第2章4节等边三角形性质与判定答案

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北师大版八年级下册数学[《三角形的证明》全章复习与巩固--知识点整理及重点题型梳理](基础)

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234a；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知：点D 是△ABC 的边BC 的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，且BF=CE ．求证：△ABC 是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵Ｄ是BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，,BF CE BDCD∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋?江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B ，∠Ｃ的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N ．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN ∥BC ，∴∠BOM=∠OBC ，∠CON=∠OCB ，∵∠B，∠Ｃ的平分线相交于点O，∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，∴∠MBO=∠BOM，∠NCO=∠CON，∴BM=OM，CN=ON，∵△AMN的周长为18，AN=AB+AC=18．∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE．【答案】证明：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴ BD=CE．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．（1）当∠Ａ满足什么条件时，点D恰为AB的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE≌△BDE，BC=BD，当点D恰为AB的重点时，AB=2BD=2BC，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED⊥AB，可证D为AB的中点；（2）在Rt△ADE中，根据∠Ａ及ED的值，可将AE、AD的值求出，又D为AB的中点，可得AB的长度，在Rt△ABC中，根据AB、∠Ａ的值，可将AC和BC的值求出，代入S△ABC=AC×BC 进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵Ｃ点折叠后与AB边上的一点D重合，∴BE平分∠CBD，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB，所以EB=EA；∵ED为△EAB的高线，所以ED也是等腰△EBA的中线，∴Ｄ为AB中点．（2）∵DE=1，ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2．在Rt△ＡDE中，根据勾股定理，得AD=22213，∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3．在Rt△ABC中，AC=22AB BC=3，∴Ｓ△ABC=12×AC×BC=332．【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OB的垂线，过点N作OA的垂线，垂足分别为C、D，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP就是∠AOB的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt△OCM与Rt△ODN中，依据ASA得出OC=OD;在Rt△ＯCP与Rt△ＯDP中，因为OP=OP，OC=OD得出Rt△ＯC P≌Rt△ＯDP（HL），所以∠C OP=∠DOP，即OP平分∠AOB．②可作出两个直角三角形，利用HL定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt△OCM和Rt△ODN中，COM DONOCM ODNOM ON∴△OCM≌△ODN（AAS），∴OC=OD，在△OCP与△ODP中，∵,OC OD OPOP∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt △OCE 与Rt △OD E 中，∵OC OD OEOE，∴Rt △OCE ≌Rt △ODE （HL ），∴∠EOC=∠EOD ，∴OE 为∠AOB 的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD 是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋?麻城市校级期中）如图所示：在△ABC 中，AB ＞BC ，AB=AC ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为D ，交AC 于E ．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC 的度数；（2）若△ABC 的周长为41cm ，边长为15cm ，△BCE 的周长．【思路点拨】（1）由DE 是AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE ，继而求得∠Ａ的度数，又由AB=AC ，即可求得∠ABC 的度数，则可求得答案；（2）由△BCE 的周长=AC+BC ，然后分别从腰等于15cm 与底边等于15cm 去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，；∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5.（2016秋?兴化市期中）已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．【思路点拨】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PM，同理可得PM=PN，从而得到PD=PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【答案与解析】证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，∵BE平分∠ABC，点P在BE上，∴PD=PM，同理，PM=PN，∴PD=PN，∴点P在∠A的平分线上．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。

第2章4节等边三角形性质与判定讲义oc

龙文教育学科教师辅导讲义课题第2章4节等边三角形性质与判定复习教学目标1、理解等边三角形的性质与判定. 体会等边三角形与现实生活的联系．、理解等边三角形的轴对称性． 2全面复习等边三角形，发现和构造等边三角形来解答几何问题。

重点、难点◆教学重点：等边三角形的性质与判定. ◆教学难点：等边三角形的轴对称变换与旋转变换.考点及考试要求教学内容知识瞭望等腰三角形60⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎧⎨⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎪︒⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎩⎩等边对等角性质三线合一腰与底边不等的等腰三角形等角对等边判定定义三边相等性质三角都相等有一个角等于的等腰等边三角形三角形判定三边都相等(或三角都相等)的三角形特殊的等腰三角形——等边三角形1、定义三边都相等的三角形是等边三角形。

等边三角形是特殊的等腰三角形。

（注意：若三角形三边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）2、性质（1）等边三角形的内角都相等，且为60度（2）等边三角形底角边上的中线、底角边上高线和所对顶角的角的平分线互相重合（三线合一）（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线（4）等边三角形是锐角三角形3、判定（首先考虑判断三角形是等腰三角形）（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形(4) 有两个角等于60度的三角形是等边三角形【例题经典等边三角形是特殊的等腰三角形，是证明角相等、线段相等的重要工具．在解答几何问题时，我们若能及时发现或构造等边三角形，则往往比较容易找到解题的切人点，现举例说明．一、求角度的大小例1 如图1，AD是等边 ABC的中线，在AC上取AE=AD．求 EDC的度数．解析：因为ABC是等边三角形且AD是等边 ABC的中线，所以AD是 C的平分线和BC边上的高，且 CAD= BAD：30°。

人教版八年级数学上册等边三角形的性质与判定

学以致用
如图，△ABD，△AEC都是等边三角形。
求证：BE=DC
D
A
E
B
C
二等边三角形的性质
类比探究
图形等腰三角形 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
则△ABC的周长为________
等边三角形
两条边相等则BC=_______
变式：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由.
性图中有哪些与BD相等的线段？
2、等边三角形的判定方法1： ∵ △ABC是等边三角形，
类比探究
图形
判定
等腰三角形从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形
从角看：两个角相等的
等边三角形
三条边都相等的三角形是等边三角形
三个角都相等的三角
三角形是等腰三角形形是等边三角形
小明等认边为三还角有第形三的种判方定法方“法两条：边相等且有一个角是60°的三角形也是等有边一三角个形角”是，6你0°同的意吗等？腰三角形是等边三角形.
则△ABC的周长为________
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
△ABC是等边三角形
把这个命题的文字语言转化为数学语言是： (2) 等边三角形的判定:
三个角都相等的三角形是等边三角形 2、已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm
A
则BC=_______
把这个命题的文字语言转化为数学语言是：
BD=AE=BE=CD=CF=AF=DF=DE
5.如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中
线,BD=BE,求∠EDA的度数.
解：∵ △ABC是等边三角形，
B
∴∠CBA=60°.

重庆市中考数学一轮复习(课件)4.第2节三角形及其性质

面积计算公式：S=⑪ 1 ah ，其中a是底边长，
h是底边上的高
2
未完继续
温馨提示 ①对于等腰三角形的边、角、周长的计算，顶点位置的探索，往往由于腰、底的不确定，需分类讨论解决，防止漏解;②等腰三角形的“三线合一”是一条重要性质，在计算和证明中，往往作为辅助线，需灵活添加解决
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1.三边相等
（2）如图①，若D在BC的延长线上，∠ACD=110°，求∠BAC的度数；
（3）如图②，若D在BC的延长线上，AC=DC， ∠BAC=40°，求∠D的度数；
（4）如图③，若D是AC上一点，且AD=BD=BC，求∠A的度数；
（5）如图④，若E是AC上的点，且BE是△ABC的中线，BE把 △ABC的周长分为12和15两部分，求△ABC的三边长；
等腰三角形(如图⑤)
对称图形，有一条对称轴，即AD

4.顶角的⑩ 角平分线重合(三线合一)
，底边上的高和底边的中线互相
判定
1.有两边相等的三角形是等腰三角形

2.有两角相等的三角形是等腰三角形
作垂线,顶点和垂足之间的线段
高线

图形及性质：如图③,在△ABC中,AD为BC边上的高线,则有AD⊥⑧ BC ,即∠ADB=∠ADC=90°

垂心：三角形的三条高线的交点,该点称为三角形的垂心
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定义：连接三角形两边中点的线段
中位

图形及性质：如图④,在△ABC中,D、E分别为AB、
第四章三角形
第2节三角形及其性质
考点特训营
三角形及其边角关系

三角形的分类三角形边角关系

1.1.4等腰三角形等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质教案

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了等腰三角形和等边三角形的判定及性质，以及含30°角的直角三角形的特殊性质。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些三角形知识的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“等腰三角形和等边三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
1.1.4等腰三角形等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质教案
一、教学内容
本节课选自七年级数学下册第五章《三角形》的1.1.4节，主要内容包括：
1.等腰三角形的判定：通过观察和推理，使学生掌握等腰三角形的定义，并能运用等腰三角形的性质进行相关问题的解答。
a.有两边相等的三角形是等腰三角形。
b.等腰三角形的底角相等，底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合。
3.培养学生的数据分析能力：通过对含30°角的直角三角形性质的学习，使学生能够运用数据进行计算和验证，提高其解决实际问题的能力。
4.增强学生的应用意识：将所学知识应用于解决生活中的实际问题，让学生体会数学在生活中的重要性，提高其学以致用的意识。
5.培养学生的团队协作能力：在小组讨论和探究过程中，培养学生的合作精神，提高其团队协作能力。

