微分、差分方程习题答案(上大)
微分方程单元测试题(含答案)
微分方程单元测试题(含答案)题目一已知微分方程 $\frac{dy}{dx} = 2x$，求出这个微分方程的通解。
答案：根据微分方程的定义，我们可以利用变量分离法来求解这个微分方程。
首先我们将 $\frac{dy}{dx} = 2x$ 两边同时乘以 $dx$ 和$\frac{1}{2x}$，得到 $\frac{dy}{2x} = dx$。
然后我们进行积分，得到 $\int \frac{dy}{2x} = \int dx$。
将积分限写入，得到 $\int\frac{dy}{2x} = \int_{y_0}^y dx$（这里 $y$ 是变量 $x$ 的函数）。
对于左边的积分，我们可以用换元法来进行计算，令 $u = 2x$，则$du = 2dx$。
将其代入积分式中，得到 $\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln|u| + C_1 = \ln|u|^{1/2} + C_1$ （其中 $C_1$ 是常数）。
对于右边的积分，我们可以直接计算得到 $x + C_2$（其中$C_2$ 是常数）。
将左右两边的积分结果合并，得到 $\ln|u|^{1/2} + C_1 = x + C_2$，进一步化简得到 $\ln|2x|^{1/2} = x + C_3$，其中$C_3 = C_2 - C_1$ 是常数。
对等式两边同时取指数函数，得到$|2x|^{1/2} = e^{x + C_3}$，再进一步化简得到 $|2x|^{1/2} = e^{x}e^{C_3}$。
最后取绝对值，得到 $2x = \pm e^{x} e^{C_3}$，进一步化简得到 $x = \pm \frac{e^{x} e^{C_3}}{2}$。
因此，微分方程的通解为 $x = \pm \frac{e^{x} e^{C_3}}{2}$，其中 $C_3$ 是常数。
题目二已知微分方程 $\frac{dy}{dx} + y = 3x$，求出这个微分方程的特解。
微分差分方程习题答案(上大)
第七章 微分方程与差分方程习题7－1（A ）1．一阶)1( 二阶)2( 一阶)3( 2. (1) 不是 (2) 是 (3) 是 (4) 是3．25)1(22=-x y x xe y 2)2(= x y c o s)3(-= 4．2)1(x y = 02)2(=+'x y y习题7－1（B ）1．1)1()1(22=+'y y 02)2(=-'+''xy y y x 2．)()1(2为比例系数k TPk dT dP = )()2(21为比例系数k v k t k dtdvm-= 习题7－2（A ）1．xC e y =)1( C x x y ++=325121)2( )1(ln 1)3(x a a C y --+=C x y =+-1010)4( C x y +=a r c s i n a r c s in )5( C x y +--=2212)6( 34121)21()7(x y C -=-C y x =t a n t a n)8( 3)1(t a n )9(-=x e C y C e e y x =-+)1()1()10(2．)1(21)1(2+=xy e e 0c o s 2c o s )2(=-y x 2tan )3(x ey = )1(ln 21)1(ln 2)4(2e e y x +-++=6.3=xy231.4x y =习题7－2（B ）)(10,64.90305.0.123s h t 水流完所需时间约为+-=)/(3.26972500.2s cm v ≈=t e R R 000433.00.3-=t et v 52ln 6)(.4-=t k mt k me v e g kmv --+-=0)1(.51)1(.6--=m axb y31.7xe C y x-=习题7－3（A ）1．1)1(+=x C e x y 222)2(Cx x y y =-+)(ln )3(222Cx x y =2)ln()4(x C x y = )0()5(>=x e x y x C xy sh C x 32)6(= 2．x xyln sin)1(= 2)2(22=++y x y3． C xy =4．C y x y =++22习题7－3（B ）1．331)1(yCy x =- C ye x x y=+2)2( 223)3(x y y -= 1)4(22=++yx y x2*． Cy x y x C x y x y Cx yx y C x y x y =--++=-++-=-+-+=-+--)2(ln 23)4()1()1()3(12arctan])1(4ln[)2()32()34()1(52222 习题7－4（A ）1．)()1(C x e y x +=- )()2(s i n C x e y x+=-)(1)3(2x x e Ce xy +=x x C y 2c o s 2c o s)4(-= 1sin )5(2-+=x Cx y )2()2()6(3-+-=x C x y 2．xxy cos 1)1(--=π xxy cos )2(=15sin )3(cos =+x e x y )4(32)4(3θρ--=e )1(2)5(1132--=xe x y3．)1(2--=x e y x 4．,)1()()2(,)()1(kt e a a t y a y k dtdy--+=--= 量的相对忘记速率。
《微积分》上册部分课后习题答案
《微积分》上册部分课后习题答案习题五（A）1．求函数 f x ，使 f ′ x x 23 x ，且 f 1 0 .解：f ′ x x 2 5x 6 1 5 f x x3 x 2 6 x C 3 2 1 5 23 f 1 0 6 C 0 C 3 2 6 15 23 f x x3 x 26 x 3 2 6 12．一曲线y f x 过点（0，2），且其上任意点的斜率为x 3e x ，求 f x . 2 1解：f x x 3e x 2 1 2 f x x 3e x C 4 f 0 2 3 C 2 C 1 1 2 f x x 3e x 1 4 ∫ 23．已知f x 的一个原函数为 e x ，求 f ′ xdx . 2 2解：f x e x ′ 2 xe x∫ f ′ xdx 2 f x C 2 xe x C dx4．一质点作直线运动，如果已知其速度为3t 2 sin t ，初始位移为s0 2 ，求s 和t 的函dt数关系.解：S t 3t 2 sin t S t t 3 cos t CS 0 2 1 C 2 C 1 S t t 3 cos t 15．设ln f x′ 1 ，求f x . 1 x2解：ln f x′ 1 ln f x arctan x C11 x2 f x earctan x C1 Cearctan x C gt 0 1 16．求函数f x ，使f ′ x e 2 x 5 且f 0 0 . 1 x 1 x 2 1 1 1解：f x e x 5 f x ln x 1 arcsin x e 2 x 5 x C 1 x 1 x 2 2 1 1 f 0 0 0 0C 0 C 2 2 1 2x 1 f x ln x 1 arcsin x e 5x 2 27．求下列函数的不定积分x x2 ∫ ∫ dt（1）dx （2）x a t 1 x2 1 ∫ ∫x m n（3）x dx （4）dx 2 1 x4 1 1 sin 2 x（5）∫x 2 1 dx （6）∫ sin x cos x dx 1 cos 2 x ∫ ∫ cos 2 x （7）dx （8）dx sin x cos x 1 cos 2 x ∫ sin （10）cos 2 sin 2 x dx ∫ cos 2 x x（9）2 2 dx x cos x 2 cos 2 x 1 2x 1 ∫ sin ∫e e （11）dx （12）dx 2 x cos x 2 x 1 2 × 8x 3 × 5x 2 x 1 5 x 1（13）∫ 8x dx （14）∫ 10 x dx e x x e-x （15）∫ x dx ∫ （16）e x 2 x 1 3x dx 1 x 1 x x 2 1 1 x 2 5 x（17）∫ dx 1 x 1 x （18）∫ x 1 x2 dx 1 x2 1 cos 2 x（19）∫ 1 x4 dx （20）∫ 1 cos 2 x sin2 x dx x3 x 1 x4 x2（21）∫ x 1 x 2 2 dx （22）∫ 1 x 2 dx 1 3 35 ∫ 2 2解：（1）x 2 x 2 dx x 2 x 2 C 3 5 1 d t 1 ∫ 1 2（2）. 1 t 1 2 C a a t 1 2 n nm ∫ x m dx m x m C m ≠ n m ≠ 0 nm n ∫（3）x m dx In x C m n dx x C ∫ m0 2（4）1 ∫ x2 1 dx x 2 arctan x C x 2 x 2 1 x 2 1 x3（5）∫ x 1 2 dx 3 x 2 arctan x C sin 2 x cos 2 x 2 sin x cos x sin x cos x 2（6）∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos xdx sin x cos x C cos 2 x sin 2 x（7）∫ sin x cos x dx cos x sin xdx ∫ sin x cos x C 1 cos 2 x ∫ 2 cos ∫ cos 1 1 1 x（8）2 dx 2 1 dx tan x C x 2 x 2 2 cos 2 x sin 2 x 1 1（9）∫ sin 2 x cos 2 x dx 2 ∫ sin x cos 2 x dx cot x tan x C cos x 1 1 cos 2 x cos x cos 2 x（10）∫ 2 2 dx 2 2 1dx ∫ 1 1 x sin x sin 2 x C 2 4 cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x ∫ ∫ cos 1（11）2 2 dx 2 2 dx 2 tan x C sin x cos x x ∫（12）e x 1 dx e x x C x 5 x 5（13）2 dx 3 dx 2 x 3 8 C ∫ ∫ 8 5 ln 8 x x（14）2 dx dx ∫ 5 ∫ 1 1 1 2 x 1 5 2 x C 5 2 ln 5 5 ln 2（15）e x dx e x ln x C ∫ 1 x ∫ 2x 3e x 6x（16）e x6 x 2 x 3e x dx e x C ln 2 l ln 3 ln 6 1 x 1 x ∫ ∫ 1（17）dx 2 dx 2 arcsin x C 1 x 2 1 x2 x2 1（18）∫ dx 1 x 2 ln x 5 arcsin x C 5 x 2 1 x 2 ∫ 1（19）dx arcsin x C 1 x2 1 cos 2 x 1 1 ∫ 2 cos ∫ 1 x（20）dx 1dx tan x C 2 x 2 cos 2 x 2 2 x x 2 1 1 1 1 1 ∫ ∫ 1（21）dx 2 x dx ln x arctan x C x 2 1 x 2 x 1 x2 x x 4 1 x 2 1 2 2 x3（22）∫ 1 x 2 d x x 2 2 ∫ 2 1 x dx 3 2 x 2 arctan x C8．用换元积分法计算下列各题. x4（1）∫ x2 dx ∫ （2）3x 28 dx .。
差分方程口算练习题及答案2023
差分方程口算练习题及答案2023一、选择题1. 下列哪个是差分方程的定义？A. 一种数列的定义方式B. 一种微分方程的定义方式C. 一种函数的定义方式D. 一种积分方程的定义方式2. 已知差分方程 y[n] - 3y[n-1] + 2y[n-2] = 0，其中 y[0] = 1 和 y[1] = 2，求 y[3] 的值。
A. -1B. 0C. 1D. 23. 已知差分方程 y[n+1] = 2y[n]，其中 y[0] = 1，求 y[3] 的值。
A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题1. 根据差分方程 y[n+1] - 2y[n] = 3，求 y[2] 的值。
答案：72. 根据差分方程 y[n] + 3y[n-1] = 6，其中 y[0] = 1，求 y[2] 的值。
答案：-1三、解答题1. 求解差分方程 y[n+1] - y[n] = 2，其中 y[0] = 1 的递推式。
解：首先写出给定的差分方程 y[n+1] - y[n] = 2，然后将递推式用y[n] 表示为 y[n+1] = 2 + y[n]。
代入 y[0] = 1，可以得到 y[1] = 2 + 1 = 3，再代入 y[1] = 3，可以得到 y[2] = 2 + 3 = 5。
因此，递推式为 y[n+1] = 2 + y[n]。
2. 求解差分方程 y[n+2] - 2y[n+1] + y[n] = 0，其中 y[0] = 1，y[1] = 3 的递推式。
解：首先写出给定的差分方程 y[n+2] - 2y[n+1] + y[n] = 0，然后将递推式用 y[n] 表示为 y[n+2] = 2y[n+1] - y[n]。
代入 y[0] = 1 和 y[1] = 3，可以得到 y[2] = 2(3) - 1 = 5，再代入 y[1] = 3 和 y[2] = 5，可以得到 y[3] = 2(5) - 3 = 7。
因此，递推式为 y[n+2] = 2y[n+1] - y[n]。
高等数学微分方程试题及答案(最新整理)
第九章 常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式：通解()()()()0≠=y Q y Q x P dxdy()()⎰⎰+=C dx x P y Q dy（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解 ()()()()C dy y N y N dx x M x M =+⎰⎰1221()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程⎪⎭⎫⎝⎛=x y f dx dy 令， 则 u x y =()u f dxdux u dx dy =+=()cx c xdxu u f du +=+=-⎰⎰||ln 二．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程 它也是变量可分离方程，通解，（为任意常数）()0=+y x P dxdy ()⎰-=dxx P Ce y c 2．一阶线性非齐次方程用常数变易法可求出通解公式()()x Q y x P dxdy=+ 令 代入方程求出则得()()⎰-=dxx P e x C y ()x C ()()()[]⎰+=⎰⎰-Cdx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dxdy令把原方程化为再按照一阶线性α-=1yz ()()()()x Q z x P dxdzαα-=-+11非齐次方程求解。
4．方程：可化为 以为自变量，()()x y P y Q dx dy -=1()()y Q x y P dydx=+y x为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
三、可降阶的高阶微分方程方程类型解法及解的表达式()()x f yn =通解()()n n n n nn C x C x C x C dx x f y +++++=---⎰⎰12211次()y x f y '='',令，则，原方程p y ='p y '=''⇒——一阶方程，设其解为，()p x f p ,='()1,C x g p =即，则原方程的通解为。
(完整版)微分方程试题及部分应用题答案整理版
第十章微分方程习题一.填空题：（33）1-1-40、微分方程4233''4''')'(x y x y y 的阶数是 . 1-2-41、微分方程0'2'2xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、微分方程0d d d d 22sxs x s的阶数是 .1-4-43、x y y y y sin 5''10'''4)()4(的阶数是 .1-5-44、微分方程xyxy2d d 满足条件1|'0xy 的特解是 .1-6-45、微分方程0d d yxy的通解是 .1-7-46、方程y e y x'的通解是 . 1-8-47、方程y y y ln '的通解是 .1-9-48、方程04'4''y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''yy y 的通解是 .1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221r r 则二阶常系数齐次微分方程为1-13-52、微分方程xe y ''的通解为 . 1-14-53、微分方程x e y xsin ''2的通解为 .1-15-54、若0d ),(dx ),(yy x Q y x P 是全微分方程, 则Q P,应满足 .1-16-55、与积分方程xy x f yx x d ),(0等价的微分方程初值问题是 .1-17-56、方程0d )2(d )(22yxy xx y xy 化为齐次方程是 .1-18-57、通解为21221,(C C e C eC yxx 为任意常数)的微分方程为 .1-19-58、方程yx e y 2'满足条件0xy 的特解是 .1-19-59、方程0dy1dx2x xy 化为可分离变量方程是1-20-60、方程xy y 2'的通解是1-21-61、方程x yxyxy xyd d d d 22化为齐次方程是1-22-62、若t ycos 是微分方程09''yy 的解, 则.1-23-63、若ktCe Q 满足Qdt dQ03.0, 则k.1-24-64、y y 2'的解是1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x 1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为1-26-66、圆222r yx 满足的微分方程是1-27-67、ax ae y满足的微分方程是1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dyx Q yx P x的通解是 .1-29-69、已知特征方程的两个根3,221r r , 则二阶常系数线性齐次微分方程为 .1-30-70、方程25x y是微分方程y xy 2'的解.1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与之和.1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''qypy y 对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为 .1-33-73、将微分方程0)2()(22dyxy xdxy xy写成齐次微分方程的标准形式为二.