切线长和圆与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系―知识讲解提高
直线与圆相交于一点 直线与圆相切于一点 直线与圆相离于一点 直线与圆相交于两点
判断直线与圆的位置关系，可以通过比较圆心到直线的距离与圆的半径大小来实现。
圆心到直线的距离小于半径，则直线与圆相交；等于半径，则直线与圆相切；大于半径，则 直线与圆相离。
判断圆与圆的位置关系，可以通过比较两圆的圆心距与两圆半径之和或半径之差的大小来实 现。
圆心到直线的距离：利用圆心到直 线的距离判断圆与直线的关系
弦长：通过比较弦长来判断圆与圆 的位置关系
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圆的半径：比较两圆的半径大小， 判断圆与圆的位置关系
切线：利用切线性质判断圆与直线 的关系
距离公式：利用两点间的距离公式求解直线与圆之间的距离 角度公式：利用三角函数或余弦定理求解直线与圆之间的夹角 代数运算：利用代数方法简化计算过程，提高解题效率
交通路线规划：利用直线与圆的位置关系，确定最佳路线。 股市分析：通过分析股票价格与均线的位置关系，判断股票走势。 地球科学：利用圆与圆的位置关系，研究地球与其他天体的相对位置。 建筑学：在建筑设计时，利用直线与圆、圆与圆的位置关系，实现美观与实用的统一。
直线与圆的位置关系在解析几何中的应用 圆与圆的位置关系在几何证明题中的应用 利用直线与圆、圆与圆的位置关系解决数学竞赛中的难题 在数学竞赛中，直线与圆、圆与圆的位置关系常作为考点和难点
特殊情况处理：针对直线与圆相切、相交等特殊情况，采用相应的方法进行求解
理解数形结合的概念，将数学问题转化为图形问题 掌握常见的数形结合方法，如坐标法、向量法等 学会利用图形直观地分析问题，找到解题思路 练习数形结合的题目，提高解题能力
掌握直线与圆的位置关系的基本题型，包括相切、相交和相离等，并掌握相应的解题方法。 掌握圆与圆的位置关系的基本题型，包括相切、相交和相离等，并掌握相应的解题方法。 熟悉不同题型的特点和解题方法，能够根据题目的具体要求选择合适的解题方法。 掌握解题技巧，如利用几何性质、数形结合等方法，提高解题效率。
平面几何中的圆与切线与切点关系
平面几何中的圆与切线与切点关系在平面几何的研究中，圆是一个重要的几何图形。
圆在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
而切线和切点是与圆密切相关的概念。
本文将探讨圆与切线与切点的关系，并讨论其几何性质和应用。
一、圆与切线的定义和性质圆的定义：圆是平面上到一定点距离恒定的所有点的轨迹。
切线的定义：在平面几何中，过圆上一点的直线称为切线，切线与圆相切于该点。
圆与切线的性质：当直线与圆相交于圆上一点时，可以有三种可能的情况：直线既不相交于圆，直线与圆相切，或者直线与圆有两个交点。
本文主要关注于直线与圆相切的情况。
二、圆与切线的判定方法圆的切线可以通过以下方法进行判定：1. 切线的定义法：通过圆上的一点作圆的半径，圆与半径所在直线相交于该点处的切线。
2. 切线的垂直性：切线与过切点的半径垂直。
3. 切线与半径的夹角：切线与过切点的半径的夹角为90度。
三、切点的性质和应用切点的定义：切线与圆的交点称为切点。
切点的性质：1. 切点和切线的关系：切点在切线上。
2. 切点和半径的关系：切点与半径的连接线垂直。
3. 切点和圆心的关系：切点、圆心和切线上的点共线。
切点的应用：1. 几何设计：通过切点的性质，可以实现图形的切割和布局设计。
2. 投影仪原理：利用切点和切线的性质，可以实现几何光学中的投影仪原理。
3. 机械设计：在机械设计中，圆与切线的关系可以用于轮胎与地面接触的问题，以及机械零件的配合问题等。
四、切线和切点的应用举例1. 道路设计：在交通工程中，合理设计道路的切点和切线可以提高车辆行驶的安全性和效率。
2. 光学仪器设计：在光学仪器设计中，切点和切线的概念被应用于透镜的设计和光线的传播分析等领域。
3. 圆滚子轴承：圆滚子轴承是一种常见的机械零件，其球体部分是圆与切线的典型应用。
五、结论本文从圆的定义和性质出发，探讨了圆与切线与切点的关系，并介绍了切点的性质和应用。
圆与切线与切点的研究不仅具有理论意义，还有广泛的应用价值。
平面几何中的圆与圆的位置关系与切线性质
切线定理：在平 面几何中，切线 定理指出，对于 一个圆来说，经 过圆上一点的切 线只有一条，并 且这条切线通过
圆心。
内含圆与切线的关系
切线性质：切线与半径垂直，切线到圆心的距离为圆的半径
圆与圆的位置关系：相切、相交、相离 切线性质与圆与圆的位置关系的关系：切线的性质决定了圆与圆的位置 关系的性质 切线性质的应用：在几何问题中，利用切线的性质可以解决许多问题
为圆的半径
相切圆的位置关 系：相切圆有内 切和外切两种情 况，内切时两圆 心距离等于两圆 半径之差，外切 时两圆心距离等 于两圆半径之和
相切圆的切线性 质：相切圆的切 线性质与单个圆 的切线性质相同， 即切线与半径垂 直，切线到圆心 的距离为圆的半
径
相切圆的应用： 相切圆在几何、 物理等领域有广 泛的应用，如计 算面积、周长、
外离圆与切线的关系
外离圆与切线的 关系：当两圆外 离时，它们与切 线的位置关系是 相切于同一点。
证明方法：利用 切线的定义和圆 的基本性质进行 证明。
切线性质：切线 与半径垂直，且 切点到圆心的距 离等于圆的半径。
几何意义：外离 圆与切线的相切 关系体现了平面 几何中图形之间 的位置关系和度 量关系。
平面几何中的圆与圆 的位置关系与切线性 质
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CONTENTS
01
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02
平面几何中的圆与圆的位置关系
03
平面几何中的切线性质
04Leabharlann 平面几何中圆与圆的位置关系与 切线性质的联系
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第一章
平面几何中的圆与圆的位置 关系
初中数学 公切线与圆的位置关系是什么
初中数学公切线与圆的位置关系是什么
公切线与圆的位置关系主要有三种情况：外公切线、内公切线和不相交。
1. 外公切线：
-外公切线是指一条直线与圆相切，且位于圆的外部。
-外公切线与圆的切点位于圆上，且与切点连线垂直于圆的半径。
-外公切线与圆的切点构成的线段与圆的半径之差相等。
-外公切线与圆的位置关系是切点位于圆的外部，切线与圆的位置关系是切线与圆只有一个切点。
2. 内公切线：
-内公切线是指一条直线与圆相切，且位于圆的内部。
-内公切线与圆的切点位于圆上，且与切点连线垂直于圆的半径。
-内公切线与圆的切点构成的线段与圆的半径之和相等。
-内公切线与圆的位置关系是切点位于圆的内部，切线与圆的位置关系是切线与圆只有一个切点。
3. 不相交：
