山西省运城市盐湖区2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题 扫描版缺答案
山西省2018～2019学年度高2020届高2017级高二上学期期末测评考试理科数学试题1及参考答案
A. x-姨 3 y+1=0
B. 姨 3 x-y=0
C. 姨 3 x+y=0
D. 3x-姨 3 y-1=0
7. 若双曲线 y2 -x2=1的一个顶点在抛物线y= 1 x2的准线上，则该双曲线的离心率为
m
2
A. 姨 3
B. 姨 5
C. 2姨 3
D. 2姨 5
8.
已知M和N分别 是四面体OABC的边OA ， BC 的 中 点 ， 且 1M1P =
姓名 秘密★启用前
准考证号
高二理科数学试题
注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 2. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
Ⅰ
3. 下列命题中，中命题的是 题题题
A. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交.
B. 平行于同一平面的两条直线一定平行.
轨迹方程为 ▲ ． 15. 已知点 A（0，1，0），B（-1，0，-1），C（2，1，1），P（x，0，z），若 PA⊥AB，PA⊥AC，则点 P
的坐标为 ▲ ．
16.
已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为
F1，F2，点
Q
为椭圆上一点，△QF1F2
的重心为 G，内心为 I，若△G△I =姿△F1F△2 ，则椭圆的离心率为 ▲ ．
=（-1，0，1）·（0，1，1） 姨2 ×姨2
=
1 2
.
∴ 异面直线 BA1 与 AC1 所成的角为 60°.
11. A 【解析】∵ 抛物线 x2=8y 的焦点为（0，2），∴ 椭圆的焦点在 y 轴上，且 c=2，
2017届山西省运城市高三上学期期末调研考试理科数学试题及答案
运城市2017学年第一学期期末高三调研测试试题理 科 数 学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、已知集合{}1,Ry y x x A ==-∈，{}2x x B =≥，则下列结论正确的是（ ）A ．3-∈AB ．3∉BC ．A B =BD ．A B =B2、若命题“0R x ∃∈，使得200230x mx m ++-<”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]2,6B ．[]6,2--C ．()2,6D ．()6,2--3、若复数z 满足()12z i z -=+，则z 在复平面所对应点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4、已知函数()[](]23,1,23,2,5x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则方程()1f x =的解是（ ） A2 B4C．2 D．45、执行如图所示的程序框图，运行的结果为3S =，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是（ ） A ．6k >? B ．6k <? C ．5k >? D ．5k <?6、抛物线24y x =的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当F ∆PM 为等边三角形时，其面积为（ ） A ．B ．4C ．6D ．7、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足4255S a +=，则一定有（ ）A ．6a 是常数B ．7S 是常数C ．13a 是常数D ．13S 是常数8、一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是边长为）A ．6π+ B ．πC ．64π+ D ．4π9、已知三棱锥C S -AB 的四个顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，S O ⊥底面C AB ，C A =，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π10、已知不等式组3410043x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆221x y +=的两条切线且切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos ∠APB =（ ） A．2 B ．12 C．2-D ．12-11、已知函数()sin cos f x a x b x =+（R x ∈），若0x x =是函数()f x 的一条对称轴，且0tan 2x =，则点(),a b 所在的直线为（ ） A ．20x y -= B ．20x y += C ．20x y -=D ．20x y +=12、设函数()sin x f x e x =+，()2g x x =-，设()()11,x f x P ，()()22Q ,x g x （10x ≥，20x >），若直线Q//P x 轴，则P ，Q 两点间最短距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、已知1a =，2b =，a b += a 与b 的夹角为 ．14、如图所示，在矩形C OAB 内任取一点P ，则点P恰落在图中阴影部分中的概率为 ． 15、若正数a ，b 满足1a b +=，则11a b a b +++的最大值为 ． 16、已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线C A ，C B 的斜率分别为1k ，2k ，当12122ln ln k k k k ++最小时，双曲线离心率为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分10分）设C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c，且cosC sin a b =+B ． ()1求B ；()2若1c =，3a =，C A 的中点为D ，求D B 的长． 18、（本小题满分12分）如图，已知四棱锥CD P -AB ，底面CD AB 为菱形，PA ⊥平面CD AB ，C 60∠AB = ，E ，F 分别是C B ，C P 的中点．()1证明：DAE⊥P；()2若2E-A-的余PA=，求二面角F CAB=，2弦值．19、（本小题满分12分）2014年11月10日CAPE会议在北京召开，某服务部需从大学生中招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试两部分，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[)90,95，第5组[)95,100，80,85，第3组[)85,90，第4组[)75,80，第2组[)得到的频率分布直方图如图所示：()1分别求出成绩在第3，4，5组的人数；()2现决定在笔试成绩较高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6人进行面试．①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率； ②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D 的面试，设第4组中有X 名学生被考官D 面试，求X 的分布列和数学期望．20、（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且首项13a ≠，13n n n a S +=+（n *∈N ）． ()1求证：{}3n n S -是等比数列；()2若{}n a 为递增数列，求1a 的取值范围．21、（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）过点()2,1M ，焦距为()1求椭圆E 的方程；()2若直线l 平行于OM ，且与椭圆E 交于A 、B 两个不同的点（与M 不重合），连接MA 、MB ，MA 、MB 所在直线分别与x 轴交于P 、Q 两点，设P 、Q 两点的横坐标分别为s ，t ，探求s t +是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22、（本小题满分12分）设函数()2ln f x x bx a x =+-．()1若2x =是函数()f x 的极值点，1和0x 是函数()f x 的两个不同零点，且()0,1x n n ∈+，n ∈N ，求n ；()2若对任意[]2,1b ∈--，都存在()1,x e ∈（e 为自然对数的底数），使得()0f x <成立，求实数a 的取值范围．运城市2017～2017学年第一学期期末高三调研测试试题理科数学参考答案。
山西省运城市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