选择题：（29）2-1-56、微分方程yx2dxdy 的通解是 ( )A.2x yB.25x y C.2Cx yD.Cxy 2-2-57、微分方程0dy 1dx 2x xy 的通解是 ( ) A.21x eyB.21x CeyC.x C yarcsin D.21xC y 2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )A.0dy dx )(2x y xB. 0dy dx x yC.0dy)(1dx)1(xy y xy D.dydx)(22xy y x2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( ) A.xxe e 32, B.x x 2sin ,2cos C. x x x sin cos ,2sin D.2ln ,ln xx 2-5-60、方程03'2''y y y 的通解是 ( )A.xxe C eC y 321 B. xxeC eC y 321 C.xx eC eC y 321 D.xxeC e C y3212-6-61、方程0''y y 的通解是 ( ) A.x C ysin B.x C ycos C.x C xycos sin D.xC xC ycos sin 212-7-62、下列方程中是可分离变量的方程是( )A.xyyx 33dxdy B.dy 2dx)3(2xy y exC.234dxdy xyyx D.yx xyy321dxdy 2-8-63、微分方程0cot 'x y y 的通解是 ( ) A.x C ycos B.x C ysin C.x C ytan D.xC ycsc2-9-64、已知微分方程0''pyy 的通解为)(212x C C e yx,则p 的值是 ( )A.1B.0C.21D.412-10-65、微分方程02'yy 的通解是 ( )A.C x y2sin B.C eyx24 C.xCe y2 D.xCey 2-11-66、方程xy2dx dy的通解是 ( )A.C ex2B.Cxe2C.2CxeD.2)(C x e2-12-67、xe y ''的通解为y( )A.xe B.xe C.21C xC exD.21C x C ex2-13-68、微分方程xe21dxdy满足1xy 的特解为 ( )A.1221xeyB.3221x ey C.C ey x212 D.212121xey2-14-69、微分方程0ydy-dx 3x 的通解是 ( ) A.Cyx2422B.Cyx2422C.2422yxD.12422yx2-15-70、微分方程0ydy-dx 3x 的通解是 ( )A.222yxB.933yxC.133yxD.13333yx2-16-71、过点,0()2的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )A.32xyB.52xy C.53xey D.5xCe y 2-17-72、齐次方程x yxy tandx dy化为可分离变量的方程, 应作变换 ( )A.2ux yB.22x u yC.ux yD.33xu y2-18-73、设方程)()('x Q y x P y 有两个不同的解21,y y ,若21y y 也是方程的解,则( ) A.B.0 C. 1 D.,为任意常数2-19-74、方程dx 2dx dy y x x 的通解是 ( ) A.x Cxy2B. x xC y2sin C.C xy 2cos D.Cxy 22-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )A.xyxy 2'B .xxyy sin 'C .xyy' D.xyy 2'2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )A.y xy' B.y xy'C.x yy' D.xy y'2-22-77、方程2)3(,0'y yy 的解是 ( )A.xey 32 B.xey 32 C.32x ey D.32x ey 2-23-78、微分方程x y y ln '的通解是 ( ) A.xx eyln B. xx Ceyln C.xx x ey ln D.xx x Cey ln 2-24-79、下列哪个不是方程y y 4''的解 ( )A. xey22 B.xe y2 C.xey 2 D.xey 22-25-80、方程0sin '''653)4(yy y y x xyy的阶是 ( )A. 6B. 5C. 4D. 32-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x2，则这条曲线是( )A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D. 圆2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )A.xyy x dxdy33B.2)3(2xydy dxy exC. xy yx dxdy D.yx xyy dxdy 3212-28-83、微分方程0cot 'xy y 的通解是 ( )A.x C ycos B.x C ysin C.x C ytan D.xC y csc 2-29-84、已知微分方程0''pyy 的通解为)(212x C C e yx ,则p 的值( )A. 1B. 0C.21D.41三.计算题：（59）3-1-52、0d tan sec d tan sec 22y x y x y x 3-2-53、0ln 'yy xy 3-3-54、0d sec )2(d tan 32yy e x y e x x3-4-55、yx y y x xy22222')1(3-5-56、yx eye x dxdy3-6-57、0)1()1(xdy y ydxx3-7-58、x x y yy x d sin cos d sin cos ,4|0xy 3-8-59、0)0(,02')1(22y xy y x3-9-60、1)(,ln 2'e y x y y 3-10-61、x x y y y x d sin cos d sin cos ,4|0xy 3-11-62、0y)dx -(x dy)(y x3-12-63、)ln (ln dx d x y y y x 3-13-64、0)2(22dyx dx xy y3-14-65、xy x y xy tan'3-15-66、xyx y x y xy ln)('3-16-67、dxdy xydxdy xy223-17-68、x y yx y', 2|1x y 3-18-69、x y xy y', ey ex|3-19-70、2|,'122xy y xyxy3-20-71、xx yxy sin 1', 1|xy 3-21-72、xex y xy 43'3-22-73、342'xxyy 3-23-74、xyxy ln 11'3-24-75、xeyxxy x21'3-25-76、x xy y sec tan ', 0|0xy 3-26-77、xx yxy sin 1', 1|xy 3-27-78、22112'xy xx y ,|0xy 3-28-79、x x yxy ln ', ey ex|3-29-80、22d dyx xexy x3-30-81、)sin (cos d dy2x xy yx3-31-82、5d dyxyy x3-32-83、02d dy4xyxy x3-33-84、4)21(3131d dy yx yx3-34-85、xyxy x 2d dy23-35-86、xy y '''3-36-87、01)'(''2y yy 3-37-88、01''3y y 3-38-89、y y 3'', 1|0xy , 2|'0xy 3-39-90、223''yy ,1|3xy ,1|'3xy 3-40-91、02''yy 3-41-92、013'4''y y y 3-42-93、0'2''y y y 3-43-94、04'5''y y y 3-44-95、04'3''y y y , 0|0xy , 5|'0xy 3-45-96、029'4''y y y , 0|0x y ,15|'0xy 3-46-97、0'4''4y y y , 2|0x y , 0|'0x y 3-47-98、0'4''4y y y , 2|0xy , 0|'0xy 3-48-99、013'4''y y y , 0|0x y , 3|'0x y 3-49-100、04'4''y y y , 0|0x y , 1|'0xy 3-50-101、xey y y 2'''23-51-102、x eyy xcos ''3-52-103、xex y y y 3)1(9'6''3-53-104、'''22xy y ye3-54-105、123'2''x y y y 3-55-106、''sin 20y yx, 1|xy , 1|xy 3-56-107、52'3''yy y , 1|0xy , 2|'0xy 3-57-108、xe y y y 29'10'',76|0x y ,733|'0x y 3-58-109、xxe yy 4'', 0|0xy , 1|'0xy 3-59-110、xxeyy y 26'5''四.应用解答题：（14）4-1-9、一曲线通过点)3,2(, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求这曲线方程.4-2-10、已知xxxy t t y tt 03231d )(12, 求函数)(x y 4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x2.4-4-14、试求x y ''的经过点)1;0(M 且在此点与直线12x y相切的积分曲线.4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程. 4-6-16、已知某曲线经过点)1,1(, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.4-7-17、设可导函数)(x 满足xx t t t x x 01d sin )(2cos )(, 求)(x .4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为22pEpEQ, 最大需求量为1000Q, 求需求函数)(p f Q.4-9-11、设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE Esin 0, 在时刻0t时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E ,为常数).4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为02v , 求鱼雷的航行曲线方程.4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(d dL L Ak x，（其中0,0Ak）, 若不做广告, 即0x时纯利润为0L , 且A L 0, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101,投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy的31. 设0t时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.五.证明题：（2）5-1-18、设),(1x y )(2x y 是二阶齐次线性方程0)(')(''y x q y x p y 的两个解,令)()(')(')()(')(')()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x w 证明: )(x w 满足方程0)('wx p w5-2-19、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dyx Q y x P x的3个相异特解,证明1213y y y y 为一常数.部分应用题答案487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE Esin 0, 在时刻0t时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E ,为常数).解. 设)(t i i, 由回路电压定律tE dtdi LRisin 0, 即tLE LR dtdisin 0]sin [)(0C dt teLE et i t dtLRLR =]sin [0C dt te LE et t LR LR =)cos sin (2220t L t R LRE CetLR将0|0ti 代入通解得222LRLE C)cos sin ()(2220t L t R LeLRE t i t LR488.设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系解：.物体重力为mg w, 阻力为kv R , 其中g 是重力加速度, k 是比例系数.由牛顿第二定律得kvmg dtdv m ,从而得线性方程gv mk dtdv ,|0tv tmkdtdtCeg km C dt gee v km m k ][, 将0|0tv 代入通解得gkm C)1(t mk eg km v, 再积分得122C gekm gtkm Stmk,将0|0t S 代入求得gkm C 221)1(22t mkeg km gtkm S 489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.解：设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(y x P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q .因鱼雷始终对准敌舰, 故x yt v y 1'0, 又弧OP 的长度为x tv dxy 0022'1,从以上两式消去t v 0得''121''')1(2y y y y x , 即2'121'')1(y y x 根据题意, 初始条件为0)0(y , 0)0('y 令p y', 原方程化为2121')1(pp x , 它是可分离变量得方程,解得21)1(112x C pp , 即21)1('1'12x C y y 将0)0('y 代入上式得11C , 故21)1('1'2x y y 而21)1(''1'1'122x y y y y , 得2121)1()1(21'x x y 积分得22321)1(31)1(C x x y, 将0)0(y 代入上式得322C ,所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321x x y490．根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(d dLL A k x ，（其中0,0Ak ）, 若不做广告, 即0x时纯利润为0L , 且AL 0, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.解：依题意得)(L A k dx dL,|L L x, 解可分离变量得微分方程, 得通解kxCeAL , 将00|L L x 代入通解, 得AL C 0, 所以纯利润L 与广告费x 之间的函数关系为kxeA LAx L )()(.491．在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy的31.设0t时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.解：依题意:yS101,dt dyI31, 解之得通解tCe y103, 将5|0ty 代入通解得5C, 所以国民收入函数为tey 1035492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.解：设在某一时刻t , 商品的价格为)(t p , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格)(t p 的变化率dt dp与需求和供给之差成正比. 记需求函数为),(r p f , 供给函数为)(p g , 其中r 为参数. 于是得微分方程)](),([p g r p f k dtdp,)0(p p , 其中0p 为0t时商品的价格, k 为正常数.若需求供给函数均为线性函数, b kpr p f ),(, d cpp g )(, 则方程为)()(d b k p c k k dtdp ,)0(p p , 其中d c b k ,,,均为正常数, 其解为ckd b eckd b p t p tc k k )(0)()(下面对所得结果进行讨论:(1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(p g r p f , 即dpc bpk ,则c kdb p, 从而价格函数pep p t p c k k )(0)()(,取极限:pt p t)(lim .它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格p p 0, 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.(2) 由于tc k k ec kk p pdtdp)(0)()(, 所以当p p 0时, 0dtdp,)(t p 单调下降向p 靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.。
习题详解-第10章 微分方程与差分方程初步
两端分别积分：
2 y 2x +ln2 C1 ,即 2x +2 y C 0( C ln 2 C1 )
这就是方程通解 . (3)这是可分离变量方程，分离变量得
cos y dy cos x dx sin y sin x
两端分别积分：
ln sin y ln sin x ln C , 即 sin y Cesinx
是解，又因为含有两个任意常数 C1,C2 ，且方程是二阶的，故是通解.
4.
已知函数
x=C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程
d2x dt 2
k2x
0 的通解,求满足初始条件
x| t0 2 x| t0 0
的特解. 解 ： 上 题 可 知 是 微 分 方 程 通 解 ， 且 x(t) C1k sin kt C2k cos kt, 代 入 初 值 条 件 x |t 0 2, x |t0 0 ，得 C1 2,C2 0 ，所以特解为 x 2coskt(k 0).
x dx
dx
u 1 du dx u
两端分别积分：
u ln u x C 即 y ln y x C xx
这就是方程通解 .
(6)这是齐次方程，化简得
dy
1
y x
dx 1 y
x
令 u y , 则 dy u du , 代入原方程并整理
x dx
dx
u 1 du dx ，两端分别积分： 1 ln 1 2u u2 x 1 C
(3)
y
x
y y2
，
y(2)
1；
(4) y y x y5 ， y(0) 1 .
