高考数学第九章平面解析几何椭圆第课时 ppt

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高考数学椭圆及其性质全套复习课件

是( )
A.x32＋y42＝1
B.x22＋y44＝1
C.x42＋y22＝1
√D.x42＋y32＝1
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第九章平面解析几何
15
解析：右焦点为 F(1，0)说明两层含义：椭圆的焦点在 x 轴上；c＝1.又离心率为ac＝12，故 a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x42＋y32＝1.
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第九章平面解析几何
3
命题趋势核心素养
考向预测椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．题型主要以选择题、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.
直观想象、逻辑推理、数学运算
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第九章平面解析几何
24
1．设 F1，F2 为椭圆x92＋y52＝1 的两个焦点，点 P 在椭圆上，若线段 PF1 的
中点在 y 轴上，则||PPFF21||的值为(
)
A.154
B.59
4 C.9
√D.153
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第九章平面解析几何
25
解析：如图，设线段 PF1 的中点为 M，因为 O 是 F1F2 的中点，所以 OM∥PF2，可得 PF2⊥x 轴，可求得|PF2|＝53，|PF1| ＝2a－|PF2|＝133，||PPFF21||＝153.故选 D.
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第九章平面解析几何
27
椭圆的标准方程
(1)(多选)已知椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点 F1，F2 在 y 轴上，短

高考数学一轮复习《第九章平面解析几何》9-5椭圆课件

2
2
Байду номын сангаас答案 D
解析
→ → 设点D(0，b)，则 DF1 ＝(－c，－b)， DA ＝(－
→ → → → a，－b)，DF2 ＝(c，－b)，由3DF1 ＝DA ＋2DF2 得－3c＝－a 1 ＋2c，即a＝5c，故e＝ . 5 5．(09·广东)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在 x轴上，离心率为 3 ，且G上一点到G的两个焦点的距离之 2
2 2
答案
1 2
解析
由题意△ABF2的周长为8，根据椭圆的定义得4a
2 2 2
＝8，即a＝2.又c ＝a －b ＝1，所以椭圆的离心率e＝ 1 . 2
c ＝ a
x y 4．(2011·金华十校)方程为 2 ＋ 2 ＝1(a>b>0)的椭圆 a b 的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的 → → → 一个端点，若3 DF1 ＝ DA ＋2 DF2 ，则该椭圆的离心率为 ( ) 1 A. 2 1 C. 4 1 B. 3 1 D. 5
∴b ＝a －c ＝25－9＝16， x y 故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1. 25 16 x y (2)椭圆＋＝1上一点P到左焦点距离为6，F是该 25 16 → 1 → → →| 椭圆的左焦点，若点M满足OM＝ (OP ＋OF)，则|OM 2 ＝________.
2 2 2 2
2
2
2
【答案】
•
• • • • • • •
x y y x ＋＝ 1 ，＋ 2 2 2 2＝1.(其中a>b>0) a b a b 3．椭圆的几何性质
2
2
2
2
x y 4．方程：Ax ＋By ＝1或＋＝1(A>0，B>0，A≠B)也表 A B

高三数一轮复习课件：第九章平面解析几何. .ppt..

解：如图，因为 kAP＝12－－01＝1，
kBP＝ 03－－10＝－ 3，所以 k∈(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)．故填(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)．
2019年5月30日
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18
类型二求直线方程
根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为 1100； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为 5.
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13
类型一直线的倾斜角和斜率
(1)设直线 2x＋my＝1 的倾斜角为 α，若 m∈(－∞，－2 3)∪[2，＋∞)，则角 α 的取值范围是________．
解：据题意知 tanα＝－m2 ，因为 m<－2 3或 m≥2.
所以 0<tanα< 33或－1≤tanα<0.
(3)过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程 ①若 x1＝x2，且 y1≠y2 时，直线垂直于 x 轴，方程为____________； ②若 x1≠x2，且 y1＝y2 时，直线垂直于 y 轴，方程为____________； ③若 x1＝x2＝0，且 y1≠y2 时，直线即为 y 轴，方程为____________； ④若 x1≠x2，且 y1＝y2＝0，直线即为 x 轴，方程为____________．
x＝
，

y＝
.
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4
2．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴____________与直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x 轴________或________ 时，我们规定它的倾斜角为 0°.因此，直线的倾斜角 α 的取值范围为 __________________． (2)斜率：一条直线的倾斜角 α 的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母 k 表示，即 k＝______(α≠______)．当直线平行于 x 轴或者与 x 轴重合时，k______0；当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为 ______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．

新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第五节椭圆pptx课件北师大版

解得|PF1||PF2|=12.由三角形面积公式可得△F1PF2的面积为
1
|PF1||PF2|sin
2
1
√3
60°= ×12× =3√3.
2
2
考向3.利用椭圆定义求最值
典例突破
2 2
例 3.已知椭圆 8 + 2 =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线 l 交椭圆于
A,B 两点,则|AF2|+|BF2|的最大值为(
解析 (1)设过两点 P
3
,-4
5
2
2
(3) + =1
20
4
和Q
4
- ,3
5
的椭圆标准方程为
mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
代入 P,Q 坐标得,
2

x2+ =1.故选
25
A.
9

25
16

25
+ 16 = 1,
+ 9 = 1,
解得
= 1,
=
1 所以所求椭圆方程为
,
25
(2)因为方程(k-1)x2+(9-k)y2=1 表示椭圆,
△1 2 =
1
1
|PF1||PF2|= ×8×6=24.故选
2
2
A.
名师点析解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理,
其中|PF1|+|PF2|=2a两边平方是常用技巧.
对点训练2已知P是椭圆
2 2
+
16 9
=1上的点,F1,F2是椭圆的两个焦
点,∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为

高考数学总复习第九章解析几何9.5椭圆课件理新人教A版

x2
-a ≤x≤ a -b ≤y≤ b
对称轴: 坐标轴 A1 (-a,0) ,A2 (a,0) B1 (0,-b) ,B2 (0,b) 长轴 A1A2 的长为 |F1F2|= 2c
c e= ,e∈ (0,1) a
-b ≤x≤ b -a ≤y≤ a
,对称中心: (0,0) A1 (0,-a) ,A2 (0,a) B1 (-b,0) ,B2 (b,0)
�� 2 �� 2 �� 2
-15考点1 考点2 考点3
(2)由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a,��1 ⊥ ��2 ,故 |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2, 则(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2, 所以 2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2. 所以|PF1||PF2|=2b2. 所以��△��1 ��2 = 2|PF1||PF2| =2×2b2=b2=9. 所以 b=3.
+
��2 ��
2 =1(a>b>0)的两个焦点,P
为椭圆 C .
上的一点,且��1 ⊥ ��2 .若△PF1F2 的面积为 9,则 b=
答案: (1) +y2=1 (2)3
2 �� 2
-14考点1 考点2 考点3
解析: (1)因为点 P 在线段 MF 的垂直平分线上, 所以|PF|=|PM|,所以|PE|+|PF|=|PE|+|PM|=|EM|=2√2. 所以点 P 的轨迹为以 E,F 为焦点的椭圆. 设椭圆方程为�� 2 + �� 2 =1, 则 2a=2√2,c=1,所以 a=√2,b=1. 所以点 P 的轨迹方程为 2 +y2=1.

