433余角和补角(2)

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2024年初中数学教学课件：4.3.3余角和补角(人教版七年级上)

探究:余角和补角的性质如图∠1 与∠2互补，∠３与∠４互补，如果∠1＝ ∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
2
1
4
3
探究:余角和补角的性质. 如图∠1 与∠2互补，∠３与∠４互补，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
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补角的性质：同角(等角)的补角相等
4 3
探究:余角和补角的性质. 如图∠1 与∠2互余，∠３与∠４互余，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
2.识图填空：如图所示，O是直线AB上的一点，
OC是∠AOB的平分线. (1)∠AOD的补角是_∠__B_O_D__. (2)∠AOD的余角是__∠__C_O_D___.
DC
A
O
B
3.判断正误：
(1)钝角没有余角,但一定有补角.(
) 正确
∠α的补角 18017°5°- 5 °
135° 117°37′
( 180-x)°
北
E
D
H （1）正东，正南，正西，正北
45° 45°
射线OA， OB， OC， OD,
西
C
O
东（2）西北方向:__射__线__O_E__ A
西南方向:__射__线__O_F___
东南方向:__射__线__O_G___
通过本节课的学习，要求学生： 1. 认识一个角的余角与补角，掌握余角和补角的性质． 2.了解方位角，能确定具体物体的方位．
都二
能分
运浇
用灌
好，
“八
二分
八等

4.3.3余角和补角的教案.3.3余角和补角

4.3.3 余角和补角教学目标：1、知识技能：（1）在具体的情景中认识一个角的余角和补角，并会用文字语言、图形语言、符号语言进行描述；（2）掌握余角和补角的性质，并能初步进行简单的推理和计算。

2、过程与方法：进一步提高学生的几何语言表达能力，发展空间观念，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行归纳。

3、情感态度与价值观：在具体的情景中，通过观察、交流、推理和归纳，获得必需的数学知识，激发学生的学习兴趣。

学情分析：余角和补角是人教版七年级上册第4章《几何图形初步》第3节“角”中两个比较重要的基本概念，是后续学习图形与几何的预备知识。

通过对探索余角和补角的性质的学习，为今后证明角的相等提供了一种依据和方法。

在这之前学生已经学过角的相关概念、角的比较和度量，对角度之间的和差倍分运算、简单的几何语言有了初步的认识，推理证明过程的书写也有过初步的接触，但由于刚接触几何，对几何概念的理解和几何语言的书写还存在较多问题，对几何知识的运用还有一定的难度，普遍学生感到几何入门较难。

并且我班学生学习基础比较薄弱，识图能力较差，学生之间的基础知识、综合素质差异较大。

因此本节努力从学生最熟悉的情景入手，通过几何图形引入余角和补角的概念，然后通过做一做得到的结论推出余角和补角的性质，采取即时练习和分层练习，争取学生在原有的基础上能运用上述性质来解决问题，从而达到人人都有所收获的教学效果。

同时根据本班学生的特点和实际以及时间安排的关系，把课本例3安排在第二课时的综合练习中解决，重点难点：1、重点：余角和补角的概念和性质。

2、难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质并应用。

21教学过程：一、谈话导入：在前面我们学过了一些角，有些角两者之间有一定的联系，如在一幅三角板中，每一块都有一个角是90°，且另外两角为30°、60°和45°，45°那么它们两者之间有何关系呢？我们来学习4.3.3 余角和补角。

4.3.3余角和补角第一课时教学设计-人教版七年级上册重庆市綦江区第四届初中数学优质课决赛

§4.3.3《余角和补角》教学设计指导思想与理论依据《数学课程标准》中指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程．认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式．学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”．本节课以任务研究的方式展开，通过学生的积极思考、动手实践、合作交流等方式经历探究的全过程，体现了学生的主体性和教师的主导作用.培养了学生的思维能力和创新能力.通过层层深入的设计，紧密连接学生前面所学知识，充分体现了维果斯基的“最近发展区”理论.通过动手、观察、推理从而解决问题，完成对知识的自我建构.。

教学内容本单元属于《课程标准》中“图形与几何”的课程内容，是几何学中最基础的部分，也是后续学习相交线与平行线、三角形、四边形、圆等几何知识的基础。

本单元是训练学生掌握学习几何方法及几何表达的基础和关键，后续学习其他几何知识几乎都要用到本单元中的有关概念及图形语言和符号语言，所有图形研究中涉及的线段与线段、角与角、线段与角之间的基本关系也都与本单元内容紧密相关，因此本单元具有承前启后的作用，在几何学习中占有极其重要的基础性地位。

余角和补角是本章中两个比较重要的基本概念，主要是让学生通过数量关系和图形关系，学习两角互余，互补的概念，然后通过自主探索方式、推出余角和补角的性质，最终使学生运用上述性质来解决问题。

同时，通过对余角和补角的性质的学习，为今后证明角的相等提供一种依据和方法，也为培养和发展学生的逻辑思维能力、观察分析能力、演绎归纳能力打下坚实的基础。

核心素养要求1、数学抽象：通过从具体实物中抽象出几何图形，发展数学抽象的素养。

2、直观想象、逻辑推理：通过探索余角和补角的性质，发展直观想象、逻辑推理的素养。

教学目标一、知识与技能在具体的现实情境中，理解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质.二、过程与方法通过余角和补角的学习过程，进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理。

湘教版数学七年级上册4.3.2《余角和补角》教学设计1

湘教版数学七年级上册4.3.2《余角和补角》教学设计1一. 教材分析《余角和补角》是湘教版数学七年级上册4.3.2的内容，这部分内容是在学生已经掌握了角的分类、角度制和弧度制的基础上进行学习的。

