2017年中考数学人教版总复习课件 第21课 二次函数
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2017年春季学期新人教版中考一轮总复习：第21课《二次函数》名师精讲课件
2．（2016•大连）如图，抛物线y=x2﹣3x+ 与x轴相交 于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线 上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E （1）求直线BC的解析式； （2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
5 4
考点三
二次函数的实际应用
例3（2016•郴州）某商店原来平均每天可销售某种水果 200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查 ，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20 千克． （1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写 出y关于x的函数表达式； （2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元 ？
考点二
求二次函数的表达式
例2（2013•广东）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1． （1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二 次函数的解析式； （2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D ，求C、D两点的坐标； （3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得 PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在， 请说明理由．
第21课
二次函数
知识清单 课前小测 经典回顾 中考冲刺
本节内容考纲要求考查二次函数概念、图象、性 质及应用，能根据具体问题求二次函数的解析式，二次 函数的应用。广东省近5年试题规律：二次函数是必考内 容，选择题形式一般考查二次函数的图象与性质，解答 题形式一般与三角形、四边形等问题结合起来，难度较 大，通常是压轴题，要么以函数为背景引出动态几何问 题，要么以动态图形为背景，渗透二次函数问题，是数 形结合思想的典例。
经典回顾
考点一 二次函数的图象和性质
例1（2014•广东）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致 图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是 （ D ） A．函数有最小值 1 B．对称轴是直线x= 2 C．当x＜ 1 ， y 随 x 的增大而减小 2 D．当﹣1＜x＜2时，y＞0
二次函数的图象和性质(第1课时 )九年级数学上册课件(人教版)
然后描点、连线，得到图象如下图.
y
-4 -2 O 2 4
-2 4 6 8
由图象可知，这个函数 具有如下性质： 当x＜-1时，函数值y随x
x
的增大而增大； 当x＞-1时，函数值y随x 的增大而减小； 当x=-1时，函数取得最 大值，最大值y=3.
练一练 已知二次函数y＝x2﹣6x+5． （1）将y＝x2﹣6x+5化成y＝a(x﹣h)2+k的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
( C) A．直线x＝2
B．直线x＝－2
C．直线x＝1
D．直线x＝－1
4．【2020·温州】已知(－3，y1)，(－2，y2)，(1，y3)是抛 物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则( B )
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
5．【2020·河北】如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点 P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的 说法如下，
6．【中考·温州】已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函 数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( D)
A．有最大值－1，有最小值－2 B．有最大值0，有最小值－1 C．有最大值7，有最小值－1 D．有最大值7，有最小值－2
7．【中考·成都】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法正确的是( B)
(1)求 b、c 的值；
解：把 A(0，3)，B－4，－92的坐标分别代入
y＝－136x2＋bx＋c，得 c－＝1336，×16－4b＋c＝－92，解得bc＝＝398.，
(2)二次函数 y＝－136x2＋bx＋c 的图象与 x 轴是否有公共点？ 若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由．
人教版九年级上册数学课件：二次函数的应用
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c (1)a确定抛物线的开口方向：
y
•(0,c)
0
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解:(6)
y
由图象可知
当-3 < x < 1时，y < 0 当x< -3或x>1时，y > 0
•(-3,0) • • (-1,-2)
•(1,0) x
0
•(0,-3–) 2
人教版九年级上册数学课件：二次函 数的应 用
人教版九年级上册数学课件：二次函 数的应 用
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解 ：（4）由对称性可知
y
MA=MB=√22+22=2√2
• • AB=|x1-x2|=4
A(-3,0) D B(1,0) x
∴ ΔMAB的周长=2MA+AB
0
=2 √2×2+4=4 √2+4 Δ=M—12 A×B4面×积2==4—12AB×MD
3
• •C(0,-2–) • M(-1,-2)
人教版九年级上册数学课件：二次函 数的应 用
