的解析式，可得M (－2,3)或M (－4，－5)或M (4，－21)．。

(统编版)2020学年高中数学3.2直线的方程3.2.2直线的两点式方程课时作业新人教A版必修6

第三章 3.2 3.2.2直线的两点式方程一、选择题1．直线x 2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为 ( B )A ．2,5B ．2，－5C ．－2，－5D ．－2,5[解析] 将x 2－y 5＝1化成直线截距式的标准形式为x 2＋y －5＝1，故直线x 2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为2、－5.2．已知点M (1，－2)、N (m,2)，若线段MN 的垂直平分线的方程是x2＋y ＝1，则实数m的值是 ( C )A ．－2B ．－7C ．3D ．1[解析] 由中点坐标公式，得线段MN 的中点是(1＋m 2，0)．又点(1＋m2，0)在线段MN的垂直平分线上，所以1＋m4＋0＝1，所以m ＝3，选C ．3．如右图所示，直线l 的截距式方程是x a ＋y b＝1，则有 ( B )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0[解析] 很明显M (a,0)、N (0，b )，由图知M 在x 轴正半轴上，N 在y 轴负半轴上，则a >0，b <0.4．已知△ABC 三顶点A (1,2)、B (3,6)、C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为 ( A )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝0[解析] 点M 的坐标为(2,4)，点N 的坐标为(3,2)，由两点式方程得y －24－2＝x －32－3，即2x ＋y －8＝0.5．如果直线l 过(－1，－1)、(2,5)两点，点(1 008，b )在直线l 上，那么b 的值为 ( D ) A ．2 014B ．2 015C ．2 016D ．2 017[解析] 根据三点共线，得5－－12－－1＝b －51 008－2，得b ＝2 017.6．两直线x m －yn ＝1与x n －y m＝1的图象可能是图中的哪一个 ( B )[解析] 直线x m －y n＝1化为y ＝n m x －n ，直线x n －ym＝1化为 y ＝mnx －m ，故两直线的斜率同号，故选B ． 7．已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线y ＝2x 和x ＋ay ＝0上，且线段AB 的中点为P (0，10a)，则直线AB 的方程为 ( C )A ．y ＝－34x ＋5B ．y ＝34x －5C ．y ＝34x ＋5D ．y ＝－34x －5[解析] 依题意，a ＝2，P (0,5)．设A (x 0,2x 0)、B (－2y 0，y 0)，则由中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0－2y 0＝02x 0＋y 0＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4y 0＝2，所以A (4,8)、B (－4,2)．由直线的两点式方程，得直线AB 的方程是y －82－8＝x －4－4－4，即y ＝34x ＋5，选C ．8．过P (4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有 ( B ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[解析] 解法一：设直线方程为y ＋3＝k (x －4)(k ≠0)．令y ＝0得x ＝3＋4kk，令x ＝0得y ＝－4k －3.由题意，3＋4k k ＝－4k －3，解得k ＝－34或k ＝－1.因而所求直线有两条，∴应选B ．解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为(a,0)，(0，a )，a ≠0，则直线方程为x a ＋ya＝1，把点P (4，－3)的坐标代入方程得a ＝1.∴所求直线有两条，∴应选B ．二、填空题9．已知点P (－1,2m －1)在经过M (2，－1)、N (－3,4)两点的直线上，则m ＝__32__.[解析] 解法一：MN 的直线方程为：y ＋14＋1＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0，代入P (－1,2m －1)得m ＝32.解法二：M 、N 、P 三点共线， ∴4－2m －1－3＋1＝4－－1－3－2，解得m ＝32.10．(2016～2017·衡水高一检测)已知直线l 的斜率为6，且在两坐标轴上的截距之和为10，则此直线l 的方程为__6x －y ＋12＝0__.[解析] 设l ：y ＝6x ＋b ，令y ＝0得x ＝－b6.由条件知b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 6＝10，∴b ＝12.∴直线l 方程为y ＝6x ＋12.解法2：设直线l ：x a ＋y b ＝1，变形为y ＝－b ax ＋b .由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－b a＝6，a ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝12，a ＝－2.