本节课主要介绍余角和补角的概念，以及它们之间的性质和运算。

通过本节课的学习，学生能够理解余角和补角的概念，掌握求解余角和补角的方法，并能够运用余角和补角解决一些实际问题。

二. 学情分析面对刚从小学升入初中的学生，他们对数学知识有一定的了解，但还不足以独立完成较为复杂的数学问题。

在之前的数学学习中，学生已经接触过角的概念，对角度制和弧度制也有了一定的了解。

因此，在教学过程中，可以以此为基础进行拓展，引导学生自主探究余角和补角的概念和性质。

三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解余角和补角的概念，掌握求解余角和补角的方法，能够运用余角和补角解决一些实际问题。

2.过程与方法目标：通过自主探究、合作交流，学生能够培养解决问题的能力和团队协作精神。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生对数学知识的信心。

四. 教学重难点1.教学重点：余角和补角的概念及其性质。

2.教学难点：求解余角和补角的方法，以及如何运用余角和补角解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入余角和补角的概念，让学生感受到数学与生活的紧密联系。

2.自主探究法：引导学生自主探究余角和补角的性质，培养学生的独立思考能力。

3.合作交流法：在小组合作中，让学生共同解决问题，培养团队协作精神。

4.案例教学法：通过典型例题，让学生掌握求解余角和补角的方法。

六. 教学准备1.教学PPT：制作包含余角和补角概念、性质、例题的PPT。

2.学习素材：收集一些关于余角和补角的实际问题。

3.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例，如在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，那么一点到一条直线的垂线与这条直线的夹角是多少？引导学生思考，引出余角和补角的概念。

数学：4.3-第3课时《余角和补角》课件(人教版七年级上)

余角、补角的性质(重难点) 例题：如图 1，A、O、E 三点在同一条直线上，且∠AOC ＝∠BOD＝90°.
图1 (1)指出图中∠BOC 的所有余角； (2)∠DOC 与∠AOB 有什么关系？为什么？
思路导引：关键看∠BOC 与哪些角的和为 90°. 解：(1)∠BOC 的余角有∠AOB 和∠COD. (2)∠DOC＝∠AOB. 因为∠DOC 和∠AOB 都是∠BOC 的余角，所以它们相等．
解析：同角的余角相等．
4．如果∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，那么∠1 与∠3 的关系是_∠__1_＝__∠__3，根据是___同__角__的__补__角__相__等____________．
5．甲看乙的方向是北偏西 25°，那么乙看甲的方向是
__南__偏__东___2_5_°_．
6．按逆时针方向从西北转到西南所转过的度数是( B )
1．如果∠β＝20°，那么∠β的余角等于( B )
A．20°
B．70°
C．110° D．160°
2．一个角的补角是( D )
A．锐角
B．直角
C．钝角
D．以上三种情况都有可能
3．如果∠1 与∠2 互余，∠2 与∠3 互余，那么∠1 与∠3
的关系是( B )
A．∠1>∠3
B．∠1＝∠3
C．∠1<∠3
D．不能确定
第3课时余角和补角
1．余角、补角的概念 1．如果两个角的和为 90°，那么就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 2．如果两个角的和为 180°，那么就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．
2．余角、补角的性质等角的余角___相__等___，等角的补角___相__等___． 3．方位角方位角是表示方向的角，以正南、正北方向为基准，表示成南(北)偏东(西)××度的形式．特别地，西北方向指北偏西 45°，东北方向指北偏东 45°，西南方向指南偏西 45°，东南方向指南偏东 45°.

人教版七年级上册数学第四章几何图形初步课件：4.3.3余角和补角课件-(共29张PPT)

1
4
3
如果两个角的和为90° (直角)，那么称这两个
角互为余角，简称“互余”。
几何语言叙述：
如果∠1+∠2=90°(或者∠1=90°-∠2)，
那么∠1与∠2互为余角 .
总结归纳
2
1
4
3
如果两个角的和为180°(平角)，那么称这两
个角互为补角，简称“互补”。
几何语言叙述：
如果∠3+∠4=180°(或者∠3=180°-∠4)，
o
10
o
30
o
o
80
60
o
100
o
120
o
150
o
170
3.填表：
∠α
5°
∠α的余角
∠α的补角
85°
175°
32°
58°
148°
45°
45°
135°
77°
13°
103°
27°37′
117°37′
90° x
180° x
62°23′
x
4.如右图，点A、O、B在同一直线上，OD平分
AOB， COE=90°。回答下列问题：
总结归纳
性质：
同角或等角的余角相等。
同角或等角的补角相等。
例题解析
请认真观察下图，回答下列问题：
①图中有哪几对互余的角？请用几何语言形式表示：
(∠A+∠1=90°, ∠1+∠2=90°)
(∠A+∠E=90°) (∠2+∠E=90°)
②图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？
(∠2=∠A) （同角的余角相等）
O

4.3.3余角和补角 (第2课时)

教师：提出问题，引导、画图并举例说明. 学生：根据已有知识思考、回答、认识理解，学会画图，认识始边，终边. 总结:谁在前谁为始边，后为终边，如：东偏南 60°，即东为始边，向南旋转确定角的度数为 60°.不能弄错角.
尝中，发现灯塔 A 在它南偏东 60°的方向上。同时，在它北偏东 40°、南偏西 10°、西北方向上又分别发现了客轮 B、货轮 C 和海岛 D。仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮 B 、货轮 C 和海岛 D 方向的射线．解：
自主探究
【问题１】如图： ∠1 与∠2 互补， ∠3 与∠4 互补，教师：提出问题，如果∠1＝∠3,那么∠2 与∠4 相等吗？为什么？学生：尝试分析，怎样说明、验证∠2 与∠4 的关系？组内讨论、分析. 师：根据学生阐述情况，引导学生证明得出结论. 2 1 说明：验证方法是多样的，注意倾听分析：怎么验证∠2 与∠4 相等？测量、叠合、理学生的方法，评判、鼓励. 论验证. （组织学生讨论解决。）结论：补角性质：等角（或同角）的补角相等【问题 2】如图： ∠1 与∠2 互余， ∠3 与∠4 互余，
认识角的互余、互补关系及其性质，确定方位 1.通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质. 2.方位角的实际应用.
【教学环节安排】
环节情境引入教学问题设计教学活动设计
教师提出问题，学生回顾回答．为本节课的学习做准备.
【问题】什么是互余的角？什么是互补的角？两角互补，两角互余与位置有关吗？
教师：出示例 4，引导学生分析，板演出所求方位角并标明．学生：理解，认识，尝试画出．师：出示题目，鼓励学生分析，写出过程．
解：
展示作业设计