山西省运城市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是( )A．﹣3∈A B．3∉B C．A∩B=B D．A∪B=B考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：先求出集合A，从而找出正确选项．解答：解：∵|x|≥0，∴|x|﹣1≥﹣1；∴A={y|y≥﹣1}，又B={x|x≥2}∴A∩B={x|x≥2}=B．故选C．点评：注意描述法所表示集合的元素．2．若“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m﹣3＜0”为假，则实数m的取值范围是( )A．[2，6]B．[﹣6，﹣2]C．（2，6）D．（﹣6，﹣2）考点：特称；的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：先写出原的否定，再根据原为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围．解答：解：“∃x0∈R，使得”的否定为：“∀x0∈R，都有”，由于“∃x0∈R，使得”为假，则其否定为：“∀x0∈R，都有”，为真，∴△=m2﹣4（2m﹣3）≤0，解得2≤m≤6．则实数m的取值范围是[2，6]．故选A．点评：本题考查二次不等式恒成立，解决此类问题要结合二次函数的图象与性质处理．3．若复数z满足（z﹣1）i=2+z，则z在复平面所对应点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数定义的运算法则、几何意义即可得出．解答：解：∵复数z满足（z﹣1）i=2+z，∴z===，则z在复平面所对应点在第三象限．故选：C．点评：本题考查了复数定义的运算法则、几何意义，属于基础题．4．已知函数，则方程f（x）=1的解是( )A．或2 B．或3 C．或4 D．或4考点：函数的零点．专题：计算题．分析：由方程f（x）=1可得①，或②，分别求出①②的解集，取并集即得所求．解答：解：由方程f（x）=1可得①，或②，解①可得x=，解②可得x=4，故方程f（x）=1的解是x=或x=4，故选C．点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．5．执行如图所示的程序框图，运行的结果为S=3，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是( )A．k＞6？B．k＜6？C．k＞5？D．k＜5？考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S的值，当S=3，k=6时，由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出运行的结果为S=3，故判断框中应填入的关于k的判断条件是：k＞5．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=360不满足条件，S=360，k=2不满足条件，S=180，k=3不满足条件，S=60，k=4不满足条件，S=15，k=5不满足条件，S=3，k=6由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出运行的结果为S=3，故判断框中应填入的关于k的判断条件是：k＞5．故选：C．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．抛物线y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( )A．2B．4 C．6 D．4考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的定义得出PM垂直于抛物线的准线，设P（，m），求出△PMF的边长，写出有关点的坐标，利用两点距离的公式得到FM，列出方程求出m的值，得到等边三角形的边长，从而求出其面积．解答：解：据题意知，△PMF为等边三角形，PF=PM，∴PM⊥抛物线的准线，设P（，m），则M（﹣1，m），等边三角形边长为1+，F（1，0）所以由PM=FM，得1+=，解得m=2，∴等边三角形边长为4，其面积为4故选D．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合问题．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力．7．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S4+a25=5，则一定有( )A．a6是常数B．S7是常数C．a13是常数D．S13是常数考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：将S4+a25=5有首项与公差表示得到a1+6d=1，即a7=1，利用等差数列的前n项和公式及等差数列的性质得到答案．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵等差数列{a n}中S4+a25=5，∴，∴a1+6d=1，即a7=1，∴，故选：D．点评：本题考查等差数列的前n项和公式及等差数列的性质，属于一道基础题．8．一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正三角形及其内切圆，则侧视图的面积为( )A．6+πB．C．6+4πD．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是三棱柱与球的组合体，判断三棱柱的高及底面三角形的边长，计算球的半径，根据侧视图是矩形上边加一个圆，分别计算矩形与圆的面积再相加．解答：解：由三视图知：几何体是三棱柱与球的组合体，其中三棱柱的高为2，底面三角形的边长为2，根据俯视图是一个圆内切于一个正三角形，球的半径R==1，几何体的侧视图是矩形上边加一个圆，矩形的长、宽分别为2，3，圆的半径为1，侧视图的面积S=2×3+π×12=6+π．故选：A．点评：本题考查了由正视图与俯视图求侧视图的面积，判断数据所对应的几何量及求得相关几何量的数据是解题的关键．9．已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，，则球的体积与三棱锥体积之比是( )A．πB．2πC．3πD．4π考点：球内接多面体．专题：作图题；综合题；压轴题．分析：求出三棱锥的体积，再求出球的体积即可．解答：解：如图，⇒AB=2r，∠ACB=90°，BC=，∴V三棱锥=，V球=，∴V球：V三棱锥=．点评：本题考查球的内接体的体积和球的体积的计算问题，是基础题．10．已知不等式组表示区域D，过区域D中任意一点P作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B，当∠APB最大时，cos∠APB=( )A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，则∠OPB最大，∵sin∠OPB==，∴只要OP最小即可．则P到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP垂直直线3x+4y﹣10=0，此时|OP|=，|OA|=1，设∠APB=α，则，即sin==，此时cosα=1﹣2sin2=1﹣2×（）2=1﹣=，即cos∠APB=．故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和的倍角公式．11．已知函数f（x）=asinx+bcosx（x∈R），若x=x0是函数f（x）的一条对称轴，且tanx0=2，则点（a，b）所在的直线为( )A．x﹣2y=0 B．x+2y=0 C．2x﹣y=0 D．2x+y=0考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用辅助角公式将函数进行化简，求出函数的对称轴即可得到结论．解答：解：f（x）=asinx+bcosx=（sinx+cosx），令sinα=，则cosα=，即tanα=，则f（x）=cos（x﹣α），由x﹣α=kπ，得x=α+kπ，k∈Z，即函数的对称轴为x=α+kπ，k∈Z，∵x=x0是函数f（x）的一条对称轴，∴x0=α+kπ，则tanx0=tanα==2，即a=2b，即a﹣2b=0，则点（a，b）所在的直线为x﹣2y=0，故选：A点评：本题主要考查三角函数的化简，以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．12．设函数f（x）=e x+sinx，g（x）=x﹣2，设P（x1，f（x1）），Q（x2，g（x2））（x1≥0，x2＞0），若直线PQ∥x轴，则P，Q两点间最短距离为( )A．2 B．3 C．4 D．5考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；点到直线的距离公式．专题：导数的概念及应用．分析：求出导函数f′（x），根据题意可知f（x1）=g（x2），令h（x）=e x+sinx﹣x+2（x≥0），求出其导函数，进而求得h（x）的最小值即为P、Q两点间的最短距离．解答：解：x≥0时，f'（x）=e x+cosx≥1+cosx≥0，∴函数y=f（x）在[0，+∞）上单调递增，∵f（x1）=g（x2），所以+sinx1=x2﹣2，∴P，Q两点间的距离等于|x2﹣x1|=||，设h（x）=e x+sinx﹣x+2（x≥0），则h'（x）=e x+cosx﹣1（x≥0），记l（x）=h'（x）=e x+cosx﹣1（x≥0），则l'（x）=e x﹣sinx≥1﹣sinx≥0，∴h'（x）≥h'（0）=1＞0，∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（0）=3，∴|x2﹣x1|≥3，即P，Q两点间的最短距离等于3．故选：B．点评：本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知||=1，||=2，|+|=，则与的夹角为．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，可得向量a，b的数量积，再由向量夹角公式，即可计算得到．解答：解：由||=1，||=2，|+|=，即有（+）2=3，++2=3，1+4+2=3，即有=﹣1，由cos＜，＞===﹣，且0≤＜＞≤π，则与的夹角为．故答案为：．点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，以及向量夹角公式的运用，属于基础题．14．如图所示，在矩形OABC内任取一点P，则点P恰落在图中阴影部分中的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：本题是几何概型的考查，只要求出矩形OABC的面积以及阴影部分的面积，利用几何概型的公式解答即可．解答：解：由题意矩形OABC的面积为2×1=2，阴影部分的面积为2﹣=2﹣（）|=2﹣=，由几何概型的公式可得点P恰落在图中阴影部分中的概率为；故答案为：．点评：本题考查了几何概型的概率公式的运用以及利用定积分求曲边梯形的面积的方法．15．若正数a，b满足a+b=1，则+的最大值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由于正数a，b满足a+b=1，可化为+==2﹣，再利用即可得出．解答：解：∵正数a，b满足a+b=1，∴+=====2﹣==．当且仅当a=b=时取等号．∴+的最大值是．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．16．