6.弯曲变形
弯曲变形的知识点总结
弯曲变形的知识点总结1. 弯曲变形的原理在弯曲变形中，受力物体会在外力作用下发生曲率变化。
这种变形通常由外力施加在物体表面上引起的应力产生。
在一根杆或梁上的外力，会在杆或梁上引起内力，这些内力会使杆或梁的横截面发生应力，从而引起曲率的变化。
弯曲变形的原理涉及到材料的力学性能、结构的形状和外力的作用方式等因素。
2. 弯曲变形的应用弯曲变形在实际生活和工程中有着广泛的应用。
例如，桥梁、建筑结构、汽车的悬挂系统、飞机的机翼等都会受到弯曲变形的影响。
了解弯曲变形的原理和规律，可以帮助人们设计更加稳定、安全的结构，提高工程的可靠性和安全性。
3. 弯曲变形的影响因素弯曲变形的大小和形式受到多种因素的影响。
如外力的大小和方向、材料的性能、结构的形状和支撑条件等都会对弯曲变形产生影响。
了解这些影响因素可以帮助人们更好地预测和控制弯曲变形，从而提高结构的稳定性和安全性。
4. 弯曲变形的测量和分析为了更好地探测和分析弯曲变形，人们开发了多种测量和分析方法。
如应变计、光栅光束测量技术和有限元分析等方法都可以帮助人们准确地测量和分析弯曲变形的情况，从而为工程设计和结构优化提供数据支持。
5. 弯曲变形的控制和减小为了降低弯曲变形对结构安全性的影响，人们采用了多种方法进行控制和减小。
如调整结构的形状、改变材料的性能、增加支撑和加固等方式都可以有效地减小弯曲变形的影响，提高结构的稳定性和可靠性。
6. 弯曲变形的研究进展随着科学技术的发展，人们对弯曲变形的研究也不断取得新的进展。
如新材料的开发、新技术的应用以及先进的模拟和分析工具的发展，都为弯曲变形的研究提供了新的思路和方法。
未来，人们可以进一步深入研究弯曲变形的机理和规律，为工程设计和结构优化提供更加科学的依据。
总之，弯曲变形是一种重要的物理现象，对工程结构的稳定性和安全性有着重要的影响。
了解弯曲变形的原理、应用和影响因素，可以帮助人们更好地设计和优化结构，提高工程的可靠性和安全性。
第6章 弯曲变形(土木)
w x 0 0, w x l 0 A, B
M Fs
x 0 x 0 x 0
0,
xபைடு நூலகம்l
0 B, D 0 B, D 0 A, B, C , D
0, M 0, Fs
x l x l
例题 画挠曲线大致形状
依据 1. 约束条件； 2. 荷载情况； 3. 凹凸情况——由w″即M的正负号决定； 4. 光滑连续特性。
~
A
~
A
~
~~
~
A
~
~
~
A
AA
wA = 0
wA 0
A 0
wA
弹簧变形 －
挠曲线必受边界约 束限制。
AA
~ ~
AA
~ ~
光滑连续条件
在挠曲线的任意点处要 保持光滑和连续。
w AL = w AR
w AL = w AR
AL AR
~
A A
A A A
边界条件 A A
A
A
A A
~
~
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知。
解
1）由梁的整体平衡分析可得：
L
F
FAx 0, FAy F (), M A Fl (
2）写出x 截面的弯矩方程
)
y
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
3）列挠曲线近似微分方程并积分 d 2w EI 2 M ( x) F ( x l ) dx dw 1 积分一次 EI EI F ( x l )2 C dx 2 1 再积分一次 EIw F ( x l )3 Cx D 6
材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)
§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2
材料力学课件ppt-6弯曲变形
L 6
(x
a)3 ]
4、求转角
x 0 代入得：
A
1
x0
Fb(L2 b2 ) 6LEI
x L代入得：
B
2
xL
Fab(L 6LEI
a)
目录
5、求 ymax 。
由 dy 0 求得 ymax 的位置值x。
dx
A
Fb(L2 b2 ) 6LEI
0,
C
1
xa
Fab(a b) 3LEI
0( a
例6-4 已知：q、l、 EI，求：yC ,B
目录
w w w
目录
弯曲变形/用叠加法求梁的变形 w
B1
ql3 24 EI
,
wC1
5ql 4 384 EI
w
B3
(ql2 ) l 3EI
ql3
3EI
,
wC 3
3ql 4 48 EI
w
B2
(ql) l2 16 EI
ql3 16 EI
,
wC 2
(ql )l 3 48 EI
则简支梁的转角方程和挠度方程为
AC段 (0 x a)
1(x)
Fb 6LEI
[3x2
(L2
b2
)],
