因式分解专题(学案)

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因式分解教案5篇

因式分解教案5篇2023因式分解教案（篇1）一、教学目标【学问与技能】了解运用公式法分解因式的意义，会用平方差分解因式;知道提公因式法分解因式是首先考虑的方法，再考虑用平方差分解因式。

【过程与方法】通过对平方差特点的辨析，培育观看、分析力量，训练对平方差公式的应用力量。

【情感态度价值观】在逆用乘法公式的过程中，培育逆向思维力量，在分解因式时了解换元的思想方法。

二、教学重难点【教学重点】运用平方差公式分解因式。

【教学难点】敏捷运用公式法或已经学过的提公因式法分解因式;正确推断因式分解的彻底性。

三、教学过程(一)引入新课我们学习了因式分解的定义，还学习了提公因式法分解因式。

假如一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢?当然不是，大家知道因式分解与多项式乘法是互逆关系，能否利用这种关系找到新的因式分解的方法呢?大家先观看下列式子：(1)(x+5)(x-5)=,(2)(3x+y)(3x-y)=,(3)(1+3a)(1-13a)=他们有什么共同的特点?你可以得出什么结论?(二)探究新知同学独立思索或者与同桌争论。

引导同学得出：①有两项组成，②两项的符号相反，③两项都可以写成数或式的平方的形式。

提问1：能否用语言以及数学公式将其特征表述出来? 2023因式分解教案（篇2）【教学目标】1、了解因式分解的概念和意义;2、熟悉因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。

【教学重点、难点】重点是因式分解的概念，难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。

【教学过程】㈠、情境导入看谁算得快：（抢答）(1)若a=101,b=99,则a2-b2=___________；(2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________；(3)若x=-3,则20x2+60x=____________。

㈡、探究新知1、请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。

初中数学《因式分解》学案

(1) 3x(x-1)= 3x2-3x=( )( )
(2)m(a+b+c)= ma+mb+mc=( )( )
(3) (m+4)(m-4)= m2-16 =( )( )
(4) ( y-3)2= y2-6y+9 =( )2
(5)a(a+1)(a-1)= a3-a =( )( )( )
小组讨论：因式分解与整式乘法有什么关系？
(1)单项式乘以单项式(2)单项式乘以多项式(3)多项式乘以多项式
乘法公式有哪些?
(1)平方差公式_______________________
(2)完全平方公式________________________
2．自学检测
_____________________________________,这种变形叫做因式分解，也可称为____________
二、合作探究
合作探究一：993-99能被100整除吗？小组讨论，写出过程
根据探究一过程思考可以化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴进行交流，并写出过程
给出因式分解定义：_____________________________________________________
合作探究二：计算下列各式:
七年级数学上册第学案
课题
因式分解
课型
新授课
教师寄语
今天编织的双翼，决定着明天腾飞的高度。
学习目标
使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念．
认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法
学生自主活动材料
一、前置性自学
1、温故知新：整式整式乘法?哪些是因式分解?

因式分解教案6篇

因式分解教案6篇在教学工作者开展教学活动前，时常要开展教案准备工作，教案是教材及大纲与课堂教学的纽带和桥梁。

教案要怎么写呢？下面是精心整理的因式分解教案6篇，仅供参考，希望能够帮助到大家。

因式分解教案篇1知识点：因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步骤。

教学目标：理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。

考查重难点与常见题型：考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。

重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。

习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。

教学过程：因式分解知识点多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积。

分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止。

分解因式的常用方法有：（1）提公因式法如多项式其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式。

（2）运用公式法，即用写出结果。

（3）十字相乘法对于二次项系数为l的二次三项式寻找满足ab=q，a+b=p的a，b，如有，则对于一般的二次三项式寻找满足a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，则（4）分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行。

分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号。

（5）求根公式法：如果有两个根X1，X2，那么2、教学实例：学案示例3、课堂练习：学案作业4、课堂：5、板书：6、课堂作业：学案作业7、教学反思：因式分解教案篇2一、教材分析1、教材的地位与作用“整式的乘法”是整式的加减的后续学习从幂的运算到各种整式的乘法，整章教材都突出了学生的自主探索过程，依据原有的知识基础，或运用乘法的各种运算规律，或借助直观而又形象的图形面积，得到各种运算的基本法则、两个主要的乘法公式及因式分解的基本方法学生自己对知识内容的探索、认识与体验，完全有利于学生形成合理的知识结构，提高数学思维能力．利用公式法进行因式分解时，注意把握多项式的特点，对比乘法公式乘积结果的形式，选择正确的分解方法。

精选因式分解教案（通用9篇）

因式分解教案精选因式分解教案（通用9篇）作为一位杰出的老师，时常需要用到教案，借助教案可以恰当地选择和运用教学方法，调动学生学习的积极性。

优秀的教案都具备一些什么特点呢？以下是小编帮大家整理的因式分解教案，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友！因式分解教案篇1教学目标：1、进一步巩固因式分解的概念;2、巩固因式分解常用的三种方法3、选择恰当的方法进行因式分解4、应用因式分解来解决一些实际问题5、体验应用知识解决问题的乐趣教学重点：灵活运用因式分解解决问题教学难点：灵活运用恰当的因式分解的方法，拓展练习2、3教学过程：一、创设情景：若a=101，b=99，求a2—b2的值利用因式分解往往能将一些复杂的运算简单化，那么我们先来回顾一下什么是因式分解和怎样来因式分解。

二、知识回顾1、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。

判断下列各式哪些是因式分解？（让学生先思考，教师提问讲解，让学生明确因式分解的概念以及与乘法的关系）（1）、x2—4y2=（x+2y）（x—2y）因式分解（2）、2x（x—3y）=2x2—6xy整式乘法（3）、（5a—1）2=25a2—10a+1整式乘法（4）、x2+4x+4=（x+2）2因式分解（5）、（a—3）（a+3）=a2—9整式乘法（6）、m2—4=（m+4）（m—4）因式分解（7）、2πR+2πr=2π（R+r）因式分解2、规律总结（教师讲解）：分解因式与整式乘法是互逆过程。

分解因式要注意以下几点：（1）分解的对象必须是多项式。

（2）分解的结果一定是几个整式的乘积的形式。

（3）要分解到不能分解为止。

3、因式分解的方法提取公因式法：—6x2+6xy+3x=—3x（2x—2y—1）公因式的概念;公因式的求法公式法：平方差公式：a2—b2=（a+b）（a—b）完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）24、强化训练教学引入师：教材在《四边形》这一章《引言》里有这样一句话：把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。

二次三项式的因式分解-学案

17.4.1二次三项式的因式分解-学案(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--二次三项式的因式分解一、课前练习1.将下列二次多项式分解因式:;4)1(2-x ;14)2(2-x .49)3(2-x2.将下列二次三项式分解因式:;403)1(2--x x ;276)2(2-+x x ;2012)3(2++x x;189)4(2+-x x .642)5(2-+x x二、阅读理解1.阅读教材P43～45.2.二次三项式的因式分解:(1)当m 、n 为正数时,))((2n x m n x m n mx -+=-.(2)若一元二次方程02=++c bx ax 有两个实数根21,x x , 那么在实数范围内分解因式:c bx ax ++2= .想一想对于二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)进行因式分解,为什么可以通过求一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根来解决?3.阅读中遇到的问题有三、新课探索1.请在实数范围内分解下列各式:(1);592-x (2).232-x2.将下列二次三项式分解因式:(1)232--x x ; (2)3422-+x x .例题1 分解因式:.1842-+x x例题2 把2232y xy x --分解因式.四、课内练习1.因式分解:;14)1(2++x x ;132)2(2-+x x;163)3(2+-x x .336)4(2-+x x2.在实数范围内分解因式:;2)1(22a ax x -- .582)2(22y xy x +-（1）一元二次方程的应用一、填空题1、方程05722=++x x 的两个根为25-，1-，则多项式5722++x x 可以分解为2、二次三项式322-+x ax 在实数范围内能分解因式，那a 的取值范围是 __3、在实数范围内分解因式：542-x =4、在实数范围内分解因式：3424+-x x =二、在实数范围内分解因式 1、142--a a 2、11242+-y y3、222a ax x --4、2225y xy x ++-5、510322+-xy y x6、22322m mx x --三、若多项式12862-+-k x x 在实数范围内不能分解因式，则k 能取的最小整数值是多少？。

《因式分解》学案2

《因式分解》学案2一、学习目标1、理解因式分解的意义，能区分整式的乘法与因式分解；认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系.2、会根据因式分解的意义来判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解.二、重点难点重点：理解因式分解的意义；判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解.难点：多项式因式分解和整式乘法的关系三、导学问题（一）检测导入计算下列各式：(1)m(a+b+c)=_________ ；(2)(a+b)(a-b)=_________ ；(3)(a+b)2=___________；(4)3x（x－1）=__________；(5)a（a+1）（a－1）=__________；(6)（y－3）2=__________；（二）合作探究1、探究因式分解的定义思考：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形有什么不同?小结：一般地，把一个含字母的表示成若干个多项式的的形式，称把这个多项式因式分解。