已知双曲线（a＞0，b＞0）上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，记直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，当最小时，双曲线离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；不等式的解法及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），C（x2，y2），由双曲线的对称性得B（﹣x1，﹣y1），从而得到k1k2=•=，再由构造法利用导数性质能求出双曲线的离心率．解答：解：设A（x1，y1），C（x2，y2），由题意知点A，B为过原点的直线与双曲线的交点，∴由双曲线的对称性得A，B关于原点对称，∴B（﹣x1，﹣y1），∴k1k2=•=，∵点A，C都在双曲线上，∴﹣=1，﹣=1，两式相减，可得：k1k2=＞0，对于=+ln|k1k2|，函数y=+lnx（x＞0），由y′=﹣+=0，得x=0（舍）或x=2，x＞2时，y′＞0，0＜x＜2时，y′＜0，∴当x=2时，函数y=+lnx（x＞0）取得最小值，∴当+ln（k1k2）最小时，k1k2==2，∴e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的离心率的求法，涉及到导数、最值、双曲线、离心率等知识点，综合性强，解题时要注意构造法的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且a=bcosC+．（1）求B；（2）若c=1，a=3，AC的中点为D，求BD的长．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）依据正弦定理化简已知可得sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinCsinB，可得tanB=，又0＜B＜π，即可求B的值．（2）由2=+两边平方可得：4BD2=BA2+BC2+2BA•BCcosB=1+9+2×=13，可解得BD的值．解答：解：（1）依据正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinCsinB，…∵sinA=sin（B+C），∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinCsinB，化简可得：tanB=…又0＜B＜π∴B=…（2）∵2=+，…两边平方可得：4BD2=BA2+BC2+2BA•BCcosB=1+9+2×=13，…可解得：BD=…点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理，平面向量在解三角形中的应用，属于常考题，中档题．18．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥PD；（2）若PA=AB=2，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间角．分析：（1）由已知条件推导出AE⊥AD，AE⊥PA，由此能证明AE⊥平面PAD，从而得到AE⊥PD．（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值．解答：（1）证明：∵四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点，∴△ABC是等边三角形，∴AE⊥BC，∴AE⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴AE⊥PA，∵AE∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AE⊥PD．（2）解：由（1）知AE、AD、AP两两垂直，∴以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵E，F分别为BC，PC的中点，PA=AB=2，∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），∴，，设平面AEF的一个法向量为，则取z1=﹣1，得=（0，2，﹣1），∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面AFC，∴为平面AFC的一法向量．又，∴cos＜＞==．∵二面角E﹣AF﹣C为锐角，∴所求二面角的余弦值为．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．2014年11月10日APEC会议在北京召开，某服务部需从大学生中招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试两部分，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100），得到的频率分布直方图如图所示：（1）分别求出成绩在第3，4，5组的人数；（2）现决定在笔试成绩较高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6人进行面试．①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）利用频率分布直方图能求出成绩在第3，4，5组的人数．（2）①按分层抽样的方法在第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人，利用对立事件概率计算公式能求出甲或乙进入面试的概率．②X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．解答：解：（1）第3组的人数为：0.06×5×40=12，第4组人数为：0.04×5×40=8，第5组人数为：0.02×5×40=4．（2）按分层抽样的方法在第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人，①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A，P（A）=1﹣=，∴甲或乙进入面试的概率为．②X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：X 0 1 2PEX==．点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要注意排列组合知识的合理运用．20．设数列{a n}的前n项和为S n，且首项a1≠3，a n+1=S n+3n（n∈N*）．（1）求证：{S n﹣3n}是等比数列；（2）若{a n}为递增数列，求a1的取值范围．考点：等比数列的性质；等比关系的确定；数列递推式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由a n+1=S n+3n（n∈N*），可得数列{S n﹣3n}是公比为2，首项为a1﹣3的等比数列；（2）n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（a1﹣3）×2n﹣2+2×3n﹣1，利用{a n}为递增数列，即可求a1的取值范围．解答：证明：（1）∵a n+1=S n+3n（n∈N*），∴S n+1=2S n+3n，∴S n+1﹣3n+1=2（S n﹣3n）∵a1≠3，∴数列{S n﹣3n}是公比为2，首项为a1﹣3的等比数列；（2）由（1）得S n﹣3n=（a1﹣3）×2n﹣1，∴S n=（a1﹣3）×2n﹣1+3n，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（a1﹣3）×2n﹣2+2×3n﹣1，∵{a n}为递增数列，∴n≥2时，（a1﹣3）×2n﹣1+2×3n＞（a1﹣3）×2n﹣2+2×3n﹣1，∴n≥2时，，∴a1＞﹣9，∵a2=a1+3＞a1，∴a1的取值范围是a1＞﹣9．点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）过点M（2，1），焦距为2．（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l平行于OM，且与椭圆E交于A、B两个不同的点（与M不重合），连接MA、MB，MA、MB所在直线分别与x轴交于P、Q两点，设P、Q两点的横坐标分别为s，t，探求s+t是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过将点M（2，1）代入椭圆方程，利用椭圆E的焦距为2，计算即得结论；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），通过将直线l方程代入椭圆E的方程，利用韦达定理可得s、t的表达式，计算即得结论．解答：解：（1）∵椭圆E：=1（a＞b＞0）过点M（2，1），∴，又∵椭圆E的焦距为2，∴2c=2，∴a=2，b=，∴椭圆E的方程为：；（2）结论：s+t为定值4．理由如下：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程为：y=x+m（m≠0），将直线l方程代入椭圆E的方程，消去y整理可得：x2+2mx+2m2﹣4=0，由韦达定理可得：x1+x2=﹣2m，x1•x2=2m2﹣4，由题可知MA、MB的斜率一定存在且不为0，设为k1、k2，则直线MA的方程为：y﹣1=k1（x﹣2），∴s=2﹣，同理可得t=2﹣，∴s+t=4﹣，又∵k1+k2=+===0，∴s+t=4为定值．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查椭圆的方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．22．设函数f（x）=x2+bx﹣alnx．（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的极值点，1和x0是函数f（x）的两个不同零点，且x0∈（n，n+1），n∈N，求n．（Ⅱ）若对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求导得到，由，f（1）=1+b=0，得到a与b的值，再令导数大于0，或小于0，得到函数的单调区间，再由零点存在性定理得到得到x0∈（3，4），进而得到n的值；（Ⅱ）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，问题转化为在x∈（1，e）上g（b）max=g（﹣1）＜0有解即可，亦即只需存在x0∈（1，e）使得x2﹣x﹣alnx＜0即可，连续利用导函数，然后分别对1﹣a≥0，1﹣a＜0，看是否存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，进而得到结论．