解 (1)这是一个齐次线性方程,整理得
dy dx
《微积分》上册部分课后习题答案
微积分上册 一元函数微积分与无穷级数第2章 极限与连续2.1 数列的极限1.对于数列n x ,若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ),证明:a x n → (∞→n )． 证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 12. 取{}12,2m ax 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ). 2．若a x n n =∞→lim ，证明||||lim a x n n =∞→，并举反例说明反之不一定成立.证明： a x n n =∞→lim ，由定义有：N ∃>∀,0ε，当N n >时恒有ε<-||a x n又 ε<-≤-||||||a x a x n n对上述同样的ε和N ，当N n >时，都有ε<-||||a x n 成立 ∴ ||||lim a x n n =∞→反之,不一定成立.如取 ,2,1,)1(=-=n x nn显然 1||lim =∞→n n x ，但n n x ∞→lim 不存在.2.2 函数的极限1. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等．证: 必要性. 若()A x f x x =→0lim , 0>∀ε, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 因而, 当δ<-<00x x 时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =+→0lim ; 同时当δ<-<x x 00时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =-→0lim .充分性. 若()A x f x x =+→0lim ,()A x f x x =-→0lim . 0>∀ε, 01>∃δ, 当100δ<-<x x 时, 就有()ε<-A x f , 也02>∃δ, 当200δ<-<x x 时, 有()ε<-A x f . 取{}21,m in δδδ=,则当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 所以()A x f x x =→0lim .2．写出下列极限的精确定义：（1）A x f x x =+→)(lim 0，（2）A x f x =-∞→)(lim ，（3）+∞=+→)(lim 0x f x x ，（4）-∞=+∞→)(lim x f x ，（5）A x f x =+∞→)(lim ．解：（1）设R x U f →)(:0是一个函数，如果存在一个常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀δε，使得当δ<-<00x x 时，恒有ε<-|)(|A x f ，则称A 是)(x f 当+→0x x 时的极限，记作A x f x x =+→)(lim 0或 )()(0+→=x x A x f . （2）设R f D f →)(:是一函数，其中0,),,()(>>--∞⊃αααR f D .若存在常数R A ∈，满足关系：0)(,0>∈∃>∀R X ε，使得当X x -<时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A 是)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或 A x f =)()(-∞→x .（3）设R x U f →)(:0是任一函数，若0>∀M ，0>∃δ，使得当δ<-<00x x 时，恒有M x f >)(，则称当+→0x x 时)(x f 的极限为正无穷大，记作+∞=+→)(lim 0x f x x 或 +∞=)(x f )(0+→x x . （4）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0>∀M ，0)(>∈∃R X ，使得当X x >时，恒有M x f -<)(则称当+∞→x 时)(x f 的极限为负无穷大，记作：-∞=+∞→)(lim x f x 或 -∞=)(x f )(+∞→x .（5）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀X ε，使得当X x >时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A是)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或 A x f =)()(+∞→x .2.3 极限的运算法则1.求∑=∞→+⋯++Nn N n 1211lim． 解. ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⋯++111212211211n n n n n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋯++∑=1112111312121122111N N N n Nn 21112lim 211lim1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋯++∴∞→=∞→∑N nN Nn N 2．求xe e xxx 1arctan11lim110-+→． 解. +∞=+→x x e 10lim , 0lim 10=-→xx e,,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x ee x e e x xxx xxx ,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx x x x 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e x xx3．设)(lim 1x f x →存在，)(lim 2)(12x f x x x f x →+=，求)(x f . 解：设 )(lim 1x f x →=A ，则A x x x f ⋅+=2)(2再求极限：A A A x x x f x x =+=⋅+=→→21)2(lim )(lim 211⇒ 1-=A∴ x x xA x x f 22)(22-=+=.4．确定a ,b ,c ，使 0)1(3)1()1(lim 2221=-+-+-+-→x x c x b x a x 成立.解：依题意,所给函数极限存在且 0)1(lim 21=-→x x∴ 0]3)1()1([lim 221=+-+-+-→x c x b x a x ⇒ 2=c∴ 上式左边=])32)(1(11[lim ))1(321(lim 21221++-+--+=-+-+-+→→x x x x b a x x x b a x x])32)(1(1)32([lim 221++---+++=→x x x x b a x同理有 0]1)32([lim 21=--++→x x b x ⇒ 21=b ∴ 163)23)(1(8)1(3lim )32)(1(1)32(21lim221221=++---=++---++-=→→x x x x x x xx a x x 故 2,21,163===c b a 为所求.2.4 极限存在准则1. 设1x =10，n n x x +=+61，( ,2,1=n )．试证数列{n x }的极限存在，并求此极限． 证: 由101=x , 4612=+=x x , 知21x x >. 假设1+>k k x x , 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x . 由数学归纳法知, 对一切正整数n , 有1+>n n x x ,即数列{n x }单调减少. 又显然, () ,2,10=>n x n , 即{n x }有界. 故n n x ∞→lim 存在.令a x n n =∞→lim , 对n n x x +=+61两边取极限得a a +=6, 从而有062=--a a ,,3=∴a 或2-=a , 但0,0≥∴>a x n , 故3lim =∞→n n x2．证明数列 nn n x x x x ++=<<+3)1(3,3011收敛，并求其极限．证明：利用准则II ，单调有界必有极限来证明.∴301<<x ，由递推公式33312131213213)1(30111112=++<++=++=++=<x x x x x x∴ 302<<x 同理可证：30<<n x 有界又 03)3)(3(333)1(311112111112>++-=+-=-++=-x x x x x x x x x x∴ 12x x > 同理 23x x > ，… ，1->n n x x ∴数列 }{n x 单调递增，由准则II n n x ∞→lim 存在，设为A ，由递推公式有：AA A ++=3)1(3 ⇒ 3±=A （舍去负数）∴ 3lim =∞→n n x .3．设}{n x 为一单调增加的数列，若它有一个子列收敛于a ，证明a x n n =∞→lim .证明：设}{k n x 为}{n x 的一子列，则}{k n x 也为一单调增加的数列，且a x k k n n =∞→lim对于1=ε，N ∃，当N n >时有1||<-a x k n 从而||1||||||||a a a x a a x x k k k n n n +<+-≤+-=取|}|1|,|,|,max {|1a x x M N n n += ，对一切k n 都有 M x k n ≤|| 有界.由子列有界，且原数列}{n x 又为一单调增加的数列，所以，对一切n 有M x n ≤||有界，由准则II ，数列}{n x 极限存在且a x n n =∞→lim .2.5 两个重要极限1. 求]cos 1[cos lim n n n -++∞→．解： 原式 =21sin 21sin2lim nn n n n -+++-+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=-+-+-+++-=+∞→n n n n n n nn nn nn n 1110212121sin21sin2lim 2. 求)1sin(lim 2++∞→n n π．解. 原式=()()n nn n n nn n -+-=-+++∞→+∞→1sin 1lim )1sin(lim 22ππππ()()()()0111sin 1lim 222=-+⋅-+-+-=+∞→n nn n nnnn πππ3. 求x x xx )1cos 1(sinlim +∞→． 解. 原式=()[]()e t t t tttt tt xt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=→→=22sin 2sin 10212012sin 1lim cos sin lim 令4. 设 ⎩⎨⎧+-=32)cos 1(2)(x x x x f 00≥<x x 求 20)(lim x x f x →. 解： 1lim )(lim 232020=+=++→→x x x x x f x x ，1)cos 1(2lim )(lim 2020=-=--→→x x x x f x x ∴ 1)(lim2=→xx f x .2.6 函数的连续性1. 研究函数()[]x x x g -=的连续性，并指出间断点类型. 解. n x =，Z n ∈ (整数集)为第一类 (跳跃) 间断点.2. 证明方程)0(03>=++p q px x 有且只有一个实根.证. 令()()()0,0,3>∞+<∞-++=f f q px x x f , 由零点定理, 至少存在一点ξ使得()0=ξf , 其唯一性, 易由()x f 的严格单调性可得.3．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型. 解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+111lim x x e,0lim 111=-→-x x e, ()00=f , 因此,1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 1110--→→==++e ex f x x x()()01ln lim lim 00=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.4．讨论nx nxn e e x x x f ++=∞→1lim )(2的连续性．解. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=++=∞→0,0,00,1lim)(22x x x x x e e x x x f nxnxn , 因此)(x f 在()()+∞∞-,0,0,内连续, 又()()00lim 0==→f x f x , ()x f ∴在()+∞∞-,上连续.5.设函数),()(+∞-∞在x f 内连续，且0)(lim=∞→xx f x ，证明至少存在一点ξ，使得0)(=+ξξf .证：令x x f x F +=)()(，则01]1)([lim )(lim>=+=∞→∞→x x f x x F x x ，从而0)(>xx F .由极限保号性定理可得，存在01>x 使0)(1>x F ；存在02<x 使0)(2<x F .)(x F 在],[12x x 上满足零点定理的条件，所以至少存在一点ξ使得0)(=ξF ，即0)(=+ξξf .6．讨论函数nnx x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判别其类型.解： ⎪⎩⎪⎨⎧-=101)(x f 1||1||1||>=<x x x ，显然 1±=x 是第一类跳跃间断点，除此之外均为连续区间.7．证明：方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a +. 证明：设b x a x x f --=sin )(，考虑区间],0[b a +0)0(<-=b f ，0))sin(1()(≥+-=+b a a b a f ，当0))sin(1()(=+-=+b a a b a f 时，b a x +=是方程的根；当0))sin(1()(>+-=+b a a b a f 时，由零点定理，至少),0(b a +∈∃ξ使0)(=ξf ，即 0sin =--b a ξξ成立,故原方程至少有一个正根且不超过b a +.2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较1. 当0→x 时，下面等式成立吗？(1))()(32x o x o x =⋅；(2))()(2x o xx o =；(3) )()(2x o x o =． 解. （1）()()()002232→→=⋅x xx o x x o x , ()()()032→=⋅∴x x o x o x （2） ()()()0)(,00)()(2222→=∴→→=x x o x x o x x x o xxx o（3） ()2xx o不一定趋于零, )()(2x o x o =∴不一定成立(当0→x 时) 2. 当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax ，则求常数c b a ,,．解. 因为当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax , 所以01lim 111lim 22=+++=++++∞→+∞→c bx ax x x c bx ax x x , 故c b a ,,0≠任意.3．写出0→x 时，无穷小量3x x +的等价无穷小量.解： 11lim 1lim lim303630=+=+=+→→→x xx xxx x x x∴ 当0→x ，3x x +～6x第3章 导数与微分3.1 导数概念1. 设函数)(x f 在0x 处可导，求下列极限值． (1)hh x f h x f h )3()2(lim000--+→；(2)000)()(lim 0x x x xf x f x x x --→．解.（1） 原式()()()000000533)3(22)2(lim x f h x f h x f h x f h x f h '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅-+=→（2） 原式()[]()()()()00000000)(limx f x f x x x x x x f x f x f x x x -'=----=→2．设函数R f →+∞),0(:在1=x 处可导，且),0(,+∞∈∀y x 有)()()(y xf x yf xy f += 试证：函数f 在),0(+∞内可导，且)1()()(f xx f x f '+='． 解：令1==y x ，由()()()y xf x yf xy f +=有()()121f f =得()01=f ．()+∞∈∀,0x ，()()()()()()()()()()xx f f x x f xx f x x f x x f x f x x x x xf x x f x x x f x x f x x f x f x x x x +'=+∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆++⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆111lim 11lim 1lim lim 0000 故()x f 在()+∞,0内处处可导，且()()()xx f f x f +'='1． 3.设()f x 在(,)-∞+∞内有意义，且(0)0f =，(0)1f '=， 又121221()()()()()f x x f x x f x x ϕϕ+=+，其中22()cos xx x x e ϕ-=+, 求()f x '．解： ()()()()()()()()x x f x x f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆+∆=∆-∆+='→∆→∆ϕϕ00lim lim()()()()()()()()()001lim 0lim 00ϕϕϕϕ'+'=∆-∆+∆-∆=→∆→∆x f x f xx x f x x f x f x x ()x e x x x 22cos -+==ϕ4.设函数0)(=x x f 在处可导，且21arctan lim )(0=-→x f x e x，求)0(f '.解：由已知，必有0]1[lim )(0=-→x f x e，从而0)(lim 0=→x f x ，而0)(=x x f 在连续，故0)0(=f .于是)0(1)0()(1lim )(lim 1arctan lim200)(0f xf x f x f x e x x x x f x '=-==-=→→→. 故21)0(='f .5.设)(x f 具有二阶导数，)(,sin )()2(lim )(2x dF t xx f t x f t x F t 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→.解： 令t h 1=，则)(2 sin )()2(lim)(0x f x hhxh x f h x f x F t '=⋅-+=→.从而)(2)(2)(x f x x f x F ''+'='，dx x f x x f dx x F x dF )]()([2)()(''+'='=.6．设f 是对任意实数y x ,满足方程 22)()()(xy y x y f x f x f +++= 的函数，又假设1)(lim=→xx f x ,求：（1）)0(f ；（2）)0(f '； （3）)(x f '. 解：（1）依题意 R y x ∈∀,，等式 22)()()(xy y x y f x f y x f +++=+ 成立令0==y x 有 )0(2)0(f f = ⇒ 0)0(=f（2）又 1)(lim=→x x f x ，即 )0(10)0()(lim 0f x f x f x '==--→，∴ 1)0(='f（3）xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x f x x x x x f x f x ∆-∆⋅+∆⋅+∆+=→∆)()()()(lim 220 x x x x x x f x ∆∆⋅+∆⋅+∆=→∆220)()(lim ])([lim 20x x x xx f x ∆⋅++∆∆=→∆ ]1)0(22x x f +=+'=∴ 21)(x x f +='.7．设曲线)(x f y =在原点与x y sin =相切，试求极限 )2(lim 21nf nn ∞→. 解：依题意有 1)0()0(='='f y 且0)0(=f∴ 222)0()2(lim )2(lim 2121=⋅-⋅=⋅∞→∞→n nf n f n nf n n n .8．设函数)(x f 在0=x 处可导且0)0(,0)0(='≠f f ，证明1])0()1([lim =∞→nn f n f .证：n n n n f f n f f n f ])0()0()1(1[lim ])0()1([lim -+=∞→∞→.=10)0(11)0()01(lim )0()0()1(lim ===⋅-+-∞→∞→e ee f nf n f f f n f n n n .1．计算函数baxax xb ab y )()()(= （0,0>>b a ）的导数．解. a xb bx a b a x xb a b a a x b a x a b x b x b a a x x b a b a b y )(1)()()()(ln )(121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+='-- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x b x a a b a x x b a b b a x ln )()()( 2.引入中间变量,1)(2x x u +=计算1111ln 411arctan 21222-+++++=x x x y 的导数dx dy ．解. 引入,1)(2x x u += 得11ln 41arctan 21-++=u u u y ,于是dxdudu dy dx dy ⋅=, 又 ()()4242422111111111141121x x x u u u u du dy +-=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++=,21xx dx du +=, 则()22242121121xx x x x x x dx dy ++-=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-= 3.设y y x +=2，232)(x x u +=，求dudy． 