2019高考数学复习第九章平面解析几何9.4椭圆及其性质课件理

≠B)或
x2 m2
+
y2 n2
=1(m2≠n2).
(2)与椭圆 x2 + y2 =1共焦点的椭圆方程可设为
x
2
+
m2 n2
m2 k
-n2).
=1y(2k>-m2,k>
n2 k
(3)与椭圆
x a
2 2
+by22
=1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为ax22
+by22
=k1
(k1>0,焦点在x轴上)或
即e2< 1
2
,又0<e<1,∴ 2
2
<e<1.故椭圆C的离心率的取值范围是
2 2
,故1
选A.
方法 3 解决直线与椭圆位置关系问题的方法
1.判断直线与椭圆的位置关系,可通过讨论直线方程与椭圆方程组成的
方程组的实数解个数来确定.一般通过消元得关于x(或y)的一元二次方
程,若Δ>0,则直线与椭圆相交;若Δ=0,则直线与椭圆相切;若Δ<0,则直线
出的,参数b=② a2 c2 ,它是因为化简方程的需要而引入的,它具有明确的几何意义:b表示短半轴的长.
(2)求椭圆的标准方程应从“定形”“定式”和“定量”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点,以坐标轴为对称轴的情况下,焦点在哪条坐标轴上;“定式”是根据“形”设椭圆方程的具体形式;“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.
3.设A(x1,y1),B(x2,y2)为椭圆
x a
2 2
+by22
=1(a>b>0)上两点,弦AB的中点为P(x0,

高中数学第九章9.5椭圆(共87张PPT)

由于△ABF2 的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2| ＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，故 a＝4. ∴b2＝8. 的周长为 16，那么椭圆 C 的方程为
x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为＋＝1. 16 8 ________________．
基础知识题型分类思想方法练出高分
2
的直线 l 交 C 于 A，两点， B 且△ABF2
题型分类·深度剖析
题型一求椭圆的标准方程
思维启迪解析答案探究提高
【例 1】(1)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为 3，则椭圆的标准方程
x2 y2 x2 y2 ＋＝1 或＋＝1 12 9 9 12 为____________________________；
图形－a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
得 e (0<e<1)．
性质
范围对称性
对称轴：坐标轴对称中心：原点
题型分类思想方法练出高分
基础知识
基础知识·自主学习
要点梳理
A1(－a,0)，顶点 A2(a,0) B2(0，b) 性质焦距离心率 a，b，c 的关系轴 A1(0，－a)， A2(0，a) B2(b,0)
基础知识题型分类
.
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
变式训练 2 (2012· 安徽)如图，F1、F2 分别是椭圆 C： x2 y2 ＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，是椭圆 C 的顶点， A a2 b2
B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点， 1AF2＝60° ∠F . (1)求椭圆 C 的离心率； (2)已知△AF1B 的面积为 40 3，求 a，b 的值．

高考数学一轮复习第9章平面解析几何第5讲椭圆第1课时课件文

B．x32＋y2＝1
C．1x22 ＋y82＝1
D．1x22 ＋y42＝1
12/13/2021
第三十一页，共四十八页。
解析：选 A．由椭圆的定义可知△AF1B 的周长为 4a，所以 4a＝4 3，故 a＝ 3，又由 e＝ac＝ 33得 c＝1，所以 b2＝a2－ c2＝2，则 C 的方程为x32＋y22＝1，故选 A．
12/13/2021
第十二页，共四十八页。
＝x2＋4(1－x52)－1 ＝x52＋3．因为－ 5≤x≤ 5，所以当 x＝0 时， P→F1·P→F2取最小值为 3，当 x＝± 5时，P→F1·P→F2取最大值 4．所以P→F1·P→F2的范围为[3，4]．答案：[3，4]
12/13/2021
第十三页，共四十八页。
考点一椭圆的定义与应用
(1)已知椭圆x42＋y22＝1 的两个焦点是 F1，F2，点 P 在该
椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2 的面积是( )
A． 2
B．2
C．2 2
D． 3
(2)一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2， 3)
是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的
点分别为 F1，F2，过 F2的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，则△F1AB 的周长为( )
A．12
B．16
C．20
D．24
12/13/2021
第六页，共四十八页。
解析：选 C．△F1AB 的周长为 |F1A|＋|F1B|＋|AB| ＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B| ＝2a＋2a＝4a．在椭圆2x52＋1y62 ＝1 中，a2＝25，a＝5，所以△F1AB 的周长为 4a＝20，故选 C．