解答：解：（Ⅰ），∵x=2是函数f（x）的极值点，∴．∵1是函数f（x）的零点，得f（1）=1+b=0，由，解得a=6，b=﹣1．…∴f（x）=x2﹣x﹣6lnx，令=，x∈（0，+∞），得x＞2；令f′（x）＜0得0＜x＜2，所以f（x）在（0，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增．…故函数f（x）至多有两个零点，其中1∈（0，2），x0∈（2，+∞），因为f（2）＜f（1）=0，f（3）=6（1﹣ln3）＜0，f（4）=6（2﹣ln4）=0，所以x0∈（3，4），故n=3．…（Ⅱ）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，则g（b）为关于b的一次函数且为增函数，根据题意，对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e 为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，则在x∈（1，e）上，有解，令h（x）=x2﹣x﹣alnx，只需存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜0即可，由于，令φ（x）=2x2﹣x﹣a，x∈（1，e），φ'（x）=4x﹣1＞0，∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）＞φ（1）=1﹣a，…①当1﹣a≥0，即a≤1时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，e）上单调递增，∴h （x）＞h（1）=0，不符合题意．②当1﹣a＜0，即a＞1时，φ（1）=1﹣a＜0，φ（e）=2e2﹣e﹣a若a≥2e2﹣e＞1，则φ（e）＜0，所以在（1，e）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意．若2e2﹣e＞a＞1，则φ（e）＞0，∴在（1，e）上一定存在实数m，使得φ（m）=0，∴在（1，m）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意．综上所述，当a＞1时，对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e 为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立．…点评：本题考查利用导数求函数性质的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是2015届高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．。
2017—2018学年度第一学期高二理科数学试卷含答案
2017—2018学年度第一学期期末考试高二理科数学试卷（答题时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）每小题只有一个．．．．正确选项，请将正确选项填到答题卡处1.设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<, {|13}B x x =<<，则A B =U A ．{|13}x x -<< B ．{|11}x x -<< C ．{|12}x x << D ．{|23}x x <<2.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)3．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为A ．12B ．8C ．6D ．45．执行如图所示的程序框图，若输入的n ＝10， 则输出的S 等于A .511B .1011C .3655D .72556．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是A ．45B ．50C ．55D ．607.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为 A .318 B .315C .3824+D .31624+8．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则向量a 与b 之间的夹角〈a ，b 〉为A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对9．在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是 A .925 B .1625 C .310 D .15 10．设a ＝log 2π，12log b π=，c ＝π－2，则A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a11．在△ABC 中，若a ＝2bcosC ，则△ABC 的形状一定是 A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形12．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 A . 2 B . 3 C ．2 D ．3二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．设变量x，y满足约束条件,22,2.y xx yx≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则z＝x－3y的最小值为．14．已知命题p：∀x>0，(x＋1)e x>1，则﹁p为．15．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为．16．对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归方程为y^＝0.8x－155.则实数m的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．(满分10分)某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级．现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：(1)n；(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．18．(满分12分)在等差数列{a n}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝21(10)2na－，证明：数列{b n}为等比数列；(3)求数列{nb n}的前n项和T n.19．(满分12分)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36.(1)求样本容量及样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数； (2)已知这批产品中每个产品的利润y (单位：元)与产品净重x (单位：克)的关系式为3(9698),5(98104),4(104106).y x x x =≤<⎧⎪≤<⎨⎪≤≤⎩求这批产品平均每个的利润．20. (满分12分)已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)，求△P AB 的面积.21．(满分12分)已知三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．(1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小．22. (满分12分)已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB→＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.2017—2018学年度第一学期期末考试高二理科数学参考答案一、选择题A . 2． B3． A 【解析】∵x ≥2且y ≥2，∴x 2＋y 2≥4，∴x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分条件；而x 2＋y 2≥4不一定得出x ≥2且y ≥2，4． B 【解析】由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8.5． A 【解析】第一次执行后，S ＝13，i ＝4＜10；第二次执行后，S ＝13＋115＝25，i ＝6＜10；第三次执行后，S ＝25＋135＝37，i ＝8＜10；第四次执行后，S ＝37＋163＝49，i ＝10；第五次执行后，S ＝49＋199＝511，i ＝12＞10，输出S ＝511.6． B 【解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班的学生人数是150.3＝50.7. C 【解析】该正三棱柱的直观图如图所示，且底面等边三角形的高为32，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为3×4×2+2×21×4×32=24+38.8． D【解析】由已知a ＋b ＋c ＝0，得a ＋b ＝－c ，则(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝|c |2，由此可得a·b ＝32.从而cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝14.故答案为D .9． D 【解析】以AG 为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG 的长度应介于6厘米到8厘米之间(如图)．∴所求概率P ＝210＝15.10． C 【解析】利用中间量比较大小．因为a ＝log 2π∈(1,2)，b ＝log 12π＜0，c ＝π－2∈(0,1)，所以a ＞c ＞b .11．C 【解析】根据余弦定理，有a ＝2bcosC ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，化简整理得b ＝c .