解. dudxdx dy du dy ⋅= , 又()()1223,12212++=+=x x x dx du y dy dx ,得121+=y dx dy , ()x x x du dx ++=21232, 则得()()xx x y du dy +++=2121232 4．已知 2arctan )(),2323(x x f x x f y ='+-=，求=x dx dy ．解：22)23(12)2323arctan()2323()2323(+⋅+-='+-⋅+-'='x x x x x x x f y π43)23(12)2323arctan(02200=+⋅+-='=∴===x x x x x x y dxdy .1. 计算下列各函数的n 阶导数. (1) 6512-+=x x y ; (2) x e y xcos =． 解 （1）⎪⎭⎫⎝⎛+--=611171x x y ，()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴++1161117!1611171n n nn n n x x n x x y （2） ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='4cos 2sin 21cos 212sin cos πx e x x e x x e y x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''42cos 24sin 4cos 22πππx ex x e y xx由此推得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=4cos 2πn x eyxnn2. 设x x y 2sin 2=, 求()50y ．解 ()()()()()()()()()()"+'+=248250249150250502sin 2sin 2sin x x C x x C x x y⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2482sin 2249502492sin 2502502sin 24950250πππx x x x xx x x x x 2sin 212252cos 2502sin 24950250⋅+⋅+-= ()[]x x x x 2cos 1002sin 212252249+-=3. 试从y dy dx '=1, 0≠'y , 其中y 三阶可导, 导出()322y y dy x d '''-=, ()()52333y y y y dy x d '''''-''= 解 y dy dx '=1 ，()()322211y y y y y dy dx y dx d dyx d '''-='⋅'-''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∴ ()()()()()()52623333313y y y y y y y y y y y dy dx y y dx d dy x d '''''-''='⋅'''⋅'⋅''+''''-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-=∴ 4. 设()x f 满足()()0 312≠=⎪⎭⎫⎝⎛+x xx f x f , 求()()()()x f x f x f n ,,'．解 以x 1代x ，原方程为()x x f x f 321==⎪⎭⎫ ⎝⎛，由()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 321 312，消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1，求得()x x x f 12-=，且得()212xx f +='，()()()()2!111≥-=++n x n x f n n n . 5．设()arcsin f x x =，试证明()f x 满足 （1）2(1)()()0x f x xf x '''--= （2） ,1,0,0)()()12()()1()(2)1()2(2==-+--++n x f n x xf n x f x n n n（3）求()(0)n f解 （1）()211x x f -='，()()()22221112211xx xx x x x f --=-⋅--=''， ()()()012='-''-∴x f x x f x ，（2）上式两边对x 求n 阶导数得()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]x f n x xf x f n n x f x n x f x x f x x f x n n n n n nn⋅⋅+-⋅-⋅---+-='-''-=+++1221211021222即 ()()()()()()()()01212122=-+--++x f nx xf n x f xn n n 。
微积分上学期答案
1微积分答案 第一章 函数一、1.Ｂ； 2.Ｄ； 3.Ａ； 4.Ｃ； 5.Ｄ二、１.1cos -x 或22sin2x ；２.100010-<⎧⎪=⎨⎪>⎩x x x 或()f x ； ３.４，-1；４.y =[0,1]；５.1(1)2y x =-. 三、１. (1)[1,2)(2,4)D =⋃； (2)[3,2][3,4]D =--⋃. ２．(1)102,1y u u x ==+ ；(2)1,sin ,u y e u v v x===；(3) 2arctan ,ln ,1y u u v v x===+.3. 211,12,()12400,44ab C C x x x ====++ ()1400124c x C x x x==++.4. （１）90010090(100)0.011001600751600x P x x x <≤⎧⎪=--⋅<<⎨⎪≥⎩；（３）Ｌ＝21000（元）. (2)2300100(60)310.011001600151600x x L P x x xx x x ≤≤⎧⎪=-=-<<⎨⎪≥⎩；四、略.第二章 极限与连续(一)一、1.C ； 2. D ； 3.C ； 4.B ； 5.C 二、1. -2； 2. 不存在； 3. 14； 4. 1； 5.ab e .三、 1、（1）4； （2）25； （3）1； （4）5； （5）2.2、（1）3； （2）0； （3）2； （4）5e -； （5）2e-.3、11,2=-=-αβ 4、利用夹逼定理：11←<<→四、略。
第二章 极限与连续（二）一、1. D ； 2. C ； 3. B ； 4. C ； 5. B 二、１、0； 2、-2； 3、0； 4、2； 5、0,1x x ==-．2三、１、（1）1=x 是可去间断点；2=x 是连续点.（2）=xk π是第二类间断点（无穷间断点）； 2=+x k ππ是可去间断点.（3）0=x 是可去间断点. （4）1x =是跳跃间断点.2、1()011⎧<⎪==⎨⎪->⎩x x f x x x x ，1=±x是跳跃间断点.3、（1）0；（2）cos α；（3）1； （4）0；（5）12．四、略。
微分差分方程习题
微分方程和差分方程作业题参考答案一、微分方程初值问题（1）用四阶Runge-Kutta 法求解微分方程初值问题的数值解(步长h取0.1)，求解范围为区间[0,3]．（2）用ode45 方法常微分方程初值问题的数值解(近似解)，然后利用画图来比较两者间的差异．解（1）代码clearf=sym('y-exp(x)*cos(x)');a=0; b=3; h=0.1;n=(b-a)/h+1; % n=(b-a)/h;x=0; y=1;szj=[x,y];for i=1:n-1 % i=1:nl1=subs(f,{'x','y'},{x,y});l2=subs(f,{'x','y'},{x+h/2,y+l1*h/2});l3=subs(f,{'x','y'},{x+h/2,y+l2*h/2});l4=subs(f,{'x','y'},{x+h,y+l3*h});y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;x=x+h;szj=[szj;x,y];endplot(szj(:,1),szj(:,2), 'dg-');（2）代码fun=inline('y-exp(x)*cos(x)','x','y');[x,y]=ode45(fun,[0,3],1)两个图放在一起比较如下：结论：通过对这个微分方程的两种不同方法的求解，从图形中可以看出，两种方法所得到的数值解大致重合，因此可以得出对于这个微分方程，用这两种方法的效果大致一样。
二、设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？解：分析和建模设t时刻（单位为分钟）容器中每升盐水中所含净盐的百分比为x(t),考虑时间区间],[tt t∆+内容器中净盐量的变化等于注入清+，并利用质量守恒定律；]t t∆,[t水所含的净盐量减去放出盐水中的净盐量。
微积分上册部分课后习题答案
《微积分》上册部分课后习题答案习题五（A）1．求函数 f x ，使 f ′ x x 23 x ，且 f 1 0 .解：f ′ x x 2 5x 6 1 5 f x x3 x 2 6 x C 3 2 1 5 23 f 1 0 6 C 0 C 3 2 6 15 23 f x x3 x 26 x 3 2 6 12．一曲线y f x 过点（0，2），且其上任意点的斜率为x 3e x ，求 f x . 2 1解：f x x 3e x 2 1 2 f x x 3e x C 4 f 0 2 3 C 2 C 1 1 2 f x x 3e x 1 4 ∫ 23．已知f x 的一个原函数为 e x ，求 f ′ xdx . 2 2解：f x e x ′ 2 xe x∫ f ′ xdx 2 f x C 2 xe x C dx4．一质点作直线运动，如果已知其速度为3t 2 sin t ，初始位移为s0 2 ，求s 和t 的函dt数关系.解：S t 3t 2 sin t S t t 3 cos t CS 0 2 1 C 2 C 1 S t t 3 cos t 15．设ln f x′ 1 ，求f x . 1 x2解：ln f x′ 1 ln f x arctan x C11 x2 f x earctan x C1 Cearctan x C gt 0 1 16．求函数f x ，使f ′ x e 2 x 5 且f 0 0 . 1 x 1 x 2 1 1 1解：f x e x 5 f x ln x 1 arcsin x e 2 x 5 x C 1 x 1 x 2 2 1 1 f 0 0 0 0C 0 C 2 2 1 2x 1 f x ln x 1 arcsin x e 5x 2 27．求下列函数的不定积分x x2 ∫ ∫ dt（1）dx （2）x a t 1 x2 1 ∫ ∫x m n（3）x dx （4）dx 2 1 x4 1 1 sin 2 x（5）∫x 2 1 dx （6）∫ sin x cos x dx 1 cos 2 x ∫ ∫ cos 2 x （7）dx （8）dx sin x cos x 1 cos 2 x ∫ sin （10）cos 2 sin 2 x dx ∫ cos 2 x x（9）2 2 dx x cos x 2 cos 2 x 1 2x 1 ∫ sin ∫e e （11）dx （12）dx 2 x cos x 2 x 1 2 × 8x 3 × 5x 2 x 1 5 x 1（13）∫ 8x dx （14）∫ 10 x dx e x x e-x （15）∫ x dx ∫ （16）e x 2 x 1 3x dx 1 x 1 x x 2 1 1 x 2 5 x（17）∫ dx 1 x 1 x （18）∫ x 1 x2 dx 1 x2 1 cos 2 x（19）∫ 1 x4 dx （20）∫ 1 cos 2 x sin2 x dx x3 x 1 x4 x2（21）∫ x 1 x 2 2 dx （22）∫ 1 x 2 dx 1 3 35 ∫ 2 2解：（1）x 2 x 2 dx x 2 x 2 C 3 5 1 d t 1 ∫ 1 2（2）. 1 t 1 2 C a a t 1 2 n nm ∫ x m dx m x m C m ≠ n m ≠ 0 nm n ∫（3）x m dx In x C m n dx x C ∫ m0 2（4）1 ∫ x2 1 dx x 2 arctan x C x 2 x 2 1 x 2 1 x3（5）∫ x 1 2 dx 3 x 2 arctan x C sin 2 x cos 2 x 2 sin x cos x sin x cos x 2（6）∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos xdx sin x cos x C cos 2 x sin 2 x（7）∫ sin x cos x dx cos x sin xdx ∫ sin x cos x C 1 cos 2 x ∫ 2 cos ∫ cos 1 1 1 x（8）2 dx 2 1 dx tan x C x 2 x 2 2 cos 2 x sin 2 x 1 1（9）∫ sin 2 x cos 2 x dx 2 ∫ sin x cos 2 x dx cot x tan x C cos x 1 1 cos 2 x cos x cos 2 x（10）∫ 2 2 dx 2 2 1dx ∫ 1 1 x sin x sin 2 x C 2 4 cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x ∫ ∫ cos 1（11）2 2 dx 2 2 dx 2 tan x C sin x cos x x ∫（12）e x 1 dx e x x C x 5 x 5（13）2 dx 3 dx 2 x 3 8 C ∫ ∫ 8 5 ln 8 x x（14）2 dx dx ∫ 5 ∫ 1 1 1 2 x 1 5 2 x C 5 2 ln 5 5 ln 2（15）e x dx e x ln x C ∫ 1 x ∫ 2x 3e x 6x（16）e x6 x 2 x 3e x dx e x C ln 2 l ln 3 ln 6 1 x 1 x ∫ ∫ 1（17）dx 2 dx 2 arcsin x C 1 x 2 1 x2 x2 1（18）∫ dx 1 x 2 ln x 5 arcsin x C 5 x 2 1 x 2 ∫ 1（19）dx arcsin x C 1 x2 1 cos 2 x 1 1 ∫ 2 cos ∫ 1 x（20）dx 1dx tan x C 2 x 2 cos 2 x 2 2 x x 2 1 1 1 1 1 ∫ ∫ 1（21）dx 2 x dx ln x arctan x C x 2 1 x 2 x 1 x2 x x 4 1 x 2 1 2 2 x3（22）∫ 1 x 2 dx x 2 2 ∫ 2 1 x dx 3 2 x 2 arctan x C8．用换元积分法计算下列各题. x4（1）∫ x2 dx ∫ （2）3x 28 dx .。
微积分（上）习题200题及答案
填空题：（30题）1.()___________2则20102sin 设函数设函数2=÷÷øöççèæîíì<£+<<-=p f x xx x x f f代入函数可得答案,220££p答案：412p+2._________的定义域是24函数2--=x x y即可得到答案且由02-04-2¹³x x答案：](()¥+È-¥-,22, 3.()[]()的定义域求,1,0的定义域是设2x f x fy =[]的范围，进而得到的范围是者函数由原函数定义域知道后x x 1,02 答案：[]1,1-4.()()()[]______则1,ln 1已知=+=+=x g f x x g x x f()()[][]()1ln 11,1++=+=+=x x f x g f x x g5.()()()x f d c b a dcx bax x f 1求反函数为常数,,,设-++= ()可知反函数,--,--,0--,a cy dyb x dy b x a cy b ax dy cxy d cx bax y ===+++=答案：acx dxb --6._________1sin lim 3310=®xx x答案：07.______sinlim =+¥®xx x x答案:是有界的由于x xxx x sin 1sin lim=+¥®8.()0______1lim 0>=-®a xa x x 答案:a a a xa x x x x ln 1ln lim 1lim 00==-®® 9.()_____1lim 1=-®x x x答案：1-e10._____则,22sin sin lim 若0==®m xmx x答案：411.()()_____则在其定义域内连续若函数011sin 00sin 1设=ïïïîïïïíì>+=<=k x f x x x x k x xx x f 解：因为()在其定义域内连续函数x f ，所以1sin lim k 0==®xx x12.()()_____的间断点是412函数+++=x x x y 答案：1-=x 13._____的连续区间是321函数2--=x x y答案：()()()¥+È-È-¥-,33,11,14.__________,则,14lim设21===+++-®b a b x ax x x 解：()34lim 145lim ,5,04lim 12121=+=+++===++-®-®-®x x x x b a ax x x x x 。
微积分第2版-朱文莉第10章 微分方程与差分方程习题详解(1-3节)
微积分第2版-朱文莉第10章微分方程与差分方程习题详解(1-3节)题10.1(A)1.指出下列微分方程的阶数：1) x(y')-2yy'+x=；2) y^2(4)+10y''-12y'+5y=sin2x；3) (7x-6y)dx+(x+y)dy=S；4) 2d^2S/dt^2+S=0.解：(1) 1阶；(2) 4阶；(3) 1阶；(4) 2阶。
2.判断下列各题中的函数是否为所给微分方程的解？若是解，它是通解还是特解？1) x(dy/dx)=-2y，y=Cx^-2（C为任意常数）；2) 2x(y'')-2y'+y=0，y=xe；3) y''-2/(y'+y)=0，y=C1x+C2/x^2（C1，C2为任意常数）；4) xdx+ydy=R，x+y=const（R为任意常数）。
解：(1) 通解；(2) 否；(3) 通解；(4) 通解。
3.验证：函数y=(C1+C2x)e^-x（C1，C2为任意常数）是方程y''+2y'+y=的通解，并求满足初始条件y(0)=4，y'(0)=-2的特解。
解：由已知得y=C1e^-x+C2xe^-x，y'=C2e^-x-C1e^-x-C2xe^-x。
将y代入方程得(C1-2C2)e^-x=0，因为e^-x不为0，所以C1=2C2.所以通解为y=(C1+C2x)e^-x=(2C2+2C2x)e^-x=(2+2x)e^-x。
将初始条件代入得C1=4，C2=2，所以特解为y=(4+2x)e^-x。
4.已知曲线上任一点(x,y)处的切线斜率等于该点的横坐标与纵坐标的乘积，求该曲线所满足的微分方程。
解：根据题意，设曲线为y=f(x)，则斜率为f'(x)，根据题意得f'(x)=xf(x)，即y'=xy，所以微分方程为dy/dx=xy。
高等数学习题详解-第10章 微分方程与差分方程初步
习题10-11. 指出下列方程的阶数：(1)4620x y y x y '''''-+=． (2)22d d 0d d Q Q Q L R t c t++=． (3)2d cos d ρρθθ+=． (4)2()d 2d 0y x y x x y -+=．解：(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶2. 验证下列给出的函数是否为相应方程的解： (1)2x y y '=, 2y Cx =．(2)2(+1)d d x y y x =, +1y x =．(3)20y y y '''++=， x y x e -=．(4)22d 0.4d s t=-， 2120.2s t c t c =-++． 解：(1)是，代入即可. (2)是，代入即可；(3)是，因为 ,2x x x x y e xe y e xe ----'''=-=-+，满足20y y y '''++=；(4)是，代入，212d d 0.4,0.4d d s s t C t t=-+=-，显然满足. 3. 验证:函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程222d 0d x k x t += 的通解.解：221212()sin cos ,()cos sin ,x t C k kt C k kt x t C k kt C k kt '''=-+=--满足222d 0d x k x t+=，所以是解，又因为含有两个任意常数12,C C ，且方程是二阶的，故是通解.4. 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程222d 0d x k x t+=的通解,求满足初始条件 x | t =0 =2, x '| t =0 =0的特解.解：上题可知是微分方程通解，且12()sin cos ,x t C k kt C k kt '=-+代入初值条件0|02,|0t t x x ='===，得122,0C C ==，所以特解为2cos (0).x kt k =≠习题10-21. 求下列微分方程的通解：(1)()2310y y x '++=； (2) 2+'=x yy ；(3) d d sin xcos y y sin y cos x x =； (4) 2d d d d x xy y y x y y +=+；(5) 22d d d d y y y x xy x x+=； (6) d d y x yx x y -=+； (7) 22d d y y x xy x=+； (8) )2(tan 212y x y +='． 解：(1)这是可分离变量方程，分离变量得()231d =d y y x x+-两端分别积分：()34111=+34y x C,+-这就是方程通解 .(2)这是可分离变量方程，分离变量得2d =2d y x y x-两端分别积分：122+ln2y x C ,--=⋅即12+202x y C (C ln C )--==⋅这就是方程通解 .(3)这是可分离变量方程，分离变量得d d cos y cos xy x sin y sin x=两端分别积分：ln sin y ln sin x lnC,-=--即sin x sin y Ce =这就是方程通解 .(4)这是可分离变量方程，分离变量得21d =d 11y y x y x --两端分别积分：21111+22ln(y )ln(x )lnC,-=-即221+1y C(x )=- 这就是方程通解 . (5)这是齐次方程，令,x yu =则d d ,d d y u u x x=+代入原方程并整理 1d d u u x u-=两端分别积分：ln u u x C -=+即ln y yx C x x-=+ 这就是方程通解 .(6)这是齐次方程，化简得1d d 1yy x yx x -=+令,x yu =则d d ,d d y u u x x =+代入原方程并整理21d d 12u u x u u +=--，两端分别积分：211ln 1222u u x C ---=+即222ln 10y y x C x x--++= 这就是方程通解 .