八年级数学上册第二章等边三角形知识点与同步训练(含解析)苏科版

等边三角形一．等边三角形的概念等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．等边三角形是一种特殊的等腰三角形．二．等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60︒．三．等边三角形的判定判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形．判定2：有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形．四．直角三角形性质定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半．B'CBA证明：90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，延长BC 至'B 使'CB CB =，那么有AC 垂直平分'BB ，所以'AB AB =，因为60B ∠=︒，所以'ABB △是等边三角形，所以'2AB BB BC ==，即12BC AB =．五．等边三角形与全等三角形综合等边三角形与全等三角形综合问题主要分两种类型：一是以等边三角形为载体来考察全等三角形的综合问题；二是利用全等三角形的性质和判定证明三角形是等边三角形．不管是哪种类型都要注意60°角和边的等量关系的应用，尤其是后面学习旋转之后，会出现一些比较难的等边三角形和全等三角形结合的问题．一．考点：1．等边三角形的性质与判定；2．直角三角形性质定理；3．等边三角形与全等三角形综合．二．重难点：1．等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质．做题时常作为隐藏条件考察．2．等边三角形的判定用定义判断的不多，一般都是利用有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形来判定，所以在构造全等是要注意同时兼顾边相等，并且可以推导出有一个角为60°．3．等边三角形的性质非常特殊，在证明或计算中要注意边角之间的转化，尤其是含30°角的直角三角形中边的关系．4．在解决建立在等边三角形根底上的全等综合问题时，关键是抓住边相等，角度都是特殊角．三．易错点：在利用直角三角形性质定理的过程中，需要注意两点：一是必须在直角三角形中才能运用，锐角三角形和钝角三角形均不存在上述关系；二是一定要注意是30︒所对的直角边等于斜边的一半．题模一：等边三角形的性质例三个等边三角形的位置如下列图，假设∠3=50°，那么∠1+∠2=____°．【答案】130【解析】∵图中是三个等边三角形，∠3=50°，∴∠ABC=180°-60°-50°=70°，∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2，∠BAC=180°-60°-∠1=120°-∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴70°+〔120°-∠2〕+〔120°-∠1〕=180°，∴∠1+∠2=130°．故答案为：130．例如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上．假设DE=DB，那么CE的长为____．【答案】 32 【解析】该题考察的是∵△ABC 为等边三角形，D 为AC 边上的中点，BD 为ABC ∠的平分线，∴60ABC ∠=︒，30DBE ∠=︒，又DE DB =， ∴30E DBE ∠=∠=︒，∴30CDE ACB E ∠=∠-∠=︒，即CDE E ∠=∠，∴CD CE =；∵等边△ABC 的周长为9，∴3AC =，∴1322CD CE AC ===，即32CE =．例在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAE ，连接ED ，假设BC=5，BD=4．那么以下结论错误的选项是〔〕A ． AE ∥BCB ． ∠ADE=∠BDC C ． △BDE 是等边三角形D ． △ADE 的周长是9 【答案】B【解析】此题考察的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．首先由旋转的性质可知∠AED=∠ABC=60°，所以看得AE∥BC，先由△ABC 是等边三角形得出AC=AB=BC=5，根据图形旋转的性质得出AE=CD ，BD=BE ，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=5，由∠EBD=60°，BE=BD 即可判断出△BDE 是等边三角形，故DE=BD=4，故△AED 的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，问题得解．∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，∵将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAE，∴∠EAB=∠C=∠ABC=60°，∴AE∥BC，应选项A 正确；∵△ABC 是等边三角形，∴AC=AB=BC=5，∵△BAE△BCD 逆时针旋旋转60°得出，∴AE=CD，BD=BE ，∠EBD=60°，∴AE+AD=AD+CD=AC=5，∵∠EBD=60°，BE=BD ，∴△BDE 是等边三角形，应选项C 正确；∴DE=BD=4，∴△AED 的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，应选项D 正确；而选项B 没有条件证明∠ADE=∠BDC，∴结论错误的选项是B ，应选：B ．题模二：等边的判定例如下列图，AD 是ABC △的中线，60ADC ∠=°，8BC =，把ADC △沿直线AD 折叠后，点C 落在C '位置，那么BC '的长为________.【答案】 4【解析】此题考察的是等边三角形．由题意，60ADC ADC '∠=∠=︒，DC DC DB '==． 180606060BDC '∠=︒-︒-︒=︒，有一个角为60︒的等腰三角形为等边三角形，118422BC BD BC '===⋅=．故此题的答案是4．例：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆，CBN ∆都是等边三角形，AN 交MC 于点E ，BM 交CN 于点F ．〔1〕求证：AN BM =；〔2〕求证：CEF ∆为等边三角形．ACD B C '【答案】见解析【解析】〔1〕ACM∆是等边三角形，∆，CBN∠=∠=︒，ACM NCBAC MC=，60∴=，BC NC∠=∠．∴∠+∠=∠+∠，即ACN MCBACM MCN NCB MCN在ACN=，ACN MCB=，∠=∠，NC BC∆中，AC MC∆和MCB∴=．ACN MCB∴∆≅∆，AN BM〔2〕ACN MCB∴∠=∠，∆≅∆，CAN CMB又18060∴∠=∠，∠=︒-∠-∠=︒，MCF ACEMCF ACM NCB在CAE∠=∠，=，ACE MCF∆和CMF∠=∠，CA CM∆中，CAE CMF∴∆为等腰三角形，∴=，CEFCAE CMF∴∆≅∆，CE CF又60∠=︒，CEF∴∆为等边三角形．ECF例如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，假设AB=1，BC=CD=3，DE=2，那么这个六边形的周长等于____．【答案】15【解析】如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等边三角形．∴GC=BC=3，DP=DE=2．∴GH=GP=GC+CD+DP=3+3+2=8，FA=HA=GH-AB-BG=8-1-3=4，EF=PH-HF-EP=8-4-2=2．∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2=15．故答案为：15．题模三：30°的角直角三角形等于斜边的一边例如图，ABC⊥，那么以下关系式正确的为〔〕=，30∠=︒，AB AD∆中，AB ACCA．BD CDBD CD=D．4==B．2BD CDBD CD=C．3【答案】B【解析】该题考察的是特殊的直角三角形．∠=∠=︒，C CAD30∴DAC∆为等腰三角形，∴CD AD=，在Rt BAD∆中，30∠=︒，B∴22==BD AD CD应选B．例如图，30∥10PC=，那么OC=__________，⊥于D，PC OB∠=︒，OP平分AOBAOB∠，PD OBPD=__________.【答案】【解析】该题考察的是角平分线的性质定理和含30°直角三角形的性质．∵OP平分AOB∠，∴AOP BOP∠=∠，∵PC OB∥，∴CPO BOP∠=∠，∴CPO AOP∠=∠，∴PC OC=，∵10PC=，∴10OC PC==，过P作PE OA⊥于点E，∵PD OB ⊥，OP 平分AOB ∠，∴PD PE =，∵PC OB ∥，30AOB ∠=︒∴30ECP AOB ∠=∠=︒在Rt ECP ∆中，152PE PC == ∴5PE PD ==例如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC ，∠EBC=∠E=60°，假设BE=6cm ，DE=2cm ，那么BC=____．【答案】 8cm【解析】延长ED 交BC 于M ，延长AD 交BC 于N ，作DF∥BC，∵AB=AC，AD 平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN ，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM 为等边三角形，∴△EFD 为等边三角形，∵BE=6cm，DE=2cm ，∴DM=4cm，∵△BEM 为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，OD B P CAE∴NM=2cm，∴BN=4cm，∴BC=2BN=8cm．故答案为：8cm ．题模四：等边三角形与全等三角形综合例：如图，等边三角形ABD 与等边三角形ACE 具有公共顶点A ，连接CD ，BE ，交于点P ．〔1〕观察度量，BPC ∠的度数为_______．〔直接写出结果〕〔2〕假设绕点A 将△ACE 旋转，使得180BAC ∠=︒，请你画出变化后的图形．〔示意图〕〔3〕在〔2〕的条件下，求出BPC ∠的度数．【答案】〔1〕120°〔2〕见解析〔3〕120°【解析】此题考察等边三角形及全等三角形的性质与判定．〔1〕BPC ∠的度数为120°，理由为：证明：∵△ABD 与△ACE 都是等边三角形，∴60DAB ABD CAE ∠=∠=∠=︒，AD AB =，AC AE =，∴DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，即DAC BAE ∠=∠，在△DAC 与△BAE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAC ≌△BAE 〔SAS 〕，∴ADC ABE ∠=∠，∵60ADC CDB ∠+∠=︒，∴60ABE CDB ∠+∠=︒，∴120BPC DBP PDB ABE CDB ABC ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒；〔2〕作出相应的图形，如下列图；〔3〕∵△ABD 与△ACE 都是等边三角形，∴60ADB DAB ABD CAE ∠=∠=∠=∠=︒，AD AB =，AC AE =，∴DAB DAE CAE DAE ∠+∠=∠+∠，即DAC BAE ∠=∠，在△DAC 与△BAE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAC ≌△BAE 〔SAS 〕，∴ADC ABE ∠=∠，∵60ABE DBP ∠+∠=︒，∴60ADC DBP ∠+∠=︒，∴120BPC BDP PBD ADC DBP ADB ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒例如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，BDC ∆是等腰三角形，且120BDC ∠=︒．以D 为顶点作一个60︒角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，那么AMN ∆的周长为____【答案】 6【解析】延长NC 到E ，连接DE ，使CE BM =，连接DE ．ABC ∆为等边三角形，BCD ∆为等腰三角形，且120BDC ∠=︒，603090MBD MBC DBC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，18018090DCE ACD ABD ∠=︒-∠=︒-∠=︒，又BM CE =，BD CD =，CDE BDM ∴∆∆≌，CDE BDM∴∠=∠，DE DM =，1206060NDE NDC CDE NDC BDM BDC MDN ∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒，在DMN ∆和DEN ∆中，DM DE =，60MDN EDN ∠=∠=︒，DN DN =，DMN DEN ∴∆∆≌，MN NE CE CN BM CN ∴==+=+．=6AMN L AM MN AN AM BM CN AN AB AC ∆∴+==+++=+=例如图△ABC 为等边三角形，直线a ∥AB ，D 为直线BC 上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．〔1〕假设D 恰好在BC 的中点上〔如图1〕求证：△ADE 是等边三角形；〔2〕假设D 为直线BC 上任一点〔如图2〕，其他条件不变，上述〔1〕的结论是否成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，请说明理由．【答案】见解析【解析】〔1〕证明：∵a ∥AB ，且△ABC 为等边三角形，∴60ACE BAC ABD ∠=∠=∠=︒，AB AC =，∵BD CD =，∴AD ⊥BC∵60ADE ∠=︒，∴30EDC ∠=︒，∴18090DOC EDC ACB ∠=︒-∠-∠=︒，∴30DEC DOC ACE ∠=∠-∠=︒，∴EDC DEC ∠=∠，∴EC CD DB ==，∴△ABD ≌△ACE ．∴AD AE =，且60ADE ∠=︒，∴△ADE 是等边三角形；〔2〕在AC 上取点F ，使CF CD =，连结DF ，∵60ACB ∠=︒，∴△DCF 是等边三角形，∵60ADF FDE EDC FDE ∠+∠=∠+∠=︒，∴ADF EDC ∠=∠，∵DAF ADE DEC ACE ∠+∠=∠+∠，∴DAF DEC ∠=∠，∴△ADF ≌△EDC 〔AAS 〕，∴AD ED =，又∵60ADE ∠=︒，∴△ADE 是等边三角形．作业1如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF ⊥DE，交BC的延长线于点F．〔1〕求∠F的度数；〔2〕假设CD=2，求DF的长．【答案】〔1〕30°〔2〕4【解析】〔1〕∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；〔2〕∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED=DC=2，∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4．作业2 如下列图，ABC ∆、ADE ∆与EFG ∆都是等边三角形，D 和G 分别为AC 和AE 的中点，假设4AB =时，那么图形ABCDEFG 外围的周长是_____【答案】 15【解析】 ABC ∆、ADE ∆与EFG ∆都是等边三角形，AD DE ∴=，EF EG =，D 和G 分别为AC 和AE 的中点，4AB =，2DE EA ∴==，1GF EF ==,∴图形ABCDEFG 外围的周长是432115⨯++=．作业3 如图1，两个等边△ABD ，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A ′B ′D ′的位置，得到图2，那么阴影局部的周长为____．【答案】 2【解析】∵两个等边△ABD，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A′B′D′的位置， ∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO ，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC ，B′G=RG=RB′， ∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2；故答案为：2．作业4 如下列图，等边△ABC 的边长为a ，P 是△ABC 内一点，PD ∥AB ，PE ∥BC ，PF ∥AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AC 、AB 上，猜想：PD PE PF ++=__________，并证明你的猜想．【答案】见解析【解析】 PD PE PF a ++=．理由如下：如图，延长EP 交AB 于G ，延长FP 交BC 于H ，∵PE ∥BC ，PF ∥AC ，△ABC 是等边三角形，∴60PGF B ∠=∠=︒，60PFG A ∠=∠=︒，∴△PFG 是等边三角形，同理可得△PDH 是等边三角形，∴PF PG =，PD DH =，又∵PD ∥AB ，PE ∥BC ，∴四边形BDPG 是平行四边形，∴PG BD =，∴PD PE PF DH CH BD BC a ++=++==．故答案为a ．作业5 ：如图，ABC △是等边三角形．D 、E 是ABC △外两点，连结BE 交AC 于M ，连结AD 交CE 于N ，AD 交BE 于F ，AD EB =．当AFB ∠度数多少时，ECD △是等边三角形？并证明你的结论．【答案】 60AFB ∠=︒【解析】该题考察的是全等三角形的判定和性质．60AFB ∠=︒，A C MFEN D B理由如下：∵△ABC 是等边三角形，∴CA CB =，460∠=︒，∵245∠+∠=∠，135∠+∠=∠，且360∠=︒，∴12∠=∠，又∵BE AD =，在△BCE 和△ACD 中， 1. 12CA CB AD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△ACD 〔SAS 〕 ∴CE CD =，BCE ACD ∠=∠，∴66BCE ACD ∠-∠=∠-∠，即4760∠=∠=，∴△ECD 是等边三角形．作业6 在△ABC 中，AB AC =，BAC ∠=α()060︒<α<︒，将线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ．〔1〕如图1，直接写出ABD ∠的大小〔用含α的式子表示〕；〔2〕如图2，150BCE ∠=︒，60ABE ∠=︒，判断△ABE 的形状并加以证明；〔3〕在〔2〕的条件下，连结DE ，假设45DEC ∠=︒，求α的值．【答案】〔1〕302α︒-〔2〕见解析〔3〕30︒ 【解析】该题考察的是三角形综合．〔1〕∵AB AC =∴1809022ABC ACB ︒-αα∠=∠==︒-，A D B CADB C E∴90603022ABD ACB DBC αα∠=∠-∠=︒--︒=︒-，………………………………………1分〔2〕△ABE 是等边三角形， ………………………………………………………2分连结AD ，CD ．∵60DBC ∠=︒，BD BC =，∴ △BDC 是等边三角形，60BDC ∠=︒，BD DC = ………………3分又∵AB AC =，AD AD =，∴ △ABD ≌△ACD ．∴ADB ADC ∠=∠，∴150ADB ∠=︒． ………………4分∵60ABE DBC ∠=∠=︒，∴ABD EBC ∠=∠．又∵BD BC =，150ADB ECB ∠=∠=︒，∴ △ABD ≌△EBC ．∴AB EB =．∴ △ABE 是等边三角形． …………………………………………5分〔3〕∵△BDC 是等边三角形，∴ 60BCD ∠=︒．∴ 90DCE BCE BCD ∠=∠-∠=︒又∵45DEC ∠=︒，∴CE CD BC ==．………………………………………………………6分∴15EBC ∠=︒． ∵302EBC ABD α∠=∠=︒-， ∴ 30α=︒． ……………………………………………………………7分作业7 将一张矩形纸片ABCD 如下列图折叠，使顶点C 落在C '点．2AB =，30DEC '∠=︒，那么折痕DE 的长为〔〕A ． 2B ． 23C ． 4D ． 1【答案】C【解析】该题考察的是图形的翻折．因为四边形ABCD 是矩形，所以AB CD =，由题意可知'30CED DEC ∠=∠=︒，1sin 2CD CED DE ∠==，所以2224DE CD ==⨯=．所以，此题的正确答案是C ．作业8 如图，在等边△ABC 中，2AB =，点P 是AB 边上任意一点〔点P 可以与点A 重合〕，过点P 作PE ⊥BC ，垂足为E ，过点E 作EF ⊥AC ，垂足为F ，过点F 作FQ ⊥AB ，垂足为Q ，求当BP 的长等于多少时，点P 与点Q 重合？【答案】 43BP =【解析】设BP x =，在直角三角形PBE 中，30BPE ∠=︒ ∴12BE x =，那么122EC x =- 在直角△EFC 中，30FEC ∠=︒， ∴11124FC EC x ==-，∴1214AF FC x =-=+ 同理：1128AQ x =+ 当点P 与点Q 重合时，2BP AQ +=即11228x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得43x =A BE C DC '故当43BP =时，点P 与点Q 重合．作业9 如图，ABC ∆为等边三角形，AD 平分BAC ∠,ADE ∆是等边三角形，以下结论中 ①AD BC ⊥，②EF FD =, ③BE BD =,④60ABE ∠=︒.正确的个数为〔〕A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4【答案】D【解析】该题考察的是三角形的性质．∵△ABC 为等边三角形，AD 为角平分线，∴AD BC ⊥，30BAD ∠=︒，60ABD ∠=︒∵△ADE 是等边三角形，30BAD ∠=︒，∴30EAB EAD BAD ∠=∠-∠=︒，EA DA =，在△AEF 和△ADF 中，EA DA EAB DAB AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△ADF 〔SAS 〕，∴EF FD =，同理，△AEB ≌△ADB ，∴60ABE ABD ∠=∠=︒，EB DB =，故正确的个数为4个，故此题答案为D ．作业10 如图，过边长为2的等边ABC ∆的边AB 上一点P ，作PE AC ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA CQ =时，连PQ 交AC 边于D ，那么DE 的长为〔〕A ． 13B ． 12C ． 23D ． 1【答案】D【解析】过P 作BC 的平行线交AC 于F ，Q FPD ∴∠=∠，ABC ∆是等边三角形，60APF B ∴∠=∠=︒，60AFP ACB ∠=∠=︒，APF ∴∆是等边三角形，AP PF ∴=，AP CQ =，PF CQ ∴=，在PFD ∆和QCD ∆中，FPD Q ∠=∠， PDF QDC PF CQ ∠=∠=，PFD QCD ∴∆∆≌，FD CD ∴=，PE AC ⊥于E ，APF ∆是等边三角形，AE EF ∴=，AE DC EF FD ∴+=+，12ED AC ∴=，2AC =，1DE ∴=．作业11 如图，在等边ABC △中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且AE CD =，BE 与AD 相交于点P ，BQ AD ⊥于点Q .〔1〕求证：ABE CAD △≌△；〔2〕请问PQ 与BP 有何关系？并说明理由.【答案】〔1〕见解析〔2〕2BP PQ =【解析】该题考察全等三角形的判定与性质．∵△ABC 为等边三角形．∴AB AC =,60BAC ACB ∠=∠=︒,在△BAE 和△ACD 中：AE CD BAC ACB AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAE ≌△ACD〔2〕2BP PQ =∵△BAE ≌△ACD∴ABE CAD ∠=∠∵BPQ ∠是△ABP 的外角，∴BPQ ABE BAD ∠=∠+∠，∴60BPQ CAD BAD BAC ∠=∠+∠=∠=︒∵BQ AD ⊥，AB P EQD C∴30∠=︒PBQ∴如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