中考数学专题《二次函数》复习课件(共18张PPT)
（3）抛物线与y轴的交点坐标是（0，c） c决定抛物线与y轴的交点位置
（4）b2-4ac>0，抛物线与x轴有两个公共点 b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个公共点 b2-4ac<0，抛物线与x轴没有公共点
基础训练
• 如图,是y=ax2+bx+c的图像， 则a___<___0 b___<___0 c___>__0 , b2-4ac___>__0 a+b+c_ <__0 4a-2b+c__>__0 2a-b__=__0
桥面
-5 0 5
x/m
抛物线顶点的纵坐标是
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是__1_米__;
两条抛物线顶点间的距离是
⑵两条钢缆最低点之间的距离是__4_0_米_;
关于y轴对称的抛物线是
(3)右边的抛物线解析式是y_=__0_._0_2_2_5__(_x_-2__0_)__2.+1
高屋建瓴
——函数与几何的综合题
高屋建瓴
——求解析式
5、已知一条抛物线的对称轴是直线x=1，它 与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)且线 段AB的长是4，它还与过点C(1，-2)的直线有 一个交点是点D(2,-3)，求抛物线的解析式
模式识别： 顶点式
若这条抛物线有P点，使 S△ABP=12，求点P的坐标
高屋建瓴 ——实际应用
y
AO C
P Bx
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
（4）b2-4ac>0，抛物线与x轴有两个公共点 b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个公共点 b2-4ac<0，抛物线与x轴没有公共点
基础训练
• 如图,是y=ax2+bx+c的图像， 则a___<___0 b___<___0 c___>__0 , b2-4ac___>__0 a+b+c_ <__0 4a-2b+c__>__0 2a-b__=__0
桥面
-5 0 5
x/m
抛物线顶点的纵坐标是
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是__1_米__;
两条抛物线顶点间的距离是
⑵两条钢缆最低点之间的距离是__4_0_米_;
关于y轴对称的抛物线是
(3)右边的抛物线解析式是y_=__0_._0_2_2_5__(_x_-2__0_)__2.+1
高屋建瓴
——函数与几何的综合题
高屋建瓴
——求解析式
5、已知一条抛物线的对称轴是直线x=1，它 与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)且线 段AB的长是4，它还与过点C(1，-2)的直线有 一个交点是点D(2,-3)，求抛物线的解析式
模式识别： 顶点式
若这条抛物线有P点，使 S△ABP=12，求点P的坐标
高屋建瓴 ——实际应用
y
AO C
P Bx
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
人教版初中数学中考复习 一轮复习 二次函数及其应用2(课件)
解方程，得 m1=-2，m2=3（不符合题意，舍去） ∴m=-2
典型例题——二次函数与方程、不等式的关系
9. （2021•泸州）直线 l 过点（0，4）且与 y 轴垂直，若二次函数 y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+
（x﹣3a）2﹣2a2+a（其中 x 是自变量）的图象与直线 l 有两个不同的交点，且其对称轴
解方程，得 m1= 41-1 ，m2= - 41+1 （不符合题意，舍去）
4
4
∴m= 41-1 ， 4
1 - m＞3，即 m＜-3，当 x=3 时，y=6.∴9来自6m+2m2-m=6,
解方程，得 m1=-1，m2= - 3 （均不符合题意，舍去）. 2
综上所述，m=-2 或 m=
41-1
.
4
2 1＜- m≤3，即-3≤m＜-1，当 x=-m 时，y=6. ∴m2-m=6
bx＋c＝0有 两个不相等的 实数根；
②如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴 只有一个 交点，则一元二次方
程ax2＋bx＋c＝0有两个 相等 的实数根；
③如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则一元二次方程ax2＋bx
＋c＝0 没有 实数根．
知识点梳理——知识点4：二次函数与一元二次方程及不等式的关系
A(1，0)，B(m，0)(－2＜m＜－1)，下列结论①2b＋c＞0；②2a＋c＜0；
③a(m＋1)－b＋c＞0；④若方程a(x－m)(x－1)－1＝0有两个不等实数根，
A 则4ac－b2＜4a；其中正确结论的个数是(
)
A．4
B．3
C．2
D．1
典型例题——二次函数与方程、不等式的关系
中考数学复习 函数及其图象二次函数的图象和性质二课件
图15-2
解:(1)令 y=0,则-12x2+2x+6=0, ∴x1=-2,x2=6,∴A(-2,0),B(6,0). 由函数图象得,当 y≥0 时,x 的取值范围为-2≤x≤6.
2.[2019·温州]如图 15-2,在平面直角坐标系中,二次函数 y=-12x2+2x+6 的图象交 x 轴于点 A,B(点 A 在点 B 的左侧). (2)把点 B 向上平移 m 个单位得点 B1.若点 B1 向左平移 n 个单位,将与该二次函数 图象上的点 B2 重合;若点 B1 向左平移(n+6)个单位,将与该二次函数图象上的点 B3 重合.已知 m>0,n>0,求 m,n 的值.
方法二:∵抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,
������-������ + ������ = 0,
������ = -1,
∴ 9������ + 3������ + ������ = 0,解得 ������ = 2,
������ = 3,
������ = 3,
m<2.
例2 (2)已知二次函数y=2x2-mx-m2. ①求证:对于任意实数m,二次函数y=2x2-mx-m2的图象与x轴总有公共点; ②若这个二次函数图象与x轴有两个公共点A,B,且B点坐标为(1,0),求点A的坐 标. (2)解:①证明:Δ=(-m)2-4×2×(-m2)=m2+8m2=9m2≥0,
| 考向精练 | 1.[2018·自贡]若函数y=x2+2x-m的图象与x轴有且只有一个公共点,则m的值为
-1 .