-当两个圆之间的距离大于两个圆的半径之和时，它们没有公共切点，也就是不存在公切线。
-不相交的圆之间有两种情况：一个圆在另一个圆的内部或两个圆完全分离。
需要注意的是，公切线与圆的位置关系是由两个因素决定的：切点的位置和切线与圆的关系。
公切线的切点位于圆上，且与切点连线垂直于圆的半径。
切线与圆的位置关系是切线与圆只有一个切点。
希望以上内容能够满足你对公切线与圆的位置关系的了解。
切线长和圆与圆的位置关系
切线长和切线长定理及圆与圆的位置关系一、切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．二、三角形内切圆1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3．直角三角形的内切圆半径与三边关系OF ED C BACBA CBAcbacba（1） （2）图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++； 图（2）中，90C ∠=︒，则()12r a b c =+-、abr a b c=++重难点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．1.切线长定理及切线性质的应用例题1（2011·济宁）如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 的两条切线，DE 切⊙O 于点E ，交AM 与于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF 。
（1） 求证：OD ∥BE;(2) 猜想：OF 与CD 有何数量关系？并说明理由。
解：（1）证明：连接OE∵AM 、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径 ∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°…………1分∴∠AOD=∠EOD=21∠AOE …………2分 ∵∠ABE=21∠AOE ∴∠AOD=∠ABE ∴OD ∥BE …………3分 (2) OF =21CD …………4分 理由：连接OC∵BE 、CE 是⊙O 的切线∴∠OCB=∠OCE …………5分 ∵AM ∥BN∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由（1）得 ∠ADO=∠EDO∴2∠EDO+2∠OCE=180° 即∠EDO+∠OCE=90° …………6分 在Rt △DOC 中， ∵ F 是DC 的中点 ∴OF =21CD ……7分 三、圆与圆的位置关系重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用． 难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题． 易错点：1）圆与圆位置关系中相交时圆心距在两圆半径和与差之间， 2）没有公共点要考虑外离和内含的两种情况 3）有一个公共点要考虑内切与外切两种情况4）两圆相交求的公共弦多对的圆周角，求出圆心距一般都有两种情况圆与圆的位置关系的应用 例题2（2011•绍兴）如图，相距2cm 的两个点A 、B 在直线l 上．它们分别以2cm/s 和1cm/s的速度在l 上同时向右平移，当点A ，B 分别平移到点A 1，B 1的位置时，半径为1cm 的⊙A 1，与半径为BB 1的⊙B 相切．则点A 平移到点A 1，所用的时间为为多少秒?考点：圆与圆的位置关系。
圆与圆位置关系以及与圆有关计算
圆与圆的位置关系一、圆与圆的位置关系1. 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系可以是两圆相交、两圆相切(内切或外切)、两圆相离、两圆内含． 设两个圆为1O 、2O ，半径分别为1R 、2R ，且12R R ≥，1O 与2O 间距离为d ，那么就有 12d R R >+⇔两圆相离； 12d R R =+⇔两圆相外切； 12d R R =-⇔两圆相内切； 1212R R d R R -<<+⇔两圆相交； 12d R R <-⇔两圆内含(这里12R R ≠)．2. 连心线的性质连心线是指通过两圆圆心的一条直线．连心线是它的对称轴．两圆相切时，由于切点是它们唯一的公共点，所以切点一定在对称轴上． 如果两圆1O 、2O 相交于A 、B 两点，那么12O O 垂直平分AB ．如果两个半径不相等的圆1O 、圆2O 相离，那么内公切线交点、外公切线交点都在直线12O O 上，并且 直线12O O 上，并且直线12O O 平分两圆外公切线所夹的角和两圆内公切线所夹的角．如果两条外公切线分别切圆1O 于A 、B 两点、切圆2O 于C 、D 两点，那么两条外公切线长相等，且AB 、 CD 都被12O O 垂直平分．题型一：圆与圆位置关系的判定【例1】 若两圆的半径分别是1cm 和4cm ，圆心距为5cm ，则这两圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离【例2】 1O 和2O 的直径分别是6cm 和8cm ，若圆心距122O O cm =，则两圆的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切（2014年枣庄）【例3】 在ABC ∆中，9034C AC cm BC cm ∠=︒==，，．若A ，B 的半径分别为，，则A 与B 的位置关系是（ ）A ．外切B ．内切C ．相交D ．外离【例4】 两圆的半径分别为2cm ，3cm ，圆心距为2cm ，则这两个圆的位置关系是（ ）A ．外切B ．内切C ．相交D ．外离【例5】 已知半径分别为3cm 和1cm 的两圆相交，则它们的圆心距可能是（ ）A ．1cmB ．3cmC ．5cmD ．7cm1cm 4cm 例题精讲【例6】 如图，5个圆心在同一条直线上，且两两相切，若大圆直径是12cm ，4个小圆大小相等，则这5个圆的周长之和为（ ）A ．48πcmB ．24πcmC ．12πcmD ．6πcm（2014年昆明一模）【例7】 若有两圆相交于两点，且圆心距离为13公分，则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的半径（ ）A ．25公分，40公分B ．20公分，30公分C ．1公分，10公分D ．5公分，7公分【例8】 已知两圆的半径分别为和（），圆心距为．如图，若数轴上的点表示，点表示，当两圆外离时，表示圆心距的点所在的位置是（ ）A ．在点B 右侧B ．与点B 重合C ．在点A 和点B 之间D ．在点A 左侧【例9】 如图，圆A ．圆B 的半径分别为4．2，且．