八年级下册第一章第02讲等边三角形的性质与判定 (4类热点题型讲练)(解析版)

第02讲等边三角形的性质与判定(4类热点题型讲练)1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力；2.经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；3.在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力.知识点01等边三角形的性质（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；（2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60 ；（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.知识点02等边三角形的判定（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形；（2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于60 的等腰三角形是等边三角形.题型01等边三角形的性质【答案】15 /15度【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理；根据等边三角形的180均为等边三角形，点【答案】88是【分析】本题考查了等边三角形的性质，利用三角形全等的判定和性质解答即可．（1）根据等边三角形的性质，结合三角形内角和定理计算即可．(2)根据(1)的结论，结合等边三角形的性质，运用三角形全等的判定可以证明故答案为：是．题型02等边三角形的判定【例题】（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期中）如图，在ABC 中，40A ，点E 在边AC 上，连接,BE C CBE ．若20ABE ，求证：BCE 是等边三角形．【答案】详见解析【分析】本题考查了等边三角形的判定，根据有一角是60 的等腰三角形是等边三角形即可求证．【详解】证明：C CBE ∵，BCE △为等腰三角形，又40,20A ABE ∵，402060BEC A ABE ，BCE △是等边三角形．【变式训练】1．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，点E 在ABC 的外部，点D 在边BC 上，DE 交AC 于点F ，若12 ，AE AC ，B ADE ．(1)求证：AB AD ；(2)若160 ，判断ABD △的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析2．（2023上·广东惠州·八年级校考期中）如图，ABC 中，D 为AC 边上一点，ED 的延长线交BC 的延长线于F ，且EF AB ，CD CF ．(1)求证：ABC 是等腰三角形；(2)当F 等于多少度时，ABC 是等边三角形？请证明你的结论．【答案】(1)证明见解析(2)当30F 时，ABC 是等边三角形，证明见解析【分析】（1）先根据等边对等角和三角形外角的性质证明2ACB CDF ∠∠，再由对顶角相等得到2ACB ADE ，由垂线的定义和三角形内角和定理推出2180A ACB ，再由180B A ACB ，得到A B ，推出AC BC ，由此即可证明ABC 是等腰三角形；（2）根据（1）所求，只需要满足60ACB 即可，再由三角形外角的性质即可得到F 的度数，据此可得答案．【详解】（1）证明：∵CD CF ，∴CDF F ，∵ACB CDF F ，∴2ACB CDF ∠∠，∵CD F A D E ，∴2ACB ADE ，∵EF AB ，∴90A ADE ，∴22180A ADE ，∴2180A ACB ，又∵180B A ACB ，∴A B ，∴AC BC ，∴ABC 是等腰三角形；（2）解：当30F 时，ABC 是等边三角形，证明如下：∵CDF F ，ACB CDF F ，∴60ACB CDF F ∠∠∠，∵AC BC ，∴ABC 是等边三角形．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，证明AC BC 是解题的关键．题型03等边三角形的判定和性质【例题】（2023上·山东淄博·八年级校考期中）如图，已知ABC 和CDE 均是等边三角形，点B ，C ，D 在同一条直线上，BE 与AD 交于点O ．(1)求证：AD BE ；(2)若AD 与CE 交于点N ，AC 与BE 交于点M ，连接MN ，求证：CMN 为等边三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质：（1）根据已知条件证明≌ACD BCE V V 即可得证；（2）证明60ACE ，再证明 ASA CAN CBM ≌可得CM CN ，进而证明CMN 为等边三角形；【详解】（1）证明：∵ABC 和CDE 均是等边三角形，AC BC ，CD CE ，60ACB ECD ，ACB ACE ECD ACE ，即BCE ACD ，在ACD 和BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE， SAS ACD BCE △≌△，AD BE ；（2）证明：由（1）得60ACB ECD ，18060ACN ACB ECD ，由（1）得≌ACD BCE V V ，CAD CBE ，即CAN CBM ，在CAN △和CBM 中，CAN CBM CA CB ACN BCM， ASA CAN CBM ≌，CM CN ，又∵60MCN ，CMN 为等边三角形．【变式训练】1．（2023上·安徽芜湖·八年级校联考阶段练习）如图，在等边ABC 中，点O 在ABC 内，OB OC ，且OD AB ∥，OE AC ∥．的形状，并说明理由；(1)试判定ODE(2)判断线段BD，CE的数量关系，并说明理由．【答案】(1)ODE是等边三角形，理由见解析；，理由见解析．(2)BD CE【分析】本题考查的是等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质：是等边三角形；（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到ODE（2）证明OBD OCE≌，即可．是等边三角形．【详解】（1）解：ODE∵ 是等边三角形，理由：ABC．ABC ACB60∥，又OD AB∵∥，OE AC，60ODE OED，60DOE是等边三角形．ODE．（2）解：BD CE是等边三角形，理由：由（1）知ODE，ODC OED60．ODB OEC120∵，OB OC．OBD OCE在OBD△中，和OCE的度数；(1)求ADC的形状并加以证明；(2)判断ABE(3)连接DE，若DE BD【答案】(1)150【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．题型04含30°角的直角三角形三边的数量关系是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，【例题】（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）如图，ABC．使CE CD；(1)求证：DB DE(2)过点D作DF垂直于BE【答案】(1)证明见解析36(1)如图1：求证：AD CE ；(2)如图2，取BD 的中点F ，连接AE AF 、，求证：CAE BAF ；(3)如图3，在（2）的条件下，过点F 作FH AE 于点H ，求证：3EH AH ．【答案】(1)证明过程见详解∴CF CD BC AC，∵AC BC ，∴CF CD ，∴G DAF ，CBG∴120ABG ABC CBG ACE ，∵点F 是BD 的中点，∴BF DF ，在BFG ，DFA 中，G DAF BFG DFA BF DF，∴ BFG DFA AAS ≌，∴BG AD ，由（1）可知，AD CE ，∴BG CE ，在ABG ，ACE 中，AB AC ABG ACE BG CE，∴ ABG CAE SAS ≌，∴CAE BAF ；（3）证明：由（2）可知，BAF CAE ，∴60FAE FAC CAE FAC BAF BAC ，∵FH AE ，∴90AHF ，∴9030AFH FAE ，在Rt AFH 中，2AF AH ，∵BFG DFA ≌，∴2GF AF AH ，∵ABG ACE ≌，∴24AE AG AF AH ，∴43EH AE AH AH AH AH ，即3EH AH ．一、单选题A ．4cmB ．5【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和直角三角形性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等边三角形边角之间的关系．先根据等边三角形的性质得出130,CBD ABC BDA．1B 【答案】CA．50【答案】B【分析】本题考查的是等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．先根据等边三角形的性质得出60C ，根据直角三角形的性质求出90600CDF 3，再根据平角定义求解即可．【详解】解：∵ABC 是等边三角形，∴60C ，∵DF AC 于F ，DE BC 交AB 于点E ，∴90BDE CFD ，∴90600CDF 3，∴180903060EDF ，故选：B ．4．（2023上·山西大同·八年级统考期中）如图，60AOB ，点C 是射线OA 上一点，且6OC ，点D ，E 在射线OB 上，且CD CE ，4DE ．则OD 的长为()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，过点C 作CF DE ，垂足为F ，根据题意得出9030OCF AOB ，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．【详解】解：过点C 作CF DE ，垂足为F ，90CFO ，60AOB ∵，A．3B【答案】A【分析】根据等边三角形的性质可得等，根据全等三角形对应边相等可得二、填空题（1）D；（2）若3CD AE，CF 【答案】30 /30DE AB ∵⊥，60A ，30AGE CGD 30D ∵，【答案】23【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，首先根据等边三角形的性质得60BAC DAE ，AB AC ，AD AE ACE △全等，从而得出6BD CE ，4BC ，然后过点∵ABC 是等边三角形，∴12BH CH BC 在Rt AHC 中，AC 【答案】110cm 44cm【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，先判定ACD 与EDF 是两个全等的等边三角形，从而求出≌由题意可知：AC C D D E E F ∵90C D E ，E H AB ，∵222C G D G C D ，即， 2224355x x ，解得：11x ，∴44cm D H C G ，33cm D G ，∴266cm 288cm AD D G D F D H ，，∴154cm AF AD D F ，∴相比第一次，门拉伸的长度为：154cm 110cm 44cm AF AF ，故答案为：110cm ；44cm ．三、解答题(1)若6AD ，求CD 的长；(2)判断BCE 的形状，并说明理由．【答案】(1)3CD(1)证明：GF FC；(2)求CG的长．【答案】(1)见解析∵2FG ，30C∴1FH ，∴3MG ，(1)求证:ABE CAD △△≌;(2)求BPQ 的度数;(3)求BE 的长．【答案】(1)证明见解析(2)60(3)21【分析】本题考查全等三角形判定及性质,等边三角形性质,含30°角的直角三角形三边关系．（1）根据SAS 证明ABE CAD △△≌即可,（2）根据全等三角形性质得出ABE CAD ,继而得到本题答案,（3）根据含30 角的直角三角形三边关系即可得到本题答案．【详解】（1）解:证明:∵ABC 为等边三角形,∴AB AC ,60BAC C ,在ABE 和CAD 中,AB AC BAC C AE CD,∴ SAS ABE CAD ≌,（2）解:由（1）知ABE CAD △△≌,∴ABE CAD ,AD BE ,∴60BPQ BAD ABE BAD CAD ,故答案为:60 ．（3）解:∵BQ AD ,60BPQ ,∴30PBQ ,∴218BP PQ ,∴18321BE BP PE ．14．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）如图，ABC 为等边三角形，D E 、分别是BC AC 、上的点，连接AD 和BE 相交于点F ．(1)如图1，若D E 、分别为BC AC 、的中点，求证：2AF FD(2)如图2，若BD CE ，求证：60AFE ；(3)如图3，在（2）的条件下，连接FC ，若,2FC AD BD ，求CD 的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)4．【分析】本题考查了三角形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．（1）根据等边三角形的性质得到AF BF ，再根据30 角对的直角边是斜边的一半即可证明；（2）根据等边三角形的性质得到AB AC BC ，60ABD BCE ，证明 SAS ABD BCE ≌V V ，根据全等三角形的性质、三角形内角和定理即可证明；（3）连接DE ，由ABE CAD ≌，可得F 、E 、D 、C 四点共圆，即有90CPD DEC ，再用30度角所对的边等于斜边的一半求解即可．【详解】（1）证明：∵ABC 为等边三角形，D E 、分别为BC AC 、的中点，ABC∵ 是等边三角形，，ABC AB AC BC(1)求证：ABD CDE ；(2)如图2，若60BAC ，求证：AD CE ；(3)如图3，在（2）的条件下，点F 是ABC 外一点，连接FC ，AF ，BF ，且FC 平分AFB ，若CF【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4BF 【分析】（1）根据AB AC ，得到A ABC CB ∠，由三角形外角的性质及角的关系即可得出结论；（2）过点D 作DH BC ∥，交AB 于点H ，根据已知证明ADH 为等边三角形，再证明 AAS BDH DEC ≌ ，即可得出结论；（3）过点C 作CN BF 于点N ，过点C 作CH FA 的延长线于点H ，先证明 AAS CNF CHF ≌ ，再证明 Rt Rt HL BCN ACH ≌ ，推出180AFB ACB ，设AF m ，则2BF m ，建立关于m 的一元一次方程，求出m 即可．【详解】（1）证明：∵AB AC ，∴A ABC CB ∠，∵DB DE ，∴DBC DEC ，∵ABC ABD DBC ，ACB CDE DEB ，∴ABD CDE ；（2）证明：过点D 作DH BC ∥，交AB 于点H ，∵AB AC ，60BAC ，ABC 为等边三角形；60ABC ACB ，60AHD ADC ABC ACB ,AHD 为等边三角形；AH AD HD ，由（1）知ABD CDE ，∵18060,180120BHD AHD DCE ACB ，BHD DCE ，在BDH △与DEC 中，ADB DCE ABD CDE BD CE， AAS ADH DEC ≌ ；DH CE ，AD CE ；（3）解：过点C 作CN BF 于点N ，过点C 作CH FA 的延长线于点H ，∵FC 平分AFB ，CFN CFA ，∵CN BF ，CH FA ，90CNF CHF ，AAS CNF CHF ≌ ；CN CH ，NF HF ，由（2）知ABC 为等边三角形，BC AC ，Rt Rt HL BCN ACH ≌ ；BN AH ，BCN ACH ，∵180CFH FCA ACH CFN FCN ，180CFH FCA BCN CFN FCN ，180AFB ACB ，60ACB ∵，120AFB ，60AFC ，6CF Q ，3FH NF ；设AF m ，则2BF m ，∵FH FN ，∴323m m ，∴2m ，∴4BF ．【点睛】本题考查了三角形综合问题，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线，灵活运用三角形全等的性质是解题的关键．16．（2023上·湖北鄂州·八年级统考期中）【问题原型】如图1、图2，已知点C 为线段AB 上一点，分别以AC CB ，为边在线段AB 同侧作ACD 和BCE ，且AC DC ，BC EC ，ACD BCE ，直线AE 与BD 交于点F ．，ACE DCB ∵ ≌，AE BD ，ACE △△D CB S =S ，12ACE S AE CM ∵，12DCB S BD CN。

