433余角和补角 (2)
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433余角和补角(2)
●
B
北
●●BB
44007°°0°
●
A
65°
东
●B
南
练习
东西方向的海岸线上有A、B两个观测
站，分别观测到渔船C的位置如图所示，则
渔船C在观测站A的 偏
°，渔船
C在观测站B的 偏
°.你能说出
观测站A在渔船C的什么方向吗？观测站B
呢？
北
C
30° A
30° B
例4:如图.货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方 向上,同时,在它北偏东40°,南偏西10°,西北(即北偏西45°) 方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位 的方法,画出表示客轮B,货轮C和海岛D方向的射线.
小结 反思
这节课你学到了什么? 你还有什么疑问吗?
1.教科书第139～140页第8、 12题.
创设情境，引出课题
在茫茫大海上,我缉私艇正在执行任务,当 行驶到某处时,发现有一只可疑船只,这时测得 可疑船只在我船的北偏东40°方向60千米处. 你能确定可疑船只的位置吗？
探索新知，巩固运用
北
●A
40°
西
●
东
O
南
探索新知，巩固运用
说出下列各图中点B在点A的什么方向.
B北
70°
西
A
东
南
(1)
(2)
所以:射线OA的方向就是南偏
北
东60°，即灯塔A所在的方向。 ● D
●B
射线OB的方向就是北偏东40°， 即客轮B所在的方向。
西
射线OC的方向就是南偏西10°， 即货轮C所在的方向。
45°40°
O
●
东
B
北
●●BB
44007°°0°
●
A
65°
东
●B
南
练习
东西方向的海岸线上有A、B两个观测
站，分别观测到渔船C的位置如图所示，则
渔船C在观测站A的 偏
°，渔船
C在观测站B的 偏
°.你能说出
观测站A在渔船C的什么方向吗？观测站B
呢？
北
C
30° A
30° B
例4:如图.货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方 向上,同时,在它北偏东40°,南偏西10°,西北(即北偏西45°) 方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位 的方法,画出表示客轮B,货轮C和海岛D方向的射线.
小结 反思
这节课你学到了什么? 你还有什么疑问吗?
1.教科书第139～140页第8、 12题.
创设情境，引出课题
在茫茫大海上,我缉私艇正在执行任务,当 行驶到某处时,发现有一只可疑船只,这时测得 可疑船只在我船的北偏东40°方向60千米处. 你能确定可疑船只的位置吗？
探索新知，巩固运用
北
●A
40°
西
●
东
O
南
探索新知，巩固运用
说出下列各图中点B在点A的什么方向.
B北
70°
西
A
东
南
(1)
(2)
所以:射线OA的方向就是南偏
北
东60°，即灯塔A所在的方向。 ● D
●B
射线OB的方向就是北偏东40°， 即客轮B所在的方向。
西
射线OC的方向就是南偏西10°， 即货轮C所在的方向。
45°40°
O
●
东
4.3.3 余角和补角
＝1 (∠AOC+
1 ∠BOC 2
∠BOC)
2
＝90°
所以， ∠COD 和∠COE互为余角， 同理， ∠AOD +∠BOE，
∠AOD +∠COE ， ∠COD +∠BOE也互为余角.
推导性质，理解运用
有时以正北、正南方向为基准， 描述物体运动的方向.
表示方向的角（方位角）在航行、 测绘等工作中经常用到.
又因为∠1＝∠3，180º－∠1＝180º－∠3，
所以∠2＝∠4.
归纳
等角（同角）的补角相等. 对于余角是否也有类似性质？ 等角（同角）的余角相等.
推导性质，理解运用
（1）若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余， 则_∠__1__＝_∠__3___，根据是＿同＿角＿的＿余＿角＿相＿等＿ .
(2)若∠3与∠4互补，∠6与∠5互补，且 ∠3＝∠6, 则_∠__4__＝_∠__5___，根据是＿＿＿ 等＿角＿的＿补＿角＿相＿等＿.
创设情境，引出新知
如果两个角的和等于90º（直角），就 说这两个角互为余角，即其中每一个角是 另一个角的余角.
如果两个角的和等于180º（平角），就 说这两个角互为补角，即其中一个角是另一 个角的补角.
理解定义，巩固运用
1.定义中的“互为”是什么意思？
即每一个角都是另一个角的余角（补角）
2.把下图中∠1与∠ADF分离并多次变换位置，如图， 这两角还是互为补角吗？
由∠1与∠2和∠3都互为补角， 那么 ∠2＝180º－∠1，
∠3＝180º－∠1， 所以∠2＝∠3.
推导性质，理解运用
(2)已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补.若 ∠1＝∠3，那么∠2和∠4 相等吗？为什么？
1
2
1 ∠BOC 2
∠BOC)
2
＝90°
所以， ∠COD 和∠COE互为余角， 同理， ∠AOD +∠BOE，
∠AOD +∠COE ， ∠COD +∠BOE也互为余角.
推导性质，理解运用
有时以正北、正南方向为基准， 描述物体运动的方向.
表示方向的角（方位角）在航行、 测绘等工作中经常用到.