若作一圆使得三圆的圆心在同一直在线，且圆与圆外切，圆与圆相交于两点，则下列哪个是圆的半径长（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【例10】已知1O 与2O 的圆心距为6，两圆的半径分别是方程2550x x -+=的两个根，则1O 与2O 的位置关系是____________（2014年资阳）【例11】两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程的两个根，则两圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．外离C ．内含D ．外切【例12】1O ⊙和2O ⊙相切，1O ⊙的直径为9cm ，2O ⊙的直径为4cm ．则12O O 的长是_________．【例13】若A ⊙和B ⊙相切，它们的半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为_______________．R r R r >d A R r -BR r +dD 12AB =C C A C B C2430x x -+=【例14】如图，45AOB ∠=︒，点1O 在OA 上，17OO =，1O 的半径为2，点2O 在射线OB 上运动，且2O 始终与OA 相切，当2O 和1O 相切时，2O 的半径等于_________（2014年烟台）【例15】 如图所示，点、在直线上，=11，、的半径均为，以每秒的速度自左向右运动，与此同时，的半径也不断增大，其半径（）与时间（秒）之间的关系式为（），当点出发后__________秒两圆相切．【例16】如图，已知矩形ABCD 中，68BC AB ==，，延长AD 到点E ，使15AE =，连接BE 交AC 于点P ．（1）求AP 的长；（2）若以点A 为圆心，AP 为半径作A ，试判断线段BE 与A 的位置关系并说明理由；（3）已知以点A 为圆心，1r 为半径的动A ，使点D 在动A 的内部，点B 在动A 的外部．① 求动A 的半径1r 的取值范围；② 若以点C 为圆心，2r 为半径的动C 与动A 相切，求2r 的取值范围．（2014年永州模拟）A B MN AB cm A B 1cm A 2cmB r cm t 1r t =+1t …A【例17】如图，扇形OAB ，90AOB ∠=︒，P 与OA OB ，分别相切于点F E ，，并且与弧AB 切于点C ，则扇形OAB 的面积与P 的面积比是__________（2014年定陶县模拟）【例18】已知如图，直角三角形中，9068C AC BC ∠=︒==，，，若要在纸片中剪出两个相外切的等圆，则圆的半径最大为_______________（2014年宜兴市模拟）【例19】 如图，12360AOB O O O ∠=︒，，，…是AOB ∠平分线上的点，其中12OO =，若分别以123O O O ，，…为圆心作圆，使得123O O O ，，…均与AOB ∠的两边相切，且相邻两圆相外切，则2014O 的面积是_____________（结果保留π）（2014年龙岩）【例20】如图，已知1sin 3ABC ∠=，O 的半径为2，圆心O 在射线BC 上，O 与射线BA 相交于E F 、两点，EF =。
与圆有关的位置关系及切线定理
与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系如果圆的半径是r ，这个点到圆心的距离为d，那么：（1）点在圆外d>r ；（2）点在圆上d＝r；（3）点在圆内d<r；2、直线与圆位置关系的定义及有关概念（1）直线与圆有两个公共点，叫做直线与圆相交，这直线叫做圆的割线，公共点叫做交点（2）直线和圆有一公共点时，叫做直线和圆相切，这直线叫做圆的切线，公共点叫做切点（3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.3、直线和圆的位置关系如果⊙ O的半径为r ，圆心O到直线l 的距离为d，那么（1）直线l 和⊙ O相交d<r ；（2）直线l 和⊙ O相切d＝r；（3）直线l 和⊙ O相离d>r；典例精析例1：已知直线l ：y＝x－3 和点A（0，3），B（3，0），设P点为l 上一点，试判断P、A、B是否在同一个圆上？例2：下列说法正确的是（）A. 过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线B. 若直线与圆不相切，则它和圆相交C. 若直线和圆有公共点，直线和圆相交D. 若直线和圆有唯一公共点，则公共点是切点例3：设直线l到⊙ O的圆心的距离为d，⊙ O的半径为R，并使x2 2 dx R 0 ，试根据关于x 的一元二次方程根的情况讨论l 与⊙ O的位置关系.3、圆和圆的位置关系外离（没有公共点）外切（1）相离（2）相切（有一个公共点）（3）相交（有两个公共点）内含（包括同心圆）内切注：两圆同心是两圆内含的一种特例.2、两圆的位置与两圆的半径、圆心距之间的数量关系设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d，那么（1）两圆外离d>R＋r （2）两圆外切d＝R＋r（3）两圆相交R－r <d<R+r（4）两圆内切d＝R－r （5）两圆内含d<R－r典例精析例1：已知两个圆的半径分别为2、3，圆心距是d，若两圆有公共点，则 d 的取值范围为例2：已知⊙ O1 和⊙ O2内切，圆心距为7cm，⊙ O1 的半径为8cm，求⊙ O2 的半径.例4：如图：⊙ M的半径为8cm，⊙ N的半径为6cm，MN＝10cm，两圆相交于A、B 两点，连接AB与MN交于点C，求AB的长为多少？与相切有关的性质定理1、切线的性质定理：定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切点的直线必经过切点.推论2：经过切点且垂直于切点的直线必经过圆心.2、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.3、切线的判定方法（1）定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）数量关系：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（证长度）（3）定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.（证角度）两圆相切与相交的性质：（1）如果两圆相切，那么两圆的连心线经过切点；（2）两圆相交，连心线垂直平分相交圆的公共弦。
与圆有关的位置关系和切线
知识要点
一、点与圆的位置关系 1、点在圆内 2、点在圆上 3、点在圆外
d r d r d r
点 C 在圆内； 点 B 在圆上； 点 A 在圆外；
A r B
d O d C
二、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 d r 无交点； 2、直线与圆相切 d r 有一个交点； 3、直线与圆相交 d r 有两个交点；
