计数原理习题课

② ①
图一
④ ③
练.如图,用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色, 规定一个区域 只涂一种颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有 种。 B 分析：如图，A、B、C三个区域两两相邻， A A
与D不相邻，因此A、B、C三个区域的颜色两两 不同，A、D两个区域可以同色，也可以不同色， 但D与B、C不同色。由此可见我们需根据A与D 同色与不同色分成两大类。
甲地
乙地
丁地
丙地
综合问题:
• 若直线方程ax+by=0中的a,b可以从 0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的 数字,则方程所表示的不同的直线共有多 少条?
例题讲解
三.子集问题
例2：n元集合 A {a1 , a2 ,..., an } 的不 同子集有多少个？
规律：n元集合 A {a1 , a2 ,..., an } 的不 n 同子集有个 2 。 变式：集合A={a,b,c,d,e},它的子集个数 5 5 为 2 ，真子集个数为 2 1 ，非空子集个 5 2 1，非空真子集个数为 25 2 数为 。
练习.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从
乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地 有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通 。从甲地到丙地共有多少种不同的走法 ？ 解:从总体上看,由甲到丙有
两类不同的走法, 第一类, 由甲经乙去丙, 又需分两步, 所以 m1 = 2×3 = 6 种不同的走法; 第二类, 由甲经丁去丙, 也需分两步, 所以 m2 = 4×2 = 8 种不同的走法; 所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的 走法。
在解题有时既要分类又要分步。
例题讲解
例1：随着人们生活水平的提高，某城市家庭 汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要 扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照 组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不 重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字， 并且3个字母必须合成一组出现，3个数字 也必须合成一组出现。那么这种办法共能 给多少辆汽车上牌照？ 答案 22464000
N=m1×m2×…×mn
种不同的方法.
共同点：都是有关“完成一件事情”的所有不同方法的 种数问题。
主要不同点： 分类加法计数原理 ①完成一件事有n类不同 直 相 的方案； 达 互 ②各类方案相互独立； 目 独 ③每一类方案都能直接完 成该事件。 立 的
分步乘法计数原理
完成一件事要n个不同的 分 相 步骤；
练习1、
（1）8张卡片上写着0,1,2,…,7共8 个数字，取其中的三张卡片排放在 一起，可组成多少个不同的三位数？ （2）4张卡片的正、反面分别写有0 与1、2与3、4与5、6与7，将其中的 3张卡片排放在一起，共有多少个不 同的三位数？
例题讲解一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域 必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为_________.
1.如图,该电
路,从A到B共 有多少条不 同的线路可 通电？
A
B
解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类,
第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 2×2 = 4, 条
所以, 根据分类原理, 从A到B共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。
找准分类依据 不重不漏
练习：某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一 种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴 与会小号的各1人，有多少种不同的选法？
解：由题意可知，在艺术组9人中，有且仅有一人既会钢琴又会 小号（把该人称为“多面手”），只会钢琴的有6人，只会小号 的有2人，把会钢琴、小号各1人的选法分为两类： 第一类：多面手入选，另一人只需从其他8人中任选一个， 故这类选法共有8种． 第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的 人中选出，会小号的1人也只能从只会小号的 2人中选出，放这 类选法共有6×2＝12种， 故共有20种不同的选法．
• 两个基本原理的应用
•分类加法计数原理：
• 完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中 有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种 不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的 方法.那么完成这件事共有
N=m1+m2+m3+m4+…….+mn
• 种不同的方法.
•分步乘法计数原理：
完成一件事情，需要分成n个步骤， 做第1步有m1种不同的方法，做第2步 有m2种不同的方法……做第n步有mn 种不同的方法.那么完成这件事共有
C
D
解：先分成两类：第一类，D与A不同色，可分成四步完成。 第一步涂A有5种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C 有3种方法；第四步涂D有2种方法。根据分步计数原理， 共有5×4×3×2＝120种方法。 第二类，A、D同色，分三步完成，第一步涂A和D有5种 方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法。根据分 步计数原理，共有5×4×3＝60种方法。 根据分类计数原理，共有120+60＝180种方法。
(1)在图(1)中按要求接通电路,只要 在A中的两个开关或B中的三个开 关中合上一只即可,故有 2+3=5 种不同的方法.
(2) 在图(2)的电路中,合上两只 开关以接通电路,有多少种不同 的方法?
(2)在图(2)中,按要求接通电路必须分两 步进行:第一步,合上A中的一只开关;第 二步,合上B中的一只开关。故有
2×3=6 种不同方法。
答:在图 (1)的电路中,只合上一只开关以接通电路,有5
种不同的方法；图(2)的电路中,合上两只开关以接通电路, 有6种不同的方法.
m1
A
m2
……
B
mn
点评: 我们可以把分类 计数原理看成“并联电 路”;分步计数原理看成 “串联电路”。如图:
A
m1
m2
…...
mn
B
课堂练习
各个步骤相互联系 ；
步 互 到 联 每一个步骤都不能直接完 达 系 成该事件，只有完成每个
步骤，才能完成这件事。
练习一(1) 在图 (1)的电路中,只合上 一只开关以接通电路,有多少种不同的 方法?
(2) 在图(2)的电路中,合上两只 开关以接通电路,有多少种不同的方法?
图(1)
图(2)
(1) 在图 (1)的电路中,只合上一只开 关以接通电路,有多少种不同的方法?