2014学年第二学期十校联合体高二期中联考数学试卷附答案

2014学年第二学期十校联合体高二期中联考数学试卷（满分120分，考试时间：100分钟）一、选择题：1.已知幂函数()y f x =的图像过点(,则4log (2)f 的值为 （ ） A ．14 B ．14- C ．2 D ．2- 2.直线3x －3＝0的倾斜角是 ( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．不存在3．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为13，则该几何体的俯视图可以是( )(4. “ab<0”是“方程ax 2+by 2=1表示双曲线”的 ( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件既不充分也不必要条件52，则=m （ ） A.81 B. 8± C. 8 D. 8± 6.在等差数列}{n a 中，189-<a a，若它的前n 项和n S 有最大值，则使0>n S 成立的最大自然数n 的值为 （ ） A .15 B.16 C .17 D .187．已知圆x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0关于直线ax ＋by ＋1＝0(a 、b >0)对称，则1a ＋4b的最小值为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．208.如果满足60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ）A ．38=kB ．120≤<kC ．12≥kD ．120≤<k 或38=k9．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，则下列结论中错误．．的是 （ ）A ．D 1O ∥平面A 1BC 1B ．D 1O ⊥平面AMCC ．二面角M －AC －B 等于45°D ．异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°10.已知函数22(1)()714(1)x axx f x a x a x ⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩,若1212,x x R x x ∃∈≠，且,使得12()()f x f x =,则实数a的取值范围是 （ ） A ．[](]2,3,-5⋃-∞B ．(,2)(3,5)-∞⋃C ．[]2,3D ．[)5,+∞[二．填空题：11.已知 ()f x 是定义在R 上的奇函数，当 0x <时2()log (2)f x x =-，则(0)(2)f f +=_ _.12.若向量a =（2，-x ）与b =（x, -8）的夹角为钝角，则x 的范围为13．若不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥≥+-2005x a y y x 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围__ _ 14．直线ax ＋my －2a ＝0(m ≠0)过点(1,1)，则该直线的倾斜角为______ 15.若关于x 的方程042≥-+ax x 在区间[2,4]上恒成立，则实数a 的取值范围是 _．16.若函数()sinx bcosx f x a =-在x 3π＝处有最小值2-，则2-ba =17．给出下列四个命题：①椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为；，则c b =22 ②双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的焦点到渐近线的距离是b ；③已知抛物线px y 22=上两点)(11y x A ，, ),(22y x B ，且(0=⋅O 为原点),则221p y y -=；④动点M 到两定点A 、B 的距离之比为常数λ)10(≠>λλ且，则动点M 的轨迹是圆. 其中的真命题是_____________.(把你认为是真命题的序号都填上)三、解答题：18．在△AB C 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知向量()m a c b a =+-，，()n a c b =-，，m n ⊥且．(1) 求角C 的大小；(2) 若sin sin A B +=A 的值．19．已知函数m xmx x f ++=)(（),1[∞+∈x 且1<m ）.（1）用定义证明函数)(x f 在),1[∞+上为增函数； （2）设函数232)()(++⋅=x x f x x g ，若[2, 5 ]是)(x g 的一个单调区间，且在该区间上0)(>x g 恒成立，求实数m 的取值范围.20．已知等差数列{a n }的前三项为a －1,4,2a ，记前n 项和为S n .(1)设S k ＝2 550，求a 和k 的值；(2)设b n ＝S nn ，求b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1的和．21．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面P AD ⊥平面ABCD ,90ABC BCD ∠=∠=︒12PA PD DC CB AB ====，E 是BP 的中点.（1）求证：EC//平面APD ；（2）求BP 与平面ABCD 所成角的正切值；（3）求二面角P AB D --的的正弦值．22．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于异于椭圆顶点的两点A ，B ，且AP →＝2PB →. (1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．2014学年第二学期十校联合体高二期中联考答案及评分标准一．选择题（每小题4分，共40分；）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ACDCBACDCB二．填空题（每小题4分，共28分）11．-2 12． X<0且x 4≠ 13． 75<≤a 14． 13515 . 0≥a 16． 132-- 17．①②④ 三．解答题（共52分）18．