2016年秋人教版九年级数学上典中点课后作业24.2.3切线(A).doc

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初中数学人教版九年级上册第24章圆24.2点和圆直线24.2.2第3课时切线长定理和三角形的内切圆测试题

初中数学人教版九年级上册实用资料第3课时切线长定理和三角形的内切圆1．如图24230所示，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( )图24230A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点2．如图24231，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径．已知∠P＝40°，则∠ACB的大小是( )图24231A．60° B．65°C．70° D．75°3．如图24232所示，PA，PB切⊙O于A，B两点，点C是上一动点，过点C作⊙O的切线交PA于点M，交PB于点N.若∠P＝48°，则∠MON＝( )图24232A．60° B．62°C．66° D．无法确定4．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为( )A. 2 B．22－2C．2－ 2 D.2－25．如图24233，△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，∠A＝75°，∠B＝45°，则圆心角∠EOF＝____.图242336．如图24234所示，直尺、三角尺都和⊙O相切，AB＝8 cm.求⊙O的直径．图242347．如图24235所示，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连接PO，与AB相交于点D，点C 是⊙O上一点，∠C＝60°.(1)求∠APB的大小；(2)若OP＝20 cm，求△AOB的面积．图242358．如图24236，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm.求：(1)∠BOC的度数；(2)BE＋CG的长；(3)⊙O的半径．图24236参考答案1．B 2.C 3.C 4.B 5.120°6.⊙O的直径是163cm.7.(1)∠APB＝60°.(2)S△AOB＝253(cm2)．8.(1)∠BOC＝90°.(2)BE＋CG＝10cm.(3)⊙O的半径为4.8 cm.。