(7)这是齐次方程，化简得2d d 1y y x yx x ⎛⎫⎪⎝⎭=+令,x yu =则d d ,d d y u u x x =+代入原方程并整理1d d u u x u +=-，两端分别积分：ln u u x C +=-+ 即ln 0y y x C x x++-= 这就是方程通解 .(8)这是特殊方程，用换元法，令,2y x u +=则d 1d 1,d 2d y u x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭代入原方程并整理 2cos ud d u x =，两端分别积分：11sin 224u u x C +=+即42sin(24)40y x x y C -++-=这就是方程通解 .2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 3sin y y x '=， (0)1y =；(2) 222(1)(1)x y y x +'=+， (0)0y =； (3) d tan d y y y x x x =+，(1)6y π=；(4) 222d d 2x yx xy y y xy=-+-，(0)1y =． 解 (1)分离变量：31d sin d y x x y =． 两端分别积分：31d sin d y x x y =⎰⎰． 解得：21cos 2x C y -=-+． 将(0)1y =代入通解中，求得12C =．故所求特解为212cos 1x y=-． (2)分离变量：2221d d 1(1)xy x y x =++． 两端分别积分：211arctan d 2(1)y x C x =-⋅++．将(0)0y =代入通解中，求得12C =．故所求特解为2111arctan d 2(1)2y x x =-⋅++．(3) 这是齐次方程,令,x yu =则d d ,d d y u u x x=+代入原方程并整理1d d .tan u x u= 两边积分得,ln sin ln C x u +=即.sin x Ce u =变量回代得所求通解.sinx Ce xy=由(1)6y π=代入通解，得612C e π-=，故所求初值问题的解为61sin .2x y e e x π-=3. 一曲线在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，且通过点(1,2)，求该曲线方程.解：设曲线方程为：()y f x =由题意可得方程: 2002y yy x x-'==--,且(1)2y =，解分离变量方程得：xy C =,由(1)2y =得2C =，故所求曲线为：2xy =.4. 物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用.例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决.现设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.试求物体温度随时间t 的变化规律.解 设物体的温度T 与时间t 的函数关系为),(t T T =建立该问题的数学模型:⎪⎩⎪⎨⎧=--==100|)20(0t T T k dtdT )2()1( 其中)0(>k k 为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得;20kdt T dT-=- 两边积分,201⎰⎰-=-kdt dT T 得1|20|ln C kt T +-=-(其中1C 为任意常数)， 即 kt kt C C kt Ce e e e T --+-=±=±=-1120(其中1C e C ±=). 从而,20kt Ce T -+=再将条件(2)代入,得,8020100=-=C于是，所求规律为.8020kt e T -+=习题10-31. 求下列微分方程的通解：(1) cos sin x y y x e '+=； (2) 2x y y e '-=；(3) 2(1)x x y x y e '=-+； (4) 22d (2)d 0y x x x y y y +--=；(5) ()1y x e y '-=； (6) 3(1)2(1)2x y y x y -'=+- 解 (1) 这是一阶线性非齐次方程，其中()sin ,P x x =cos ()x Q x e =． 首先求出Pd sin d cos x x x x ==-⎰⎰ (积分后，不再加任意常数)， 然后用公式(10-6)可得所求通解为d d d d P x P x P xy Ce e Qe x --⎰⎰⎰=+⎰cos cos x x Ce xe =+．(2) 这是一阶线性非齐次方程，其中1(),2P x =-1()2x Q x e =．首先求出Pd 2x x -=⎰ (积分后，不再加任意常数)，然后用公式(10-6)可得所求通解为d d d d P x P x P xy Ce e Qe x --⎰⎰⎰=+⎰24xx Ce =+． (3) 这是一阶线性非齐次方程，其中1()1,P x x =-21()x Q x e x =．首先求出Pd ln x x x =-⎰ (积分后，不再加任意常数)， 然后用公式(10-6)可得所求通解为d d d d P x P x P xy Ce e Qe x --⎰⎰⎰=+⎰2x xe e C x x=⋅+．(4)将x 看作y 的函数，即对()x x y =进行求解，可将原方程化为未知函数为()x x y =的线性方程212d 1d y xx y y-+⋅=， 于是，212()yP y y -=()1Q y =． 首先求出1Pd 2ln y y y=--⎰，然后代入通解公式，可得所求通解为112ln 2ln 1d y y yyx eey C +--⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭⎰ 11122221d yyy y e e y C Cy e y y -⎛⎫=⋅+=+ ⎪⎝⎭⎰.(5)将x 看作y 的函数，即对()x x y =进行求解，可将原方程化为未知函数为()x x y =的线性方程d d y xx e y--=-， 于是，()1P y =-()y Q y e -=-．首先求出Pd y y =-⎰，然后代入通解公式，可得所求通解为()d y y y xe e e y C --=-⋅+⎰12y y e Ce -=+.(6)令,1-=x yu 则d d (1),d d y u u x x x=+-代入原方程并整理 22d d .31u xu u x =-- 两边积分得,ln ln )3ln(2C x u +-=-变量回代得所求通解223.(1)y Cx x-=-2. 求解下列初值问题：(1) 2(2)d d 0y x y x x y -+=，1x y e ==； (2)sin x y y x '+=，()1y π=； (3) 2y y x y '=-，(2)1y =； (4) 5y y x y '-=，(0)1y =.解 (1)这是一个齐次线性方程,整理得2d (12)0d y x y x x -+⋅=， 其通解为2(12)1d 2=x xx xy Ce Cx e --⎰=，将初始条件1x y e ==代入上式，可得1C =，故所求特解为12=x y x e ．(2) 这是一阶线性非齐次方程，其中1(),P x x =1()sin Q x x x =．首先求出Pd ln x x =⎰ (积分后，不再加任意常数)， 然后用公式(10-6)可得所求通解为d d d d P x P x P xy Ce e Qe x --⎰⎰⎰=+⎰cos C xx-=将初始条件()1y π=代入上式，可得1C π=-，故所求特解为1cos x y xπ--=．(3)将x 看作y 的函数，即对()x x y =进行求解，可将原方程化为未知函数为()x x y =的线性方程d 1d x x y y y-=-， 于是，1()P y y=-()Q y y =-．首先求出Pd ln y y =-⎰，然后代入通解公式，可得所求通解为1()d x y y y C y ⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭⎰2Cy y =-.将初始条件(2)1y =代入上式，可得3C =，故所求特解为23x y y =-．(4) 这是伯努利方程，以5y 除方程的两端,得54d ,d y y y x x ---=即44d()1,4d y y x x ----= 令4,z y -=则上述方程变为 d 44.d zz x x+=- 解此线性微分方程(过程略)，可得414x z x Ce -=-++，得所求通解为4441()4x y z x Ce -==-++，将初始条件(0)1y =代入上式，可得34C =，故所求特解为44413()44x y z x e -==-++．3. 通过适当变换求下列微分方程的通解：(1) d 11d y x x y-=-； (2)d 4d y y x x x -=. 解 (1)令y x u -=则d d 1,d d y u x x=+原方程化为 d 1d u x u=-. 分离变量,得d d u u x =-， 两端积分得22u x C =-+ 以y x u -=代入上式,得通解2()2y x x C -=-+.(2)这是伯努利方程，其中214,(),()2n P x Q x x x==-=，则有公式得通解 1(1)()d (1)()d 12()(1)d n P x x n P x x nyy e Q x n e x C ----⎛⎫⎰⎰==-+ ⎪⎝⎭⎰ 2ln 22ln 1(d )2x x e x e x C -=⋅⋅+⎰21().2x C x =+ 4. 求过原点的曲线，使其每一点的切线斜率等于横坐标的2倍与纵坐标之和. 解：由题意可得方程d 2d yx y x=+， 这是一阶非齐次线性方程，其中()1,P x =-()2Q x x =，然后用公式(10-6)可得所求通解为d d d d P x P x P xy Ce e Qe x --⎰⎰⎰=+⎰22x x Ce -=--+.习题10-41. 求下列微分方程的通解：(1) sin 2y x x ''=-； (2) 2cos x y e x '''=-；(3) -20x y y '''= ； (4) 4x y y x '''+=； (5) 2=2()y y '''； (6)31y y ''=解：(1) 21cos ,y x x C '=--+3121sin ,3y x x C x C =--++(2) 211sin 2x y e x C ''=-+,2121cos ,4x y e x C x C '=+++2212311sin .82x y e x C x C x C =++++(3) 该方程是不显含y 的方程，令y p '=，则y p '''=.原方程化为一阶方程20xp p '-=．分离变量，得12d d p x p x=. 两边积分得: 21p C x =再积分一次即得原方程的通解为 31213y C x C =+．(4) 该方程是不显含y 的方程，令y p '=，则y p '''=.原方程化为一阶方程4xp p x '+=．整理，得4pp x'+=， 这是一阶非齐次线性方程，解得12C p x x=+再积分一次即得原方程的通解为 212ln y C x x C =++．(5)该方程是不显含x 的方程，令y p '=，则d d py py''=,原方程化为 2d 2d ppp y=． 分离变量得d 2d py p=．两边积分得： 211y p C e =．再由211d d y yC e x=，解得212y e C x C -=+． (6)该方程是不显含x 的方程，令y p '=，则d d py p y''=,原方程化为3d d y p p y =．得22112211C y p C y y -=-+=．解得：d d y x =可解得通解为：221121()C y C x C -=+．2. 求解下列初值问题：(1) 12cos y x x '''=+,(0)1,(0)(0)1y y y '''=-==；(2) 21,x y x y '''+=10,x y==11x y ='=；(3) 2()yy y '''=，(0)(0)1y y '==. 解 (1)相继积分三次得出:216sin y x x C ''=++，3122cos y x x C x C '=-++，4212311sin 22y x x C x C x C =-+++，以(0)1,(0)(0)1y y y '''=-==代入后可得出1231,2,1C C C ===-，于是所求特解为4211sin 2122y y x x x x ==-++-． (2)令,y p '=代入方程并整理,有211.p p x x'+=这是一阶线性非齐次方程，代入公式，得11(ln )p y C x x'==+由条件11x y ='=得11,C =所以1(1ln )y x x'=+两端再积分,得221ln (ln ).2y x x C =++又由条件10,x y ==得20,C =于是所求初值问题的解为21ln (ln ).2y x x =+(3)令,y p '=由d d py p y''=代入方程并化简得d .d p y p y= 上式为可分离变量的一阶微分方程，解得p y Cy '== 再分离变量,得d d ,yx Cy= 由初始条件(0)(0)1y y '==得出1,C = 从而得d d ,yx y= 再两边积分,得1x y C e =, (0)1y =，得11,C =从而所求特解为x y e =.3. 已知平面曲线()y f x =的曲率为32(1)y y '''+,求具有常曲率(0)K K >的曲线方程.解：由题意得方程32(0)(1)y K K y ''=>'+，令(),y p x '=代入方程,有32(1)p K p '=+ 即32d d .(1)p K x p =+解之，得1121Kx C p =++ 32d d .(1)p K x p =+习题10-51.下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？(1) 22,;x x e x e (2) ,()ax bx e e a b ≠；(3) 1cos2x +，2sin x ； (4) cos ,x sin x .解：(1)无关；(2)无关；(3)无关；(4)无关.2. 验证1y x =与2x y e =是方程(1)0x y xy y '''--+=的线性无关解，并写出其通解.解：当1y x =，11y '=，10y ''=，代入满足方程；当2x y e =，2x y e '=，2x y e ''=，代入也满足方程；另外，1y x =，2x y e =是线性无关的（由定义可知），方程的通解为：112212x y C y C y C x C e =+=+. 3. 求下列微分方程的通解：(1) 230y y y '''--=； (2) 280y y y '''--=； (3) 440y y y '''++=； (4) 690y y y '''-+=； (5) 250y y y '''++=； (6) 160y y ''+= ; (7) x y y x e ''+=+ ；(8) 4sin y y x ''+=.解：(1) 特征方程2230r r --=的根为：121=3r r =-，,通解为312x x y C e C e -=+； (2) 特征方程2280r r --=的根为：1224r r =-=，,通解为2412x x y C e C e -=+； (3) 特征方程2440r r ++=的根为：122r r ==-,通解为2212x x y C e C xe --=+； (4) 特征方程2690r r -+=的根为：123r r ==,通解为3312x x y C e C xe =+；(5) 特征方程2250r r ++=的根为：1,212r i =-±,通解为12(cos 2sin 2)x y e C x C x -=+； (6) 特征方程2160r +=的根为：1,24r i =±,通解为12cos4sin 4y C x C x =+； (7) 特征方程210r +=的根为：12r r i ==±,齐次通解为12cos sin y C x C x =+； ()x f x x e =+可以看成是1()f x x =与2()x f x e =之和．所以分别求方程y y x ''+=与方程x y y e ''+=的特解． 容易求得方程y y x ''+=的一个特解为：1y x =．按例9的方法可求得方程x y y e ''+=的一个特解为：212x y e =．于是原方程的一个特解为12y y y =+＝12x x e +．故原方程的通解为y y Y =+=12x x e +12cos sin C x C x ++.(8) ()4sin f x x =为(cos sin )αxe A ωx B ωx +型的函数，且0α=，1ω=，αωi i +=是特征方程210r +=的根，所以取1k =．设特解为()cos sin y x C x D x =+．()cos sin cos sin y C x D x x D x C x '=++-．2cos 2sin (cos sin )y D x C x x C x D x ''=--+．代入原方程，得 2cos 2sin 4sin D x C x x -=．比较两端sin x 与cos x 的系数，得2,0C D =-=，故原方程的特解为2cos y x x =-． 而对应齐次方程0y y ''+=的通解为12cos sin Y C x C x =+.于是原方程的通解为y y Y =+2cos x x =-＋12cos sin C x C x +． 4. 求解下列初值问题：(1) 20,y y y '''++=y |x =0=4、y '| x =0=-2；(2) 20y y y '''-+=,(0)(0)1y y '==解：(1) 特征方程2210r r ++=的根为：121r r ==-,通解为12x x y C e C xe --=+；代入初值条件00|4|2x x y y =='==-、，得124,2C C ==，方程特解为42x x y e xe --=+.(2) 特征方程2210r r -+=的根为：121r r ==,通解为12x x y C e C xe =+；代入初值条件(0)(0)1y y '==，得121,0C C ==，方程特解为x y e =.5. 求下列微分方程的一个特解：(1) 2331y y y x '''--=+； (2) 94y y x '''+=-；(3) 2x y y y e '''-+=； (4) 9cos 21y y x x ''+=++.解：(1) 因为()31f x x =+，且y 的系数30q =-≠，设特解为y Ax B *=+． 则()y A '*=，()0y ''*=，代入原方程，得23()31A Ax B x --+=+，使两端x 同次幂的系数相等：11,2A B =-=,所求的特解为12y x *=-+．(2) 因为()4f x x =-，且y 的系数0q =，设特解为()y x Ax B *=+． 则()2y Ax B '*=+，()2y A ''*=，代入原方程，使两端x 同次幂的系数相等得，137,1881A B -==,所求的特解为21371881y x x *=-．(3) 1α=是特征方程2210r r -+=的重根，取2k =，所以可设原方程的特解为2x y Bx e =，则22224x x x x x y Bxe Bx e y Be Bxe Bx e '''=+=++，，代入原方程得解得12B =，故方程有一特解为212x y Bx e =.(4) ()cos 21f x x x =++可以看成是1()21f x x =+与2()cos f x x =之和． 所以分别求方程921y y x ''+=+与方程9cos y y x ''+=的特解． 容易求得方程921y y x ''+=+的一个特解为：12199y x =+．另求得方程9cos y y x ''+=的一个特解为：21cos 8y x =．于是原方程的一个特解为12y y y =+＝211cos 998x x ++．习题10-61. 求下列函数的一阶与二阶差分：(1) y t =3t 2-t 3； (2) y t =e 2t ； (3) y t =ln t ； (4) y t =t 2·3t .解：(1) ()()()2323231133+32t y t t t t t t ∆=+-+--=-+［］,()22()3+326t t y y t t t ∆=∆∆=∆-+=-；(2) 2(1)222e e e (1)t t t t y e +∆=-=-,()22222222()e (1)(1)(e )e (1)t t t t t y y e e e ∆=∆∆=∆-=-⋅∆=-，(3) ln(1)ln t y t t ∆=+-,()2()ln(1)ln ln(2)2ln(1)ln t t y y t t t t t ∆=∆∆=∆+-=+-++(4) ()()21221333263t t t t y t t t t +∆=+-=++,()()()()22122()326332(1)693263t t t t t y y t t t t t t +∆=∆∆=∆++=+++-++()2342430t t t =++2. 将差分方程Δ2y t +2Δy t =0表示成不含差分的形式.解：因为1t t t y y y +∆=-，21()t t t t Δy ΔΔy Δy Δy +==-212t t t y y y ++=-+， 故220t t y y ∆+∆=可化为211222()0t t t t t t t y y y y y y y ++++-++-=-= 3. 指出下列等式哪一个是差分方程，若是，确定差分方程的阶：(1) y t +5-y t +2+y t －1=0; (2) Δ2y t -2y t =t ； (3) Δ3y t +y t =1； (4) 2Δy t =3t -2y t ； (5) Δ2y t =y t +2-2y t +1+y t .解：(1) 是差分方程.由于方程中未知函数下标的最大差为6，因此方程的阶为7； (2) 是差分方程.由于2t y ∆212t t t y y y ++=-+，方程变为212t t t y y y t ++--=，方程中未知函数下标的最大差为2，因此方程的阶为2；(3)是差分方程.由于Δ3y t 32133t t t t y y y y +++=-+-，方程变为321331t t t y y y +++-+=，未知函数下标的最大差为2，因此方程的阶为2；(4) 将原方程变形为2(y t +1-y t )= 3t -2y t ，即2y t +1=3t,不符合定义3′，因此，该等式不是差分方程.(5) 不是差分方程.由于2t y ∆212t t t y y y ++=-+，方程变为00=，所以不是差分方程.4. 验证y t =C (-2)t 是差分方程y t +1+2y t =0的通解.解：112(2)2(2)0t t t t y y C C +++=-+-=，所以是解，又方程的阶数是1，所以是通解.习题10-71. 求下列一阶常系数线性齐次差分方程的通解： (1) y t +1-2y t =0； (2) y t +1+3y t =0； (3) 3y t +1-2y t =0.