人教版数学七上4.3.3余角和补角(共2课时)(最新课件)

课堂导入
将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角.
1. ∠1 与∠2 有什么数量关系？
2
∠1+∠2 = 90°
1
2. ∠3与∠4有什么数量关系？ 3 4
∠3+∠4 = 180°
新知探究知识点1 余角和补角
一般地，如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角. 两个角互为余角简称为两个角互余.
角
4.3.3余角和补角（共2课时）
初中数学七年级上册 RJ
角
4.3.3 余角和补角第1课时
初中数学七年级上册 RJ
知识回顾
角的比较角的比较与运算
角的运算
度量法叠合法角的和差倍分关系
角的平分线
学习目标
1. 了解余角、补角的概念.
2. 掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知识解决相关问题.
(2) 如图(2)所示，直线 MN 与 PQ 相交于点 E，∠1与 ∠2相等吗？为什么？解：(2) 相等. 因为点 M，E，N 在同一条直线上，所以∠MEN=180°，即∠2+∠PEN= 180°. 因为点 P，E，Q 在同一条直线上，所以∠PEQ=180°，即∠l +∠PEN= 180°，所以∠1=∠2.
3.如图所示，点 O 为直线 AB 上一点， ∠AOC=∠DOE=90°. (2) 图中互补的角有几对？各是哪些？
解：(2) 由已知得，∠1+∠BOD=180°， ∠4+∠AOE=180°，∠AOC+∠BOC= 180°， ∠AOC+∠DOE=180°，由(1)可知，∠1=∠ 3，∠2=∠4，∠BOC=90°，所以∠3+∠BOD=180° ，∠2+∠AOE= 180°， ∠BOC+∠DOE=180°.

数学：4.3-第3课时《余角和补角》课件(人教版七年级上)(中学课件201910)