2.[2019·泰安]若二次函数y=x2+bx-5图 [答案] x1=2,x2=4 象的对称轴为直线x=2,则关于x的方程 [解析]∵二次函数 y=x2+bx-5 图象的
解:(1)令 y=0,则-12x2+2x+6=0, ∴x1=-2,x2=6,∴A(-2,0),B(6,0). 由函数图象得,当 y≥0 时,x 的取值范围为-2≤x≤6.
2.[2019·温州]如图 15-2,在平面直角坐标系中,二次函数 y=-12x2+2x+6 的图象交 x 轴于点 A,B(点 A 在点 B 的左侧). (2)把点 B 向上平移 m 个单位得点 B1.若点 B1 向左平移 n 个单位,将与该二次函数 图象上的点 B2 重合;若点 B1 向左平移(n+6)个单位,将与该二次函数图象上的点 B3 重合.已知 m>0,n>0,求 m,n 的值.
方法二:∵抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,
������-������ + ������ = 0,
������ = -1,
∴ 9������ + 3������ + ������ = 0,解得 ������ = 2,
������ = 3,
������ = 3,
m<2.
例2 (2)已知二次函数y=2x2-mx-m2. ①求证:对于任意实数m,二次函数y=2x2-mx-m2的图象与x轴总有公共点; ②若这个二次函数图象与x轴有两个公共点A,B,且B点坐标为(1,0),求点A的坐 标. (2)解:①证明:Δ=(-m)2-4×2×(-m2)=m2+8m2=9m2≥0,
| 考向精练 | 1.[2018·自贡]若函数y=x2+2x-m的图象与x轴有且只有一个公共点,则m的值为
-1 .
2.[2019·泰安]若二次函数y=x2+bx-5图 [答案] x1=2,x2=4 象的对称轴为直线x=2,则关于x的方程 [解析]∵二次函数 y=x2+bx-5 图象的
初三中考数学 二次函数的应用
第21课时二次函数的应用【复习要点】1、二次函数的应用常用于求解析式、交点坐标等。
（1）求解析式的一般方法：①已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式。
②已知图象的顶点坐标、对称轴、最值或最高（低）点等，通常选择顶点式。
③已知图象与x轴的两个交点的横坐标为x1、x2，通常选择交点式（不能做结果，要化成一般式或顶点式）。
（2）求交点坐标的一般方法：①求与x轴的交点坐标，当y＝代入解析式即可；求与y轴的交点坐标，当x＝代入解析式即可。
②两个函数图像的交点，将两个函数解析式联立成方程组解出即可。
2、二次函数常用来解决最优化问题，即对于二次函数2(0)=++≠，当x=时，y ax bx c a函数有最值y＝。
最值问题也可以通过配方解决，即将2(0)y a x h k a=-+≠，当x=时，函数()(0)=++≠配方成2y ax bx c a有最值y＝。
3、二次函数的实际应用包括以下方面：（1）分析和表示不同背景下实际问题，如利润、面积、动态、数形结合等问题中变量之间的二次函数关系。
（2）运用二次函数的知识解决实际问题中的最值问题。
4、二次函数主要是利用现实情景或者纯数学情景，考查学生的数学建模能力和应用意识。
从客观事实的原型出发，具体构造数学模型的过程叫做数学建模，它的基本思路是：【例题解析】例1：如图1所示，一位运动员在距篮圈中心水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运动的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．求抛物线的表达式．解析：因为抛物线的对称轴为y轴，故可设篮球运行的路线所对应的函数表达式为2y ax k=+（a≠0，k≠0）．代入A，B两点坐标为（1.5，3.05），（0，3.5）．可得：21.5 3.053.5a kk⎧+=⎨=⎩，．解得0.2a=-，所以，抛物线对应的函数表达式为20.2 3.5y x =-+．反思：将实际问题转化为数学问题，建立适当的平面直角坐标系是解决问题的关键。
人教版九年级数学上册第22章二次函数章末复习课件 (共68张ppt)
(4)当图像与x轴 有两个交点时, b2-4ac>0；当图像与x轴只有一个 交点时, b2-4ac=0； 当图像与x轴没有交点时, b2-4ac<0. (5)图像过点(1, a+b+c)和点(-1, a-b+c), 再根据图像上的点的位置可 确定式子a+b+c和a-b+c的符号.