第9章平面解析几何椭圆

椭圆1．椭圆的概念平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c <2a ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数． 2．椭圆的标准方程和几何性质－a ≤x ≤a －b ≤x ≤b概念方法微思考1．在椭圆的定义中，若2a ＝|F 1F 2|或2a <|F 1F 2|，动点P 的轨迹如何？提示当2a ＝|F 1F 2|时动点P 的轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时动点P 的轨迹是不存在的． 2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示由e ＝ca ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2知，当a 不变时，e 越大，b 越小，椭圆越扁；e 越小，b 越大，椭圆越圆．1．（2019•北京）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则( )A ．222a b =B ．2234a b =C ．2a b =D ．34a b =【答案】B【解析】由题意，12c a =，得2214c a =，则22214a b a -=，22244a b a ∴-=，即2234a b =．2．（2019•新课标Ⅰ）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】22||2||AF BF =，2||3||AB BF ∴=，又1||||AB BF =，12||3||BF BF ∴=，又12||||2BF BF a +=，2||2aBF ∴=， 2||AF a ∴=，13||2BF a =， 12||||2AF AF a +=，1||AF a ∴=， 12||||AF AF ∴=，A ∴在y 轴上．在Rt △2AF O 中，21cos AF O a∠=，在△12BF F 中，由余弦定理可得222134()()22cos 222a a BF F a +-∠=⨯⨯，根据221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=，可得214202a a a-+=，解得23a =，a ∴222312b a c =-=-=．所以椭圆C 的方程为：22132x y +=．故选B ．3．（2018•全国）已知椭圆22221x y a b +=过点3(4,)5-和4(3,)5-，则椭圆离心率(e = )ABC ．15D ．25【解析】椭圆22221x y a b +=过点3(4,)5-和4(3,)5-，则2222169125916125a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得5a =，1b =，22224c a b ∴=-=，c ∴=c e a ∴=，故选A ．4．（2018•新课标Ⅰ）已知椭圆222:14x y C a +=的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A ．13B ．12CD【答案】C【解析】椭圆222:14x y C a +=的一个焦点为(2,0)，可得244a -=，解得a =， 2c =，c e a ∴===．故选C ．5．（2018•上海）设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】椭圆22153x y +=的焦点坐标在x轴，a =，P 是椭圆22153x y +=上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a = 故选C ．6．（2018•新课标Ⅱ）已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且的直线上，△12PF F 为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为( ) A ．23 B ．12 C ．13 D ．14【答案】D【解析】由题意可知：(,0)A a -，1(,0)F c -，2(,0)F c ，直线AP的方程为：)y x a +，由12120F F P ∠=︒，212||||2PF F F c ==，则(2)P c ，代入直线)AP c a =+，整理得：4a c =， ∴题意的离心率14c e a ==．故选D ．7．（2018•新课标Ⅱ）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为( ) A．1-B．2-CD1【答案】D【解析】1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，可得椭圆的焦点坐标2(,0)F c ，所以1(2P c)．可得：22223144c c a b +=，可得22131144(1)e e+=-，可得42840e e -+=，(0,1)e ∈，解得1e =．故选D ．8．（2017•全国）椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，点P 在C 上，22F P =，1223F F P π∠=，则C 的长轴长为( )A ．2B ．C ．2D ．2+【答案】D【解析】椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，则1c =， 2||2PF =，12||2||22PF a PF a ∴=-=-，由余弦定理可得22211221222||||||2||||cos 3PF F F PF F F PF π=+-，即21(22)44222()2a -=+-⨯⨯⨯-，解得1a =1a =-，22a ∴=+故选D ．9．（2017•上海）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=．P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ 的最大值．记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w =，则Ω中元素个数为() A ．2个 B ．4个C ．8个D ．无穷个【答案】D【解析】椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=．P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，可设(6cos ,2sin )P αα，(cos ,3sin )Q ββ，0α，2βπ<，则6cos cos 6sin sin 6cos()OP OQ αβαβαβ=+=-，当αβ=时，w 取得最大值6，则{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w =中的元素有无穷多对．另解：令(,)P m n ，(,)Q u v ，则22936m n +=，2299u v +=，由柯西不等式22222(9)(9)324(33)m n u v mu nv ++=+，当且仅当9mv nu =，取得最大值6，显然，满足条件的P 、Q 有无穷多对，D 项正确．故选D ．10．（2017•新课标Ⅰ）设A ，B 是椭圆22:13x y C m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足120AMB ∠=︒，则m的取值范围是( ) A ．(0，1][9，)+∞ B ．(0[9，)+∞ C ．(0，1][4，)+∞ D ．(0[4，)+∞【答案】A【解析】假设椭圆的焦点在x 轴上，则03m <<时，设椭圆的方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，设(,0)A a -，(,0)B a ，(,)M x y ，0y >，则22222a y a x b-=，MAB α∠=，MBA β∠=，AMB γ∠=，tan y x a α=+，tan y a xβ=-，则222222222222tan tan 2222tan tan[()]tan()1tan tan ()ay ay ab ab a y a x y y a b c yy bαβγπαβαβαβ+=-+=-+=-=-=-=-=------，222tan ab c yγ∴=-，当y 最大时，即y b =时，AMB ∠取最大值，M ∴位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足120AMB ∠=︒，120AMB ∠︒，60AMO ∠︒，tan tan 60AMO ∠=︒=解得：01m <；当椭圆的焦点在y 轴上时，3m >，当M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足120AMB ∠=︒，120AMB ∠︒，60AMO ∠︒，tan tan 60AMO ∠=︒=9m ，m ∴的取值范围是(0，1][9，)+∞故选A ．故选A ．11．（2017•浙江）椭圆22194x y +=的离心率是( )A B C ．23 D ．59【答案】B【解析】椭圆22194x y +=，可得3a =，2b =，则c所以椭圆的离心率为：c a =．故选B ．12．（2017•新课标Ⅲ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为( )A B C D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴a =，化为：223ab =．∴椭圆C 的离心率c e a ==．故选A ．13．（2020•上海）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于P 、Q 两点（点P在第二象限），若点Q 关于x 轴对称点为Q '，且满足PQ FQ ⊥'，求直线l 的方程是__________．【答案】10x y +-=【解析】椭圆22:143x y C +=的右焦点为(1,0)F ，直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于P 、Q 两点（点P 在第二象限），若点Q 关于x 轴对称点为Q '，且满足PQ FQ ⊥'，可知直线l 的斜率为1-，所以直线l 的方程是：(1)y x =--，即10x y +-=．故答案为：10x y +-=．14．（2019•浙江）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是__________．【解析】椭圆22195x y +=的3a =，b =2c =，23e =，设椭圆的右焦点为F '，连接PF '，线段PF 的中点A 在以原点O 为圆心，2为半径的圆，连接AO ，可得||2||4PF AO '==，设P 的坐标为(,)m n ，可得2343m -=，可得32m =-，n ，由(2,0)F -，可得直线PF 的斜率为2322=-+ 另解：由||2||4PF AO '==，||642PF =-=，||24FF c '==，可得416161cos 2244PFF +-'∠==⨯⨯，sin PFF '∠=，可得直线PF的斜率为sin cos PFF PFF '∠='∠15．