∴直线l 方程为x－2＋y12＝1.即6x －y ＋12＝0.三、解答题11．求分别满足下列条件的直线l 的方程：(1)斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；(2)经过两点A (1,0)、B (m,1)；(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． [解析] (1)设直线l 的方程为y ＝34x ＋b .令y ＝0，得x ＝－43b ，∴12|b ·(－43b )|＝6，b ＝±3. ∴直线l 的方程为y ＝43x ±3.(2)当m ≠1时，直线l 的方程是y －01－0＝x －1m －1，即y ＝1m －1(x －1) 当m ＝1时，直线l 的方程是x ＝1. (3)设l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b . 当a ≠0，b ≠0时，l 的方程为x a ＋y b＝1； ∵直线过P (4，－3)，∴4a －3b＝1.又∵|a |＝|b |， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a －3b ＝1a ＝±b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7b ＝－7.当a ＝b ＝0时，直线过原点且过(4，－3)， ∴l 的方程为y ＝－34x .综上所述，直线l 的方程为x ＋y ＝1或x 7＋y －7＝1或y ＝－34x .12．△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)、B (－2,6)、C (－8,0). (1)分别求边AC 和AB 所在直线的方程； (2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程； (3)求AC 边的中垂线所在直线的方程； (4)求AC 边上的高所在直线的方程； (5)求经过两边AB 和AC 的中点的直线方程．[解析] (1)由A (0,4)，C (－8,0)可得直线AC 的截距式方程为x －8＋y4＝1，即x －2y ＋8＝0.由A (0,4)，B (－2,6)可得直线AB 的两点式方程为y －46－4＝x －0－2－0，即x ＋y －4＝0.(2)设AC 边的中点为D (x ，y )，由中点坐标公式可得x ＝－4，y ＝2，所以直线BD 的两点式方程为y －62－6＝x ＋2－4＋2，即2x －y ＋10＝0.(3)由直线AC 的斜率为k AC ＝4－00＋8＝12，故AC 边的中垂线的斜率为k ＝－2.又AC 的中点D (－4,2)，所以AC 边的中垂线方程为y －2＝－2(x ＋4)，即2x ＋y ＋6＝0.(4)AC 边上的高线的斜率为－2，且过点B (－2,6)，所以其点斜式方程为y －6＝－2(x ＋2)，即2x ＋y －2＝0.(5)AB 的中点M (－1,5)，AC 的中点D (－4,2)，∴直线DM 方程为y －25－2＝x －－4－1－－4，即x －y ＋6＝0.13．已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在此抛物线上，点N 在y 轴上，以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，求点M 的坐标.[解析] 容易求得抛物线与x 轴的交点分别为(－3,0)、(1,0)不妨设A (－3,0)、B (1,0)，由已知，设M (a ，b )、N (0，n )，根据平行四边形两条对角线互相平分的性质，可得两条对角线的中点重合．按A 、B 、M 、N 两两连接的线段分别作为平行四边形的对角线进行分类，有以下三种情况：①若以AB 为对角线，可得a ＋0＝－3＋1，解得a ＝－2； ②若以AN 为对角线，可得a ＋1＝－3＋0，解得a ＝－4； ③若以BN 为对角线，可得a ＋(－3)＝1＋0，解得a ＝4.因为点M 在抛物线上，将其横坐标的值分别代入抛物线的解析式，可得M (－2,3)或M (－4，－5)或M (4，－21)．。

高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程限时规范训练新人教A必修2

3.2.2 直线的两点式方程【基础练习】1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( )A．可以写成两点式或截距式B．可以写成两点式或斜截式或点斜式C．可以写成点斜式或截距式D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式【答案】B【解析】由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．故选B．2．直线xa＋yb＝1过第一、二、三象限，则( )A．a>0，b>0 B．a>0，b<0C．a<0，b>0 D．a<0，b<0【答案】C【解析】因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b 且经过第一、二、三象限，所以a<0，b>0.3．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A ．y ＝3x －8 B ．y ＝－3x －4 C ．y ＝3x ＋6 D ．