又因为∠1＝∠3，180º－∠1＝180º－∠3，
所以∠2＝∠4.
归纳
等角（同角）的补角相等. 对于余角是否也有类似性质？ 等角（同角）的余角相等.
推导性质，理解运用
（1）若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余， 则_∠__1__＝_∠__3___，根据是＿同＿角＿的＿余＿角＿相＿等＿ .
(2)若∠3与∠4互补，∠6与∠5互补，且 ∠3＝∠6, 则_∠__4__＝_∠__5___，根据是＿＿＿ 等＿角＿的＿补＿角＿相＿等＿.
创设情境，引出新知
如果两个角的和等于90º（直角），就 说这两个角互为余角，即其中每一个角是 另一个角的余角.
如果两个角的和等于180º（平角），就 说这两个角互为补角，即其中一个角是另一 个角的补角.
理解定义，巩固运用
1.定义中的“互为”是什么意思？
即每一个角都是另一个角的余角（补角）
2.把下图中∠1与∠ADF分离并多次变换位置，如图， 这两角还是互为补角吗？
由∠1与∠2和∠3都互为补角， 那么 ∠2＝180º－∠1，
∠3＝180º－∠1， 所以∠2＝∠3.
推导性质，理解运用
(2)已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补.若 ∠1＝∠3，那么∠2和∠4 相等吗？为什么？
1
2
人教版数学七上4.3.3余角和补角(共2课时)(最新课件)
课堂导入
将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形 的边形成了4个角.
1. ∠1 与∠2 有什么数量关系？
2
∠1+∠2 = 90°
1
2. ∠3与∠4有什么数量关系？ 3 4
∠3+∠4 = 180°
新知探究 知识点1 余角和补角
一般地，如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这两 个角互为余角 ，即其中每一个角是另一个角的余角. 两个角互为余角简称为两个角互余.
角
4.3.3余角和补角（共2课时）
初中数学 七年级上册 RJ
角
4.3.3 余角和补角 第1课时
初中数学 七年级上册 RJ
知识回顾
角的比较 角的比较 与运算
角的运算
度量法 叠合法 角的和差倍分关系
角的平分线
学习目标
1. 了解余角、补角的概念.
2. 掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知 识解决相关问题.
(2) 如图(2)所示，直线 MN 与 PQ 相交于点 E，∠1与 ∠2相等吗？为什么？ 解：(2) 相等. 因为点 M，E，N 在同一条直线上， 所以∠MEN=180°，即∠2+∠PEN= 180°. 因为点 P，E，Q 在同一条直线上， 所以∠PEQ=180°，即∠l +∠PEN= 180°， 所以∠1=∠2.
3.如图所示，点 O 为直线 AB 上一点， ∠AOC=∠DOE=90°. (2) 图中互补的角有几对？各是哪些？
解：(2) 由已知得，∠1+∠BOD=180°， ∠4+∠AOE=180°，∠AOC+∠BOC= 180°， ∠AOC+∠DOE=180°， 由(1)可知，∠1=∠ 3，∠2=∠4，∠BOC=90°， 所以∠3+∠BOD=180° ，∠2+∠AOE= 180°， ∠BOC+∠DOE=180°.
人教版七年级数学上册(教案)：4.3.2余角和补角
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理能力，通过余角和补角的性质推导，让学生理解并掌握角度关系，提高逻辑思维水平。
2.培养学生空间想象力和直观感知能力，通过实际角度测量和作图，让学生在实际操作中加深对余角和补角的理解。
3.培养学生数学运算能力，使学生能够熟练运用余角和补角的计算方法，解决实际问题。
4.培养学生团队合作意识，通过小组讨论和互动，让学生在探究余角和补角知识的过程中，学会交流与合作，提高解决问题的能力。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对余角和补角的概念掌握得还算不错，但在实际应用上还存在一些困难。在讲解理论部分时，我尽量用简单明了的语言和丰富的例子来帮助学生理解，看到他们课堂上积极参与，我觉得这一点做得还算成功。
然而，在实践活动和小组讨论环节，我发现有些学生在运用余角和补角知识解决问题时，还是显得有些吃力。这说明我在教学过程中，可能过于注重理论知识的传授，而忽视了培养学生的实际操作能力。在今后的教学中，我需要加强对学生动手能力的培养，让他们在实际操作中更好地理解和掌握知识。
举例：讲解余角时，可以以直角三角形中的角度为例，说明如何找到一个角的余角；在补角的讲解中，可以通过将一个角度补全到180度来解释补角的概念。
2.教学难点
-理解“互为余角”和“互为补角”的概念：学生可能会混淆这两个概念，需要教师通过直观的图形和实例来帮助学生理解它们之间的关系。
-在实际问题中灵活应用余角和补角知识：学生在将理论知识应用到具体问题时可能会遇到困难，例如在非直角三角形中寻找余角和补角。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
1.培养学生逻辑推理能力，通过余角和补角的性质推导，让学生理解并掌握角度关系，提高逻辑思维水平。
2.培养学生空间想象力和直观感知能力，通过实际角度测量和作图，让学生在实际操作中加深对余角和补角的理解。
3.培养学生数学运算能力，使学生能够熟练运用余角和补角的计算方法，解决实际问题。