所以△ABC 为等腰三角形．12． B 【解析】设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2(c 2a 2－1)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ， ∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a 2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3. 二、填空题 13．－8【解析】作出可行域如图所示．可知当x -3y =z 经过点A (-2,2)时，z 有最小值，此时z 的最小值为-2-3×2=－8. 14. ∃x 0>0，使得(x 0＋1)0e x ≤1. 15． 40【解析】抽样比为90360＋270＋180＝19，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360×19＝40. 16. 8【解析】依题意得x ＝15×(196＋197＋200＋203＋204)＝200，y ＝15×(1＋3＋6＋7＋m )＝17＋m 5，因为回归直线必经过样本点中心，所以17＋m5＝0.8×200－155，解得m ＝8.三、解答题17．解：(1)由频率分布表得0.05＋m ＋0.15＋0.35＋n ＝1，即m ＋n ＝0.45. 由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得n ＝220＝0.1，所以m ＝0.45－0.1＝0.35.(2)由(1)得，等级为3的零件有3个，记作x 1，x 2，x 3；等级为5的零件有2个，记作y 1，y 2.从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 1，y 1)，(x 1，y 2)，(x 2，x 3)，(x 2，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 1)，(x 3，y 2)，(y 1，y 2)，共10种．记事件A 为“从零件x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取2件，其等级相等”． 则A 包含的基本事件有(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 3)，(y 1，y 2)，共4种． 故所求概率为P (A )＝410＝0.4.18．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，由a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎨⎧ a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得⎩⎨⎧a 1＝12，d ＝2. 所以a n ＝12＋(n －1)·2＝2n ＋10.(2)证明：由(1)得b n ＝2n ，所以b n ＋1b n＝2n ＋12n ＝2.所以{b n }是首项为2，公比为2的等比数列． (3)由nb n ＝n ×2n ，得T n ＝1×2＋2×22＋…＋n ×2n ， ① 2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1， ②①－②得，－T n ＝2＋22＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1. 所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.19．解： (1)产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300.设样本容量为n . ∵样本中产品净重小于100克的个数是36，∴36n ＝0.300，∴n ＝120.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90.(2)产品净重在[96,98)，[98,104)，[104,106]内的频率分别为0.050×2＝0.100，(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750,0.075×2＝0.150，∴其相应的频数分别为120×0.1＝12,120×0.750＝90,120×0.150＝18，∴这批产品平均每个的利润为1120×(3×12＋5×90＋4×18)＝4.65(元)．20. 解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧6a 2＋2b 2＝1，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a 2＝12，b 2＝4.故椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为D (x 0，y 0). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，消去y ，整理得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0，则x 0＝x 1＋x 22＝－34m ，y 0＝x 0＋m ＝14m ， 即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m ，14m . 因为AB 是等腰三角形P AB 的底边，所以PD ⊥AB ， 即PD 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2. 此时x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝0，则|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝32， 又点P 到直线l ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝32， 所以△P AB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝92.21．解：以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝1，则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)， M (1,0，12)，N (12，0,0)，S (1，12，0)． (1)CM→＝(1，－1，12)，SN →＝(－12，－12，0)， 因为CM →·SN→＝－12＋12＋0＝0，所以CM→⊥SN →，所以CM ⊥SN . (2)易得NC→＝(－12，1,0)，设n ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧CM →·n ＝x －y ＋12z ＝0，NC →·n ＝－12x ＋y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝2y z ＝－2y，取x ＝2，则y ＝1，z ＝－2，n ＝(2,1，－2)．因为|cos 〈n ，SN →〉|＝|n ·SN →||n |·|SN →|＝22，所以SN 与平面CMN 所成角的大小为45°.22. 解：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）＞0， ∴k 2≠13且k 2＜1.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2， ∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0， 解得13＜k 2＜3.②由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。
2017-2018年高二上期末数学试卷(理科)含答案解析 (4)
2017-2018学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，3}D．{0，1，3}2．（5分）“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．74．（5分）已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．5．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则可能使l∥α的是（）A．B．C．D．6．（5分）A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B．+C．2 D．+17．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是（）A．20 B．21 C．22 D．238．（5分）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．（5分）若，，则sin2α等于（）A．B．C．D．10．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．311．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π12．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则的最小值是．14．（5分）已知向量，，且⊥（+），则y的值为．15．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．16．（5分）椭圆上的任意一点P（短轴端点除外）与短轴上、下两个端点B1，B2的连线交x轴于点M和N，则|OM|+|ON|的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：函数y=x2﹣2x+a在区间（1，2）上有1个零点；q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1图象与x轴交于不同的两点．若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=•a n，n∈N*．（1）求证：数列{}为等比数列；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．