（3）与坐标轴有三个交点。 （4）与坐标轴有四个交点。
例 3.如图所示，已知：AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为 B。OC 平行于弦 AD，试说明：DC 是⊙O 的切线。
例 4.如图所示，已知 AB、AC 分别是⊙O 的直径和弦，D 为劣弧 AC 上一点， DE⊥AB 于点 H，交⊙O 于 E，交 AC 于点 F，P 为 ED 延长线上一点。 （1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切，请说明理由；
r
d
d=r
r
d
三、圆与圆的位置关系 外离（图 1） 无交点
d Rr；
外切（图 2） 有一个交点 d R r ； 相交（图 3） 有两个交点 R r d R r ； 内切（图 4） 有一个交点 d R r ； 内含（图 5） 无交点
B A E
DAE C
五、切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵ MN OA 且 MN 过半径 OA 外端 ∴ MN 是⊙ O 的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
M A O
A O E D （第 20 题） B G F C
圆与圆有关的位置关系切线课件
06
总结与回顾
重点回顾
圆与圆的位置关系
总结了五种位置关系，包括外离、外切、相交、内切和内含，并 介绍了如何利用圆心距与两圆半径的关系来判断位置关系。
切线的定义与性质
回顾了切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线，以及切线的 性质，如垂直于过切点的半径等。
切线与圆的位置关系
总结了切线与圆的位置关系，包括相离、相切和相交，并介绍了 如何利用圆心到切线的距离与半径的关系来判断位置关系。
详细描述
相离是两圆位置关系的一种，当两圆心之间的距离大于两圆的半径之和时， 两圆处于相离位置关系。此时，两个圆没有交点，无法相切或相交。在切线 课件中，相离位置关系的圆与圆之间可以有公共的切线。
相切
总结词
指两个圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，两圆处于相 切位置关系。
详细描述
相切是两圆位置关系的一种，当两圆心之间的距离等于两圆 的半径之和时，两圆处于相切位置关系。此时，两个圆只有 一个交点，该交点称为切点。在切线课件中，相切位置关系 的圆与圆之间只有一条公共的切线。
详细描述
切线的性质可以用于解决实际问题，如计算圆的面积、周长等。例如，如果我们知道一个圆的半径， 我们可以利用切线的性质来计算圆的面积或周长。此外，切线的性质还可以用于解决其他与圆有关的 问题。
05
圆的切线在生活中的应用
车辆行驶中的转弯问题
车辆转弯时需要利用圆的切线，确 保车辆以安全速度和轨迹转弯，避 免侧滑或侧翻。
圆的切线定义
直线与圆只有一个公共点时， 称为直线与圆相切。这条直线
称为圆的切线。
切线和圆心的距离称为切线长 度，通常用字母d表示。
切线和圆的半径之间的夹角称 为切线角，通常用字母θ表示。
平面几何中的圆的切线与割线
平面几何中的圆的切线与割线圆是平面几何中的基本图形之一，具有许多重要性质和特点。
其中，切线和割线是与圆密切相关的概念，它们在几何学中有着广泛的应用。
本文将介绍圆的切线和割线的定义、性质以及应用。
一、切线的定义和性质在平面几何中，切线是指与圆只有一个交点的直线。
它与圆相切于该交点，并且该交点是圆心到切点的线段的垂直平分线。
切线的性质如下：1. 切线和半径垂直：切线与圆相切于一个点，这个点同时也是圆心到切点的线段的垂直平分线。
2. 切线的斜率与半径的斜率互为相反数：在切点处，切线与半径的斜率之间存在着特殊的关系，它们的乘积等于-1。
3. 切线的长度等于半径的长度：以圆心为中心，切线和半径是等长的，这是切线的一个重要特征。
二、割线的定义和性质与切线相对应的是割线。
割线是一个与圆有两个交点的直线，它截断了圆的一部分或者整个圆内部。
割线的性质如下：1. 割线的两个交点与圆心对应的弦的中点重合：割线截断了圆，将圆划分为两部分，并且圆心、割线的交点和圆上与这两个交点对应的弦的中点是共线的。
2. 割线的长度不等于半径的长度：割线截断了圆，所以其长度一般不等于半径的长度。
3. 割线的两个交点到圆心的距离相等：以圆的圆心为中心，割线上的任意两个交点到圆心的距离是相等的。
三、切线与割线的应用切线和割线在实际问题中有着许多应用。
以下是其中一些常见的应用场景：1. 直线与圆的位置关系：通过判断一条直线与圆的交点个数，可以判断直线与圆的位置关系。
若直线与圆无交点，则直线在圆外；若直线与圆有一个交点，则直线与圆相切；若直线与圆有两个交点，则直线与圆相交。
2. 切线的应用：在工程测绘和机械制造中，切线常用来解决问题。
例如，当我们需要在机械装配中使某一零件与另一零件相切时，可以利用切线的性质来确定正确的位置。
3. 割线的应用：在建筑设计和道路规划中，割线可以用来确定两个点之间的最短路径，以提高交通效率和减少建设成本。
综上所述，切线和割线是平面几何中与圆密切相关的概念。
直线与圆的位置关系之切线长定理
.O
L A
L是⊙O的切线.
直线与圆的位置关系之切线长定理
练习1：已知：AB是弦，AD是切线 ，判断∠DAC与圆周∠ABC之间的关 系并证明.
BE
C
AD
直线与圆线
A
上，这一点
和切点之间
的线段的长
叫做这点到
O·
课前训练
1、已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B 为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
（2）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径
OA的长.
A
E O CD
P
B
直线与圆的位置关系之切线长定理
3rew
演讲完毕，谢谢听讲!
回顾反思 1.切线长定理
·A
O·
·P
B
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长 相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
直线与圆的位置关系之切线长定理
回顾反思 2.三角形的内切圆、内心、内心的性质
D
E
F
直线与圆的位置关系之切线长定理
知识拓展 拓展一：直角三角形的外接圆与内切圆
b
c
a 1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在斜__边__中__点____， 半径为_斜__边__的__一__半__. 2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在三_角__形__内__部___， 半径r=___________.