（2019•上海）在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ，则1F P 与2F Q 的夹角范围为__________．【答案】1[arccos 3π-，]π【解析】设(,)P x y ，则Q 点(,)x y -，椭圆22142x y +=的焦点坐标为(，0)，0)， 121F P F P ，2221x y ∴-+，结合22142x y += 可得：2[1y ∈，2]故1F P 与2F Q 的夹角θ满足：222122212238cos 3[122(F P F Qy y y F P F Q x θ-====-+∈-++，1]3-故1[arccos 3θπ∈-，]π故答案为：1[arccos 3π-，]π．16．（2018•浙江）已知点(0,1)P ，椭圆22(1)4x y m m +=>上两点A ，B 满足2AP PB =，则当m =__________时，点B 横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由(0,1)P ，2AP PB =，可得122x x -=，1212(1)y y -=-，即有122x x =-，1223y y +=，又221144x y m +=，即为2221x y m +=，① 222244x y m +=，②①-②得1212(2)(2)3y y y y m -+=-，可得122y y m -=-，解得132m y -=，234my +=，则2223()2m m x -=+，即有222223109(5)16()244m m m m x m --+---+=-==，即有5m =时，22x 有最大值4，即点B 横坐标的绝对值最大．故答案为：5．17．（2018•北京）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________． 1；2【解析】椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标(,0)c ，正六边形的一个顶点(2c，可得：22223144c c a b +=，可得22131144(1)e e+=-，可得42840e e -+=，(0,1)e ∈，解得1e =．nm= 可得：223n m =，即2224m n m+=，可得双曲线的离心率为2e ==．1；2．18．（2017•上海）设椭圆2212x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在该椭圆上，则使得△12F F P 是等腰三角形的点P 的个数是__________．【答案】6【解析】如图所示，①当点P 与短轴的顶点重合时，△12F F P 构成以12F F 为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△12F F P ；②当△12F F P 构成以12F F 为一腰的等腰三角形时，共有4个．以2F P 作为等腰三角形的底边为例， 121F F F P =，∴点P 在以1F 为圆心，半径为焦距2c 的圆上因此，当以1F 为圆心，半径为2c 的圆与椭圆C 有2交点时，存在2个满足条件的等腰△12F F P ．同理可得：当以2F 为圆心，半径为2c 的圆与椭圆C 有2交点时，存在2个满足条件的等腰△12F F P ．综上可得：满足条件的使得△12F F P 是等腰三角形的点P 的个数为6．故答案为：6．19．（2019•上海）已知椭圆22184x y +=，1F ，2F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A ，B 两点．（1）若直线l 垂直于x 轴，求||AB ；（2）当190F AB ∠=︒时，A 在x 轴上方时，求A 、B 的坐标；（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得11F ABF MNS S=，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解析】（1）依题意，2(2,0)F ，当AB x ⊥轴时，则A，(2,B，得||AB = （2）设1(A x ，1)y ，11290(90)F AB F AF ∠=︒∠=︒，∴2212111111(2,)(2,)40AF AF x y x y x y =+-=-+=，又A 在椭圆上，满足2211184x y +=，即22114(1)8x y =-，∴221144(1)08x x -+-=，解得10x =，即(0,2)A ．直线:2AB y x =-+，联立222184y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得8(3B ，2)3-；（3）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(0,)M y ，4(0,)N y ，直线:2l x my =+，则11212121||||2||2F ABS F F y y y y =-=-， 1134341||||||2F MNSFO y y y y =-=-．联立222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)440m y my ++-=．则12242m y y m +=-+，12242y y m -=+．由直线1AF 的方程：11(2)2y y x x =++，得M 纵坐标13122y y x =+；由直线1BF 的方程：22(2)2y y x x =++，得N 的纵坐标24222y y x =+．若11F ABF MNSS=，即12342||||y y y y -=-，121212341212121222228()||||||||2||2244(4)(4)y y y y y y y y y y x x my my my my --=-=-==-++++++， 12|(4)(4)|4my my ∴++=，21212|4()16|4m y y m y y +++=，代入根与系数的关系，得22244|416|422m m m m m --++=++，解得m =∴存在直线20x +-=或20x -=满足题意．20．（2019•天津）设椭圆22221(0)x y ab a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||(ON OF O =为原点），且OPMN ⊥，求直线PB 的斜率．【解析】（Ⅰ）由题意可得24b =，即2b =，c e a ==222a b c -=，解得a =，1c =，可得椭圆方程为22154x y +=；（Ⅱ）(0,2)B ，设PB 的方程为2y kx =+，代入椭圆方程224520x y +=，可得22(45)200k x kx ++=，解得22045kx k=-+或0x =，即有220(45kP k -+，22810)45k k -+，2y kx =+，令0y =，可得2(M k-，0)，又(0,1)N -，OP MN ⊥，可得281011220k k k-=---，解得k =可得PB 的斜率为 21．（2019•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ．过2F 作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，1与圆2222:(1)4F x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D ．连结1AF 并延长交圆2F 于点B ，连结2BF 交椭圆C 于点E ，连结1DF ．已知152DF =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．【解析】（1）如图，22F A F B =，22F AB F BA ∴∠=∠，22212F A a F D DA F D F D ==+=+，1AD F D ∴=，则11DAF DF A ∠=∠， 12DF A F BA ∴∠=∠，则12//F D BF ，1c =，221b a ∴=-，则椭圆方程为222211x y a a +=-，取1x =，得21D a y a -=，则22112a a AD a a a -+=-=．又152DF =，∴2152a a +=，解得2(0)a a =>．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）由（1）知，3(1,)2D ，1(1,0)F -，∴2133224BF DF k k ===，则23:(1)4BF y x =-，联立223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22118390x x --=．解得11x =-或2137x =（舍)． ∴132y =-．即点E 的坐标为3(1,)2--．22．（2018•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点1(F ，0)，2F 0)，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若OAB ∆，求直线l 的方程．【解析】（1）由题意可设椭圆方程为22221,(0)x y a b a b+=>>，焦点1(F 0)，2F 0)，∴c =． 223114a b∴+=，又2223a b c -==，解得2a =，1b =．∴椭圆C 的方程为：2214x y +=，圆O 的方程为：223x y +=．（2）①可知直线l 与圆O 相切，也与椭圆C ，且切点在第一象限，因此k 一定小于0，∴可设直线l 的方程为y kx m =+，(0,0)k m <>．由圆心(0,0)到直线l22223,331m m kk ==++即．由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，可得222(41)8440k x kmx m +++-=， △222(8)4(41)(44)0km k m =-+-=，可得2241m k =+，223341k k ∴+=+，结合0k <，0m >，解得k =3m =．将k =3m =代入223x y y kx m⎧+=⎨=+⎩可得220x -+=，解得x 1y =，故点P的坐标为． ②设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由220,0330k m m k k <>⎧⎪=+⇒<⎨⎪>⎩．联立直线与椭圆方程得222(41)8440k x kmx m +++-=，21||x x -=O 到直线l的距离d =，221|||1AB x x k=-=+，OAB ∆的面积为211122S k=+⨯==，解得k =（正值舍去），m =y ∴=+23．（2017•全国）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的中心为O ，左焦点为F ，左顶点为A，短轴的一个端点为B ，短轴长为4，ABF ∆1- （1）求a ，b ；（2）设直线l 与C 交于P ，Q 两点，(2,2)M ，四边形OPMQ 为平行四边形，求l 的方程．