4.培养学生团队合作意识，通过小组讨论和互动，让学生在探究余角和补角知识的过程中，学会交流与合作，提高解决问题的能力。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对余角和补角的概念掌握得还算不错，但在实际应用上还存在一些困难。在讲解理论部分时，我尽量用简单明了的语言和丰富的例子来帮助学生理解，看到他们课堂上积极参与，我觉得这一点做得还算成功。
然而，在实践活动和小组讨论环节，我发现有些学生在运用余角和补角知识解决问题时，还是显得有些吃力。这说明我在教学过程中，可能过于注重理论知识的传授，而忽视了培养学生的实际操作能力。在今后的教学中，我需要加强对学生动手能力的培养，让他们在实际操作中更好地理解和掌握知识。
举例：讲解余角时，可以以直角三角形中的角度为例，说明如何找到一个角的余角；在补角的讲解中，可以通过将一个角度补全到180度来解释补角的概念。
2.教学难点
-理解“互为余角”和“互为补角”的概念：学生可能会混淆这两个概念，需要教师通过直观的图形和实例来帮助学生理解它们之间的关系。
-在实际问题中灵活应用余角和补角知识：学生在将理论知识应用到具体问题时可能会遇到困难，例如在非直角三角形中寻找余角和补角。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
4.3.3余角和补角(教案)-七年级上学期数学教材(人教版)
5.增强问题解决能力：通过设置实际问题，激发学生运用余角和补角知识解决问题的兴趣，提高他们分析问题和解决问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教பைடு நூலகம்重点
-重点一：余角和补角的定义及其性质。通过具体实例，让学生理解并掌握两个角的和分别为90度和180度时，这两个角互为余角和补角的关系。
-举例：一个角为30度，求其余角和补角。余角为60度，补角为150度。
-突破方法：设计不同难度的练习题，让学生逐步提升计算能力，同时教师及时纠正错误并提供反馈。
-难点三：将余角和补角知识应用于解决复杂问题。学生在应用知识解决实际问题时可能会感到困惑，需要教师引导他们分析问题并逐步解决。
-突破方法：通过分组讨论和问题解决策略的教学，帮助学生建立解题思路，逐步提高问题解决能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解余角和补角的基本概念。余角是指两个角的和为90度时，这两个角互为余角；补角是指两个角的和为180度时，这两个角互为补角。它们在几何图形的求解和实际问题的应用中具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如在一个直角三角形中，一个角为30度，那么另一个角的余角为60度，补角为150度。这个案例展示了余角和补角在实际中的应用，以及它们如何帮助我们解决问题。
4.3.3余角和补角（教案）-七年级上学期数学教材（人教版）
一、教学内容
本节课选自人教版七年级上学期数学教材第四章第三节第三部分“4.3.3余角和补角”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.余角：定义两个角的和为90度的角互为余角，即若两个角的度数分别为α和β，则α + β = 90°。通过实例和练习，让学生掌握求一个角的余角的方法。
三、教学难点与重点
1.教பைடு நூலகம்重点
-重点一：余角和补角的定义及其性质。通过具体实例，让学生理解并掌握两个角的和分别为90度和180度时，这两个角互为余角和补角的关系。
-举例：一个角为30度，求其余角和补角。余角为60度，补角为150度。
-突破方法：设计不同难度的练习题，让学生逐步提升计算能力，同时教师及时纠正错误并提供反馈。
-难点三：将余角和补角知识应用于解决复杂问题。学生在应用知识解决实际问题时可能会感到困惑，需要教师引导他们分析问题并逐步解决。
-突破方法：通过分组讨论和问题解决策略的教学，帮助学生建立解题思路，逐步提高问题解决能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解余角和补角的基本概念。余角是指两个角的和为90度时，这两个角互为余角；补角是指两个角的和为180度时，这两个角互为补角。它们在几何图形的求解和实际问题的应用中具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如在一个直角三角形中，一个角为30度，那么另一个角的余角为60度，补角为150度。这个案例展示了余角和补角在实际中的应用，以及它们如何帮助我们解决问题。
4.3.3余角和补角（教案）-七年级上学期数学教材（人教版）
一、教学内容
本节课选自人教版七年级上学期数学教材第四章第三节第三部分“4.3.3余角和补角”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.余角：定义两个角的和为90度的角互为余角，即若两个角的度数分别为α和β，则α + β = 90°。通过实例和练习，让学生掌握求一个角的余角的方法。
人教版数学九年级下册教案
感受数学与生活的密切联系，丰富数学学习的成功体验，激发学生继续学习的好奇心，培养学生与他人合作交流的意识。
一起看看人教版数学九年级下册教案!欢迎查阅!人教版数学九年级下册教案1一、教学目标1. 通过观察、猜想、比较、具体操作等数学活动，学会用计算器求一个锐角的三角函数值。
2.经历利用三角函数知识解决实际问题的过程，促进观察、分析、归纳、交流等能力的发展。
3.感受数学与生活的密切联系，丰富数学学习的成功体验，激发学生继续学习的好奇心，培养学生与他人合作交流的意识。
二、教材分析在生活中，我们会经常遇到这样的问题，如测量建筑物的高度、测量江河的宽度、船舶的定位等，要解决这样的问题，往往要应用到三角函数知识。