七年级(下)数学第15讲等边三角形 (解析版)

等边三角形是七年级数学下学期第三章第三节的内容，本讲主要讲解等边三角形的性质和判定定理；重点是理清性质和判定之间的区别和联系，难点是灵活运用等边三角形的性质解决综合题目，综合性更强．1、等边三角形的性质等边三角形的每个内角都等于60°．2、等边三角形的判定（1）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．等边三角形内容分析知识结构模块一：等边三角形性质与判定知识精讲2 / 24【例1】下列说法中错误的是（）A ．等边三角形是等腰三角形B ．等边三角形是锐角三角形C ．等边三角形的高、中线、角平分线共有3条D ．含有60°角的三角形是等边三角形【答案】D【解析】含有60°角的三角形不一定是等边三角形．【总结】本题主要考查了等边三角形的定义和性质．【例2】（1）等腰三角形的一个外角等于120°，则它是三角形；（2）等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_______________．【答案】（1）等边三角形；（2）三，三边的垂直平分线．【解析】（1）当一个外角等于120︒时，与这个外角相邻的内角为60︒，因为是等腰三角形，所以另外两个角也为60︒，则这个三角形为等边三角形；（2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三边的垂直平分线．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质．【例3】（1）已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F ，则∠AFE =_____________；（2）△ABC 是等边三角形，AD ∥BC ，CD ⊥AD ，则∠ACD = ．【答案】（1）60︒；（2）30︒．【解析】（1）ABC ∆是等边三角形， 601303BAC AD BC CAD BAC ︒︒∴∠=∴∠=∠=，是边上的高，，90BE AC BE AC AEF ︒∴⊥∴∠=是边上的中线，，，903060AFE AEF CAD ︒︒︒∴∠=∠-∠=-=；ACDBFE 例题解析（2）ABC ∆是等边三角形，60ACB ︒∴∠=． //90AD BC CD AD BCD ︒⊥∴∠=，，，906030ACD ︒︒︒∴∠=-=．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质．【例4】已知三角形的一个外角等于与它不相邻的一个内角的2倍，且有一个内角为60°则这个三角形是（） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形【答案】A【解析】因为三角形一个外角等于与它不相邻的一个内角的2倍，且同时等于与它不相邻的两个内角之和，所以与它不相邻的两个内角相等，因为有一个内角为60︒，所以三个内角均为60︒，所以为等边三角形．【总结】本题主要考查三角形外角的性质及三角形内角和定理．【例5】已知△ABC 是等边三角形，点D 在AC 上，点E 在AB 上，BD 与CE 相交于点F ，且BF=CF ，说明△ADE 是等边三角形．【解析】BF CF =，FBC FCB ∴∠=∠．60()ABC AB AC ABC ACB A ABD ACE ABD ACE ASA ︒∆∴=∠=∠∠=∴∠=∠∴∆≅∆为等边三角形，，，，AE AD ADE ∴=∴∆，是等边三角形．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和判定及全等三角形的判定．A B CDEFDCBA4 / 24【例6】如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，△ADB 和△ACE 都是等边三角形，且∠DAE =∠DBC ，求∠BAC 的度数．【答案】20°．【解析】AB AC =，ABC ∴∆是等腰三角形．60ADB ACE ABD BAD CAE ︒∆∆∴∠=∠=∠=和是等边三角形，．606060DAE DBC ABC BAC ︒︒︒∠=∠∴∠+=∠++，，60ABC BAC ︒∠=∠+即．2180ABC ABC BAC ︒∆∠+∠=在中，，)260180BAC BAC ︒︒∴∠++∠=（，即2120180BAC BAC ︒︒∠++∠=，36020BAC BAC ︒︒∴∠=∴∠=，．【总结】本题主要考查等边三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．【例7】如图，ABC ∆是等边三角形，90CBD BD BC ∠==，，则1∠的度数是________．【答案】75︒．【解析】ABC ∆是等边三角形，60ABC AB BC ︒∴∠==，．906090150CBD ABD ︒︒︒︒∠=∴∠=+=，，23BD BC BD AB =∴=∴∠=∠，，，18015021516015752︒︒︒︒︒︒-∴∠==∴∠=+=，．【总结】本题主要考查的是等边三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用．【例8】如图，在等边三角形ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 上的动点，且AD =BE =CF ，说明△DEF 是等边三角形的理由．【解析】60ABC A B C AB BC AC ∆∴∠=∠=∠=︒==是等边三角形，，．AD BE CF BD CE AF ==∴==，．A BCDEFAB CDE321ABCDADF BED ∆∆在和中，()AD BE A B ADF BED SAS AF BD ⎧⎪∠∠∴∆≅∆⎨⎪⎩＝＝，＝ DF DE DE EF ∴==，同理可证：，DE DF EF DEF ∴==∴∆，是等边三角形．【总结】本题主要考查等边三角形的性质和判定的综合运用．【例9】如图，在等边三角形ABC 的边BC 上任取一点D ，以CD 为边向外作等边三角形CDE ，连接AD ，BE ，试说明BE =AD 的理由．【解析】ABC ∆是等边三角形，60AC BC ACD ︒∴=∠=，．60CDE CD CE BCE ︒∆∴=∠=是等边三角形，，ACD BCE ∆∆在和中，AC BC ACD BCE ACD BCESAS CD CE =⎧⎪∠=∠∴∆≅∆⎨⎪=⎩，（） BE AD ∴=．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定．【例10】如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M ．求证：M 是BE 的中点．【解析】BD 连接601160302230ABC ACB ABC D AC DBC ABC CE CD CDE EACB CDE E E DBC E BD ED ︒︒︒︒∆∴∠=∠=∴∠=∠=⨯==∴∠=∠∠=∠+∠∴∠=∴∠=∠∴=为等边三角形，是边的中点，，，，，DM BC M BE ⊥∴，是的中点．【总结】本题主要考查了等边三角形性质和等腰三角形性质的运用．ABCDEABCDEM6 / 24【例11】（1）如图所示，已知：△ABC 是等边三角形，M 、N 分别是边BC 、AC 的中点，AM 、BN 相交于点P ，求∠BPM 的大小；（2）如果点M 、N 分别在BC 、AC 的延长线上，且BM =CN ．∠BPM 的大小会发生变化吗?【答案】（1）60︒；（2）不会．【解析】（1）ABC ∆为等边三角形，60ABC ︒∴∠=． 90M BC AM BC PMB ︒∴⊥∴∠=是的中点，，N AC BN ABC ∴∠是的中点，平分，30MBP ︒∴∠=，180180903060BPM PMB MBP ︒︒︒︒︒∴∠=-∠-∠=--=．（2）ABC ∆是等边三角形，60BAC ACB AC BC AB ︒∴∠=∠===，， 120BAN ACM ︒∴∠=∠=，BM CN AN CM =∴=，，()ABN CAM SAS ∴∆≅∆， N M ∴∠=∠．60BPM N PAN M CAM ACB ︒∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，故∠BPM 的大小会不会发生变化．【总结】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理的综合运用．【例12】如图，已知：在等边△ABC 中，D 在BC 边上，E 在△ABC 外，∠BAD =15°，∠DAE =70°，AD =AE ，求∠CAE ，∠EDC ，∠EFC 的度数．【答案】255080CAE EDC EFC ︒︒︒∠=∠=∠=；；．【解析】ABC ∆是等边三角形，60BAC B ︒∴∠=∠=．1570BAD DAE ︒︒∠=∠=，，15706025CAE BAE BAC ︒︒︒︒∴∠=∠-∠=+-=．AD AE =，118070552ADE E ︒︒︒∴∠=∠=-=（）， 255580EFC CAE E ︒︒︒∴∠=∠+∠=+=． 156075ADC BAD B ︒︒︒∠=∠+∠=+=， 755520EDC ADC ADE ︒︒︒∴∠=∠-∠=-=．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．ABCNPMABCPMN ABCDEF【例13】下列说法中正确的个数有（）①有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有三个外角都相等的三角形是等边三角形；④有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；⑤△ABC中三边为a、b、c，满足()()()0a b b c c a---=，则这个三角形是等边三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形，所以①正确；有两个外角相等的等腰三角形是不一定是等边三角形，所以②不正确；有三个外角都相等的三角形三个内角是相等的，是等边三角形，所以③是正确；有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等腰三角形但不一定是等边三角形，所以④不正确；△ABC中三边为a、b、c，满足()()()0a b b c c a---=，则这个三角形是等腰三角形但不一定是等边三角形，所以⑤不正确．故选B．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质的综合运用．【例14】等边△ABC中，AD=BE=CF，D、E、F不是各边的中点，AE、BF、CD分别交于点P、M、N在每一组全等三角形中有三个三角形两两全等，那么在图中全等的三角形的组数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】CFB BEA ADC∆≅∆≅∆；CAE BCD ABF∆≅∆≅∆；CMB BPA ANC∆≅∆≅∆；CFM BEP ADN∆≅∆≅∆；CNE BMD APF∆≅∆≅∆，共5组．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定和性质．A BCDEFMN P8 / 24【例15】如图，在等边ABC △中，点D E ，分别在边BC AB ，上，且BD AE =，AD 与CE交于点F ．（1）求证：AD CE =；（2）求DFC ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）60︒．【解析】（1）ABC ∆是等边三角形， 60BAC B AB AC ∴∠=∠=︒=，，()AE BD AEC BDA SAS =∴∆≅，，AD CE ∴=；（2）AEC BDA ∆≅∆，ACE BAD ∴∠=∠，60DFC FAC ACF FAC BAD BAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形外角的性质的综合运用．【例16】已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC 的距离分别为h 1，h 2，h 3， △ABC 的高为h ．“若点P 在一边BC 上［如图（1）］，此时h 3＝0．可得结论： h 1＋h 2＋h 3＝h ．”请直接应用上述信息解决下列问题：当点P 在△ABC 内［如图（2）］，以及点P 在△ABC 外［如图（3）］这两种情况时，上述结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，h 1，h 2，h 3与h 之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需要证明．【解析】（1）P ABC ∆当在内部时，结论仍成立． PA PB PC 连接、、， ABC AB PC APC B P S S S S ∆∆∆∆=++， 12311112222BC h AB h AC h BC h ∴=++．ABC ∆是等边三角形，AB BC AC ∴==，123h h h h ∴=++．（2）P ABC ∆当在外部时，不成立，123.h h h h +-=此时【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形面积的综合应用．DA EFBCAB C DM FP ABCD E F AB CDEM P M F P图1 图2 图3【例17】如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC =1200的等腰三角形，以D 为顶点作一个600角，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连结MN ，形成一个三角形．求证：△AMN 的周长等于2．【解析】AC P CP BM DP =延长到点，使，连接．1203060909090()60BDC BD CD BDC DBC DCB ABC ABC ACB MBD ABC DBC NCD PCD MBD PCDBM CP BDM CDP SAS MD PD MDB PDC MDN MDB NDC PDC NDC BDC MD ∆∴=∠=︒∴∠=∠=︒∆∴∠=∠=︒∴∠=∠+∠=︒∠=︒∴∠=︒∴∠=∠=∴∆≅∆∴=∠=∠∠=︒∴∠+∠=∠+∠=∠-∠是等腰三角形，，等边三角形，，，同理可得；，，，，，60,60112AMN N MDN PDN NMD NPD SAS MN PN NC CP NC BM C AM AN MN AM AN NC BM AB AC ∆=︒∴∠=∠=︒∴∆≅∆∴==+=+∴=++=+++=+=+=的周长，（），，2AMN ∴∆的周长为．