y1 ( x)
Fb 6LEI
[x3
(L2
b2 )x],
BC段 (a x L)
2 ( x)
Fb 6LEI
[3x2
(L2
b2 )]
F(x 2
a)2
,
y2
(x)
Fb 6LEI
[x3
(L2
b2)x
目录
§6-4 用叠加法求弯曲变形 一、叠加法前提
第6节(弯曲变形)
Mechanics of Materials
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第六章 弯曲变形 第一节 概述
Fx Fl
转角方程
EI(x)1Fx2FlxC
2 挠度方程
E Iv(x)1F x31F lx2C xD 62
EI
d2v dx2
Fx Fl
EI(x)1Fx2FlxC
2
E Iv(x)1F x31F lx2C xD 62
⑶ 确定积分常数
EI(0)1F02Fl0C0
2 E Iv(0 )1F 0 31F l0 2 C 0D 0
EI(x)b2F l x2C1
E I(x)b 2 F l x2F 2(xa)2C 2
挠度方程
EIv(x)b6F l x3C1xD1 E Iw (x ) b 6 F lx 3F 6(x a )3 C 2xD 2
⑶ 确定积分常数
v(0)E 1 I(b 6 F l03C 10D 1)0
v (l) E 1 I[ b 6 F ll3 F 6(l a )3 C 2 l D 2 ] 0
max
(0)
Fl2 3EI
(x) 0
x (3 3)l 3
(33)l F l3
F l3
vm a xv(
) 0 .0 6 4 2
3 93E I
E I
例：简支梁AB如图所示（图中a > b），承受集中载荷F作 用，梁的弯曲刚度为EI。求此梁的挠曲轴方程和转角方程， 并确定挠度的最大值。
材料力学习题册答案-第6章 弯曲变形
第六章弯曲变形一、是非判断题1．梁的挠曲线近似微分方程为EIy’’=M（x）。
（√）2．梁上弯矩最大的截面，挠度也最大，弯矩为零的截面，转角为零。
（×）3．两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受载荷相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。
（×）4．等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。
（×）5．若梁上中间铰链处无集中力偶作用，则中间铰链左右两侧截面的挠度相等，转角不等。
（√）6．简支梁的抗弯刚度EI相同，在梁中间受载荷F相同，当梁的跨度增大一倍后，其最大挠度增加四倍。
（×）7．当一个梁同时受几个力作用时，某截面的挠度和转角就等于每一个单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。
（√）8．弯矩突变的截面转角也有突变。
（×）二、选择题1. 梁的挠度是（D）A 横截面上任一点沿梁轴线方向的位移B 横截面形心沿梁轴方向的位移C横截面形心沿梁轴方向的线位移D 横截面形心的位移2. 在下列关于挠度、转角正负号的概念中，（B）是正确的。
A 转角的正负号与坐标系有关，挠度的正负号与坐标系无关B 转角的正负号与坐标系无关，挠度的正负号与坐标系有关C 转角和挠度的正负号均与坐标系有关D 转角和挠度的正负号均与坐标系无关3. 挠曲线近似微分方程在（D）条件下成立。
A 梁的变形属于小变形B 材料服从胡克定律C 挠曲线在xoy平面内D 同时满足A、B、C4. 等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的最大曲率发生在（D）处。
A 挠度最大B 转角最大C 剪力最大D 弯矩最大5. 两简支梁，一根为刚，一根为铜，已知它们的抗弯刚度相同。
跨中作用有相同的力F，二者的（B）不同。
A支反力 B 最大正应力 C 最大挠度D最大转角6. 某悬臂梁其刚度为EI，跨度为l，自由端作用有力F。
为减小最大挠度，则下列方案中最佳方案是（B）A 梁长改为l /2，惯性矩改为I/8B 梁长改为3 l /4，惯性矩改为I/2C 梁长改为5 l /4，惯性矩改为3I/2D 梁长改为3 l /2，惯性矩改为I/47. 已知等截面直梁在某一段上的挠曲线方程为：y(x)=Ax²(4lx - 6l²-x²)，则该段梁上（B）A 无分布载荷作用B 有均布载荷作用C 分布载荷是x 的一次函数D 分布载荷是x 的二次函数 8. 图1所示结构的变形谐条件为：（D ） A f A=f BB f A+△l=fBCfA +fB =△l DfA-fB=△l三、填空题1. 用积分法求简支梁的挠曲线方程时， 若积分需分成两段，则会出现 4 个积分常数，这些积分常数需要用梁的 边界 条件和 光滑连续 条件来确定。