在上节课中已经学习了30°，45°，60°角的三角函数值，可以进行一些特定情况下的计算，但是生活中的问题，仅仅依靠这三个特殊角度的三角函数值来解决是不可能的。
本节课让学生使用计算器求三角函数值，让他们从繁重的计算中解脱出来，体验发现并提出问题、分析问题、探究解决方法直至最终解决问题的过程。
三、学校及学生状况分析九年级的学生年龄一般在15岁左右，在这个阶段，学生以抽象逻辑思维为主要发展趋势，但在很大程度上，学生仍然要依靠具体的经验材料和操作活动来理解抽象的逻辑关系。
另外，计算器的使用可以极大减轻学生的负担。
因此，依据教材中提供的背景材料，辅以计算器的使用，可以使学生更好地解决问题。
学生自小学起就开始使用计算器，对计算器的操作比较熟悉。
同时，在前面的课程中学生已经学习了锐角三角函数的定义，30°，45°，60°角的三角函数值以及与它们相关的简单计算，具备了学习本节课的知识和技能。
四、教学设计(一)复习提问1.梯子靠在墙上，如果梯子与地面的夹角为60°，梯子的长度为3米，那么梯子底端到墙的距离有几米?学生活动：根据题意，求出数值。
2.在生活中，梯子与地面的夹角总是60°吗?不是，可以出现各种角度，60°只是一种特殊现象。
433余角和补角
4.3.3 余角和补角Ⅰ学法导引1．学习余角、补角时，要注意它们是指两个角大小之间的关系，只与它们的和有关，而与其位置无关，同时也要学会列方程(组)的方法来解决几何问题．2．在表示方向时，要先在观测点画出方位图，然后测量出角度表示出来．注意表示时要先写出南、北，再写偏东或偏西，偏多少度．Ⅱ思维整合解析重点本节的重点是互为补角、互为余角的概念及性质．(1) 概念：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，也就是说其中一个角是另一个角的补角，如图3－4－20中，∠α与∠β互为补角．如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，也就是说其中一个角是另一个角的余角，如果3－4－21中，∠1与∠2互为余角．注意：两个角互为补角、互为余角是指它们大小之间的关系，只与这两个角的和有关，与它们的位置无关．用法：∵∠α＋∠β＝180°，∴∠α与∠β互为补角，或∵∠α与∠β互补，∴∠α＋∠β＝180°．∵∠1与∠2互余，∴∠1＋∠2＝90°或∵∠1＋∠2＝90°，∴∠1与∠2互为余角．2．性质：同角(或等角)的余角相等．同角(或等角)的补角相等．用法：∵∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3．或∵∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且∠1＝∠3，∴∠2＝∠4．【例1】一个角的补角加上10°，等于这个角的余角的3倍，求这个角．解析可设这个角为x，则其余角为(90°－x)，其补角为(180°－x)，也可设这个角的余角为y，则这个角的补角为(90°＋y )，两种设未知数的方法，根据题意，均可列出方程求解．解方法一：设这个角为x，则其余角为(90°－x)，其补角为(180°－x)，根据题意，得180°－x＋10°＝(90°－x)×3，解得x＝40°．方法二：设这个角的余角为y，则其补角为(90°＋y)，根据题意得：90°＋y＋10°＝3y，解得y＝50°，则这个角为90°－50°＝40°．点拨有关余角和补角的计算题目，常设未知数，根据题意列方程(组)去解，所设未知数不同，所得到的方程也不同．设一个未知数，要列一个方程；设两个未知数，要列方程组来解，总之设几个未知数，常列几个方程．剖析难点本节难点是方向的表示方法．在表示方向时，要先在观测点画出方位图，然后测量出角度表示出来．注意表示时要先写是北还是南，再写偏东或偏西，偏多少度．如图3－4－22，OA是表示北偏东30°的一条射线，OB是表示南偏西50°的一条射线；特别地，射线OC表示北偏西45°可写成西北方向，OD表示东南方向．【例2】在飞机飞行时，飞行方向是用飞行路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的．如图3－4－23用AN(南北线)与飞行线之间顺时针方向的夹角作为飞行方向角．从A 到B的飞行方向角为35°，从A到C的飞行方向角为60°，从A到D的飞行方向角为145°．试求AB与AC之间夹角为多少度？AD与AC之间夹角为多少度？并画出从A飞出且方向角为105°的飞行线．解析先由实际问题转化成图中具体角的大小，再进行角之间的计算．解由题意得，∠NAB＝35°，∠NAC＝60°，∠NAD＝145°．∴∠BAC＝∠NAC－∠NAB＝60°－35°＝25°．∠CAD＝∠NAD－∠NAC＝145°－60°＝85°．∴AB与AC之间的夹角是25°，AD与AC之间的夹角是85°．图中虚线AE即为从A飞出且方向角为105°的飞行线．点拨先确定正南、正北方向，再找飞机飞行的方向角．。
4.3.3余角与补角(2)方位角(教案)-2021-2022学年人教版七年级数学上册
然而，我也发现有些学生在小组讨论中过于依赖同伴，自己独立思考的能力有待提高。在接下来的教学中，我会关注这部分学生，引导他们多发表自己的观点，培养独立思考的能力。
在课堂总结时，我强调了方位角在日常生活中的应用，希望学生们能够将所学知识运用到实际中。但从课后作业的完成情况来看，部分学生在应用方面还存在一定的困难。为此，我计划在下一节课中增加一些与实际生活紧密相关的例题，让学生们更好地掌握方位角的应用。