解：(1)特征方程为：λ-2=0,特征根为λ=2，于是原方程的通解为 y t =C 2t . (2)特征方程为：λ+3=0,特征根为λ=-3，于是原方程的通解为 y t =C (-3)t . (2)特征方程为：3λ-2=0,特征根为23λ=-，于是原方程的通解为()2.3tt y C =-2. 求下列差分方程在给定初始条件下的特解：(1) y t +1-3y t =0，且y 0=3； (2) y t +1+y t =0，且y 0=-2.解 (1)特征方程为30λ-=,特征根为3λ=，于是原方程的通解为 3.tt y C = 将初始条件y 0=3代入，得出C =3，故所求解为13.t t y +=(2)特征方程为10λ+=,特征根为1λ=-，于是原方程的通解为(1).t t y C =- 将初始条件y 0=-2代入，得出C =-2，故所求解为2(1).t t y =-- 3. 求下列一阶常系数线性非齐次差分方程的通解： (1) y t +1+2y t =3； (2) y t +1-y t =-3； (3) y t +1-2y t =3t 2； (4) y t +1-y t =t +1; (5) 11522tt t y y +⎛⎫-= ⎪⎝⎭； (6) y t +1+2y t =t 2+4t .解 (1) 由于a =-2，k =3，令y *t =A (待定系数)，代入方程得A +2A =3，从而A =1，即y *t =1，故原方程的通解为y t =C (-2)t +1.(2) 由于a =1，k =-3，令y *t =At (待定系数)，代入方程得A =-3，即y *t =-3t ，故原方程的通解为y t =-3t+C .(3) 设y *t =A 0+A 1t +A 2t 2为原方程的解，将y *t 代入原方程并整理，比较同次幂系数, 可得A 0=-9，A 1=-6，A 2=-3.从而*2963t y t t =-+--,故原方程的通解为29632.t t y t t C =-+--+(4) 由于a =1,设y *t =(A 0+A 1t )t 为原方程的解，将y *t 代入原方程并整理，比较同次幂系数, 可得0112A A ==,从而*1(1)2t y t t =+,故原方程的通解为1(1).2t y t t C =++(5) 由15122a kb ===，，，令原方程有一个特解为*5·()2t t y A =，解得35A =.于是原方程的通解为()351·().522tt t y C =+ (6)设f 1(t )= t 2，f 2(t )= 4t ，则f (t )=f 1(t )+f 2(t ).对于f 1(t )= t 2，因a =-2≠1，可令特解y *t 1= A 0+A 1t +A 2t 2；对于f 2(t )= 4t ，因a =-2≠4，可令y *t 2=B4t故原方程的特解可设为y *t = A 0+A 1t +A 2t 2 +B4t ，代入原方程，得0121211,27934A A AB =-=-==-，，，于是21121 42793t t y t t *-=-+-+-，故所求通解为21121 4(2).2793t t t y t t C -=-+-+-+- 4. 求下列差分方程在给定初始条件下的特解：(1) y t +1-y t =3+2t ，且y 0=5； (2) 2y t +1+y t =3+t ，且y 0=1; (3) y t +1-y t =2t -1，且y 0=2.解 (1) 由于a =1,设y *t =(A 0+A 1t )t 为原方程的解，将y *t 代入原方程并整理，比较同次幂系数, 可得012,1A A ==,从而*(2)t y t t =+,故原方程的通解为(2).t y t t C =++又有初始条件y 0=5，可知5C =，故特解为(2) 5.t y t t =++(2) 由于12a =-,设y *t =A 0+A 1t 为原方程的解，将y *t 代入原方程并整理，比较同次幂系数,可得0171,93A A ==,故原方程的通解为171().392t t y t C =++-又有初始条件y 0=1，可知29C =，故特解为1721().3992t t y t =++⋅-(3) 由a =1可知，对应的齐次方程的通解为y t =C .设f 1(t )=2t ，f 2(t )=-1，则f (t )=f 1(t )+f 2(t ).对于f 1(t )=2t ，因a =1≠3，可令y *t 1=A 2t ；对于f 2(t )=-1，因a =1，可令y *t 2=Bt .故原方程的特解可设为y *t =A 2t +Bt ，代入原方程，得11A B ==-，,故所求通解为2t t y C t =+-又有初始条件y 0=2，可知1C =,故特解为12t t y t =+-.5. 某人向银行申请1年期的贷款25000万元，约定月利率为1%，计划用12个月采用每月等额的方式还清债务，试问此人每月需付还银行多少钱？若记y t 为第t 个月后还需偿还的债务，a 为每月的还款额，写出y t 所满足的差分方程以及每月还款额的计算公式.解 先对问题的进行分析， 第1个月后还需偿还的贷款为y 1= y 0 (1+1%)-a;第2个月后还需偿还的贷款为y 2=y 1(1+1%)-a ;……第t +1个月后还需偿还的贷款为y t +1=y t (1+1%)-a ，即y t +1-1.01y t =-a .这是一个一阶常系数线性非齐次差分方程，其对应的齐次方程的特征根为λ=1.01≠1，设差分方程有特解y *t =A ，代入得到100A a =，于是有通解(1.01)100t t y C a =+.代入初始条件y 0=25000，及12(1.01)1000t y C a =+=得1210025000(1.01)1000C a C a +=⎧⎨+=⎩， 从上面的等式解得1212250001.011001.01100a ⋅=⋅-.6. 设某产品在时期t 的价格、供给量与需求量分别为P t ，S t 与Q t (t =0，1，2，…).并满足关系：(1)S t =2P t +1，(2)Q t =-4P t －1+5，(3) Q t =S t .求证：由(1)(2)(3)可推出差分方程P t +1+2P t =2.若已知P 0，求上述差分方程的解. 解 由题意可得2P t +1=-4P t －1+5，即2P t+1=-4P t +4，得差分方程P t +1+2P t =2，容易求得方程的特解为：*23y =，方程的通解为：2(2)3t y C =+-,00,t y p ==当时，023C p =-所以,故所求差分方程的解为022()(2).33t y p =+--7. 设C t 为t 时期的消费，y t 为t 时期的国民收入，I =1为投资(各期相同)，设有关系式C t =ay t －1+b ，y t =C t +1，其中a ，b 为正常数，且a <1，若基期(即初始时期)的国民收入y 0为已知，试求C t ，y t表示为t 的函数关系式.解 由C t =ay t －1+b ，y t =C t +1，得11t t y ay b -=+－，又因为a <1，故可设特解为*y A =，代入得11b A a +=-，所以方程的通解为11t b y Ca a +=+-，00,t y y ==当时，011bC y a +=--所以,故所求差分方程的解为011()11t t b b y y a a a ++=-+--，从而01()11t t b a bC y a a a++=-+--.复习题10 （A ）1. 通解为y =C e -x +x 的微分方程是 . 解 方程是一阶的，e1xy C -'=-+，方程为1y x y '=-+.2. 通解为y =C 1e x +C 2e 2x 的微分方程是 .解 易见这是二阶常系数方程的解，特征根为121,2r r ==,特征方程为2320r r -+= 所以微分方程为320y y y '''-+=.3. 微分方程x d y -(x 2e －x +y )d x =0的通解是 . 解 方程可化为e x yy x x-'-=，通解为x y xe Cx -=-+. 4. 微分方程xy ′+y =0满足初始条件y (1)=1的特解是 . 解 分离变量得d d y xy x=-，通解为xy C =，初始条件y (1)=1特解为1xy .= 5. 设非齐次线性微分方程y ′+P (x )y =Q (x )有两个不同的解y 1(x )与y 2(x )，C 是任意常数，则该方程的通解是 .A C ［y 1(x )+y 2(x )］BC ［y 1(x )-y 2(x )］C y 1(x )+C ［y 1(x )-y 2(x )］D y 1(x )+C ［y 1(x )+y 2(x )］解 非齐次通解=齐次通解+非齐次特解，齐次通解()()12Y C y x y x =-［］，非齐次特解为：()()12=y*y x y*y x =或者，所以选择C.6. 微分方程y ″+4y =sin2x 的一个特解形式是 .A C cos2x +D (sin2x )B D (sin2x )C x ［C cos2x +D (sin2x )］ D x ·D (sin2x )解 因为0α=，2ω=，2i i αω+=是特征方程240r +=的根，所以取1k =．设特解为 ()cos 2sin 2y x C x D x =+．选择C.7. 解下列一阶微分方程： (1) (1+y 2)d x =xy (x +1)d y ； (2) x (y ′+1)+sin(x +y )=0；(3) (cos )d cos d y yx y x x y x x+=； (4) xy ′+2y =sin x ；(5) tan y d x =(sin y -x )d y ； (6) (y -2xy 2)d x =x d y .解 (1)分离变量()21d d 11y y x x x y =++，积分得211ln(1)ln ln()221x y C x ++=+， 化简得22(1)()1x C y x +=+； (2)令d d ,1d d y uu x y x x =+=-则，原方程化为d d d sin 0,d sin u u x x u x u x+==-即，积分得 ln(csc cot )ln ln u u x C -=-+，化简并整理得通解：1cos()sin()x y Cx y x-+=+.(3) (1cos )d d d ,,d d d cosy yy y y u x x u x u y x x x xx+===+原方程可化为令则，原方程化为d cos d x u u x =，积分得sin ln ||,u x C =+方程通解为sin ln ||.yx C x=+(4)这是一阶线性非齐次方程，2sin (),()x P x Q x x x==，所以方程通解为()d d 21(d )sin cos P x P x y e Qe x C x x x C x-⎰⎰=+=-+⎰(5) )设()x x y =，方程化为d sin cot cos d tan x y xx y y y y-==-+，这是一阶线性非齐次方程，()cot ,()cos P y y Q y y ==，所以方程通解为d d 211(d )sin sin 2P y P yx e Qe y C y C y -⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰(6)方程可化22d ?22d y y xy yy x x x-==-，这是伯努利方程，其中1(),()2,2P x Q x n x =-=-=，所以方程通解为2(1)()d (1)()d 1()(1)d ,n P x xn P x x nx C ye Q x n e x C x ----+⎛⎫⎰⎰=-+= ⎪⎝⎭⎰即 2x y x Cy -=.8. 解下列二阶微分方程：(1) (1+x )y ″+y ′=ln(1+x )； (2) y ″+3y ′+2y =2x 2+x +1； (3) y ″+2y ′-3y =2e x ； (4) y ″+y =x +cos x .解 (1)易见不显含y ，令(),=,y p x y p ''''=则代入方程得()()1ln 1x p p x '++=+，即()ln 111x pp x x +'+=++，所以11()((1)ln(1))1p x C x x x x =+++-+ 1ln(1)1C x x x -=+++，两边积分12()d =(+2)ln(1)2y p x x x C x x C =++-+⎰. (2)这是二阶常系数非齐次方程，由=20,p ≠设特解为2y Ax Bx C *=++，带入方程并对比两端x 的系数，得5131,,24A B C ==-=，故非齐次特解为2513*24y x x =-+ ；齐次通解为212x x y C e C e --=+，从而方程通解为221251324x x y C e C e x x --=++-+.(3) 这是二阶常系数非齐次方程，因为1α=是特征方程2230r r +-=的单根，所以取1k =．设特解为x y Bx e =，代入原方程后，解得12B =，故方程的一个特解为：12x y xe =.所求的通解为31212x x x y C e C e xe =++.(4) ()cos f x x x =+可以看成是1()f x x =与2()cos f x x =之和．所以分别考察方程y y x ''+=与方程cos y y x ''+=的特解．容易求得方程y y x ''+=的一个特解为：1y x =．容易求得方程cos y y x ''+=的一个特解为：21sin 2y x x =．于是原方程的一个特解为12y y y =+＝12x x sin x +． 又原方程所对应的齐次方程40y y ''+=的通解为12cos sin Y C x C x =+， 故原方程的通解为1212y C cos x C sin x x x sin x =+++. 9. 解下列差分方程： (1) y t +1+4y t =2t 2+t -1； (2) y t +1-y t =t ·2t +3.解 (1) 由于a =4，令 y *t =A 0+A 1t +A 2t 2 (待定系数)，代入方程得23612*125255t y t t =-++，故原方程的通解为23612(4)125255t t y t t C =-+++-. (2) 分别求y t +1-y t =t ·2t 和y t +1-y t =3的特解，对y t +1-y t =t ·2t ，由a =3，b =2，可设原方程有一特解为y *t =(A 0+A 1t )2t ，代入原方程，可解得*(2)2tt y t =-+；对y t +1-y t =3，由a =1，可设原方程有一特解为y *t =Bt ，代入原方程，可解得*3t y t =；故原方程的通解为(2)23tt y C t t =+-++（B ）1. 设曲线y =f (x )过点(0，-1)，且其上任一点处的切线斜率为2x ln(1+x 2)，则f (x )= .解 易得微分方程 ()22ln 1y x x '=+，直接积分得 ()()()2222ln 1d =ln 1d 1y x x x x x =+++⎰⎰，利用分部积分法()222(1)ln 1y x x x C =++-+，过点(0，-1)，代入可得1C =-，所以f (x )= ()222(1)ln 1 1.x x x ++--2. 某企业每年的工资总额在比上一年增加10%的基础上再追加奖金3百万元.若以y t 表示第t 年的工资总额(单位：百万元)，则y t 满足的差分方程是 .解 易见 1(10.01)3t t y y +=++，所以差分方程为11.13t t y y --=.3. 微分方程33d d 2y y y x x x =-满足初始条件y (1)=1的特解是 . 解 令,,y u y xu x ==则所以d d d d y uu x x x =+，带入方程得，3d 1,d 2u x u x =-求解得2ln ,ux C -=+即2ln ,x x C y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭代入条件y (1)=1，可得1C =，化简得y =4. 差分方程2y t +1+10y t =5t 的通解是 .解 由51a =-≠，设特解为*t y Bt A =+，代入得55,7212A B =-=，所以通解为 55(5)7212t t y C t =--+. 5. 设三个线性无关函数y 1，y 2，y 3都是二阶线性非齐次微分方程y ″+Py ′+Qy =f (x )的解，C 1，C 2是独立的任意常数，则该方程的通解是 .A C 1y 1+C 2y 2+y 3B C 1y 1+C 2y 2-(C 1+C 2)y 3 C C 1y 1+C 2y 2-(1-C 1+C 2)y 3 D C 1y 1+C 2y 2+(1-C 1-C 2)y 3解 非齐次通解=齐次通解+非齐次特解，121323,y y y y y y ---，是齐次方程y ″+Py ′+Qy =0的解，而且是线性无关的，所以齐次通解为：1122123C y C y (C C )y ++--，非齐次特解为：()()()123==y*y x y*y x y*y x =或或，所以选择D.6. 设f (x )=g 1(x )·g 2(x )，其中g 1(x )，g 2(x )在(-∞，+∞)内满足条件g 1′(x )=g 2(x )， g 1(x )=g 2′(x )，且g 1(0)=0，g 1(x )+g 2(x )=2e x .(1) 求f (x )所满足的一阶微分方程； (2) 求出f (x )的表达式.解 (1) 1212()()()()()f x g x g x g x g x '''=+2221()()g x g x =+ 21212[()()]2()()g x g x g x g x =+-2(2)2()x e f x =-故f (x )所满足的一阶微分方程为：2()2()4x f x f x e '-=.(2) 2d 2d 2()(4d )x xx f x e e e x C -⎰⎰=+⎰24(4d )x x e e x C -=+⎰24()xx ee C -=+22x xe Ce-=+由g 1(0)=0，则f (0)=g 1(0)·g 2(0)=0，代入上式得：1C =- 所以f (x )的表达式为：22()x x f x e e -=-.7. 设连续函数f (x )满足210()2()d (1)x f x x f tx t e x =+-⎰，且f (0)=1，求f (x ).解 设0()()d ,xy F x f u u ==⎰显然()y f x '=，又,00;u xt u t ===令当时，1u x t ==当时，；且d d u x t =，11()d =()d ()()d xf u u f tx x t f x x f tx t y ⋅===⎰⎰⎰则，所以21()2()d (1)x f x x f tx t e x =+-⎰可化为微分方程22(1)x y y e x '-=-，这是一阶线性非齐次方程，解得2d d 21(d )2P x P xx x y e Qe x C Ce e -⎰⎰=+=-⎰，22()2x x y f x Ce xe '==-，又因为f (0)=1，可得21C =，所以22()x x f x e xe =-.8. 在xOy 坐标平面中，连续曲线L 过点M (1，0)，其上任意点P (x ，y )(x ≠0)处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数a >0).(1) 求L 的方程；(2) 当L 与直线y =ax 所围成平面图形的面积为4时，确定a 的值.解 (1)由题意可得方程yy ax x'-=，这是一阶线性非齐次方程，其中1(),P x x=-()Q x ax =，所以d d 2(d )P x P x y e Qe x C Cx ax -⎰⎰=+=+⎰，又曲线L 过点M (1，0)，故C a =-，所以曲线方程为y = ax 2 –ax.(2)由定积分的知识可知，围成面积()222230014 d ()433x x a S ax ax ax x ax ax ===-+=-==⎰，故3a =.9. 验证函数36931()3!6!9!(3)!nx x x x y x n =++++++-∞<<+∞满足微分方程y ″+y ′+y =e x；利用所得结果求幂级数30(3)!nn x n ∞=∑的和函数.解 25831(),2!5!8!(31)!n x x x x y x n -'=+++++-∞<<+∞- 4732(),4!7!(32)!n x xx y x x n -''=+++++-∞<<+∞-231(),2!3!!n x x x x y y y x e x n "+'+=++++++=-∞<<+∞所以是微分方程的解，下面我们来求微分方程y ″+y ′+y =e x 的通解，这是常系数二阶0y y y "+'+=的通解为：212()x Y e C C-=+，故y ″+y ′+y =e x 通解为 2121()3x x y Y ye C C e -=+=++，令369321211()3!6!9!(3)!3x n x x x x x y e C x C e n -=++++++=++，下面确定系数，令0x =，得1113C =+，即123C =，两边同时求导得25831212122!5!8!(31)!111()223n x xx x x x y n e C Ce --'=+++++-=---++再令0x =，得1211023C -++=，即20C =，所以3369320211cos (3)!3!6!9!(3)!33xn n x n x x x x x e x e n n ∞-==++++++=+∑.。
微分方程(习题及解答)