人教版九年级上《24.2.3切线的判定和性质》同步练习（含答案）

2022-2023人教版数学九年级上册同步练习24.2.3 切线的判定和性质一．选择题（共15小题）1．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆的半径是13，AB=24，则小圆的半径是（）A．4B．5C．6D．72．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若AB=5，AC=3，则BD的长是（）A．1.5B．2C．2.5D．33．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B、A，∠A=20°，则∠C的度数是（）A．25°B．65°C．50°D．75°4．如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为1，若∠OBA=30°，则OB长为（）A．1B．2C．D．25．如图，∠NAM=30°，O为边AN上一点，以点O为圆心，2为半径作⊙O，交AN边于D、E两点，则当⊙O与AM相切时，AD等于（）A．4B．3C．2D．16．如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD 分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（）A．0B．1C．2D．37．已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（）A．OP=5B．OE=OFC．O到直线EF的距离是4D．OP⊥EF8．如图，网格中的每个小正方形的边长是1，点M，N，O均为格点，点N在⊙O上，若过点M作⊙O的一条切线MK，切点为K，则MK=（）A．3B．2C．5D．9．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P=40°，当∠B等于（）时，PA与⊙O相切．A．20°B．25°C．30°D．40°10．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1B．3C．5D．1或511．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A=60°，∠D=110°，的度数是70°，直线l与⊙O相切于点A．在没有滑动的情况下，将⊙O沿l向右滚动，使O点向右移动70π，则此时⊙O与直线l相切的切点所在的劣弧是（）A．B．C．D．12．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC 相交于点D、E、F是AC上的点，判断下列说法错误的是（）A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥ACC．若BE=EC，则AC是⊙O的切线D．若BE=EC，则AC是⊙O的切线13．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D 是⊙O上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=CD；（4）弧AC=弧AD．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．直线MN与l1相交于M；与l2相交于N，⊙O的半径为1，∠1=60°，直线MN从如图位置向右平移，下列结论①l1和l2的距离为2 ②MN=③当直线MN与⊙O相切时，∠MON=90°④当AM+BN=时，直线MN与⊙O相切．正确的个数是（）A．1B．2C．3D．415．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B 的方向移动，那么（）秒钟后⊙P与直线CD相切．A．4B．8C．4或6D．4或8二．填空题（共6小题）16．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣4，0），半径为1的动圆⊙P沿x 轴正方向运动，若运动后⊙P与y轴相切，则点P的运动距离为．17．如图，直线PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，连接PO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=25°，则∠P的度数为．18．如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，∠OAB=30°．（1）∠APB=；（2）当OA=2时，AP=．19．如图所示，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于M，N两点，⊙O的半径为1，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动s时，直线MN 恰好与圆O相切．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移，使⊙P与y轴相切，则平移的时间为秒．21．已知，如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC，∠P=∠D，过E作弦GF⊥BC交圆于G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（只需填序号）三．解答题（共9小题）22．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，CF切半圆O于点C，BD ⊥CF于为点D，BD与半圆O交于点E．（1）求证：BC平分∠ABD．（2）若DC=8，BE=4，求圆的直径．23．如图，一圆与平面直角坐标系中的x轴切于点A（8，0），与y轴交于点B （0，4），C（0，16），求该圆的直径．24．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．（1）BD=DC吗？说明理由；（2）求∠BOP的度数；（3）求证：CP是⊙O的切线．25．如图，▱ABCD中，⊙O过点A、C、D，交BC于E，连接AE，∠BAE=∠ACE．（1）求证：AE=CD；（2）求证：直线AB是⊙O的切线．26．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．27．如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O；过点C作直线CD交AB的延长线于点D，且BD=OB，CD=CA．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）如图（2），过点C作CE⊥AB于点E，若⊙O的半径为8，∠A=30°，求线段BE．28．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；（3）求证：CD=HF．29．如图，已知A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OB．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．30．如图，AB是半径为2的⊙O的直径，直线m与AB所在直线垂直，垂足为C，OC=3，点P是⊙O上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交m于M、N两点．（1）当点C为MN中点时，连接OP，PC，判断直线PC与⊙O是否相切并说明理由．（2）点P是⊙O上异于A、B的动点，以MN为直径的动圆是否经过一个定点，若是，请确定该定点的位置；若不是，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【解答】解：∵AB=24，OB=OA=13，∴BC=12；在Rt△OCB中，∴OC==5．故选：B．2．【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC=AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP=BD，∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．故选：B．3．【解答】解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC=90°，∠COD=2∠A=40°，∴∠C=90°﹣40°=50°，故选：C．4．【解答】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，连接OA则∠OAB=90°．∵OA=1，∴OB=．故选：B．5．【解答】解：设直线AM与⊙O相切于点K，连接OK．∵AM是⊙O的切线，∴OK⊥AK，∴∠AKO=90°∵∠A=30°，∴AO=2OK=4，∵OD=2，∴AD=OA﹣OD=2，故选：C．6．【解答】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，∵G是BC的中点，∴AG=DG，∴GH垂直平分AD，∴点O在HG上，∵AD∥BC，∴HG⊥BC，∴BC与圆O相切；∵OG=OD，∴点O不是HG的中点，∴圆心O不是AC与BD的交点；而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，∴AF与DE的交点是圆O的圆心；∴（1）错误，（2）（3）正确．故选：C．7．【解答】解：∵点P在⊙O上，∴只需要OP⊥EF即可，故选：D．8．【解答】解：如图所示：MK=，故选：B．9．【解答】解：∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°，∴∠AOP=90°﹣∠P=50°，∵OB=OC，∴∠AOP=2∠B，∴∠B=∠AOP=25°，故选：B．10．【解答】解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3﹣2=1，当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，故选：D．11．【解答】解：连结OC、OD、OA，如图，∵∠D=110°，∴∠B=180°﹣∠D=70°，∴∠AOC=2∠B=140°，∵∠A=60°，∴∠BOD=120°，∵的度数是70°，∴∠COD=70°，∴∠AOD=70°，∠BOC=50°，∴AD弧的长度==π，∴BC弧的长度==π，∵70π=6π•12﹣2π，而2π＞π，∴向右移动了70π，此时与直线l相切的弧为．故选：C．12．【解答】解：A、如图1，连接OE，则OB=OE，∵∠B=60°∴∠BOE=60°，∵∠BAC=60°，∴∠BOE=∠BAC，∴OE∥AC，∵EF⊥AC，∴OE⊥EF，∴EF是⊙O的切线∴A选项正确；B、∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，由A知：OE∥AC，∴AC⊥EF，∴B选项正确；C、∵∠B=60°，OB=OE，∴BE=OB，∵BE=CE，∴BC=AB=2BO，∴AO=OB，如图2，过O作OH⊥AC于H，∵∠BAC=60°，∴OH=AO≠OB，∴C选项错误；D、如图2，∵BE=EC，∴CE=BE，∵AB=BC，BO=BE，∴AO=CE=OB，∴OH=AO=OB，∴AC是⊙O的切线，∴D选项正确．故选：C．13．【解答】解：（1）连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°，在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO=∠PDO=90°，∴PD与⊙O相切，故（1）正确；（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD，在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB（SAS），∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故（2）正确；（3）连接AC，∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA（ASA），∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，∴CO=PO=AB，∴PO=AB，∵AB是⊙O的直径，CD不是直径，∴AB≠CD，∴PO≠DC，故（3）错误；（4）由（2）证得四边形PCBD是菱形，∴∠ABC=∠ABD，∴弧AC=弧AD，故（4）正确；故选：C．14．【解答】解：如图1，∵⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，∴OA⊥l1，OB⊥l2，∵l1∥l2，∴点A、B、O共线，∴l1和l2的距离=AB=2，所以①正确；作NH⊥AM，如图1，则四边形ABNH为矩形，∴NH=AB=2，在Rt△MNH中，∵∠1=60°，∴MH=NH=，∴MN=2MH=，所以②正确；当直线MN与⊙O相切时，如图2，∠1=∠2，∠3=∠4，∵l1∥l2，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠MON=90°，所以③正确；过点O作OC⊥MN于C，如图2，=S△OAM+S△OMN+S△OBN，∵S四边形ABNM∴•1•AM+•1•BN+MN•OC=（BN+AM）•2，即（AM+BN）+MN•OC=AM+BN，∵AM+BN=，MN=，∴OC=1，而OC⊥MN，∴直线MN与⊙O相切，所以④正确．故选：D．15．【解答】解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P1只能在直线CD的左侧，∴P1E⊥CD又∵∠AOD=30°，r=1cm∴在△OEP1中OP1=2cm又∵OP=6cm∴P1P=4cm∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1=4（秒），或P1P=8cm∴圆P到达圆P1需要时间为：8÷1=8（秒），∴⊙P与直线CD相切时，时间为4或8秒．故选：D．二．填空题（共6小题）16．【解答】解：若运动后⊙P与y轴相切，则点P到y轴的距离为1，此时P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），而﹣1﹣（﹣4）=3，1﹣（﹣4）=5，所以点P的运动距离为3或5．故答案为3或5．17．【解答】解：由圆周角定理得，∠AOP=2∠ABC=50°，∵PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，∴∠PAO=90°，∴∠P=90°﹣∠AOP=40°，故答案为：40°．18．【解答】解：（1）∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，∴在四边形OAPB中，∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°，故答案为：60°．（2）如图，连接OP；∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，∴AP===2，故答案为：2．19．【解答】解：作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示．设直线EF的解析式为y=x+b，即x﹣y+b=0，∵EF与⊙O相切，且⊙O的半径为1，∴b2=×1×|b|，解得：b=或b=﹣，∴直线EF的解析式为y=x+或y=x﹣，∴点E的坐标为（，0）或（﹣，0）．令y=x﹣2中y=0，则x=2，∴点M（2，0）．∵根据运动的相对性，且⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，∴移动的时间为2﹣秒或2+秒．故答案为：2﹣或2+．20．【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故答案为2或1021．【解答】解：连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=2∠OBD，∵∠AOD=2∠ABC，∴∠ABC=∠ABD，∴弧AC=弧AD，∵AB是直径，∴CD⊥AB，∴①正确；∵CD⊥AB，∴∠P+∠PCD=90°，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC=∠P，∴∠PCD+∠OCD=90°，∴∠PCO=90°，∴PC是切线，∴②正确；假设OD∥GF，则∠AOD=∠FEB=2∠ABC，∴3∠ABC=90°，∴∠ABC=30°，已知没有给出∠B=30°，∴③错误；∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵EF⊥BC，∴AC∥EF，∴弧CF=弧AG，∴AG=CF，∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，∴CQ=AG，OZ=AG，BZ=BG，∴OZ=CQ，∵OC=OB，∠OQC=∠OZB=90°，∴△OCQ≌△BOZ，∴OQ=BZ=BG，∴④正确．故答案为：①②④．三．解答题（共9小题）22．【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∵BD⊥DF，∴OC∥BD，∴∠1=∠3，∵OB=OC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BC平分∠ABD；（2）解：连结AE交OC于G，如图，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∵OC∥BD，∴OC⊥CD，∴AG=EG，易得四边形CDEG为矩形，∴GE=CD=8，∴AE=2EG=16，在Rt△ABE中，AB==4，即圆的直径为4．23．【解答】解：过圆心O′作y轴的垂线，垂足为D，连接O′A，∵O′D⊥BC，∴D为BC中点，∴BC=16﹣4=12，OD=6+4=10，∵⊙O′与x轴相切，∴O′A⊥x轴，∴四边形OAO′D为矩形，半径O′A=OD=10，24．【解答】解：（1）BD=DC．理由如下：连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）∵AD是等腰△ABC底边上的中线，∴∠BAD=∠CAD，∴，∴BD=DE．∴BD=DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，∴∠DCE=∠ABC=（180°﹣30°）=75°，∴∠DEC=75°，∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30°，∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°，∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45°，∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°，∴∠BOP=90°；（3）设OP交AC于点G，如图，则∠AOG=∠BOP=90°，在Rt△AOG中，∠OAG=30°，∴=，又∵==，∴=，∴=，又∵∠AGO=∠CGP，∴△AOG∽△CPG，∴∠GPC=∠AOG=90°，∴OP⊥PC，∴CP是⊙O的切线；25．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，∠B=∠ADC∵四边形ADCE是⊙O内接四边形∴∠ADC+∠AEC=180°∵∠AEC+∠AEB=180°∴∠ADC=∠AEB∴∠B=∠AEB∴AE=CD（2）如图：连接AO，并延长AO交⊙O交于点F，连接EF．∵AF是直径∴∠AEF=90°∴∠AFE+∠EAF=90°∵∠BAE=∠ECA，∠AFE=∠ACE∴∠AFE=∠BAE∴∠BAE+∠EAF=90°∴∠BAF=90°且AO是半径∴直线AB是⊙O的切线26．【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°；又∵∠P=35°，∴∠AB=90°﹣35°=55°．（2）证明：如图，连接OC，OD、AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ACP=90°；又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；在△OAD和△OCD中，，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP，∴∠OAD=90°，∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线．27．【解答】（1）证明：如图1，连结OC，∵点O为直角三角形斜边AB的中点，∴OC=OA=OB．∴点C在⊙O上，∵BD=OB，∴AB=DO，∵CD=CA，∴∠A=∠D，∴△ACB≌△DCO，∴∠DCO=∠ACB=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：如图2，在Rt△ABC中，BC=ABsin∠A=2×8×sin30°=8，∵∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∴BE=BCcos60°=8×=4．28．【解答】（1）证明：（1）如图，连接OE．∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，∴BF是圆O的直径，∴OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）证明：∵∠C=∠BHE=90°，∠EBC=∠EBA，∴BEC=∠BEH，∵BF是⊙O是直径，∴∠BEF=90°，∴∠FEH+∠BEH=90°，∠AEF+∠BEC=90°，∴∠FEH=∠FEA，∴FE平分∠AEH．（3）证明：如图，连结DE．∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE，∵∠C=∠EHF=90°，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF，29．【解答】解：（1）如图，连接OA；∵OC=BC，AC=OB，∴OC=BC=AC=OA．∴△ACO是等边三角形．∴∠O=∠OCA=60°，∵AC=BC，∴∠CAB=∠B，又∠OCA为△ACB的外角，∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B，∴∠B=30°，又∠OAC=60°，∴∠OAB=90°，∴AB是⊙O的切线；（2）解：作AE⊥CD于点E，∵∠O=60°，∴∠D=30°．∵∠ACD=45°，AC=OC=2，∴在Rt△ACE中，CE=AE=；∵∠D=30°，∴AD=2，∴DE=AE=，∴CD=DE+CE=+．30．【解答】解：（1）直线PC与⊙O相切，理由是：如图1，∵AC⊥MN，∴∠ACM=90°，∴∠A+∠AMC=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=∠NPM=90°，∴∠PNM+∠AMC=90°=∠A+∠ABP，∴∠ABP=∠AMC，∵OP=OB，∴∠ABP=∠OPB，Rt△PMN中，C为MN的中点，∴PC=CN，∴∠PNM=∠NPC，∴∠OPC=∠OPB+∠NPC=∠ABP+∠PNM=∠AMC+∠PNM=90°，即OP⊥PC，∴直线PC与⊙O相切；（2）如图2，设该圆与AC的交点为D，连接DM、DN，∵MN为直径，∴∠MDN=90°，则∠MDC+∠NDC=90°，∵∠DCM=∠DCN=90°，∴∠MDC+∠DMC=90°，∴∠NDC=∠DMC，则△MDC∽△DNC，∴，即DC2=MC•NC∵∠ACM=∠NCB=90°，∠A=∠BNC，∴△ACM∽△NCB，∴，即MC•NC=AC•BC；即AC•BC=DC2，∵AC=AO+OC=2+3=5，BC=3﹣2=1，∴DC2=5，∴DC=，∵MN⊥DD'，∴D'C=DC=，∴以MN为直径的一系列圆经过两个定点D和D'，此定点在C的距离都是．。