其次，在计算方位角的过程中，部分学生对于坐标轴的正方向记忆不够牢固，导致计算错误。针对这个问题，我会在接下来的课堂中，通过反复强调和练习，帮助他们巩固记忆。同时，我将总结一些计算技巧，让学生们在计算时能够更加得心应手。
此外，实践活动和小组讨论的环节，学生们表现得非常积极。他们在讨论中提出了很多有创意的想法，也解决了实际问题。这说明学生们在合作学习的过程中，能够更好地发挥自己的潜能。今后，我会继续增加这种形式的课堂活动，激发学生们的学习兴趣。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过使用指南针和地图，学生可以直观地观察和计算方位角。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“方位角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解方位角的基本概念。方位角是表示从正北方向顺时针旋转到目标方向的角度。它在地图导航、建筑设计等领域有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设地图上的A点指向正北，我们需要找到从A点到B点的方向。通过计算方位角，我们可以轻松确定这个方向。
在课堂总结时，我强调了方位角在日常生活中的应用，希望学生们能够将所学知识运用到实际中。但从课后作业的完成情况来看，部分学生在应用方面还存在一定的困难。为此，我计划在下一节课中增加一些与实际生活紧密相关的例题，让学生们更好地掌握方位角的应用。
其次，在计算方位角的过程中，部分学生对于坐标轴的正方向记忆不够牢固，导致计算错误。针对这个问题，我会在接下来的课堂中，通过反复强调和练习，帮助他们巩固记忆。同时，我将总结一些计算技巧，让学生们在计算时能够更加得心应手。
此外，实践活动和小组讨论的环节，学生们表现得非常积极。他们在讨论中提出了很多有创意的想法，也解决了实际问题。这说明学生们在合作学习的过程中，能够更好地发挥自己的潜能。今后，我会继续增加这种形式的课堂活动，激发学生们的学习兴趣。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过使用指南针和地图，学生可以直观地观察和计算方位角。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“方位角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解方位角的基本概念。方位角是表示从正北方向顺时针旋转到目标方向的角度。它在地图导航、建筑设计等领域有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设地图上的A点指向正北，我们需要找到从A点到B点的方向。通过计算方位角，我们可以轻松确定这个方向。
4.3.3余角和补角(二)
2、 一般地，如果两个角的和等于
180°（平角），就说这两个角互为补 角．即其中一个是另一个角的补角。
几何语言表示为：
若∠1+∠2=18080°—∠2
反过来说也成立：若∠1与∠2互为 补角，那么∠1+∠2=180°
练一练
判断题： 1、如果一个角有补角，那么这个角一定 是钝角（ ）
所以， ∠COD 和∠COE互为余角， 同理， ∠AOD +∠BOE， ∠AOD +∠COE ， ∠COD +∠BOE也互为余角.
活学活用 加深理解
1、如图，OD平分∠COA ，OE平分
∠COB， 则①∠ EOD=__ 90 °
②图中互余角有 4 对，互补角有__ 5
对。
C D B
O
A
2、 如图， O是直线AB上一 AOE FOD 90，OB平 点， 分COD ，图中与DOE 互余的角 有哪些？ 与 DOE 互补的角 有哪些？
课堂小结
余角、补角的概念：
（1） 和为90°的两个角称互为余角； （2） 和为180°的两个角称互为补角；
余角、补角的性质：
（1） 等角的余角相等；
（2） 等角的补角相等；
3.图中有哪几对互余的角？
(∠A+∠B=90°, ∠A+∠C=90°) (∠BOE+∠B=90°, ∠COD+∠C=90°) (∠COD+∠B=90°, ∠BOE +∠C=90°)
4.图中哪几对角是相等的角(直角除外)？ 为什么? C
(∠B=∠C) （同角的余角相等） (∠A=∠BOE) (∠A=∠COD) (∠BOE=∠COD) O (∠BOC=∠EOD)
D
4.3.3 余角和补角(2)
学生思考，然后教师提问
教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，帮助指导学生完成任务
锻炼学生的数学语言表达能力
复习旧知识，达到温故而知新
由同角的性质引出等角的性质，易于接受
自主学习
1、若∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，且∠1=∠3，那么∠2与∠4什么关系？试说明理由。
2、若∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，那么∠2与∠4什么关系？试说明理由。
（4）、西南方向（南偏西45°）。
学生在独立观察、思考、推导、论证的基础上通过小组交流总结出结论
学生自学课本136—137页内容，独自完成后，组内交流结果
通过类比的方法得出本节的重点
通过学生自己动手画图，感受到画射线的过程，有助于理解方位角
通过表述，让学生用自己的语言清楚地表达解决问题的过程，提高学生的语言表达能力
从观察一个角是哪个角的余角、补角等培养学生的识图能力和空间观念。
尝
试
应
用
1、若∠1+∠2=180°，又知∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系是_________.