材料力学第6章弯曲变形
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
工程力学c材料力学部分第六章 弯曲变形
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2
材料力学B试题6弯曲变形
弯曲变形1。
已知梁的弯曲刚度EI 为常数，今欲使梁的挠曲线在x =l /3处出现一拐点，则比值M e1/M e2为：（A) M e1/M e2=2； （B ） M e1/M e2=3；（C ） M e1/M e2=1/2； （D) M e1/M e2=1/3.答:(C)2。
外伸梁受载荷如致形状有下列(A)（B)、（C ）,(D)答:(B)3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩M 、剪力F S 与分布载荷q 之间的关系以及挠曲线近似微分方程为： （A ）EI x M xw q xF FxM )(d d ,d d ,d d 22SS ===；(B ）EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d ,d d 22S S =-=-=; （C)EI x M xw q x F F x M )(d d ,d d ,d d 22S S -==-=;(D ）EI x M xw q x F F x M )(d d ,d d ,d d 22S S -=-==。
答：（B ）4。
弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图示,自由端的挠度EIl M EI Flw B 232e3+=（↓)则截面C 处挠度为：（A ）2e 3322323⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛l EI M l EI F （↓）;（B ）233223/323⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛l EI Fl l EI F （↓）； （C）2e 3322)3/(323⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛l EI Fl M l EI F （↓）；(D)2e 3322)3/(323⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛l EI Fl M l EI F (↓）.答：（C ）5. 画出（a ）、（b)、(c ）三种梁的挠曲线大致形状。
答：6.7.(a ）、(b)刚度关系为下列中的哪一种: (A) （a)＞（b ）； (B) (a)＜(b)；（C ） (a)=（b ）； （D) 不一定. 答：(C)8。
弯曲变形求解方法
①建立刚度条件，解决刚度问题
②建立变形协调条件，解决超静定问题
③为振动计算奠定基础。
§6.2挠曲线的微分方程
一、概念
以简支梁为例，以变形前的轴线为x轴，垂直向上为y轴，xoy平面为梁的纵向对称面。
①挠曲线：
在对称弯曲情况下，变形后梁的轴线为xoy平面内的一条曲线，此曲线称为挠曲线。
②挠度：
一、梁的刚度条件
在工程中，梁除了要满足强度条件外，还要满足刚度条件。梁的刚度条件为
式中 ——最大挠跨比；
——许用挠跨比。许用挠跨比可从设计规范中查得，一般在 ～ 之间。
[例6－2]受力情况如图9－42a所示的简支梁，由型号为45a工字钢制成。材料的许用应力 MPa， ，材料的弹性模量为 GPa，试校核梁的强度和刚度。
梁的任一截面形心的竖直位移称为挠度。
③挠曲线的方程式：
w=f(x)
④转角：弯曲变形中，梁的横截面对其原来位置转过的角度θ，称为截面转角。根据平面假设，梁的横截面变形前，垂直于轴线，变形后垂直于挠曲线。故
⑤挠度w和转角θ是度量弯曲变形的两个基本量。
⑥挠度与转角符号规定：在图示坐标中，挠度向上为正，反时针的转角为正。
[解]（1）作梁的弯矩图（图9－42b）。
由图可知： kN·m
（2）校核梁的强度。
查型号为45a工字钢知，惯性矩 cm4，抗弯截面系数 cm3。
梁内最大正应力
N/mm2=103.18MPa＜
梁满足强度要求。
（3）校核梁的刚度
用叠加法计算梁跨中的挠度为
mm
=18.5mm
＜ =0.002
梁满足刚度要求。此梁安全。
二、提高梁刚度的措施
要提高梁的刚度，应从影响梁刚度的各个因素来考虑。梁的挠度和转角与作用在梁上的荷载、梁的跨度、支座条件及梁的抗弯刚度有关，因此，要降低挠度，提高刚度，可采用以下措施：
材料力学 第6章 梁的弯曲变形