19．（12分）已知顶点在单位圆上的△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2acosA=ccosB +bcosC ． （1）cosA 的值；（2）若b 2+c 2=4，求△ABC 的面积．20．（12分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆E交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．22．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，3}D．{0，1，3}【解答】解：由B中方程变形得：x（x﹣3）=0，解得：x=0或x=3，即B={0，3}，∵A={0，1，3}，∴A∩B={0，3}，故选：C．2．（5分）“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．∴“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的充分不必要条件．故选：B．3．（5分）函数的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．7【解答】解：函数，其定义域为{x|3≤x≤4}，显然存在最大值是大于0的，则，当=0时，y取得最大值为1．故选：B．4．（5分）已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，∴设双曲线方程为，a＞0，∵是双曲线的一条渐近线，∴=，解得a2=4，∴双曲线方程为．故选D．5．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则可能使l∥α的是（）A．B．C．D．【解答】解：在A中，=﹣2，不可能使l∥α；在B中，=1+0+5=6，不可能使l∥α；在C中，=﹣1，不可能使l∥α；在D中，=0﹣3+3=0，有可能使l∥α．故选：D．6．（5分）A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B．+C．2 D．+1【解答】解：把A（，1）代入抛物线方程得：2=2p，∴p=1．∴抛物线的焦点为F（0，）．∴抛物线的准线方程为y=﹣．∴A到准线的距离为1+=．∴AF=．故选：A．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是（）A．20 B．21 C．22 D．23【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得k=0，S=0，满足条件S≤a，S=2×0+3=3，k=0+1=1满足条件S≤a，S=2×3+3=9，k=1+1=2满足条件S≤a，S=2×9+3=21，k=2+1=3由题意，此时，应该不满足条件21≤a，退出循环，输出k的值为3，从而结合选项可得输入的a的值为20．故选：A．8．（5分）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：由函数y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），且函数y=cos2（﹣x）=cos（﹣2x）=sin2x；为得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位长度．故选：D．9．（5分）若，，则sin2α等于（）A．B．C．D．【解答】解：若，，则cosα+sinα=2（cos2α﹣sin2α），即1=4（cosα﹣sinα），平方可得1=16（1﹣sin2α），∴sin2α=，故选：A．10．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．3【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得A（1，2），则k OA==2，即的最大值为2．故选：C．11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π【解答】解：由三视图可知几何体为圆柱与球的组合体．圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1．所以几何体的表面积为π×12+2π×1×3+++=9π．故选B．12．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：由图象可知，若f（g（x））=0，则g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1；由图2知，g（x）=﹣1时，x=﹣1或x=1；g（x）=0时，x的值有3个；g（x）=1时，x=2或x=﹣2；故m=7；若g（f（x））=0，则f（x）==﹣1.5或f（x）=1.5或f（x）=0；由图1知，f（x）=1.5与f（x）=﹣1.5无解；f（x）=0时，x=﹣1，x=1或x=0；故n=3；故m+n=10；故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则的最小值是4．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，则=（a+b）=2+≥2+2=4，当且仅当a=b=时取等号．∴的最小值是4．故答案为：4．14．（5分）已知向量，，且⊥（+），则y的值为12．【解答】解：+=（﹣2，y﹣1，5），∵⊥（+），∴•（+）=﹣4﹣（y﹣1）+15=0，则y=12．故答案为：12．15．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．【解答】解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d=3∴|PA|=|PB|=∴故答案为：16．（5分）椭圆上的任意一点P（短轴端点除外）与短轴上、下两个端点B1，B2的连线交x轴于点M和N，则|OM|+|ON|的最小值是2a．【解答】解：设P（x0，y0），⇒化为b2x02=a2（b2﹣y02）直线B1P的方程为：y=x+b，可得M（，0）；直线B2P的方程为：y=x﹣b，可得N（，0）．则|OM|•|ON|==（定值）则|OM|+|ON|≥2=2a．故答案为：2a．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：函数y=x2﹣2x+a在区间（1，2）上有1个零点；q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1图象与x轴交于不同的两点．若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：对于p：设f（x）=x2﹣2x+a．该二次函数图象开向上，对称轴为直线x=1，所以，所以0＜a＜1；对于q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，所以（2a﹣3）2﹣4＞0，即4a2﹣12a+5＞0，解得或．因为“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，所以p，q一真一假．①当p真q假时，有，所以；②当p假q真时，有，所以或a≤0．所以实数a的取值范围是．18．（12分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=•a n，n∈N*．（1）求证：数列{}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．=a n知=•，【解答】解（1）证明：由a n+1∴{}是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）知{}是首项为，公比为的等比数列，∴=（）n，∴a n=，∴S n=++…+，①则S n=++…+，②①﹣②得S n=+++…+﹣=1﹣，∴S n=2﹣．19．（12分）已知顶点在单位圆上的△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2acosA=ccosB+bcosC．（1）cosA的值；（2）若b2+c2=4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵2acosA=ccosB+bcosC，由正弦定理得：2sinA•cosA=sinCcosB+sinBcosC⇒2sinA•cosA=sin（B+C）=sinA，又∵0＜A＜π⇒sinA≠0，∴．…（6分）（2）由，由于顶点在单位圆上的△ABC 中，2R=2，利用正弦定理可得：．由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ⇒bc=b 2+c 2﹣a 2=4﹣3=1．…（10分） ∴．…（12分）20．（12分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．【解答】解：（1）第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100；第2组人数100×0.2=20，所以a=20×0.9=18；第3组人数100×0.3=30，所以x=27÷30=0.9；第4组人数100×0.25=25，所以b=25×0.36=9；第5组人数100×0.15=15，所以y=3÷15=0.2．（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4组每组应依次抽取2人，3人，1人．（3）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c），其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），故所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为p=．21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆E交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）依题意，得，解得a2=4，b2=1．所以椭圆E的方程是．（2）当k变化时，m2为定值．证明如下：由得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），，，（*）因为直线OP，直线OQ的斜率分别为k1，k2，且4k=k1+k2，所以，得2kx1x2=m（x1+x2），将（*）代入解得，经检验知成立．故当k变化时，m2为定值．22．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．【解答】证明：（1）设BD的中点为O，分别连接AO，EO．又因为AB=AD，所以AO⊥BD．因为E为BC的中点，O为BD的中点，所以EO∥CD．又因为CD⊥BD，所以EO⊥BD．又因为OA∩OE=O，OA，OE⊂平面AOE，所以BD⊥平面AOE．又因为AE⊂平面AOE，所以BD⊥AE，即AE⊥BD．解：（2）由（1）求解知AO⊥BD，EO⊥BD．因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面BCD．又因为EO⊂平面BCD，所以AO⊥EO．所以OE，OD，OA两两相互垂直．因为CD⊥BD，BC=4，CD=2，所以．因为O为BD的中点，AO⊥BD，AD=2，所以，．以O为坐标原点，OE，OD，OA分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），A（0，0，1），，，，所以，，．设平面ABC的一个法向量为，则，．所以，取，解得．所以是平面ABC的一个法向量．同理可求平面ADC的一个法向量．设二面角B﹣AC﹣D的大小为θ，则．因为0＜θ＜π，所以，所以二面角B﹣AC﹣D的正弦值为．。