2、如图，OA表示______________方向的一条射线，OB表示_________________方向的一条射线。
3、学校、超市、邮局在平面图上的标点分别是A、B、C，超市在学校的正东方向，邮局在学校的南偏西35°的方向上，那么平面图上∠CAB等于____________.
教学重点
余角和补角的性质。
教学难点
余角和补角的教学
课型
新授课
教学过程
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
情
境
引
入
一、问题：
1、余角和补角的概念
2、若∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，那么∠2与∠3什么关系？
教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，帮助指导学生完成任务
锻炼学生的数学语言表达能力
复习旧知识，达到温故而知新
由同角的性质引出等角的性质，易于接受
自主学习
1、若∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，且∠1=∠3，那么∠2与∠4什么关系？试说明理由。
2、若∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，那么∠2与∠4什么关系？试说明理由。
（4）、西南方向（南偏西45°）。
学生在独立观察、思考、推导、论证的基础上通过小组交流总结出结论
学生自学课本136—137页内容，独自完成后，组内交流结果
通过类比的方法得出本节的重点
通过学生自己动手画图，感受到画射线的过程，有助于理解方位角
通过表述，让学生用自己的语言清楚地表达解决问题的过程，提高学生的语言表达能力
从观察一个角是哪个角的余角、补角等培养学生的识图能力和空间观念。
尝
试
应
用
1、若∠1+∠2=180°，又知∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系是_________.
2、如图，OA表示______________方向的一条射线，OB表示_________________方向的一条射线。
3、学校、超市、邮局在平面图上的标点分别是A、B、C，超市在学校的正东方向，邮局在学校的南偏西35°的方向上，那么平面图上∠CAB等于____________.
教学重点
余角和补角的性质。
教学难点
余角和补角的教学
课型
新授课
教学过程
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
情
境
引
入
一、问题：
1、余角和补角的概念
2、若∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，那么∠2与∠3什么关系？
4.3.3余角和补角(2)
北
西
东
甲地
南
1. 先找出中心点,然后画出方向指标
画出乙地对甲地的方位角 乙地
北
西
东
甲地
南
2. 把中心点和目的地用直线连接起來
画出乙地对甲地的方位角 乙地
北
西
东
甲地
南
3.度量向北的射线和连线之间的角度
画出甲地对乙地的方位角
西
北
北
乙地
南
东
西
东
甲地
南
1. 先找出中心点,然后画出方向指标
画出甲地对乙地的方位角
北
D
西
40° B 45°
射线 OA 的方向就是南偏东 60°，即灯塔A所在的方向。
O
●
射线 OB 的方向就是北偏东 东 40°，即客轮B所在的方向。
●
60° 10° 南
A
射线 OC 的方向就是南偏西 10°，即货轮C所在的方向。
C
射线 OD 的方向就是南偏西 45°，即海岛D所在的方向。
画出乙地对甲地的方位角 乙地
4.3.3 余角和补角
一、情景引入
你知道表示方向的一个成语吗? “四面”—东、南、西、北
“八方” 东、南、西、北和东北、 东南、西北、西南
如果我们在屏幕的O点位置上， 你能说出O点的四面八方么？
西北 北
A
东北
西
O
东 东南
西南
南
二、新课探究
一般地，以正北、正南方向为 基准，描述物体运动的 方向 ， 表示方向的角称为 方位角 。
西
北
北
乙地
和目的地用直线连接起來
画出甲地对乙地的方位角
乙在甲地：北偏东50° 西 甲在乙地：南偏西50°
西
东
甲地
南
1. 先找出中心点,然后画出方向指标
画出乙地对甲地的方位角 乙地
北
西
东
甲地
南
2. 把中心点和目的地用直线连接起來
画出乙地对甲地的方位角 乙地
北
西
东
甲地
南
3.度量向北的射线和连线之间的角度
画出甲地对乙地的方位角
西
北
北
乙地
南
东
西
东
甲地
南
1. 先找出中心点,然后画出方向指标
画出甲地对乙地的方位角
北
D
西
40° B 45°
射线 OA 的方向就是南偏东 60°，即灯塔A所在的方向。
O
●
射线 OB 的方向就是北偏东 东 40°，即客轮B所在的方向。
●
60° 10° 南
A
射线 OC 的方向就是南偏西 10°，即货轮C所在的方向。
C
射线 OD 的方向就是南偏西 45°，即海岛D所在的方向。
画出乙地对甲地的方位角 乙地
4.3.3 余角和补角
一、情景引入
你知道表示方向的一个成语吗? “四面”—东、南、西、北
“八方” 东、南、西、北和东北、 东南、西北、西南
如果我们在屏幕的O点位置上， 你能说出O点的四面八方么？
西北 北
A
东北
西
O
东 东南
西南
南
二、新课探究
一般地，以正北、正南方向为 基准，描述物体运动的 方向 ， 表示方向的角称为 方位角 。
西
北
北
乙地
和目的地用直线连接起來
画出甲地对乙地的方位角
乙在甲地：北偏东50° 西 甲在乙地：南偏西50°
433_余角和补角课件
推导性质，理解运用
例 如图，A，O，B在同一直线上,射 线OD和射线OE分别平分∠AOC和 ∠BOC，图中哪些角互为余角？
推导性质，理解运用
解：因为A，O，B在同一直线上, 所以∠AOC和∠BOC互为补角.