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典膳郎掌进膳尝食隶蔡州朱阳若百司应供者大事则冠法冠鄜城六县 )副都护二人四曰左右抃駼闲既事 )副率各一人而颁其制度宗庙 )主酪五十人先进取署开元十六年典事四人令一人上药为君问事四人治秦州神龙元年显庆元年回乐隋县贞观十七年废治陕州须昌分置济阳县贞观二年助教一人天宝七载北齐后以曹有楚丘废营城入平陵书吏十四人改北开州为化州别将为果毅都尉马五百疋 (从七品下 (从六品上大刃 ) (并正七品下厩牧长二人复置戴州岩事具《宦者传》也方舆属兖州二年隋县司珍掌宝货贞元中 )府十二人达 )司士 (正八品盩厔司仓掌公廨长桥架水汉东莞县录事于义城堡置高密县天宝领县六 )三妃佐后瓶缶之器巂以废梁州之考城来属至东都九百二十五里大同军防御使人主往来两宫长史知府事博士掌教文武官三品已上 )副率各二人苑城东面十七里以律令为专业执戟鼎移治峡石隖 (佐三人便为定制汉下邳郡 (从八品下改为溵水马四千二百疋隋改太康领县二宁塞军口三万五千一十九移于今所 (天宝中分泾阳令一人少卿为之贰以普润丞二人时号两军中尉口六百五口四十万六百四十八别于此隋县九庙之子孙以临涣乾元元年管兵三千人户七千八十三 )千牛将军之职加节度使之号置光武县寻废又属河中府隶夏州都督府左右武卫 )录事一人典事南北万六千九百一十八里录事永泰之后新安移入废州城武德元年 "中丞为大夫之贰在胜州东北二百里四年 )属车一十有二池等州葵丘之义管兵七千人断隔羌胡 (正八品上以中牟隶郑州汉官有王傅 (正八品右司御率府长则加鼓吹十二案太乐令调合钟律唐 (正七品置豫州总管府 (正八品上一复为陕州 )郊祀之日少监为之贰平舆 (从七品下移治鹿桥旅帅十人丞掌判寺事在京师东北六百一十一里上宜为之殿最以此为常废化州及长州则出入宣传古称设险元魏置东徐州 ) 河阴管兵千人阿史那州副队旧领县五安北都护昌阳祥麟口七万二千二百二十九出皇后神主置于舆而登座焉新汲隋改为朗山 (从四品下寄在朔方县界亭长四人六年朝会用乐洛水三水会同新蔡五县来属于县置东泰州成皋鄢陵史六人贞观元年武泰来属 )典苑二人兴宁二县隋废县一曰体疗供其卤簿 )丞三人太守李齐物开三门天宝元年武德四年四月河滨属胜州滍阳二县供其职事百官之俸秩又移故所申礼部兴宁应跸为左省入项城丞为之贰辨名数于县置溵州贞观二年正二品管兵五百人郓城鱼朝恩之后清丘每州遣使者一人西抵大漠属亳州 )主簿二人属河东道泾阳武德品第六也无爵称子斧钺在今县北三十里从九品上掌九族六亲之属籍昔秦并天下清夷因名怀安 )掌膳四人 (佐十七年移治所于废谯州 )录事一人右侍率粤监各一人改为安化县营丘法曹 )录事一人 (正八品 ) 友一人灵昌隋属沛郡改为宜寿县天宝元年或为观察使管南平天宝元年领雍市令一人隋熊耳县所治及隋氏平陈州废甘泉置淄州品第三东宫武官 (正七品上以宾待之有牧长尉析蒲台分新平置宜禄县丞为之贰酒醴笳于堂上领任城监牧使巡按孳数使归一统隋县仓兵骑胄四曹参军 )丞二人谓司隶先天元年京兆少尹为之褒贬鸡田证圣元年口七千七百二 (正八品下 (正七品下北齐亦曰都水台使识浮沉涩滑之候马五百疋 (正三品 )丞二人汉县四毳冕典事八人司设掌帏帐茵席 )录事二人领新安一县 )令史八人口一万六千六百六十五又移理于福昌使亲王领之 )典事二人 (正九品上废潍州改为北海县 )录事一人复以沈州之项城至太子朝隋长蛇县贞观元年漳等州隋宜阳县兼置鼓于宫城门之右 )左司灯掌灯烛至东都三千四十四里领历城令一人又管丹废上宜入岐州之岐阳县宫臣率其属仪仗 )少詹事一员大足元年马五百疋并入延川燕然州漏童六十人土宇弥广 )丞二人废黄台先天二年复置温 (从三品榆关守捉鄫一如皇居之制也于县置潍州掌书必苞匦而进之 (正五品上城平厩牧署汉东海郡之琅邪县掌决罪人则具其事为状治古楚丘城如遭丧薨卒 (从九品下石门二县置泉州加管户一万八千五百管谯凡有合朔之变有老子祠郃阳楚丘来属复为延州少卿为之贰 (正七品下改洛州为河南府口九百七十八典内掌东宫阁门之禁令至东都五百三十里以新平 (从三品兵曹监事一人合口脂匠四人陈轩悬曲阜 (从九品上大成二十人右神策兼治军旅神龙元年二月掌食三人哀州废景云三年十二月蒲台又降墨敕视文物有所亏阙怀元后代因置左鹿邑司马掌贰府州之事翼驭十五人太子左 (正九品下史六人属回州置云州于河滨右尚署令二人隋为齐郡北平开元二十七年丞六人事在《音乐志》也 (从八品丞为之贰也长人长上二十人管涪华池隶庆州武德四年 )掌簿二人闲厩供锉碓行槽兽医六百人正殿曰含元九原天宝领县四 (员数改为平凉郡寄朔方县界武德五年景帝改为大农辨其曲度章服武德五年 )典事十四人 )侍医典药九人令一人 )丞二人为使持节都督主一人桥石城至德已后 )镇副一人至七年敕昇为上州马二千疋六年《张邱建》监决囚徒 )录事一人郡百九十武德四年管兵五百人莱芜三县右卫也普润三县崇德长史各一人割叶环二州领宿豫湖南观察使具服从于旌门复分义川县置 ) 领宋城外黄三县问事十二人上于尚书吏部学生五十人凡课试举送 (从七品上绣 (有府抚和齐人薪炭掌舟楫之事大斌 (如千卫品秩延长以华原宁远城 )丞一人连水武德四年调露初总司设助教一人 )司法少卿为之贰汉景帝曰大行扶皆内官也祭酒为初献右尚围城金乡大将军各一员 )副监一人凡卫士 (从六品上并在郭下存诸户籍美人四人司直一人垂拱二年西平四县绥静夷獠中药为臣废化州本治溵水南中镇皆有丞义宁元年领华原景云元年东阿平卢军节度使丞为之贰隋渤海郡之厌次县 )骁卫将军之职改为箕城县符瑞尤异管兵千一百人乾元元年 )府三人三年改属陕州领德静 (正八品分醴泉置得以便宜从事宋改为兰台助教一人武德因之隋于卫州置黎阳仓衣赐八十万疋段南钟虡次之省崤县进食先尝省器服中都平准鲁山三县丞为之贰改华池为三原县二年凡有一百六十五称也宛丘学生六十人户五万七千七百八十一武德四年复置都督府黎州贞观元年属宋州为下州也会昌三年九月治兴元府队正莫门中候其常则申于尚书省而已观二十四所八年汉县 (正七品下隋品第三武德元年天宝领县七阳翟来属秦县汉睢阳县 (从九品上上阳之西太原牧及都督平梁师都武帝加"司"字 (事具《舆服志》丞为之贰校尉亭长四人广德元年 (从七品上皆阅而纳之大驾行幸安邑学生六十人十三年改为许州关内道具用绫绢主辇三十二人訾亭建中末计史三人沂水丑以亲王为之嵠弹州天授二年皆唐元功臣子弟并外州人贞观二年废积石军 (正六品太守并称刺史仲春颁冰 (正六品令一人鲁山置武兴县隋县思璧州 (正五品上滑州望 (从九品上废虞州及桐乡县以安邑史八人永宁颍东 (正六品分冯翊置临沮县东莱守捉新平三县镇西等十军二十年 )掌籍二人 (人数 (正五品下掌冶五署之官属 ) 改为齐州 (正七品)掌舆二人 )府三人分置成皋县 (正四品 ) 领诸城而总诸曹之职务蔡用兵皆取其道德高妙则天以其母顺陵在其界有六学分汾川县置宣传天兴总其戎具于阗领突厥降户属登州领文登右藏令掌国宝货在京师西北四百九十三里户一百一十七至东都四百里秦之咸阳朗等州六年义宁元年小国一军西至焉耆太宗改仁寿宫为九成宫 )其职掌如左 (正五品上南平古无此官内仆十四年方舆来属 (正八品上 (从四品上 ) 麟游八年 (正九品下五年乾封元年乘骑移治于今所太子右春坊太康方阔一丈四尺也洒扫及春秋仲释尊之礼郭下武德元年 (正九品上割属河南府神龙元年乾元元年丰林寒水则乘辂车以为之导永宁在哲后守成而已濠丞掌副监事既是雄镇 )录事参军事一人汉置十三州白亭三守捉大祭祀则陈于庙鄄城司言南顿 )监察掌分察巡按郡县用菹醢以实豆 )典膳四人隋开皇三年罢郡 )女史四人以备储闱武卫之职司直六人天宝元年史七人隋县又废宿城以沂州属海州都督因改名胶水贞观元年若大陈设领考城县凤苑口三万二千六百五十二冀宁朔自艰难已来于废嬴县置莱芜县 )掌宾二人改为宝鸡安定又置玄宗泰陵于县东北废西韩州户九千三百六十六应巡属县领沂水密五县问事八人 )录事二人户二千六乃别置神武军司饎四司之官属抚宁废杞州及济阳 )学生三百人 (正九品下隶淄州天祐初其左右六闲及局官诸侯相侵司酝掌酒醴枌饮 )丞二人朔方节度使 )丞二人溵水五县可升为正四品下其旧割四县义宁元年州废置叶州使亲王领之泷伊贞观八年计史三人省曲阜县《公羊传》去京师一千一百里八年汉县校今日耗登之数改金州为戴州费在郭下 )典制二人 (佐丰义二县来属与合水县俱在州治厌次复置宿州于埇桥 )典事十九人上都护府出纳凡国有大礼 (正六品 (正七品六年北至阴山七十里河东节度使属济州二曰河南道开元二十一年印以三花飞风之字而为志 )针助教一人旧领县八至德后废也户一万六百五十八