例1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图22-Z-1所示, 那么下
二次函数 的图像和
性质
开口方向
a>0, 图像开口向上 a<0, 图像开口向下
对称轴
a, b同号, 对称轴在y轴左侧 a, b异号, 对称轴在y轴右侧
烦烦烦鬼鬼鬼鬼 鬼鬼鬼鬼跟鬼鬼 鬼鬼鬼g鬼鬼
二次函数 的图像和
性质
a>0 增减性
a<0
最值
二次函数 的解析式
y=ax²+bx+c(a≠0)(一般式) y=a(x-h)²&#(a≠0)(交点式)
【要点指导】研究二次函数的图像的平移、轴对称变换过程, 实 际 就是确定变换后所得图像的二次函数解析式, 研究变换后的图 像和性质 的过程, 关键是找到变换后图像上的特殊点(如抛物线的 顶点), 从而得出 函数解析式, 最后利用二次函数的性质解答.
例4 如图22-Z-3, 在平面直角坐标系 xOy中, 将抛物线y=2x2沿y轴 向上平移1个单 位长度, 再沿x轴向右平移2个单位长度, 平移 后所 得抛物线的顶点记作A, 直线x=3与平移 后的抛物线相交于点B, 与 直线OA相交于点C. (1)求平移后的抛物线的函数解析式； (2)求点C的坐标及△ABC的面积．
例2 已知二次函数的图像以A(-1, 4)为顶点, 且过点B(2, -5). (1)求该函数的解析式； (2)求该函数图像与坐标轴的交点坐标.
初三数学中考复习：二次函数的应用 复习课 课件(共32张PPT)
二次函数的应用
知识总览 主要知识内容回顾 典型例题分析 小结
二次函数
一、 知识总览
二次函数
概念 图像性质 用函数观点看方程与不等式
应用
一1.从、二二次次函函数数角与度方看程二次、方不程等、式不等式
(形)
（数）
解法一：观察图像， 解法二：解方程，
(形)
（数）
解法一：观察图像，
一、二次函数与方程、不等式
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例2：
某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50 元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种 水产品的销售情况，销售单价定为多少元时，获得的利润最多？
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解决最值类的主要步骤：
第三步：确定自变量取值范围。（与自变量相关的量） 第四步：利用二次函数性质解决最值等问题。（顶点、图像） 第五步：回归实际题。
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例2：
分析：
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➢ 构造函数解方程，利用两个函数图象交点确定解。 ➢ 可对方程进行同解变形，再构造函数。
知识总览 主要知识内容回顾 典型例题分析 小结
二次函数
一、 知识总览
二次函数
概念 图像性质 用函数观点看方程与不等式
应用
一1.从、二二次次函函数数角与度方看程二次、方不程等、式不等式
(形)
（数）
解法一：观察图像， 解法二：解方程，
(形)
（数）
解法一：观察图像，
一、二次函数与方程、不等式
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例2：
某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50 元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种 水产品的销售情况，销售单价定为多少元时，获得的利润最多？
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解决最值类的主要步骤：
第三步：确定自变量取值范围。（与自变量相关的量） 第四步：利用二次函数性质解决最值等问题。（顶点、图像） 第五步：回归实际题。
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例2：
分析：
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➢ 构造函数解方程，利用两个函数图象交点确定解。 ➢ 可对方程进行同解变形，再构造函数。
《二次函数》中考总复习PPT课件(大全)
m2 m
- 2χ+1
巩固一下吧！
3、下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次 函数？
(3) y 1 2x
3 (1) y x 4
2
(2) y x
2
(5) y x x 1 (7) y ( x 2) 3 2 (9) y x 1 x
2
1 (4) y 2 x 3 x 2 2 (6) y ( x 1) ( x 1)
∴当 m 1 时，是反比例函数。
驶向胜利的彼 岸
小结：
1. 二次函数y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几 种不同表示形式:
(1)y=ax² (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax² +c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax² +bx(a≠0,b≠0,c=0).
2，函数 y (m m 2) x
2
m2 2
当m取何值时，
（1）它是二次函数？ （2）它是反比例函数？ 2 2 m 2 2 m （1）若是二次函数，则 且 m2 0
∴当 m 2 时，是二次函数。
2 2 m 2 1 m （2）若是反比例函数，则 且 m2 0
b 4ac b 2 当x 时, y最大值为 2a 4a
小结：
抛物线
开口方向
对称轴
a>0 y=ax 2 开 口 向 上
a<0
顶点 坐标
y=ax2 +k
y=a(x- h)
2
( 0,0 ) 开 y轴(直线 x=0) ( 0,k ) 口
向 下
2 y=a(x-h)+k
直线 ( h,0 ) x=h ( h,k )
- 2χ+1
巩固一下吧！
3、下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次 函数？
(3) y 1 2x
3 (1) y x 4
2
(2) y x
2
(5) y x x 1 (7) y ( x 2) 3 2 (9) y x 1 x
2
1 (4) y 2 x 3 x 2 2 (6) y ( x 1) ( x 1)
∴当 m 1 时，是反比例函数。
驶向胜利的彼 岸
小结：
1. 二次函数y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几 种不同表示形式:
(1)y=ax² (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax² +c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax² +bx(a≠0,b≠0,c=0).
