高中数学复习学(教)案(第7讲)函数的单调性

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高一数学第7讲：函数单调性(学生版)

第7讲函数的单调性1.设函数y=f(x)的定义域为A，区间D⊆A，如果取区间M中的两个任意值1x，2x，当改变量∆x=x2-x1＞0时，有∆y=f(x2)-f(x1)＞0，那么就称函数y=f(x)在区间M上是；当改变量∆x=x2-x1＞0时，有∆y=f(x2)-f(x1)＜0，那么就称函数y=f(x)在区间M上是_______。

2.如果一个函数在某个区间上是增函数或减函数，就说这个函数在这个区间上具有。

3.对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于时，单调区间就不包括这些点。

例1 证明函数f （x ）=x+x 1在（0，1）上是减函数。

例2讨论函数f （x ）=1-x ax 2在x ∈﹙-1，1﹚上的单调性，其中a 为非零常数。

例3做出函数f （x ）=96x -x 2++96x x 2++的图象，并指出函数f （x ）的单调区间。

例4已知f （x ）=8+2x-2x ，g （x ）=f （2-2x ），试求g （x ）的单调区间。

例5判断函数y=44x x 4-2x 22+++）（在（-2，+∞）上的单调性。

例6 求函数y=2x-1-4x -13的最大值。

A1.设（a ，b ），（c ，d ）都是函数f （x ）的单调增区间，且1x ∈（a ，b ），2x ∈（c ，d ），1x ﹤2x ，则f （1x ）与f （2x ）的大小关系是（）A.f （1x ）﹤f （2x ）B.f （1x ）﹥f （2x ）C.f （1x ）=f （2x ）D.不能确定2.设f （x ）、g （x ）都是单调函数，有如下四个命题：1）若f （x ）单调递增，g （x ）单调递增，则f （x ）-g （x ）单调递增；2）若f （x ）单调递增，g （x ）单调递减，则f （x ）-g （x ）单调递增；3）若f （x ）单调递减，g （x ）单调递增，则f （x ）-g （x ）单调递减；4）若f （x ）单调递减，g （x ）单调递减，则f （x ）-g （x ）单调递减。