第十二章 微分方程§12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ．(A)2xy y '=； (B)222x y C +=；(C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B).2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )．(A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C).3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )．(A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =；(C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D).4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )．(A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=；(C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A).5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )．(A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=；(C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D).二、填空题1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 .2．微分方程3d d 0,4x x y y y x=+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：3252x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =.5'的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+．6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答：Cx y e x=． 三、解答题1．求下列微分方程的通解．(1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解：(3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x++= 解： 解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2sin ln ,x y x y y y e π='==；解： 解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y y x+=． 解： 解：3*．设连续函数20()d ln 22xt f x f t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，求()f x 的非积分表达式． 答：()ln 2x f x e =⋅． §12.2 一阶线性微分方程、全微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，是一阶微分方程的是( ).2d (A)3(ln )d y y x y x x+=； 52d 2(B)(1)d 1y y x x x -=++ 2d (C)()d y x y x=+； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程2()d 2d 0x y x xy y ++=的方程类型是( )．(A) 齐次微分方程； (B)一阶线性微分方程；(C) 可分离变量的微分方程； (D)全微分方程． 答(D).3. 方程y y x y x ++='22是( )．(A)齐次方程； (B)一阶线性方程；(C)伯努利方程； (D)可分离变量方程. 答(A).二、填空题1．微分方程d d x y ye x-+=的通解为 ． 答：x x y Ce xe --=+． 2．微分方程2()d d 0x y x x y --=的通解为 ． 答：33x xy C -=． 3．方程()(d d )d d x y x y x y +-=+的通解为 ． 答：ln()x y x y C --+=． 三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) sin cos x y y x e -'+=； (2) d ln d y y x y x x=； 解： 解：(3) 232xy y x x '+=++； (4) tan sin 2y y x x '+=；解： 解： (5) 2d (6)20d y y x y x-+=； (6) (2)d 0y y e xe y y +-=； 解： 解：(7) 222(2)d ()d 0a xy y x x y y ---+=．解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解． (1) 0d 38,2d x y y y x=+==； (2) d sin ,1d x y y x y x x x π=+==． 解： 解：3*．求伯努利方程2d 3d y xy xy x-=的通解． 解：§12.3 可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程一、单项选择题1. 方程x y sin ='''的通解是( ).(A)322121cos C x C x C x y +++=； (B)1cos C x y +=； (C)322121sin C x C x C x y +++=； (D)x y 2sin 2=. 答(A) 2. 微分方程y y xy '''''+=满足条件21x y ='=，21x y ==的解是( ).(A)2(1)y x =-； (B)212124y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭； (C)211(1)22y x =-+； (D )21524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 答(C). 3. 对方程2y y y '''=+，以下做法正确的是( )．(A)令()y p x '=，y p '''=代入求解； (B)令()y p y '=，y p p '''=代入求解；(C)按可分离变量的方程求解； (D)按伯努利方程求解． 答(B).4. 下列函数组线性相关的().是(A)22,3x x e e ; (B)23,x x e e ； (C)sin ,cos x x ; (D)22,x x e xe ． 答(A).5. 下列方程中，二阶线性微分方程是( )．(A)32()0y y y '''-=； (B)2x y yy xy e '''++=；(C)2223y x y y x '''++=； (D)222x y xy x y e '''++=． 答(D).6. 12,y y 是0y py qy '''++=的两个解，则其通解是( )．(A)112y C y y =+； (B)1122y C y C y =+；(C)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性相关；(D)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性无关． 答(D).7. 下列函数组线性相关的().是22(A),3x x e e ； 23(B),x x e e ；(C)sin ,cos x x ； 22(D),x x e xe ． 答(A).二、填空题1．微分方程sin y x x ''=+的通解为． 答： 312sin .6x y x C x C =-++ 2．微分方程y y x '''=+的通解为． 答： 212.2x x y C e x C =--+ 三、简答题1．求下列微分方程的通解． (1) 21()y y '''=+； (2) 21()2y y '''=． 解： 解：2．求方程2()0y x y '''+=满足条件12x y ='=，11x y ==-的特解．解：§12.4 二阶常系数线性齐次微分方程一、单项选择题1. 下列函数中，不是微分方程0y y ''+=的解的是( )．(A)sin y x =； (B)cos y x =；(C)x y e =； (D)sin cos y x x =+． 答(C).2. 下列微分方程中，通解是312x x y C e C e -=+的方程是( )．(A)230y y y '''--=； (B )25y y y '''-+=； (C)20y y y '''+-=； (D)20y y y '''-+=． 答(A).3. 下列微分方程中，通解是12x x y C e C xe =+的方程是( )．(A)20y y y '''--=； (B)20y y y '''-+=；(C)20y y y '''++=； (D)240y y y '''-+=． 答(B).4. 下列微分方程中，通解是12(cos2sin 2)x y e C x C x =+的方程是( )．(A)240y y y '''--=； (B)240y y y '''-+=(C)250y y y '''++=； (D )250y y y '''-+=． 答(D).5. 若方程0y py qy '''++=的系数满足10p q ++=，则方程的一个解是( )．(A)x ； (B)x e ； (C)x e -； (D)sin x ． 答(B). 6*. 设()y f x =是方程220y y y '''-+=的一个解，若00()0,()0f x f x '>=，则()f x 在0x x =处( )．(A)0x 的某邻域内单调减少； (B )0x的某邻域内单调增加； (C) 取极大值； (D) 取极小值． 答(C).二、填空题1．微分方程的通解为40y y '''-=的通解为 ． 答：412x y C C e =+．2．微分方程20y y y '''+-=的通解为 ． 答：212x x y C e C e -=+．3．微分方程440y y y '''-+=的通解为 ． 答：2212x x y C e C xe =+．4．微分方程40y y ''+=的通解为 ． 答：12cos2sin 2y C x C x =+．5．方程6130y y y '''++=的通解为 ． 答：312(cos2sin 2)x y e C x C x -=+．三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) 20y y y '''--=； (2) 22d d 420250d d x x x t t-+=． 解： 解：2．求下列方程满足初始条件的特解． (1) 00430,10,6x x y y y y y ==''''-+===； (2) 00250,5,2x x y y y y=='''+===．解： 解： §12.5 二阶常系数线性非齐次微分方程一、单项选择题1. 微分方程2y y x ''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++． 答(C).2. 微分方程2y y x '''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++． 答(C).3. 微分方程256x y y y xe -'''-+=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Axe -； 2(B)()x Ax B e -+；22(C)()x Ax Bx C e -++； 2(D)()x x Ax B e -+． 答(B).4. 微分方程22x y y y x e '''+-=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Ax e ； 2(B)()x Ax Bx e +；2(C)()x x Ax Bx C e ++； 2(D)()x Ax Bx C e ++． 答(C).5. 微分方程23sin x y y y e x '''+-=的一个特解应具有形式( )．(A)(cos sin )x e A x B x +； (B )s i n x A e x ；(C)(sin cos )x xe A x B x +； (D)sin x Axe x 答(A).二、填空题1．微分方程34y y x x ''+=+的一个特解形式为 答：3*48x x y =-． 2．微分方程2y y x '''+=的一个特解形式为 . 答：*()y x Ax B =+．3．微分方程56x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：*()x y Ax B e =+．4．微分方程356x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：3*()x y x Ax B e =+．5．微分方程sin y y x ''-=的一个特解形式为 . 答：*sin y A x =．6．微分方程sin y y x ''+=的一个特解形式为 . 答：*(cos sin )y x A x B x =+.三、简答题1．求下列微分方程的通解．：(1) 22x y y y e '''+-=； (2) 5432y y y x '''++=-；解： 解：(3) 269(1)x y y y x e '''-+=+．解：。
第九章 微分方程与差分方程习题解答
练习9.11.指出下列微分方程的阶数：解：(1)一阶 (2)一阶 (3)一阶 (4)二阶2.验证下列各函数是否为所给微分方程的解，并指出哪些是特解哪些是通解。
（21,,C C C 为任意常数）解：(1)通解 (2)特解 (3) 不是解 (4)不是解3.写出以下列函数为通解的微分方程，其中21,,C C C 为任意常数 解：(1)直接求式子求导,可得0)(22=+'−y y yx x(2)直接求式子求导,可得02=−'+''y y y练习9.21.求下列各微分方程的通解或在给定初值条件下的特解：(1)解：xdx ydy sin =两边同时积分-cosx 1cos lny e c y c x =⇒+−=（2）解：22ln 2x e c y c x y xdx ydy⋅=⇒+=⇒=积分（3）解法一：cy x c y x cxy y x xy d dy dx =+−=+−⇒=+−⇒=+−)1)(1()1)(1(0)(或解法二：cy x cc d d x y x dxy dy =+−⇒=⇒+=⇒−=−=+=−=+)1)(1(1ln ln 1,111ξηξηξξηηξη令（4） 解：0011tan cos 0,4)0(22=⇒=+=⇒+=⇒===c c c e x dt e xdx t x t令π故t t e x e x arctan ,tan ==（5）解：dy e e dx e e x y y x )1()1(++−ce e ce e e dy dx e dy e dx e x y y x x y y x y x =+−⇒=+−⇒=+++−⇒++)1)(1(0)(（6）解：1232323230)1()1(c y y x x dy y y dx x x =−−+⇒=+−+c y y x x =−−+⇒23233232e y e xx 2O学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MO O C中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MO O C中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M OOC令)1ln(21)1ln(211)1(,1e c c e y x +−=⇒++=⇒==由 故)1ln(21)1ln(22e e y x +−++=（8）解：c x y x dx y dy =+⇒=++arctan ln 012令4401)1(,1ππ=⇒=+⇒==c c y x 由故4arctan ln π=+x y2．求下列各微分方程的通解或特解：（1）解：u dxdux dx dy x y u x y x y dx dy +=⇒=−=令112ln )2ln(211c x u u u u u dx du x +=−⇒−=+⇒c y xy x c u u =−⇒⋅=−⇒22222（2）解：令xyu =)ln(0)ln(0)ln(ln ln =+=+⇒=+⇒+=⇒=⇒+=+=−−−−xyxy u u u u ecx ecx e cx c x e x dx edu u e u dx du x dx dy 故原方程的通解为：（3）解：令012=+−−+⇒=u u u dxdux x y u 122ln )1ln(1c x u u xdxu du+=++⇒=+⇒22221cx y x y cx u u =++⇒=++⇒（4）解：令c x u u dx du x x y u +=⇒=⇒=ln 2tan ln sin 01ln 1ln 2,1=⇒+=⇒==c c u x π令x x y x u arctan 2arctan 2=⇒=⇒（5）解：令 u dydu y dy dx y x u +⋅==则 化简得 uu dy du y u u u dy du y 25123122−=⋅⇒−=+⋅ c y u dy udu +=−−⇒=⇒ln 51ln 122 O 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MO O C中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MO O C中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M OOC令00)0(,1)0(0====c u y x 得则 故151)51(32552=−⇒=−y x y yu （6）解： xyu xy x y dx dy =+−=令,11则11112+−−=⇒+−=+u u dx du x u u dx du x u 令 c x u u x dx u du u +=−+−⇒=++−⇒ln arctan 1ln 21)1()1(22令0,0)1(,0)1(,1====c u y x 得则故 0arctan 2)ln(ln 2arctan 2ln ln arctan 1ln 21222222=++⇒−=++⇒=−+−xyy x x x yxy x x u u 3．求下列微分方程的通解：(1)解：令y x z −= zz z z dx dy dx dz 22211+=++=−= ()()()c x y x n y cx z n z dx z zdz+=+−−−+=+−⇒=+⇒12112 故原方程的通解为： )(1y x ce y x +−=+− （2）解：373737++−−−=y x y x dx dy 0407337≠=−−=∆⎩⎨⎧=+=⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=++−=−−ηξy x y x y x y x 1010********0故令 得ξξξξηξηξξηξηd du u u d du u d d u =−−=+⇒+−−==277377337令 cy x y x cc u u c u u u cuu u =−+−−⇒=−+⇒=−+⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−⇒+=−+−−−⇒5225727527322)1()1()()()1()1(11)1(ln 11ln 1431ln 21ηξξηξξξ （3）解：0111=−−=∆−−−=y x dyO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MO C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MOOC中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学MOO C中国大学M OOC令 1221211−−=−−−+=+=z z z z dx dz yx z cy x y x c x z z dx dz z z =−++++=−+⇒=−−2ln 32 2ln 32212即 （4）解：051=∆++−++−=y x y x dx dy令 54511+−=+++−=−=z z z dx dz xy z c x y x y c x z z dx dz z =−+−⇒+−=+⇒−=+52)(4524)5(22（5）解：分离变量得01122=++−yydyx xdx 两边积分得1221ln 211ln 21C y x =++−−得通解为C xy =−+2211 （6）解：变形得 0223=+x y dydxy 分离变量得并积分得21yCx = 变易常数C ，即令21)(y y C x =，代入原方程有y y C 1)(='， 积分得C y y C +=ln )( 得通解为)(ln 12C y yx +=4．求下列各微分方程的通解或在给定初值条件下的特解：（1）解：()()cdx e x e c dx e x e y x x x dx+⋅=+⋅⎰=⎰⎰−−222244分部积分()[]x x x e c x c x e e 2221212−−⋅+−=+−=（2）解：利用函数变量法：令 x e x Q x p −==)(1)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰−c dx e x Q e y dx x p dx x p )()()( []()c x e c dx e e e x x x x +=+⋅=−−−⎰ （3）解：cos sin cos c dx e e e y xdx x xdx⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=−−⎰O学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MO C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC（4）解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰−⎰=⎰−−−c dx e x x e y dx x xdx x x 12212221cos []1sin 1cos 11222−+−=+−=⎰x xx c c xdx x（5）解：01212=+−+yy dy dx 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅−⎰=⎰⎰−+−−−c y dy e e c y dy e ex y y y y dy yy21)ln 21(2121)1( y yye cy y c e e y 122112+−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+−⋅=（6）解：c t x t dt x dx ++=+⇒+=+)2ln()13ln(31213 令0)0(,0==x t ，得2ln −=c故()()2211331+=+t x （7）解：[]x c e c dx e x c dx e x e e y xx x dx x x dx +=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅⎰=⎰⎰−1 令1)2(,2==y x ，即22221e c ce −=⇒+= 故xe e y x 22−+=（8）解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−−−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅−−⎰=⎰⎰−−−−c dx x x x x x x x c dx e x x x e y x x dxx x dx 11)12(11)12()1()1( [][]c x x x x c dx x x x +−−=+−−=⎰21)12(1 令4)2(,2==y x ，即0)24(24=⇒+−=c c故2x y =5．