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定和性质的综合运用，注意辅助线的添加．【例18】如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A =200，在边AB 上取点D ，使AD =BC ，求∠BDC 的度数．【答案】30︒．【解析】AC ABC ACE DE ∆∆以为一边在外侧作正三角形，连接2080608080()8020,40AB AC A ABC ACE AC AE CE EAC EAD AB AC AC AE CE AB AEAB AE ABC EAD ABC EAD ABC EAD SAS BC AD ACB EDA BAC AED ED AC DEC DE EC EDC =∠=︒∴∠=︒∆∴==∠=︒∴∠=︒===∴==⎧⎪∆∆∠=∠=︒∴∆≅∆⎨⎪=⎩∴∠=∠=︒∠=∠=︒=∴∠=︒=∴∠=∠，，是等边三角形，，，，，在和中，，，，，，70180180807030ECD BDC ADE EDC =︒∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒【总结】本题考查了等腰三角形、全等三角形和等边三角形性质的综合运用，综合性较强．BCA DEPBAC DN M10 / 24将等边三角形的性质作为一直条件，运用到解题中．【例19】如图，已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得△CDE是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，求证：△CMN 是等边三角形．【解析】ABC CDE ∆∆和是等边三角形60()(ACB ECD AC BC CD CE ACB BCD ECD BCD ACD BCE AC BCACD BCE ACD BCECD CE ACD BCE SAS AD BE CAD CBE M AD N BE AM BN AC BC AMC BNC CAD CBEAM BN AMC BNC S ∴∠=∠=︒==∴∠+∠=∠+∠∴∠=∠=⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴=∠=∠∴==⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆，，，在和中，，，是线段的中点，是线段的中点，在和中，)60AS CM CN ACM BCN NCM BCN BCM ACB ACM BCM NCM ACB CMN ∴=∠=∠∠=∠-∠∠=∠-∠∴∠=∠=︒∴∆，，，，是等边三角形.【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．模块二：等边三角形综合知识精讲例题解析 AC ENMBD【例20】如图，已知D 是等边三角形ABC 的边AB 边延长线上一点，BD 的垂直平分线HE交AC 延长线于点E ，那么CE 与AD 相等吗?试说明理由．【答案】相等，见解析．【解析】//H HG BC AE G 过点作，交于点．60//6060,903018030,22ABC A ABC AB AC HG BC AHG ABC AHG A AHG HG AG AHHE BD AHE BH DHGHE AHE AHG GEH AHE A GHE GEH EG HG AG AHCE AE AC AG AC AH ∆∴∠=∠==∴∠=∠=︒∴∠=∠=︒∴∆∴==∴∠=︒=∴∠=∠-∠=︒∠=︒-∠-∠=︒∴∠=∠∴===∴=-=-=-是等边三角形，，，，为等边三角形，为的垂直平分线，，，，222.AC AB BH ACAB BH AB BH DH AD =+-=+=++=【总结】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，注意辅助线的添加．【例21】如图，已知：等边三角形ABC ，在AB 上取点D ，在AC 上取一点E ，使AD =AE ，作等边三角形PCD 、QAE 和RAB ，则P 、Q 、R 为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由．【解析】BP 连接60()ABC PCD AC BC DC PC ACB BAC ABC DCP ACD BCP AC BCADC BPC DC PC ADC BPC SAS ACD BCP ∆∆∴==∠=∠=∠=∠=︒∴∠=∠=⎧⎪∆∆=∴∆≅∆⎨⎪∠=∠⎩和为等边三角形在和中，，，，，，6060606060180606060180.60AD BP DAC PBC RAB QAE RAB RBA R QAE RA RB AQ AERAB BAC QAE R A Q RBA ABC PBC R B P AQ AE AD BP RQ RA AQ RB BP RP R P ∴=∠=∠=︒∆∆∴∠=∠=∠=∠=︒==∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒∴∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒∴===∴=+=+=∠=︒∴，和为等边三角形、、三点共线、、三点共线，，，，，以，、Q R 、为顶点的三角形是等边三角形.【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质的综合性运用，难度较大．GA B C DEHABCD ERP Q12 / 24【例22】如图，已知：在等边三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，且BD =AE ，EB 与CD 相交于点O ．EF 与CD 垂直于点F ，试说明OE =2OF ．【解析】60F OFG OE G ∠=︒过点作，交于点60(..)60609030ABC A ABC AB BC AB BCABE BCD A ABC AE BD ABE BCD S A S ABE BCDADO ABC BCD ADO BOD ABE BOD ABC EOF OFG OG OF GFEF CD OFE OEF ∆∴∠=∠=︒==⎧⎪∆∆∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠=︒∴∠=︒∴∆∴==⊥∴∠=︒∴∠=︒∠是等边三角形，，在与中，，，又为等，，，，边三，角，形，，302.GFE OEF GFE GE GF OF OE OG GE OF =︒∴∠=∠∴==∴=+=，，，【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质的综合运用，注意对方法的选择．【例23】如图，点O 是等边△ABC 内的一点，∠AOB =110°，∠BOC =135°，试问：（1）以OA 、OB 、OC 为边，能否构成一个三角形，若能，求出该三角形各角的度数；若不能，说明理由；（2）如果∠AOB 的大小保持不变，那么当∠BOC 等于多少度时，以OA 、OB 、OC 为边的三角形是一个直角三角形．【解析】（1）OC OCD AD ∆以为边作等边，连， 60OCD OC CD ∠=︒=则，．60 60 (..) 110135 115 1156055 135 1356075 ABC ACB AC BCBCO ACO ACD BCO ACD S A S OB AD ADC BOC OAD OA OB OC AOB BOC AOC AOD ADC ADO O ∆∴∠=︒=∴∠=︒-∠=∠∴∆≅∆∴=∠=∠∴∆∠=︒∠=︒∴∠=︒∴∠=︒-︒=︒∠=︒∴∠=︒-︒=︒∴∠是等边三角形，，，，，是以线段、、为边构成的三角形，，，，，180557550.505575.AD OA OB OC =︒-︒-︒=︒∴︒︒︒以线段、、为边构成的三角形的各角是、、（2）AOB AOC BOC ∠+∠+∠AOB AOC ADC =∠+∠+∠ ()()AOB AOD DOC ADO CDO =∠+∠+∠+∠+∠G ABCD EFO DABCO()()1106060 360AOD ADO =∠︒+∠+︒+∠+︒=︒，130AOD ADO ∴∠+∠=︒， 50OAD ∴∠=︒．AOD ∠当是直角时，90AOD ∴∠=︒，9060150AOC ∴∠=︒+︒=︒， 100BOC ∴∠=︒； ADO ∠当是直角时，90ADO ∴∠=︒，9060150ADC ∴∠=︒+︒=︒，150BOC ∴∠=︒，综上，当∠BOC 等于100°或150°时，以OA 、OB 、OC 为边的三角形是一个直角三角形．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，注意利用旋转的思想去解题．【例24】 △CAB 与△CDE 是有公共顶点C 的两个等边三角形，△CDE 绕点C 顺时针旋转至以下各位置：（1）当E 在BC 下方时，说明AD =BE ；（2）当E 在BC 边上如图2、当E 在△ABC 内如图3、当E 在AC 边上如图4，当 CE ∥AB 时，如图5，AD =BE 还成立吗?请一一说明理由．【解析】（1）ABC ∆是等边三角形， 60AC BC ACB ∴=∠=︒，．6060().CDE CD CE DCE BCE BCD ACD BCE ACD SAS AD BE ∆∴=∠=︒∴∠=︒-∠=∠∴∆≅∆∴=是等边三角形，，，，（2）成立．方法同（1），可证ACD BCE ∆≅∆，所以AD BE =．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质的综合运用．【例25】已知A 、B 、C 三点共线，分别AC 、BC 为边，在直线AB 同侧作等边△CAN 和等边△BCM ，易得AM =BN ．（1）将△CAN 绕点C 旋转一定的度数，得到图（2），试问：AM =BN 吗?ABCDE 图1ABCDE图2CDA B C DE BAECEABD图3图4 图514 / 24（2）将（1）中等边△CAN 再绕点C 旋转一定角度，得到图（3），上述AM =CN 还成立吗?请说明理由；（3）在旋转过程中，直线AM 和直线BN 所夹的锐角的大小随着旋转角的改变而改变吗?说说你的理由．【解析】（1）CAN ∆为等边三角形，60CA CN ACN ∴=∠=︒，．6060(..).BCM CM CB BCM ACM NCM NCBACM NCB S A S AM BN ∆∴=∠=︒∴∠=︒+∠=∠∴∆≅∆∴=为等边三角形，，，（2）成立．方法同（1）．（3）不变．AM BN αβ令直线和直线所夹锐角为，所夹钝角为，606012060.ACM NCB AMC NBCNBM AMB NBM AMC BMCNBM NBC BMC CBM BMC βα∆≅∆∴∠=∠∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒∴∠=︒，【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质的综合运用．A BC 图1N M ABC 图2MNABCN 图3MABCDA ′B ′C ′【例26】如图，△ABC 中，已知∠C =600，AC ＞BC ，又△ABC ′、△A ′BC 、△AB ′C 都是 △ABC 外的等边三角形，而点D 在AC 上，且BC =DC ．（1）说明△C ′BD ≌△B ′DC 的理由；（2）说明△AC ′D ≌△DB ′A 的理由；（3）对△ABC 、△ABC ′、△A ′BC 、△AB ′C ，从面积大小关系上，你能得出什么结论? 直接写出来．【解析】（1）60ACB BC CD ∠=︒=，60'''6060'().BCD CBD ABC AB BC ABC ABC ABD C BD C BD ABC SAS C D ACBCA DCB DB BA C BD B DC ∴∆∴∠=︒∆∴=∠=︒∴∠=︒+∠=∴∆'≅∆∴'=∆≅∆'∴'=∴∆'≅∆'是等边三角形，是等边三角形，，，同理可证：，，（2）C D B C AB B D BC AC '='=''='='由(1)的结论知:，，().AC D DB A SAS ∴∆'≅∆' （3）.AB C ABC ABC A BC S S S S ∆'∆'∆∆'＞＞＞【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质，注意总结等边三角形的面积与边长的关系．【习题1】三个内角都相等的三角形是_________三角形，每个内角都等于______．【答案】等边；60︒．【解析】略．【总结】本题主要考查了等边三角形的定义和性质．随堂检测16 / 24【习题2】在等腰三角形中，已知两底角之和等于顶角的2倍，则这个三角形是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．锐角三角形但不等边【答案】C【解析】2αα设等腰三角形的顶角为，则底角和为， 218060ααα∴+=︒∴=︒，．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故选C ．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定及三角形内角和定理的运用．【习题3】如图，△ABC 中，AB =AC ，∠A =60°，BD ⊥AC 于点D ，DG ∥AB 交BC 于点G ，E 在BC 的延长线上，CE =CD ．（1）∠E =________；（2）∠BDE =_______；（3）图中的等腰三角形有________个；（4）图中的等边三角形有_______个．【答案】（1）30︒；（2）120︒；（3）5；（4）2．【解析】（1）60AB AC A =∠=︒，60309030120.ABC ACB BD AC ABD BDC CD CE E CDE BDE ∴∆∴∠=︒⊥∴∠=︒∠=︒=∴∠=∠=︒∴∠=︒是等边三角形，，，，，（3）等腰三角形有：ABC CDG CDE BGD BDE ∆∆∆∆∆，，，，；（4）等边三角形有：ABC CDG ∆∆，．