2、探究整式乘法与因式分解的关系（1）计算：（整式乘法）(a+b)(a-b) = (a+b)2= (a-b)2= a(3a-5b)= (x-3y)(2x+y)=（2）因式分解：由上述计算可知：a2-b2= a2±2ab+b2=3a2-5ab= 2x2-5ay-3y2=归纳：（1）、整式乘法与因式分解的关系是（2）、因式分解的特点是：(三)课堂检测：1．看谁连得准x2-y2 (x+1)29-25x 2 y(x -y)x 2+2x+1 (3-5x)(3+5x)xy-y2 (x+y)(x-y)2．已知公式V=IR1+IR2+IR3，当R1=22.8，R2=31.5，R3=33.7，I=2.5，求V的值3．利用简便方法计算：（1）992–1 （2）-2.67×132+25×2.67+7×2.674．19992+1999能被1999整除吗？能被2000整除吗？5．已知a为正整数，试判断a2＋a是奇数还是偶数，请说明理由。

关于因式分解教案四篇

•••••••••••••••••因式分解教案关于因式分解教案四篇作为一名默默奉献的教育工作者，可能需要进行教案编写工作，编写教案有利于我们科学、合理地支配课堂时间。

那么大家知道正规的教案是怎么写的吗？下面是小编整理的因式分解教案4篇，欢迎阅读与收藏。

因式分解教案篇1教学目标1、会运用因式分解进行简单的多项式除法。

2、会运用因式分解解简单的方程。

二、教学重点与难点教学重点：教学重点因式分解在多项式除法和解方程两方面的应用。

教学难点：应用因式分解解方程涉及较多的推理过程。

三、教学过程（一）引入新课1、知识回顾（1）因式分解的几种方法：①提取公因式法：ma+mb=m（a+b）②应用平方差公式： = （a+b）（a—b）③应用完全平方公式：a 2ab+b =（ab）（2）课前热身：①分解因式：（x +4） y — 16x y（二）师生互动，讲授新课1、运用因式分解进行多项式除法例1 计算：（1）（2ab —8a b）（4a—b）（2）（4x —9）（3—2x）解：（1）（2ab —8a b）（4a—b） =—2ab（4a—b）（4a—b） =—2ab （2）（4x —9）（3—2x） =（2x+3）（2x—3） [—（2x—3）] =—（2x+3） =—2x—3一个小问题：这里的x能等于3/2吗？为什么？想一想：那么（4x —9）（3—2x）呢？练习：课本P162课内练习合作学习想一想：如果已知（）（）=0 ，那么这两个括号内应填入怎样的数或代数式子才能够满足条件呢？（让学生自己思考、相互之间讨论！）事实上，若AB=0 ，则有下面的结论：（1）A和B同时都为零，即A=0，且B=0（2）A和B中有一个为零，即A=0，或B=0 试一试：你能运用上面的结论解方程（2x+1）（3x—2）=0 吗？3、运用因式分解解简单的方程例2 解下列方程：（1） 2x +x=0 （2）（2x—1）=（x+2）解：x（x+1）=0 解：（2x—1）—（x+2）=0则x=0，或2x+1=0 （3x+1）（x—3）=0原方程的根是x1=0，x2= 则3x+1=0，或x—3=0 原方程的根是x1= ，x2=3注：只含有一个未知数的方程的解也叫做根，当方程的根多于一个时，常用带足标的字母表示，比如：x1 ，x2等练习：课本P162课内练习2做一做！对于方程：x+2=（x+2），你是如何解该方程的，方程左右两边能同时除以（x+2）吗？为什么？教师总结：运用因式分解解方程的基本步骤（1）如果方程的右边是零，那么把左边分解因式，转化为解若干个一元一次方程；（2）如果方程的两边都不是零，那么应该先移项，把方程的右边化为零以后再进行解方程；遇到方程两边有公因式，同样需要先进行移项使右边化为零，切忌两边同时除以公因式！4、知识延伸解方程：（x +4）—16x =0解：将原方程左边分解因式，得（x +4）—（4x） =0（x +4+4x）（x +4—4x）=0（x +4x+4）（x —4x+4）=0 （x+2）（x—2） =0接着继续解方程，5、练一练①已知 a、b、c为三角形的三边，试判断 a —2ab+b —c 大于零？小于零？等于零？解： a —2ab+b —c =（a—b）—c =（a—b+c）（a—b—c）∵ a、b、c为三角形的三边 a+c ﹥b a﹤b+c a—b+c﹥0 a—b—c ﹤0即：（a—b+c）（a—b—c）﹤0 ，因此 a —2ab+b —c 小于零。

【教学设计】因式分解法——教案、学案、教学设计资料文档

一、教案概述【教学设计】因式分解法——教案、学案、教学设计资料文档二、教学目标1. 让学生掌握因式分解的定义和基本方法。

2. 培养学生运用因式分解解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学知识的兴趣和积极性。

三、教学内容1. 因式分解的定义及意义2. 常用因式分解方法：提公因式法、分组分解法、公式法等3. 因式分解在实际问题中的应用四、教学过程1. 导入：通过简单的数学问题引入因式分解的概念，激发学生的兴趣。

2. 知识讲解：详细讲解因式分解的定义、方法和步骤。

3. 例题解析：分析并解决典型例题，让学生掌握因式分解的实际应用。

4. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。

五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 练习完成情况：检查学生作业、测验等，评估学生对知识的掌握程度。