B
C
变式：△ABC中,∠ A=40°，点O是△ABC的内心， 求∠ BOC的度数。
直线与圆的位置关系之切线长定理
知识拓展
2、△ABC的内切圆半径为 r , △ABC的周长为 l , 求△ABC的面积。（提示：设内心为O，连接OA、 OB、OC。）
圆与圆的五种位置关系公式
圆与圆的五种位置关系公式圆是数学中经常出现的几何图形，它表示一个位置无限接近的点集合。
圆之间的五种关系式是数学中最重要的一个基本概念，它是数学家们研究圆的方法之一，它有帮助我们判断和处理两个圆的位置关系。
所谓的圆的位置关系，就是两个圆之间的关系，可以分为同心、内切、外切、相交、外离五种状态。
首先是同心圆，所谓同心圆，就是两个圆的圆心位置是一样的，但是半径不一样，它们之间也不会相交。
同心圆的特征公式就是：两个圆的圆心距离d等于两个圆半径之差r1-r2，即d=r1-r2。
这里，r1和r2分别代表第一个圆和第二个圆的半径。
再来看内切圆，内切圆指的是一个圆完全在另一个圆的内部，同时触及另一个圆的圆周，这时它们之间的位置关系就称作内切。
内切圆的位置关系公式就是：两个圆的圆心距离d等于两个圆半径之和r1+r2，即d=r1+r2。
接下来是外切圆，外切圆也是指一个圆在另一个圆的外部，同时触及另一个圆的圆周，这时它们之间的位置关系就称作外切。
外切圆的位置关系公式就是：两个圆的圆心距离d等于两个圆半径之差|r1-r2|，即d=|r1-r2|。
第四种是相交圆，所谓相交圆，就是两个圆的外切线有一部分重叠，这就是它们的相交关系。
它们的位置关系公式就是：两个圆的圆心距离d小于两个圆半径之和r1+r2，并且大于两个圆半径之差|r1-r2|，即d<r1+r2且d>|r1-r2|。
最后是外离圆，所谓外离圆，就是两个圆的外切线完全不重叠，也就是外离的位置关系。
它们的位置关系公式就是：两个圆的圆心距离d大于两个圆半径之和r1+r2，即d>r1+r2。
以上就是两个圆之间的五种位置关系公式，经过这五种位置关系公式的比较，可以得出两个圆之间的位置关系。
圆与圆之间的位置关系是在几何和实际应用中使用得很多的，比如地图绘制、绘制复杂形状等，都需要对圆与圆之间的位置关系有清晰的认识。
因此，了解这五种位置关系公式，对数学家们来说是非常重要的，可以帮助我们从不同数学、几何和实际应用角度来考虑和处理圆与圆之间的位置关系。
与圆有关的位置关系及切线定理
与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系如果圆的半径是r ，这个点到圆心的距离为d ，那么：（1）点在圆外⇔d ＞r ； （2）点在圆上⇔d ＝r ； （3）点在圆内⇔d ＜r ； 2、直线与圆位置关系的定义及有关概念（1）直线与圆有两个公共点，叫做直线与圆相交，这直线叫做圆的割线，公共点叫做交点. （2）直线和圆有一公共点时，叫做直线和圆相切，这直线叫做圆的切线，公共点叫做切点. （3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离. 3、直线和圆的位置关系如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么 （1）直线l 和⊙O 相交⇔d ＜r ； （2）直线l 和⊙O 相切⇔d ＝r ； （3）直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r ；典例精析例1：已知直线l ：y ＝x －3和点A （0，3），B （3，0），设P 点为l 上一点，试判断P 、A 、B 是否在同一个圆上？例2：下列说法正确的是（ ）A. 过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线B. 若直线与圆不相切，则它和圆相交C. 若直线和圆有公共点，直线和圆相交D. 若直线和圆有唯一公共点，则公共点是切点例3：设直线l 到⊙O 的圆心的距离为d ，⊙O 的半径为R，并使20x R -+=，试根据关于x 的一元二次方程根的情况讨论l 与⊙O 的位置关系.3、圆和圆的位置关系⎧⎨⎩外离(没有公共点)(1)相离内含(包括同心圆) ()⎧⎨⎩外切(2)相切有一个公共点内切(3)相交(有两个公共点)注：两圆同心是两圆内含的一种特例.2、两圆的位置与两圆的半径、圆心距之间的数量关系 设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，那么 （1）两圆外离⇒d ＞R ＋r （2）两圆外切⇒d ＝R ＋r （3）两圆相交⇒R －r ＜d ＜R +r（4）两圆内切⇒d ＝R －r （5）两圆内含⇒d ＜R －r典例精析例1：已知两个圆的半径分别为2、3，圆心距是d ，若两圆有公共点，则d 的取值范围为______. 例2：已知⊙O 1和⊙O 2内切，圆心距为7cm ，⊙O 1的半径为8cm ，求⊙O 2的半径.DC BA例4：如图：⊙M 的半径为8cm ，⊙N 的半径为6cm ，MN ＝10cm ，两圆相交于A 、B 两点，连接AB 与MN 交于点C ，求AB 的长为多少？与相切有关的性质 定理 1、切线的性质定理：定理：圆的切线垂直于过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切点的直线必经过切点. 推论2：经过切点且垂直于切点的直线必经过圆心. 2、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3、切线的判定方法（1）定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）数量关系：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（证长度） （3）定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.（证角度） 两圆相切与相交的性质：（1）如果两圆相切，那么两圆的连心线经过切点；（2）两圆相交，连心线垂直平分相交圆的公共弦。
圆与圆的5种位置关系
圆与圆的5种位置关系为了更好地理解圆与圆的位置关系，我们需要先大体了解一下圆的特性。
圆可以用一个点为圆心和一个长度为半径的线段描述。
圆的基本特性包括：1. 圆周是一个封闭的曲线，其上每一点到圆心的距离都相等。
2. 圆周的长度是由半径决定的，即圆周长L=2πr。
3. 圆与平面各部分的交线总是一条曲线，且圆与平面各部分的交线总在圆周内部。
有了这些基础，我们可以探讨圆与圆之间的5种主要位置关系：1. 相离两个圆不相交，也不相切，这种情况下两个圆被称为“相离”的。
这意味着两个圆之间存在一定的距离，以至于它们不会相互干涉、重叠或相交。
这种情况下两个圆的圆心距离大于两个圆的半径之和。
2. 外切两个圆在一个点相接触的情况下被称为“外切”。
这个接触的点称为外切点，与之对应的距离为两圆心距离减去两个圆的半径之和。
两个圆相切的情况下，它们的圆心连线与外切点形成一条正切线。
3. 相交两个圆交于两个点时被称为“相交”。
两个圆的圆心连线与相交的两点之间形成一条线段，这条线段称为过两圆圆心的公共弦，公共弦的长度由两个圆的圆心距离以及它们的半径决定。
4. 内切两个圆在一个圆内侧相接触被称为“内切”。
这个接触的点同样称为内切点，与之对应的距离为两圆心距离减去两个圆的半径之差。
如上所述，两个圆相切的情况下，它们的圆心连线与内切点形成一条正切线。
5. 包含一个圆完全包含另一个圆并与之内部不相交时被称为“包含”。
这种情况下，大圆的圆心距离小于两圆半径的差值，小圆的圆心则被大圆所包围。
这种情况下，两个圆没有任何公共弦。
总之，这五种情况描述了圆与圆之间的所有可能位置关系。
掌握它们的特点和性质可以帮助我们更好地理解和解决涉及到圆形的问题。
第三十讲圆与圆的位置关系
（A）2cm（B）10cm（C）2cm或10cm（D）4cm或10cm
(3)两圆的圆心距为1.8,半径分别为方程4x2-20x+21=0 的两根,则两圆的位置关系是( D )
（A）外离 （B）相切 （C）相交 （D）内含
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第三十讲圆关系：设R、r（R＞r）为两圆的半 径，d为圆心距，则
（1）两圆外离
ｄ＞ｒ＋R
（2）两圆外切
ｄ＝R＋ｒ
（3）两圆相交
R－ｒ＜ｄ＜R＋ｒ
（4）两圆内切
ｄ＝R－ｒ
（5）两圆内含
ｄ＜R－ｒ
注意：两圆相切包含外切和内切，两圆相离包含 外离和内含。
2.两圆的连心线性质： （1）相切两圆的连心线必经过切点； （2）相交两圆的连心线，垂直平分两圆的公共 弦，并且平分两外公切线所夹的角.