【总结】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定及等边三角形的性质和判定．【习题4】下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（） A ． ①②③ B ．①②④C ．①③D ．①②③④【答案】D【解析】①、②正确，是等边三角形的判定定理，③三个外角相等则三个内角必相等，则一定是等边三角形，故正确；④利用等腰三角形的三线合一，可知，该三角形也是等边三角形，正确，故选D ．【总结】本题主要考查了等边三角形的判定．AB CDEG【习题5】如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD =BE =CF ，则△DEF 的形状是（）A ．等边三角形B ．腰和底边不相等的等腰三角形C ．直角三角形D ．不等边三角形【答案】A【解析】ABC ∆为等边三角形，60A B AB AC ∴∠=∠=︒=，．(..)..AD CF AF BD ADF BED S A S DF ED DF FE DF ED FE DEF =∴=∴∆≅∆∴==∴==∴∆，，，同理可证：，是一个等边三角形【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和判定的综合运用．【习题6】已知Rt △ABC 中，∠C =900，∠A =300，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△P AB是等腰三角形，则符合条件的P 点有（） A ． 2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个【答案】C【解析】1AC AB AC P PA PB =第个点在上，作线段的垂直平分线，交于点，则有； 2A AB AP AB AC P =第个点是以为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点；34566A AB AP AB CA P B BA BP BA AC P B BA BP BA BC P A AB AP AB BC P P ====第个点是以为圆心，以长为半径截取，在上边于延长线上交于点；第个点是以为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点；第个点是以为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点；第个点是以为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点；故符合条件的点有个点.【总结】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，注意利用 “两圆一线”的方法确定等腰三角形．A BCDEF18 / 24【习题7】如图，等边△ABC 中，AD =CE ，CD 于BE 相交于点P ，求∠BPC 的度数．【答案】120︒【解析】ABC ∆是等边三角形，60(..)6060120.AC CB A ACB AD CE ACD CBE S A S ACD CBE ACD BCD ABC CBE BCD BPC ∴=∠=∠=︒=∴∆≅∆∴∠=∠∠+∠=∠=︒∴∠+∠=︒∴∠=︒，，，，，，【总结】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质．【习题8】如图，△ABC 和△DBE 都是等边三角形，说明AB ∥CE 的理由．【解析】ABC DBE ∆∆和是等边三角形6060(..)6060//.AB BC BD BE A ABC DBE ABD CBE DBCABD CBE S A S BCE A ABC BCE AB CE ∴==∠=∠=∠=︒∴∠=∠=︒-∠∴∆≅∆∴∠=∠=︒∴∠=∠=︒∴，，，，，【总结】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质的运用．【习题9】如图，△ABC 为等边三角形，E 是BC 延长线上一点，CD 平分∠ACE ，CD =BE ，试说明△ADE 为等边三角形的理由．【解析】ABC ∆为等边三角形，6012060(..)6060B ACB AB AC ACE CD ACE ACD B ACD AB ACABE ACD B ACDBE CD ABE ACD S A S AD AE BAE CAD BAC DAE ADE ∴∠=∠=︒=∴∠=︒∠∴∠=︒∴∠=∠=∆∆∠=∠=∴∆≅∆∴=∠=∠∠⎧⎪=︒∴∠=︒∆⎨⎪⎩∴，，平分，，在和中，，，，，为等边三角形.【总结】本题主要考查等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质的综合运用．A BC EDPABCDEAB C DE【习题10】如图，△ABC 中，BA =BC =a ，∠B =60°，在BC 的延长线上取一点D ，使CD =b ，在BA 延长线上取一点E ，使AE =a +b ，试判断△ECD 是什么三角形，并说明理由．【答案】等腰三角形．【解析】//DF AC BE F 作交于60//60(..).ABC BAC B BA BC DF AC EFD CAE BFD BAC BDF DF BD BF a b AF BF BA BD BC CD bAE a b FE a AC AE BD FD EFD CAE S A S ED EC ECD ∆∴∠=∠=︒=∴∠=∠∠=∠=︒∴∆∴===+∴=-=-===+∴====∴∆≅∆∴=∴∆是等边三角形，，，，是等边三角形，，，，，，是等腰三角形【总结】本题主要考查等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质的综合运用，注意平行线的添加，将问题进行转化．【作业1】已知一个三角形的任意一个角的平分线都垂直于这个角的对边，则这个三角形是（） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形．【答案】D【解析】只有在等边三角形中任意一个角的平分线是垂线并且是中线．【总结】本题主要考查全等三角形的判定．课后作业ABCDEF20 / 24【作业2】等边△ABC 的两条角平分线BD 和CE 交于点I ，则∠BIC 等于（）A ． 60°B ．90°C ．120°D ．150°【答案】C【解析】ABC ∆是等边三角形，60ABC ACB ∴∠=∠=︒．113030221803030120.BI ABC CI ACB IBC ABC ICB ACB BIC ∠∠∴∠=∠=︒∠=∠=︒∴∠=︒-︒-︒=︒平分，平分，，，【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和角平分线的性质的综合运用．【作业3】如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠ABE =∠ACD ，BE =CD ，则△ADE 的形状是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．不能确定形状【答案】B【解析】ABC ∆为等边三角形，AB AC ∴=．(..)60ABE ACD BE CD ABE ACD S A S AE AD BAE CAD ADE ∠=∠=∴∆≅∆∴=∠=∠=︒∴∆，，，，是等边三角形.【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和判定．【作业4】如图，△ABC 中，AB =AC ，∠B =360，D 、E 是BC 上两点，使∠ADE =∠AED =2∠BAD ，则图中等腰三角形共有（） A ．3个B ．4个C ． 5个D ．6个【答案】D【解析】 AB AC =， ABC ∴∆是等腰三角形， 36C B ∴∠=∠=︒，180 180 36 36 108BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．2 36 ADE BAD B BAD ABD ∠=∠∴∠=∠=︒∴∆，，是等腰三角形．ACE ∆同理可得是等腰三角形．ADE AED ADE ∠=∠∴∆，是等腰三角形．A BCDEAB CD E108 36 72CAD BAC BAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒， ADE CAD CAD ∴∠=∠∴∆，是等腰三角形．BAE ∆同理可得是等腰三角形．6 ABC ADE ABD ACE ABE ACD ∴∆∆∆∆∆∆有个等腰三角形，分别为：、、、、、．【总结】本题主要考查了等腰三角形的判定．【作业5】如图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：BD +DC =AD ．【解析】ABC ∆是等边三角形，60BA BC ABC ∴=∠=︒，．6060(),.BDE BE BD DE DBE ABE CBD CBE ABE CBD SAS AE CD BD DC DE AE AD ∆∴==∠=︒∴∠=∠=︒-∠∴∆≅∆∴=∴+=+=是等边三角形，，，，，【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定．【作业6】如图，已知△ABC 、△ADE 是等边三角形，点E 恰在CB 的延长线上，说明∠ABD =∠AED 的理由．【解析】ABC ADE ∆∆、为等边三角形，60AD AE AB AC DAE AED BAC C ∴==∠=∠=∠=∠=︒，，．60DAB EAC BAE ∴∠=∠=︒+∠， DAB EAC ∴∆≅∆，60ABD C AED ∴∠=∠=︒=∠．【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定．ABCDEABCDE22 / 24【作业7】试说明等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于这个三角形一边上的高．【解析】a 如图，设等边三角形的边长为， 11••22ABC S BC AH a AH ∆∴==，111•••222111•••2221)2ABCSAB PD BC PE AC PF a PD a PE a PFa PD PE PF =++=++=++( PD PE PF AH ∴++=，即得证．【总结】本题主要考查了三角形面积公式的应用及等边三角形的性质的综合运用．【作业8】如图，D 是等边△ABC 内一点，DA =BD ，PB =AC ，且∠DBP =∠DBC ，则∠BPD的度数是．【答案】30︒．【解析】CD 连接．60(..)1302,(..)30.ABC AB BC AC ACB DB DA DC DC ACD BCD S S S BCD ACD ACB PB AC PB BC DBP DBC BD BD BPD BCD S A S BPD BCD ∆∴==∠=︒==∴∆≅∆∴∠=∠=∠=︒=∴=∠=∠=∴∆≅∆∴∠=∠=︒是等边三角形，，，，，，，，，【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质的运用．【作业9】如图，点O 是等边ABC △内一点，110AOB BOC α∠=∠=，．将BOC △绕点C按顺时针方向旋转60得ADC △，连接OD ．（1）试说明COD △是等边三角形；（2）当150α=时，试判断AOD △的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，AOD △是等腰三角形?ABCDPABCDO110α【解析】（1）60BOC C ADC ∆︒∆将绕点按顺时针方向旋转得60.CO CD OCD COD ∴=∠=︒∴∆，，是等边三角形（2）150AOD α=︒∆当时，是直角三角形，1506090BOC ADC ADC BOC COD ODC ADO ADC ODC AOD ∆≅∆∴∠=∠=︒∆∴∠=︒∴∠=∠-∠=︒∴∆，是等边三角形，，是直角三角形.（3）AO AD =①要使，AOD ADO ∠=∠需． 360110601906019060125AOD ADO αααααα∠=︒-︒-︒-=︒-∠=-︒∴︒-=-︒∴=︒，又，，；OA OD OAD ADO =∠=∠②要使，需，1801801906050OAD AOD ADO αα∠=︒-∠+∠=︒-︒-+-︒=︒（）（），6050110αα∴-︒=︒∴=︒，；OD AD OAD AOD =∠=∠③要使，需，19050140αα∴︒-=︒∴=︒，．125110140AOD α︒︒︒∆综上所述：当的度数为或或时，是等腰三角形．【总结】本题综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定，注意进行角度的计算，综合性较强，第（3）问注意要分类讨论．【作业10】如图，△ABC 是等边三角形，延长BC 至D ，延长BA 至E ，并使AE =BD ，连接CE 、DE ，说明CE =DE 的理由．【解析】BD F DF BC EF =延长至，使，连接．6060(..).AE BD AE CFABC BA BC B BE BF BEF BE EF B F BC DF ECB EDF S A S CE DE =∴=∆∴=∠=︒∴=∴∆∴=∠=∠=︒=∴∆≅∆∴=，为等边三角形，，，为等边三角形，，，【总结】本题主要考查了等边三角形的性质与判定及全等三角形的判定，注意辅助线的添加．A BC D EF【作业11】在等边△ABC所在平面内求一点P，使△P AB、△PBC、△P AC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有_________个．【答案】10．【解析】（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点；（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的P点，每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．故具有这种性质的点P共有10个．【总结】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，注意利用“两圆一线”去画等腰三角形．24/ 24。