3. 学生反馈：收集学生对教学的意见和建议，不断优化教学方法。

六、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究因式分解的方法。

2. 利用多媒体课件，生动展示因式分解的过程，提高学生的学习兴趣。

3. 创设情境，让学生在解决实际问题中运用因式分解，感受其价值。

4. 分层次教学，关注学生的个体差异，满足不同程度学生的学习需求。

5. 组织小组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。

七、教学资源1. 多媒体课件：制作内容丰富、画面精美的课件，辅助教学。

2. 练习题库：整理一份涵盖各种类型因式分解问题的习题库，方便课堂练习和课后巩固。

3. 教学视频：收集一些关于因式分解的教学视频，供学生课后自主学习。

4. 网络资源：利用互联网，为学生提供更多与因式分解相关的学习资料。

八、教学实践1. 课堂讲授：因式分解的基本概念和常用方法。

2. 例题演示：讲解典型的因式分解问题，展示解题思路。

3. 练习指导：引导学生独立完成练习题，及时解答学生疑问。

关于因式分解教案4篇

•••••••••••••••••因式分解教案关于因式分解教案4篇作为一名辛苦耕耘的教育工作者，时常需要用到教案，借助教案可以提高教学质量，收到预期的教学效果。

快来参考教案是怎么写的吧！以下是小编精心整理的因式分解教案4篇，欢迎阅读与收藏。

因式分解教案篇1第1课时1.使学生了解因式分解的意义,了解因式分解和整式乘法是整式的两种相反方向的变形.2.让学生会确定多项式中各项的公因式,会用提公因式法进行因式分解.自主探索,合作交流.1.通过与因数分解的类比,让学生感悟数学中数与式的共同点,体验数学的类比思想.2.通过对因式分解的教学,培养学生“换元”的意识.【重点】因式分解的概念及提公因式法的应用.【难点】正确找出多项式中各项的公因式.【教师准备】多媒体.【学生准备】复习有关乘法分配律的知识.导入一:【问题】一块场地由三个长方形组成,这些长方形的长分别为,,,宽都是,求这块场地的面积.解法1:这块场地的面积=×+×+×=++==2.解法2:这块场地的面积=×+×+×=×=×4=2.从上面的解答过程看,解法1是按运算顺序:先算乘法,再算加减法进行计算的,解法2是先逆用乘法分配律,再进行计算的,由此可知解法2要简单一些.这个事实说明,有时我们需要将多项式化为几个整式的积的形式,而提公因式法就是将多项式化为几个整式的积的形式的一种方法.[设计意图] 让学生通过利用乘法分配律的逆运算这一特殊算法,运用类比思想自然地过渡到提公因式法的概念上,从而为提公因式法的掌握打下基础.导入二:【问题】计算×15-×9+×2采用什么方法?依据是什么?解法1:原式=-+==5.解法2:原式=×(15-9+2)=×8=5.解法1是按运算顺序:先算乘法,再算加减法进行计算的,解法2是先逆用乘法分配律,再进行计算的,由此可知解法2要简单一些.这个事实说明,有时我们需要将多项式化为几个整式的积的形式,而提公因式法就是把多项式化为几个整式的积的形式的一种方法.[设计意图] 让学生通过利用乘法分配律的逆运算这一特殊算法,运用类比思想自然地过渡到提公因式法的概念上,从而为提公因式法的掌握打下基础.一、提公因式法分解因式的概念思路一[过渡语] 上一节我们学习了什么是因式分解,那么怎样进行因式分解呢?我们来看下面的问题.如果一块场地由三个长方形组成,这三个长方形的长分别为a,b,c,宽都是,那么这块场地的面积为a+b+c或(a+b+c),可以用等号来连接,即:a+b+c=(a+b+c).大家注意观察这个等式,等式左边的每一项有什么特点?各项之间有什么联系?等式右边的项有什么特点?分析:等式左边的每一项都含有因式,等式右边是与多项式a+b+c 的乘积,从左边到右边的过程是因式分解.由于是左边多项式a+b+c中的各项a,b,c都含有的一个相同因式,因此叫做这个多项式各项的公因式.由上式可知,把多项式a+b+c写成与多项式a+b+c的乘积的形式,相当于把公因式从各项中提出来,作为多项式a+b+c的一个因式,把从多项式a+b+c的各项中提出后形成的多项式a+b+c,作为多项式a+b+c的另一个因式.总结:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法.[设计意图] 通过实例的教学,使学生明白什么是公因式和用提公因式法分解因式.思路二[过渡语] 同学们,我们来看下面的问题,看看同学们谁先做出来.多项式ab+ac中,各项都含有相同的因式吗?多项式3x2+x呢?多项式b2+nb-b呢?结论:多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式.多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么?你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗?结论:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法.[设计意图] 从让学生找出几个简单多项式的公因式,再到让学生尝试将多项式分解因式,使学生理解公因式以及提公因式法分解因式的概念.二、例题讲解[过渡语] 刚刚我们学习了因式分解的一种方法,现在我们尝试下利用这种方法进行因式分解吧.(教材例1)把下列各式因式分解:(1)3x+x3;(2)7x3-21x2;(3)8a3b2-12ab3c+ab;(4)-24x3+12x2-28x.〔解析〕首先要找出各项的公因式,然后再提取出来.要避免提取公因式后,各项中还有公因式,即“没提彻底”的现象.解:(1)3x+x3=x3+xx2=x(3+x2).(2)7x3-21x2=7x2x-7x23=7x2(x-3).(3)8a3b2-12ab3c+ab=ab8a2b-ab12b2c+ab1=ab(8a2b-12b2c+1).(4)-24x3+12x2-28x=-(24x3-12x2+28x)=-(4x6x2-4x3x+4x7)=-4x(6x2-3x+7).【学生活动】通过刚才的练习,大家互相交流,总结出提取公因式的一般步骤和容易出现的问题.总结:提取公因式的步骤:(1)找公因式;(2)提公因式.容易出现的问题(以本题为例):(1)第(2)题中只提出7x作为公因式;(2)第(3)题中最后一项提出ab后,漏掉了“+1”;(3)第(4)题提出“-”号时,没有把后面的因式中的每一项都变号.教师提醒:(1)各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分;(2)因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数相同;(3)若多项式的首项为“-”,则先提取“-”号,然后再提取其他公因式;(4)将分解因式后的式子再进行整式的乘法运算,其积应与原式相等.[设计意图] 经历用提公因式法进行因式分解的过程,在教师的启发与指导下,学生自己归纳出提公因式的步骤及提取公因式时容易出现的类似问题,为提取公因式积累经验.1.提公因式法分解因式的一般形式,如:a+b+c=(a+b+c).这里的字母a,b,c,可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.2.提公因式法分解因式的关键在于发现多项式的公因式.3.找公因式的一般步骤:(1)若各项系数是整系数,则取系数的最大公约数;(2)取各项中相同的字母,字母的指数取最低的;(3)所有这些因式的乘积即为公因式.1.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是( )A.-6ab2cB.-ab2C.-6ab2D.-6a3b2c解析:根据确定多项式各项的公因式的方法,可知公因式为-6ab2.故选C.2.下列用提公因式法分解因式正确的是( )A.12abc-9a2b2=3abc(4-3ab)B.3x2-3x+6=3(x2-x+2)C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c)D.x2+5x-=(x2+5x)解析:A.12abc-9a2b2=3ab(4c-3ab),错误;B.3x2-3x+6=3(x2-x+2),错误;D.x2+5x-=(x2+5x-1),错误.故选C.3.下列多项式中应提取的公因式为5a2b的是( )A.15a2b-20a2b2B.30a2b3-15ab4-10a3b2C.10a2b-20a2b3+50a4bD.5a2b4-10a3b3+15a4b2解析:B.应提取公因式5ab2,错误;C.应提取公因式10a2b,错误;D.应提取公因式5a2b2,错误.故选A.4.填空.(1)5a3+4a2b-12abc=a( );(2)多项式32p2q3-8pq4的公因式是 ;(3)3a2-6ab+a= (3a-6b+1);(4)因式分解:+n= ;(5)-15a2+5a= (3a-1);(6)计算:21×3.14-31×3.14= .答案:(1)5a2+4ab-12bc (2)8pq3 (3)a (4)(+n) (5)-5a (6)-31.45.用提公因式法分解因式.(1)8ab2-16a3b3;(2)-15x-5x2;(3)a3b3+a2b2-ab;(4)-3a3-6a2+12a.解:(1)8ab2(1-2a2b).(2)-5x(3+x).(3)ab(a2b2+ab-1).(4)-3a(a2+2a-4).第1课时一、教材作业【必做题】教材第96页随堂练习.【选做题】教材第96页习题4.2.二、课后作业【基础巩固】1.把多项式4a2b+10ab2分解因式时,应提取的公因式是 .2.(20xx淮安中考)因式分解:x2-3x= .3.分解因式:12x3-18x22+24x3=6x .【能力提升】4.把下列各式因式分解.(1)3x2-6x;(2)5x23-25x32;(3)-43+162-26;(4)15x32+5x2-20x23.【拓展探究】5.分解因式:an+an+2+a2n.6.观察下列各式:12+1=1×2;22+2=2×3;32+3=3×4;….这列式子有什么规律?请你将猜想到的规律用含有字母n(n为自然数)的式子表示出来.【答案与解析】1.2ab2.x(x-3)3.(2x2-3x+42)4.解:(1)3x(x-2). (2)5x22(-5x). (3)-2(22-8+13). (4)5x2(3x+1-42).5.解:原式=an1+ana2+anan=an(1+a2+an).6.解:由题中给出的几个式子可得出规律:n2+n=n(n+1).本节运用类比的思想方法,在新概念的提出、新知识点的讲授过程中,使学生易于理解和掌握.如学生在接受提公因式法时,由提公因数到提公因式,由整式乘法的逆运算到提公因式法的概念,都是利用了类比的数学思想,从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然,容易理解.在小组讨论之前,应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.由于因式分解的主要目的是对多项式进行恒等变形,它的作用更多的是应用于多项式的计算和化简,比如在以后将要学习的分式运算、解分式方程等中都要用到因式分解的知识,因此应该注重因式分解的概念和方法的教学.随堂练习(教材第96页)解:(1)(a+b). (2)52(+4). (3)3x(2-3). (4)ab(a-5). (5)22(2-3).(6)b(a2-5a+9). (7)-a(a-b+c). (8)-2x(x2-2x+3).习题4.2(教材第96页)1.解:(1)2x2-4x=2x(x-2). (2)82n+2n=2n4+2n1=2n(4+1).(3)a2x2-ax2=axax-ax=ax(ax-). (4)3x3-3x2+9x=3x(x2-x+3). (5)-24x2-12x2-283=-(24x2+12x2+283)=-4(6x2+3x+72). (6)-4a3b3+6a2b-2ab=-(4a3b3-6a2b+2ab)=-2ab(2a2b2-3a+1). (7)-2x2-12x2+8x3=-(2x2+12x2-8x3)=-2x(x+62-43). (8)-3a3+6a2-12a=-(3a3-6a2+12a)=-3a(a2-2a+4).2.解:(1)++=(++)=3.14×(202+162+122)=2512. (2)∵xz-z=z(x-),∴原式=×(17.8-28.8)=×(-11)=-7.(3)∵ab=7,a+b=6,∴a2b+ab2=ab(a+b)=7×6=42.3.解:(1)不正确,因为提取的公因式不对,应为n(2n--1). (2)不正确,因为提取公因式-b后,第三项没有变号,应为-b(ab-2a+3). (3)正确. (4)不正确,因为最后的结果不是乘积的形式,应为(a-2)(a+1).提公因式法是本章的第2小节,占两个课时,这是第一课时,它主要让学生经历从乘法分配律的逆运算到提公因式的过程,让学生体会数学中的一种主要思想——类比思想.运用类比的思想方法,在新概念的提出、新知识点的讲授过程中,可以使学生易于理解和掌握.如学生在接受提公因式法时,由整式乘法的`逆运算到提公因式法的概念,就利用了类比的数学思想,从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然,容易理解,进而使学生进一步理解因式分解与整式乘法运算之间的互逆关系.已知方程组求7(x-3)2-2(3-x)3的值.〔解析〕将代数式分解因式,产生x-3与2x+两个因式,再根据方程组整体代入,使计算简便.解:7(x-3)2-2(3-x)3=(x-3)2[7+2(x-3)]=(x-3)2(7+2x-6)=(x-3)2(2x+).由方程组可得原式=12×6=6.因式分解教案篇2知识点：因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步骤。

因式分解教案五篇

因式分解教案五篇因式分解教案五篇作为一位优秀的人民教师，通常需要准备好一份教案，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。

怎样写教案才更能起到其作用呢？下面是小编为大家整理的因式分解教案五篇，欢迎阅读与收藏。

因式分解教案五篇1教学目标：1、知识与技能：掌握运用提公因式法、公式法分解因式，培养学生应用因式分解解决问题的能力。

2、过程与方法：经历探索因式分解方法的过程，培养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤，得出因式分解的方法。

3、情感态度与价值观：通过因式分解的学习，使学生体会数学美，体会成功的自信和团结合作精神，并体会整体数学思想和转化的数学思想。

教学重、难点：用提公因式法和公式法分解因式。

教具准备：多媒体课件（小黑板）教学方法：活动探究法教学过程：引入：在整式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，这种变形就是因式分解。

什么叫因式分解？知识详解知识点1 因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

【说明】（1）因式分解与整式乘法是相反方向的变形。

例如：（2）因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验。

怎样把一个多项式分解因式？知识点2 提公因式法多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式的公因式。

ma+mb+mc=m（a+b+c）就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式（a+b+c）是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法。