2017-2018年第一学期高二理科数学期末试题答案
2017-2017学年度第一学期高二理科数学试题答案时量：120分钟 分值：150分． 命题人：徐爱田 审题人：王凯钦一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分,） 9，14 10，221〈-〉m m 或 1112，10 13，x 22y ±= 14，52 15，29三、解答题（本大题共75分.请将详细解答过程写在答题卡上）16. （本小题满分12分）设：P: 指数函数xa y =在x ∈R 内单调递减；Q ：曲线1)32(2+-+=x a x y 与x 轴交于不同的两点。
如果P 为真，Q 为假，求a 的取值范围．解：当0<a<1时，指数函数xa y = 在R 内单调递减；曲线y=x 2+(2a-3)x+1与x 轴有两个不同的交点等价于(2a-3)2-4>0， 即a<21或a>25。
…（6分） 由题意有P 正确，且Q 不正确，因此，a ∈(0,1)∩[]25,21[ 即a ∈)1,21[17（本小题满分12分）．已知点A （-2，0），B （2，0），直线AP 与直线AB 相交于点P ，它们的斜率之积为41-，求点P 的轨迹方程（化为标准方程）． 解：设点P ),(y x ，直线AP 的斜率)2(2-≠+=x x yk AP 直线BP 的斜率)2(2≠-=x x yk BP根据已知，有：)2(4122±≠-=-⋅+x x y x y化简得：)2(1422±≠=+x y x（没有写2±≠x 扣1分）18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且1,MD NB ==（1）求证：//CN 平面AMD ；（2）求面AMN 与面NBC 所成二面角的平面角的余弦值．解：（1）ABCD 是正方形，//,//BC AD BC ∴平面AMD ；又MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，//,//NB NB MD ∴∴平面AMD ， 所以平面//BNC 平面AMD ，故//CN 平面AMD ；（2） 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DM 分别为x ，y ，z 轴建立图示空间直角坐标系，则：A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0). N (1,1,1), M (0,0,1),(1,0,1)AM =-,(0,1,1)AM =,(0,1,0)AB =设平面AMN 的一个法向量为(,,)n x y z =,由00AM n AN n ⎧=⎪⎨⎪=⎩得: 00x z y z ⎧-+=⎨+=⎩令z=1得: (1,1,1)n =-易知: (0,1,0)AB =是平面NBC 的一个法向量.cos ,AB n -==-NMODCBA∴面AMN 与面NBC19．（本小题满分13分）设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处与直线8y =相切，求,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点。
山西省运城市盐湖区2017-2018学年高二上学期期末考试数学文试卷含解析
．．．．
，则的最大值为（ ）
）成．．．
）＝x+x
19．（12分）抛物线y 2＝4x 的内接三角形的一个顶点在原点，三边上的高线都通过抛物线的焦点，求此三角形外接圆的方程．
20．（12分）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
21．（12分）已知函数f （x ）＝x 3+a x 2+bx+a 2（a ，b ∈R ）（1）若函数f （x ）在x ＝1处有极值为10，求b 的值；
（2）若对任意a ∈[﹣4，+∞），f （x ）在x ∈[0，2]上单调递增，求b 的最小值．
22．（12分）定长为6的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，动点P 满足．
2BP PA （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）点P 的轨迹设为曲线C ，过点（﹣2，0）的直线与曲线C 交于M ，N 两点，求的最大值．
OM ON。
山西省运城市盐湖区2017-2018学年高二上学期期末考试数学文试卷(含答案)
2017-2018学年山西省运城市盐湖区高二（上）期末试卷数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“∃x0∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．∃x0∈R，x3﹣x2+1＜0C．∃x0∈R，x3﹣x2+1≤0 D．不存在x∈R，x3﹣x2+1＞02．“1＜k＜4”是“方程22141x yk k+=-－表示椭圆”的什么条件（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．已知e为自然对数的底数，则曲线y＝xe x在点（1，e）处的切线方程为（）A．y＝2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝2ex﹣e D．y＝2ex﹣24．函数f（x）＝x﹣g（x）的图象在点x＝2处的切线方程是y＝﹣x﹣1，则g（2）+g'（2）＝（）A．7B．4C．0D．﹣45．设点F1，F2分别是双曲线C:2221(0)2x yaa-=>的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为26，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．y=±3xB ．y=±33x C ．y=±2xD ．y=±22x 6．给出下列命题：①已知a ，b ∈R ，“a ＞1且b ＞1”是“a b ＞1”的充分而不必要条件；②已知平面向量a ，b ，“|a |＞1，|b |＞1”是“|a b |＞1”的必要而不充分条件； ③已知a ，b ∈R ，“a 2+b 2≥1”是“|a |+|b|≥1”的充分而不必要条件④命题p ：“∃x 0∈R ，使0x e ≥x 0+1且lnx 0≤x 0﹣1”的否定为￢p ：“∀x ∈R ，都有e x ＜x+1 且lnx ＞x ﹣1”其中正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．37．函数y ＝f （x ）的图象如图所示，则f （x ）的解析式可以为（ ）A ．21()f x x x =- B ．31()f x x x =- C ．1()x f x e x=-D ．1()ln f x x x=-8．已知圆F 1：（x +2）2+y 2＝36，定点F 2（2，0），A 是圆F 1上的一动点，线段F 2A 的垂直平分线交半径F 1A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是（ ）A ．22143x y +=B ．22195x y +=C ．22134x y +=D ．22159x y +=9．已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点，且212PF PF c =，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．10．设f （x ）、g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，'()()()'()0f x g x f x g x ++>，且g （﹣3）＝0，则不等式f （x ）g （x ）＜0的解集是（ ）A ．（﹣3，0）∪（3，+∞）B ．（﹣3，0）∪（0，3）C ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）11．抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝3π，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．设函数f （x ）＝（x ﹣a ）2+（2lnx ﹣2a ）2，其中x ＞0，a ∈R ，存在x 0使得f （x 0）成立，则实数a 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省运城市高二上学期期末数学试卷(理科)