【解析】（1）依题意得，222241()12ABF b S a c b a c b∆=⎧⎪⎪=-=⎨⎪-=⎪⎩，解得a =2b =，1c =（2）方法1（点差法）：由（1）得椭圆的方程为22154x y +=，因为四边形OPMQ 为平行四边形，设OM 的中点为D ，则D 也是PQ 的中点，因为(2,2)M ，则(1,1)D ，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，由题意22112222154154x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221212054x x y y --+=，变形得12121212()()()()054x x x x y y y y -+-++=，即121212124421455215PQy y x x k x x y y -+⨯==-⨯=-⨯=--+⨯，所以直线l 的方程为41(1)5y x -=--，即4590x y +-=．带入22154x y +=，检验△0>，有两个交点，满足题意．方法2（韦达定理法）:①当直线PQ 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，此时P Q y y =-，其中点为(1,0)，不成立； ②当直线PQ 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(1)y k x -=-，联立得221(1)154y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 化简得，222(54)10(1)510150k x k k x k k +--+--=，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，则12210(1)2154k k x x k -+==⨯+，解得45k =-，带入上述二次方程，检验得△0>，满足题意．所以直线l 的方程为41(1)5y x -=--，即4590x y +-=．1．（2020•河南模拟）已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 为椭圆的上顶点，若△BF 1F 2的外接圆的半径为2b3，则椭圆C 的离心率为（） A ．√22 B ．√32C ．12D ．23【答案】C【解析】设O 为坐标原点，△BF 1F 2的外心必在线段OB 上，且有c 2+(b −2b 3)2=(2b3)2，得b 2＝3c 2，即a 2﹣c 2＝3c 2，得a ＝2c ，∴椭圆C 的离心率为e =c a =12．故选C ．2．（2020•运城模拟）已知椭圆E ：x 2a+2+y 2a=1(a ＞0)的离心率为√22，若面积为4的矩形ABCD 的四个顶点都在椭圆E 上，点O 为坐标原点，则|OA |2＝（） A ．√2±12B ．3C ．3±12D ．3±√22【答案】D【解析】由椭圆E 的离心率为√22，得√a+2−a a+2=√22，即a ＝2．∴椭圆E 的方程为x 24+y 22=1，设A(2cosθ，√2sinθ)(θ∈(0，π2))，由椭圆与矩形的对称性可得该矩形的面积S =2cosθ×√2sinθ=1， ∴sin2θ=√22，即2θ=π4或3π4，可得cos2θ=±√22， ∴|OA|2=4cos 2θ+2sin 2θ=2cos 2θ+2=cos2θ+3=3±√22，故选D ．3．（2020•南岗区校级模拟）已知F 1、F 2是椭圆x 24+y 23=1的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 1为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则QF 1→⋅QF 2→=（） A ．2√3 B ．4 C ．3 D ．1【答案】C【解析】连接PF 2，由题意可知|PF 2|＝2|ON |，|NQ |=12|PF 1|，所以|OQ |＝|ON |+|NQ |=12（|PF 2|+|PF 1|）=12×4＝2，由极化恒等式可知QF 1→⋅QF 2→=|QO|2−14|F 1F 2|2=4−1=3，所以QF 1→⋅QF 2→=3，（极化恒等式：a →⋅b →=(a →+b →)2−(a →−b →)24）．故选C ．4．（2020•襄州区校级四模）已知F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、右顶点），若存在以√22c为半径的圆内切于△PF1F2，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．(13，√23]B．[√23，1)C．(0，√23]D．(0，13]【答案】D【解析】F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、右顶点），若存在以√22c为半径的圆内切于△PF1F2，可得：12×(2a+2c)×√22c=12×2c|y p|，∴(a+c)c=√2c|y p|≤√2bc，∴(a+c)≤√2b，∴（a+c）2≤2b2，则0≤a2﹣2ac﹣3c2，∵（a+c）（a﹣3c）≥0，∴a≥3c，∴0＜e≤13．故选D．5．（2020•马鞍山三模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a +y2b=1（a＞b＞0），过左焦点F（﹣2，0）倾斜角为π3的直线交椭圆上半部分于点A，以F A，FO为邻边作平行四边形OF AB，若点B在椭圆上，则b2等于（）A．√3B．2√3C．3√3D．4√3【答案】B【解析】依题意，c＝2，设A（x1，y1），B（x2，y2），∵四边形OF AB为平行四边形，∴y1＝y2，又x12a +y12b=1，x22a+y22b=1，∴x2＝﹣x1，又F A∥OB，且直线F A的倾斜角为π3，∴y1x1+2=y2x2=√3．∵y1＝y2，x2＝﹣x1，∴x1＝﹣1，x2＝1，y1=y2=√3．得A （﹣1，√3），将A 的坐标代入椭圆方程，可得1a 2+3b 2=1，①又a 2﹣b 2＝4，②联立①②解得：a 2=4+2√3，b 2=2√3．故选B ．6．（2020•福州三模）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的焦距为2，右顶点为A ．过原点与x 轴不重合的直线交C 于M ，N 两点，线段AM 的中点为B ，若直线BN 经过C 的右焦点，则C 的方程为（） A ．x 24+y 23=1 B ．x 26+y 25=1C ．x 29+y 28=1D ．x 236+y 232=1【答案】C 【解析】如图，设M （x 0，y 0），则N （﹣x 0，﹣y 0）， ∵A （a ，0），且线段AM 的中点为B ，∴B （a+x 02，y02），由B ，F ，N 三点共线，得FN →∥FB →，依题意，F （1，0）， ∴FN →=(−x 0−1，−y 0)，FB →=(a+x 02−1，y02)，即−(x 0+1)⋅y 02+(a+x 02−1)⋅y 0=0．又y 0≠0，解得a ＝3，∴b 2＝32﹣12＝8．可得C 的方程为x 29+y 28=1．故选C ．7．（2020•梅河口市校级模拟）已知经过原点O 的直线与椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)相交于M ，N 两点（M 在第二象限），A ，F 分别是该椭圆的右顶点和右焦点，若直线MF 平分线段AN ，且|AF |＝4，则该椭圆的方程为（） A ．x 29+y 25=1 B ．x 236+y 24=1 C ．x 236+y 232=1D ．x 225+y 224=1【答案】C【解析】由|AF |＝4，得a ﹣c ＝4，设线段AN 的中点为P ，M （m ，n ），则N （﹣m ，﹣n ），又A （a ，0），∴P （a−m 2，−n2），F （a ﹣4，0），∵点M 、F 、P 在同一直线上，∴k MF ＝k FP ，即n−0m−(a−4)=−n2−0a−m2−(a−4)，化简即可求得a ＝6，∴c ＝2，则b 2＝a 2﹣c 2＝32．故椭圆方程为x 236+y 232=1．故选C ．8．（2020•邵阳三模）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，MF →1⋅MF 2→=0，线段MF 2的延长线交椭圆C 于点N ，若|MF 1|，|MN |，|NF 1|成等差数列，则椭圆C 的离心率为（） A ．√22B ．√32C ．√23D ．√33【答案】A【解析】设|MF 2|＝m ，∵|MF 1|，|MN |，|NF 1|成等差数列， ∴2|MN |＝|MF 1|+|NF 1|，∴|MN |＝|MF 2|+|NF 2|＝2a ﹣|MF 1|+2a ﹣|NF 1|＝4a ﹣2|MN |， ∴|MN |=43a ， ∴|NF 2|=43a ﹣m ，∴|NF 1|＝2a ﹣（43a ﹣m ）=23a +m ， ∵MF →1⋅MF 2→=0，∴MF 1⊥MF 2，∴Rt △F 1MN 中，|NF 1|2＝|MN |2+|MF 1|2， ∴（2a ﹣m ）2+（43a ）2＝（23a +m ）2，整理可得m ＝a ， ∴|MF 2|＝a ，|MF 1|＝a ， ∴|F 2F 1|2＝|MF 2|2+|MF 1|2， ∴4c 2＝2a 2， ∴e =ca =√22，故选A ．9．（2020•启东市校级模拟）如图，已知A 为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上一点，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且以AB 为直径的圆过点F ，当∠ABF =π6时，该椭圆的离心率是__________．【答案】√3−1【解析】如图所示：，由题意可知，以AB 为直径的圆过F ，点F 为椭圆的右焦点，则∠AFB ＝90°，且AB ＝2c ，又∵∠ABF =π6，则AF ＝c ，BF =√3c ，设椭圆的左焦点为E ，由椭圆的对称性可得AE ＝BF ，由椭圆的定义得AF +BF ＝AE +AF ＝2a ，则c +√3c =2a ，即离心率e =ca =1+√3=√3−1，故答案为：√3−1．10．（2020•鼓楼区校级模拟）已知椭圆C ：x 24+y 23=1的焦点是F 1，F 2，A ，B 是C 上（不在长轴上）的两点，且F 1A →∥F 2B →．M为F 1B 与F 2A 的交点，则M 的轨迹所在的曲线是__________；离心率为__________．【答案】椭圆；45【解析】如图，延长AF 1交椭圆于D ．设A （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则B （﹣x 2，﹣y 2），由题意可知，AF 1的斜率不为0，可设AF 1：x ＝my ﹣1，则BF 1：yx+1=y 2x 2−1①，AF 2：yx−1=y 1x1−1②，∴y x+1⋅y x−1=y 1x 1−1⋅y 2x 2−1=y 1my 1−2⋅y 2my 2−2=y 1y 2m 2y1y 2−2m(y 1+y 2)+4．联立{x =my −1x 24+y 23=1，得(m 2+43)y 2−2my −3=0．∴y 1+y 2=2mm 2+43，y 1y 2=−3m 2+43，∴y 2x 2−1=−3−3m 2+163，由①②得，x+1y +x−1y=2m −2(y 1+y 2)y 1y 2，∴m =3x5y ， ∴y 2x 2−1=−3−3(3x 5y )2+163，整理得：x 2(54)2+y 2(34)2=1．∴M 的轨迹所在的曲线是椭圆；离心率e =√(54)2−(34)254=45．故答案为：椭圆；45．11．