2023届高考数学一轮复习讲义：第7讲函数的单调性与最值

第7讲函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是或，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 (1)∀x ∈I ，都有； (2)∃x 0∈I ，使得(1)∀x ∈I ，都有； (2)∃x 0∈I ，使得结论M 为最大值M 为最小值➢考点1 函数的单调性[名师点睛]确定函数单调性的四种方法 (1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性． 1．（2022·全国·高三专题练习）函数2()23f x x x -- ） A ．(,1]-∞B ．[3,)+∞C ．(,1]-∞-D ．[1,)+∞2．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数()1axf x x =-（0a ≠）在(11)-，上的单调性.[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）函数222x x y -++=的单调递增区间是（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,1]-∞-C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．[]12-， 2．（2022·全国·高三专题练习）函数()213log 412y x x =-++单调递减区间是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,2-D ．()2,6-3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是（） A ．递增区间是(0,)+∞ B ．递减区间是(,1)-∞- C ．递增区间是(,1)-∞-D ．递增区间是(1,1)-4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()()12log g x f x =的单调递增区间为（）A ．(],3-∞-，[]0,3B ．[]3,0-，[)3,+∞C ．(),5-∞-，[)0,1D ．(]1,0-，()5,+∞5．（2022·广西柳州·三模）下列函数在(),0∞-上是单调递增函数的是（） A ．tan y x =B ．()ln y x =-C ．12xy =D ．1y x=-6．（2022·全国·高三专题练习）函数y =|-x 2+2x +1|的单调递增区间是_________ ；单调递减区间是_________．7．（2022·全国·高三专题练习）函数216y x x =-+_____． 8．（2022·福建·三模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =________. ①定义域为R ；②值域为(,1)-∞；③对任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，均有()()12120f x f x x x ->-.9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）1x=+lg 4xx -．判断并证明函数f （x ）的单调性；10．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为实数集R 的函数()11222xx f x +-=+．判断函数f （x ）在R 上的单调性，并用定义证明．➢考点2 函数单调性的应用1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()()e e 2x xx f x --=，则21log3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，342b f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，432c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的大小关系为（）A ．b ac << B ．a b c << C ．c a b << D ．a c b <<2．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数()1e ,111,1x x f x x x x-⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，则()f x 的最大值为______．3．（2022·河北唐山·二模）已知函数()f x ()()21f x f x >-，则x 的取值范围是（） A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()ax f x x a-=-在(2,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞ B ．(1,1)-C ．(-∞，1)(1-⋃，2]D ．(-∞，1)(1-⋃，2)[举一反三]1．（2022·辽宁朝阳·高三开学考试）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x ->-，记(2)(3)(1),,23f f a f b c -===，则（）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a <<2．（2022·重庆·模拟预测）设函数()()()32200x xx f x x x -⎧-+>⎪=⎨-≤⎪⎩，若ln 2a =，0.23b =，0.3log 2c =，则（）A ．()()()f a f b f c >>B ．()()()f b f a f c >>C ．()()()f a f c f b >>D ．()()()f c f a f b >>3．（2022·全国·高三专题练习）函数()41f x x x =++在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为（） A ．153,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]3,4C ．153,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．154,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数()1y f x =-是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(),1-∞-单调递减，()00f =，则()()210f x f x +<的解集为（）A ．()(),20,-∞-⋃+∞B ．()2,0-C ．312,,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．（2022·河北·模拟预测）设函数()()212,1,2,1,x x f x x x ⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩则不等式()()340f f x +->的解集为（） A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-⋃+∞ C ．()7,7-D ．()(),77,-∞-⋃+∞6．（2022·全国·高三专题练习）若函数21,1()2,,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围（） A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,1D ．()0,17．（2022·全国·高三专题练习）函数2()2(1)3f x x m x =-+-+在区间(],4-∞上单调递增，则m 的取值范围是（）A ．[)3,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],5-∞D ．(],3-∞-8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()2313,11,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．11,,63⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数()21x af x x -=+在区间()b +∞，上单调递增，则下列说法正确的是（） A ．2a >-B ．1b >-C ．1b ≥-D ．2a <-10．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，则实数a 的范围是_______.11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )m ≠1)在区间(0，1]上是减函数，则实数m 的取值范围是________．12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 满足：①(0)0f =；②在[13]，上是减函数；③(1)(1)f x f x +=-.请写出一个满足以上条件的()f x =___________.13．（2022·全国·高三专题练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______.14．（2022·全国·高三专题练习）若函数2()4f x x ax =-+在[]1.3内不单调，则实数a 的取值范围是__________．15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =是定义在R 的递减函数，若对于任意(0x ∈，1]不等式2(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+恒成立，求实数m 的取值范围.16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x x .（1）若1a ，求函数的定义域；（2）是否存在实数a，使得函数()f x在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围第7讲函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 (1)∀x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(1)∀x ∈I ，都有f (x )≥M ； (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值➢考点1 函数的单调性[名师点睛]确定函数单调性的四种方法 (1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性． 1．（2022·全国·高三专题练习）函数2()23f x x x -- ） A ．(,1]-∞ B ．[3,)+∞ C ．(,1]-∞-D ．[1,)+∞【答案】B 【解析】由题意，可得2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥，所以函数2()23f x x x =--(][),13,-∞-⋃+∞，二次函数223y x x =--的对称轴为1x =，且在(][),13,-∞-⋃+∞上的单调递增区间为[3,)+∞，根据复合函数的单调性，可知函数2()23f x x x =--[3,)+∞.故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数()1axf x x =-（0a ≠）在(11)-，上的单调性. 【解】任取1x 、2(11)x ∈-，，且12x x <，(11)1()(1)11a x f x a x x -+==+--，则：21121212()11()()(1)(1)11(1)(1)a x x f x f x a a x x x x --=+-+=----，当0a >时，12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，函数()f x 在(11)-，上单调递减；当0a <时，12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，函数()f x 在(11)-，上单调递增. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）函数y = ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,1]-∞-C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．[]12-，【答案】C 【解析】令220x x -++≥，解得12x -≤≤，令22t x x =-++，则y =∵函数22t x x =-++在区间112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，y =内递增，∴根据复合函数的单调性可知，函数y =112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）函数()213log 412y x x =-++单调递减区间是（） A ．(),2-∞ B ．()2,+∞ C ．()2,2- D ．()2,6-【答案】C 【解析】令13log y u=，2412u x x =-++．由24120u x x =-++>，得26x -<<．因为函数13log y u=是关于u 的递减函数，且()2,2x ∈-时，2412u x x =-++为增函数，所以()213log 412y x x =-++为减函数，所以函数()213log 412y x x =-++的单调减区间是()2,2-．故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是（） A ．递增区间是(0,)+∞ B ．递减区间是(,1)-∞- C ．递增区间是(,1)-∞- D ．递增区间是(1,1)-【答案】D 【解析】因为函数222,0()22,0x x x f x x x x x x x ⎧-+≥=-+=⎨+<⎩，作出函数()f x 的图象，如图所示：由图可知，递增区间是(1,1)-，递减区间是(,1)-∞-和()1,+∞．故选：D ．4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()()12log g x f x =的单调递增区间为（）A ．(],3-∞-，[]0,3B ．[]3,0-，[)3,+∞C ．(),5-∞-，[)0,1D ．(]1,0-，()5,+∞【答案】C 【解析】因为12log y x=在()0,∞+上为减函数，所以只要求()y f x =的单调递减区间，且()0f x >.由图可知，使得函数()y f x =单调递减且满足()0f x >的x 的取值范围是()[),50,1-∞-.因此，函数()()12log g x f x =的单调递增区间为(),5-∞-、[)0,1.故选：C.5．（2022·广西柳州·三模）下列函数在(),0∞-上是单调递增函数的是（） A ．tan y x = B ．()ln y x =-C ．12xy =D ．1y x=-【答案】D 【解析】选项A. 函数tan y x =在(),0∞-上只有单调增区间，但不是一直单调递增，故不满足；选项B. 由复合函数的单调性可知函数()ln y x =-在(),0∞-上单调递减，故不满足；选项C. 函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭在(),0∞-上单调递减，故不满足；选项D. 函数1y x=-在(),0∞-上单调递增，故满足，故选：D6．（2022·全国·高三专题练习）函数y =|-x 2+2x +1|的单调递增区间是_________ ；单调递减区间是_________．【答案】 (12,1)-，(12,)++∞ (,12)-∞-，(1,12)【解析】作出函数y =|-x 2+2x +1|的图像，如图所示，观察图像得，函数y =|-x 2+2x +1|在(12,1)-和(12,)++∞上单调递增，在(,12)-∞和(1,12)上单调递减，所以原函数的单调增区间是(1，(1)+∞，单调递减区间是(,1-∞，(1,12).故答案为：(1-，(1)++∞；(,1-∞，(1,12)7．（2022·全国·高三专题练习）函数1y =_____．【答案】[3,6] 【解析】226060x x x x -+≥⇒-≤，解得06x ≤≤，令()()22639x x x x μ=-+=--+，对称轴为3x =，所以函数()x μ在(),3-∞为单调递增；在[)3,+∞上单调递减.所以函数1y =[3,6]. 故答案为：[3,6]8．（2022·福建·三模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =________. ①定义域为R ；②值域为(,1)-∞；③对任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，均有()()12120f x f x x x ->-.【答案】1()12xf x =-（答案不唯一）【解析】 1()12x f x =-，定义域为R ；102x>，1()112x f x =-<，值域为(,1)-∞；是增函数，满足对任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，均有()()12120f x f x x x ->-.故答案为：1()12xf x =-（答案不唯一）. 9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）1x=+lg 4xx -．判断并证明函数f （x ）的单调性；【解】由题意，040x x x ≠⎧⎪-⎨>⎪⎩，解得04x <<故f （x ）的定义域为（0，4）令441x u x x -==-，lg y u =，由于41u x=-在（0，4）单调递减，lg y u =在(0,)+∞单调递增，因此4lgxy x-=在（0，4）单调递减，又1y x =在（0，4）单调递减，故f （x ）1x =+4lgx x -在（0，4）上单调递减，证明如下：设0＜x 1＜x 2＜4，则： ()()()()121221121122122144411lg lg lg 4x x x x x x f x f x x x x x x x x x -----=+--=+-， ∵0＜x 1＜x 2＜4，∴x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＞0，4﹣x 1＞4﹣x 2＞0，12214114x xx x --＞，＞， ∴()()()()1212211221214401lg 044x x x x x x x x x x x x -----＞，＞，＞， ∴f （x 1）＞f （x 2），∴f （x ）在（0，4）上单调递减11．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为实数集R 的函数()11222xx f x +-=+．