（本题满分10分） 解：(1) 由()()()0;m n a c a c b a b ⊥+-+-=得整理得2220.a b c ab +--= 即222.a b c ab +-=又2221cos .222a b c ab C ab ab +-===又因为0C π<<， 所以3C π= …………（4分）(2) 因为3C π=，所以2,3A B π+=故2.3B A π=- 由2sin sin sin sin()3A B A A π+=+-=即1sin sin 2A A A ++= cos A A +即sin()6A π+=. …………（7分）因为250.3666A A ππππ<<<+<，所以故.43646ππππ=+=+A A 或 所以7.1212A A ππ==或…………（10分） 19．（本题满分10分）（Ⅰ）设121x x ≤<<+∞121212()()()()m m f x f x x m x m x x -=++-++=（12x x -）（121mx x -）∵121x x ≤<<+∞, 1m < ∴12x x -＜0, 121mx x -＞0 ∴12()()f x f x < ∴函数()f x 在[1,)+∞上为增函数 …………（4分） （Ⅱ）233()()2(2)22m g x x x m x x m x m x =++++=++++ 对称轴22m x +=-，定义域x ∈[2, 5] ①()g x 在[2, 5]上单调递增且()0g x >622192196(2)06m m m m g ≥-+⎧⎧-≤⎪⎪⇒⇒>-⎨⎨>-⎪⎪>⎩⎩…………（7分） ②()g x 在[2, 5]上单调递减且()0g x >2125273(5)012m m m g +≤-⎧⎧-≥⎪⎪⇒⇒⎨⎨>-⎪⎪>⎩⎩无解 又1m <,综上所述1916m -<< …………（10分） 20．（本题满分10分）解 (1)由已知得a 1＝a －1，a 2＝4，a 3＝2a ， 又a 1＋a 3＝2a 2，∴(a －1)＋2a ＝8，即a ＝3. ∴a 1＝2，公差d ＝a 2－a 1＝2. …………（2分） 由S k ＝ka 1＋k (k －1)2d ，得2k ＋k (k －1)2×2＝2 550，即k 2＋k －2 550＝0，解得k ＝50或k ＝－51(舍去)．∴a ＝3，k ＝50. …………（5分） (2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ， 得S n ＝2n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋n .∴b n ＝S nn ＝n ＋1. ∴{b n }是等差数列． ………………………（8分）则b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1＝(3＋1)＋(7＋1)＋(11＋1)＋…＋(4n －1＋1)＝(4＋4n )n2.∴b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1＝2n 2＋2n . ………………………（10分） 21．（本题满分12分）解：（1）如图，取PA 中点F ，连结EF 、FD ，∵E 是BP 的中点，∴EF//AB 且1EF AB =，又∵1 ,2DC AB DC AB =い∴EF //DC ∴四边形EFDC 是平行四边形，故得EC//F D ……2分 又∵EC ⊄平面PAD ，FD ⊂平面PAD ∴EC//平面ADE …………4分（2）取AD 中点H ，连结PH ，因为PA ＝PD ， 所以PH ⊥AD∵平面P AD ⊥平面ABCD 于AD ∴PH ⊥面ABCD ∴HB 是PB 在平面ABCD 内的射影 ∴∠PBH 是PB 与平面ABCD 所成角 ∵四边形ABCD 中，90ABC BCD ∠=∠=︒ ∴四边形ABCD 是直角梯形，12DC CB AB ==设AB=2a，则BD =，在ABD ∆中,易得45DBA ∠=︒,AD ∴=…………6分2PH ==，又∵22224BD AD a AB +==，∴ABD ∆是等腰直角三角形，90ADB ∠=︒∴HB = ∴在Rt PHB ∆中，tan PH PBH HB ∠=== …………8分 (3)在平面ABCD 内过点H 作AB 的垂线交AB 于G 点，连结PG ，则HG 是PG 在平面ABCD 上的射影，故PG ⊥AB ，所以∠PGH 是二面角P-AB-D 的平面角，由AB=2aHA =，又45HAB ∠=︒∴1,2HG a PG ==， …………10分 在Rt PHG ∆中，sin PH PGH PG ∠=== ∴二面角P-AB-D…………12分(注：本题通过建立坐标系用空间向量处理酌情给分)22．（本题满分10分）解 (1)由题意，知椭圆的焦点在y 轴上， 设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意，知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1. …………3分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，知直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y ，得 (2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0， …………（5分）由根与系数的关系，知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk 2＋k 2，x 1·x 2＝m 2－42＋k2，又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )，所以－x 1＝2x 2. …………（7分）则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22，所以m 2－42＋k 2＝－2⎝⎛⎭⎫2mk 2＋k 22. 整理，得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2， 又9m 2－4＝0时等式不成立，所以k 2＝8－2m 29m 2－4>0，得49<m 2<4，此时Δ>0.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫23，2. …………（10分）。