y ＝－3x －2【答案】B【解析】k AB ＝1－3－5－1＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)，所以所求方程为y －2＝－3(x ＋2)，化简为y ＝－3x －4.4．已知△ABC 三顶点坐标A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为( )A ．y ＝－2x ＋8B ．y ＝2x ＋8C ．y ＝－2x ＋12D ．y ＝2x －12 【答案】A【解析】由中点坐标公式可得M (2,4)，N (3,2)，再由两点式可得直线MN 的方程为y －42－4＝x －23－2，即y ＝－2x ＋8.5．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x 0，y 0)在线段AB 上移动，则4x 0＋3y 0的值等于________．【答案】12【解析】AB 所在直线方程为x 3＋y 4＝1，则x 03＋y 04＝1，即4x 0＋3y 0＝12.6．过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是________．【答案】x 2＋y6＝1【解析】设A (m,0)，B (0，n )，由P (1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6，即A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,6)．则l 的方程为x 2＋y6＝1.7．已知直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1且过点(6，－2)，求直线l 的方程．【解析】方法一：设直线l 的点斜式方程为y ＋2＝k (x －6)(k ≠0)．令x ＝0，得y ＝－6k －2；令y ＝0，得x ＝2k＋6.于是⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k ＋6－(－6k －2)＝1，解得k ＝－23或k ＝－12.故直线l 的方程为y ＋2＝－23(x －6)或y ＋2＝－12(x －6)，即y ＝－23x ＋2或y ＝－12x ＋1. 方法二：设直线l 的截距式方程为xb ＋1＋y b＝1，∵直线l 过点(6，－2)，∴6b ＋1＋－2b ＝1，解得b 1＝1，b 2＝2.∴直线l 的方程为x 2＋y ＝1或x 3＋y2＝1.8．已知△ABC 的三顶点是A (－1，－1)，B (3,1)，C (1,6)，直线l 平行于AB ，交AC ，BC 分别于E ，F ，△CEF 的面积是△CAB 面积的14.求直线l 的方程．【解析】由已知，直线AB 的斜率k ＝1＋13＋1＝12.因为EF ∥AB ，所以直线EF 的斜率为12.因为△CEF 的面积是△CAB 面积的14且△CEF ∽△CAB ，所以△CEF 与△CAB 的相似比是12，即CE CA ＝12，所以E 是CA 的中点．点E 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，52. 所以直线l 的方程是y ＝12x ＋52.【能力提升】9．(年江西南昌校级模拟)已知点M (1，－2)，N (m ，2)，若线段MN 的垂直平分线的方程是x2＋y ＝1，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1【答案】C【解析】由中点坐标公式得线段MN的中点是⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋m 2，0，k MN ＝4m －1，所以1＋m 4＋0＝1且4m －1＝2，解得m ＝3.故选C ． 10．过点P (－2,2)作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条【答案】B【解析】由题意可设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a <0，b >0)，于是⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＝1，12－a ·b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4.故满足条件的直线l 一共有1条．11．由一条直线2x －y ＋2＝0与两坐标轴围成一直角三角形，则该三角形外接圆半径为________．【答案】52【解析】因为所围成的直角三角形的斜边长为该三角形的外接圆的直径，该直线在两坐标轴上的截距分别为－1和2，所以该直角三角形的斜边长为12＋22＝5，所以外接圆的半径r ＝52.12．如图所示，已知直线l 过点P (3,2)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求△AOB 面积最小时l 的方程．【解析】设A (a,0)，B (0，b )，显然a >3，b >2，则直线l 的方程为x a ＋yb＝1，∵P (3,2)在直线l 上，∴3a ＋2b ＝1，于是b ＝2aa －3.∴S △ABC ＝12ab ＝a 2a －3，整理得a 2－S △ABC ·a ＋3S △ABC ＝0(*)．∵此方程有解，∴Δ＝S 2△ABC －12S △ABC ≥0. 又S △ABC >0，∴S △ABC ≥12，S △ABC 最小值＝12. 将S △ABC ＝12代入(*)式，得a 2－12a ＋36＝0，解得a ＝6，b ＝4. 此时直线l 的方程为x 6＋y4＝1.。