判断函数f （x ）在R 上的单调性，并用定义证明．【解】由题意11211()22212x x x f x +-==-+++，令1112,2xu y u =+=-+，由于12x u =+在R 上单调递增，112y u=-+在(0,)+∞单调递减，由复合函数单调性可知f （x ）在R 上为减函数. 证明：设∀x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，所以f （x 1）﹣f （x 2）()()211212112212121212x x x x x x -=-=++++，由于x 1＜x 2，y ＝2x 在R 上单增所以21220x x -＞，且2x ＞0 所以f （x 1）＞f （x 2），所以f （x ）在R 上单调递减．➢考点2 函数单调性的应用1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()()e e 2x xx f x --=，则21log3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，342b f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，432c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】A【解析】()f x 的定义域为R ，因为()()()e e ee ()22x xxx x x f x f x ------===，所以()f x 为偶函数，所以()()2221log log 3log 33a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，443322c f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0x >时，()()()ee e e 2xx x xx f x ---++'=，因为0x >，所以e1,0e 1xx -><<，所以e e 0x x -->，(e e )0x x x -+>，所以()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为2x y =在R 上单调递增，且340143-<<<，所以43013402222-<<<<，即433402122-<<<<，因为2log y x =在(0,)+∞上为增函数，且234<<，所以222log 2log 3log 4<<，即21log 32<<，所以4334202log 32-<<<，所以()433422log 32f f f -⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b a c <<，故选：A2．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数()1e ,111,1x x f x x x x-⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，则()f x 的最大值为______．【答案】1 【解析】解：(],1x ∈-∞时，()1x f x e -=单调递增，()()1111f x f e -==≤；()1,x ∈+∞时，()1+1f x x x=-单调递减，()11+111f x <-=.所以()f x 的最大值为1．故答案为：1．3．（2022·河北唐山·二模）已知函数()f x ()()21f x f x >-，则x 的取值范围是（） A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】解：()f x 定义域为R ，又()()-=-f x f x ，所以()f x 是奇函数，当0x =时，()00f =，当0x >时，()=f x ()f x 在()0,∞+上递增，所以()f x 在定义域R 上递增，又()()21f x f x >-，所以21x x >-，解得13x >，故选：C4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()ax f x x a-=-在(2,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞ B ．(1,1)-C ．(-∞，1)(1-⋃，2]D ．(-∞，1)(1-⋃，2)【答案】C 【解析】解：根据题意，函数221()11()ax a x a a a f x a x a x a x a--+--===+---，若()f x 在区间(2,)+∞上单调递减，必有2102a a ⎧->⎨⎩，解可得：1a <-或12a <，即a 的取值范围为(-∞，1)(1-⋃，2]，故选：C ． [举一反三]1．（2022·辽宁朝阳·高三开学考试）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x ->-，记(2)(3)(1),,23f f a f b c -===，则（）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】B 【解析】依题意，12,(0,)x x ∀∈+∞，12x x ≠，122112121212()()()()00f x f x x f x x f x x x x x x x -->⇔>--，于是得函数()f x x 在(0,)+∞上单调递增，而函数()f x 是R 上的偶函数，即(2)(2)22f f b -==，显然有(1)(2)(3)123f f f <<，因此得：a b c <<，所以a b c <<. 故选：B2．（2022·重庆·模拟预测）设函数()()()32200x xx f x x x -⎧-+>⎪=⎨-≤⎪⎩，若ln 2a =，0.23b =，0.3log 2c =，则（）A ．()()()f a f b f c >>B ．()()()f b f a f c >>C ．()()()f a f c f b >>D ．()()()f c f a f b >>【答案】D 【解析】解：因为()()()32200x x x f x x x -⎧-+>⎪=⎨-≤⎪⎩，又2x y =在()0,∞+上单调递增，2x y -=在()0,∞+上单调递减，则()22xx g x -=-+在()0,∞+上单调递减且()002002g -+==，又()3h x x =-在(),0∞-上单调递减且()3000h =-=，所以()f x 在R 上单调递减，又因为0.20331>=，即1b >，0ln1ln 2lne 1=<<=，即01a <<，0.30.3log 2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，所以()()()f b f a f c <<；故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）函数()41f x x x =++在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为（） A ．153,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]3,4C ．153,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．154,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】设1x t ，1x t =-，1,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()41g t t t =+-，根据双勾函数性质：函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]2,3上单调递增，()()max 1151015max ,3max ,2232g t g g ⎧⎫⎛⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，()()min 23g t g ==，故函数值域为153,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C.4．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数()1y f x =-是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(),1-∞-单调递减，()00f =，则()()210f x f x +<的解集为（）A ．()(),20,-∞-⋃+∞B ．()2,0-C ．312,,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为函数()1y f x =-是定义在R 上的偶函数，所以()y f x =的图象关于直线1x =-对称.因为()f x 在(),1-∞-上单调递减，所以在()1,-+∞上单调递增. 因为()00f =，所以()()200f f -==.所以当()(),20,x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x >；当()2,0x ∈-时，()0f x <．由()()210f x f x +<，得20,2210.x x x ⎧-⎨-<+<⎩或或20,212210.x x x -<<⎧⎨+-+⎩或解得312,,022x ⎛⎫⎛⎫∈--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C5．（2022·河北·模拟预测）设函数()()212,1,2,1,x x f x x x ⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩则不等式()()340f f x +->的解集为（） A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-⋃+∞ C ．()7,7- D ．()(),77,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】解：因为()()212,12,1x x f x x x ⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩，所以()36f =-，()()233126f -=-++=，则()()340f f x +->，即()()()4363f x f f ->-==-，()f x 的函数图象如下所示：由函数图象可知当3x >-时()6f x <且()f x 在(),3∞--上单调递减，所以()()43f x f ->-等价于43x -<-，即1x <，解得11x -<<，即()1,1x ∈-；故选：A6．（2022·全国·高三专题练习）若函数21,1()2,,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围（） A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,1D ．()0,1【答案】B 【解析】因为分段函数()f x 在R 上的单调函数，由于22y x ax =-开口向上，故在1≥x 上单调递增，故分段函数()f x 在在R 上的单调递增，所以要满足：0212112a aa a>⎧⎪-⎪-≤⎨⎪-≤-⎪⎩，解得：203a <≤ 故选：B7．（2022·全国·高三专题练习）函数2()2(1)3f x x m x =-+-+在区间(],4-∞上单调递增，则m 的取值范围是（）A ．[)3,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],5-∞D ．(],3-∞-【答案】D 【解析】解：函数2()2(1)3f x x m x =-+-+的图像的对称轴为2(1)12m x m -=-=--，因为函数2()2(1)3f x x m x =-+-+在区间(],4-∞上单调递增，所以14m -≥，解得3m ≤-，所以m 的取值范围为(],3-∞-，故选：D8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()2313,11,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．11,63⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．11,,63⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭【答案】B 【解析】由题意可知，()313y a x a =-+在(),1-∞上为减函数，则310a -<，函数21y x =-+在[)1,+∞上为减函数，且有()3130a a -+≥，所以，310610a a -<⎧⎨-≥⎩，解得1163a ≤<.综上所述，实数a 的取值范围是11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B.9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数()21x af x x -=+在区间()b +∞，上单调递增，则下列说法正确的是（） A ．2a >- B ．1b >- C ．1b ≥- D ．2a <-【答案】AC 【解析】 ()22211x a a f x x x -+==-++， ()f x 在区间()b +∞，上单调递增，20a ∴+>，2a >-∴，由()f x 在区间()1+∞-，上单调递增， 1b.故选：AC10．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，则实数a 的范围是_______. 【答案】(2,4]- 【解析】函数5()3x f x x a +=-+，定义域为(,3)(3,)x a a ∈-∞-⋃-+∞，又322()133x a a a f x x a x a -++++==+-+-+，因为函数5()3x f x x a +=-+在(1,)+∞上是减函数，所以只需23a y x a +=-+在(1,)+∞上是减函数，因此2031a a +>⎧⎨-≤⎩，解得24a -<≤.故答案为：24a -<≤11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )m ≠1)在区间(0，1]上是减函数，则实数m 的取值范围是________．【答案】(－∞，0)∪(1，4] 【解析】由题意可得4－mx ≥0，x ∈(0，1]恒成立，所以m ≤4()xmin ＝4．当0<m ≤4时，4－mx 单调递减，所以m －1>0，解得1<m ≤4；当m <0时，4－mx 单调递增，所以m －1<0，解得m <1，所以m <0．故实数m 的取值范围是(－∞，0)∪(1，4]．故答案为： (－∞，0)∪(1，4].12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 满足：①(0)0f =；②在[13]，上是减函数；③(1)(1)f x f x +=-.请写出一个满足以上条件的()f x =___________. 【答案】22x x -+ 【解析】由(1)(1)f x f x +=-可得()f x 关于1x =对称，所以开口向下，对称轴为1x =，且过原点的二次函数满足题目中的三个条件，故答案为：22x x -+13．（2022·全国·高三专题练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______.【答案】1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】由题意得：-2-12-21-22-11-2m m m m <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，解得12-<m <23.故答案为：1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，14．（2022·全国·高三专题练习）若函数2()4f x x ax =-+在[]1.3内不单调，则实数a 的取值范围是__________．【答案】13(,)22【解析】解：由题意得2()4f x x ax =-+的对称轴为2x a =，因为函数()f x 在[]1.3内不单调，所以123a <<，得1322a <<．故答案为：13(,)22．15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =是定义在R 的递减函数，若对于任意(0x ∈，1]不等式2(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+恒成立，求实数m 的取值范围.【解】因为函数()y f x =是定义在R 的递减函数，所以2(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+对(0x ∈，1]恒成立2231112mx mx x mx x m ⎧-<+-⇔⎨+-<+⎩在(0x ∈，1]恒成立.整理，当(0x ∈，1]时，2222(1)1mx x m x x ⎧<-⎨-<+⎩恒成立，（1）当1x =，2102m <⎧⎨<⎩，所以12m <；（2）当(0,1)x ∈时，222211x m xx m x ⎧-<⎪⎪⎨+⎪>⎪-⎩恒成立，1,2xy y x ==-都在(0,1)x ∈上为减函数22122x x y x x -∴==-在(0,1)x ∈上为减函数， ∴22122x x ->，222x m x-∴<恒成立⇔12m ≤. 结合当1x =时，12m <①又2222212(1)(1)21,01(1)(1)x x x x x x y y x x x +--+--'===<-++，当(0,1)x ∈ 故211x y x +=-在(0,1)x ∈上是减函数，∴2111x x +<--.211x m x +∴>-恒成立1m ⇔≥-② ∴①、②两式求交集1[1,)2m ∈-由（1）（2）可知当[1m ∈-，1)2时，对任意(0x ∈，1]时，2(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+恒成立.16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x x . （1）若1a =，求函数的定义域；（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围. 【解】（1）()f x x ，∴|1|10x +-≥，解得(,2][0,)x ∈-∞-+∞；所以函数的定义域为(,2][0,)x ∈-∞-+∞.（2）当x a ≥-，211()24f x x x ⎫===-+⎪⎭，在1[,)4+∞递减，此时需满足14a -≥，即14a -≤时，函数()f x 在[,)a -+∞上递减；当x a <-，()f x x x ，在(,2]a -∞-上递减， ∵104a ≤-<，∴20a a ->->，即当14a -≤时，函数()f x 在(,)a -∞-上递减；综上，当14a -≤时，函数()f x 在定义域R 上连续，且单调递减.所以a 的取值范围是1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦。