(c)
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
在本章所取的坐标系中，
上凸的曲线w″为正值，下凸的为负值。
如图6-5所示。 按弯矩正负号的规定，正弯矩对应着负的w″， 负弯矩对应着正的w″，故（c）式
w
M (x)
(1
w2 )3 2
EI z
在小变形情况下， w dw 是一个很小的量， dx
则 w'2为高阶微量，可略去不计，故
挠曲线的近似微分方程
M x
w EI z
EIw''= −M (x)
(6-1b)
图6-5
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
6.4 积分法计算梁的变形
对于等直梁，可以直接积分，计算梁的挠度和转角。 将式(6-1b)积分一次，得到
EIw′ = EIθ = −∫ M (x) dx + C
maxFl 2 2EI来自A xyF
θmax B
x
wmax
l
图6-7 例题 6-1 图
wm a x
Fl 3 3EI
θ max为正值，表明梁变形后，截面B顺时针转动；
wmax为正值，表明点B位移向下。
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
例题6-2 一简支梁受均布荷载q作用，如图6-8所示。试求梁的转角方程和 挠度方程， 并确定最大挠度和A、B截面的转角。设梁的弯曲刚度为EI。
A x
y
F
θmax B
x
wmax
l
进行两次积分，得到
EIw EI Flx Flx2 C
(a)
2
EIw Flx2 Fx3 Cx D
材料力学简明教程(景荣春)课后答案第六章
( ) wA
= − q0l 4 30EI
↓
，θB
= q0l3 24EI
（顺）
讨论：请读者按右手坐标系求 wA ，θB 并与以上解答比较。
(c)
(c1)
解 图(c1)
( ) ∑ M B = 0 ， FC
= − Me l
↓
CA 段
M
=
−
Me l
x1
⎜⎛ 0 ⎝
≤
x1
<
l 2
⎟⎞ ⎠
AB 段
M
=
−
Me l
l 2
≤
x2
≤
l ⎟⎞ ⎠
Ew1′′
=
3 8
qlx1
−
1 2
qx12
EIw1′
=
3 16
qlx12
−
1 6
qx13
+
C1
EIw1
=
1 16
qlx13
−
1 24
qx14
+
C1 x1
+
D1
EIw′2′
=
3 8
qlx2
−
ql 2
⎜⎛ ⎝
x2
−
l ⎟⎞ 4⎠
EIw′2
=
3 16
qlx22
−
ql 4
⎜⎛ ⎝
x2
24
EIw′(l) = 0 ，− q l 3 + 3Al 2 + 2Bl = 0
6
解式（a），（b）得
A = ql ， B = − ql 2
12
24
即挠曲线方程为
EIw = − q x4 + ql x3 − ql 2 x2 24 12 24
弯曲变形
EIf
P(a 0
x)
(0 x a) (a x L)
EIf
1 2
P(a
x)2
C1
D1
EIf
1
6
P(a
x)3
C1
x
C2
D1 x D2
应用位移边界条件求积分常数
EIf
(0)
1 6
Pa3
C2Байду номын сангаас
0
EI
(0)
1 2
Pa2
EIf (x) M(x)dx C1
EIf (x) ( M(x)dx)dx C1x C2
如何确定积分常数 C1 C2 ?
2.确定积分常数的方法
P
A
C
B
D
P
边界条件：
f A 0 fB 0
fD 0 D 0
光滑连续条件：
f C fC 或写成fC 左 fC 右
第六章 弯曲变形
§6-1 工程中的弯曲变形问题 §6–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §6–3 按叠加原理求梁的挠度与转角 §6–4 梁的刚度校核 §6-5 提高弯曲刚度的一些措施
§6－１ 工程中的弯曲变形问题
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。
研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。
最大挠度及最大转角
max
(L)
PL2 2EI
PL3 fmax f ( L) 3EI
例2 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
第六章弯曲变形分析
第六章 弯曲变形分析梁是机械与工程结构中最常见的构件。
本章内容包括梁的内力、平面弯曲中横截面上的正应力和切应力分布规律，以及梁的变形计算。
6.1 梁的内力● 梁的概念当杆件受到矢量方向垂直于轴线的外力或外力偶作用时，其轴线将由直线变为曲线，如图6–1(a)。