24.2.3+切线的判定和性质课件+2023-—2024学年人教版数学九年级上册

1.[2023眉山中考]如图，AB切⊙ O于点B，连接OA
交⊙ O于点C，BD//OA交⊙ O于点D，连接CD，
若∠OCD = 25∘ ，则∠A的度数为(
A.25∘
B.35∘
C.40∘
C )
D.45∘
第1题图
【解析】如图，连接OB. ∵ AB切⊙ O于点B，
∴ OB ⊥ AB，∴ ∠ABO = 90∘ . ∵ BD//OA，
AE的长为(
B )
A.1
B. 2
C.2
D.2
2
第2题图
【解析】 ∵ OA是⊙ O的半径，AE是⊙ O的切线，
∴ ∠A = 90∘ . ∵ ∠AOC = 45∘ ，OA ⊥ BC，∴△ CDO和△ EAO都是等腰直角
三角形，∴ OD = CD，OA = AE. ∵ OA ⊥ BC，∴ CD =
1
BC
线，∴ ∠OPB = 90∘ . ∵ ∠ABC = 90∘ ，∴ OP//BC，
∴ ∠CBD = ∠POB = 40∘ ．
8.如图，已知AB为⊙ O的直径，C为⊙ O上一点，
点D为BA的延长线上一点，连接CD.若DC与⊙ O
相切，点E为OA上一点，且∠ACD = ∠ACE.求
证：CE ⊥ AB.
证明：∵ 与⊙ 相切，
AC是⊙ O的切线，A为切点，BC经过圆心.若
∠B = 21∘ ，则∠C的度数是(
A.21∘
B.42∘
C )
C.48∘
D.69∘
第6题图
【解析】如图，连接OA. ∵ AC是⊙ O的切线，A
为切点，∴ AC ⊥ OA，
∴ ∠OAC = 90∘ . ∵ ∠B = 21∘ ，
∴ ∠AOC = 2∠B = 2 × 21∘ = 42∘ ，

《24.2.2 第3课时切线长定理》教案、导学案、同步练习

《第3课时切线长定理》教案【教学目标】1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．【教学过程】一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O 的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO ＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等．【类型二】求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r 解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C. 三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.《第3课时切线长定理》教案【教学目标】：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。

人教版九年级数学上册24.2.3《切线的判定和性质》教学设计

人教版九年级数学上册24.2.3《切线的判定和性质》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册24.2.3《切线的判定和性质》这一节主要介绍了直线与圆的位置关系，特别是圆的切线。

学生将学习如何判定一条直线是否为圆的切线，以及切线与圆的性质。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握切线的相关知识。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对直线、圆等基本几何图形有一定的了解。

但是，对于切线的判定和性质，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，逐步引导他们理解和掌握切线的判定和性质。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解切线的定义，学会判定一条直线是否为圆的切线，掌握切线的性质。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、推理等数学活动，培养学生的几何思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：切线的定义，判定一条直线是否为圆的切线，切线的性质。

2.难点：理解并掌握切线的判定定理，以及如何运用到实际问题中。

五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的实例，引导学生观察、分析和推理，让学生在实际情境中理解切线的定义和性质。

2.问题驱动法：提出问题，引导学生思考，激发学生的求知欲，培养学生解决问题的能力。

3.合作学习法：学生进行小组讨论，鼓励学生互相交流、分享，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，展示切线的定义、判定和性质。

2.练习题：准备一些有关切线的练习题，以便在课堂上进行操练和巩固。

3.教学道具：准备一些圆形模型和直线模型，以便在课堂上进行直观展示。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的圆形物体，如篮球、乒乓球等，引导学生观察这些圆形物体上的切线。