2，函数 y (m m 2) x
2
m2 2
当m取何值时，
（1）它是二次函数？ （2）它是反比例函数？ 2 2 m 2 2 m （1）若是二次函数，则 且 m2 0
∴当 m 2 时，是二次函数。
2 2 m 2 1 m （2）若是反比例函数，则 且 m2 0
b 4ac b 2 当x 时, y最大值为 2a 4a
小结：
抛物线
开口方向
对称轴
a>0 y=ax 2 开 口 向 上
a<0
顶点 坐标
y=ax2 +k
y=a(x- h)
2
( 0,0 ) 开 y轴(直线 x=0) ( 0,k ) 口
向 下
2 y=a(x-h)+k
直线 ( h,0 ) x=h ( h,k )
初中数学九年级上册《21.1 二次函数》PPT课件 (1)
上述三个问题中的函数表达式具有哪些共同的
特经征化?简后都具有y=ax²+bx+c(a,b,c是常 数, a≠)0的形式.
我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数 Nhomakorabea做二次函数
称：a为二次项系数，ax2叫做二次项；
b为一次项系数，bx叫做一次项；
c为常数项.
又例：y=x²+ 2x – 3
例1: 关于x的函数 y (m 1)xm2 m 是二次函 数, 求m的值. 注意:二次函数的二次项系数不能为零
练一练:
练习2、请举1个符合以下条件的y关于x的 二次函数的例子
（1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。 （2）二次项系数为-5，一次项系数为 常数项的3倍。
例 （21．）写写出出下正列方各体函的数表关面系积，S并（c判m断2）它与们正是方什体么棱类长型a的（函cm数）
合作学习，探索新知 :
(3)一个温室的平面图如图,温室外围是一
个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸
如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y
(m2)。
1
1
1
x
3
合作学习，探索新知 :
1.y =πx2 2.y = 2(1+x)2 3.y= (60-x-4)(x-2) =2x2+4x+2 =-x2+58x-112
5.已知二次函数 y 2(x 1)2 4 （1）你能说出此函数的最小值吗？
（2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？
开动脑筋 问题：是否任何情况下二次函数中的自变量
例的如取：值圆范的围面都积是y任( 意cm实)与2数圆呢的？半径 x（cm)
特经征化?简后都具有y=ax²+bx+c(a,b,c是常 数, a≠)0的形式.
我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数 Nhomakorabea做二次函数
称：a为二次项系数，ax2叫做二次项；
b为一次项系数，bx叫做一次项；
c为常数项.
又例：y=x²+ 2x – 3
例1: 关于x的函数 y (m 1)xm2 m 是二次函 数, 求m的值. 注意:二次函数的二次项系数不能为零
练一练:
练习2、请举1个符合以下条件的y关于x的 二次函数的例子
（1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。 （2）二次项系数为-5，一次项系数为 常数项的3倍。
例 （21．）写写出出下正列方各体函的数表关面系积，S并（c判m断2）它与们正是方什体么棱类长型a的（函cm数）
合作学习，探索新知 :
(3)一个温室的平面图如图,温室外围是一
个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸
如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y
(m2)。
1
1
1
x
3
合作学习，探索新知 :
1.y =πx2 2.y = 2(1+x)2 3.y= (60-x-4)(x-2) =2x2+4x+2 =-x2+58x-112
5.已知二次函数 y 2(x 1)2 4 （1）你能说出此函数的最小值吗？
（2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？
开动脑筋 问题：是否任何情况下二次函数中的自变量
例的如取：值圆范的围面都积是y任( 意cm实)与2数圆呢的？半径 x（cm)
《二次函数》PPT优秀课件
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤： （1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是 函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1 （是）
素养目标
2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数解析式 ，并能指出二次函数的项及各项系数.
1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函数是否是 二次函数.
探究新知
知识点 1 二次函数的概念
问题1
正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方形的棱长为x,表面 积为y,显然对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的 具体关系可以表示为
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些 是常数、自变量和函数．
函数解析式 y=6x2
自变量 x
函数 y
这些函数有什么 共同点？
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数，叫做二 次函数.
y =-2x2+40x=-2×122+40×12=192（m2）.
xm
xm
y m2
（40-2x ）m
方法点拨:确定实际问题中的二次函数关系式时，常常用到生活中的经验及数 学公式（例长方形和圆的面积、周长公式）等.
巩固练习
做一做: ①已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)，写出y与x之间的函数关系式； ②王先生存入银行2万元,先y=存πx一2 个(x一>0年) 定期，一年后银行将本息自动转存为 又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x，两年后王先生共得本息和y万 元,写出y与x之间的函数关系式； ③一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.