1 4
＝2 0
没有实数根，其中R、r分别为⊙O1⊙O2的半径，d为此两 圆的圆心距，则⊙O1⊙O2的位置关系是（ A ）
（A）外离 （B）相切 （C）相交 （D）内含
（2）已知⊙O1的半径为 3 5 cm， ⊙O2的半径的半
径为5cm， ⊙O1和⊙O2相交于点D、E，若两圆的公共 弦长为6cm，则两圆的圆心距O1O2的长为（ C ）
例2（1）如果两圆有公共点则两圆公切线的条数是： ＿1＿条＿或＿2条＿或＿3＿条＿ （2）两圆外离，圆心距为25cm，两圆周长分别为 15π 和10π cm，则其内公切线和连心线所夹的锐角 等于＿＿30＿0 ＿＿度.
（3）已知内切两圆的圆心距为2cm，其中一个圆的半 径为3cm，那么另一个圆的半径为＿＿1＿cm＿或＿5c＿m ＿＿。
切线长定理、弦切角、和圆有关的比
初三中考冲刺之几何证明、解答题技巧切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段定理的掌握。
1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角、顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于PPA·PB＝PC·PD连结AC、BD，证：△APC∽△DPB相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于PPC2＝PA·PB用相交弦定理切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
圆与切线的位置关系与计算
圆与切线的位置关系与计算圆与切线的位置关系及计算是几何学中的基础概念之一。
在平面几何中，圆是由一点到平面上所有距离相等的点构成的图形。
切线是与圆的某一点相切且与半径垂直的直线。
本文将就圆与切线的位置关系及计算进行讨论。
1. 圆与切线的位置关系：在一个平面上，给定一个圆唯一确定一条通过圆上某一固定点的切线。
圆与切线的位置关系主要包括以下几种情况：（1）切线外离：当切线与圆相交的点数为0时，切线与圆的位置关系为切线外离。
（2）相切：当切线与圆相交的点数为1时，切线与圆的位置关系为相切。
在相切的情况下，切线是圆的切线，而圆也是切线的切圆。
（3）相交：当切线与圆相交的点数为2时，切线与圆的位置关系为相交。
在相交的情况下，切线穿过圆的内部，与圆的弦相交。
2. 切线的计算：在切线与圆的计算中，我们主要关注以下两个概念：切线长和切点坐标。
（1）切线长的计算：设圆的半径为r，圆心坐标为（a，b），切点坐标为（x0，y0）。
利用勾股定理可以得到切线长t的计算公式为：t = 2√(r^2 - (x0-a)^2) 或 t = 2√(r^2 - (y0-b)^2)（2）切点坐标的计算：设圆的半径为r，圆心坐标为（a，b），切线方程为y = kx + c。
利用直线与圆的交点公式可以得到切点坐标（x0，y0）的计算公式为：x0 = (ak + b - ck)/(k^2 + 1)y0 = kx0 + c3. 圆与切线的实际应用：圆与切线的位置关系与计算在实际应用中有着广泛的应用，例如：（1）在工程设计中，通过计算切线与圆的位置关系，可以确保建筑物与圆形结构（如管道、桥梁）的安全距离，避免两者之间的碰撞。
（2）在数学建模中，通过分析圆与切线的位置关系，可以解决相关的几何问题，如平面几何问题和优化问题。
（3）在计算机图形学中，通过计算圆与切线的位置关系，可以实现平滑曲线的绘制和图形的变形效果。
综上所述，圆与切线的位置关系及计算是几何学中的重要内容。
圆圆的位置关系知识点总结
圆圆的位置关系知识点总结圆是我们数学中常见的几何图形之一。
我们在学习和探索圆的性质时，首先需要了解圆圆的位置关系的知识点。
本文将按照步骤思考的方式，总结圆圆的位置关系的知识点。
1.同心圆：同心圆是指具有相同圆心的多个圆。
不同的同心圆的半径可以不相同，但圆心必须重合。
同心圆之间的半径长度不同，但它们的圆心都位于同一个位置。
2.内切圆和外切圆：内切圆是指一个圆完全位于另一个圆的内部，并且两个圆的圆心重合。
外切圆是指一个圆完全包围住另一个圆，并且两个圆的圆心重合。
内切圆和外切圆的半径之间有特定的关系。
3.相切圆：相切圆是指两个圆之间切线相同的情况。
相切圆的切线是指两个圆之间的切线，切线与两个圆的半径垂直。
4.相交圆：相交圆是指两个圆在同一个平面上，有交集的情况。
相交圆之间可以有多个交点。
5.内离圆和外离圆：内离圆是指一个圆位于另一个圆的内部，但两个圆没有交集。
外离圆是指一个圆与另一个圆没有任何交集，并且两个圆的圆心之间的距离大于两个圆的半径之和。
6.同相圆：同相圆是指两个圆在同一个平面上，且圆心之间的距离等于两个圆的半径之和。
7.同弦圆：同弦圆是指在同一个平面上，两个圆的弦相等。
8.同切圆：同切圆是指两个圆之间只有一条公共切线，并且切线与两个圆的半径垂直。
9.割线圆：割线圆是指两个圆之间有两条不同的公共切线。
通过以上的总结，我们可以了解到圆圆之间的位置关系有很多种，包括同心圆、内切圆、外切圆、相切圆、相交圆、内离圆、外离圆、同相圆、同弦圆、同切圆和割线圆等。
这些位置关系对于解决几何问题和探索圆的性质非常重要。
希望本文对你理解圆圆的位置关系有所帮助。
直线与圆的位置关系切线长定理
直线与圆的位置关系切线长定理在几何学中，直线与圆的位置关系一直是一个重要的研究课题。
其中，切线长定理是直线与圆的位置关系中的一个重要定理，它在解决直线与圆的位置关系问题时起着至关重要的作用。
本文将介绍切线长定理的定义、推导过程及其应用。
一、切线长定理的定义切线长定理是指直线与圆的位置关系中，一条直线与圆相切时，切线与切点之间的长度关系。
具体来说，切线长定理可以表述为：一条直线与圆相切时，切线与切点之间的长度平方等于切点到圆心的距离的平方减去圆的半径的平方。
切线长定理可以用公式表示为：PT^2 = PC^2 - r^2其中，PT表示切线与切点之间的长度，PC表示切点到圆心的距离，r表示圆的半径。
二、切线长定理的推导切线长定理的推导可以通过几何方法和代数方法来进行。
这里我们将介绍一种代数方法的推导过程。
假设圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心坐标，r为圆的半径。
直线的方程为y = kx + c，其中k为直线的斜率，c为直线的截距。
首先，我们要找到直线与圆相切的条件。
