高中数学2-3-1变量之间的相关关系及两个变量的线性相关同步辅导与检测课件新人教A版必修3

要制表这一步，直接算出结果就行了． 2．目前高考暂时不能使用计算器，因此考题数字 一般不会太大，但是还是要多加训练． 3．列表格式一般如下：
i＝1 i＝1 i＝1 i
＝
n
n
n
n
1
跟踪训练 3．某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场 试验中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y台之间有如 下关系： x y 35 56 40 41 45 28 50 11
(1)y与x是否具有线性相关关系？如果具有线性相关关 系，求出回归直线方程； (2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(1)写出P关 于x的函数关系式并预测当销售单价x为多少元时，才能获得 最大日销售利润．
3．如何认识线性回归模型？
解析：两个变量之间的相关性可以用一条直线或曲 线来进行拟合．如果两个变量之间的依赖关系是近似一 条直线，那么这两个变量就是线性相关的；如果两个变 量之间的依赖关系是近似一条曲线，那么这两个变量就 是非线性相关的；如果两个变量之间不存在明显的依赖 关系，那么这两个变量就是不相关的．
解析：(1)由题设所给数据，可得散点图(如下图)．
(2)由对照数据，计算得：
4
i＝1
xiyi＝66.5，
4
i＝1
－ － 2 2 2 2 2 x ＝ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＋ 6 ＝ 86 ， x ＝ 4.5 ， y ＝3.5， i
∧
66.5－4×4.5×3.5 则b＝ ＝0.7 ； 2 86－4×4.5 ∧ ∧ － － a ＝ y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35，
^ b＝
i＝1

n
－ － xi－ x yi－ y ＝
i＝1
i＝1
－－ x y － n ii x y －2 2 xi －n x i＝1
n

n
－2 xi－ x

n
^ － ^－ － 1 n － 1n a＝ y －b x ， x ＝ xi， y ＝ yi ni＝1 ni＝1 ^ ^ ^ 所得到的直线方程y ＝bx＋a叫做回归直线方程，b是 ^ 回归方程的斜率，a是截距，相应的直线叫做回归直线．由 回归直线方程算出的结果仅为预测，非必然结果．
5 2 xi ＝135， y2 i ＝37.33. i＝1 i＝1