中考数学专题《二次函数》复习课件(共54张PPT)
当x b 时, y最小值为 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对 称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时, y最大值为 4ac b2
2a
例1： 已知二次函数 y 1 x2 x 3
2
2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两
点，求C，A，B的坐标。
（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，
y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
二次函数复习
二次函数知识点：
• 1、二次函数的定义 • 2、二次函数的图像及性质 • 3、求解析式的三种方法 • 4、a，b，c及相关符号的确定 • 5、抛物线的平移 • 6、二次函数与一元二次方程的关系 • 7、二次函数的应用题 • 8、二次函数的综合运用
1、二次函数的定义
• 定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0）
a= ___. -2
2、二次函数的图像及性质
y
y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴
中考数学复习 二次函数的图象与性质 复习课 课件
二次函数
二次函数的图象与性质
知识总览 主要知识内容回顾 典型例题分析 小结
二次函数
一、 知识总览
二次函数
概念 图象和性质 用函数观点看方程与不等式
应用
1. 二次函数的定义
一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c为 常数，且a≠0)的函数， 叫做二次函数. 其中x是自 变量， a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、 一次项系数和常数项.
最大值为4ac b. 2 4a
【温馨提示】判断函数图象增减性时，可在旁边画出大致图象，数形结合更直观.
2. 二次函数的图象和性质
（4）根据函数图象判断相关结论
图象(示意图)
结论
＞
a_____0
b__＞___0
c<0 b2－4ac > 0
a_＜____0
b＝0 c>0
b2－4ac_＞____0
a>0
B E
D
二次函数的对称性
例3.如图，在平面直角坐标系网格中，点Q，R，S，T 都在格点上，过点
P(1，2)的抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a＜0)可能还经过( D )
A. 点Q
B. 点R
C. 点S
D. 点T
分析：由y＝ax2＋2ax＋c得到对称轴为
P'
x b 2a 1 2a 2a
b_＜____0
c_＞____0
b2－4ac > 0
a<0
b_＜____0
c<0
b2－4ac_=____0
2. 二次函数的图象和性质
图象(示意图) _________
_________
y=ax2+bx
二次函数的图象与性质
知识总览 主要知识内容回顾 典型例题分析 小结
二次函数
一、 知识总览
二次函数
概念 图象和性质 用函数观点看方程与不等式
应用
1. 二次函数的定义
一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c为 常数，且a≠0)的函数， 叫做二次函数. 其中x是自 变量， a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、 一次项系数和常数项.
最大值为4ac b. 2 4a
【温馨提示】判断函数图象增减性时，可在旁边画出大致图象，数形结合更直观.
2. 二次函数的图象和性质
（4）根据函数图象判断相关结论
图象(示意图)
结论
＞
a_____0
b__＞___0
c<0 b2－4ac > 0
a_＜____0
b＝0 c>0
b2－4ac_＞____0
a>0
B E
D
二次函数的对称性
例3.如图，在平面直角坐标系网格中，点Q，R，S，T 都在格点上，过点
P(1，2)的抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a＜0)可能还经过( D )
A. 点Q
B. 点R
C. 点S
D. 点T
分析：由y＝ax2＋2ax＋c得到对称轴为
P'
x b 2a 1 2a 2a
b_＜____0
c_＞____0
b2－4ac > 0
a<0
b_＜____0
c<0
b2－4ac_=____0
2. 二次函数的图象和性质
图象(示意图) _________
_________
y=ax2+bx
二次函数ppt课件
过程与方法目标
在教师的引导下，学生经历观察、
类比、讨论、归纳的过程，通过小
组交流讨论的学习方式，共同探索
出二次函数的概念和解析式特征。
3.说教材
的重难点
教学重点:经历探索、分
析、类比讨论、归纳二次
函数概念的过程。
教学难点:根据二次函数
的定义特征辨别二次函数。
三、说教法
在教学过程中，不仅要使学生“知其然”，还要
解：由题可知,
− = ,
。
m=3
解得
+ ≠ ,
− = ,
+ ≠ ,
− − =
+≠
六、教学反思
1.本节课通过学生的探究性活动，学生之间的合作
与交流来分析实际问题，进而引出二次函数的概念，
使学生感受二次函数与现实生活的联系。
2.在课堂中，要结合课堂的实际效果和学生的情况
二次函数
一、学情分析
二、教材分析
三、教法与学法分析
四、教学过程分析
五、板书设计
六பைடு நூலகம்教学反思
据心理学研究结果，这个时期的青少年和
成年人思维接近，但他们理解抽象的词语仍有
困难，他们的判断力和逻辑推断力还没有很好
地发展，大多数青少年已经相当熟练地操作具
体对象，并喜欢通过具体手段学习，需要把抽
象的概念和他们的经验联系起来。
培养学生能力，促进学生个性发展。
1、学生特点分析
生理上，青少年好动，注意力易分散，
爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在
教学中应抓住学生这一生理特点，一方面要
运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使
他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面
二次函数 PPT课件 21 人教版
解 ： 把 x=1,y=4和 x=2,y=-5分 别 代 入
函 数 yx2pxq,得 ：
1 p q 4 4 2 p q 5
解 得 ， p12,q15.