又因为射线OD和射线OE
分别平分∠AOC∠BOC，
所以∠COD +∠COE＝
1 2 ∠AOC+
创设情境，引出新知
如果两个角的和等于90º（直角），就 说这两个角互为余角，即其中每一个角是 另一个角的余角.
如果两个角的和等于180º（平角），就 说这两个角互为补角，即其中一个角是另一 个角的补角.
理解定义，巩固运用
1.定义中的“互为”是什么意思？
即每一个角都是另一个角的余角（补角）
2.把下图中∠1与∠ADF分离并多次变换位置，如图， 这两角还是互为补角吗？
推导性质，理解运用
例 如图，货轮O在航行过 程中,发现灯塔A在它南偏东 60º的方向上,同时,在它北偏 东40º、南偏西10º、西北(即 北 偏 西 45º) 方 向 上 又 分 别 发 现了客轮B,货轮C和海岛D.西 仿照表示灯塔方位的方法， 画出表示客轮B、货轮C和海 岛D方向的射线.
D 45°北40° B
又因为∠1＝∠3，180º－∠1＝180º－∠3，
所以∠2＝∠4.
归纳
等角（同角）的补角相等. 对于余角是否也有类似性质？ 等角（同角）的余角相等.
推导性质，理解运用
（1）若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余， 则_∠__1__＝∠_3_____，根据同是角＿的＿余＿角＿相等＿＿ ＿＿ .
(2)若∠3与∠∠4 4互补∠5，∠6与∠5互补， 等且角∠的3＝补∠角相6,等 则_____＝______，根据是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
2024年湘教版七年级数学上册 4.3.2 第2课时 余角和补角(课件)
30.17°
又因为 OC 是∠BOD 的平分线，
29.66°
所以∠COD
=
12∠BOD
=
1× 2
60.34° = 30.17°.
因此，∠COD 的度数为 30.17°.
练一练
3. 如图，已知 O 为 AD 上一点，∠AOC 与∠AOB 互
补，OM，ON 分别为∠AOC，∠AOB 的平分线，若
∠MON = 40°，试求∠AOC 与∠AOB 的度数．
同角(或等角)的余角相等.
5 4 6 (b)
典例精析 例1 如图，∠AOB 与∠BOD 互为余角，OC 是∠BOD 的平分线，∠AOB = 29.66°，求∠COD 的度数.
解：因为∠AOB 与∠BOD 互为余角，
所以∠BOD = 90° -∠AOB = 90° - 29.66° = 60.34°.
2. ∠3 与∠4 有什么数量关系？
∠3 +∠4 = 180°.
1
2
如果两个角的和等于一个直角 ( 90° )，那么说 这两个角互为余角 ( 简称互余 ).
如图，可以说 ∠1 是 ∠2 的余角，或∠2 是∠1的余 角，或∠1和 ∠2互余.
几何语言表示为： 若∠1 +∠2 = 90°， 则∠1与∠2互为余角
知识要点
3 4
如果两个角的和等于一个平角(180°)，那 么说这两个角互为补角 ( 简称互补 ).
如图，可以说 ∠3 是 ∠4 的补角，或 ∠4是 ∠3 的 补角，或 ∠3 和 ∠4 互补.