然后提出问题：“你们认为，什么是切线？切线有哪些特点？”2.呈现（10分钟）介绍切线的定义，通过动画演示切线的形成过程，让学生直观地理解切线的定义。

人教版九年级数学上册：24.1.3 课后作业：方案(A)部

24.1.3 弧、弦、圆心角课后作业：方案（A）一、教材题目：P89-P90 T3、T4、T13,∠C=75°.求∠A的度数.1．如图，⊙O中，AB AC与的长度，并证明你的结论.2．如图，AD=BC,比较AB CD3.如图，A,B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是的中点.求证：四边形OACB 是菱形.二、补充题目：部分题目来源于《典中点》4．如图所示，点A，B，C，D均在⊙O上，且∠AOB＝∠COD，连接AC，BD，有下列结论：①AB ＝CD ；②∠AOC ＝∠BOD ；③AC ︵＝BC ︵；④△AOC ≌△BOD .其中正确的结论是________(写序号即可)．5. 如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，若点P 是直径AB 上的一动点，则PD ＋PC 的最小值为________．6．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵，∠COD ＝60°. (1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC ∥BD .7．如图，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交AD ，BC 于点E ， F ，延长BA 交⊙A 于点G . (1)求证：GE ︵＝EF ︵；(2)若BF ︵的度数为50°，求∠C 的度数．8．(1)如图，在⊙O 中，∠AOB ＝90°，且C ，D 是AB ︵的三等分点，AB 分别交 OC ，OD 于点E ，F .求证：AE ＝BF ＝CD .[第16(1)题](2)在(1)题中，如果∠AOB ＝120°，其他条件不变，如图所示，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由．[第16(2)题]答案一、教材1．解：AB ︵＝AC ︵⇒AB ＝AC ⇒⎭⎬⎫∠B ＝∠C ∠C ＝75°⇒∠A ＝180°－2×75°＝30°. 点拨：等弧所对的弦相等，所对的圆周角也相等．2．解：AB ︵＝CD ︵.证明：AD ＝BC ⇒AD ︵＝BC ︵⇒AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵⇒CD ︵＝AB ︵.点拨：在⊙O 中，由AD ＝BC ，得AD ︵＝BC ︵，进而可知AB ︵＝CD ︵. 3．证明：连接OC .⎭⎪⎬⎪⎫∠AOB ＝120°C 为AB ︵的中点⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧∠AOC ＝60°∠BOC ＝60°OA ＝OC ＝OB ⇒ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫OA ＝OC ＝AC OB ＝OC ＝BC ⇒AO ＝OB ＝BC ＝AC ⇒四边形OACB 是菱形．点拨：四条边都相等的四边形是菱形．二、典中点4. ①②④ 点拨：由∠AOB ＝∠COD 可得 ∠AOC ＝∠BOD ，而OA ＝OC ＝OB ＝OD ，故可得①②④均正确，与弧AC 一定相等的是弧BD ，故③错误． 5．10 点拨：作点C 关于AB 的对称点C ′，连接OC ，OD ，OC ′，BC ′，∵ BC ＝CD ＝DA ，∴∠AOD ＝∠COD ＝∠BOC ＝60°.∵C 与C ′关于AB 对称，∴BC ′＝BC .∴∠BOC ′＝60°.∴D ，O ，C ′在同一条直线上．∴ DC ′＝AB ＝10，即PD ＋PC 的最小值为10，此时P 与O 重合． 6．(1)解：△AOC 是等边三角形．理由如下： ∵AC ︵＝CD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°. 又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形． (2)证明：∵∠BOD ＝180°－∠AOC －∠COD ，∴∠BOD ＝180°－60°－60°＝60°，又∵OB ＝OD ，∴△OBD 为等边三角形， ∴∠D ＝60°，∴∠D ＝∠COD ，∴OC ∥BD .解题策略：本题利用了转化思想，通过利用在同圆中等弧所对的圆心角相等，求得角的度数，然后通过∠BOD 实现了角之间的转化，从而使问题得以解决．7．(1)证明：连接AF ，则AB ＝AF ，∴∠ABF ＝∠AFB .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EAF ＝∠AFB ，∠GAE ＝∠ABF ，∴∠GAE ＝∠EAF ，∴GE ︵＝ EF ︵.(2)解：∵BF ︵的度数为50°，∴∠BAF ＝50°.∴∠ABF ＝∠AFB ＝65°.又 ∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＋∠C ＝180°，∴∠C ＝180°－∠ABF ＝115°.解题策略：在同圆中，圆心角、弧、弦之间的关系是证弧相等、角相等、线段相等的依据，一般在分析时，哪一组量与所证问题最贴近，就应构造这一组量，再证明相等． 8．(1)证明：连接AC ，BD .∵C ，D 是AB ︵的三等分点， ∴AC ︵＝CD ︵＝BD ︵， ∴AC ＝CD ＝BD .∵∠AOB ＝90°，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝30°. ∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝45°. ∴∠AEC ＝∠AOC ＋∠OAB ＝75°. ∵OA ＝OC ，∠AOC ＝30°，∴∠ACE ＝12×(180°－30°)＝75°＝∠AEC .∴AE ＝AC .同理可得BF ＝BD . ∴AE ＝BF ＝CD . (2)解：成立．证明略．。

人教版数学九年级上册24.2.3《圆和圆的位置关系》教学设计

人教版数学九年级上册24.2.3《圆和圆的位置关系》教学设计一. 教材分析《圆和圆的位置关系》是人教版数学九年级上册第24章第二节的一部分，主要内容是探讨两个圆之间的位置关系，包括内含、内切、外切、相离、相交五种情况。

本节内容是在学生已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积等知识的基础上进行学习的，为后续学习圆的方程和应用打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何图形认知能力，能够理解和运用一些基本的几何概念。

但是，对于圆和圆之间的位置关系的理解和运用还需要进一步的引导和培养。

此外，学生的空间想象能力和逻辑思维能力还有待提高，需要通过具体的实例和操作来加深理解。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握圆和圆的位置关系，能够识别和判断两种圆的位置关系。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和问题解决能力。

四. 教学重难点1.重点：圆和圆的位置关系的判断。

2.难点：对圆和圆位置关系的理解和运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和操作实践法进行教学。

通过提出问题，引导学生思考和探索；通过合作学习，培养学生团队合作意识和交流能力；通过操作实践，加深学生对知识的理解和运用。

六. 教学准备1.准备一些圆的模型和图示，用于展示和操作。

2.准备一些实例和练习题，用于巩固和拓展学生的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生思考：“我们在日常生活中见到的圆有很多，那么这些圆之间有没有什么特殊的关系呢？”让学生认识到圆和圆之间可能存在某种关系，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）用PPT或黑板展示几种不同的圆和圆的位置关系，包括内含、内切、外切、相离、相交。