例如：x2—x=x（x—1），8a2b—4ab+2a=2a（4ab—2b+1）。

探究交流下列变形是否是因式分解？为什么？（1）3x2y—xy+y=y（3x2—x）；（2）x2—2x+3=（x—1）2+2；（3）x2y2+2xy—1=（xy+1）（xy—1）；（4）xn（x2—x+1）=xn+2—xn+1+xn。

因式分解教案(优秀9篇)

因式分解教案（优秀9篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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因式分解(第一课时)学案

高一年级学案高一年级学案
因式分解(第一课时)学案
出题人：李爱书
一．学习目标：掌握分组分解法分解因式
会用十字相乘法分解二次项系数为１的二次三项式二．知识导学：
１．分解因式常用的方法有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．２．=+±222b ab a ＿＿＿＿＿；=-22b a ＿＿＿＿＿．３．把下列各式分解因式
①=-x x 2＿＿＿＿＿；②=-2294y x ＿＿＿＿＿； ③=+
-4
1
2x x ＿＿＿＿＿；④=--+y y x x 2222＿＿＿＿＿； ⑤=+-232x x ＿＿＿＿＿．
４．十字相乘法分解二次项系数为１的二次三项式，如果常数项是正数，那么就把它分解成两个＿＿因数，它们的符号和＿＿＿系数的符号＿＿；如果常数项系数是负数，那么把它分解成两个＿＿因数，其中绝对值＿＿的因数和＿＿＿系数的符号＿＿．三．典型例题与练习
例１．把下列各式分解因式
①bx b ax a +--33； ②x xz z x 43342--+；
③mn n m 2122+--； ④22269n n m m -+-．
例２．把下列各式分解因式
①862++x x ； ②1272+-x x ；
③1872-+t t ； ④1522--x x ；
⑤22128y xy x +-．。

因式分解学案

因式分解(一)学案学习目标1、因式分解的定义2、提公因式法3、公式法学习过程（一）因式分解的定义：__________________________________________________________叫做因式分解（二）提公因式法 1、找准公因式例1 分解因式（1）2232acx 15y abx 6x a 12-+ （2）y x 2)y -x 2(2+-练习1：分解因式（1）()()b a b a -+-552 （2）)n m (n )n m (mn 22222+-+练习2：1、()()()∙-=-+-y x x y n y x m __________________。

2、()()()∙-=-+-222y x x y n y x m ____________________。

3、()()()∙--=-++--z y x x z y n z y x m _____________________。

4、()()∙--=++---z y x z y x z y x m ______________________。

5、523623913x b a x ab --分解因式得_____________________。

6、计算99992+=2、化分为整，注意指数例2 分解因式（1）ab 427b a 6b a 33223+- （2）1n 21n 3b 61b 23--+练习3：分解因式（1）2n n x 2x -- （2）3223xy 101y x 2.0y x +-（三）应用公式 1、记住公式的特征____________________b ab 2a )2_________(__________b a )1(2222=+±=- ___________________b a )3(33=± 2、观察特征，联想公式例1 分解因式（1）22)n m (4)n m (9+-- （2）325y x 72x 9-（3）22y 16xy 24x 9+- （4）4a 4a 82--练习1: 分解因式（1）164+-a （2）()()2223y x y x --+（3）()()229n m n m ++-- （4）3132-x（5）()22244+--x x （6）1224+-x x（7）66b a - （8）2n n 2n a 16a 8a -+++课后作业1、分解下列因式（1）=-+652x x _________________________________________________ （2）=+-652x x _________________________________________________ （3）=++652x x _________________________________________________ （4）=--652x x _________________________________________________ （5）()=++-a x a x 12_____________________________________________ （6）=+-18112x x _______________________________________________ （7）=++2762x x ________________________________________________ （8）=+-91242m m ______________________________________________ （9）=-+2675x x ________________________________________________ （10）=-+22612y xy x ____________________________________________2、分解因式22338b ab a -+得（） A 、()()3 11-+a a B 、()()b a b a 3 11-+ C 、()()b a b a 3 11-- D 、()()b a b a 3 11+-3、()()2082-+++b a b a 分解因式得（）A 、()()2 10-+++b a b aB 、()()4 5-+++b a b aC 、()()10 2-+++b a b aD 、()()5 4-+++b a b a4、若多项式a x x +-32可分解为()()b x x --5，则a 、b 的值是（）A 、10=a ，2=bB 、10=a ，2-=bC 、10-=a ，2-=bD 、10-=a ，2=b 5、若()()b x a x mx x ++=-+ 102其中a 、b 为整数，则m 的值为（） A 、3或9 B 、3± C 、9± D 、3±或9±6、把下列各式分解因式1、()()3211262+---p q q p2、22365ab b a a +-3、6422--y y4、8224--b b因式分解(二)学案学习目标1、十字相乘法2、利用求根公式3、分组分解法教学过程（四）十字相乘法例1 分解因式（1） 6x 7x 2+- （2）2x 76x 2+-练习1：分解因式（1）8x 6x 2+- （2）20x 12x 2++（3）6x 13x 62+- （4）3x 7x 22++例2 分解因式 xy 25y 144x 22-+练习2：分解因式（1）22y 2xy 7x 6+- （2）22y 15xy 11x 12--例3 分解因式 2y x 3y 3xy 2x 22+++-+练习3：分解因式（1）20y 23x 2y 6xy 5x 622-++-- （2）4y 3x 5y x 22+++-（五）利用求根公式在实数范围内分解因式设⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=++≠22222a 4ac 4b a 2b x a )ac a bx a x (a c bx ax ,0a 则若则,0ac 4b 2≥-=∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆---⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++a 2b x a 2b x a a 4ac 4b a 2b x a c bx ax 2222 即若方程)x x )(x x (a c bx ax ,x ,x ,0a 0c bx ax 212212--=++≠=++则有两个实数根）（例1把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-；（2）2244x xy y +-．练习1：分解因式（1）1x x 2-+ （2）4x 4-（六）分组分解因式 1、观察特征，巧妙组合例1分解因式（1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+-练习1 分解因式（1）by ax b a y x 222222++-+- （2）91264422++-+-b a b ab a2、拆项与添项例2 分解因式（1）3x 4x 4+- （2）1x 3x 24+- （3）1x 3x 612+-课后作业1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为（）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 2．分解因式：（1）8a 3－b 3；（2）4(1)(2)x y y y x -++-．3．分解因式：（1）22222b c ab ac bc ++++；（2）2235294x xy y x y +-++-．4．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ；（2）222(2)7(2)12x x x x ---+．5．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状．6．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．。

因式分解学案

第页4.1因式分解（学案）【学习目标】1．理解因式分解的概念，以及它与整式乘法的运算关系.2．会判断一个从左到右的恒等变形是不是因式分解，以及因式分解的正确性. 3．感受分解因式在解决相关问题中的作用.【学习重点】1．理解因式分解的意义；2．识别因式分解与整式乘法的关系. 【学习难点】通过观察，归纳因式分解与整式乘法的关系.【学习过程】一、新课导入1．数学中的游戏（师生互动）游戏规则：（1）大家说出一个大于1的正整数。

（2）写出它的立方减它的式子。

如：355（3）不用笔算，我就能说出这个式子能被哪些正整数整除．你能吗？2．一块场地由三个长方形组成，这些长方形的长分别为34、32、74，宽都是12，你知道这块场地的面积是多少吗？二、探究新知 1、（用图形验证）观察下面的拼图过程，写出相应的关系式. （1）=（2）=2、收获新知：（1），叫做因式分解．因式分解也称为．（2）理解新知因式分解的对象： . 因式分解的结果：.第页三、互动探究1、计算下列各式：2、根据左边的算式进行因式分解：（1）3(1)x x -= ；（1）233x x -=（）（）；（2）(1)m a b +-= ；（2）ma mb m +-=（）（）；（3）(4)(4)m m +-= ；（3）216m -=（）（）；（4）2(3)y -= .（4）269y y -+=（）（）.3、小组讨论：因式分解与整式乘法有什么关系？四、点拨讲解1、考考你，怎样把多项式3a a -化成几个整式的乘积的形式？【破解游戏中的秘密】39999-能被100整除吗？它还能被那些正整数整除呢？2、若关于x 的二次三项式23x mx n +-分解因式的结果为(32)(1)x x +-，求m 、n 的值.五、训练内化1、下列代数式从左到右的变形是不是因式分解. (1)2(1)a a a a +=+ ( ) (2)2(3)(3)9a a a +-=-( )(3) 321836a bc a b ac = ( )(4)2166(4)(4)6x x x x x -+=+-+ ( ) (5) 222112()x x x x++=+ ( ) (6) 2221(1)x x x -+=+( )2、下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解？ (1) 224(2)(2)x y x y x y -=+-； (2) 22(51)25101a a a -=-+； (3) 2244(2)x x x -+=-；(4) 24414(1)1m m m m -+=-+.第页3、检验下列因式分解是否正确.（1）22()x y xy xy x y -=-；（2）221(21)(21)x x x -=+-.4、连一连：22x y -2(3)x +2xy y -()()x y x y +- 269x x ++ (35)(35)x x -+ 2925x - ()y x y -六、拓展应用 1、异想天开假如用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来(赤道看成圆形)，那么铁丝与赤道之间均匀的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？2、将下列四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解.七、课堂小结1、通过学习，我学到了以下知识和方法：2、我对因式分解存在以下困惑：3、我认为自己还应该做出以下努力：① ② ③ ④第页八、课后作业 A 组1、下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（） A 、()a m n am an +=+ B 、244(4)4x x x x -+=-+ C 、21055(21)x x x x -=-D 、211()x x x x+=+2、(5)(3)x x --是多项式215x px -+分解因式的结果，则p 的值是（） A 、2 B 、-2 C 、8 D 、-83、已知2x mx n ++可以分解为(2)(5)x x +-，则m = ，n = .4、用简便方法计算（1）223.14 2.14-；（2）222.1 4.2 1.9 1.9+⨯+ B 组1、121010910-⨯能被91整除吗？为什么？2、多项式25x mx ++因式分解得(5)()x x n ++，求m 、n 的值. C 组1、用简便方法计算：2222222212345620132014-+-+-++- .2、已知二次三项式24x x m -+有一个因式是(3)x +,求另一个因式以及m 的值.。