几何语言表示为： 若∠3+∠4 = 180°， 则∠3 与∠4 互为补角
练一练 1. 图中给出的各角，哪些互为余角？
x°(0＜x＜90) (90－x)° (180－x)°
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对
应
图
形
21
21
性
等角的余角相等 等角的补角相等．
质
探索研究
如图，已知AOB是一直线，OC是
∠ AOB的平分线， ∠ DOE是直角，图
中哪些角互余？哪些角互补？哪些角
相等？
C
D
E
1
3
4
2
A
O
B
A
B
C
DE
FG
如图，E、F是直线DG上两点 ∠BEF = ∠BFE ∠AED = ∠CFG = 90 °
则∠1与∠2是什么关系？
C
答： ∠1 = ∠2
因为∠1+ ∠BOD = 90 °
∠2+ ∠BOD = 90 °
所以∠1 = ∠2 （同角的余角相等)
互为余角
互为补角对应图形1 221数量关系 ∠1+ ∠2 = 90 ° ∠1+ ∠2 = 180 °
性
质
同角或等角的 余角相等。
同角或等角 的补角相等。
1
2
3
4
余角性质：
等角的余角相等
A
D
1
O
2
如图∠AOB = 90 °
B
∠COD = 90 °
则∠1与∠2是什么关系？
C
答： ∠1 = ∠2
因为∠1+ ∠BOD = 90 °
∠2+ ∠BOD = 90 °
所以∠1 = ∠2 （等角的余角相等)
互余
数量 关系
∠1+∠2=90°
互补
∠1+∠2=180°
北
西O
60 °
南
B
北 D
40
东
°
东
A
西O
60
A
°
C南
2、如图，OA表示北偏东32°方向线， OB表 示南偏东43°方向线，则∠AOB等于————。
3、A看B的方向是北偏东30°，那么B看A 的方向是（ ）
（A）南偏东60°（B）南偏西60°
（C）南偏东30° （D）南偏西30°北
北B
东
12
A
东
4、 小明从点A出发向北偏西50° 方向走了3米，到达点B，小林从点A 出发向南偏西40°方向走了4米，试 画图确定出A、B、C三点的位置（用 1厘米表示3米），并从图上求出B点 到C点的实际距离。 北
补角性质：
等角的补角相等
探究:余角和补角的性质
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与 ∠４互余 ，如果∠1＝∠３，那么 ∠2与∠４相等吗？为什么？
1
2
3
4
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４ 互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与 ∠４相等吗？为什么？
1
2
3
4
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４ 互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与 ∠４相等吗？为什么？
2
1
4
3
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３, 那么∠2与∠４相等吗？为什 么？
2
1
4
3
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３, 那么∠2与∠４相等吗？为什 么？
2
1
4
3
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３, 那么∠2与∠４相等吗？为什 么？
4 倍，求这个角的度数。 解： 设这个角是x °，则它的补角是 （ 180°-x°）,余角是(90°-x°) 。
根据题意得：
（180°-x°）= 4 (90°-x°) 解得： x =60
答：这个角的度数是60 °。
探究:余角和补角的性质
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与 ∠４互补 ，如果∠1＝∠３,那么∠2 与∠４相等吗？为什么？
一、填空 1、70°的余角是 20° ，补角是 110 ° 。 2、 ∠ （ ∠ <90 ° ）的余角是 90°- ∠ ，它的补 角是 180°- ∠ 。
重要提醒：(如何表示一个角的余角和补角) 锐角∠的余角是（90 °—∠ ） ∠的补角是（180 °—∠ ）
例1 若一个角的补角等于它的余角的
B 500 A
西
东
400
C南
C
A
O
B
互为补角
如果两个角的和是一个平角，那么 这两个角叫做互为补角，其中一个 角是另一个角的补角。
互为余角
如果两个角的和是一个直角， 那么这两个角叫做互为余角， 其中一个角是另一个角的余角。
互为余角
如果两个角的和是一个直角 ，那么这两个 角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的 余角。
找出图中相等的角并说明理由。
200m 300m
你知道方位角吗？
北
西北
东北
西
东
西南 南
东南
例１ 如图，ＯＡ是表示北偏东３００方向的一条射线，仿照
这条射线，画出表示下列方向的角：
（１）南偏东２５０
（２）北偏西６００
北 A
60°300
西
东
25° 南
例2 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在
南偏东60°的方向上。同时，在它北偏东40°、南 偏西10°、西北方向上又分别发现了客轮B、货轮 C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客 轮B、货轮C和海岛D的射线。
若∠3和∠4互余, 则 ∠3 + ∠4 =90 .°( 互余定义)
2 13 3 3 3 4
∠1和∠2互余，∠3和∠4互余，如果 ∠1=∠3，那么， ∠2和∠4相等吗？ 为什么？
•补角性质：
同角或等角的补角相等。
•余角性质：
同角或等角的余角相等。
A
D
1
O
2
如图∠AOB = 90 °
B
∠COD = 90 °
互为补角
如果两个角的和是一个平角 ，那么这两个 角叫做互为补角，其中一个角是另一个角的 补角。
2 1
4
若∠1 + ∠2 =180 °, 则 ∠1和∠2互补.(互补定义 )
若∠1和∠2互补, 则∠1 + ∠2 =180 .°( 互补定义)
若∠3 + ∠4 =90 °,
则 ∠3和∠4互余.( 互余定义)
余角和补角
2
1
2
1
互为余角 如果两个角的和是一
个直角，那么这两个角叫 做互为余角，其中一个角 是另一个角的余角。
2
1
图中给出的各角，那些互为余角？
10o
30o
50o
60o
40o
80o
4 3
4
3
4
互为补角 如果两个角的和是一个
平角，那么这两个角叫做互 为补角，其中一个角是另一 个角的补角。
3
图中给出的各角，那些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
我来试一试：
∠α
5° 32° 45° 77° 62°23′
x
∠α的余角
85° 58° 45° 13° 27°37′ 90° x
∠α的补角
175° 148° 135° 103° 117°37′ 180° x
练习
2
1
4 3
例3 如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果 ∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么?
2
1
3
4
解：∠2与∠4相等。 因为∠1与∠2互补；∠3与∠4互补， 所以∠2=180°-∠1；∠4=180°-∠3， 又因为∠1=∠3， 所以∠2=∠4。
这里， 我们用到 了“等量 减等量， 差相等”。