以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲，凡是以弯曲变形为主的杆件，工程上称为梁，如车辆的轮轴、房屋的梁及桥梁等。
在分析计算中，通常用梁的轴线代表梁，如图6–1(b)。
在工程实际中，大多数梁都具有一个纵向对称面；而外力也作用在该对称面内。
在这种情况下，梁的变形对称于纵向对称面，且变形后的轴线也在对称图6–1 梁 图6–2 对称弯曲图6–3 梁的约束 图6–4 三类静定梁面内，即所谓的对称弯曲，如图6–2。
它是弯曲问题中最基本、最常见的情况。
本章只讨论梁的对称弯曲。
图6–3表示了梁的三种常见约束形式及相应的约束力：可动铰支座(图6–3(a))，固定铰支座(图6–3(b))和(平面)固定端约束(图6–3(c))。
在以上三种约束方式下，有三种常见的梁形式，如图6–4所示。
图6–4(a)为简支梁，两端分别为固定铰支座和活动铰支座；图6–4(b)为悬臂梁，一端固定端约束，一端自由；图6–4(b)为外伸梁，它是具有一个或两个外伸部分的简支梁。
这三种梁都是静定梁。
作用在梁上的外载荷，常见的有集中力偶M (图6–5(a))、分布载荷q (图6–5(b))和集中力F (图6–5(c))。
在实际问题中，q 为常数的均布载荷较为常见。
● 梁的剪力与弯矩在4.2中已经介绍了求杆件内力的通用方法，即截面法。
具体到梁，其内力分量为剪力和弯矩，规定当剪力相对于横截面的转向为顺时针为正，使杆件发生上凹下凸的弯矩为正，如图4–5(b)和(c)。
例6–1：如图6–6所示悬臂梁，受均布载荷q ，在B 点处受矩为2qa M =的力偶作用，试绘梁的剪力图与弯矩图。
解：设固定端的约束力和约束力偶为C R 和C M ，则由平衡方程00=-=∑qa R F C y ，qa R C =05.102=--⋅=∑C C M qa qa a m ，221qa M C = 以杆件左端为坐标原点，以B 为分界面，将梁分为AB 和BC 两段。
精品课件-材料力学(张功学)-第6章
图6－4
6.1 引 言
解（1）求约束力。建立坐标系如图所示,求得约束力为
方向均竖直向上。
FAy
b l
F
,
FBy
a l
F
（2）写出弯矩方程。由于集中力加在两支座之间，弯矩方
程在AC、BC两段各不相同。
AC段:
M
1(
x)
b l
Fx
w(a )w(a ), (a ) (a )
(f)
利用式（e）和式（f），即可解得
D1 D2 0,
C1
C2
Fb(b 6l
2
l
2
)
于是，求得梁的转角方程和挠曲线方程分别为
6.1 引 言
AC段:
EI (x) Fb(3x2 b2 l 2 )
6l
EIw(x) Fbx[x3 (b2 l 2 )x] 6l
（a） （b） （c）
6.1 引 言
确定积分常数C和D的边界条件为：在固定端截面处，挠度 和转角均为零。即
w00, 00
将（b）、(c)两式代入，得
D0, C0
将所得积分常数代入（b）、(c)两式，得到梁的转角方程和挠
度方程分别为
(x)dw
1
Wx 2 (
Wlx )
dx EI 2
w(x) 1 (Wx 3 Wlx 2 ) EI 6 2
6.1 引 言 显然在自由端处转角与挠度最大，即当x=l时，得
m
ax
B
1 EI
(Wl 2
2
Wl
2
Wl 2 )
2EI
1 Wl 3 Wl 3 Wl 3
材料力学典型例题及解析 6.弯曲变形典型习题解析
弯曲变形典型习题解析1 试用积分法写出图示梁的挠曲轴方程，说明用什么条件决定方程中积分常数，画出挠曲轴大致形状。
图中C 为中间铰。
为已知。
I E解题分析：梁上中间铰处，左、右挠度相等，转角不相等。
解：设支反力为，如图示。
yB A yA FM F、、1、建立各段挠曲轴近似微分方程并积分 将梁分为AC 、CB 、BD 段。
AC 段 a x ≤≤10挠曲轴近似微分方程 11x FM w I E yA A ⋅−=′′转角方程1211'12C x Fx Mw IE yA A+−= (a) 挠度方程1113121162D x C x F x M w I E y A A ++−=(b)CB 段 )(2b a x a +≤≤挠曲轴近似微分方程2"2x FMw I E yA A ⋅−=转角方程 222222C x F xM w I E yA A+−=′(c)挠度方程2223222262D x C xFx M w I E yA A++−= (d)BD 段 l x b a ≤≤+3)(挠曲轴近似微分方程[])(333b a x Fx FM w I E yB yA A+−+−=′′转角方程[]32323332)(2C b a x F x F x M w I E yB yA A++−+−=′ (e) 挠度方程[]33333332336)(62D x C b a x FxFxM w I E yB yA A+++−+−= (f)2、确定积分常数共有6个积分常数。