函数的单调性教案

函数的单调性教案教学目的：（1）了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思（2）理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间（3）掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性教学重点：函数的单调性的概念；教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教材分析：函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学在本节课中的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数学生的现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中须加强根据以上分析本节课教学方法以在多媒体辅助下的启发式教学为主；同时，本节课在教学过程中对教材中的函数3x y =的图象进行了删除，教学中始终以23+=x y 、2x y =、xy 1=等函数为例子进行讨论研究教学过程：一、复习引入：⒈ 复习：按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数xy =3x y =的图象. 2x y =的图象如图1，3x y =如图2.⒉ 引入：从函数2x y =的图象（图1）看到：图象在y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x 在区间[0，+∞)上取值时，随着x 的增大,相应的y 值也随着增大，即如果取21,x x ∈[0，+∞)，得到1y =)(1x f ,2y =)(2x f ,那么当1x <2x 时，有1y <2y .这时我们就说函数y =)(x f =2x 在[0,+ ∞)上是增函数. 图象在y 轴的左侧部分是下降的，也就是说，当x 在区间（-∞，0）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值反而随着减小，即如果取21,x x ∈（-∞，0），得到1y =)(1x f ,2y =)(2x f ,那么当1x <2x 时，有1y >2y .这时我们就说函数y =)(x f =2x 在(-∞,0)上是减函数. 函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的. 二、讲解新课： ⒈ 增函数与减函数定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，⑴若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数（如图3）；⑵若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）.说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =（图1），当x ∈[0,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,0)时是减函数. ⒉ 单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. 说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 的)(1x f >)(2x f ，但显然此特定位置上，虽然使得图象表示的函数不是一个单调函数；⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f <)(2x f 或)(1x f >)(2x f , ”改为“)(1x f ≤)(2x f 或)(1x f ≥)(2x f ,”即可；⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数. 三、讲解例题：例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及在每一单调区间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数.解：函数)(x f y =的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中)(x f y =在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数.说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.例2 证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数. 证明：设21,x x 是R 上的任意两个实数，且1x <2x ，则)(1x f －)(2x f =(31x +2)-(32x +2)=3(1x －2x ),由1x <2x x,得1x －2x <0 ,于是)(1x f －)(2x f <0,即 )(1x f <)(2x f . ∴23)(+=x x f 在R 上是增函数.例3 证明函数xx f 1)(=在(0,+∞)上是减函数. 证明：设1x ,2x 是(0,+∞)上的任意两个实数，且1x <2x ，则)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -,由1x ,2x ∈(0,+ ∞)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即)(1x f > )(2x f ∴xx f 1)(=在(0,+ ∞)上是减函数. 例4．讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性. 解：∵222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=，对称轴a x = ∴若2-≤a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是增函数；若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数若2≥a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是减函数. 四、练习：1：课本P59练习：1，2答案：)(x f 的单调区间有[-2,-1]，[-1,0]，[0,1]，[1,2]；)(x f 在区间[-2,-1]，[0,1]上是增函数，在区间[-1,0]，[1,2]上是减函数.)(x g 的单调区间有[-π,-2π]，[-2π,2π]，[2π, π]；)(x g 在区间[-π,-2π]，[2π，π]上是减函数，在区间[-2π，2π]上是增函数. 说明：要了解函数在某一区间是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它需要根据增（减）函数的定义进行证明，下面举例说明.2判断函数23)(+-=x x f 在R 上是增函数还是减函数？并证明你的结论. 解：设1x ,2x ∈R ，且1x <2x ，∵)(1x f －)(2x f =(-31x +2)-(-32x +2)=3(2x -1x ),又1x <2x ,∴)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f . ∴23)(+-=x x f 在R 上是减函数. 3判断函数)(x f =x1在(-∞,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论. 解：设1x ,2x ∈(-∞，0)，且1x <2x ，∵)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -=2112x x x x -,由1x ,2x ∈(-∞，0)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f . ∴)(x f =x1在(0,+ ∞)上是减函数. 能否说函数)(x f =x1在(-∞，+∞)上是减函数？答：不能. 因为x =0不属于)(x f =x1的定义域. 说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.4 ⑴ 判断函数b kx x f +=)(在R 上的单调性，并说明理由. ⑵ 课本P60练习：4.解：⑴设1x ,2x ∈R ，且1x <2x ,则)(1x f －)(2x f =(k 1x +b)-(k 2x +b)=k(1x -2x ).若k>0，又1x <2x ,∴)(1x f －)(2x f <0,即 )(1x f <)(2x f .∴b kx x f +=)(在R 上是增函数.若k<0，又1x <2x ,∴)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f . ∴b kx x f +=)(在R 上是减函数.第4（1）题⑵设1x ,2x ∈(0,+∞)，且1x <2x ， )=(21x +1)-(22x +1)=∵)(1x f －21x -22x =(1x +2x ) (1x -2x )∵0<1x <2x ,∴1x +2x >0，1x -2x ∴)(1x f －)(2x f <0,即)(1x f <)(2x f ， ∴)(x f =2x +1在(0,+∞)上是增函数.五、小结 ⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是：⑴设1x ,2x 是给定区间内的任意两个值，且1x <2x ；⑵作差)(1x f －)(2x f ，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断)(1x f －)(2x f 的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据)(1x f －)(2x f 的符号确定其增减性.六、课后作业：课本第60习题2.3：1，2，3补充：⑴)(x f =41252-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 是以(25,41-)为顶点、对称轴平行于y 轴、开口向上的抛物线（如图）;它的单调区间是(-∞,25]与[25,+ ∞);它在(-∞,25]上是减函数，在[25,+ ∞)上是增函数.证明：设1x <2x ≤25,则 )(1x f －)(2x f =21x -22x -5(1x -2x )=(1x +2x -5) (1x -2x ) ∵1x <2x 25≤,∴1x +2x <5，1x -2x <0， ∴)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f .. ∴)(x f =2x -5x +6在(-∞,25]上是减函数.类似地，可以证明)(x f 在[25,+∞)上是增函数. ⑵)(x f =-2x +9的图象是以(0,9)为顶点、y 轴为对称轴、开口向下的一条抛物线（如图）；它的单调区间是(-∞,0]与[0,+∞)，它在(-∞,0]上是增函数，在[0,+∞)上是减函数.证明：设1x <2x ≤0,则)(1x f －)(2x f =-21x +22x =(1x +2x ) (2x -1x ) ∵1x <2x ≤0,∴1x +2x <0，2x -1x >0， ∴)(1x f －)(2x f <0,即)(1x f <)(2x f .∴)(x f =9-2x 在(-∞,0]上是增函数.类似地，可以证明)(x f 在[0,+∞)上是减函数. 七、板书设计（略）八、课后记：。

高三一轮复习：函数的单调性

高三一轮复习：函数的单调性第一篇：高三一轮复习：函数的单调性高三一轮复习：函数的单调性教学设计一、【教学目标】【知识目标】：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．【能力目标】通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．二、【教学重点】函数单调性的概念、判断、证明及应用．函数的单调性是函数的最重要的性质之一，它在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用，三、【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义或导数证明函数的单调性．由于判断或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识（如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等）所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点.【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起，所以本节课在教材中的作用如下（1）函数的单调性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及其他函数单调性的理论基础。

（2）函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，同时还要综合利用前面的知识解决函数单调性的一些问题，有利于学生数学能力的提高。

（3）函数的单调性有着广泛的实际应用。

在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个数学教学。

因此“函数的单调性”在中学数学内容里占有十分重要的地位。

它体现了函数的变化趋势和变化特点，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用，为培养创新意识和实践能力提供了重要方式和途径。

人教高中数学必修一B版《函数的单调性》函数的概念与性质说课复习(函数的单调性及函数的平均变化率)

3．y＝f(x)在 I 上是增函数(减函数)的充要条件
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一般地，若 I 是函数 y＝f(x)的定义域的子集，对任意 x1，x2∈I
且
x1 ≠ x2 ，记
y1
＝
f(x1)
，
y2
＝
f(x2)
，
Δy Δx
＝
y2－y1 x2－x1
栏目导引
因为 x2＞x1＞－1，所以 x2－x1＞0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，因此 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)，所以 f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．
第三章函数
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的所有单调递减区间为( )
A．[－4，－2]
B．[1，4]
C．[－4，－2]和[1，4]
D．[－4，－2]∪[1，4] 解析：选 C.由题干图可得，f(x)在[－4，－2]上递减，在[－2，
栏目导引
第三章函数
＝(x1－x2)＋4(xx21－x2x1)
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高中数学-函数的单调性与导数教学设计学情分析教材分析课后反思

《函数的单调性与导数》教学设汁【教学目标】知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间过程与方法：i.通过本巧的学习，掌握用导数研究单调性的方法2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想、分类讨论思想。

情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。

【教学的重点和难点】教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。

教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。

性问题.内容讲授例题讲解例1 : 求函数f(x) = x3-3x2的单调区间，并画出函数的大致图像.分析：根据上面结论，我们知道函数的单调性与函数导数的符号有关。

因此，可以通过分析导数的符号求出函数的单调区间.解：引导学生回答问题并同时板书.根据单调性的结论画出函数的图像.学生思考回答思路.学生利用导数知识解决函数的单调性问题.明确利用导数是求函数单调区间的最简单的方法.加深对单调性的理解，体会数形结合的思想.加强学生对利用导数求函数单调性的方法进一步熟练掌握，特别是单调区间满足在定义域内.学生总结并回答问题加深记忆.练习1求函数/（x ） = — lnx 的单调区间.函数的导数值大于零时，其函数为单调递增；函数的导数值小于零时，其函数为单调递从函数的单调性和导数的正负关系的讨论环节中，不断的比较了函数和导函数的图像，因此设置该题，从熟悉的函数到该题，题LI 更容易解决.1求定义域；2求函数/（X ）的导数， 3讨论单调区间，解不等式广（力＞°,解集为增区间;4解不等式广（切＜°,解集为减区间.山学生共同回答.例2函数图像如下图，导函数图像可能为哪'一木讨论函数单调性的一般步骤是什么教师根据一个学生的作图进行讲解.学生对所学知识进一步巩固和熟练掌握.【板书设计】参与课堂的学生为高二年级理科的学生，学生基础参差不齐，差别较大，而单调性的槪念是在髙一第一学期学过的，因此对于单调性槪念的理解不够准确，同时导数是髙中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点.在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表而上•本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判左函数的单调性.效果分析本节课教师运用了多种教学手段，创设了丰富的教学情境，成功的激发了学生的学习兴趣：教学目标简明扼要，便于实施，注重数学思想、能力的培养，广度和深度都符合数学课程标准的要求，符合学生的实际情况。