引导学生观察和描述这些位置关系，让学生对这些关系有一个直观的认识。

3.操练（10分钟）让学生分组，每组选取几个圆，通过实际操作，判断这些圆的位置关系。

2016年秋人教版九年级数学上典中点课后作业24.1.4圆周角定理及推论(A).doc

24.1.4 圆周角——圆周角定理及推论课后作业：方案（A）一、教材题目：P88 T3 P89 T5、T6 P91 T171．如图，OA，OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.2．如图，⊙O中，OA⊥BC,∠AOB=50°.求∠ADC的度数.3．如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，哪个是合格的？为什么？4.如图，一个海港在 XY范围内是浅滩.为了使深水船只不进入浅滩，需要测量船所在的位置与两个灯塔的视角∠XPY，并把它与已知的危险角∠XZY（ XY上任意一点Z与两个灯塔所成的角）相比较，航行中保持∠XPY＜∠XZY.你知道这样做的道理吗？二、补充题目：部分题目来源于《典中点》︵5.(2015·海南)如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是AMB上一点，则∠APB的度数为()A．45°B．30°C．75°D．60°6．(2015·兰州)如图，已知经过原点的⊙P与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB等于()A．80°B．90°C．100°D．无法确定7．(2015·南宁)如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝1，则△PMN周长的最小值为()A．4 B．5 C．6 D．78. 如图所示，在⊙O 中，弦AB ，CD 垂直相交于点E .求证：∠BOC ＋∠AOD ＝180°.9.(2015·台州)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC ＝ BC ＝DC .(1)若∠CBD ＝39°，求∠BAD 的度数． (2)求证：∠1＝∠2.10.(2015·德州)如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点， ∠APC ＝∠CPB ＝60°.(1)判断△ABC 的形状：______________；(2)试探究线段P A ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)当点P 位于AB ︵的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．答案一、教材1.证明：因为∠AOB ＝2∠ACB ，∠BOC ＝2∠BAC ，且∠AOB ＝2∠BOC ，所以2 ∠ACB ＝2×2∠BAC ，即∠ACB ＝2∠BAC .2．解：连接OC ，⎭⎪⎬⎪⎫OA ⊥BC ⇒AC ︵＝AB ︵∠AOB ＝50°⇒∠AOC ＝50°⇒∠ADC ＝12∠AOC ＝12 ×50°＝25°.点拨：垂直于弦的半径平分该弦，并且平分该弦所对的弧． 3．解：第二个是合格的，因为90°的圆周角所对的弦是直径．4．解：如图所示，连接PZ 并延长交XY ︵所在的圆于点A ，因为∠AZX ＞∠XPZ ， ∠AZY ＞∠ZPY ，所以∠XZY ＞∠XPY ，故深水船只在航行中保持∠XPY ＜∠XZY 就不会有进入浅滩的危险．二、典中点5. D 点拨：过点O 作半径OC ⊥AB 于点D ，连接OA ，OB ，如图，∴OD ＝CD ＝12OC ＝12OA ，∴∠OAD ＝30°，而OA ＝OB ，∴∠OBD ＝30°，∴∠AOB＝120°.∴∠APB ＝12∠AOB ＝60°.6．B7．B 点拨：过点M 作AB 的垂线，与⊙O 的另一个交点记为M ′，则M 与M ′ 关于AB 对称，连接M ′N ，与AB 的交点即为满足条件的点P ，再连接OM ， ON ，OM ′.PM ＋PN ＝PM ′＋PN ＝M ′N .∵∠MAB ＝20°，∴∠MOB ＝ 40°，∴∠M ′OB ＝∠MOB ＝40°.∵N 是弧MB 的中点，∴∠NOB ＝12∠MOB ＝20°，∴∠M ′ON ＝60°.又∵OM ′＝ON ，∴△M ′ON 是等边三角形，∴M ′N ＝12×8＝4，∴△PMN 周长的最小值为PM ＋PN ＋MN ＝M ′N ＋MN ＝4＋1＝5，故选择B .8．解析：充分利用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”是解决本题的关键．证明：因为圆周角∠CAB 与圆心角∠BOC 同是BC ︵所对的角，所以∠BOC ＝2 ∠BAC .因为圆周角∠ACD 与圆心角∠AOD 同是AD ︵所对的角，所以∠ AOD ＝2∠ACD .在Rt △AEC 中，∠BAC ＋∠ACD ＝90°，所以∠BOC ＋∠AOD ＝2∠BAC ＋2∠ACD ＝2(∠BAC ＋∠ACD )＝2×90°＝ 180°.解题归纳：利用圆周角定理可使问题转化，如本题中，利用圆周角定理，可把证明“∠BOC ＋∠AOD ＝180°”转化为证明“∠BAC ＋∠ACD ＝90°”，而证明后者，利用“直角三角形两锐角互余”即可轻松解决． 9．(1)解：∵BC ＝DC ，∠CBD ＝39°，∴∠BDC ＝39°， ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝∠BDC ＋∠DBC ＝78°. (2)证明：∵EC ＝BC ，∴∠EBC ＝∠CEB .∵BC ＝DC ，∴BC ︵＝DC ︵，∴∠BAE ＝∠DBC . ∵∠EBC ＝∠1＋∠DBC ，∠CEB ＝∠BAE ＋∠2，∴∠1＝∠2. 10．解：(1)等边三角形(2)P A ＋PB ＝PC .证明：如图①，在PC 上截取PD ＝P A ，连接AD . 又∵∠APC ＝60°，∴△P AD 是等边三角形． ∴P A ＝AD ，∠P AD ＝60°.∵∠CPB ＝60°，∴∠BAC ＝60°，∴∠P AD ＝∠BAC ， ∴∠P AB ＝∠DAC .∵AB ＝AC ，∴△P AB ≌△DAC ，∴PB ＝DC .∵PD ＋DC ＝PC ，∴P A ＋PB ＝PC .(3)当点P 为AB ︵的中点时，四边形APBC 的面积最大．如图②，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ，∵△ABC 是等边三角形，∴F 为AB 的中点，且CF 过圆心O .∵S △PAB ＝12AB ·PE ，S △ABC ＝12AB ·CF ，∴S 四边形APBC ＝12AB (PE ＋CF )．当点P 为AB ︵的中点时，E 与F 重合，PE ＋CF ＝PC ，PC 为⊙O 的直径． ∴此时四边形APBC 面积最大．易求得AB ＝3，∴S 四边形APBC ＝12×2×3＝ 3.。

人教版数学九年级上册24.2.3《圆和圆的位置关系》说课稿

人教版数学九年级上册24.2.3《圆和圆的位置关系》说课稿一. 教材分析《圆和圆的位置关系》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的第三节内容。

本节课主要探讨了圆和圆之间的位置关系，包括内含、内切、外切和外离四种情况。

教材通过丰富的实例和图形，引导学生观察、思考、归纳和总结圆和圆的位置关系，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了基本的圆的性质和图形变换知识，具备一定的学习能力和探究能力。

但学生在空间想象和逻辑推理方面还存在一定的困难，因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生观察、思考和总结，帮助学生建立清晰的空间观念，提高学生的逻辑推理能力。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握圆和圆的位置关系，能正确判断圆和圆之间的位置关系。

2.过程与方法：通过观察、思考、归纳和总结，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作和交流能力。

四. 说教学重难点1.重点：圆和圆的位置关系的判定。

2.难点：对圆和圆位置关系的理解和应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作学习、引导探究的教学方法，让学生在实践中学习、思考和探究。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等教学辅助工具，直观展示圆和圆的位置关系，帮助学生形象理解。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示生活中的实例，引发学生对圆和圆位置关系的思考，激发学生的学习兴趣。

2.探究新知：引导学生观察、思考、归纳和总结圆和圆的位置关系，学生自主探究，合作交流。

3.巩固提高：通过典型例题和练习，让学生运用所学知识解决问题，提高学生的应用能力。

4.课堂小结：回顾本节课所学内容，总结圆和圆的位置关系，引导学生形成知识体系。

5.布置作业：布置适量的课后练习，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。

七. 说板书设计板书设计如下：圆和圆的位置关系1.内含：一个圆完全在另一个圆内部2.内切：两个圆相切，一个圆在另一个圆内部3.外切：两个圆相切，两个圆的边界相接触4.外离：两个圆完全分开，没有交集八. 说教学评价1.学生能准确判断圆和圆的位置关系。