待定系数法
二 次 函 数 解 析 式 为 y x 2 1 2 x 1 5
试一试:
已知二次函数y=ax²+bx+3, 当x=2时,函数 值为3, 当x= －2时, 函数值为2, 求这个二次 函数的解析式.
•
30、经验是由痛苦中粹取出来的。
•
31、绳锯木断，水滴石穿。
•
32、肯承认错误则错已改了一半。
•
33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。
•
34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。
•
35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。
•
36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。
•
37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。
∴四边形EFGH为菱形
∵∠AEH＝∠BFE
∵∠BFE＋∠BEF＝90°
∴∠AEH＋∠BEF＝90° 即∠HEF＝90°
∴菱形EFGH为正方形
HG 2 DH 2 DG2 HG 2 x2 (2 x)2
2–X X
X 2–X
2x2 4x 4
2–X
y 2 x 2 4 x 4 (0x2)
二 次 函 数 解 析 式 为 ： y 1x21x 3 84
小结：
谈谈你的收获
结束寄语 生活是数学的源泉. 探索是数学的生命线.
再谢见谢
下课了
(1) y=3x2 -6x+4 解: 1、y=3x2-6x+4 是二次函数.
函 数 yx2pxq,得 ：
1 p q 4 4 2 p q 5
解 得 ， p12,q15.
待定系数法
二 次 函 数 解 析 式 为 y x 2 1 2 x 1 5
试一试:
已知二次函数y=ax²+bx+3, 当x=2时,函数 值为3, 当x= －2时, 函数值为2, 求这个二次 函数的解析式.
•
30、经验是由痛苦中粹取出来的。
•
31、绳锯木断，水滴石穿。
•
32、肯承认错误则错已改了一半。
•
33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。
•
34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。
•
35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。
•
36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。
•
37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。
∴四边形EFGH为菱形
∵∠AEH＝∠BFE
∵∠BFE＋∠BEF＝90°
∴∠AEH＋∠BEF＝90° 即∠HEF＝90°
∴菱形EFGH为正方形
HG 2 DH 2 DG2 HG 2 x2 (2 x)2
2–X X
X 2–X
2x2 4x 4
2–X
y 2 x 2 4 x 4 (0x2)
二 次 函 数 解 析 式 为 ： y 1x21x 3 84
小结：
谈谈你的收获
结束寄语 生活是数学的源泉. 探索是数学的生命线.
再谢见谢
下课了
(1) y=3x2 -6x+4 解: 1、y=3x2-6x+4 是二次函数.
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考点三
二次函数的实际应用
例3（2016•郴州）某商店原来平均每天可销售某种水果 200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查 ，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20 千克． （1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写 出y关于x的函数表达式； （2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元 ？
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解：（1）设函数的表达式为y=kx+b. ∵一次函数过点（12，74），（28，66）， ∴
ì ï 12k + b = 74 í ï î 28k + b = 66
，解得
k =-
1 2
，b = 80 ，
1 ∴该函数的表达式为y=﹣ x+80， 2
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（2）根据题意，得， （﹣0.5x+80）（80+x）=6750， 解得，x1=10，x2=70 ∵投入成本最低． ∴x2=70不满获果实6750千克．
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（3）根据题意，得 w=（﹣0.5x+80）（80+x） =﹣0.5 x2+40 x+6400 =﹣0.5（x﹣40）2+7200 ∵a=﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值 ∴当x=40时，w最大值为7200千克． ∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．
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考点四
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2．（2016•大连）如图，抛物线y=x2﹣3x+ 与x轴相交 于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线 上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E （1）求直线BC的解析式； （2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
5 4
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二、填空题
9．（2016•泰安）将抛物线y=2（x﹣1）2+2向左平移3个 单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式 2﹣2 y=2 （ x+2 ） 为 ． 10．（2016•徐州）若二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没 m ＞1 有公共点，则m的取值范围是 ． 11．（2016•河南）已知A（0，3），B（2，3）是抛物线 （1，4）． y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是
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解：（1）根据题意得： y=（200+20x）×（6﹣x）=﹣20x2﹣80x+1200． （2）当y=960时，则有960=﹣20x2﹣80x+1200， 即x2+4x﹣12=0， 解得：x=﹣6（舍去），或x=2． 答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元．
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【变式3】（2016•丹东）某片果园有果树80棵，现准备 多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树 之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量 随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树 x（棵），它们之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果 园可以收获果实6750千克？ （3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最 大？最大产量是多少？
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3．（2015•乐山）二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为 （ C ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2015•深圳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象 如图所示，下列说法正确的个数是（ B ） ①a＞0 ②b＞0 ③c＜0 ④b2﹣4ac＞0 A．1 B．2 C．3 D．4
第21课
二次函数