直线与圆相切的条件是直线与圆的切点只有一个，也就是直线与圆的方程组有且只有一个解。
将直线方程代入圆的方程中，得到一个关于x的二次方程：(x-a)^2 + (kx+c-b)^2 = r^2解这个方程，得到直线与圆相切的条件：Δ = (k^2+1)(c-b)^2 - (1+k^2)(a^2+b^2-r^2) = 0其中，Δ为方程的判别式。
当Δ=0时，直线与圆相切。
接下来，我们要求出切线与切点之间的长度。
设直线与圆的切点为P(x0, y0)，则切点到圆心的距离为：PC^2 = (x0-a)^2 + (y0-b)^2切线与切点之间的长度为：PT^2 = (x-x0)^2 + (y-y0)^2将直线方程代入PT^2的表达式中，得到：PT^2 = (x-x0)^2 + (kx+c-y0)^2将PT^2和PC^2代入切线长定理的公式中，得到：(x-x0)^2 + (kx+c-y0)^2 = (x0-a)^2 + (y0-b)^2 - r^2 化简上式，得到切线长定理的公式：PT^2 = PC^2 - r^2三、切线长定理的应用切线长定理在解决直线与圆的位置关系问题时起着重要作用。
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切线长和切线长定理及圆与圆的位置关系一、切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．二、三角形内切圆1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3．直角三角形的内切圆半径与三边关系OF ED C BACBA CBAcbacba（1） （2）图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++； 图（2）中，90C ∠=︒，则()12r a b c =+-、abr a b c=++重难点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．1.切线长定理及切线性质的应用例题1（2011·济宁）如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 的两条切线，DE 切⊙O 于点E ，交AM 与于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF 。
（1） 求证：OD ∥BE;(2) 猜想：OF 与CD 有何数量关系？并说明理由。
解：（1）证明：连接OE∵AM 、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径 ∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°…………1分∴∠AOD=∠EOD=21∠AOE …………2分 ∵∠ABE=21∠AOE ∴∠AOD=∠ABE ∴OD ∥BE …………3分 (2) OF =21CD …………4分 理由：连接OC∵BE 、CE 是⊙O 的切线∴∠OCB=∠OCE …………5分 ∵AM ∥BN∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由（1）得 ∠ADO=∠EDO∴2∠EDO+2∠OCE=180° 即∠EDO+∠OCE=90° …………6分 在Rt △DOC 中， ∵ F 是DC 的中点 ∴OF =21CD ……7分 三、圆与圆的位置关系重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用． 难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题． 易错点：1）圆与圆位置关系中相交时圆心距在两圆半径和与差之间， 2）没有公共点要考虑外离和内含的两种情况 3）有一个公共点要考虑内切与外切两种情况4）两圆相交求的公共弦多对的圆周角，求出圆心距一般都有两种情况例题2（2011•绍兴）如图，相距2cm的两个点A、B在直线l上．它们分别以2cm/s和1cm/s 的速度在l上同时向右平移，当点A，B分别平移到点A1，B1的位置时，半径为1cm的⊙A1，与半径为BB1的⊙B相切．则点A平移到点A1，所用的时间为为多少秒?考点：圆与圆的位置关系。
专题：数形结合；分类讨论。
分析：首先设点A平移到点A1，所用的时间为ts，根据题意求得AB=2cm，AA1=2tcm，A1B=1cm，BB1=tcm，再分别从内切与外切四种情况分析求解，即可求得答案．解答：解：设点A平移到点A1，所用的时间为ts，根据题意得：AB=2cm，AA1=2tcm，A1B=1cm，BB1=tcm，如图（1），此时外切：2t+1+t=2，∴t=；(1)如图(2) 此时外切：2t﹣t﹣1=2，∴t=3．．（2）如图(3)，此时内切：2t+t﹣1=2，∴t=1，此时两圆重合，舍去；如图(4)此时内切：2t﹣t+1=2，∴t=1，此时两圆重合，舍去；（3）(4)∴点A平移到点A1，所用的时间为或3s点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意数形结合与方程思想，分类讨论思想的应用，注意别漏解．习题巩固1如图，AB是半圆（圆心为O）的直径，OD是半径，BM切半圆于B，OC与弦AD平行且交BM于C。
（1）求证：CD是圆O的切线；（2）若2OA=且6AD OC+=，求CD的长？相交有两个公共点R-r <d< R+rCODBA【例1】 在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点O 在BC 上，以O 为圆心的圆O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ，若AB a =， AC b =，则圆O 的半径为（ ）AB 、a b ab + C 、ab a b + D 、2a b+ CFBA CE B例1图 例2图 例3图【例2】 如图，AB BC ⊥，DC BC ⊥，BC 与以AD 为直径的圆O 相切于点E ，9AB =，4CD =，则四边形ABCD 的面积为 。