（2020•天心区校级模拟）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，短轴长为2，点P 为椭圆上任意一点，则1|PF 1|+4|PF 2|的最小值是__________．【答案】94【解析】据题意ca=√32，b ＝1，解得a ＝2，c =√3，于是|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝4，所以1|PF 1|+4PF 2|=14(1|PF 1|+4|PF 2|)(|PF 1|+|PF 2|)=14(5+|PF 2||PF 1|+4|PF 1||PF 2|)≥14(5+2√4)=94，当且仅当|PF 2|＝2|PF 1|，即|PF 2|=83，|PF 1|=43时等号成立．故答案为：94．12．（2020•东湖区校级模拟）已知椭圆x 2m 2+y 2=1（m ＞0）的焦点为F 1，F 2，若在长轴A 1A 2上任取一点M ，过点M 作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于点P ，若使得PF 1→•PF 2→＜0的点M 的概率为√63，则m 的值为__________．【答案】2或12【解析】联立椭圆x 2m 2+y 2=1（m ＞0），x 2+y 2＝c 2，当m ＞1时，解得x =±m√c 2−1c，故只要在长轴A 1A 2上任取一点M ，过点M 作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于点P ，若使得PF 1→•PF 2→＜0的点M的概率为√63，可得2m √c 2−1c2m=√63，m ＝2．当0＜m ＜1时，解得y ＝±√c 2−m 21−m 2，由2√c 2−m 21−m 22=√63，解得m =12．故答案为：2或12．13．（2020•桃城区校级模拟）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若C 的短轴长为4√6，且两个焦点恰好为长轴的2个相邻的五等分点，则此椭圆的标准方程为__________．【答案】x 225+y 224=1【解析】椭圆的短轴长为4√6，即4√6=2b ，∴b =2√6，即a 2﹣c 2＝24（*）． ∵2个焦点恰好为长轴的2个相邻的五等分点， ∴2c =15×2a ，得a ＝5c ，代入（*）式，解得c ＝1，a ＝5，故该椭圆的标准方程为x 225+y 224=1．故答案为：x 225+y 224=1．14．（2020•威海一模）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P(−1，32)是椭圆上一点，|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若A 为椭圆的右顶点，直线AP 与y 轴交于点H ，过点H 的另一直线与椭圆交于M 、N 两点，且S △HMA ＝6S △PHN ，求直线MN 的方程．【解析】（Ⅰ）因为|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，所以a ＝2c ，得a 2＝4c 2．又P(−1，32)在椭圆上，所以14c2+34c 2=1，所以c ＝1，a 2＝4，b 2＝a 2﹣c 2＝3，可得椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．（Ⅱ）因为P(−1，32)，由（Ⅰ）计算可知A （2，0），H （0，1），当直线MN 与x 轴垂直时，不合题意．当直线MN 与x 轴不垂直时，设直线MN 的方程为y ＝kx +1，联立直线与椭圆的方程{y =kx +1x 24+y 23=1，可得（4k 2+3）x 2+8kx ﹣8＝0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由韦达定理可得{x 1+x 2=−8k4k 2+3x 1x 2=−84k 2+3，由S △HMA ＝6S △PHN ，可得|AH ||MH |＝6|NH ||PH |，又|AH |＝2|PH |，所以|MH |＝3|NH |，得x 1＝﹣3x 2，带入①，可得{−2x 2=−84k +3−3x 22=−84k 2+3，所以3×16k 2(4k 2+3)2=84k 2+3，解得k =±√62，所以直线MN 的方程为y =±√62x +1．15．（2020•4月份模拟）已知椭圆，C 的中心为O ，左、右焦点分别为F 1，F 2．上顶点为A ，右顶点为B ，且|OB |、|OA |、|OF 2|成等比数列．（1）求椭圆C 的离心率；（2）判断△F 1AB 的形状，并说明理由．【解析】（1）设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为2a ，2b ，2c ，则|OB |＝a ，|OA |＝b ，|OF 2|＝c ，由题设可得b 2＝ac 及b 2＝a 2﹣c 2可得c 2+ac ﹣a 2＝0，即e 2+e ﹣1＝0，解得e =−1±√52，而e ∈（0，1），所以椭圆的离心率为e =−1+√52；（2）设椭圆的方程为：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），则A （0，b ），B （a ，0），F 1（﹣c ，0），因为b 2＝ac ，AF 1→=（﹣c ，﹣b ），AB →=（a ，﹣b ），所以AF 1→⋅AB →=−ac +b 2＝0，所以AF 1⊥AB ，即△ABF 1为直角三角形．16．（2020•潍坊模拟）已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右顶点与抛物线C 2：y 2＝2px （p ≥0）的焦点重合．C 1的离心率为12，过C 1的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截C 2所得的弦长为4√2．（1）求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；（2）过点M （3，0）的直线l 与椭圆C 1交于A ，B 两点，点B 关于x 轴的对称点为点E ，证明：直线AE 过定点．【解析】（1）由C 1的离心率为12，可得ca=12，所以a ＝2c ，因为椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，所以a =p2，p ＝2a ，所以可得p ＝4c ，过C 1的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截C 2所得的弦长为4√2，令x ＝c 代入抛物线的方程：可得y 2＝2p •c ，所以|y |=√2pc =2√2c ，即4√2=2⋅2√2c ，解得c ＝1，所以a ＝2，p ＝4c ＝4 由b 2＝a 2﹣c 2可得b 2＝4﹣1＝3，所以椭圆C 1和抛物线C 2的方程分别为：x 24+y 23=1，y 2＝8x ；（2）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：x ＝my +3，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由题意可得E （x 2，﹣y 2），直线与椭圆联立：{x =my +33x 2+4y 2−12=0，整理可得：（4+3m 2）y 2+18my +15＝0，△＝182m 2﹣4（4+3m 2）•15＞0，可得m 2＜7，y 1+y 2=−18m 4+3m2，y 1y 2=154+3m 2，直线AE 的方程为：y ﹣y 1=y 1+y2x 1−x 2（x ﹣x 1），整理可得：y =y 1+y2x 1−x 2x −y 1x 1+y 2x 1x 1−x 2+y 1x 1−y 1x 2x 1−x 2=y 1+y 2m(y 1−y 2)x −y 2(my 1+3)+y 1(my 2+3)m(y 1−y 2)=−18(y 1−y 2)(4+3m 2)x +24(y 1−y 2)(4+3m 2)=−18(y 1−y 2)(4+3m 2)（x −43）所以当x =43时，y ＝0，即过定点（43，0），所以可证直线AE 过定点（43，0）．17．（2020•大武口区校级一模）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的焦点为F 1，F 2，离心率为12，点P 为椭圆C 上一动点，且△PF 1F 2的面积最大值为√3，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）为椭圆C 上的两个动点，当x 1x 2+y 1y 2为多少时，点O 到直线MN 的距离为定值．【解析】（1）根据题意，因为P 在椭圆上，当P 是短轴端点时，P 到x 轴距离最大，此时△PF 1F 2面积最大，所以12×2c ×b =bc =√3，由{bc =√3c a =12a 2=b 2+c 2，解得{a =2b =√3c =1，所以椭圆方程为x 24+y 23=1．（2）根据题意，在x 1≠x 2时，设直线MN 方程为y ＝kx +m ，原点到此直线的距离为d =√1+k2，即d 2=m 21+k 2，由{y =kx +mx 24+y 23=1，得（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，△＝64k 2m 2﹣4（3+4k 2）（4m 2﹣12）＞0，m 2＜4k 2+3，所以x 1+x 2=−8km 3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2，x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=(1+k 2)⋅4m 2−123+4k 2−8k 2m 23+4k 2+m 2=7m 2−12(k 2+1)3+4k 2，所以当x 1x 2+y 1y 2＝0时，m 2=127(1+k 2)，d 2=m 21+k 2=127，d =2√217为常数．若x 1＝x 2，则y 1＝﹣y 2，x 1x 2+y 1y 2=x 12−y 12=0，x 12=y 12，x 2=127，d =|x|=2√217，综上所述，当x 1x 2+y 1y 2＝0时，点O 到直线MN 的距离为定值2√217． 18．（2020•大武口区校级一模）若椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的顶点到直线l 1：y ＝x 的距离分别为√2和√22．（1）求椭圆C 的标准方程（2）设平行于l 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求直线l 的方程．【解析】（1）由直线l 1：y ＝x 可知其与两坐标轴的夹角均为45°，故长轴端点到直线l 1的距离为√22a ，短轴端点到直线l 1的距离为√22b ，所以√22a =√2，√22b =√22，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．（2）设直线l ：y ＝x +t （t ≠0），联立{y =x +t x 24+y 2=1，整理得5x 2+8tx +4t 2﹣4＝0，则△＝64t 2﹣16×5（t 2﹣1）＞0，解得−√5＜t ＜√5，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8t5，x 1x 2=4t 2−45，故y 1y 2=(x 1+t)(x 2+t)=(x 1+x 2)t +x 1x 2+t 2=t 2−45，因为OA ⊥OB ，即OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=4t 2−45+t 2−45=0．