因式分解学案用完全平方公式分解学案

因式分解学案：用完全平方公式分解学案
一、学习目标：
1. 理解完全平方公式的概念和用途；
2. 掌握用完全平方公式分解二次多项式的方法；
3. 能够灵活运用完全平方公式分解解决相关问题。

二、知识回顾：
在代数学中，因式分解是一个重要的概念。

通过因式分解，我
们可以将一个多项式表达式写成乘法形式，从而更容易处理和求解。

三、引入完全平方公式：
完全平方公式是因式分解中常用的一种方法。

它的形式如下：
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
其中，a和b可以是任意实数。

完全平方公式的应用可以大大
简化因式分解的过程。

四、用完全平方公式分解二次多项式的一般步骤：
1. 确定二次多项式的形式为(ax^2 + bx + c)；
2. 判断二次多项式是否满足完全平方公式，即判断一次项系数是否为奇数；
3. 如果是完全平方公式，应用完全平方公式进行分解；
4. 如果不是完全平方公式，需要进行其他因式分解方法。

五、例题解析：
1. 分解x^2 + 6x + 9：
这是一个完全平方公式，可以直接应用完全平方公式进行分解：
= (x + 3)^2
2. 分解x^2 - 10x + 25：
这也是一个完全平方公式，可以直接应用完全平方公式进行分解：
= (x - 5)^2
3. 分解x^2 + x + 1：。

因式分解复习学案

因式分解复习学案【知识整理】1.因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的_____的形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．2. 提公因式法：=++mc mb ma ____________________.3. 公式法: ⑴ 22a b -=____________，⑵ =++222b ab a ____________⑶ =+-222b ab a ____________.4. 十字相乘法：()=+++pq x q p x 2__________________．5．因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“用”（公式）．6．易错知识辨析（1）注意因式分解与整式乘法的区别；（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式.【例题讲解】例1 分解因式：(1) 15x 3y 2+5x 2y-20x 2y 3 =_________________(2)x (a +b )-2y (b +a )=___________________. （3）10a(x-y)2-5b(y-x)= 公因式的满足条件：练习题： 1、px-qx-rx 2、15a 3-10a 23. 6m 2n-15mn 2+30m 2n 24.m(a-3)+2(3-a)5. (a+b)(a-b)-(b+a)6. 21×3.14+62×3.14+17×3.14 例2. 1、a 2-49 = 2. 1-36b 2= 3. 2p+3q)2-(3p-q)2= 平方差公式满足特点：练习题：1. 64-x 22. m 2-81n 23. 0.49p 2-144q 24. 2p 2-b 2q 25. (x 2+y 2)2-x 2y 26. 8y 4-2y 27. m 4-18. 1a 4-b 4例3 1.x 2-2x+1= 2. 4a 2+36a+8 = 3. (x+y)2+6(x+y)+9= 完全平方公式满足特点：练习题：1. m 2-14m+49 2. 5m 2-80m+64 3. 4p 2-20pq+25q 2 4. a 2-2a(b+c)+(b+c)2 5. 4_12(x-y)+9(x-y)2 6. (m+n)2+4(m+n)+4m 27. 2xy-x 2-y 2 8. -a+2a 2-a 3 9. 4xy 2-4x 2y-y 3例4 1. x 2+3x-10= 2. a 2b 2-7ab+10= 3. 902-+x x = 十安相乘法的特点：练习题：16102++x x 4032--x x 432--a a 2082-+m m 3)2(4)2(2++++y x y x x x x 86223-- 361324+-x x 1522--p p例5 1、am+an+bm+bn 2、xy-xz+y-z3. 1-m 2-n 2+2mn分组分解法的特点：练习题：1、a 2+ab+ac+bc 2、ax-2bx+ay-2by 3. x 2-a 2-2x-2a4. x 3y+3x-2x 2y 2-6y5. 4a 2+12ab+9b 2-256. 4x 2-8x-12y-9y 2将下列各式分解因式1、x ²－2x ³2、3y ³－6y ²＋3y 3.a ²(x －2a)²－a(x －2a)² 4、(x －2)²－x ＋25、25m ²－10mn ＋n ²6、12a ²b(x －y)－4ab(y －x) 7.(x －1)²(3x －2)＋(2－3x)8、a ²＋5a ＋6 9、x ²－11x ＋24 10、y ²－12y －2811、x ²＋4x －5 12、y4－3y ³－28y ² 13、8（a －b ）²－12（b －a ）.14、（a+2b ）²－a ²－2ab. 15、－2（m －n ）²+32 16、x （x －5）²+x （x －5）（x+5）17、2222)1(2ax x a -+ 18、21222++x x 19、b a b a 4422+--20、xy y x 2122--+ 21、2m(a-b)-3n(b-a) 22、)()3()3)((22a b b a b a b a -+++-四、计算、化简、求值1、已知x （x －1）－（x ²－y ）=－2，求222y x +－xy 的值． 2、已知：x ＋y=21,xy=1.求x ³y ＋2x ²y ²＋xy ³的值。

1.2一元二次方程解法(5)(因式分解法)(学案)

1.2一元二次方程的解法（5）因式分解法班级姓名学号主备人：崔永芹审核人:朱国华【基础练习】1．解方程)15(3)15(22-=-x x 最适当的方法应是 ···························································【】A ．直接开平方法B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法2．一元二次方程（x ＋3）(x －7)＝0的解是 ·····································································【】A ．x 1＝3, x 2＝－7B ．x 1＝3, x 2＝7C ．x 1＝－3, x 2＝7 D. x 1＝－3, x 2＝－73．方程24x x =的解是 ·······························································································【】A ．4x =B ． 2x =C ． 40x x =或=D ． 0x =4．若三角形的三边长均能使得代数式()()63x x --的值为零则此三角形的周长是 ···············【】.918A 或 B ． 1215或 C ． 91518或或 D ． 91215或或5．当x= 时，代数式（x －2）2与（2x ＋5）2的值相等6．小明在解关于x 的方程()()2242x x +=+时，在方程两边都除以()2x +，得到方程的根为2x =，其实，在解答中，小明的做法还遗漏了方程的一个根，你认为遗漏的根是 .7．若()()2222140x y x y +++-=，则22x y += .8．用因式分解法解下列方程：（1）23x x =（2）2(2)36x x +=+（3）22(21)0x x --= （4）()()22102250x x +-++=(5)02832=-+x x （6）21390822t t -+=9．已知：△ABC的两边长为2和5，第三边的长是x2—6x＋8=0的根，求△ABC的周长.10、当x为何值时，代数式x2－2x－3与代数式3x＋1的值互为相反数【拓展提升】1．若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b＝4ab，例如2※6＝4×2×6＝48 （1）求3※5的值；（2）求x※x+2※x﹣2※4＝0中x的值；2．由多项式的乘法法则知：若（x+a）（x+b）＝x2+px+q，则p＝a+b，q＝ab；反过来x2+px+q＝（x+a）（x+b）要将多项式x2+px+q进行分解，关键是找到两个数a，b，使a+b＝p，ab＝q，如对多项式x2﹣3x+2，有p ＝﹣3，q＝2，a＝﹣1，b＝﹣2，此时（﹣1）+（﹣2）＝﹣3，（﹣1）（﹣2）＝2，所以x2﹣3x+2可分解为（x﹣1）（x﹣2），即x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）（1）运用上述方法进行因式分解：①x2﹣x﹣12 ②6x2﹣11x﹣35（2）若ab＝0，则a＝0或b＝0．结合上述因式分解的方法，解方程：x2+15x﹣126＝0．。

年级数学下导学案(因式分解)