需要6个位移边界条件和光滑连续条件。
332211D C D C D C 、、、、、题1图M A边界条件：，代入(b)得 01=x 01=w 01=D (g)0'1=w 代入(a)得 01=C(h)b a x +=2，02=w (i)连续条件： ， a x x ==2121w w =(j) b a x x +==32， 32w w ′=′ (k) 32w w =(l)联立(i)、(j)、(k)、(l)，可求出。
弯曲变形
3）建立相当系统 (以多余约束反力代 替多余约束。) 4）变形协调条件
f B = f BP + f BY = 0
B
f B = 0(VB = 0)
5）物理关系 查表 : Pa 2 f BP = + ( 3L − a ) 6 EI Z 3 YB L f BY = − B 3EI Z
6）补充方程:
Pa 2 YB L3 ( 3L − a ) − =0 6 EI Z 3EI Z
PL2 → D1 = D2 = 0, C1 = C2 = 24
4）求θC和VC： θ
4）求θC和VC： θ
1 3 1 L 3 PL2 BC段：EI zV = − Px + P( x − ) + x 6 3 2 24 PL3 1 L 3 PL2 PL3 V |x = L = − + P( L − ) + ×L= − (↓) 6 3 2 24 12 EI Z
6）刚度校核：
令 = 0(即 = 0处) V' θ L →x= 3
f
max
M 0 2 M 0L − x + =0 2L 6
=
M 0 L2 9 3EI Z
< [ f ] 刚度满足要求。
例二、长度为L的梁AC，其EI为常数，在自由端承 受集中力P（如图），试求自由端C的挠度和转角。 解： 1）外力分析： RA = P(↓), R B = 2 P ( ↑ ) 2）内力分析及挠曲线 微分方程及其积分 AB段：0 ≤ x ≤ L / 2 ) (
M 0L C = 6
5）求θA，θB。
M 0L （ θ A = θ (0 ) = 6 EI Z M 0L θ B = θ (L ) = − （ 3EI Z
材料力学第六章
解 1）将梁上的载荷分解
wC wC1 wC2 wC3
B B1 B2 B3
2）查表得3种情形下C截面的 挠度和B截面的转角。
wC1
5ql 4 384EI
wC 2
ql 4 48EI
ql 4 wC3 16EI
B1
ql 3 24EI
B1
ql 3 16EI
B3
ql 3 3EI
wC1
wC2 wC3
3）进行变形比较，列出变形协调
条件
wB 0
4）叠加法
wB (wB )F (wB )FBy 0
MA A
MFAAy A
FAy A
A
MA A FA y
MA A AA
MA A A
F
B
C
2a (a) B
aF C
2a
Ba C
((ba))
B B (b)
F C
C
(c)
FBy F
B
FF C
BB
(c)
FBy
CC
B12 a
Fa 2l 3EI
w1 wB11 wB12
w2
B2a
Fl 2a 16 EI
w w1 w2
用叠加法求跨度中点挠度
解： wc wc1 wc2
由于 wc wc2
=
故
wc
1 2
wc1
1 5q0l 4 5q0l 4 2 384EI 768EI
-
解： wc wc1 wc2
当 d w 0 时，w为极值
dx
EI1
Fb 2l
x2 1
Fb 6l
(l 2
b2 )
E I 2
Fb 2l
x22
机械构件的变形形式
机械构件的变形形式1. 弹性变形：机械构件在受到外力作用后，能够在一定范围内发生弹性变形。
简单来说，弹性变形是指构件受力后能够恢复到原始形状和尺寸的变形形式。
这种变形是可逆的，也就是说当外力消失时，构件能够恢复到原来的状态。
2. 塑性变形：机械构件在受到外力作用后，超过了其弹性限度范围，发生了塑性变形。
与弹性变形不同的是，塑性变形是不可逆的，构件无法通过去除外力来恢复到原来的形状和尺寸。
塑性变形常见的形式包括拉伸、压缩、弯曲和扭转等。
3. 破坏：机械构件在受到外力作用后，超过其强度极限，无法再承受更大的力而发生破坏。
破坏可以是断裂、裂纹扩展、脱落等形式。
破坏是构件无法再继续使用的严重变形形式，需要进行修复或更换。
4. 压缩变形：机械构件在受到垂直于其轴线方向的外力作用下，发生的沿轴线方向的压缩变形。
压缩变形使构件缩短，同时也会增加其横截面积。
这种变形形式常见于柱状构件或弹簧等。
5. 拉伸变形：机械构件在受到垂直于其轴线方向的外力作用下，发生的沿轴线方向的拉伸变形。
拉伸变形使构件延长，同时也会减小其横截面积。
这种变形形式常见于拉索、钢丝绳等。