解得t =±2√105，满足−√5＜t ＜√5且t ≠0，所以直线l 的方程为y =x +2√105或y =x −2√105． 19．（2020•海安市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 两点分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右顶点和上顶点，且AB =√7，右准线l 的方程为x ＝4．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点A 的直线交椭圆于另一点P ，交l 于点Q ．若以PQ 为直径的圆经过原点，求直线PQ 的方程．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c （c ＞0）．{a 2c=4a 2=b 2+c 2√a 2+b 2=√7，解得：{a 2=4b 2=3，所以椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1．（2）由题意得直线PQ 不垂直x 轴，设PQ ：y ＝k （x ﹣2）．联立{y =k(x −2)3x 2+4y 2=12可得（4k 2+3）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣12＝0． ∴x A +x P =16k 24k 2+3，x P =8k 2−64k 2+3， ∴P （8k 2−64k +3，−12k 4k +3）．联立{y =k(x −2)x =4，可得Q （4，2k ）．因为以PQ 为直径的圆经过原点，所以OP →⋅OQ →=4⋅8k 2−64k 2+3+2k ⋅−12k 4k 2+3=0．解得k =±√3．∴PQ 直线方程为：√3x −y −2√3=0，或√3x +y −2√3=0．20．（2020•渭南一模）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的顶点到直线l 1：y ＝x 的距离分别为√2和√22．（1）求椭圆C 的标准方程（2）设平行于l 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且|OA →+OB →|＝|AB →|，求直线l 的方程．【解析】（1）由直线l 1：y ＝x 可知其与两坐标轴的夹角均为45°，故长轴端点到直线l 1的距离为√22a ，短轴端点到直线l 1的距离为√22b ，所以√22a =√2，√22b =√22，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1；（2）设直线l ：y ＝x +t （t ≠0），联立{y =x +t x 24+y 2=1，整理得5x 2+8tx +4t 2﹣4＝0，则△＝64t 2﹣16×5（t 2﹣1）＞0，解得−√5＜t ＜√5，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8t5，x 1x 2=4t 2−45，故y 1y 2＝（x 1+t ）（x 2+t ）＝（x 1+x 2）t +x 1x 2+t 2=t 2−45，因为|OA →+OB →|＝|AB →|，所以OA ⊥OB ，即OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=4t 2−45+t 2−45=0，解得t ＝±2√105，满足−√5＜t ＜√5且t ≠0，所以直线l 的方程为y ＝x +2√105或y ＝x −2√105．21．（2020•长沙模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （c ，0），下顶点为P ，过点M （0，b2）的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．（1）当直线l 平行于x 轴时，P ，F ，A 三点共线，且P A =3√32，求椭圆C 的方程；（2）当椭圆C 的离心率为何值时，对任意的动直线l ，总有P A ⊥PB ？【解析】（1）当直线l 与x 轴平行时，即l ：y =12b ，如图，作AD ⊥x 轴交x 轴于点D ，则根据AD OP =FD OF =AF PF 12，可得A （32c ，12b ），且P A =32PF =32√c 2+b 2=32a =3√32，解得a =√3，又因为A 在椭圆上，所以94c 2a 2+14b 2b 2=1，解得c 2=13a 2＝1，所以b 2＝3﹣1＝2，所以椭圆C 的方程为x 23+y 22=1；（2）①当直线l 平行于x 轴时，由P A ⊥PB ，得k P A •k PB =32b √32a 32b −√32a =−1，∴a 2＝3b 2，又a 2＝b 2+c 2，∴2a 2＝3c 2，∴e 2=23， ∵e ∈（0，1），∴e =√63． ②当直线l 不平行于x 轴时，下面证明当e =√63时，总有P A ⊥PB ，事实上，由①知椭圆可化为x 23b2+y 2b 2=1，∴x 2+3y 2＝3b 2，设直线l 的方程为y ＝kx +b 2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{y =kx +b2x 2+3y 2=3b 2，得（1+3k 2）x 2+3kbx −94b 2=0，∴x 1+x 2=−3kb 1+3k 2，x 1x 2=−94b 21+3k 2，∵PA →=(x 1，y 1+b)，PB →=(x 2，y 2+b)， ∴PA →⋅PB →=x 1x 2+（y 1+b ）（y 2+b ）=x 1x 2+(kx 1+3b2)(kx 2+3b 2)=(1+k 2)x 1x 2+3kb 2(x 1+x 2)+94b 2=(1+k 2)⋅−94b 21+3k2+3kb 2⋅−3kb 1+3k2+94b 2=−94b 2(1+3k 2)1+3k 2+94b 2=−94b 2+94b 2=0．∴P A ⊥PB ，综上，当椭圆C 的离心率为√63时，对任意的动直线l ，总有P A ⊥PB ．22．（2020•阳泉三模）已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，且椭圆上一点P 的坐标为（√2，√22）．（1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求△ABC 面积的最大值．【解析】（1）由已知e =c a=√32，又a 2＝b 2+c 2，则a ＝2b ．椭圆方程为x 24b2+y 2b 2=1，将（√2，√22）代入方程得b ＝1，a ＝2，故椭圆的方程为x 24+y 2=1；（2）不妨设直线AB 的方程x ＝ky +m ，联立{x =ky +m x 24+y 2=1，消去x 得（k 2+4）y 2+2kmy +m 2﹣4＝0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有y 1+y 2=−2kmk 2+4，y 1y 2=m 2−4k 2+4，①又以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，∴CA →⋅CB →=0，由CA →=(x 1−2，y 1)，CB →=(x 2−2，y 2)，得（x 1﹣2）（x 2﹣2）+y 1y 2＝0，将x 1＝ky 1+m ，x 2＝ky 2+m 代入上式得：(k 2+1)y 1y 2+k(m −2)(y 1+y 2)+(m −2)2=0，将①代入上式求得m =65或m ＝2（舍），则直线l 恒过点（65，0）．∴S △ABC =12|DC|⋅|y 1−y 2|=12×45√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=825√25(k 2+4)−36(k 2+4)2，设t =1k 2+4（0＜t ≤14），则S △ABC =825√−36t 2+25t ， ﹣36t 2+25t 的对称轴方程为t =2572，在上（0，14]上单调递增， ∴当t =14时，取得最大值为1625．23．（2020•兴庆区校级四模）已知椭圆方程为x 26+y 23=1．（1）设椭圆的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上运动，求|PF 1|⋅|PF 2|+PF →1⋅PF 2→的值．（2）设直线l 和圆x 2+y 2＝2相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA ，OB 分别和圆x 2+y 2＝2交于两点，设△AOB ，△COD 的面积分别为S 1，S 2，求S1S 2的取值范围．【解析】（1）由已知，F 1（−√3，0），F 2（√3，0），设P （x ，y ），由焦半径公式可得|PF 1|⋅|PF 2|=(√6+√22x)(√6−√22x)=6−12x 2，PF 1→⋅PF 2→=(−√3−x ，−y)⋅(√3−x ，−y)=x 2+y 2﹣3．结合x 26+y 23=1，得y 2=3−12x 2，故|PF 1|⋅|PF 2|+PF →1⋅PF 2→=6−12x 2+12x 2=6；（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为x =±√2，由对称性，不妨设x =√2，此时A （√2，√2），B （√2，−√2），C （1，1），D （1，﹣1），故S 1S 2=21=2．若直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx +m ，由已知可得2=√2，则m 2＝2（1+k 2），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线l 与椭圆方程联立，得（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 2﹣6＝0． x 1+x 2=−4km2k 2+1，x 1x 2=2m 2−62k 2+1．结合|OC |＝|OD |=√2及y 12=3−12x 12，y 22=3−12x 22，可知S 1S 2=12|OA|⋅|OB|⋅sin∠AOB 12|OC|⋅|OD|⋅sin∠COD =12|OA|⋅|OB|=12√x 12+y 12⋅√x 22+y 22 =12√(3+12x 12)(3+12x 22)=12√9+32[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+14(x 1x 2)2．将根与系数的关系代入整理得：S 1S 2=12√9+12k m −6m +36k +18+(m −3)(2k 2+1)2，结合m 2＝2（k 2+1），得S1S 2=12√9+28k 4+44k 2+7(2k 2+1)2．设t ＝2k 2+1≥1，u =1t∈（0，1]，则S 1S 2=12√9+7t 2+8t−8t 2=12√−8t 2+8t +16=12√−8u 2+8u +16∈[2，3√22]． ∴S1S 2的取值范围是[2，3√22]．24．（2020•黄冈模拟）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为点F 1，F 2，左、右顶点分别为A ，B ，。