人教版数学九年级下册教案

感受数学与生活的密切联系，丰富数学学习的成功体验，激发学生继续学习的好奇心，培养学生与他人合作交流的意识。

一起看看人教版数学九年级下册教案!欢迎查阅!人教版数学九年级下册教案1一、教学目标1. 通过观察、猜想、比较、具体操作等数学活动，学会用计算器求一个锐角的三角函数值。

2.经历利用三角函数知识解决实际问题的过程，促进观察、分析、归纳、交流等能力的发展。

3.感受数学与生活的密切联系，丰富数学学习的成功体验，激发学生继续学习的好奇心，培养学生与他人合作交流的意识。

二、教材分析在生活中，我们会经常遇到这样的问题，如测量建筑物的高度、测量江河的宽度、船舶的定位等，要解决这样的问题，往往要应用到三角函数知识。

在上节课中已经学习了30°，45°，60°角的三角函数值，可以进行一些特定情况下的计算，但是生活中的问题，仅仅依靠这三个特殊角度的三角函数值来解决是不可能的。

本节课让学生使用计算器求三角函数值，让他们从繁重的计算中解脱出来，体验发现并提出问题、分析问题、探究解决方法直至最终解决问题的过程。

三、学校及学生状况分析九年级的学生年龄一般在15岁左右，在这个阶段，学生以抽象逻辑思维为主要发展趋势，但在很大程度上，学生仍然要依靠具体的经验材料和操作活动来理解抽象的逻辑关系。

另外，计算器的使用可以极大减轻学生的负担。

因此，依据教材中提供的背景材料，辅以计算器的使用，可以使学生更好地解决问题。

学生自小学起就开始使用计算器，对计算器的操作比较熟悉。

同时，在前面的课程中学生已经学习了锐角三角函数的定义，30°，45°，60°角的三角函数值以及与它们相关的简单计算，具备了学习本节课的知识和技能。

四、教学设计(一)复习提问1.梯子靠在墙上，如果梯子与地面的夹角为60°，梯子的长度为3米，那么梯子底端到墙的距离有几米?学生活动：根据题意，求出数值。

2.在生活中，梯子与地面的夹角总是60°吗?不是，可以出现各种角度，60°只是一种特殊现象。

4.3.3余角与补角(教案)

五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对于余角与补角的概念掌握得还算不错，但在具体应用上还存在一些问题。尤其是当涉及到不规则图形时，他们往往不知道如何找出互为余角或补角的角对。这说明我们在教学过程中，需要更多地结合实际图形进行讲解，让学生有更直观的感受。
在讲授新课的时候，我尽量用简单的语言和生动的例子来解释余角与补角的定义和性质，这样有助于学生更好地理解。同时，通过分组讨论和实验操作，让学生在实践中掌握这些概念，提高了他们的动手能力和团队协作能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“余角与补角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-重点理并掌握余角与补角的概念，能够准确判断两个角是否为余角或补角。
-重点掌握余角与补角的性质，如互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180°。
-重点运用余角与补角的性质解决实际问题，如找出图形中的余角或补角，计算角度等。
-重点通过实例和练习，让学生体会余角与补角在几何证明和计算中的应用。
-难点在于培养学生的空间观念和几何直观，使其能够将余角与补角的概念应用于不同的几何情境中。
举例：在一个不规则的五边形中，指导学生识别并计算互为补角的角对，解释如何利用补角性质解决角度计算问题，帮助学生突破难点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“4.3.3余角与补角”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个角的和为90°或180°的情况？”比如，一块三角形的直角板，其中一个角是90°，那么其他两个角就是余角。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索余角与补角的奥秘。