高考数学总复习之函数的单调性

高考数学总复习之函数的单调性一、知识梳理1.增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数f （x ），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2）〔或都有f （x 1）＞f （x 2）〕，那么就说f （x ）在这个区间上是增函数（或减函数）.如果函数y =f （x ）在某个区间上是增函数（或减函数），就说f （x ）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f （x ）的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间. 2.函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f （x ），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f （x ），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.（3）定量刻画，即定义.上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径. 3. 函数单调性的判定方法：（1）定义法；设元→作差→变形→判断符号→给出结论；（2）图象法；（3）利用已知函数的单调性；①增（或减）函数)(x f 的倒数)(1x f 是减（或增）函数； ②增（或减）函数)(x f 的相反数)(x f -是减（或增）函数；③增（或减）函数)(x f 、)(x g 的和是)()(x g x f +是增（或减）函数；④增（或减）函数)(x f 与减（或增）函数)(x g 的差)()(x g x f -是增（或减）函数； ⑤若0>c ，则增（或减）函数)(x f 与c 的积)(x cf 是增（或减）函数；若0<c ，则增（或减）函数)(x f 与c 的积)(x cf 是减（或增）函数；；（4）复合函数的单调性：即“同增异减”法。

全国高中数学优秀教案函数的单调性教学设计 (2)

函数的单调性一、教学内容解析1．教材内容及地位本节课是北师大版《数学》（必修1）第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言（不等式）刻画函数的变化趋势（上升或下降）及简单应用。

它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础。

如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用。

因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地。

2．教学重点函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性。

3．教学难点函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证。

二、学生学情分析1．教学有利因素学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“y随x的增大而增大（减小）”描述函数图象的上升（下降）的趋势。

亳州一中实验班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力。

2．教学不利因素本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度。

而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强。

另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱。

这些都容易产生思维障碍。

三、课堂教学目标1．理解函数单调性的相关概念。

掌握证明简单函数单调性的方法。

2．通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法。

3．通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量。

4．引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力。

四、教学策略分析在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“y随x的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证。

高中数学单调性运算教案

高中数学单调性运算教案
一、教学目标：
1. 理解函数的单调性的概念；
2. 掌握用导数判断函数的单调性的方法；
3. 能够应用导数的概念求函数的单调区间。

二、教学重点：
1. 理解函数的单调性的概念；
2. 用导数判断函数的单调性的方法。

三、教学难点：
1. 应用导数的概念求函数的单调区间。

四、教学准备：
1. 教师准备教学课件和教具；
2. 学生准备书本和笔记。

五、教学过程：
1. 引入：通过举例让学生理解函数的单调性概念；
2. 理论讲解：介绍函数的单调性定义及判断方法；
3. 知识点拓展：讲解用导数判断函数的单调性的方法；
4. 练习：让学生完成相关练习题；
5. 总结：总结本节课内容，梳理重点知识点。

六、课后作业：
1. 完成课堂练习题；
2. 独立完成相关习题，巩固所学知识。

七、教学反馈：
1. 收集学生对本节课的反馈意见；
2. 分析学生掌握程度，调整教学方法。

人教A版高中数学必修一 7复合函数的单调性

第7讲函数的单调性（2）一、教学目标1.掌握函数单调性的定义以及函数的单调区间求法2.理解函数单调性的应用.二、知识点梳理知识点一：复合函数与抽象函数单调性1、复合函数单调性的判断一般地对于复合函数))((x g f y =，如果)(x g t =在()b a ,上是单调函数，并且)(t f y =在()()()b g a g ,或者()()()a g b g ,上也是单调函数，那么()()x g f y =在()b a ,上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”讨论复合函数单调性的步骤：① 求出复合函数的定义域；② 复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判定其单调性；③ 把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；④ 根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性。

例1、求函数2281)(x x x f --=的单调区间变式训练已知225)(,32)(x x g x x x f -=--=试求()x g 的单调区间2、抽象函数单调性的判断与证明没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数，求此类函数的单调性通常有两种方法：一种是“凑”凑定义或凑已知，利用定义或者已知条件得出结论；另一种是赋值，给变量赋值要根据条件与结论的关系。

例2、已知函数)(x f 对任意的R y x ∈,，总有()()()y f x f y x f +=+，且当x>0时，()0<x f .求证：()x f 在R 上为减函数。

知识点二：函数最值的求法求函数最值的方法1、配方法：主要适用于二次函数或者可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围2、换元法：用换元法一定要注意新元的取值范围3、数形结合法：对于图像较容易画出的函数的最值问题，可借助图像直观求出。

4、利用函数的单调性：要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上的函数的最值。

例3、利用单调性求最值求函数12-+=x x y求函数()x x x f +=1的最值利用图像求最值例4、用}{b a ,m in 表示a,b 两个数中较小值，设()}{()()x f x x x x f 则,010,2m in ≥-+=的最大值为_____二次函数最值求二次函数最值有两种类型：一是函数定义域为实数集R ，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数最大值（最小值）由它单调性确定，而它的单调性由二次函数的开口方向和对称轴的位置来确定；当开口方向和对称轴的位置不确定时，还需进行分类讨论。

人教版高三数学教案5篇

人教版高三数学教案5篇通过对的研究，让学生认识到数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。

使学生善于从现实生活中数学的发现问题，解决问题，数学是每个学生的必修课，好的教师应当做好对应的数学教案。

通过本节学习，学生应当达到对数学理解有所提高，人教版高三数学教案1一、教材分析1、本节内容在全书及章节的地位：《函数的单调性》是必修1第一章第 3 节，高中数学《函数的单调性》说课稿教案模板是高考的重点考查内容之一，是函数的一个重要性质，在比较几个数的大小、求函数值域、对函数的定性分析以及与其他知识的综合上都有广泛的应用。

通过对这一节课的学习，可以让学生加深对函数的本质认识。

也为今后研究具体函数的性质作了充分准备，起到承上启下的作用。

2、教学目标：根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知水平我制定如下教学目标：基础知识目标：了解能用文字语言和符号语言正确表述增函数、减函数、单调性、单调区间的概念;明确掌握利用函数单调性定义证明函数单调性的方法与步骤;并能用定义证明某些简单函数的单调性;能力训练目标：培养学生严密的.逻辑思维能力、用运动变化、数形结合、分类讨论的方法去分析和处理问题，情感目标：让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣。

重点：形成增(减)函数的形式化定义。

难点。

形成增减函数概念的过程中，如何从图像升降的直观认识过渡到函数增减数学符号语言表述;用定义证明函数的单调性。

为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：二、教法在教学中我使用启发式教学，在教师的引导下，创设情景，通过开放性问题的设置来启发学生思考，在思考中体会数学概念形成过程中所蕴涵的数学方法，三、学法倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力”。

数学作为基础教育的核心课程之一，转变学生数学学习方式，不仅有利于提高学生的数学素养，而且有利于促进学生整体学习方式的转变。

高中数学复习专题讲座(第7讲)奇偶性与单调性(1)

题目高中数学复习专题讲座处理具有单调性、奇偶性函数问题的方法（2）高考要求函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样特别是两性质的应用更加突出本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识重难点归纳(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的训练认真体会，用好数与形的统一复合函数的奇偶性、单调性问题的解决关键在于既把握复合过程，又掌握基本函数(2)加强逆向思维、数形统一正反结合解决基本应用题目(3)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力(4)应用问题在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决特别是往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题典型题例示范讲解例1已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xyyx ++1),试证明(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减命题意图本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力知识依托奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想错解分析本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得技巧与方法对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定21121x x x x --的范围是焦点证明 (1)由f (x )+f (y )=f (xyyx ++1), 令x =y =0,得f (0)=0,令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (21x xx --)=f (0)=0 ∴f (x )=－f (－x ) ∴f (x )为奇函数 (2)先证f (x )在(0，1)上单调递减令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)+f (－x 1)=f (21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴12121x x x x -->0,又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0 ∴x 2－x 1<1－x 2x 1, ∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (21121x x x x --)<0，即f (x 2)<f (x 1)∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0 ∴f (x )在(－1，1)上为减函数例2设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f (2a 2+a +1)<f (3a 2－2a +1) 求a 的取值范围，并在该范围内求函数y =(21)132+-a a 的单调递减区间命题意图本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法知识依托逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题错解分析逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱技巧与方法本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法解设0<x 1<x 2,则－x 2<－x 1<0，∵f (x )在区间(－∞,0)内单调递增， ∴f (－x 2)<f (－x 1),∵f (x )为偶函数，∴f (－x 2)=f (x 2),f (－x 1)=f (x 1), ∴f (x 2)<f (x 1) ∴f (x )在(0，+∞)内单调递减.032)31(3123,087)41(2122222>+-=+->++=++a a a a a a 又由f (2a 2+a +1)<f (3a 2－2a +1)得 2a 2+a +1>3a 2－2a +1 解之，得0<a <3又a 2－3a +1=(a －23)245 ∴函数y =(21)132+-a a 的单调减区间是［23，+∞］结合0<a <3,得函数y =(12)132+-a a 的单调递减区间为［23，3)例3设a >0,f (x )=xx e a a e +是R 上的偶函数，(1)求a 的值；(2)证明 f (x )在(0，+∞)上是增函数(1)解依题意，对一切x ∈R ,有f (x )=f (－x ),即x x x ae e a a e 1=++ae x 整理，得(a －a1)(e x －x e 1)=0 因此，有a －a1=0,即a 2=1,又a >0,∴a =1 (2)证法一（定义法）设0＜x 1＜x 2,则f (x 1)－f (x 2)=)11)((1121122121--=-+-+x x xx x x x x e e e e e e e21211211)1(x x x x x x x e e ee ++---=由x 1>0,x 2>0,x 2>x 1,∴112--x x e >0,1－e 21x x +＜0,∴f (x 1)－f (x 2)＜0,即f (x 1)＜f (x 2) ∴f (x )在(0,+∞)上是增函数证法二（导数法）由f (x )=e x +e －x ，得f ′(x )=e x －e －x =e －x ·(e 2x －1) 当x ∈(0,+∞)时，e －x >0,e 2x －1>0此时f ′(x )>0,所以f (x )在［0，+∞)上是增函数学生巩固练习1 下列函数中的奇函数是( )A f (x )=(x －1)xx -+11B f (x )=2|2|)1lg(22---x xC f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+)0()0(22x x x x x xD f (x )=xx xx sin cos 1cos sin 1++-+2 函数f (x )=111122+++-++x x x x 的图象( )A 关于x 轴对称B 关于y 轴对称C 关于原点对称D 关于直线x =1对称 3 函数f (x )在R 上为增函数，则y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是____ 4 若函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0<x 1<x 2), 且在［x 2,+∞)上单调递增，则b 的取值范围是_________5 已知函数f (x )=a x +12+-x x (a >1) (1)证明函数f (x )在(－1，+∞)上为增函数 (2)用反证法证明方程f (x )=0没有负数根6 求证函数f (x )=223)1(-x x 在区间(1，+∞)上是减函数7 设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足(i)f (x 1－x 2)=)()(1)()(1221x f x f x f x f -+⋅；(ii)存在正常数a 使f (a )=1 求证 (1)f (x )是奇函数(2)f (x )是周期函数，且有一个周期是4a8 已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R ,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且f (－21)=0,当x >－21时，f (x )>0 (1)求证 f (x )是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证参考答案:1 解析 f (－x )=2222(0)() (0)(0)() (0)x x x x x x x x x x x x ⎧⎧->-+<⎪⎪=⎨⎨--<--+>⎪⎪⎩⎩ =－f (x )，故f (x )为奇函数答案 C2 解析 f (－x )=－f (x ),f (x )是奇函数，图象关于原点对称答案 C3 解析令t =|x +1|,则t 在(－∞,－1]上递减，又y =f (x )在R 上单调递增，∴y =f (|x +1|)在(－∞,－1]上递减答案 (－∞,－1]4 解析 ∵f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (0)=d =0 f (x )=ax (x －x 1)(x －x 2)=ax 3－a (x 1+x 2)x 2+ax 1x 2x ， ∴b =－a (x 1+x 2),又f (x )在［x 2,+∞)单调递增，故a >0又知0＜x 1＜x ,得x 1+x 2>0, ∴b =－a (x 1+x 2)＜0 答案 (－∞,0）5 证明 (1）设－1＜x 1＜x 2＜+∞,则x 2－x 1>0, 12x x a ->1且1x a >0,∴)1(12112-=--x x x x x a a a a >0,又x 1+1>0,x 2+1>0 ∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x >0, 于是f (x 2)－f (x 1)=12x x a a -+12121122+--+-x x x x >0 ∴f (x )在(－1，+∞）上为递增函数(2）证法一设存在x 0＜0(x 0≠－1)满足f (x 0)=0,则12000+--=x x a x 且由0＜0x a ＜1得0＜－1200+-x x ＜1, 即21＜x 0＜2与x 0＜0矛盾，故f (x )=0没有负数根证法二设存在x 0＜0(x 0≠－1)使f (x 0)=0,若－1＜x 0＜0,则1200+-x x ＜－2,0x a ＜1,∴f (x 0)＜－1与f (x 0)=0矛盾，若x 0＜－1,则1200+-x x >0, 0x a >0， ∴f (x 0)>0与f (x 0)=0矛盾，故方程f (x )=0没有负数根6 证明 ∵x ≠0,∴f (x )=22422322)11(1)1(1)1(1x x x x x x x -=-=-, 设1＜x 1＜x 2＜+∞,则01111,11121222122>->-<<x x x x2211222222112222)11(1)11(1.0)11()11(x x x x x x x x -<-∴>->-∴∴f (x 1)>f (x 2), 故函数f (x )在(1，+∞）上是减函数(本题也可用求导方法解决） 7 证明 (1）不妨令x =x 1－x 2,则f (－x )=f (x 2－x 1)=)()(1)()()()(1)()(12212112x f x f x f x f x f x f x f x f -+-=-+=－f (x 1－x 2)=－f (x )∴f (x )是奇函数(2）要证f (x +4a )=f (x ),可先计算f (x +a ),f (x +2a )∵f (x +a )=f ［x -(-a )］=1)((1)(1)()()(1)()()()(1)()(=+-=--+-=---+-a f x f x f x f a f x f a f x f a f x f a f).(111)(1)(11)(1)(1)(1)(])[()2(x f x f x f x f x f a x f a x f a a x f a x f -=++--+-=++-+=++=+∴ ∴f (x +4a )=f ［(x +2a )+2a ］=)2(1a x f +-=f (x ),故f (x )是以4a 为周期的周期函数8 (1）证明设x 1＜x 2,则x 2－x 1－21>－21,由题意f (x 2－x 1－21)>0,∵f (x 2)－f (x 1)=f ［(x 2－x 1)+x 1］－f (x 1)=f (x 2－x 1)+f (x 1)－1－f (x 1)=f (x 2－x 1)－1=f (x 2－x 1)+f (－21)－1=f ［(x 2－x 1)－21］>0,∴f (x )是单调递增函数(2)解 f (x )=2x +1 验证过程略课前后备注。