新人教版九年级数学上册24.2.2.3切线长定理习题

新人教版九年级数学上册24.2.2.3切线长定理习题要点感知1 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的____.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的____相等，这一点和圆心的连线平分____.预习练习1-1 如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，若PA=6 cm，则PB=____.1-2 如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，若∠APB＝60°,OA=2 cm,则OP=____.要点感知2 与三角形各边____的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是____的交点，叫做三角形的____.三角形的内切圆只有____个，而圆的外切三角形有____个.预习练习2-1 如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=____.知识点1 切线长定理1.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是( )A.4B.8C.43D.832.如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD，下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E.若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是( )A.9B.10C.12D.143.(青海中考)如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上的一点，且∠ACB=65°，则∠P=____.4.为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5 cm，求铁环的半径.知识点2 三角形的内切圆5.如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=( ) A.130° B.120° C.100° D.90°6.如图，在△ABC 中，点P 是△ABC 的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=____.7.已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6,BC=8,则△ABC 的内切圆的半径为____.8.△ABC 的内切圆⊙O 与BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F ，且AB=18 cm ，BC=28 cm ，CA=26 cm ，求AF ，BD ，CE 的长.9.一个钢管放在V 形架内，如图是其截面图，O 为钢管的圆心.如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN=60°，则OP=( ) A.50 cmB.253cmC.3350cm D.503 cm10.如图，若AB 、AC 分别切⊙O 于B 、C ，延长OB 到D 使BD=OB ，连接AD ，∠DAC=78°，则∠ADO 的度数为( ) A.56° B.39° C.64° D.78°11.(青岛中考)如图，AB 是⊙O 的直径，BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，且∠BDC=110°.连接AC ，则∠A 的度数是____.12.如图,已知⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆,则⊙O 的半径为____.13.如图，PA,PB 分别与⊙O 相切于点A,B ，⊙O 的切线EF 分别交PA,PB 于点E,F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是____14.如图所示，点I 为△ABC 的内心，点O 为△ABC 的外心，若∠BOC=140°，求∠BIC 的度数.15.(河南中考)如图，CD 是⊙O 的直径，且CD=2 cm ，点P 为CD 的延长线上一点，过点P 作⊙O 的切线PA 、PB ，切点分别为点A、B.(1)若∠APO=90°证明：△ACP是等腰三角形(2)填空：①当DP=____cm时，四边形AOBD是菱形；②当DP=____cm时，四边形AOBP是正方形.挑战自我16.(曲靖中考)如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，AC、PB的延长线相交于点D.(1)若∠1=20°，求∠APB的度数；(2)当∠1为多少度时，OP=OD，并说明理由.参考答案要点感知1 切线长.切线长，两条切线的夹角.预习练习1-1 6 cm.1-2 4 cm.要点感知2 都相切，三角形三条角平分线，内心.一，无数.预习练习2-1 如115°.1.B2.D3.50°4.设圆心为O，连接OA，OP.∵三角板有一个锐角为30°，∴∠PAO=60°.又∵PA与⊙O相切，∴∠OPA=90°.∴∠POA=30°.∵PA=5 cm，OP=53cm.即铁环的半径为53 cm. 5.A 6.90度. 7.2.8.根据切线长定理得 AE=AF ，BF=BD ，CE=CD. 设AF=AE=x cm ，则CE=CD=(26-x)cm ， BF=BD=(18-x)cm. ∵BC=28 cm ，∴(18-x)+(26-x)=28.解得x=8.∴AF=8 cm ，BD=10 cm ，CE=18 cm.9.A10.C11.35°.12.331. 13.4.14.∵点O 为△ABC 的外心，∠BOC=140°， ∴∠A=70°.又∵点I 为△ABC 的内心，∴∠BIC=125°.15.(1)连接OA.∵PA 为⊙O 的切线， ∴∠OAP=90°. 在Rt △AOP 中，∠AOP=90°-∠APO=90°-30°=60°. ∴∠ACP=21∠AOP=21×60°=30°. ∴∠ACP=∠APO.∴AC=AP .∴△ACP 是等腰三角形.(2)1，2-1(提示：①当四边形AOBD 是菱形时，AO=AD=OD ，∠AOP=60°，而∠OAP=90°，∴OP=2OA=2，∴DP=OP-OD=2-1=1；②当四边形AOBP 是正方形时，OP=2OA=2，∴DP=OP-OD=2-1.) 挑战自我16.(1)∵PA 是⊙O 的切线， ∴∠PAO=90°.∵∠1=20°，∴∠BAP=90°-∠1=70°. 又∵PA 、PB 是⊙O 的切线，∴PA=PB. ∴∠BAP=∠ABP=70°.∴∠APB=180°-70°×2=40°.(2)当∠1=30°时，OP=OD.理由如下：当∠1=30°时，由(1)知∠BAP=∠ABP=60°， ∴∠APB=180°-60°×2=60°.∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠OPB=12∠APB=30°.又∵∠D=∠ABP-∠1=60°-30°=30°，∴∠OPB=∠D.∴OP=OD.。

人教版九年级数学上典中点课后作业24.3正多边形和圆(A)(含答案)

24.3 正多边形和圆课后作业：方案（A）一、教材题目：P108 T1、T2、T4 P109 T6、T71. 完成下表中有关正多边形的计算：2.要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是多少？3.如图，H,I,J,K,L分别是正五边形ABCDE各边的中点.求证：五边形HIJKL是正五边形.4.如图，正方形的边长为4cm,剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积.5.用48 m长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现有四种设计方案：正三角形、正方形、正六边形、圆.哪种场地的面积最大（可以利用计算器计算）？二、补充题目：部分题目来源于《典中点》6．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有( )①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形； ⑧平行四边形．A ．3个B ．4个C ． 5个D ．6个7．如图所示，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则∠ADB 的度数是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．22.5°8．在如图所示的圆中，画出你喜欢的三个不同的圆内接正多边形．(画图工具不限，但要保留画图痕迹)9．一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是( )A ．2 B. 3 C ．1 D.12答案一、教材1．解：2．解：原题可转化为如图所示，已知圆内接正方形ABCD 的边长为a ，求⊙O 的半径．连接OA ，作OE ⊥AB 于E ，因为OE ⊥AB ，所以AE ＝12AB ＝a2.又因为∠AOE ＝45°，所以OE ＝AE .因为OA ＝AE 2＋OE 2，所以OA ＝⎝⎛⎭⎫a 22＋⎝⎛⎭⎫a 22＝22a. 即选用的圆形铁片的半径至少是22a .点拨：会将实际问题转化为数学问题是解本题的关键．3．证明：因为五边形ABCDE 是正五边形，所以AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠E .又因为H ，I ，J ，K ，L 分别是正五边形ABCDE 各边的中点，所以AH ＝BH ＝BI ＝CI ＝CJ ＝DJ ＝DK ＝EK ＝EL ＝AL .在△AHL 和△BIH 中⎩⎪⎨⎪⎧AH ＝BI ，∠A ＝∠B ，AL ＝BH ，所以△AHL ≌△BIH .同理可证，△AHL ≌△CJI ≌△DKJ ≌△ELK ，所以易得HI ＝IJ ＝JK ＝KL ＝HL ，∠LHI ＝∠HIJ ＝∠IJK ＝∠JKL ＝∠ KLH .所以五边形HIJKL 是正五边形．4．解：如图所示．由题意，得AD ＝4 cm ，△DME 、△CFG 、△BQH 、△ANP 都是全等的等腰直角三角形．设AN ＝x cm ，则MN ＝NP ＝AN 2＋AP 2＝x 2＋x 2＝2x (cm )，所以x ＋x ＋2x ＝4，解之，得x ＝4－2 2. 所以MN ＝2x ＝2(4－22)＝42－4.S 正八边形＝S 正方形－4S △ANP ＝42－4×12×(4－22)2＝322－32 (cm 2)．答：这个正八边形的边长和面积分别为(42－4) cm ，(322－32) cm 2.点拨：求正多边形的面积最关键的问题是分割和拼接．5．解：用48 m 长的篱笆围成的正三角形场地、正方形场地、正六边形场地、圆形场地的面积分别是：S 正三角形＝12×16×83＝643≈110.9(m 2)，S 正方形＝⎝⎛⎭⎫4842＝122＝144(m 2)， S 正六边形＝6×12×8×43＝963≈166.3(m 2)，S 圆＝π⎝⎛⎭⎫482π2＝242π≈183.4(m 2)．很显然设计成圆形场地的面积最大．点拨：在周长相同的条件下，边数越多，面积越大，围成圆形的面积最大，这一规律广泛应用在生产实践中．二、典中点6．C7．C8．解：如图所示．9．错解：B诊断：设正多边形的边数为n.因为正多边形内角和为(n－2)·180°，正多边形外角和为360°，根据题意得(n－2)·180°＝360°×2，解得n＝6，故正多边形为正六边形．边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，所以正多边形的半径等于2.产生错误的原因是认为正多边形的边心距是正多边形的半径，计算得出错误的结果3，最后导致错选B.正解：A。