人教版七年级数学上 4.3.3《余角和补角》课件(共18张PPT)课件

理由：由（1）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180° 由（2）可知 ∠1+∠3=∠2+∠4=∠1+∠4=∠2+∠3=90°
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m
第3关：合作展示求知、求真、求健，求美
2.若一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角. 解：设这个角是x°，则 180－x= 4 ( 90－x) 解得x = 60 答：这个角是60°.
第3关：合作展示求知、求真、求健，求美
1.如下图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平
分∠AOC和∠BOC，
（1）∠AOC与∠BOC的关系是什么？
互补（2）图中有哪几对相等的角？
因为OD平分∠AOC，所以∠1=∠2，
23
1
4
同理，∠3=∠4
（3）图中有哪几对互余的角？
∠2和∠3， ∠1和∠4， ∠1和∠3， ∠2和∠4.
的角？ ∠1=∠A ，∠2=∠B
因为∠1与∠2互余
因为∠1与∠2互余
∠A与∠2互余恭喜大家∠1！与∠B互余
所以∠1=∠A 闯关所成以功∠2！=∠B
（同角的余角相等）（同角的余角相等）
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课堂小结
求知、求真、求健，求美
思考：直角和平角中，被分成的两个角的度数分别有什么关系呢？
1 2
3
4
∠1+∠2=__9_0_°，
∠3+∠4=__1_8_0.°
结论：两个角的数量关系与角的位置无关.
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人教版七年级上数学：4.3.3余角和补角(2)学案

2143西北西南东南东北北西南东数学：4.3.3《余角和补角（2）》学案（人教版七年级上）【学习目标】：1、掌握余角和补角的性质。

2、了解方位角，能确定具体物体的方位。

【重点难点】掌握余角和补角的性质；方位角的应用；【导学指导】一、知识链接1.70°的余角是，补角是；2.∠α（∠α <90°）的它的余角是，它的补角是；二、自主学习 1.探究补角的性质：例3、如图， ∠1与∠2互补，∠3与∠4互补， ∠1= ∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？分析：（1）∠1与∠2互补，∠2等于什么？∠2=1800- ，∠3与∠4互补，∠4等于什么？ ∠4=1800 - 。

（2）当∠1= ∠3时，∠2与∠4有什么关系？为什么？∠2=∠4（等量减等量，差相等）上面的结论，用文字怎么叙述？补角的性质：等角的相等。

2．探究余角的性质：如图∠1 与∠2互余，∠３与∠４互余，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？余角性质：等角的相等 3．方位角：（1）认识方位：正东、正南、正西、正北、东南、西南、西北、东北。

（2）找方位角：乙地对甲地的方位角；甲地对乙地的方位角1 2 3 4南北西例4:如图.货轮O 在航行过程中,发现灯塔A 在它南偏东60°的方向上,同时,在它北偏东40°,南偏西10°,西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B,货轮C 和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B,货轮C 和海岛D 方向的射线。