函数的单调性

《函数的单调性》——设计人：xxx尊敬的评委老师你们好！今天我说课的题目是《函数的单调性》，下面我将从六个方面对本堂课内容进行简要阐述。

首先，我对本节教材进行简要分析。

一、教材分析：本节内容选自人教版新课标普通高中数学必修Ⅰ第一章第三节第一课时。

它是在学习前面集合和函数及其表达式的基础上，利用函数图象和解析式来描绘函数图象的局部变化趋势，从而理解函数的单调性的概念，了解函数单调区间的概念。

对函数的定性分析以及实际问题中变量变化等问题都有广泛的应用，同时也为今后研究具体函数的性质作了充分准备。

因此本节内容具有承前启后的作用。

根据本节内容的特点以及新课标对本节课的教学要求，考虑到学生已有的知识结构和心理特征，我制定了以下教学目标。

二、教学目标：1、知识与技能目标：理解函数单调性的意义；了解能用文字语言和符号语言正确表述增（减）函数、单调性及单调区间的概念；明确掌握利用函数单调性的定义证明函数单调性的方法和步骤，提高学生的推理论证能力。

2、过程与方法目标：学生通过由特殊到一般的推理过程，让学生运用数形结合的思想方法探究函数单调性的概念。

3、情感、态度与价值目标：培养学生严密的逻辑思维能力，用运动变化、数形结合、分类讨论的方法去分析和处理问题，以提高学生的思维能力品质，养成用辩证唯物的观点看问题。

根据新课标教学理念，针对本节内容的特点，我确定了如下的教学重难点。

三、重、难点：重点：对函数单调性的有关概念的本质理解与掌握。

难点：利用函数单调性的概念证明或判断具体函数的单调性基于以上教学目标与重难点，我设计了以下教学方法。

四、教学方法：本节课采用以学生为主体，教师为主导的探究式教学方法，采用“设问→探究→归纳→总结”层层递进的方式来突破重难点。

通过特例的探究，引导学生进行思考、总结，从而得出规律，进行推广，使学生在探究过程中理解和掌握所学知识。

为了实现教学目标，突出重点，突破难点，我设计了一下教学过程。

五、教学过程：1、课题导出：首先，将学生带入登山情景，让学生描绘上、下山过程中海拔随时间的变化趋势；并要求学生亲自动手画出两个基本函数的图像：f(x)=x与f(x)=x²，结合已有知识描绘函数值随自变量的变化趋势。

3.1.2函数的单调性-人教B版高中数学必修第一册(2019版)教案

3.1.2 函数的单调性-人教B版高中数学必修第一册（2019版）教案知识点概述函数的单调性是指函数在定义域内的增减性质。

如果在定义域内，随着自变量的增大，函数值也增大，那么该函数就是单调递增的。

反之，如果随着自变量的增大，函数值反而减小，那么该函数就是单调递减的。

本节课程将介绍函数单调性的判断方法，通过一些例题帮助学生掌握这一知识点。

教学目标1.掌握函数单调性的定义；2.熟悉函数单调性的判断方法；3.通过例题训练，提高学生应用函数单调性的能力。

教学重点函数单调性的判断方法教学难点如何应用单调性判断函数的增减性教学过程1. 导入新知识通过一个实例来引导学生理解函数单调性的概念。

给学生出示一个数轴图像，用手指在数轴上滑动，问学生，随着手指从左到右的滑动，哪些方向的箭头所指方向与手指滑动方向相同？引导学生发现箭头向右的部分，与手指从左到右滑动的方向一致，这表明该数轴部分是单调递增的。

而箭头指向左的部分，则相反，是单调递减的。

然后，将此概念应用到函数中，强调函数的单调性是指函数值的递增或递减的性质，通常用单调递增和单调递减两个概念来描述。

2. 函数单调性的判断方法为了帮助学生更好地理解函数单调性，本节课程将介绍两种判断函数单调性的方法。

方法一：一阶导数法对于可导函数f(x)，如果在定义域上f′(x)>0，那么f(x)单调递增；如果在定义域上f′(x)<0，那么f(x)单调递减。

这是一种常见的判断函数单调性的方法，但是需要前提是函数f(x)在定义域上可导。

同时，需要注意的是，f′(x)=0的点可能是转折点，此时函数从单调递增变为单调递减，或者从单调递减变为单调递增。

方法二：二阶导数法对于二次可导函数f(x)，如果在x=a处f″(a)>0，那么f(x)在x=a处有一个局部最小值，同时f(x)在x<a和x>a上单调递增；如果在x=a处f″(a)<0，则f(x)在x=a处有一个局部最大值，同时f(x)在x<a和x>a上单调递减。

函数的单调性复习教案人教版

2.函数单调性基础知识讲解（10分钟）
目标：让学生了解函数单调性的基本概念和判断方法。
过程：
讲解函数单调性的定义，包括其主要判断方法和条件。
详细介绍函数单调性的判断方法，使用图表或示意图帮助学生理解。
3.函数单调性案例分析（20分钟）
目标：通过具体案例，让学生深入了解函数单调性的特性和重要性。
过程：
③设计有趣的比喻或例子，如将函数单调性比作“爬山”和“下山”，让学生更容易理解和记忆。
3.板书设计简洁明了：
①使用简洁明了的语言，避免冗长的解释，如“增函数”可以用箭头向上表示，“减函数”可以用箭头向下表示。
②合理安排板书的布局，使得知识点的呈现有序且不拥挤，便于学生跟随和记忆。
教学反思与总结
1.教学反思：
2.教学总结：
本节课的教学效果总体上是积极的，学生对函数单调性的概念和应用有了更深入的理解和掌握。在知识方面，学生能够准确描述函数单调性的定义，掌握判断函数单调性增减的方法，并能够运用到具体函数中。在技能方面，学生能够将函数单调性的知识应用到实际问题中，通过分析函数的单调性来解决优化问题和不等式问题。在情感态度方面，学生对函数单调性产生了浓厚的兴趣，对数学学习更加积极和主动。
（1）复习函数单调性的基本概念和判断方法，要求学生能够准确描述函数单调性的定义，掌握判断函数单调性增减的方法，并能够运用到具体函数中。
（2）应用函数单调性解决实际问题，要求学生能够将函数单调性的知识应用到实际问题中，通过分析函数的单调性来解决优化问题和不等式问题。
（3）强化函数单调性的综合应用，要求学生能够综合运用函数单调性的知识，解决复杂的数学问题，提高他们的数学思维和问题解决能力。
然而，本节课的教学中也存在一些问题和不足。首先，学生在理解和运用函数单调性的判断方法上还存在一定的困难，需要进一步加强指导和练习。其次，小组讨论的组织和管理需要改进，以提高学生的参与度和讨论的有序进行。针对这些问题，我将在今后的教学中采取相应的改进措施和建议。例如，在讲解函数单调性的判断方法时，可以设置具体的例题和练习题，让学生多次接触和练习，加深对概念的理解。同时，制定明确的小组讨论规则，对小组讨论进行有效的引导和监督，确保每个学生都能够积极参与并充分表达自己学生的学习效果，为今后的教学提供参考和借鉴。

第7讲函数的单调性(可编辑)