6. 弯曲变形：机械构件在受到垂直于其轴线方向的外力作用下，发生的沿轴线方向的弯曲变形。
弯曲变形使构件在某个点上的一侧伸展，而在另一侧压缩。
这种变形形式常见于梁、梯形板等。
7. 扭转变形：机械构件在受到扭矩作用下，发生的在其轴线周围的旋转变形。
扭转变形使构件在轴线周围发生扭曲，同时也会引起构件截面的形变。
这种变形形式常见于轴、螺旋弹簧等。
8. 疲劳变形：机械构件在长时间、反复地受到交变载荷作用后，发生的逐渐积累的变形。
疲劳变形是一种渐进的过程，常导致构件的损坏和失效。
这种变形形式常见于高速旋转部件、机械连接等。
以上是机械构件的一些常见变形形式的解释，通过理解这些变形形式，可以更好地设计和使用机械构件，避免因变形而导致的故障和事故发生。
弯曲变形的特点
弯曲变形的特点弯曲变形是指在外力的作用下，物体的形状发生改变而保持原有材料的物理性质不变。
弯曲变形是物理学中非常重要的一个研究领域，广泛应用于工程、建筑、制造业等领域。
本文将主要探讨弯曲变形的特点。
弯曲变形的主要特点在于物体会在外力作用下弯曲变形，同时发生潜在的能量转化。
当物体弯曲变形时，其部分或全部的工作部分所吸收的外力将被储存在物体内部的弹性势能中。
若物体完全恢复原状态，则它所存储的弹性势能将会全部转化成能量，从而释放能量。
此外，弯曲变形还具有一些特殊的机械性能特点，比如体积不变，即物体不会发生形变；物理性质不会发生改变，即物体的密度、结构、质量等都保持不变；反应时间短，即当外力消失时，物体能够很快地恢复到原来的状态；同时，弯曲变形还有极强的力量与韧性，能够在高能量、高速度甚至高温、高压力的状况下仍然保持良好的机械性能。
在工程和制造业中，弯曲变形被广泛应用于金属材料的制造和加工过程中。
弯曲变形可以帮助制造出各种不同形状的金属零部件，而且弯曲变形技术通常比其他加工技术更加具有成本效益。
这是因为弯曲变形加工过程中不需要使用金属材料的机械切割工具，而机械切割工具在加工过程中会磨损，同时也需要不断更换。
总之，弯曲变形是一种非常重要的物理学概念，在许多领域得到广泛应用。
弯曲变形的主要特点包括：物体在外力作用下弯曲变形，同时发生能量转化；具有体积不变、物理性质不变、反应时间短、力量与韧性强等特点。
在工程和制造业中，弯曲变形是一种必不可少的加工技术，可以帮助制造出各种不同形状的金属零部件，同时也更加成本有效。
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3 EI
w qC
5 qa
24 EI
20
F
A C
q B
FA
Fa
2
4 EI qa
3
w FC
Fa
3
6 EI
4
a
F A
a
qA
3 EI
w qC
5 qa
24 EI
=
B
叠加
A
a
2
FA
qA
( 3 F 4 qa )
+
q B
2012-5-26
12 EI
例10 结构如图，求B点反力。 解：建立静定基 几何方程 ——变形协调方程：
w B w Bq w BR B L BC
=
A
EI
B L
RB
=
q0 A B
39
+
A
2012-5-26
B RB
f
EA
A
L
C 物理方程——变形与力的关系 LBC 3 4 RB L qL w Bq ; w BR q0 8 EI 3 EI x B R B L BC L BC RB
y
C
w
F
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
2012-5-26
C1
6
二、挠曲线：
y
变形后，轴线变为光滑曲 线，该曲线称为挠曲线。 其方程为：
C
w
F
x
C1
w =f (x)
三、转角与挠曲线的关系：
tg
2012-5-26
dw dx
小变形
w
'
7
§6-2
梁的挠曲线近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程
y F C x w ds x
二、结构形式叠加（逐段刚化法）：
2012-5-26 19
F
A C
q 例2 按叠加原理求A点转角和C点 B 挠度。
a
F A
a
解、载荷分解如图 由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。
FA Fa
2
=
B
4 EI qa
3
w FC
Fa
3
+
q B
2012-5-26
6 EI
4
A
qA
一、弯曲应变能的计算：
应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去 d M d
y F1 F2 M
dV dW 1 2
1
x
M ( x )d
M (x) EI
dx
d dx
M
2
d
M(x)
dV
(x)
dx