【例3】 如图，过O 外一点P 作圆O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，在AB 、PB 、PA 上分别取一点D 、E 、F ，使AD BE =，BD AF =，连结DE 、DF 、EF ，则EDF ∠=（ ）A 、90P ︒∠－B 、1902P ︒-∠C 、180P ︒-∠D 、1452P ︒∠-【例4】 如图，已知ABC ∆中，AC BC =， CAB α∠=（定值），圆O 的圆心O 在AB 上，并分别与AC 、BC 相切于点P 、Q 。
（1）求POQ ∠；（2）设D 是CA 延长线上的一个动点，DE 与O 相切于点M ，点E 在CB 的延长线上，试判断DOE ∠的大小是否保持不变，并说明理由。
NQP ODCBA【例5】 如图，圆O 为Rt ABC ∆的内切圆，点D 、E 、F 为切点，若6AD =，4BD=，则ABC ∆的面积为 。
CEO FDB【例6】 正方形ABCD 中，AE 切以BC 为直径的半圆于E ，交CD 于F ，则:CF FD =（ ） A 、1∶2 B 、1∶3 C 、1∶4 D 、2∶5EFDCBA例1．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O ，O′是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ 成一条直线，TP 、NP 分别为两圆的切线，求∠TPN 的大小．（1） (2)解题思路：要求∠TPN ，其实就是求∠OPO′的角度，很明显，∠POO′是正三角形，如图2所示．例2．如图1所示，⊙O 的半径为7cm ，点A 为⊙O 外一点，OA=15cm ， 求：（1）作⊙A 与⊙O 外切，并求⊙A 的半径是多少？AO(1) (2) (2）作⊙A 与⊙O 相内切，并求出此时⊙A 的半径．解题思路：（1）作⊙A 和⊙O 外切，就是作以A 为圆心的圆与⊙O 的圆心距d=r O +r A ；（•2）•作OA 与⊙O 相内切，就是作以A 为圆心的圆与⊙O 的圆心距d=r A －r O ．解：如图2所示，（1）作法：以A 为圆心，r A =15－7=8为半径作圆，则⊙A•的半径为8cm（2）作法：以A 点为圆心，r A ′=15+7=22为半径作圆，则⊙A 的半径为22cm 例3．如图所示，点A 坐标为（0，3），OA 半径为1，点B 在x 轴上． （1）若点B 坐标为（4，0），⊙B 半径为3，试判断⊙A 与⊙B 位置关系； （2）若⊙B 过M （－2，0）且与⊙A 相切，求B 点坐标．（1）AB=5>1+3，外离．（2）设B （x ，0）x≠－2，则AB=29x +，⊙B 半径为│x+2│， ①设⊙B 与⊙A 外切，则29x +=│x+2│+1，当x>－2时，29x +=x+3，平方化简得：x=0符题意，∴B （0，0）， 当x<－2时，29x +=－x －1，化简得x=4>－2（舍）， ②设⊙B 与⊙A 内切，则29x +=│x+2│－1，当x>－2时，29x +=x+1，得x=4>－2，∴B （4，0）， 当x<－2时，29x +=－x －3，得x=0，50．（武汉市）已知：如图，E 是相交两圆⊙M 和⊙O 的一个交点，且ME ⊥NE ，AB 为外公_A_y _x_O切线，切点分别为A 、B ，连结AE 、BE ．则∠AEB 的度数为 （ ） ----拓展题 （A ）145° （B ）140° （C ）135° （D ）130°测试题1．（北京市东城区）如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧上的一点，已知∠BAC ＝80，那么∠BDC ＝__________度．7．（重庆市）如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，，，的度数比为3∶2∶4，MN 是⊙O 的切线，C 是切点，则∠BCM 的度数为___________．20．（陕西省）如图，⊙O 1的半径O 1A 是⊙O 2的直径，C 是⊙O 1上的一点，O 1C 交⊙O 2于点B ．若⊙O 1的半径等于5厘米，的长等于⊙O 1周长的101，则的长是_________．22．（甘肃省）如图，AB ＝8，AC ＝6，以AC 和BC 为直径作半圆，两圆的公切线MN 与AB 的延长线交于D ，则BD 的长为_________．35．（成都市）如图，PA 、PB 与⊙O 分别相切于点A 、点B ，AC 是⊙O 的直径，PC 交⊙O 于点D ．已知∠APB ＝60，AC ＝2，那么CD 的长为38．（绍兴市）如图，PT 是⊙O 的切线，T 为切点，PB 是⊙O 的割线交⊙O 于A 、B 两点，交弦CD 于点M ，已知：CM ＝10，MD ＝2，PA ＝MB ＝4，则PT 的长等于__________．〔2011•日照市〕11．已知AC ⊥BC 于C ，BC =a ，CA =b ，AB =c ，下列选项中⊙O 的半径为ba ab+的是C3. （2011浙江衢州，16,4分）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r .用角尺的较短边紧靠O ，并使较长边与O 相切于点C .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B ，较短边8cm AB =.若读得BC 长为cm a ，则用含a 的代数式表示r 为 .16. （2011四川绵阳22，12）如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，∠BAD =90°，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切. (1)求证：OB 丄OC ;(2)若AD = 12，∠ BCD =60°，⊙O 1与半⊙O 外切，并与BC 、CD 相切，求⊙O 1的面积.【答案】（1）证明：连接OF,在梯形ABCD ，在直角△AOB 和直角△AOB F 中∵⎩⎨⎧AO=FO OB=OB∴△AOB ≌△AOB （HL ）同理△COD ≌△COF,∴∠BOC=90°，即OB ⊥OC(2) 过点做O 1G ,O 1H 垂直DC,DA,∵∠DOB=60°，∴∠DCO=∠BCO=30°，设O 1G=x,又∵AD=12,∴OD=6，DC=63,OC=12,CG=3x, O 1C =6-x,根据勾股定理可知O 1G²+GC²=O 1C²x²+3x²=（6-x ）²∴(x-2)(x+6)=0,x=2H17. （2011四川乐山24，10分）如图，D 为O 上一点。