1.1 多项式的因式分解导学案总第节漆河镇中学八年级数学备课组课题目标导航知识与技能1、了解因式分解的意义，理解它与多项式乘法是互逆变形.2、感受因式分解在解决相关问题中德作用.过程与方法通过比较因式分解与多项式乘法的异同，培养逆向思维的能力.情感态度与价值观通过自主学习、合作交流获取相关知识，体验学习的快乐，产生积极学习的情感.重点：理解因式分解的意义，准确地辨析整式乘法与因式分解这两种变形.难点：对因式分解与整式乘法关系的理解.自主学习方案（预习交流）预习教材的内容，完成下列各题. 1.说一说：6=2× ，2是6的一个，3也是6的一个 .2x －4=(x +2)(x －2),我们把x +2叫作多项式2x－4的一个，同理，x －2也叫作多项式2x －4的一个 .2.一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式 .3.试一试：你会解方程2x －4=0吗？课堂导学方案（合作探究）教学点1 因式分解的概念归纳：一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解. 例1 下面从左到右的变形是因式分解的是（）A.24=323⨯B.x +1=x （1+x1） C.)(22n m mn n m mn +=+ D.1)32(132223++=++x x x x E.）12(132223+=++x x x x 学生展示1.下面从左到右的变形是因式分解的是（）A.ac ab a c b a a +-=+-2)(B.)11()2(1222-++-=-+-y y y x x y xy x ）（ C.)2)(2(422y x y x x y -+=+- D.1))((122+-+=+-y x y x y x2.判断下列变形是否为因式分解.（1）2233c b a abc •••= （2）)43(432n m m m mn m -=+- （3）r n m y r ny my +-=+-)(（4）))((22b a b a b a -+=- （5）32)3)(1(2--=-+x x x x教学点2 因式分解与多项式乘法的关系归纳：多项式的因式分解与多项式的乘法是一个互逆的过程，因此，我们把多项式乘法的过程反过来，就可以得到因式分解的一些基本方法.例2 （1）计算：①=+2)(y x ；②=+-)1)(1(b a .（2）因式分解：①=+-222y xy x ；②=-162x . 学生展示3.因式分解与整式乘法与什么区别和联系？4.判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解？（1）)2)(2(422y x y x y x -+=- （2）xy x y x x 62)3(22-=-（3）11025)15(22+-=-a a a （4）22)2(44+=++x x x 当堂评价方案（反馈与诊断）1.指出下列各式中从左到右的变形哪些是因式分解？（1）1)1)(1(22--+=-x x x （2）6)2)(3(2--=+-x x x x （3）)2(3632-=-m mn mn n m（4）mc b a m mc mb ma ++=++)( （5）222)2(44b a b ab a -=+-2.下列各式是因式分解的是（）A.222)(b a b a +=+B.)(m y x x xm xy +=++C.)11(22xx x x +=+ D.222)(2b a b ab a -=+- 3.（1）计算①=-+)143(2b a ab ；②=-+)2)(2(y x y x ；③=-2)23(n m ； ④=+2)21(a . （2）根据上面的计算对下面各式进行因式分解：①=-+ab ab b a 28622 . ②=-224y x . ③=+-224129n mn m . ④=++412a a . 课后作业方案（巩固与拓展）1.下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A.9)3)(3(2-=-+x x xB.1)2(122++=++a a a aC.)43(432n m m m mn m -=+-D.)2(2422-=-x x x x 2.已知=⨯=-a a 则,99991000112（）A.10001;B.9999;C.10000;D.不能确定3.如果多项式142-+mx x 分解因式为)7)(2(+-x x ，则x 的值为 .4.根据整式乘法与因式分解之间的联系和区别，解决下面问题：（1）m 为何值时，整式m y y +-42能进行因式分解，试写出一个符合条件的m 的值.（2）根据（1）中你确定的m 的值，把多项式m y y +-42因式分解. 课堂反思对照课堂目标导航思考：1.我今天学到了什么知识？2.我感受到了什么？3.还存在什么疑惑？教学反思1.课堂效果自评：2.我的教学心得：3.学生存在的问题或急需补救的问题：。

专题03 因式分解(学案)-备战2023年中考数学一轮复习专题精讲精练学案(全国通用)