求下列方程的通解：（1）解：23x y yx dydx+= 令1−=x z ，则dydx x dy dz 21−= O学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC 中国大学MO OC中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MO O C中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学MOOC331y yz y ydy dz −−=−−= 22222232322222)2()2( y y y y y ydyydy ce y c y e ec dy e y ec dy e y e z −−−−−+−−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+−−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+−=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅⎰=⎰⎰即：1)2(222=+−−y cex y（2）解： 令3−=y z ，则24333x z xdy dx y dx dz −=−=− []c x x c dx x x c dx e x e z dx x dx x +−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅−⎰=⎰⎰−ln 3 3333333 即：1)ln 3(33=−x c y x（3）解：xy x dy dx 2−= 令2x z =，则dydx x dy dz 2=y z y x dydz42422−=−= 故[][]yce c y e e c dy ye e x c dy e y e z y y y y y dy dy21)21(4 422222222++=++=+−=⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅−⎰=−−−⎰⎰（4）解： 令x z 1=，则y yz dydxx dy dz −−=−=312 311)(23232323332222−=⇒+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅−=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅−⎰=−−−−⎰⎰y y y y ydy ydy cexc e c dy e y e c dy e y e z（5）解： 令xyu =，则u u u u x tan +=+' cx x y cx u cx u dx xudu u dx xdu arcsin sin ln ln sin ln 1cot tan =⇒=⇒+=⇒=⇒=⇒（6）解：其对应的齐次方程分离变量得xdx y dy −= O 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC 中国大学MO OC中国大学MOO C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MOOC中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学MOOC中国大学M OOC积分得c x y ln ln ln +−=将c 常数变易为)(x c ，代入得xx c 1)(='，积分得c x x c +=ln )( 于是原方程的通解为)(ln 1c x xy +=6．不作要求。
微积分(上册)习题参考答案
参考答案0. 预备知识习题0.11.（a ）是 （b ）否 （c ）是 （d ）否2.（a ）否 （b ）否 （c ）否 （d ）是 （e ）否 （f ）否 （g ）是 （h ）否 （i ）是3. {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{},1,2,3,4,1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4,1,2,3,1,2,4,1,3,4f , {}{}2,3,4,1,2,3,4.4. 11,,0,1,2,3,4A B禳镲?--睚镲铪 ，10,1,4A C 禳镲-=--睚镲铪 ，11,,0,1,2,74A D A 禳镲?=--睚镲铪.5. 1,32A Bx x R x 禳镲??<睚镲铪， {,12}A B x x R x =危 ，{},23A B x x R x -=?<.6~15. 略。
16. 证明：先证()()()A B C A B A C --?惹.若()x A B C ?-，则,x A x B C 蜗-①如果x C Î，则,x A B C 蜗-;②如果x C Ï，则x B Ï，所以x AB ?，也有()()x A B AC ?惹，因此有()()()A B C A B A C --?惹.再证()()()A B C A C A B C --惹?-.若()()x A B A C ¢?惹，则，x A B ¢?或x A C ¢吻.①如果x A C ¢吻，有x C ¢Î，所以，x B C ¢?，又x A ¢Ï，于是()x A B C ¢?- ②如果x A C ¢锨，x A B ¢?，则有x A ¢Î，x C ¢Ï，x B ¢Ï，所以，x B C ¢?，于是()x A B C ¢?-. 因此有()()()A B A C A B C -惹?-.综上所述，()()()A B C A B A C --=-惹，证毕. 17~19. 略。
差分方程模型习题+答案
1. 一老人60岁时将养老金10万元存入基金会，月利率0.4%， 他每月取1000元作为生活费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？分析：(1) 假设k 个月后尚有k A 元，每月取款b 元，月利率为 r ，根据题意，可每月取款，根据题意，建立如下的差分方程：1k k A aA b +=-，其中a = 1 + r (1)每岁末尚有多少钱,即用差分方程给出k A 的值。
(2) 多少岁时将基金用完，何时0k A =由（1）可得：01k k k a A A a b r-=-若0n A =，01nn A ra b a =-(3) 若想用到 80 岁，即 n ＝(80-60)*12=240 时，2400A =，24002401A ra b a =-利用 MATLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下： clear all close all clcx0=100000;n=150;b=1000;r=0.004; k=(0:n)';y1=dai(x0,n,r,b); round([k,y1'])function x=dai(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0;for k=1:nx(k+1)=a*x(k)-b; end(2)用MA TLAB 计算：A0=250000*(1.004^240-1)/1.004^240思考与深入：(2) 结论：128个月即70岁8个月时将基金用完(3) A0 = 1.5409e+005结论：若想用到80岁，60岁时应存入15.409万元。
2. 某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10万元，月利率0.5%，他每月还1000元。
建立差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要10年还清，每月需还多少？分析：记第k个月末他欠银行的钱为x（k），月利率为r，且a=1+r，b为每月还的钱。
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第七章微分方程与差分方程习题7－1（A ）1．一阶)1( 二阶)2( 一阶)3( 2. (1) 不是 (2) 是 (3) 是 (4) 是3．25)1(22=-x y x xe y 2)2(= x y c o s)3(-= 4．2)1(x y = 02)2(=+'x y y习题7－1（B ）1．1)1()1(22=+'y y 02)2(=-'+''xy y y x 2．)()1(2为比例系数k TPk dT dP = )()2(21为比例系数k v k t k dtdvm-=习题7－2（A ）1．xC e y =)1( C x x y ++=325121)2( )1(ln 1)3(x a a C y --+=C x y =+-1010)4( C x y +=a r c s i n a r c s in )5( C x y +--=2212)6( 34121)21()7(x y C -=-C y x =t a n t a n)8( 3)1(t a n )9(-=x e C y C e e y x =-+)1()1()10(2．)1(21)1(2+=xy e e 0c o s 2c o s )2(=-y x 2tan )3(x ey = )1(ln 21)1(ln 2)4(2e e y x +-++=6.3=xy231.4x y =习题7－2（B ）)(10,64.90305.0.123s h t 水流完所需时间约为+-=)/(3.26972500.2s cm v ≈=t e R R 000433.00.3-=t et v 52ln 6)(.4-=t k mt k me v e g kmv --+-=0)1(.51)1(.6--=m axb y 31.7xe C y x-=习题7－3（A ）1．1)1(+=x C e x y 222)2(Cx x y y =-+)(ln )3(222Cx x y =2)ln()4(x C x y = )0()5(>=x e x y x C xy sh C x 32)6(=2．x xyln sin)1(= 2)2(22=++y x y3． C xy =4．C y x y =++22习题7－3（B ）1．331)1(yCy x =- C ye x x y=+2)2( 223)3(x y y -= 1)4(22=++y x y x2*． Cy x y x C x y x y Cx yx y C x y x y =--++=-++-=-+-+=-+--)2(ln 23)4()1()1()3(12arctan])1(4ln[)2()32()34()1(52222习题7－4（A ）1．)()1(C x e y x +=- )()2(s i nC x e y x+=- )(1)3(2x x e Ce xy +=x x C y 2c o s 2c o s)4(-= 1sin )5(2-+=x Cx y )2()2()6(3-+-=x C x y2．xxy cos 1)1(--=π xxy cos )2(=15sin )3(cos =+x e x y )4(32)4(3θρ--=e )1(2)5(1132--=xe x y3．)1(2--=x e y x 4．,)1()()2(,)()1(kt e a a t y a y k dtdy--+=--= 量的相对忘记速率。
为相对于以后要忘记的为牢记不忘的量，k a )3(5．x Ce x y +-=sin 1)1( C e yx =+223)31()2( 24)ln 21()3(C x x y += x e C yx 211)4(3--=C x x y x ++-=)ln 32(32)5(322习题7－4（B ）1．4121)1(2--=y e C x y 2321)2(y y C x += yCy y x +=ln )3( C y y x +=2ln ln 2)4(1arctan )5(arctan -+=-y Ce x x2．x e e y y =+-)1( π+=x xy sin )2(y e y x )1()3(+= 2sin 1)4(2+=+y y xxch x f =)(.3)3(20,106.410x ex dt xdt dx --=-=)1(.5222121t m ke k mk t k k v ---=6．)(tan )1(C x x y ++-= C x y x +-=-2)()2(2xC ey x =)3( y e x x C =+4)4(3Cx x y +--=1sin 1)5( x y C x ln cos )()6(=+ 7．⎰==-+代回，得通解。
求出积分后将xy v C v g v f v dvv g x ,)]()([)(lnx x e e x f 2323)(.8-=35)(32)(.9322=+x f x x f习题7－5（A ）1．3221)3()1(C x C x C e x y x +++-=212)1(ln 21arctan )2(C x C x x x y +++-= 221)3(C x C y +=22121)4(C x x e C y x +--= 21)(cos ln )5(C C x y ++-=221)14()6(C x C y +-=213ln 91)7(C x C x x y +++=21111)(;ln 4)8(C xC x C y xy y y C x +-=''=''+2．22121)(1)1(C x C y C +=- 12)arcsin()2(C e C y x +=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+±=+1123122)(32)3(C y C C y C x)1(ln 1)4(112-=+y C C C x3．)22(2)1(21)1(23223--+-+-=a a ae x a a e x a e ea y a a a axxy arcsin )2(= 22)3(x x y -=)1(ln 1)4(+-=ax ay x y sec ln )5(= xe y -=)6(12161.43++=x x y习题7－5（B ）1．321)1(C x C e C y x ++= 4321)2(C x C e C y x C ++= xx y +-=11)(.2 21ln )(.3C x C x f += ),()(ln 1.4222222kg m c k t k ch k s ===μμ习题7－6（A ）1．(1) 线性相关 (2) 线性无关 (3) 线性相关 (4) 线性无关 (5) 线性相关 (6) 线性无关 x C x C y ωωsin cos .221+=2)(.321x e x C C y +=习题7－6（B ）xC x C y 1.221+= )12(.321++=x C e C y xx x x x x C x C y cos ln cos sin sin cos .421+++=.ln 21ln .5221x x x x C x C y ++=习题7－7（A ）1．x x e C e C y 221)1(-+= x e C C y 421)2(+=x C x C y sin cos )3(21+= )2sin 2cos ()4(213x C x C e y x +=-xxeC eC y 3231)5(-+= x e x C C y 3121)()6(-+=t e t C C x 2521)()7(+= t C t C y 3sin 3cos )8(21+= 2．xxee y 324)1(+= x ex y 21)2()2(-+=x x e e y 4)3(-=- x e y x 5sin 3)4(2-= x x y 5sin 5cos 2)5(+= x e y x 3sin )6(2=习题7－7（B ）1．x x e C e x C C y -++=321)()1( )3s i n 3c o s ()2(3221x C x C e e C y x x ++=-x C x C e C e C y x x sin cos )3(4321+++=- x x C C x x C C y sin )(cos )()4(4321+++=x e x C C x C C y )()5(4321+++=x x C x C e C e C y x x 3sin 3cos )6(432221+++=-3．.0=''-'''y y4．.0222)4(=+'-''+'''-y y y y y 2ln 21.5 .0)0(0)()(==+''f x f x f ，且得由题意，提示：习题7－8（A ）1． x x x e e C e C y ++=-221)1(2211sin cos )2(a e ax C ax C y x +++=x x x eC C y x 2575331)3(232521+-++=-x x x e x x e C e C y ----++=)323()4(2221 x e C e C y x x 21811)5(421-++=-- x xe x x ex C C y 32321)131(2)()6(+++=747421t t t t C t C x sin 92cos 312sin 2cos )2(21+++= )sin (cos 21)3(221x x e e C e C y xx x +-+=--- x e x x C x C e y x x 2cos 41)2sin 2cos ()4(21-+= x x x C x C y 2cos 452sin 2cos )5(21-+=3．25275)1(2++-=x x e e y 98344541)2(3--+-=-x e e y x x )()3(2x x e e e y x x x -+-=-xx ex e x y 22221)21()4(--++= x x x y 2sin 31sin 31cos )5(+--= x x x y 2cos 61sin cos 67)6(-+=x x e e y x x cos 103sin 1012151)7(2-++-=- )cos (sin 41sin )8(x x x x x y -+=习题7－8（B ）1．x e C e C y x x 2cos 10121)1(21+-+=- )2sin 2(cos 16141)2(221x x x e C C y x -+++=- x xe C x C y x sin 22sin cos )3(21+++=x x e C x C e y +++=25sin)cos ()4(21 35ln 2)5(ln 531)5(2321--++-+=-xx x x e C e C y x x e x x x e x C C y 2222214342)()6(+++++=3321)sin (cos 21)23sin 23cos()2(32211x x x C x Cee C y x x-+++=-x y y -=-''1.3x x xe e y y y 22.4-=-'-'')sin (cos 21)(.5x e x x x f ++=)1(.622t m ke kgm t k mg x ---=.)()322419(ln 10)2(;)()625(ln 10)1(.7s g t s gt +=+=习题7－9（A ）1．xCx C y 21)1(+= 3121)ln()2(x x C C y +=xx x C C x y 221ln )ln ()3(++=322151)4(x x C x C y ++= 41)ln (ln 21)5(2221++++=x x x C x C y )sin(ln 21)]ln 3sin()ln 3cos([)6(21x x x C x C x y ++=习题7－9（B ）1．x x x C x C y ln 1)1(2221+++= x x x x x C x C y 322221ln 61ln )2(+++= 2321ln )3(-++=x C x x C x C yx x x x x C x C x x C y ln 3)2(ln 21])sin(ln )cos(ln [)4(2321+-+++= 0.222=+y dt y d.11,)(,0.3arcsin 2arcsin 122<<-+==--x e C e C x y y dty d x xxe x e e C C y )(.421+=习题7－10（A ）1．（1）（4） 2．（1）（3）3．;0)1(=∆x y ;12)2(+=∆x y x ;)1()3(x x a a y -=∆ ;)11(l o g )4(xy a x +=∆;21sin )21(cos 2)5(a x a y x +=∆ .4)6()3(x y x =∆6．;5123743,543)1(x x x x y A y +-=+-= ;)1(35231,)1(231)2(x x x x xx y A y -+=-+=;)4(1251615225112536,)4(5225112536)3(22x x x x x x y A x x y -+++-=-+++-= ;272121234,27214)4(xxx xxx y B A y ⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=;3sin324,)3sin3cos(4)5(x y x B x A y x x xx πππ=+=x y x B x A y x x x x 4cos2)2(,)4sin4cos()2()6(πππ=+=7．(II) 32)2()32(0+--=x t P P总习题七一、选择题(1) C (2) B (3) D (4) B (5) C 二、填空题 C e e x y +=-331.1 )(cos .2C x x y +=)2cos 2cos (.321x C x C e y x +=-)61(125)5(.4-+-=t C y t t 1)1()1(.5221+-+-=x C x C y三、计算题1．1)1()1(22=+'y y 023)2(=+'-''y y y 2．)1(ln )1(xe e C y -+= y x C x y 22)2(=-C e xy y =-)3( C x y x +=-sin )1()4(2C y x y =+222)5(C xy x =-，齐次方程或作变量代换)6(3．2213231)1(C x C x y ++= )(1)2(211C x C ch C y +=x e C C x x x y -+++-=2123231)3( )ln ()4(21x C C x y += 9834)5(231--+=-x e C e C y x x 4．21ln 23)1(2-+=-y y x 1)2(22+=-x y 123)()3(332++=+xy x y x 0)ln 21()4(2=-+y y x x e y arctan 2)5(= x e x y x sin 21)6(+=- C x x x x f +-++=arctan )1(ln 21)(.52 .2)(.6x C x f +=x xx x f cos 2sin 21)(.7+=2ln 211)4(cos ln .8++-=x y π000)(22.9ρθθθθρρ-+=k k)(.10bme b m t b af y t m b-+-=-.10sin 25310cos 256)20sin 50920cos 256()(,10sin 125310cos 2503)20sin 500320cos 2503()(.111010t t t t e t I t t t t e t Q t t ++-=+--=--。