第7讲函数的单调性【知识框架】 1．函数单调性的概念（1）增函数：一般地，设函数()x f y =的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量1x ，2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <，那么就说()x f 在区间D 上是增函数，如图1 .（2）减函数：一般地，设函数()x f y =的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量1x ，2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f >，那么就说()x f 在区间D 上是减函数，如图2.注：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质.②一般来说，求函数单调区间可以根据函数的图象．在某区间内，由左至右图象是上升的，该区间就是函数的单调增区间；某区间内，由左到右图象是下降的，该区间就是函数的单调减区间．2．函数的单调性定义：如果函数()x f y =在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数()x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做()x f y =的单调区间.注：如果函数有若干个增（减）区间，则这几个区间用“，”或“和”连接.3．证明或判断函数单调性的方法主要是定义法（在解决选择或填空题时有时可用图象法），利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：4．抽象函数的单调性（1）确定函数定义域；（2）根据单调性去符号“f ”，如果函数()x f 在给定区间内是增函数，则去掉符号“f ”后，不等式方向不变；如果函数()x f 在给定区间内是减函数，则去掉符号“f ”后，不等式方向改变．5．复合函数的单调性：“同增异减”（口诀：类比，“负负得正，正负得负，正正得正”乘法口诀）. 6．增减函数的“运算”法则：（1）加减运算：增+增=增；增-减=增；减+减=减；减-增=减；增+减=不能确定；增-增=不能确定. （2）增函数开方还是增函数；减函数开方还是减函数. 注：无乘除运算.【例1】如图所示的是定义在区间[-5，5]上的函数()x f y =的图象，则函数的单调递减区间是___[-2，1]_____、____[3，5]____，在区间___[-5，-2]_____、____[1，3]___上是增函数．【举一反三】1. 下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ B ）①1+-=x y ；②x y 2-=；③542+-=x x y ；④xy 2=. A.① B.②C.③D.④2．函数xy 6=的单调递减区间是（ C ） A ．[0，+∞） B ．（-∞，0] C ．（-∞，0），（0，+∞） D ．（-∞，0）∪（0，+∞）3. 如图分别为函数()x f y =和()x g y =的图象，试写出函数()x f y =和()x g y =的单调增区间.【解析】由题意,确定函数y=f(x)和y=g(x)的单调增区间,即寻找图象中呈上升趋势的一段图象. 由图(1)可知,在[1,4)和[4,6)内,y=f(x)是单调递增的. 由图(2)可知,在（23π-，0）和（23π，25π）内,y=g(x)是单调递增的.【例2】下列函数在区间（-∞，0）上为增函数的是（ B ） A ．1=y B ．21+-=xy C ．122---=x x y D ．21x y += 【例3】函数()xx x f 1-=在（0，+∞）上（ A ） A ．递增 B ．递减 C ．先增再减 D ．先减再增【举一反三】1. 下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（ A ） A.x y =B.x y -=3C.xy 1=D.42+-=x y2．下列函数中，在区间（0，2]上为增函数的是（ B ） A ．3--=x y B ．12+=x y C ．xy 2= D ．1--=x y 3．下列函数中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（ C ） A ．x x y -= B ．x x y --=1 C ．2x x y --= D ．xx y 1+=【例4】作出函数322++-=x x y 的图象并指出它的单调区间．[解析] 根据绝对值的意义，y ＝－x 2＋2|x|＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0－x 2－2x ＋3，x<0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋4，x ≥0－x ＋12＋4，x<0作出函数图象如图所示，根据图象可知，函数在区间(－∞，－1]，[0,1]上是增函数；函数在区间(－1,0)，(1，＋∞)上是减函数．【举一反三】1．函数2+=x y 在区间[-3，0]上是（ C ）A ．递减B ．递增C ．先减后增D ．先增后减 2．函数11-=x y 的单调减区间是___(－∞，1)，(1，＋∞)_____． 3．函数()1-=x x f 的单调递增区间是___[1，+∞）_____，单调递减区间是___（-∞，1]_____． 4．求()322-+=x x x f 的单调区间．解：令g(x)＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.先作出g(x)的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图象翻到x 轴上方就得到f(x)＝|x 2＋2x －3|的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．【例5】函数()322+-=mx x x f ，当x ∈[-2，＋∞）时，()x f 为增函数，当x ∈（-∞，-2]时，函数()x f 为减函数，则m 等于（ B ）A ．-4B ．-8C ．8D ．无法确定【举一反三】1．设()()b x a x f +-=12在R 上是减函数，则有（ D ）A ．21≥a B ．21≤a C ．21->a D ．21<a 2．如果函数()()2122+-+=x a x x f 在区间（-∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是（ B ）A ．[-3，+∞）B ．（-∞，-3]C ．（-∞，5]D ．[3，+∞）3．已知函数322++=ax x y 在区间（-∞，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是___（-∞，-1]_____． 4．函数()322+-=mx x x f ，当x ∈[2，+∞）时是增函数，当x ∈（-∞，2]时是减函数，则()1f ＝____-3____.【例6】如果函数()x f 在[a ，b ]上是增函数，那么对于任意的1x ，2x ∈[a ，b ]（21x x ≠），下列结论中不正确的是（ C ） A.()()02121>--x x x f x f B ．()()()[]02121>--x f x f x xC ．()()()()b f x f x f a f <<<21 D.()()01212>--x f x f x x【举一反三】1．下列函数中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），都有()()02121>--x x x f x f ”的是（ C ）A ．()xx f 2=B ．()13+-=x x fC ．()342++=x x x fD ．()342+-=x x x f 2. 设函数()x f 满足：对任意的1x ，2x ∈R 都有()()()[]02121>--x f x f x x ，则()3-f 与()π-f 的大小关系是 f(-3)>f(-π) .【例7】证明函数()xx x f 4+=在（2，+∞）上是增函数． [证明] 任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝(x 1－x 2)＋4x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－4x 1x 2.∵2<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>4，x 1x 2－4>0，∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)．∴函数f(x)＝x ＋4x 在(2，＋∞)上是增函数．【举一反三】 1．证明函数()21x x f =在（-∞，0）上是增函数．证明设x 1，x 2是区间(－∞，0)上任意两个实数，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝1x 21－1x 22＝x 22－x 21x 21x 22＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)x 21x 22. 因为x 1<x 2<0，所以x 2－x 1>0，x 1＋x 2<0，x 21x 22>0，所以f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，所以函数f(x)＝1x 2在(－∞，0)上是增函数．2．利用单调性的定义，证明函数12++=x x y 在（-1，+∞）上是减函数．证明：设x 1，x 2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1x 1＋1x 2＋1，∵－1＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. ∴x 2－x 1x 1＋1x 2＋1>0.即f(x 1)－f(x 2)>0，f(x 1)>f(x 2)．∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．【例8】已知函数()x f 在（0，+∞）上是减函数，且()()32-<x f x f ，求x 的取值范围． [解析] ∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，且f(x)<f(2x －3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x>0，2x －3>0，x>2x －3，解得32<x<3.【举一反三】1. 函数()x f 在区间（-2，3）上是增函数，则()4+=x f y 的递增区间是（ C ） A.（2，7）B.（-2，3）C.（-6，-1）D.（0，5）【解析】选C.函数y=f(x+4)是函数f(x)向左平移4个单位得到,因为函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数, 所以y=f(x+4)的增区间为(-2,3)向左平移4个单位,即增区间为(-6,-1).2．若函数()x f 的定义域为R ，且在（0，+∞）上是减函数，则下列不等式成立的是（ B ） A ．()1432+->⎪⎭⎫ ⎝⎛a a f f B ．()1432+-≥⎪⎭⎫ ⎝⎛a a f fC ．()1432+-<⎪⎭⎫ ⎝⎛a a f f D ．()1432+-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛a a f f3．设函数()x f 是R 上的减函数，若()()121->-m f m f ，则实数m 的取值范围是___m>0_____．4．已知函数()x f 为定义在区间[-1，1]上的增函数，则满足()⎪⎭⎫⎝⎛<21f x f 的实数x 的取值范围是___[-1，21）_____． 5．已知()x f 是定义在区间[-1，1]上的增函数，且()()x f x f -<-12，则x 的取值范围为___1≤x<32_____．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1－1≤1－x ≤1，解得1≤x ≤2 ①.因为f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x －2)<f(1－x)，所以x －2<1－x ，解得x<32②.由①②得1≤x<32.【例9】分别作出函数()()()⎩⎨⎧>+-≤+-=132152x x x x x f 和()()()⎩⎨⎧>+-≤+-=172152x x x x x g 的图象，并根据其图象的变化趋势判断它们在（-∞，+∞）上的单调性．解函数f(x)的图象如图(1)所示，由其图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数；函数g(x)的图象如图(2)所示，由其图象可知g(x)在(－∞，＋∞)上既不是增函数，也不是减函数．【例10】已知()()()()⎩⎨⎧≥+-<+-=111413x x x a x a x f 是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是____17≤a ＜13____．【举一反三】 1．已知函数()()()⎩⎨⎧>+-≤+-=12152x a x x x x f 是减函数，则实数a 的取值范围是___（-∞，5]_____． 2．若函数()()()⎩⎨⎧>+≤++=111322x ax x ax x x f 是减函数，则实数a 的取值范围是____[-3，-1]_____．【例11】函数()x f 是定义在（0，+∞）上的减函数，对任意的x ，y ∈（0，+∞），都有()()()1-+=+y f x f y x f ，且()54=f . （1）求()2f 的值；（2）解不等式()32≤-m f .解析：(1)∵f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5，∴f(2)＝3.(2)由f(m －2)≤3，得f(m －2)≤f(2)．∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥2，m －2>0解得m ≥4.∴不等式的解集为{m|m ≥4}．【举一反三】1．设()x f 是定义在（0，+∞）上的函数，满足条件：（1）()()()y f x f xy f +=；（2）()12=f ；（3）在（0，+∞）上是增函数．如果()()232≤-+x f f ，求x 的取值范围．解析：∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，∴令x ＝y ＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2f(2)．又f(2)＝1，∴f(4)＝2.∵f(2)＋f(x －3)＝f(2(x －3))＝f(2x －6)，∴f(2x －6)≤2＝f(4)，即f(2x －6)≤f(4)．∵f(x)在(0，＋∞)上递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＞0，2x －6≤4解得3＜x ≤5.故x 的取值范围为(3,5]．【巩固练习】1．函数()x f 在R 上是减函数，则有（ C ）A ．()()31f f <-B ．()()31f f ≤-C ．()()31f f >-D ．()()31f f ≥- 2．若函数()x f 在区间（a ，b ]上是增函数，在区间（b ，c ）上也是增函数，则函数()x f 在区间（a ，c ）上（ D ）A ．必是增函数B ．必是减函数C ．是增函数或是减函数D ．无法确定单调性 3．下列函数在区间（0，+∞）上不是增函数的是（ C ）A ．12+=x yB ．12+=x y C ．x y -=3 D ．122++=x x y4．函数()322++-=x x x f 的单调减区间是（ B ）A ．（-∞，1）B ．（1，+∞）C ．（-∞，2）D ．（2，+∞） 5. 设函数()x f 在（-∞，+∞）上为减函数，则（ D ） A.()()a f a f 2>B.()()a f af <2C.()()a f a af <+2D.()()a f a f <+126．函数()2-=x x x f 的增区间是（ C ）A ．（-∞，1]B ．[2，+∞）C ．（-∞，1]，[2，+∞）D ．（-∞，+∞） 7. 函数()()1122+--=x a x x f 在区间[5，+∞）上是增函数，则实数a 的取值范围是（ C ）A.[6，+∞）B.（6，+∞）C.（-∞，6]D.（-∞，6）8．如果函数()322-+=x ax x f 在区间（-∞，4）上是单调递增的，那么实数a 的取值范围是（ D ）A ．41->a B ．41-≥a C ．041<≤-a D ．041≤≤-a 9．已知函数()()()⎩⎨⎧<+-≥+-=01032x ax x x a x x f 是（-∞，+∞）上的减函数，则实数a 的取值范围是（ A ）A.[0，31] B.（0，31） C.（0，31] D ．[0，31） 10．若()()232+-=x k x f 是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是___（23，+∞）_____． 11．若函数()x f 是R 上的减函数，且()()a f a f 21<-，则a 的取值范围是____（-∞，-1）____． 12. ()x f 是定义在[0，+∞)上的减函数，则不等式()()82+-<x f x f 的解集是 {x ∣438≤<x } . 13．若()ax x x f 22+-=与()1+=x ax g 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是___（0，1]_____．14．函数()x x y 3--=的递增区间是____[0，23]____． 15．函数()()()()⎩⎨⎧>≤-=112x ax x x a x f 在R 上是增函数，则a 的取值范围为____[1，2）____． 16. 已知函数()x f 在R 上是减函数，A （0，-2），B （-3，2）是其图象上的两点，那么不等式()22<<-x f 的解集为 (-3,0) .【解析】因为A(0,-2),B(-3,2)在函数y=f(x)的图象上,所以f(0)=-2,f(-3)=2,故-2<f(x)<2可化为f(0)<f(x)<f(-3),又f(x)在R 上是减函数,因此-3<x<0.17. 已知函数()x f y =在定义域（-1，1）上是减函数，且()()121-<-a f a f ，求实数a 的取值范围．解由题知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a<1，－1<2a －1<1，1－a>2a －1，解得0<a<23，即所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.18．证明()x x x f +=2在（0，+∞）上是增函数．证明设x 1>x 2>0，则f(x 1)－f(x 2)＝x 21＋x 1－x 22－x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋1)，因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，x 1＋x 2＋1>0，所以f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，所以f(x)＝x 2＋x 在(0，＋∞)上是增函数． 19. 已知函数()112-=x x f . （1）求()x f 的定义域；（2）判断函数()x f 在（1，+∞）上的单调性,并用单调性的定义加以证明. 【解析】(1)由x 2-1≠0,得x ≠±1,所以函数f(x)=的定义域为{x ∈R|x ≠±1}.(2)函数f(x)=在(1,+∞)上是减函数.证明:任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2, 则f(x 1)-f(x 2)=-=.因为x 2>x 1>1,所以-1>0,-1>0,x 2-x 1>0,x 2+x 1>0,所以f(x 1)-f(x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2),所以函数f(x)=在(1,+∞)上是减函数.。