人教版九年级数学上典中点课后作业24.2.4切线长(A)(含答案)

24.2.4 直线和圆的位置关系——切线长课后作业：方案（A）一、教材题目：P100练习T2 P101 T6 P102 T11 P103 T141．△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积.(提示：设△ABC的内心为O，连接OA,OB,OC)2.如图，P A，PB是⊙O的切线，A,B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°.求∠P的度数.3.如图，AB，BC,CD分别与⊙O相切于E,F,G三点，且AB∥CD，BO=6cm,CO=8cm. 求BC的长.4.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB,BC,CA的长分别为c,a,b,求△ABC的内切圆半径r.二、补充题目：部分题目来源于《典中点》5．如图，P A 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，连接OP ，AB .下列结论不一定正确的是( )A ．P A ＝PB B ．OP 垂直平分ABC ．∠OP A ＝∠OPBD ．P A ＝AB6．(2015·南充)如图，P A 和PB 是⊙O 的切线，A 和B 是切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P ＝40°，则∠ACB 的大小是( )A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°7．(2015·南京)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为( )A.133B.92C.4133D ．2 58．内心和外心重合的三角形是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形9．如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则()A．EF>AE＋BF B．EF<AE＋BFC．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF10．(2015·滨州)若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为()A.2B．22－2C．2－2 D.2－111．既有外接圆，又有内切圆的平行四边形是()A．矩形B．菱形C．正方形D．矩形或菱形12．如图，P A，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，BC为⊙O的直径，连接AB，AC，OP.求证：(1)∠APB＝2∠ABC；(2)AC∥OP.13．(2015·绵阳)如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接DC，DA，OA，OC，四边形OADC为平行四边形．(1)求证：△BOC≌△CDA；(3)若AB＝2，求阴影部分的面积．答案一、教材1．解：如图所示，设⊙O 与△ABC 各边切于点D ，E ，F ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，则OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ， OD ＝OE ＝OF ＝r .所以S △AOB ＝12AB ·OD ，S △BOC ＝12BC ·OE ，S △AOC ＝12AC ·OF ，所以S △ABC ＝S△AOB ＋S △BOC ＋S △AOC ＝12AB ·OD ＋12BC ·OE ＋12AC ·OF ＝12r ·AB ＋12r ·BC ＋12r ·AC ＝12r (AB ＋BC ＋AC )＝12rl.点拨：本题的结论：S ＝12rl (S 为三角形的面积，r 为三角形的内切圆半径，l为三角形的周长)可以作为一个公式记住． 2．解：⎭⎪⎬⎪⎫P A 切⊙O 于点A ⇒∠OAP ＝90°∠BAC ＝25°⇒⎭⎪⎬⎪⎫∠BAP ＝65°⎭⎪⎬⎪⎫P A 切⊙O 于点A PB 切⊙O 于点B ⇒P A ＝PB ⇒∠ABP ＝∠BAP⇒∠P ＝180°－2×65°＝50°. 点拨：根据切线长定理知P A ＝PB .3．解：AB ，BC ，CD 分别切⊙O 于E ，F ，G ⇒⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎨⎧BO 平分∠ABC ⇒∠CBO ＝12∠ABCCO 平分∠DCB ⇒∠BCO ＝12∠DCB AB ∥CD ⇒∠ABC ＋∠DCB ＝180° ⇒ ∠BCO ＋∠CBO ＝90°⇒⎭⎪⎬⎪⎫∠BOC ＝180°－90°＝90° BO ＝6 cm ，CO ＝8 cm⇒BC ＝BO 2＋CO 2＝62＋82＝10(cm)．点拨：有关圆的题目应全面分析图形中的条件，综合运用相关的定理进行计算或证明．4．解：如图所示，设D ，E ，F 为切点，连接OD ，OE ，OF ，则OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB .⎭⎪⎬⎪⎫OD ⊥BCOE ⊥AC ∠C ＝90°OE ＝OD ⇒四边形ODCE 是正方形⇒⎭⎪⎬⎪⎫CE ＝CD ＝OE ＝OD ＝r.⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D ，E ，F ⇒⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝AE BD ＝BF CE ＝CDBC ＝a ，CA ＝b⇒⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝AE ＝b －r BF ＝BD ＝a －r AB ＝c.⇒(b －r )＋(a －r )＝c ⇒r ＝a ＋b －c2.点拨：直角三角形的内切圆半径r ＝a ＋b －c 2，应熟练掌握．二、典中点5.D6.C7．A 点拨：设MN ＝x ，DN ＝y ，根据切线长定理可得GM ＝MN ＝x ，ED ＝DN＝y ，AE ＝AF ＝5－y ，FB ＝BG ＝y －1，CM ＝6－(x ＋y )，在Rt △DMC 中， DM 2＝CD 2＋CM 2，∴(x ＋y )2＝[6－(x ＋y )]2＋42，解得x ＋y ＝133，即DM＝133.故选A.8.D 9.C 10.B 11.C12．证明：(1)∵P A ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，∴∠APO ＝∠BPO ＝12∠APB ，P A ＝PB ，∴PO ⊥AB ，∴∠ABP ＋∠BPO ＝90°. ∵PB 是⊙O 的切线，∴OB ⊥PB . ∴∠ABP ＋∠ABC ＝90°.∴∠ABC ＝∠BPO ＝12∠APB ，即∠APB ＝2∠ABC .(2)∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，即AC ⊥AB .由(1)知PO ⊥AB ， ∴AC ∥OP .13．(1)证明：∵O 是△ABC 的内心，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴AD ＝CD . ∵四边形OADC 为平行四边形， ∴四边形OADC 为菱形，∴BD 垂直平分AC ，∠4＝∠5＝∠6.又∵∠1＝∠5，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6， ∴OB ＝OC ＝OA .∴点O 为△ABC 的外心，∴△ABC 为等边三角形， ∴BC ＝AC .在△BOC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠3＝∠5，OC ＝AD ，∴△BOC ≌△CDA .(2)解：过点O 作OH ⊥AB 于点H ，如图， ∵点O 为△ABC 的外心 ∴∠AOB ＝120°∴∠BOH ＝60°，∠1＝30°.∵OH ⊥AB ， ∴BH ＝AH ＝12AB ＝1，∴OH ＝33，OB ＝233. ∵扇形AOB 的圆心角为120°，∴S 扇形AOB ＝13S 圆＝13π⎝⎛⎭⎫2332∴S 扇形AOB ＝49π.∴S 阴影＝S 扇形AOB －S △AOB ＝49π－12×2×33＝4π－339.。