3-第三讲等边三角形.docx

第三讲等边三角形的相关问题、等边三角形考点分析二、知识梳理/提炼1.等边三角形的定义：有____________ 等腰三角形是等边三角形.2.等边三角形的性质：（1）等边三角形的内角都相等，且均为60°。

（三线合一）等边三角形每条边上的屮线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。

（4） ______________等边三角形_____ 、 ____ 、、重合于一点，称为等边三角形的中心。

（四心合一）3.等边三角形的判定（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形三、课堂精讲例题例题1题目：①有两个角等于60。

；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各収一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有（）A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④・难度分级：A类-试题来源：课时训练-选题意图（对应知识点）：等腰三角形的性质、等边三角形的判定。

-解题思路：等边三角形是特殊的等腰三角形，故它具备了等腰三角形的一切性质。

但乂因为等边三角形是特殊的等腰三角形，故等边三角形所拥有的一些性质是等腰三角形所都具有的。

・解法与答案：D搭配课堂训练题题目：若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60。

，那么这个三角形一定为（）A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D钝角三角形例题2题目：如图，D、E、F分别是等边AABC各边上的点，且AD二BE二CF,则ADEF的形状是（）A.等边三角形B.腰和底边不相等的等腰三角形C.直角三角形D.不等边三角形-难度分级：A类-试题来源：培优班-选题意图（对应知识点）：等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定。

-解题思路：根据题意证得以厶ADF^ABED^ACFE即可求证.-解法与答案：-解：V A ABC为等边三角形，且AD二BE二CF・・・・AF二BD二CE-又VZA=ZB=ZC=60°-・•・ A ADF^ ABED^ ACFE- ・・・DF二ED二EF-•••△DEF是一个等边三角形- 故选A.搭配课堂训练题题目：如图所示，在等边AABC中，AD二BE二CF, D, E, F不是中点，连结AE, BF, CD.构成一些全等三角形，如果将三个全等三角形组成一组，那么图屮全等三角形的组数是（）A. 3B.4C. 5D. 6例题3题目：如图，BD为等边Z\ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB二DE,若AB二6cm,则CE= _________ cm.-难度分级：：A类-试题来源：课时训练-选题意图（对应知识点）：等边三角形的性质；直角三角形的性质.・解题思路：求CE的长，题中给出DB二DE,由角相等可求出CD二CE,所以CE为边长AC 的一半.- 解法与答案:- VBD为等边Z\ABC的边AC上的中线,- ・・・BD丄AC,・TDB 二DE,-・・・ZDBC 二ZE 二30°-•・・ ZACB=ZE+ZCDE=60°-AZCDE-300・・・・ZCDE二ZE,-即CE二CD二丄AC二3cm.2-故填3.-点评：本题考查了等边三角形的性质；要熟练掌握等边三角形的性质，得到ZCDE=30°是正确解答本题的关键.搭配课堂训练题题目：如图：已知等边Z\ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE二CD, DM丄BC,垂足为M,求证：M是BE的中点.例题4题目：在等边AABC屮，D是AC的屮点，E是BC延长线上一点，且CE二CD,（1）请说明DB二DE的理由.（2）若等边ZXABC的边长为6cm,求ABDE的面积.・难度分级：B类- 试题来源：课时训练- 选题意图（对应知识点）：等边三角形的性质；三角形的血积；三角形的外角性质；直角三角形的性质.- 解题思路:（1）根据等边三角形三线合一的性质可得BD是ZABC的角平分线，即可得ZCBD二30° ,根据三角形外角性质即可得ZDCE二120°,根据CD二CE,可得ZCDE二ZCED二30°,即可得ZCED二ZCBD二30。

人教版八年级上册13.3.2《等边三角形》教案

最后，在总结回顾环节，学生对本节课的知识点有了较为全面的掌握。但我也意识到，课后还需要关注学生的消化吸收情况，及时解答他们的疑问，巩固所学知识。
1.加强课堂互动，提高学生的参与度；
2.注重个体差异，因材施教，帮助每个学生掌握知识点；
3.加强课堂讨论的引导，确保讨论主题的针对性；
4.课后关注学生的反馈，及时解答疑问，巩固所学知识。
在实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作，整体效果较好。但我也注意到，部分学生在讨论过程中存在依赖思想，不够积极主动。为了提高学生的参与度，我将在以后的课堂中加强引导，鼓励学生独立思考，勇于表达自己的观点。
此外，学生小组讨论环节，大家对于等边三角形在实际生活中的应用提出了很多有趣的见解。这说明学生们已经能够将所学知识运用到实际问题中，这让我感到很欣慰。但同时，我也发现部分学生在讨论时容易偏离主题，导致讨论效果受到影响。针对这个问题，我将在今后的教学中加强对学生的引导，确保讨论围绕主题展开。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与等边三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如制作一个等边三角形，并观察其性质。
3.成果展示论（用时10分钟）
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解等边三角形的基本概念。等边三角形是三边长度相等的三角形。它具有独特的性质和判定方法，在几何图形中具有重要地位。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析等边三角形在建筑、艺术等领域的应用，了解它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调等边三角形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。

湘教版八年级上册数学第2章三角形用“角边角”判定三角形全等

感悟新知
知1－练
1．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE， FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是( ) B
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
感悟新知
知1－练
2.如图所示，点D，E分别在AB，AC上，且AD=AE， ∠BDC=∠CEB，试说明BD=CE．
分析：要说明BD=CE，由已知 AD=AE，可说明AB=AC，即说明 △ABE≌△ADC．
知2－导
如图，在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A'， ∠B=∠B'，BC=B'C'，那么△ABC和△A'B'C'全等吗？
根据三角形内角和定理，可将上述条件转化为满足 “ASA”条件，而可证明△ABC≌△A'B'C.
感悟新知
在△ABC和△A'B'C'中， ∵∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴∠C=∠C'. 又∵BC=B'C'，∠B=∠B'， ∴△ABC≌△A'B'C' (ASA).
感悟新知
Hale Waihona Puke 总结知2－讲结合图形找出所需条件是几何证明题中常用方法之一,需要注意的是：全等图形中相等的角所对的边相等，相等的边所对的角相等.
感悟新知
知2－练
1．下列各图中a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形中和左侧△ABC全等的是( ) B
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
知2－导
感悟新知
结论
知2－导
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.

第二章特殊三角形(期中复习)

第三章特殊三角形（期中复习）班级姓名一、基本性质及判定1、等腰三角形的性质：①等腰三角形的两底角相等；②等腰三角形的两腰相等；③等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合；2、等腰三角形的判定：①如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形；②如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形；③如果一个角的平分线垂直于对边，那么这个三角形是等腰三角形；④如果一个角的平分线平分对边，那么这个三角形是等腰三角形；⑤线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等；（即由中垂线可得出等腰三角形）3、等边三角形的性质：①等边三角形的三条边相等，三个角都等于60º；②等边三角形的“三线合一”；③等边三角形的边长若是a，那么它的高是2，面积是24a4、等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有两个角是60º的三角形是等边三角形；③有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形；5、直角三角形的性质：①直角三角形的两锐角互余；②勾股定理；③直角三角形中30º角所对的直角边等于斜边的一半；④直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30º；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；⑥在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相似的图形面积之和⑦若等腰直角三角形的直角边为a，一、基础题1、等腰三角形有条对称轴，对称轴是，等腰三角形腰上的高与底边所夹的角等于2.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成15cm和6cm两部分，求等腰三角形的底边长。

3.如图，正方形上给定8个点，以这些点为顶点，能构成多少个三角形。

4. 如图已知∠ACB＝90°, BD＝BC, AE＝AC, 则∠DCE＝__________度.4.如图，Rt△ABC中，CF是斜边AB上的高，角平分线BD交CF于G，DE⊥AB于E，则下列结论①∠A=∠BCF , ② CD=CG=DE, ③AD=BD ,④ BC=BE中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4第4题5. 如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA=CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（） A.13 B. 12 C. 23D 、不能确定 6．已知：如图，△ABC 为正三角形，D 是BC 延长线上一点，连结AD ，以AD 为边作等边三角形ADE ，连结CE ，用你学过的知识探索AC 、CD 、CE 三条线段的长度有何关系? 试写出探求过程．7、如图，一个六边形ABCDEF 的每一个内角都等于120度，其中有相邻的四条边长依次为AB=2，BC=4，CD=3，DE=2，试求六边形ABCDEF 的周长和面积二、多解题(请画图说明)1、等腰三角形一腰上的高等于另一腰的一半，则此等腰三角形的顶角是；等腰三角形一腰上的高等于另一边的一半，则此等腰三角形的顶角是；等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30 º。

中考数学专项复习命题点8 全等三角形的性质与判定(必考)

证明： ∵ = ，∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = .
又 ∵ = ， ∠ = ∠ ，
∴△ ≌△ ， ∴ ∠ = ∠ .
是平行四边形， // .
求证： = .
证明： ∵ 四边形是平行四边形，
∴ = ， // ，
∴ ∠ = ∠ .
∵ // ， ∴ ∠ = ∠ ，
∴△ ≌△ ，
∴ = .
第8题图
9.（创新考法）[2023陕西]如图，在 △ 中， ∠ = 50∘ ， ∠ = 20∘ .
河南数学
第四章三角形
命题点8 全等三角形的性质与判定（必考）
数学
A 基础达标练
考向1 全等三角形的性质
1.如图，若 △ ≌△ ，则下列结论中一定成立
的是(
)
A. =
B. ∠ = ∠
√
C. =
D. ∠ = ∠
第1题图
2.[2023成都]如图，已知 △ ≌△ ，点，，
第11题图
B 强化提升练
12.（多解法）[2023丽水]如图，在四边形中，
// ， ∠ = 45∘ ，以为腰作等腰直角三角形
，顶点恰好落在边上，若 = 1 .则的长
是(
A.
√
)
2
B.
2
2
C. 2
第12题图
D. 1
【解析】解法1：如解图①,过点作 ⊥ 交延长线于 ,过点
∵ // , ∴ ∠ = ∠ = ∠ = ∘ ， ∴ = = ,

浙教版八年级数学上册第二章知识点+注意点+经典例题

八年级上册第二章《特殊三角形》2.1图形的轴对称［轴对称图形］1.如果一个图形沿某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴．2.有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．3.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

[轴对称]有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．[图形轴对称的性质]①关于某直线对称的两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

③轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.[轴对称与轴对称图形的区别］［线段的垂直平分线］(1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线．（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．2.2 等腰三角形+2.3等腰三角形性质定理+2.4等腰三角形判定定理［等腰三角形]★1。

有两条边相等的三角形是等腰三角形。

★2。

在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．[等腰三角形的性质]★性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）★性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）．特别的:（1）等腰三角形是轴对称图形。

（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.[等腰三角形的判定定理］★如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．特别的:（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．［等边三角形]三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．[等边三角形的性质］★等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°[等边三角形的判定方法]★（1）三条边都相等的三角形是等边三角形;★（2）三个角都相等的三角形是等边三角形;★（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．2.5 逆命题和逆定理[逆命题和逆定理］命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。

13.3.2 等边三角形第1课时等边三角形的性质和判定【课课练】八年级上册人教版数学

90°
，△ ABC 的周长＝
第3题图
1
2
3
4
5
12
.
⁠
13.3.2 等边三角形
第1课时等边三角形的性质和判定
知识梳理
课时学业质量评价
4. 如图，在池塘对岸有棵小树，小红进行测量后，数据如下：∠ ABC
＝60°，∠ ACB ＝60°， BC ＝60 m，则 AB ＝
第4题图
1
2
3
4
5
60 m.
13.3.2 等边三角形
第十三章
13.3
13.3.2
第1课时
轴对称
3.3.2 等边三角形
第1课时等边三角形的性质和判定
1. 等边三角形的三个内角都
2. 三个角都
相等
3. 有一个角是60°的
相等
知识梳理
，并且每一个角都等于
的三角形是等边三角形.
等腰
课时学业质量评价
三角形是等边三角形.
1
2
3
4
5
课时学业质量评价
B. 有两个内角是60°的三角形
C. 有两个角相等的等腰三角形
D. 有一外角是120°的等腰三角形
1
2
3
4
5
课时学业质量评价
13.3.2 等边三角形
第1课时等边三角形的性质和判定
知识梳理
课时学业质量评价
3. 如图，在等边三角形 ABC 中， AD 平分∠ BAC ， BD ＝2，则 AB ＝
4
，∠ ADC ＝
60°
.
⁠
13.3.2 等边三角形
第1课时等边三角形的性质和判定
测评等级(在对应方格中画“√”)