中考数学一轮复习学案03 因式分解考点课标要求考查角度1因式分解①理解因式分解的概念；②会用提公因式法、公式法等方法进行因式分解．考查因式分解的两种方法．以选择题、填空题为主．1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这样的变形叫做把这个多项式因式分解．也叫做把这个多项式分解因式．2. 辨析：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．中考命题说明思维导图知识点1：因式分解的概念知识点梳理典型例题【例1】（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2－x－1=x(x－1)－1B．x2－1=(x－1)2C．x2－x－6=(x－3) (x＋2)D．x(x－1)= x2－x【考点】因式分解的意义【分析】根据因式分解的定义判断即可．【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；B选项计算错误，故不符合题意；C选项是因式分解，故符合题意；D选项不是因式分解，故不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．【例2】（3分）（2020•河北3/26）对于①x-3xy = x(1-3y)，②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是（）A．都是因式分解B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解【考点】因式分解—提公因式法；因式分解的意义；多项式乘多项式【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式）判断即可．【解答】解：①x-3xy = x(1-3y)，从左到右的变形是因式分解；②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；所以①是因式分解，②是乘法运算．故选：C．【点评】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．1. 一般方法：（1）提公因式法：知识点2：因式分解的方法与步骤知识点梳理如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．用字母表示：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．公因式的确定：取各项系数的最大公约数，取各项相同的因式及其最低次幂．①定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.②定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.③定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.（2）运用公式法：利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.①a2－b2＝(a＋b)(a－b)；②a2±2ab＋b2＝(a±b)2．（3）十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．（4）分组分解法：先分组，再提公因式或运用公式．2. 一般步骤：一提（提公因式）；二套（套公式）；三验（检验是否分解彻底）．方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．典型例题利用提公因式法分解因式【例3】把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是（）A．–3x2y2B．–2x2y2C．6x2y2D．–x2y2【分析】–6x3y2–3x2y2+8x2y3＝–x2y2（6x+3–8y）．故把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是：–x2y2．故选D．【答案】D．【例4】（2022•广州）分解因式：3a2－21ab＝．【考点】因式分解—提公因式法【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式得出答案．【解答】解：3a2－21ab＝3a (a－7b)．故答案为：3a (a－7b)．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．【例5】（2022•烟台）把x2－4因式分解为．【考点】因式分解—运用公式法【分析】利用平方差公式，进行分解即可解答．【解答】解：x2－4＝(x＋2)(x－2)，故答案为：(x＋2)(x－2)．【点评】本题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．【例6】（2022•苏州）已知x＋y＝4，x－y＝6，则x2－y2＝．【考点】因式分解—运用公式法【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案．【解答】解：∵x＋y＝4，x－y＝6，∴x2－y2＝(x＋y)( x－y)＝4×6＝24．故答案为：24．【点评】此题主要考查了公式法因式分解，正确将原式变形是解题关键．【例7】（2022•河池）多项式x2－4x＋4因式分解的结果是（）A．x(x－4)＋4B．(x＋2) (x－2)C．(x＋2)2D．(x－2)2【考点】因式分解—运用公式法【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝(x－2)2．故选：D．【点评】此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【例8】（2022•绥化）因式分解：(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝．【考点】因式分解—运用公式法【分析】将m＋n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案．【解答】解：原式＝(m＋n)2－2·(m＋n)·3＋32＝(m ＋n －3)2．故答案为：(m ＋n －3)2．【点评】本题考查了因式分解—运用公式法，考查整体思想，掌握2222()a ab b a b ±+=±是解题的关键．【例9】已知二次三项式x 2+bx +c 分解因式为（x –3）（x +1），则b +c 的值为（）A ．1B ．–1C ．–5D ．5【分析】∵二次三项式x 2+bx +c 分解因式为（x –3）（x +1），∴x 2+bx +c ＝（x –3）（x +1）＝x 2–2x –3，∴b ＝–2，c ＝–3，故b +c ＝–5．故选C ．【答案】C ．【例10】（2022•内江）分解因式：a 4－3a 2－4＝．【考点】因式分解—十字相乘法等【分析】先利用十字相乘法因式分解，再利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：a 4－3a 2－4＝(a 2＋1)(a 2－4)＝(a 2＋1)( a ＋2)( a －2)，故答案为：(a 2＋1)( a ＋2)( a －2)．【点评】本题考查的是十字相乘法因式分解，掌握十字相乘法、平方差公式因式分解是解题的关键．【例11】因式分解：x 2 – y 2 –2x +2y ．【分析】利用分组分解法分解，先分别分解前两项和后两项，再提取公因式x –y 即可.【答案】x 2 – y 2–2x +2y = (x 2 – y 2 )–( 2x –2y )= ( x +y ) ( x –y ) –2 ( x –y )= ( x –y ) ( x +y –2 ) ．【例12】（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a －3ab －4＋6b 因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝(2a－3ab)－(4－6b)＝a (2－3b)－2(2－3b)＝(2－3b)(a－2)解法二：原式＝(2a－4)－(3ab－6b)＝2(a－2)－3b(a－2)＝(a－2) (2－3b)【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2－a2＋x＋a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax＋a2－2ab－bx＋b2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4－2a3b＋2a2b2－2ab3＋b4因式分解，再求值．【考点】因式分解的应用【分析】（1）用分组分解法将x2－a2＋x＋a因式分解即可；（2）用分组分解法将ax＋a2－2ab－bx＋b2因式分解即可；（3）先将a4－2a3b＋2a2b2－2ab3＋b4因式分解，再求值即可．【解答】解：（1）原式＝(x2－a2)(x＋a)＝(x＋a) (x－a)＋(x＋a)＝(x＋a) (x－a＋1)；（2）原式＝(ax－bx)(a2－2ab＋b2)＝x (a－b)＋(a－b) 2＝(a－b)( x＋a－b)；（3）原式＝(a4＋2a2b2＋b4)－(2ab3＋2a3b)＝(a2＋b2)2－2ab (a2＋b2)＝(a2＋b2) (a2＋b2－2ab)＝(a2＋b2) (a－b) 2，∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，∴a2＋b2＝32＝9，(a－b) 2＝1，∴原式＝9．【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键．几种方法的综合运用【例13】（2022•黔东南州）分解因式：2022x2－4044x＋2022＝．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式2022，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2022(x2－2x＋1)＝2022(x－1) 2．故答案为：2022(x－1) 2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．【例14】（2分）（2021•北京10/28）分解因式：5x2﹣5y2＝．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】提公因式后再利用平方差公式即可．【解答】解：原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y），故答案为：5（x+y）（x﹣y）．【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．知识点3：因式分解的应用知识点梳理因式分解的应用：利用因式分解的知识可以帮助我们解决代数式求值等问题.典型例题【例15】（2022•黔西南州）已知ab＝2，a＋b＝3，求a2b＋ab2的值是．【考点】因式分解的应用【分析】将a2b＋ab2因式分解，然后代入已知条件即可求值．【解答】解：a2b＋ab2＝ab (a＋b)，∵∵ab＝2，a＋b＝3，∴原式＝2×3＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．【例16】（2022•广安）已知a＋b＝1，则代数式a2－b2＋2b＋9的值为．【考点】因式分解的应用【分析】方法一：直接将a2－b2进行因式分解为(a＋b)(a－b)，再根据a＋b＝1，可得a2－b2＝a－b，由此可得原式＝a＋b＋9＝10．方法二：将原式分为三部分，即a2－(b2－2b＋1)＋10，把前两部分利用平方差进行因式分解，其中得到一因式a＋b－1＝0．从而得出原式的值．【解答】方法一：解：∵a2－b2＋2b＋9＝(a＋b)(a－b)＋2b＋9又∵a＋b＝1，∴原式＝a－b＋2b＋9＝a＋b＋9＝10．方法二：解：∵a2－b2＋2b＋9＝a2－(b2－2b＋1)＋10＝a2－(b－1)2＋10＝(a－b＋1) (a＋b－1)＋10．又∵a＋b＝1，∴原式＝10．【点评】本题考查了因式分解应用，用到的知识为平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．1．（2022•永州）下列因式分解正确的是( )A ．()1ax ay a x y +=++B ．333()a b a b +=+C ．2244(4)a a a ++=+D ．2()a b a a b +=+ 2．（2022•青海）下列运算正确的是( )A ．235347x x x +=B ．222()x y x y +=+C ．2(23)(23)94x x x +-=-D ．2242(12)xy xy xy y +=+3．（2022•柳州）把多项式22a a +分解因式得( )A ．(2)a a +B ．(2)a a -C ．2(2)a +D ．(2)(2)a a +-4．（2022•荆门）对于任意实数a ，b ，3322()()a b a b a ab b +=+-+恒成立，则下列关系式正确的是( )A ．3322()()a b a b a ab b -=-++B ．3322()()a b a b a ab b -=+++C ．3322()()a b a b a ab b -=--+D ．3322()()a b a b a ab b -=++-5．（2022•湘西州）因式分解：23m m += (3)m m + ．6．（2022•长春）分解因式：23m m += (3)m m + ．7．（2022•常州）分解因式：22x y xy += ()xy x y + ．8．（2022•百色）因式分解：ax ay += ()a x y + ．9．（2022•舟山）分解因式：2m m += (1)m m + ．10．（2022•贵阳）因式分解：22a a += (2)a a + ．11．（2022•江西）因式分解：23a a -= (3)a a - ．12．（2022•绍兴）分解因式：2x x += (1)x x + ．13．（2022•眉山）分解因式：228x x -= 2(4)x x - ．14．（2022•桂林）因式分解：23a a += (3)a a + ．巩固训练15．（2022•黑龙江）分解因式：22x x -= (2)x x - ．16．（2022•镇江）分解因式：36x += 3(2)x +17．（2022•丽水）分解因式：22a a -= (2)a a - ．18．（2022•菏泽）分解因式：229x y -= (3)(3)x y x y -+ ．19．（2022•株洲）因式分解：225x -= (5)(5)x x +- ．20．（2022•温州）分解因式：22m n -= ()()m n m n +- ．21．（2022•张家界）因式分解：225a -= (5)(5)a a -+ ．22．（2022•衡阳）因式分解：221x x ++= 2(1)x + ．23．（2022•邵阳）因式分解：224x y -= (2)(2)x y x y +- ．24．（2022•徐州）因式分解：21x -= (1)(1)x x +- ．25．（2022•云南）分解因式：29x -= (3)(3)x x +- ．26．（2022•兰州）因式分解：216a -= (4)(4)a a -+ ．27.（2022•济南）因式分解：a 2＋4a ＋4＝．28．（2022•金华）因式分解：29x -= (3)(3)x x +- ．29．（2022•台州）分解因式：21x -= (1)(1)x x +- ．30．（2022•嘉兴）分解因式：21m -= (1)(1)m m +- ．31．（2022•宁波）分解因式：221x x -+= 2(1)x - ．32．（2022•深圳）分解因式：21a -= (1)(1)a a +- ．33．（2022•绵阳）因式分解：32312x xy -= 3(2)(2)x x y x y +- ．34．（2022•丹东）因式分解：2242a a ++= 22(1)a + ．35．（2022•辽宁）分解因式：233x y y -= 3(1)(1)y x x +- ．36．（2022•恩施州）因式分解：3269a a a -+= 2(3)a a - ．37．（2022•哈尔滨）把多项式29xy x -分解因式的结果是 (3)(3)x y y +- ．38．（2022•沈阳）因式分解：269ay ay a ++= 2(3)a y + ．39．（2022•常德）分解因式：329x xy -= (3)(3)x x y x y +- ．40．（2022•怀化）因式分解：24x x -= 2(1)(1)x x x +- ．41．（2022•扬州）分解因式：233m -= 3(1)(1)m m +- ．42．（2022•赤峰）分解因式：32242x x x ++= 22(1)x x + ．43．（2022•宁夏）分解因式：32a ab -= ()()a a b a b +- ．44．（2022•甘肃）因式分解：34m m -= (2)(2)m m m +- ．45．（2022•北京）分解因式：2xy x -= (1)(1)x y y -+ ．46．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N ，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N 是m 的“和倍数”．例如：247(247)2471319÷++=÷=，247∴是13的“和倍数”．又如：214(214)2147304÷++=÷=⋯⋯，214∴不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A 是12的“和倍数”， a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a b c >>．在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F （A ），最小的两位数记为G （A ），若()()16F AG A +为整数，求出满足条件的所有数A ． 47．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会(14)ICME -会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3210387848582021⨯+⨯+⨯+⨯=，表示14ICME -的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是 2022 ；（2）小华设计了一个n 进制数143，换算成十进制数是120，求n 的值．1．（2022•永州）下列因式分解正确的是( )A ．()1ax ay a x y +=++B ．333()a b a b +=+C ．2244(4)a a a ++=+D ．2()a b a a b +=+【考点】因式分解的意义【分析】根据因式分解的定义和因式分解常用的两种方法：提公因式法和公式法判断即可．【解答】解：A 选项，()ax ay a x y +=+，故该选项不符合题意； B 选项，333()a b a b +=+，故该选项符合题意；C 选项，2244(2)a a a ++=+，故该选项不符合题意；D 选项，2a 与b 没有公因式，故该选项不符合题意；故选：B ．【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握2222()a ab b a b ++=+是解题的关键．2．（2022•青海）下列运算正确的是( )A ．235347x x x +=B ．222()x y x y +=+C ．2(23)(23)94x x x +-=-D ．2242(12)xy xy xy y +=+【考点】多项式乘多项式；因式分解-提公因式法；合并同类项；完全平方公式【分析】利用合并同类项法则、完全平方公式、平方差公式、提公因式法分别计算各题，根据计算结果得结论．【解答】解：A ．23x 与34x 不是同类项不能加减，故选项A 计算不正确；B ．22222()2x y x xy y x y +=++≠+，故选项B 计算不正确；C ．22(23)(23)4994x x x x +-=-≠-，故选项C 计算不正确；D ．2242(12)xy xy xy y +=+，故选项D 计算正确．故选：D ．【点评】本题主要考查了整式的运算，掌握整式的运算法则和整式的提取公因式法是解决本题的关键．3．（2022•柳州）把多项式22a a +分解因式得( )巩固训练解析A ．(2)a a +B ．(2)a a -C ．2(2)a +D ．(2)(2)a a +-【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式a ，进而分解因式得出答案．【解答】解：22(2)a a a a +=+．故选：A ．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．4．（2022•荆门）对于任意实数a ，b ，3322()()a b a b a ab b +=+-+恒成立，则下列关系式正确的是( )A ．3322()()a b a b a ab b -=-++B ．