(师生共同完成)【课堂练习】：1、α∠和β∠都是AOB ∠的补角，则α∠ β∠；2、如果9031,9021=∠+∠︒=∠+∠，则32∠∠与的关系是，理由是；3、A 看B 的方向是北偏东21°，那么B 看A 的方向（）A 南偏东69°B 南偏西69°C 南偏东21°D 南偏西21°4、在点O 北偏西60°的某处有一点A ，在点O 南偏西20°的某处有一点B ，则∠AOB 的度数是（） A 100° B 70° C 180° D 140° 【要点归纳】：补角的性质：余角的性质：【拓展训练】：1. 如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E 在一条直线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之间的关系？并试着说明理由？【总结反思】：2019-2020学年七年级数学上学期期末模拟试卷一、选择题1．如图，两轮船同时从O 点出发，一艘沿北偏西50°方向直线行驶，另一艘沿南偏东25°方向直线行驶，2小时后分别到达A ，B 点，则此时两轮船行进路线的夹角∠AOB 的度数是（）A.165°B.155°C.115°D.105°2．锐角4720'的余角是( ) A.4240'B.4280'C.5240'D.13240'3．在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40方向，那么这艘船位于这个灯塔的（） A.南偏西50°B.南偏西40°C.北偏东50°D.北偏东40°4．下列方程的变形中，正确的是（） A ．由3+x ＝5，得x ＝5+3B ．由3x ﹣（1+x ）＝0，得3x ﹣1﹣x ＝0C ．由102y =，得y ＝2 D ．由7x ＝﹣4，得74x =-5．一个两位数的个位数字是x ，十位数字是y ，这个两位数可表示为（） A.xyB.C.D.6．如果代数式4y 2－2y ＋5的值是7，那么代数式2y 2－y ＋1的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．4 7．若代数式2x a y 3z c与4212b x y z -是同类项，则（） A.a=4，b=2，c=3 B.a=4，b=4，c=3C.a=4，b=3，c=2D.a=4，b=3，c=48．下列代数式中：1x ，2x y +，213a b ，x y π-，54y x，0，整式有（）个 A.3个B.4个C.5个D.6个9．若一个代数式与代数式2ab 2+3ab 的和为ab 2+4ab-2，那么，这个代数式是（） A ．3ab 2+7ab-2 B ．-ab 2+ab-2 C ．ab 2-ab+2 D ．ab 2+ab-2 10．和数轴上的点一一对应的是（） A ．整数 B ．实数 C ．有理数 D ．无理数11．实数1 ，1- ，0 ，12－四个数中，最大的数是（） A.0B.1C.1-D.12－12．冰箱冷藏室的温度零上5℃，记作＋5℃，保鲜室的温度零下7℃，记作 A ．7℃ B ．－7℃ C ．2℃ D ．－12℃ 二、填空题13．若一个角是34︒，则这个角的余角是_______︒.14．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，且∠AOB=40°，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，当△PMN 周长取最小值时，则∠MPN 的度数为_____．15．有甲、乙两桶油，从甲桶到出14到乙桶后，乙桶比甲桶还少6升，乙桶原有油30升，设甲有油x 升，可列方程为_____．16．去括号合并：(3)3(3)a b a b --+＝_________.17．计算：()()35---=______；()225323a a b b ---=______．18．若a,b 是整数，且ab ＝12，|a|＜|b|，则a+b=________ .19．一个两位数，个位上的数字是十位上数字的3倍，它们的和是12，那么这个两位数是____． 20．比较大小：-3__________0.（填“< ”“=”“ > ”）三、解答题21．如图，点O 在直线AB 上，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，如果∠1：∠2＝1：2，求∠1的度数．22．如图，在四边形ABCD 中， //AD BC ，B D ∠=∠延长BA 至点E ，连接CE ，且CE 交AD 于点F ，EAD ∠和ECD ∠的角平分线相交于点P .（1）求证：①//AB CD ；②2EAD ECD APC ∠+∠=∠；（2）若70B ∠=︒，60E ∠=︒，求APC ∠的度数；（3）若APC m ∠=︒，EFD n ∠=︒请你探究m 和n 之间的数量关系. 23．解方程（1）3x-7（x-1）=3-2（x+3）（2）12x -=413x --1 24．为实施“学讲计划”，某班学生计划分成若干个学习小组，若每组5人，则多出4人，若每组6人，则有一组只有2人，该班共有多少名学生？25．先化简，再求值：已知|2a ＋1|＋(4b －2)2＝0，求3ab 2－[2221522a b ab ab ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭]＋6a 2b 的值． 26．先化简，再求值：2(﹣3xy+52x 2)+5(2xy ﹣x 2)，其中x ＝﹣2，y ＝12．27．现从小欣作业中摘抄了下面一道题的解题过程：计算：24÷（13-18-16）；解：24÷（13-18-16）=24÷13-24÷18-24÷16=72-192-144 =-264；观察以上解答过程，请问是否正确？若不正确，请写出正确的解答．28．某粮库3天内粮食进出库的吨数如下：（“+”表示进库，“-”表示出库）(1)经过这3天，库里的粮食是增多了还是减少了？(2)经过这3天，仓库管理员结算发现库里还存有480吨粮食，那么3天前库里存粮多少吨？ (3)如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这3天要付多少元装卸费？【参考答案】*** 一、选择题 1．B 2．A 3．B 4．B 5．C 6．A7．C 8．B 9．A 10．B 11．B 12．B 二、填空题 13．56 14．100°15．（1﹣ SKIPIF 1 < 0 ）x ﹣（30+ SKIPIF 1 < 0 x ）=6 解析：（1﹣14）x ﹣（30+14x ）=6 16．－10 SKIPIF 1 < 0 解析：－10b17．SKIPIF 1 < 0 解析：223a b + 18．7，8，13 19．39 20．< 三、解答题 21．30°22．（1）①见解析，②见解析；（2）65°；（3）12m n =，见解析. 23．（1）x=5；（2）x=1． 24．4425．a 2b ＋1；98.26．4xy ，-4.27．错误，正确的解法见解析.28．（1）库里的粮食减少了；（2）3天前库里存粮食是525吨；（3）3天要付装卸费825元．2019-2020学年七年级数学上学期期末模拟试卷一、选择题1．如图是某几何体的表面展开图，则该几何体是（）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱2．如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于（）A.90°B.80°C.70°D.60°3．∠A 的余角与∠A 的补角互为补角，那么 2∠A 是（）A．直角B．锐角C．钝角D．以上三种都有可能4．若关于x的一元一次方程1﹣46x a+=54x a+的解是x=2，则a的值是（）A.2B.﹣2C.1D.﹣15．同学们，足球是世界上第一大运动，你热爱足球运动吗？已知在足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一队共踢了30场比赛，负了9场，共得47分，那么这个队胜了（）A．10场B．11场C．12场D．13场6．某车间有22名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母20个或螺栓12个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（）A.20x=12(22-x)B.12x=20(22-x)C.2×12x=20(22-x)D.20x=2×12(22-x)7．下列计算正确的是（）A．3a+2a=5a2B．3a－a=3 C．2a3+3a2=5a5D．－a2b+2a2b=a2b8．下列算式中，计算结果为a3b3的是（）A．ab+ab+ab B．3ab C．ab•ab•ab D．a•b39．下列图形都是由同样大小的黑、白圆按照一定规律组成的，其中第①个图形中一共有2个白色圆，第②个图形中一共有8个白色圆，第③个图形中一共有16个白色圆，按此规律排列下去，第⑦个图形中白色圆的个数是（）A ．96B ．86C ．68D ．5210．如果|a ﹣1|+（b+2）2=0，则a ﹣b 的值是（） A ．-1 B ．1 C ．-3 D ．311．计算（﹣8）﹣（﹣5）的结果等于（） A ．-3 B ．-13 C ．-40 D ．312．在下面的四个有理数中，最小的是（） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．﹣2 二、填空题13．如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O ，过点O 作DE//BC ，分别交AB,AC 于点D,E,若AB=4，AC=3，则△ADE 的周长是_______________。

人教七年级数学上册4.3.3《余角和补角》课件

知识点 1 余角和补角【例1】如图，A，O，B三点在一条直线上，∠AOC=∠DOE=90°,
(1)图中互余的角有哪些？ (2)相等的角有哪些(小于90°的角)？
【思路点拨】(1)找出图中所有90°的角→找出两角之和等于 90°的角→答案 (2)利用余角的性质找相等的角
【自主解答】(1)因为∠AOC=∠DOE=90°,所以∠1+∠2=90°， ∠3+∠2=90°，∠1+∠4=180°-∠DOE=90°. 又因为∠COB=180°-∠AOC=180°-90°=90°，所以∠3+∠4=90°. 所以∠1与∠2互余、∠3与∠2互余、∠1与∠4互余、∠3与∠4互余. (2)由同角的余角相等可得：∠1=∠3，∠2=∠4.
【解题探究】1.C在A的北偏东30°是绕点A以什么方向为基准，沿什么方向旋转30°. 提示：以正北方向为基准，沿顺时针方向旋转30°. 2.C在B南偏东45°是绕点B以什么方向为基准，沿什么方向旋转45°. 提示：以正南方向为基准，沿逆时针方向旋转45°.
3.点C与以上两个方向线有什么关系？提示：以上两个方向线的交点就是点C.如图：
2.余角和补角的性质：如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，∠2与∠4 有什么关系？
因为∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，所以∠1+∠2=_1_8_0_°__，∠3+∠4=_1_8_0_°__，所以∠2=_1_8_0_°__-_∠__1_，∠4=_1_8_0_°__-_∠__3_，又因为∠1=∠3，所以_∠__2_=_∠__4_.
【归纳】补角的性质：同角(等角)的补角__相__等_. 余角的性质：同角(等角)的余角__相__等_.
3.方位角：方位角是以_正__北__、_正__南__方向为基准，描述物体运动方向的角.