人教版八年级数学下册等边三角形的性质和判定

等边三角形是特殊的 B
等腰三角形.
知1－导
C
满足什么条件的三角形是等腰三角形?
方法一：从边看
有两边相等的三角形是等腰三角形（定义）
知1－导
满足什么条件的三角形是等边三角形? 方法一：三边都相等的三角形是等边三角形（定义）
方法二：从角看有两个角相等的三角形是等腰三角形.
方法二：三个角都相等的三角形是等边三角形.
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，BD⊥AC.
∵AE⊥EC，∴∠BDA＝∠CEA＝90°.
在Rt△ABD 和Rt△ACE中， AB＝AC，

BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，∠EAD＝∠BAD＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
知2－练
1 下列三角形：
①有两个角等于60°的三角形；
知1－讲
解：因为△ABC是等边三角形，所以∠A＝∠B＝∠C＝60°. 因为DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，所以∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°，所以∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，所以∠EDF＝180°－30°－90°＝60°. 同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°. 即△DEF各个内角的度数都是60°.
知1－练
2 如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是( C ) A．180° B．220° C．240° D．300°
知1－练
3 如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，
△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；
②EF＝FD；③BE＝BD.其中正确结论的个数
知1－导
想一想：小明认为还有第三种方法“两条边相等且有

七年级上册数学长江作业本答案

七年级上册数学长江作业本答案标题：七年级上册数学长江作业本答案第一章：整数的概念与运算1. 整数的概念与表示方法1.1 整数的概念1.2 整数的表示方法2. 整数的大小与大小比较3. 整数的加法与减法运算4. 整数的乘法与除法运算5. 整数在实际生活中的应用5.1 温度计的读数5.2 海拔的表示第二章：比例与图形的相似1. 比例的概念与性质2. 比例的计算与应用3. 相似图形的概念与性质4. 相似图形的判定与应用4.1 相似三角形的判定4.2 相似图形的应用第三章：平行线与角1. 平行线与平行四边形的性质2. 平行线的判定与性质3. 一次性题型综合训练第四章：勾股定理1. 直角三角形及其性质2. 勾股定理的概念与证明3. 勾股定理的应用3.1 已知两边求第三边3.2 判断三角形是否直角三角形第五章：等式与方程式1. 等式的概念与性质2. 方程式的概念与解的意义3. 方程式的解法与应用4. 一次方程式的概念与解法5. 一次方程式的应用5.1 解决实际问题5.2 解决简单代数问题第六章：数据的收集与整理1. 数据的收集和表达1.1 数据的种类和来源1.2 图表的制作2. 数据的整理与归纳2.1 表格的制作与数据整理2.2 折线图与柱状图的制作3. 数据的分析与应用3.1 数据的表示与分析3.2 实际问题的解决第七章：函数的概念与应用1. 函数的概念和性质2. 函数的表示与图像3. 函数的运算与性质4. 实际问题中的函数应用4.1 函数在实际问题中的运用 4.2 函数与图像的关系第八章：三角形的性质1. 三角形的分类与判定2. 三角形内角和的性质3. 等腰三角形与等边三角形 3.1 等腰三角形的性质3.2 等边三角形的性质4. 一次性题型综合训练第九章：多边形的性质1. 多边形的分类和命名规则2. 正多边形的性质与判定3. 一些特殊的多边形3.1 线段比与面积比3.2 正方形和长方形的性质第十章：圆的性质与应用1. 圆的概念与性质2. 圆的计算与等分3. 圆的应用题3.1 圆的相关性质3.2 圆形跑道的应用注：以上为七年级上册数学长江作业本的标题，总共涵盖了十个章节。

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等边三角形是特殊的等腰三角形。

ADC=90°．又AE=AD，所以 ADE．：AED=75°．所以 EDC=90°-75°=15°．点评：由计算可知。

无论是等边三角形还是等腰三角形，只要满足AD=AE,都有结论 EDC= BAD.二、证明线段相等例2 如图2，已知 ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且 DEF也是等边三角形，除了已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等的线段，并证明你的猜想。

解析：本题是一道开放型探索题，要充分利用等边三角形的相关知识来解答．图中相等的线段有AE=BF=CD，AF=BD= CE．·．·ABC 与 DEF都是等边三角形，．A= B= C= 60°． EDF=DEF= EFD= 60°,DE= EF= FD．叉∵ CED + AEF= 120°． CDE+ CED= 120度．∴ AEF= CDE．同理．得 CDE= BFD．∴ AEF≌ BFD ≌△CDE(AAS)．所以AE=BF=CD，AF=BD=CE．点评：解答时，应根据条件探索相应的结论符合条件的结论往往有多个，需充分利用条件进行合理猜想，发现规律，得出结论。

三、判断三角形的形状例3 如图3，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA 、PB、PC，以 BP为边作 PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系。

并证明你的结论．(2)若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ ，试判断△PQC的形状，并说明理由．解析：(1)通过观察发现，由于AP所在的△ABP与CQ所在的△CBQ的形状相同、大小接近。

那么△ABP与△CBQ有可能全等．所以可以猜想AP=CQ．下面证明这一猜想是否成立．因为△ABC是等边三角形，所以AB=CB。

ABC=60°．所以 ABP=60°- PBC。

由 PBQ=60°，所以 CBQ=60°- PBC．所以 ABP= CBQ．又BP=BQ，所以△ABP≌△CBQ(SAS)，即AP=CQ．(2)△PQC是直角三角形，理由如下：因为PA：PB：PC=3：4：5，所以可设PA=3a，PB=4a，PC=5a．因为BQ=BP． PBQ=60°,所以△PBQ是等边三角形．这时PQ=PB=4a．在△PCQ中，因为PQ =4a，CQ=PA=3a，PC= 5a，所以PQ 2+PC2=PC2，所以△PQC是直角三角形．四、处理与动点有关的问题例4 如图4，把等边△ABC和等边△ BCD 拼合在一起，E 在AB上移动，F在BD上移动。

且满足 AE=BF, 试说明不论E、F怎样移动，△ECF总是等边三角形．解析：因为△ABC和△BCD都是等边三角形。

所以△ABC与△BCD关于BC所在的直线对称；又BA=BD，E在AB上移动，F在BD上移动，且满足AE=BF，所以BE=DF，而CB=CD．D= CBE=60°，所以△ECB≌△FCD，所以CE= CF， DCF= BCE，而 DCF+ BCF= 60°．即 DCE+ BCF=60°则 ECF=60°，所以△ECF为等边三角形．．点评：这里不能误认为△BCE与△BCF是关于BC对称的两个三角形．五、计算三角形的周长例5 如图5，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角 BDC为120°的等腰三角形，以D为顶点做一个60°角，角的两边分别交AB与M ，交AC于N，连接MN。

形成一个三角形．求证：△AMN的周长等于2．解析：要证明△AMN的周长等于2，由于△ABC的边长为1．实际上所求证的问题是MN=BM+CN．为此，延长AC至E，使CE=BM，只须证明MN=EN 即可．于是可证△MDN≌△EDN，从题目条件中很容易发现DN为公共边，DBC= DCB=30°，再结合等边三角形的每个内角都是60°．便可得到 ABD= ACD=90°，而DB=DC，CE =BM．所以△DMB ≌△DEC．所以DM =DE． BDM= CDE，由于MDN=60°．所以BDM+ CDN=60°，于是CDE+ CDN=60°，即EDN=60°．所以 MDN= EDN，DM=DE。

所以△MDN≌△AEDN．所以MN = EN,从而证得结论．纵向应用1.如图14-48，已知等边ΔABC的ABC、ACB的平分线交于O点，若BC上的点E、F分别在OB、OC垂直平分线上，试说明EF与AB的关系，并加以证明。

2. 如图14-49，C是线段AB上的一点，ΔACD和ΔBCE是两个等边三角形，点D、E在AB同旁，AE交CD于点G，BD交CE于点H，求证：GH∥AB。

3. 如图14-50，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D使得ΔCDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：ΔCMN是等边三角形。

4. 如图14-51，C是线段AB上一点，分别以BC、AC为边作等边ΔACD和ΔCBE，M为AE的中点，N为DB的中点，求证：ΔCMN为等边三角形。

【5. 如图14-52，在四边形ABCD中，∠A+∠B=1200，AD=BC，以CD为边向形外作等边ΔCDE，连结AE，求证：ΔABE为等边三角形。

6如图14-53，已知ΔABC是等边三角形D为AC上一点∠1=∠2，BD=CE，求证：ΔADE是等边三角形。

7. 如图14-54，设在四边形ABCD中，∠A+∠B=1200，AD=BC，M、N、P分别是AC、BD、CD的中点。

求证：ΔMNP是等边三角形。

8. 如图14-55，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD,AD=BC,对角线AC、BD交于点O，∠AOB=600，且E、F分别是OD、OA的中点，M是BC的中点，求证：ΔEFM是等边三角形。

9. 如图14-56，在 ABCD中，ΔABE和ΔBCF都是等边三角形，求证：ΔDEF是等边三角形。

10.如图14-57，已知D为等边ΔABC内一点，DA=DC，P点在ΔABC外，且CP=CA，CD平分∠PCB，求∠P。

横向拓展1. 如图14-58，已知P是等边三角形ABC内一点，APB:CPA=5:6:7,求以PA、PB、PC为边长的三角形的三内角之比。

2. 如图14-59，点O为等边ΔABC内一点，∠AOB=1100，∠BOC=1350，试问：（1）以OA、OB、OC为边，能否构成三角形？若能，请求出该三角形各内角的度数；若不能，请说明理由；（2）如果∠AOB大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形？3.如图14-60，已知ΔABC是边长为1的等边三角形，ΔBDC是顶角∠BDC为1200的等腰三角形，以点D为顶点作一个600角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，形成一个三角形。

求证：AMN的周长等于2。

4.如图14-61，在ΔABC中，∠A=600，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE、CF交于点M。

（1）如果AB=AC，求证：ΔDEF是等边三角形；（2）如果AB≠AC，试猜想ΔDEF是不是等边三角形？如果ΔDEF是等边三角形，请加以证明；如果ΔDEF不是等边三角形，请说明理由；（3）如果CM=4cm，FM=5cm，求BE的长度。

5.如图14-62，已知AO=10，P是射线ON上一动点（即P点可在射线ON上运动），∠AON=600。

（1）OP为多少时，ΔAOP为等边三角形？（2）OP为多少时，ΔAOP为直角三角形？（3）OP为多少时，ΔAOP为锐角三角形？（4）OP满足什么条件时，ΔAOP为钝角三角形？参考答案等边三角形双基训练1.7个2.2 93.提示：证ΔABD≌ΔBCE，证∠BPG=600纵向应用2.提示：证ΔGCH为等边三角形3.提示：ΔECB≌ΔDCA，ΔECN≌ΔDCM4.1.EF=13略 5.提示：证ΔADE≌ΔBCE 6.提示：证ΔABD≌ΔACE 7.略 8.略 9.提示：证ΔADE≌ΔEBF 10.300。

提示：连结BD，易证ΔABD≌ΔCBD，再证ΔCDP≌ΔADB横向拓展1.2:3:4. 提示：将ΔAPC绕顶点C逆时针方向转600，点P转到点P′的位置，连结PP′2.(1)能，500，550，750（2）1500或10003.提示：延长AC至点E，使CE=BM，连结DE。

证ΔMDB≌ΔEDC，ΔMDN≌ΔEDN4.(1)略 (2)提示：证∠EDF=600（3）12cm5.(1)10 (2)5或20 (3)5<OP<20 (4)0<OP<5或OP>206.(1)s=n2 (2)19. 提示：延长FA、CB交于点P，延长AF、DE交于点Q，延长ED、BC交于点R，可证ΔPAB、ΔQEF、ΔRCD 、ΔPQR 为等边三角形 (3)能，s=102-22-32-62=51(个)7．如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE•都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，①求证：△BCE ≌△ACD ；②求证：CF=CH ；③判断△CFH•的形状并说明理由．ED C AB H F。