3322()()a b a b a ab b -=+++C ．3322()()a b a b a ab b -=--+D ．3322()()a b a b a ab b -=++-【考点】因式分解-运用公式法【分析】把所给公式中的b 换成b -，进行计算即可解答．【解答】解：3322()()a b a b a ab b +=+-+，33a b ∴- 33()a b =+-33()a b =+-22[()][(()()]a b a a b b =+--⋅-+-22()()a b a ab b =-++故选：A ．【点评】本题考查了因式分解-运用公式法，把所给公式中的b 换成b -是解题的关键．5．（2022•湘西州）因式分解：23m m += (3)m m + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可．【解答】解：原式(3)m m =+．故答案为：(3)m m +．【点评】此题考查的是提公因式法分解因式，能够得到公因式是解决此题的关键．6．（2022•长春）分解因式：23m m += (3)m m + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】利用提公因式法，进行分解即可解答．【解答】解：23(3)m m m m +=+，故答案为：(3)m m +．【点评】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解-提公因式法是解题的关键．7．（2022•常州）分解因式：22x y xy += ()xy x y + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式xy ，进而分解因式得出答案．【解答】解：22()x y xy xy x y +=+．故答案为：()xy x y +．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．8．（2022•百色）因式分解：ax ay += ()a x y + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式a ，进而分解因式即可．【解答】解：()ax ay a x y +=+．故答案为：()a x y +．【点评】此题主要考查了提取公因式法，正确找出公因式是解题关键．9．（2022•舟山）分解因式：2m m += (1)m m + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】根据多项式的特征选择提取公因式法进行因式分解．【解答】解：2(1)m m m m +=+．故答案为：(1)m m +．【点评】本题主要考查了运用提取公因式法进行因式分解，运用提取公因式法进行因式分解的关键是确定公因式．10．（2022•贵阳）因式分解：22a a += (2)a a + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式a ，进而分解因式得出答案．【解答】解：22(2)a a a a +=+．故答案为：(2)a a +．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．11．（2022•江西）因式分解：23a a -= (3)a a - ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接把公因式a 提出来即可．【解答】解：23(3)a a a a -=-．故答案为：(3)a a -．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a 是解题的关键．12．（2022•绍兴）分解因式：2x x += (1)x x + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式x ，进而分解因式得出即可．【解答】解：2(1)x x x x +=+．故答案为：(1)x x +．【点评】此题主要考查了提取公因式分解因式，正确提取公因式是解题关键．13．（2022•眉山）分解因式：228x x -= 2(4)x x - ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式2x ，进而得出答案．【解答】解：原式2(4)x x =-．故答案为：2(4)x x -．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．14．（2022•桂林）因式分解：23a a += (3)a a + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式a ，进而得出答案．【解答】解：23(3)a a a a +=+．故答案为：(3)a a +．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．15．（2022•黑龙江）分解因式：22x x -= (2)x x - ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】提取公因式x ，整理即可．【解答】解：22(2)x x x x -=-．故答案为：(2)x x -．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，因式分解的第一步：有公因式的首先提取公因式．16．（2022•镇江）分解因式：36x += 3(2)x +【考点】因式分解-提公因式法【分析】此题只要提取公因式3即可．【解答】解：363(2)x x +=+．【点评】此题考查公因式的提取，通过提取出相同的因式即可解出此题．17．（2022•丽水）分解因式：22a a -= (2)a a - ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】观察原式，找到公因式a ，提出即可得出答案．【解答】解：22(2)a a a a -=-．故答案为：(2)a a -．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式的方法，此题属于基础性质的题．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．18．（2022•菏泽）分解因式：229x y -= (3)(3)x y x y -+ ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：原式(3)(3)x y x y =-+．故答案为：(3)(3)x y x y -+．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．19．（2022•株洲）因式分解：225x -= (5)(5)x x +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】应用平方差公式进行计算即可得出答案．【解答】解：原式(5)(5)x x =+-．故答案为：(5)(5)x x +-．【点评】本题主要考查了因式分解-应用公式法，熟练掌握因式分解-应用公式法进行求解是解决本题的关键．20．（2022•温州）分解因式：22m n -= ()()m n m n +- ．【考点】平方差公式；因式分解-运用公式法【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：22()()m n m n m n -=+-，故答案为：()()m n m n +-．【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式，熟记公式22()()a b a b a b -=+-是解题关键．21．（2022•张家界）因式分解：225a -= (5)(5)a a -+ ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】根据平方差公式分解即可．【解答】解：原式225(5)(5)a a a =-=+-．故答案为：(5)(5)a a +-．【点评】此题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．22．（2022•衡阳）因式分解：221x x ++= 2(1)x + ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：2221(1)x x x ++=+，故答案为：2(1)x +．【点评】本题考查运用公式法进行因式分解，掌握公式法的基本形式并能熟练应用是解题的关键．23．（2022•邵阳）因式分解：224x y -= (2)(2)x y x y +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】直接运用平方差公式进行因式分解．【解答】解：224(2)(2)x y x y x y -=+-．【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公式：22()()a b a b a b -=+-．24．（2022•徐州）因式分解：21x -= (1)(1)x x +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式(1)(1)x x =+-．故答案为：(1)(1)x x +-．【点评】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．25．（2022•云南）分解因式：29x -= (3)(3)x x +- ．【考点】平方差公式；因式分解-运用公式法【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．【解答】解：29(3)(3)x x x -=+-．故答案为：(3)(3)x x +-．【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．26．（2022•兰州）因式分解：216a -= (4)(4)a a -+ ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：216(4)(4)a a a -=-+．故答案为：(4)(4)a a -+．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．27.（2022•济南）因式分解：a 2＋4a ＋4＝．【考点】因式分解—运用公式法【分析】利用完全平方公式进行分解即可．【解答】解：原式＝(a ＋2)2，故答案为：(a ＋2)2．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2．28．（2022•金华）因式分解：29x -= (3)(3)x x +- ．【考点】平方差公式；因式分解-运用公式法【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式(3)(3)x x =+-，故答案为：(3)(3)x x +-．【点评】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．29．（2022•台州）分解因式：21x -= (1)(1)x x +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】利用平方差公式分解即可求得答案．【解答】解：21(1)(1)x x x -=+-．故答案为：(1)(1)x x +-．【点评】此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．30．（2022•嘉兴）分解因式：21m -= (1)(1)m m +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可．平方差公式：22()()a b a b a b -=+-．【解答】解：21(1)(1)m m m -=+-．【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反．31．（2022•宁波）分解因式：221x x -+= 2(1)x - ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：2221(1)x x x -+=-．【点评】本题考查了公式法分解因式，运用完全平方公式进行因式分解，熟记公式是解题的关键．32．（2022•深圳）分解因式：21a -= (1)(1)a a +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：22()()a b a b a b -=+-．【解答】解：21(1)(1)a a a -=+-．故答案为：(1)(1)a a +-．【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．33．（2022•绵阳）因式分解：32312x xy -= 3(2)(2)x x y x y +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提取公因式，再套用平方差公式．【解答】解：原式223(4)x x y =-3(2)(2)x x y x y =+-．故答案为：3(2)(2)x x y x y +-．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．34．（2022•丹东）因式分解：2242a a ++= 22(1)a + ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式22(21)a a =++22(1)a =+．故答案为：22(1)a +．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．35．（2022•辽宁）分解因式：233x y y -= 3(1)(1)y x x +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：233x y y -3(1)(1)y x x =+-，故答案为：3(1)(1)y x x +-．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．36．（2022•恩施州）因式分解：3269a a a -+= 2(3)a a - ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提公因式a ，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：原式22(69)(3)a a a a a =-+=-，故答案为：2(3)a a -．【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．37．（2022•哈尔滨）把多项式29xy x -分解因式的结果是 (3)(3)x y y +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：29xy x -2(9)x y =-(3)(3)x y y =+-，故答案为：(3)(3)x y y +-．【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．38．（2022•沈阳）因式分解：269ay ay a ++= 2(3)a y + ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】首先提取公因式a ，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：269ay ay a ++2(69)a y y =++故答案为：2(3)a y +．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．39．（2022•常德）分解因式：329x xy -= (3)(3)x x y x y +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】利用提公因式法和平方差公式进行分解，即可得出答案．【解答】解：329x xy -22(9)x x y =-(3)(3)x x y x y =+-，故答案为：(3)(3)x x y x y +-．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解决问题的关键．40．（2022•怀化）因式分解：24x x -= 2(1)(1)x x x +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式22(1)x x =-2(1)(1)x x x =+-．故答案为：2(1)(1)x x x +-．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．41．（2022•扬州）分解因式：233m -= 3(1)(1)m m +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式23(1)m =-3(1)(1)m m =+-．故答案为：3(1)(1)m m +-．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．42．（2022•赤峰）分解因式：32242x x x ++= 22(1)x x + ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式22(21)x x x =++22(1)x x =+．故答案为：22(1)x x +．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．43．（2022•宁夏）分解因式：32a ab -= ()()a a b a b +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】首先提取公因式a ，进而利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：32a ab -22()a a b =-()()a a b a b =+-．故答案为：()()a a b a b +-．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．44．（2022•甘肃）因式分解：34m m -= (2)(2)m m m +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取m ，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式2(4)(2)(2)m m m m m =-=+-，故答案为：(2)(2)m m m +-【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．45．（2022•北京）分解因式：2xy x -= (1)(1)x y y -+ ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提取公因式x ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：2xy x -，2(1)x y =-，(1)(1)x y y =-+．故答案为：(1)(1)x y y -+．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．46．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N ，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N 是m 的“和倍数”．例如：247(247)2471319÷++=÷=，247∴是13的“和倍数”．又如：214(214)2147304÷++=÷=⋯⋯，214∴不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A 是12的“和倍数”， a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a b c >>．在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F （A ），最小的两位数记为G （A ），若()()16F AG A +为整数，求出满足条件的所有数A ．【考点】因式分解的应用【分析】（1）根据“和倍数”的定义依次判断即可；（2）设(12,)A abc a b c a b c =++=>>，根据“和倍数”的定义表示F （A ）和G （A ），代入()()16F A G A +中，根据()()16F AG A +为整数可解答．【解答】解：（1）357(357)357152312÷++=÷=⋯⋯，357∴不是“和倍数”； 441(441)441949÷++=÷=，441∴是9的“和倍数”；（2）设(12,)A abc a b c a b c =++=>>，由题意得：F （A ）ab =，G （A ）cb =，。