知识清单 课前小测 经典回顾 中考冲刺
本节内容考纲要求考查二次函数概念、图象、性 质及应用，能根据具体问题求二次函数的解析式，二次 函数的应用。广东省近5年试题规律：二次函数是必考内 容，选择题形式一般考查二次函数的图象与性质，解答 题形式一般与三角形、四边形等问题结合起来，难度较 大，通常是压轴题，要么以函数为背景引出动态几何问 题，要么以动态图形为背景，渗透二次函数问题，是数 形结合思想的典例。
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5．（2016•衢州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上 部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x y … … ﹣3 ﹣3 ﹣2 ﹣2 ﹣1 ﹣3 0 ﹣6 1 ﹣11 … …
则该函数图象的对称轴是（ B ） A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=0 6．（2016•永州）抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同 的交点，则m的取值范围是（ A ） A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜﹣2
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课前小测
1．（2015•新疆）抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是 （ D ） A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2） 2．（2015•茂名）在平面直角坐标系中，下列函数的图 象经过原点的是（ D ） 1 A．y= x B．y=﹣2x﹣3 C．y=2x2+1 D．y=5x
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知识清单 知识点一 二次函数的概念
概 念
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次 函数．其中x是自变量，a、b、c分别为函数表达式的二次项系数、 一次项系数和常数
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知识点二
二次函数的图象和性质
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知识点三 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a、b、c是常 数)的位置与a，b，c的关系
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解：（1）依题意得：
ì b =-1 ïï 2a ï í a +b +c = 0 ï ï c =3 ï î
∴y=﹣x2﹣2x+3 ∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0）， ∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得
ì ï - 3m + n = 0 í ï î n =3
字母或 代数式 a
字母的符号
a＞ 0 a＜ 0 b＝ 0 ab＞0(b与a同 号) ab＜0(b与a异 号) c＝0 开口向上 开口向下 对称轴为y轴.
图象的特征
|a|越大开口越小.
b
对称轴在y轴左侧. 对称轴在y轴右侧. 经过原点. 与y轴正半轴相交. 与y轴负半轴相交.
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c
c＞0 c＜0
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解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）， ∴m2﹣1=0， 解得：m=±1， ∴二次函数的解析式为：y=x2﹣2x或y=x2+2x； （2）∵m=2， ∴二次函数解析式为：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的顶点为：D（2，﹣1）， ∵当x=0时，y=3， ∴C点坐标为：（0，3）， ∴C（0，3）、D（2，﹣1）；
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考点二
求二次函数的表达式
例2（2013•广东）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1． （1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二 次函数的解析式； （2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D ，求C、D两点的坐标； （3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得 PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在， 请说明理由．
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5．（2015•铜仁市）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似 的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数 1 的关系式为y=﹣ 25 x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m 时，这时水面宽度AB为（ C ） A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m
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经典回顾
考点一 二次函数的图象和性质
b2－4ac＝0 b2－4ac b2－4ac＞0 b2－4ac＜0
与x轴有一个交点(顶点). 与x轴有两个交点. 与x轴没有交点.
当x＝1时，y＝a+b+c. 特殊 关系 当x＝－1时，y＝a－b+c. 若a＋b＋c＞0，即当x＝1时，y＞0.
若a＋b＋c＜0，即当x＝1时，y＜0.
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知识点四
顶点式
交点式
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知识点六
二次函数与方程
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2＋ bx＋c＝0的根.
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知识点七
二次函数的实际应用
步骤
(1)通过阅读理解题意； (2)分析题目中的变量与常量，以及它们之间的关系； (3)依据数量关系或图形的有关性质，列出函数关系式； (4)根据问题的实际意义或具体要求确定自变量的取值范围； (5)利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定函数 的最大(小)值； (6)检验结果的合理性，获得问题的答案.
例1（2014•广东）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致 图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是 （ D ） A．函数有最小值 1 B．对称轴是直线x= 2 C．当x＜ 1 ， y 随 x 的增大而减小 2 D．当﹣1＜x＜2时，y＞0
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2．（2016•齐齐哈尔）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0 ）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1， 0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；② 方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④ 当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x 增大而增大，其中结论正确的个数是（ B ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个