高考数学大一轮复习第九章解析几何第四节椭圆课件理

第四节椭圆
本节主要包括2个知识点： 1.椭圆的定义和标准方程； 2.椭圆的几何性质
突破点(一) 椭圆的定义和标准方程
基础联通
抓主干知识的“源”与“流”
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_常__数__(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的_焦__点__，两焦点间的距离叫做椭圆的_焦__距__．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
[例1] (2016·江苏高考)如图，在平面直
角坐标系xOy中，F是椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞
0)的右焦点，直线y＝
b 2
与椭圆交于B，C两
点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
b2 [解析] 将y＝b2代入椭圆的标准方程，得xa22＋b42＝1，
(2)若点 P 在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2 的面积．解：设 P 点坐标为(x，y)，x<0，y>0，∵∠F2F1P＝120°， ∴PF1 所在直线的方程为 y＝－ 3(x＋1)．
y＝－ 3x＋1，则解方程组x42＋y32＝1，
可得yx＝＝3－5853，.
0)，焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2. (2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程是__ay_22＋__xb_22_＝__1_ (a＞b＞
0)，焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)，其中c2＝a2－b2.
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
椭圆定义的应用
椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角
答案：B
2. [考点一](2017·浙江金丽衢十二校联考)若椭圆 C：x92＋y22＝1 的焦

高考总复习一轮数学精品课件第9章平面解析几何第5节第1课时椭圆的定义、方程与性质

16
由①②得|PF1|·
|PF2|= .
3
(2)(2024·广东梅州模拟)已知椭圆
2
C:
9
+
y2
=1
5
的左、右焦点分别为 F1,F2,过点
F2 的直线 l 与椭圆 C 的一个交点为 A.若|AF2|=4,则△AF1F2 的面积为
( D )
A.2 3
解析在椭圆
B. 13
2
C: 9
2
+ 5 =1
第5节椭圆
课标解读
1.通过圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界
和解决实际问题中的作用.
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义、
标准方程及简单几何性质.
3.能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程解
的问题,会根据根与系数的关系及判别式解决问题.
目录索引
1
2
强基础
∠F1PF2=θ.
(1)当P为短轴端点时,θ最大.
1
(2) S=2|PF1||PF2|sin
θ=b
θ
tan2=c|y0|
2
值,最大值为bc.
(3)焦点三角形的周长为2(a+c).
(4)|PF1|max=a+c,|PF1|min=a-c.
,当|y0|=b时,即点P为短轴端点时,S取最大
2.椭圆的焦点弦(过焦点的弦)中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长 lmin=
故2
2
+ 2 =1,则 =2.结合 a2=b2+c2,a+c=4+2
[对点训练 1](1)(2024·安徽芜湖模拟)设 P
2
为椭圆

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第5节第1课时椭圆及其标准方程课件文新人教A版

A.(±3，0)
B.(0，±3)
C.(±9，0)
D.(0，±9)
解析根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c2＝a2－b2＝25－16
＝9，∴c＝3，故焦点坐标为(0，±3)，故选B.
答案 B
基础诊断
考点突破
@《创新设计》
4.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1，0)，离心率等于12，则椭圆 C 的方程是( )
A.5
B.6
C.7
D.8
解析 (1)连接QA.由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的
轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.
(2)由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是10－2＝8.
答案 (1)A (2)D
＝±
215，又 x＞0，所以 x＝
215，∴P
点坐标为
215，1或
215，－1.
答案
215，1或
215，－1
基础诊断
考点突破
@《创新设计》
第1课时椭圆及其标准方程
基础诊断
考点突破
@《创新设计》
考点一椭圆的定义及其应用【例1】 (1)(选修1－1P42A7改编)如图，圆O的半径为定长r，
基础诊断
考点突破
@《创新设计》
规律方法 1.椭圆定义的应用主要有：判定平面内动点的轨迹是否为椭圆、求椭圆的标准方程和离心率等. 2.椭圆的定义式必须满足2a＞|F1F2|.
基础诊断
考点突破
@《创新设计》
【训练 1】(1)设定点 F1(0，－3)，F2(0，3)，动点 P 满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋9a(a>0)，

高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.6椭圆课件理

A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b)
x 轴，y 轴 F1(0，－c)，F2(0，c)
2c＝2 a2－b2
第三页，共四十四页。
自查自纠
1．(1)＞焦点焦距 (2)离心率 2．(2)ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
(5)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) (7)F1(－c，0)，F2(c，0) (9)e＝ac(0＜e＜1)
则椭圆的方程为( )
A.x82＋y62＝1
B.1x62 ＋y62＝1
C.x42＋y22＝1
D.x82＋y42＝1
2021/12/13
第十页，共四十四页。
解：设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)．由点 P(2， 3)在椭圆上知a42＋b32＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|
2021/12/13
第二十三页，共四十四页。
解：|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝|F1F2|2，即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，所以 3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，所以|PF1||PF2|＝43b2，
2021/12/13
第二十五页，共四十四页。
设 F1、F2 分别是椭圆x42＋y2＝1 的左、右
焦点，若椭圆上存在一点 P，使(O→P＋O→F2)·P→F2＝0(O 为
坐标原点)，则△F1PF2 的面积是________．解：因为(O→P＋O→F2)·P→F2＝(O→P＋F→1O)·P→F2＝F→1P·P→F2＝0，

第九章 9.4椭圆课件文课件

于 A，B 两点，且弦 AB 的长为交所得的弦的弦长问题时，常考虑
2 3，求 a 的值.
几何法.
题型分类·深度剖析
题型二
圆的切线与弦长问题
【例 2】已知点 M(3,1)，直线 ax 思维启迪解析思维升华
－y＋4＝0 及圆(x－1)2＋(y－2)2 解 (1)圆心 C(1,2)，半径 r＝2，当直线的斜率不存在时，方程为 x
直线 l 和圆 C 总有两个交点；总经过圆 C 内部的定点 P.
所以不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C
(2)求直线 l 被圆 C 截得的最总有两个交点. 短弦长.
题型分类·深度剖析
题型一
直线与圆的位置关系
思维启迪解析思维升华
【例 1】已知直线 l：y＝kx
(2)解由平面几何知识知过圆内
思维启迪解析思维升华
【例 1】已知直线 l：y＝kx ＋1，圆 C：(x－1)2＋(y＋1)2
故 t＝41k＋＋k32 的最大值为 4，此时|AB|
最小为 2 7.
＝12.
方法二 (1)证明圆心 C(1，－1)
(1)试证明：不论
k
为何实数，
到直线
l
的距离
d＝
|k＋2| ，圆 1＋k2
C
的
直线 l 和圆 C 总有两个交点； R半2－径dR2＝＝122－3，k2＋1＋4kk＋2 4
位置关系相离
r1，r2 的关系
d>r1＋r2
组成方程组的解的情况
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解
内切内含

高考数学第九章 平面解析几何 椭圆 第课时 ppt