人教版九年级数学上册第24章圆 24.2 第3课时切线的判定和性质【习题课件】

A．27° C．36°
B．32° D．54°
课堂导练
9．(2017·日照)如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点 A，
连接 PO 并延长交⊙O 于点 C，连接 AC，AB＝10，∠P
＝30°，则 AC 的长度是( A )
A．5 3
B．5 2
C．5
5 D.2
课堂导练 10．(中考·内江)如图，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，AB
课后训练
∴AE∥OD. ∵DE 是⊙O 的切线， ∴OD⊥DE. ∴DE⊥AE.
课后训练
(2)AE＋CE＝AB. 证明：过点 D 作 DM⊥AB 于点 M，连接 CD，DB，如图所示． ∵AD 平分∠BAC，DE⊥AE，DM⊥AB， ∴DE＝DM.
课后训练
在△DAE 和△DAM 中， ∠EAD＝∠MAD， ∠AED＝∠AMD＝90°， AD＝AD， ∴△DAE≌△DAM(AAS)． ∴AE＝AM. ∵∠EAD＝∠MAD，
课后训练︵︵
∴CD＝BD. ∴CD＝BD. 在 Rt△DEC 和 Rt△DMB 中， DE＝DM， CD＝BD， ∴Rt△DEC≌Rt△DMB(HL)． ∴CE＝BM. ∴AE＋CE＝AM＋BM＝AB.
课后训练
15．(中考·临沂)如图，点 O 为 Rt△ABC 斜边 AB 上一点，以 OA 为半径的⊙O 与 BC 切于点 D，与 AC 交于点 E，连接 AD.
A．10 C．4 3
B．8 D．4 5
课堂导练【点拨】∵直线 AB 与⊙O 相切于点 A，∴OA⊥AB. 又∵CD∥AB， ∴AO⊥CD，记垂足为 E. ∵CD＝8，∴CE＝DE＝12CD＝4. 连接 OC，则 OC＝OA＝5.
课堂导练

新人教九年级数学上册24.2.2 第3课时切线长定理

点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB= 65 °或115 ° . A A
O
P
F
E
O
C B D B 第4题第3题 4.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是 30 .
拓展提升
A F O · B
直角三角形的两直角边分别是3cm ,4cm,试问：（1）它的外接圆半径是 2.5 径是 1 cm？ cm;内切圆半 D
AB上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、 E.已知PA=7，∠P=40°.则 ⑴ △PDE的周长是 ⑵ ∠DOE= . 70° P 14 ； D A
C
E B
O
例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、 E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE 的长.
3.这个三角形叫做圆的外切三角形. 4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.
A 三角形的内心到三角形的三边的距离相等. F I
⊙O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心， △ABC是⊙O的外切三角形.
D
B
┐ E
C
填一填：
名称
外心：三角形外接圆的圆心
确定方法
三角形三边中垂线的交点
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆. 作法：
A
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
N M
O
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. ⊙O就是所求的圆.
C
B
D
概念学习
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.

九年级数学上册第24章圆24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.2切线长定理和三角形的内切圆作业本

同理可得：FO＝BF，∴EF＝AE＋BF.故选 C.
精选教育课件
16
第3课时切线长定理和三角形的内切圆
9．2016·孝感《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为 8 步，股(长直角边) 长为 15 步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是____6____步．
1 ∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－2(180°－∠A)＝90°＋ 1 2∠A＝90°＋40°＝130°.
精选教育课件
12
第3课时切线长定理和三角形的内切圆
7．如图 24－2－38，△ABC 的内切圆⊙O 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D，E，F，且 AB＝18 cm，BC＝28 cm，CA＝26 cm，求 AF，BD， CE 的长．
第二十四章圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系
精选教育课件
1
第二十四章圆
第3课时切线长定理和三角形的内切圆
A 知识要点分类练
B 规律方法综合练
C 拓广探究创新练
精选教育课件
2
第3课时切线长定理和三角形的内切圆
A 知识要点分类练
知识点 1 切线长定理
1．如图 24－2－32，PA 切⊙O 于点 A，PB 切⊙O 于点 B，OP 交
13
切点为 N，则 DM 的长为____3____．
图 24－2－40
精选教育课件
19
第3课时切线长定理和三角形的内切圆
【解析】连接 OE，OF，ON，OG，如图．
设 MN＝x，DN＝y，根据切线长定理可得 GM＝MN＝x，ED＝DN＝y，AE＝AF＝5

人教版九年级数学上册 24.2.2.3 切线长定理同步练习题(含答案)

人教版九年级数学上册第24章24.2.2.3 切线长定理同步练习题一、选择题1．平面内，⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为(C) A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条2．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(B)A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条高的交点3．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．若PA＝3，则PB＝(B) A．2 B．3 C．4 D．54．如图，PA，PB为⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D，下列结论不一定成立的是(D)A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD5．将一把直尺，含60°角的直角三角板和光盘如图摆放，点A为60°角与直尺的交点，AB ＝3，则光盘的直径是(D)A．3 B．3 3 C．6 D．6 36．如图，边长为23的等边△ABC的内切圆的半径为(A)A．1 B. 3 C．2 D．2 37．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD，下底BC以及腰AB 均相切，切点分别是D，C，E.若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是(D)A．9 B．10 C．12 D．148．如图，等边△ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O 的半径为(A)A．2 3 B．3 C．4 D．4－ 39．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA ＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是(A)A．4 B．6.25 C．7.5 D．910．如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则(C) A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BFC．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF11.如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为(B)A．4.5 B．4 C．3 D．2二、填空题12．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝76°．13．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C，D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A ＋∠C＝219°．14．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是70°．15．如图，P是△ABC的内心，连接PA，PB，PC，△PAB，△PBC，△PAC的面积分别为S1，S2，S3，则S1＜S2＋S3.(填“＜”“＝”或“＞”)三、解答题16．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝18 cm，BC＝28 cm，CA＝26 cm，求AF，BD，CE的长．解：根据切线长定理，得AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD.设AF＝AE＝x cm，则CE＝CD＝(26－x)cm，BF＝BD＝(18－x)cm.∵BC＝28 cm，∴(18－x)＋(26－x)＝28.解得x＝8.∴AF＝8 cm，BD＝10 cm，CE＝18 cm.17．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，若∠BOC＝90°，求证：AB∥CD.证明：∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＋∠OCB＝90°.又∵BE与BF为⊙O的切线，∴BO为∠EBF的平分线．∴∠OBE＝∠OBC.同理可得∠OCB＝∠OCG.∴∠OBE＋∠OCG＝∠OBC＋∠OCB＝90°.∴∠OBC＋∠OCB＋∠OBE＋∠OCG＝180°，即∠ABF＋∠DCF＝180°.∴AB∥CD.18．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD，BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G.求证：(1)DG∥CA；(2)AD＝ID.证明：(1)∵点I 是△ABC 的内心，∴∠2＝∠7＝12∠ABC.∵DG 平分∠ADF ， ∴∠1＝12∠ADF.∵∠ADF ＝180°－∠ADC ＝∠ABC ， ∴∠1＝∠2.∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3.∴DG ∥AC. (2)∵点I 是△ABC 的内心，∴∠5＝∠6. ∴∠4＝∠7＋∠5＝∠3＋∠6，即∠4＝∠DAI. ∴DA ＝DI.。