5

i＝1
－－ y xiyi－5 x · －2 2 xi －5 x i＝1
5
由此可求得：b＝

5
70.2－5×5×2.5 ＝ ＝0.77， 135－5×25 － － a＝ y －b x ＝2.5－0.77×5＝－1.35.
∧
所以线性回归方程为y ＝－1.35＋0.77x.
i
x2 i ＝ 220，
＝
5
1
i
－－ x y － 5 x y i i
＝
5
1
则b ＝
i
－2 2 x － 5 x i
＝
5
1
7790－5×6×210.4 ＝ ≈36.95， 2 220－5×6 － － a＝ y －b x ＝210.4－36.95×6＝11.3，
∧
故所求回归直线方程为y ＝36.95x＋11.3.
∧
思考应用 1．变量之间的相关关系与函数关系有何区别？ 解析：变量间的相互关系有两种，一种是函数关系， 变量之间的对应是确定的；另一种是变量间确实存在着 关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关 系带有随机性．相关关系分为两种：(1)正相关：两个变 量具有相同的变化趋势．(2)负相关：两个变量具有相反 的变化趋势．
∧
故所求的回归方程为y＝0.7x＋0.35. (3) x＝100, y＝100×0.7＋0.35＝70.35 吨， 预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 90－70.35＝19.65(吨)．
1．求解两个变量的回归直线方程的计算量较大， 需要细心、谨慎地计算．如果会使用含统计的科学计算
器，能简单得到 xi， yi， xiyi， x2i 这些量，也就不需
自测自评 1．两个变量之间关系如下， x y 2 3 4 4 6 8
回归直线一定经过点(
C )
B．(4,4)
D．(5,5)
A．(3,3)
C．(4,5)
2．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，数据(略)， 由此建立的身高与年龄的回归模型为 ∧ y ＝7.19x＋73.93， 用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述 是( C ) A．身高一定是145.83 cm B．身高在145.83 cm以上
求回归直线方程 下表是某医院用光电比色计检验尿汞时， 得到的尿汞含量(毫克/升)与消光系数的一组数据： (1)依据这些数据画出散点图； (2)如果y与x之间具有线性相关关系，求回归直线 方程． 解析：(1)散点图如下：
5 － － (2) x ＝6， y ＝210.4， xiyi＝7790， i＝1
解析：设线性回归方程为 ^ y＝bx＋a，而 a＝ y －b x ， 即 a＝t－bs，t＝bs＋a. ∴(s，t)在回归直线上． ∴直线 l1 和 l2 一定有公共点(s，t)． 答案：A
跟踪训练 2．若x, y具有相关关系，且得到的一组散点图大致 分布在一条直线的附近，则所得的回归直线是指( D ) A．经过散点图上两点的直线 B．经过散点图上最多的点的直线 C．与各个散点的偏差和绝对值最小的直线 D．与各个散点的偏差的平方和最小的直线
是(
解析：要求大致在一条直线上，但不是函数关系． 答案：B
了解回归直线方程的意义 为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲、 乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性 回归的方法，求得回归直线分别为l1，l2，已知两人得到的 试验数据中，变量x和y的数据的平均值都相等，且分别是s， t，那么下列说法正确的是( ) A．直线l1和l2一定有公共点(s，t) B．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t) C．必有直线l1∥l2 D．l1和l2必定重合
C．身高在145.83 cm左右
D．身高在145.83 cm以下
相关关系 的两个变量进行统计分析的方 3．对具有__________ 法叫回归分析．
4．表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形 散点图 ． 叫做_______
利用散点图判断两个变量之间的线性相关关系 下表是某地的年降雨量与年平均气温，判断两 者是相关关系吗？求回归直线方程有意义吗？ 年平均 12.51 12.84 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05 气温(℃)
统计
2 ．3
变量间的相关关系
2.3.1变量之间的相关关系及两个变量的线性相关
1．会作两个有关联变量数据的散点图，会利用散
点图认识变量间的相关关系． 2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回 归方程系数公式建立线性回归方程．
基础梳理 1．相关系数：相关系数是描述两个变量关系程度和 方向的统计量，用r表示．相关系数的范围在－1到1之间， 即－1≤r≤1，当r＝1为完全正相关即两者之间具有函数关系， r＝－1，为完全负相关即两者之间具有函数关系，r＝0为 不相关，r的范围在0.3～0.5是低度正相关；r的范围在 0.5～0.8是中度正相关；r的范围在0.8以上是高度正相关； 只有显著相关以上才需要考察相关方程．r的计算不作要 求． 2．散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数 据的图形叫做散点图．
用回归分析看问题 (用计算器完成计算)假设某设备的使用年 限x与所支出的维修费用y (万元)有如下的统计资料：
x y
3 1
4 1.5
5 2.8
6 3.2
7 4
(1)画出散点图；
(2)求出线性回归方程； (3)估计使用年限为9年时，维修费用是多少？
解析：(1)散点图如下图：
5 － － (2)计算可得： x ＝5， y ＝2.5， xiyi＝70.2， i＝1
(3)当x＝9时，应用线性回归方程可求得y＝5.58， 即估计第9年后，此时维修费用约为5.58万元．
跟踪训练 4．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过 程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对 照数据 x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x ^ ^ ^ 的线性回归方程 y ＝bx＋a； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准 煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品 的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
年降雨 量(mn)
748
542
507
813
574
701
432
解析：以x轴为年平均气温，y轴为年降雨量，可得 相应的散点图如下图所示．
因为图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不 具有相关关系，没必要用回归直线进行拟合，如果用公 式求得回归直线也是没有意义的．
跟踪训练 1．下列图形中，两个变量具有线性相关关系的 )
例如：某产4 3.8 5 5 6 6.1 7 7.2 8 8 产品产量 1.2 (千吨)x 生产费用 (万元)y
62
86
80
110
115
132
135
160
解析：相应的散点图如下
3．线性相关：当一个变量变动时，另一个变量也 相应发生大致均等的变动，两者之间叫做线性相关．相 关关系与函数关系的相同点均是指两个变量的关系；不 同点是：函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一 种非确定关系．
2．如何利用散点图判断两个变量之间是否具备相 关关系？ 解析：可根据散点图中对应点的离散程度来判断 两个变量是否具有相关关系．如果散点图中变量的对应 点分布在某条直线周围，我们就可以得出这两个变量具 有相关关系，如果点的分布大致在左下角到右上角的区 域，则为正相关，如果因变量随自变量的增大而减小， 则是负相关．如果变量的对应点分布没有规律，我们就 说这两个变量不具有相关关系．