第7讲--函数的单调性

第7讲函数的单调性夯实基础【学习目标】1．了解函数单调性的概念，会讨论和证明一些简单函数的单调性．2．利用函数的单调性求最值，求单调区间及参数的取值范围．【基础检测】1．函数y ＝lg x 2的单调减区间为( )A ．RB ．(－∞，0)，(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)2．“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件3．若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝( )A.14B.13C.12D.324．下列函数中，在区间(0，1)上单调递减的是________．(填写序号) ①f (x )＝sin x ； ②f (x )＝x ＋1x；③f(x)＝log12(x＋3)；④f(x)＝|x＋1|.5．函数y＝xx＋a在(－2，＋∞)上为增函数，则a的取值范围是________．【知识要点】1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是__增函数__或__减函数__，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．2．函数单调性的判断方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．典例剖析考点1函数单调性的证明例1已知函数f(x)＝x2＋1－ax，其中a>0.(1)若2f(1)＝f(－1)，求a的值；(2)证明：当a≥1时，f(x)在区间[0，＋∞)上为减函数．考点2函数单调性(区间)的判断例2(1)下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝e－x B．y＝x3C．y＝ln x D．y＝|x|(2)已知f(x)＝(x－2)2，x∈(－1，3)，则函数f(x＋1)的单调减区间为__________．(x2－3x＋2)的单调减区间为________．(3)函数y＝log12考点3 函数单调性的应用例3 (1)已知f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f ⎝⎛⎭⎫34的大小关系是( ) A ．f (a 2－a ＋1)>f ⎝⎛⎭⎫34 B ．f (a 2－a ＋1)≤f ⎝⎛⎭⎫34 C ．f (a 2－a ＋1)≥f ⎝⎛⎭⎫34 D ．f (a 2－a ＋1)<f ⎝⎛⎭⎫34(2)设定义在(0，＋∞)上的单调函数f (x )对任意的x ∈(0，＋∞)都有f (f (x )－log 3x )＝4，则不等式f (a 2＋2a )>4的解集为( )A ．{a|a<－3或a>1}B ．{a|a>1}C ．{a|－3<a<1}D ．{a|a<－3}(3)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a （x<0），a x ＋1（x ≥0）(a>0，且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是____________．(4)f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调递增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是________．〔备选题〕例4已知函数f (x )＝a （x －1）x 2，其中a>0. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝xln x －x 2f (x )，求g (x )在区间[1，e ]上的最小值．(其中e 为自然对数的底数)方法总结1．在研究函数的单调性时，常需要先将函数解析式化简变形，等价转化为讨论一些熟知函数的单调性问题，因此，掌握并熟记一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程，同时应充分注意函数的等价性．2．函数单调性的证明方法：①定义证明法；②导数证明法．3．判断函数的单调性的方法：①观察法；②图象法；③定义法；④复合函数法；⑤导数法．注意：确定单调性一定是相对于某个区间而言，并且一定要在定义域内．4．运用奇偶函数的性质及其与单调性的关系是进行单调区间转换的一种有效手段．奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反，且f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．5．已知函数单调性求参数范围的问题是讨论单调性的可逆过程，解法是根据单调性的概念得到“恒成立”的不等式，同时要注意定义域这一隐性的限制条件．走进高考1．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2，2] B．[－1，1]C．[0，4] D．[1，3]2．(2017·天津)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<a考点集训【p182】A组题1．下列函数中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)2．设a, b ∈R ，若a >b ，则( )A.1a <1b B ．2a >2b C ．lg a >lg b D ．sin a >sin b3．已知函数f (x )是定义在[0，＋∞)的增函数，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，23B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞D.⎣⎡⎭⎫12，234．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为( )A ．－2B ．2C ．－6D ．65．函数f (x )＝x 2－2x －3的单调增区间为________．6．一次函数f (x )是减函数，且满足f [f (x )]＝4x －1，则f (x )＝__________．7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e －x－2，x ≤02ax －1，x >0 (a 是常数且a >0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1；②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )>0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a >1； ④对任意x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f （x 1）＋f （x 2）2.其中所有正确命题的序号是________．8．已知函数f (x )在其定义域x ∈[0，＋∞)上单调递增，且对任意的x, y ∈[0，＋∞)都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1成立，且f (1)＝2.(1)求f (0), f (3)的值；(2)解不等式：f (2x )＋f (x －1)>7.B 组题1．函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪log 12（3－x ）的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．(2，3)C ．(－∞，3)D ．[3，＋∞)2．已知f (x )在实数集上是减函数，若a ＋b ≤0，则下列不等式正确的是( ) A ．f (a )＋f (b )≤－[f (a )＋f (b )] B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ) D ．f (a )＋f (b )≥－[f (a )＋f (b )]3．已知f (x )＝4－x 2，若0<x 1<x 2<x 3，则f （x 1）x 1，f （x 2）x 2，f （x 3）x 3的大小关系是( )A.f （x 1）x 1<f （x 2）x 2<f （x 3）x 3B.f （x 1）x 1<f （x 3）x 3<f （x 2）x 2C.f （x 3）x 3<f （x 2）x 2<f （x 1）x 1D.f （x 2）x 2<f （x 3）x 3<f （x 1）x 14．已知定义在R 上的函数f (x )为增函数，当x 1＋x 2＝1时，不等式f (x 1)＋f (0)>f (x 2)＋f (1)恒成立，则实数x 1的取值范围是( )A ．(－∞，0)B.⎝⎛⎭⎫0，12C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1，＋∞)5．若函数f (x )对定义域内的任意x 1，x 2，当f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称函数f (x )为单纯函数. 例如函数f (x )＝x 是单纯函数，但函数f (x )＝x 2不是单纯函数，下列命题：①函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ≥2x －1，x <2是单纯函数；②当a >－2时，函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x在(0，＋∞)是单纯函数；③若函数f (x )为其定义域内的单纯函数， x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；④若函数f (x )是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在x 0使其导数f ′(x 0)＝0.其中正确的命题为__________．(填上所有正确的命题序号)第7讲函数的单调性夯实基础【p 16】【学习目标】1．了解函数单调性的概念，会讨论和证明一些简单函数的单调性． 2．利用函数的单调性求最值，求单调区间及参数的取值范围．【基础检测】1．函数y ＝lg x 2的单调减区间为( )A ．RB ．(－∞，0)，(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)【解析】显然函数的定义域为： (－∞，0)∪(0，＋∞)，令u ＝x 2，则y ＝lg u 在(0，＋∞)上，y 是u 的增函数，而u ＝x 2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数；由复合函数的单调性可知：原函数的减区间应是(－∞，0)．故选C.【答案】C 2．“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【解析】函数f (x )＝|x －a |＝⎩⎨⎧x －a ，x ≥a－x ＋a ，x <a，因为函数在[1，＋∞)递增，所以a ≤1.可判断a ＝1是a ≤1的充分不必要条件．【答案】B3．若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝( )A.14B.13C.12D.32【解析】当a >1时，a 2＝4，1a ＝m ，∴a ＝2，m ＝12；当0<a <1时，1a ＝4，a 2＝m ，∴a＝14，m ＝116，又g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，∴1－4m >0，m <14，∴a ＝14. 【答案】A4．下列函数中，在区间(0，1)上单调递减的是________．(填写序号) ①f (x )＝sin x ； ②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝log 12(x ＋3)；④f (x )＝|x ＋1|.【解析】结合函数性质及图象分析可知：①，④不满足题意．对于②，f ′(x )＝1－1x 2，当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，则f (x )在(0，1)上递减；对于③，令u ＝x ＋3，在(0，1)上递增，而y ＝log 12u 为减函数，由复合函数的单调性知，f (x )＝log 12(x ＋3)在(0，1)上单调递减．综上可知，②③在(0，1)上为减函数．故填②③.【答案】②③5．函数y ＝xx ＋a在(－2，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围是________．【解析】y ＝x x ＋a ＝1－ax ＋a ，依题意，得函数的单调增区间为(－∞，－a )，(－a ，＋∞)，要使函数在(－2，＋∞)上为增函数，只要－2≥－a ，即a ≥2.【答案】a ≥2【知识要点】1．函数的单调性(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是__增函数__或__减函数__，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．2．函数单调性的判断方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．典例剖析【p16】考点1 函数单调性的证明例1已知函数f (x )＝x 2＋1－ax ，其中a>0.(1)若2f (1)＝f (－1)，求a 的值；(2)证明：当a ≥1时，f (x )在区间[0，＋∞)上为减函数．【解析】(1)由2f (1)＝f (－1)，可得22－2a ＝2＋a ， ∴a ＝23. (2)任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋1－ax 1－x 22＋1＋ax 2＝x 21＋1－x 22＋1－a (x 1－x 2)＝x 21－x 22x 21＋1＋x 22＋1－a (x 1－x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1－a . ∵0≤x 1<x 21＋1，0<x 2<x 22＋1，∴0<x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1<1. 又∵a ≥1，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在区间[0，＋∞)上为减函数．【点评】利用定义证明函数f (x )在给定区间D 上的单调性的一般步骤：①任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；②作差；③变形(通常是因式分解、通分、配方)；④判断符号(即判断f (x 1)－f (x 2)的符号)；⑤下结论(即指出函数f (x )在给定区间D 上的单调性)．考点2 函数单调性(区间)的判断例2(1)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A ．y ＝e －x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln x D ．y ＝|x |【解析】y ＝e －x 定义域为R 但为减函数；y ＝x 3定义域是R 且为增函数；y ＝ln x 定义域是(0，＋∞)且为增函数；y ＝|x |定义域为R 但在(－∞，0)上单调递减，因此选B.【答案】B(2)已知f (x )＝(x －2)2，x ∈(－1，3)，则函数f (x ＋1)的单调减区间为__________．【解析】因为f (x )＝(x －2)2，x ∈(－1，3)，所以f (x ＋1)＝(x －1)2，且x ＋1∈(－1，3)，即f (x ＋1)＝(x －1)2，且x ∈(－2，2)，则函数f (x ＋1)的单调减区间为(－2，1)．【答案】(－2，1)(3)函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调减区间为________．【解析】令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2＞0，则x ＜1或x ＞2.∴函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴是直线x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(2，＋∞)上是单调增函数．而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)．【答案】(2，＋∞)考点3 函数单调性的应用例3(1)已知f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f ⎝⎛⎭⎫34的大小关系是( ) A ．f (a 2－a ＋1)>f ⎝⎛⎭⎫34 B ．f (a 2－a ＋1)≤f ⎝⎛⎭⎫34 C ．f (a 2－a ＋1)≥f ⎝⎛⎭⎫34 D ．f (a 2－a ＋1)<f ⎝⎛⎭⎫34 【解析】∵a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥34，又f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝⎛⎭⎫34.【答案】B(2)设定义在(0，＋∞)上的单调函数f (x )对任意的x ∈(0，＋∞)都有f (f (x )－log 3x )＝4，则不等式f (a 2＋2a )>4的解集为( )A ．{a|a<－3或a>1}B ．{a|a>1}C ．{a|－3<a<1}D ．{a|a<－3}【解析】根据f (f (x )－log 3x )＝4，可设f (b )＝4，则有对任意的x ∈(0，＋∞)，f (x )－log 3x ＝b 恒成立，再将x ＝b ，f (b )＝4代入前式，可得log 3b ＋b ＝4，可求得b ＝3，则f (x )＝3＋log 3x ，f (3)＝4，可见f (x )为单调增函数，所以f (a 2＋2a )>4的解集为不等式a 2＋2a>3的解，为{a|a<－3或a>1}，故选A.【答案】A(3)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a （x<0），a x ＋1（x ≥0）(a>0，且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是____________．【解析】当0<a <1时， f (x )＝a x ＋1在(0，＋∞)上为减函数，而f (x )＝－x ＋3a 在(－∞，0)上为减函数，要使函数f (x )在R 上为减函数，则a 满足⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥2，解得23≤a <1.【答案】⎣⎡⎭⎫23，1(4)f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调递增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是________．【解析】2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有x ＞0，x －8＞0，且x (x －8)≤9，解得8＜x ≤9.【答案】(8，9]〔备选题〕例4已知函数f (x )＝a （x －1）x 2，其中a>0. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝xln x －x 2f (x )，求g (x )在区间[1，e ]上的最小值．(其中e 为自然对数的底数) 【解析】(1)因为函数f (x )＝a （x －1）x 2，∴f ′(x )＝[a （x －1）]′·x 2－（x 2）′a （x －1）x 4＝ax （2－x ）x 4，由f′(x )>0⇒0<x<2，由f′(x )<0⇒x<0或x>2，故函数f (x )的单调增区间为(0，2)，单调减区间为(－∞，0)，(2，＋∞)． (2)∵g (x )＝xln x －x 2f (x )＝xln x －a (x －1)，∴g ′(x )＝ln x ＋1－a ，解ln x ＋1－a ＝0，得x ＝e a －1，故g (x )在区间(e a －1，＋∞)上递增，在区间(0，e a －1)上递减．①当e a －1≤1，即0<a ≤1时，g (x )在区间[1，e ]上递增，其最小值为g (1)＝0；②当1<e a －1<e ，即1<a<2时，g (x )的最小值为g (e a －1)＝a －e a －1；③当e a －1≥e ，即a ≥2时，g (x )在区间[1，e ]上递减，其最小值为g (e )＝e ＋a －ae.综上，g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧0（0<a ≤1），a －e a －1（1<a<2），a ＋e －ae （a ≥2）.【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数求给定区间上函数的最值．方法总结【p 17】1．在研究函数的单调性时，常需要先将函数解析式化简变形，等价转化为讨论一些熟知函数的单调性问题，因此，掌握并熟记一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程，同时应充分注意函数的等价性．2．函数单调性的证明方法：①定义证明法；②导数证明法．3．判断函数的单调性的方法：①观察法；②图象法；③定义法；④复合函数法；⑤导数法．注意：确定单调性一定是相对于某个区间而言，并且一定要在定义域内．4．运用奇偶函数的性质及其与单调性的关系是进行单调区间转换的一种有效手段．奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反，且f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．5．已知函数单调性求参数范围的问题是讨论单调性的可逆过程，解法是根据单调性的概念得到“恒成立”的不等式，同时要注意定义域这一隐性的限制条件．走进高考【p17】1．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2，2]B．[－1，1]C．[0，4]D．[1，3]【解析】因为f(x)为奇函数且在(－∞，＋∞)单调递减，要使－1≤f(x)≤1成立，则x 满足－1≤x≤1，从而由－1≤x－2≤1得1≤x≤3，即满足－1≤f(x－2)≤1成立的x的取值范围为[1，3]，选D.【答案】D【命题立意】奇偶性与单调性的综合问题，要重视利用奇、偶函数与单调性解决不等式和比较大小问题，若f(x)在R上为单调递增的奇函数，且f(x1)＋f(x2)>0，则x1＋x2>0，反之亦成立．2．(2017·天津)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<a【解析】因为f(x)是奇函数且在R上是增函数，所以x>0时，f(x)>0，从而g(x)＝xf(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，20.8<2，又4<5.1<8，则2<log25.1<3，所以0<20.8<log25.1<3，g(20.8)<g(log25.1)<g(3)，所以b<a<c，故选C.【答案】C【命题立意】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式．考点集训【p 182】A 组题1．下列函数中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)【解析】由题意知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，故选A. 【答案】A2．设a, b ∈R ，若a >b ，则( ) A.1a <1bB ．2a >2bC ．lg a >lg bD ．sin a >sin b【解析】A 项，若a ，b 异号不成立，错误；B 项， y ＝2x 为递增函数，故正确；C 项，若a ，b ≤0则无意义，错误；D 项，函数y ＝sin x 不单调，故无法判断大小关系；综上可知选B.【答案】B3．已知函数f (x )是定义在[0，＋∞)的增函数，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，23B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞D.⎣⎡⎭⎫12，23 【解析】根据已知的定义域和单调性，得到：⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1<13，所以12≤x <23. 【答案】D4．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－6 D ．6【解析】由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞，令－a2＝3，∴a ＝－6.【答案】C5．函数f (x )＝x 2－2x －3的单调增区间为________．【解析】由x 2－2x －3≥0，得定义域x ≤－1或x ≥3，函数的递增区间为[3，＋∞)．【答案】[3，＋∞)6．一次函数f (x )是减函数，且满足f [f (x )]＝4x －1，则f (x )＝__________．【解析】因为一次函数f (x )是减函数，设f (x )＝ax ＋b (a <0)，所以f [f (x )]＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1，所以a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得a ＝－2，b ＝1，所以函数的解析式为f (x )＝－2x ＋1.【答案】－2x ＋17．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e －x－2，x ≤02ax －1，x >0(a 是常数且a >0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )>0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a >1； ④对任意x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f （x 1）＋f （x 2）2.其中所有正确命题的序号是________．【解析】作出函数f (x )的图象如图所示，显然f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的最小值为f (0)＝－1，故命题①正确；显然，函数f (x )在R 上不是单调函数，②错误；因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝2a ×12－1＝a －1，所以若f (x )>0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则a －1>0，即a >1，故③正确；由图象可知，在(－∞，0)上，对任意x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f （x 1）＋f （x 2）2成立，故④正确．【答案】①③④8．已知函数f (x )在其定义域x ∈[0，＋∞)上单调递增，且对任意的x, y ∈[0，＋∞)都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1成立，且f (1)＝2.(1)求f (0), f (3)的值；(2)解不等式：f (2x )＋f (x －1)>7. 【解析】(1)f (0)＝－1; f (3)＝8. (2)由f (2x )＋f (x －1)>7得： f (2x )＋f (x －1)＋1>7＋1＝f (3)， f (3x －1)>f (3)，∵f (x )在其定义域x ∈[0，＋∞)上单调递增，∴⎩⎨⎧3x －1>3，2x ≥0，x －1≥0，⇒x >43，故不等式的解集为⎝⎛⎭⎫43，＋∞. B 组题1．函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪log 12（3－x ）的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．(2，3)C ．(－∞，3)D ．[3，＋∞)【解析】因为f (x )＝⎩⎨⎧－log 12（3－x ），x ≤2log 12（3－x ），2<x <3，而f (x )＝－log 12(3－x )在(－∞，2]上单调递减．选A.【答案】A2．已知f (x )在实数集上是减函数，若a ＋b ≤0，则下列不等式正确的是( )A ．f (a )＋f (b )≤－[f (a )＋f (b )]B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )C ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )D ．f (a )＋f (b )≥－[f (a )＋f (b )]【解析】因为a ＋b ≤0，所以a ≤－b, b ≤－a ，又因为f (x )在实数集上是减函数，所以f (a )≥f (－b ), f (b )≥f (－a )，所以f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，故选C.【答案】C3．已知f (x )＝4－x 2，若0<x 1<x 2<x 3，则f （x 1）x 1，f （x 2）x 2，f （x 3）x 3的大小关系是( ) A.f （x 1）x 1<f （x 2）x 2<f （x 3）x 3B.f （x 1）x 1<f （x 3）x 3<f （x 2）x 2C.f （x 3）x 3<f （x 2）x 2<f （x 1）x 1D.f （x 2）x 2<f （x 3）x 3<f （x 1）x 1【解析】由题意可得0<x 1<x 2<x 3≤2，而f （x ）x ＝4－x 2x ＝4x 2－1，∴f （x ）x在(0，2]上单调递减，∴f （x 3）x 3<f （x 2）x 2<f （x 1）x 1，选C. 【答案】C4．已知定义在R 上的函数f (x )为增函数，当x 1＋x 2＝1时，不等式f (x 1)＋f (0)>f (x 2)＋f (1)恒成立，则实数x 1的取值范围是( )A ．(－∞，0)B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1D ．(1，＋∞) 【解析】若x 1<0，则x 2>1，故由函数的单调性可得⎩⎨⎧f （0）<f （1），f （x 1）<f （x 2），即f (x 2)＋f (1)>f (x 1)＋f (0)，与题设矛盾，故答案A 不正确；若0<x 1<12，则12<x 2<1，故⎩⎨⎧f （0）<f （1），f （x 1）<f （x 2），所以f (x 1)＋f (0)<f (x 2)＋f (1)，与题设矛盾，故答案B 不正确；若12<x 1<1，则0<x 2<12，故⎩⎨⎧f （0）<f （x 2），f （x 1）<f （1），f (x 1)＋f (0)<f (x 2)＋f (1)，与题设矛盾，故答案C 不正确；应选答案D.【答案】D5．若函数f (x )对定义域内的任意x 1，x 2，当f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称函数f (x )为单纯函数. 例如函数f (x )＝x 是单纯函数，但函数f (x )＝x 2不是单纯函数，下列命题：①函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ≥2x －1，x <2是单纯函数；②当a >－2时，函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x在(0，＋∞)是单纯函数； ③若函数f (x )为其定义域内的单纯函数， x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；④若函数f (x )是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在x 0使其导数f ′(x 0)＝0.其中正确的命题为__________．(填上所有正确的命题序号)【解析】由题设中提供的“单纯函数”的定义可知：当函数是单调函数时，该函数必为单纯函数．因为x ≥2时， f (x )＝log 2x 单调，所以f (x )＝log 2x 是单纯函数；当x <2时， f (x )＝x －1单调，所以f (x )＝x －1是单纯函数，故命题①是正确的；对于命题②，由于f (x )＝x ＋1x＋a 不单调，故不是单纯函数；由于单调函数一定是单纯函数，故当x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)，即命题③是正确的；对于命题④，可取函数f (x )＝x 3＋x ，其导函数为f ′(x )＝3x 2＋1，不存在x 0使f ′(x 0)＝0，故是错误的，应填答案①③.【答案】①③。