x M dx M+dM Fs F +dFs 2012-5-26 s
2 EI
*
Fs S z bI
z
刚度：
w
M (x) EI
z
稳定性：
与内力和截面性质有关。
2012-5-26
41
一、选择梁的合理截面 二、采用变截面梁 P 最好是等强度梁，矩形截面 则高为
x
max ( x )
M (x) W (x) [ ]
h( x) 6M (x) b [ ]
dx
d x w＋dw
x
dx
设x处挠度为w，转角为
设x＋dx处挠度为w＋dw，转角为＋d
2012-5-26 8
1
M EI
d ds
arctan( dx d
2
d x w＋dw
M EI
w x
ds
dx
ds d
d ds d dx dx
2
dw
ds
dx ) dx ds
2
3
3L x L
2
3
(x)
2 xL )
2 EI
最大挠度及最大转角
2
max ( L )
FL
w max w ( L )
FL
3
2 EI
3 EI
2012-5-26
18
§6-3
按叠加原理求梁的挠度与转角
一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。
、设计截面尺寸； 、设计载荷。
2012-5-26 25
例4 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm， 杆的E=210GPa，工程规定C点的[w/L]=0.00001,B点的 ]=0.001弧度,试校核此杆的刚度。
L=400mm A D B
a=0.1m C F2=2kN
2
a
1 2 EI
(
F 2
x ) dx
2
0
12 EI
W V wC
2012-5-26
Fa
3
6 EI
34
思考：分布荷载时，可否用此法 求C点位移？
y A C a a
q B x
2012-5-26
35
§6-6 简单超静定梁的求解方法
y
q0 B x
A
EI
L
1、处理方法：变形协调方程、物理方程与
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。 ④优点：使用范围广，直接求出较精确；
缺点：计算较繁。
2012-5-26
14
例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最 大挠度及最大转角。
y
L
F
x
2012-5-26
15
2012-5-26
物理方程——变形与力的关系
w Bq qL
4
=
B RB q0 A
2012-5-26
A
8 EI
; w BR B
RB L 3 EI
3
补充方程
qL
4
+
RB L 3 EI
3
8 EI
0 R B
3qL 8
B
求解其它问题（反力、应力、 变形等）
38
y
EA
A
L
C LBC q0 x B RB q0
2012-5-26
L2
刚化BC段
F
B
L1
C
F L2
M B x
23
C
w2
§6-4
一、梁的刚度条件
梁的刚度校核
w max
w
max
其中[]称为许用转角；[w/L]称为许用挠跨比。
2012-5-26
24
通常依此条件进行如下三种刚度计算：
、校核刚度：
w max
w
max
( F1 F 2 F n ) 1 ( F1 ) 2 ( F 2 ) n ( F n )
w ( F1 F 2 F n ) w 1 ( F1 ) w 2 ( F 2 ) w n ( F n )
F2 a L 3 EI
5 . 19 10
6
m
校核刚度
w max L
w max 5 . 19 10
6
w L
m
w
10
5
m
max 0 . 423 10
2012-5-26
4
0 . 001
31
§6–5 梁内的弯曲应变能
4 4 8
12
A
图3
D
2012-5-26
B
188 10
m
4
30
B
F1 L
2
F 2 La 3 EI
0 .4 210 1880
3 2
(
400 16
200 3
) 0 . 423 10
4
( 弧度 )
16 EI
2
fC
F1 L a 16 EI
F2 a 3 EI
B
补充方程
qL
4
EA
=
RB L 3 EI
3
4
R B L BC EA
3
A
B RB q0
8 EI
R B
qL 8I ( L BC A
+
L
)
3 EI
A
B
2012-5-26
求解其它问题（反力、应力、 变形等）
40
§6-7
强度：正应力： 切应力：
如何提高梁的承载能力
M
max
Wz
+
a C F2
F1=1kN B
2 B 0
3B
w 2C
图2
ML 3 EI
LaF 3 EI
2
+
F2 M C
A
图3
D
2012-5-26
B
w 3C 3 B a
F 2 La 3 EI
2
29
f A
L=400mm
D B
a=0.1m P
C x