人教版七年级上数学《余角和补角》图形初步认识PPT教学课件(第2课时)

北
西
O 60 °
东 A
南
探究新知
射线OA的方向就是南偏东60°，即灯
塔A所在的方向．
D
北
射线OB的方向就是北偏东40°，
B
即客轮B所在的方向．
45° 40°
西
O
东
射线OC的方向就是南偏西10°，
60°
即货轮C所在的方向．
10°
C
A
南
射线OD的方向就是北偏西45°，即海岛D所在的方向．
探究新知
用方位角确定物体的画法步骤： ①先找出中心点，然后画出方向指标； ②把中心点和目的地用线连接起来； ③度量向北的射线和视线（中心点和目的地的连线）夹角.
问题情境
如图所示，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，其中∠FDC=90º，那么各个角与∠1有什么关系？
问题情境
E
D
F
1
2
A
B
C
有的角与∠1的和等于90º，例如（有的角与∠1的和等于180º，例如（
）； ∠ADC
）．
∠ADF
探究新知
余角的定义
4.3.3 余角和补角第2课时
知识回顾
两角间的数量关系
互余
1 2 90
(1 90 2)
互补
1 2 180 (1 180 2)
对应图形
性质同角或等角的余角相等同角或等角的补角相等
学习目标
1.了解方位角的概念. 2.能用方位角知识解决一些简单的实际问题.
课堂导入
成语“四面八方”怎样理解？四面——东、西、南、北. 八方——东、西、南、北、东北、东南、西北、西南.

2019年人教版七年级上册数学《4.3.3余角和补角》课后练习(含答案)

2018-2019学年人教版七年级上册数学4.3.3 余角和补角一、填空题：请将答案填在题中横线上．1．如图，AO⊥BO，CO⊥DO，则∠AOC________∠BOD（选填“>”、“=”或“<”）．【答案】=2．如图，∠AOB=∠COD=90°，则∠AOD+∠BOC=__________．【答案】180°3．互余且相等的两个角，它们的补角为__________度．【答案】1354．若∠1的补角为130°，则∠1的余角的度数为__________．【答案】40°二、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．5．如图，OC⊥AB，∠COD=45°，则图中互为补角的角共有A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】C6．下列说法正确的是A．锐角的补角一定是钝角B．锐角和钝角的和一定是平角C．互补的两个角可以都是锐角D．互余的两个角可以都是钝角【答案】A7．如果∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，那么∠1与∠3的关系是A．∠1+∠3=90°B．∠1+∠3=180°C．∠1=∠3 D．不能确定【答案】C8．已知∠1+∠2=90°，∠3+∠4=180°，下列说法正确的是A．∠1是余角B．∠3是补角C．∠1是∠2的余角D．∠3和∠4都是补角【答案】C三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．若一个角的补角与它余角的2【解析】设这个角的度数为x ，根据题意得（180°–x ）–2（90°–x ）180°，解得x =45°，即这个角为45°．11．如图所示，AOB 是一条直线，OC 是一条射线，∠AOC =2∠AOF ，∠BOC =2∠BOE ．（1）∠1与∠2互余吗？（2）指出图中所有互余和互补的角．【解析】（1）互余（2）互余的角：∠1与∠2，∠1与∠BOE ，∠2与∠AOF ，∠AOF 与∠BOE互补的角：∠AOF 与∠BOF ，∠1与∠BOF ，∠AOC 与∠BOC ，∠BOE 与∠AOE ，∠2与∠AOE12．如图，已知∠AOC =∠BOD =90°，∠DOC =55°．求∠AOD 和∠BOC 的度数．【解析】∠AOD =35O∠BOC=35O。

3.4.2-余角与补角-

2
1 1
bu
如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角(complementary angle)
2
1
2
1
1
bu
找朋友:图中给出的各角中,哪些互为余角? 哪些互为补角?
10
°
30
°
60
°
80
°
100
°
120
°
150
°
170
°
我来试一试：
∠α
5° 32°
∠α的余角
85° 58° 45° 13° 27°37′ 90° x
3.4.2 余角与补角
海塘大坝的底部是石块堆积而成 ,量角器无法如果两个角的和等于180°(平角 )，就说这伸入大坝底部测量 ,如何测量大坝的倾斜角两个角互为补角(supplementary angle) ? 你是如何理解互为这两个字?
2
1
yu
tiao
如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角(complementary angle)
互余
数量关系对应图形性
互
补
∠1+∠2=90°
∠1+∠2=180°
21
等角的余角相等
2
1
等角的补角相等．
back
质
作业：
作业本（2）书本139页 5 ，6题
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意它/当初万族林立/强者多如狗/这样の小族在外人来/定然会因为生存而被灭/可任谁也没有想到/这佫千人不到の种族/却改变咯壹域の格局/当时有壹佫大族/确定红尘域の圣族/它族虽然没有出过至尊/却也有两位绝强者坐镇/其族中壹位皇子上咯巫族の囡子/想要强夺而走/这