山西省运城市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2016·城中模拟) 已知集合M={x| =1}，函数f（x）=ln（1﹣|x|）的定义域为N，则M∩N 为（）A . ∅B . （0，3）C . （﹣1，1）D . （﹣1，0]2. （2分）正三棱锥的底面边长为a，高为，则此棱锥的侧面积等于（）A .B .C .D .3. （2分）执行如图所示的程序框图,若输出b的值为31,则图中判断框内①处应填（）A . 3B . 4C . 5D . 64. （2分）函数的零点个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 35. （2分）如图，等腰梯形ABCD中，且AB=2，AD=1，DC=2x（）．以A,B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为；以C,D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为，则的取值范围为（）A .B .C .D .6. （2分）对于平面α和两条直线m，n，下列命题中真命题是（）A . 若m⊥α，m⊥n，则n∥αB . 若m∥α，n∥α，则m∥nC . 若m，n与α所成的角相等，则m∥nD . 若m⊊α，m∥n，且n在平面α外，则n∥α7. （2分）“”是“”的（）A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分） (2019高二上·砀山月考) 已知直线方程为，和分别为直线上和外的点，则方程表示（）A . 过点且与垂直的直线B . 与重合的直线C . 过点且与平行的直线D . 不过点，但与平行的直线9. （2分）函数的最小正周期是（）A .B .C . 2πD . 4π10. （2分）(2018·普陀模拟) 如图所示的几何体，其表面积为，下部圆柱的底面直径与该圆柱的高相等，上部圆锥的母线长为，则该几何体的主视图的面积为（）A . 4B . 6C . 8D . 1011. （2分） (2018高二上·南阳月考) 已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A .B .C .D .12. （2分）如果方程表示椭圆，则实数a的取值范围是（）A . a＞﹣6B . ﹣2＜a＜3C . a＜﹣2或a＞3D . a＞﹣6且a≠0且a≠﹣2且a≠3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·阜阳模拟) 过抛物线：的准线上任意一点作抛物线的切线，，切点分别为，，则点到准线的距离与点到准线的距离之和的最小值是________.14. （1分）已知正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为________15. （1分）(2018·徐州模拟) 在平面直角坐标系中，已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为________16. （1分） (2016高二上·抚州期中) 下列命题：①命题“∃x∈R，x2+x+1=0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1≠0”；②若A={x|x＞0}，B={x|x≤﹣1}，则A∩（∁RB）=A；③函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）是偶函数的充要条件是φ=kπ+ （k∈Z）；④若非零向量，满足=λ• ，=λ （λ∈R），则λ=1．其中正确命题的序号有________三、解答题 (共7题；共29分)17. （1分）(2020·日照模拟) 在① 面积，② 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求 .如图，在平面四边形中，，，________，，求 .18. （10分） (2018高二下·定远期末) 已知等差数列{an}，等比数列{bn}满足：a1＝b1＝1，a2＝b2 ， 2a3－b3＝1.（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Sn.19. （10分）某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，，，且各阶段通过与否相互独立．（1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；（2）设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，求ξ的分布列与均值．20. （5分） (2017高三上·徐州期中) 在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ（a＞0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数），若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．21. （1分）若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点，则p=________ ．22. （1分） (2017高二下·湘东期末) 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 a=b，sin2B=2sinAsinC 则cosB= ________23. （1分） (2016高三上·枣阳期中) 已知函数f（x）满足f（5x）=x，则f（2）=________．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共29分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、23-1、。
山西省运城市2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理
2017—2018学年度第一学期期中考试高二数学（理）试题2017.11一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝－7＋a 平行，则实数a ＝( )A ．3B ．－2C ．－2或3D ．－3或22.直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定3. 如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )4．已知l ，m 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是( )A ．若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥mB ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥αC ．若l ∥m ，m ⊂α，则l ∥αD ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m5. 已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线l ：x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 B ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 C ．(x －2)2＋(y －2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －1)2＝16. 正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为25，则它的表面积为( )A ．4(33＋4)B ．12(3＋2)C ．12(23＋1)D ．3(3＋8)7. 过点(0，－1)的直线l 与半圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0(y ≥0)有且只有一个交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为( )A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧==340k k k 或B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤131k kC.⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤=13134k k k 或D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=13134k k k 或8. 直线l ：ax ＋by ＝0和圆C ：x 2＋y 2＋ax ＋by ＝0在同一坐标系的图形只能是( )9. 已知四边形ABCD ，∠BAD=120º，∠BCD=60º，AB ＝AD ＝２，则AC 的最大值为（ ） A ．４33 B ．４ C ．８33D ．８10. 已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B ．210 C.132D ．31011. 已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（A．233B ．236C ．113D ．10312. 已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．3B.212C ．2 2D ．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________． 14．已知l 1，l 2是分别经过点A (1,1)，B (0，－1)的两条平行直线，则当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．15．已知在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是________．16. 四棱锥P ABCD -底面是一个棱长为2的菱形，且∠DAB=60º，各侧面和底面所成角均为60º，则此棱锥内切球体积为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）求与点P (4,3)的距离为5，且在两坐标轴的截距相等的直线方程．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE.19. （本小题满分12分）光线通过点A(2,3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．20.（本小题满分12分）已知四棱锥PABCD如图所示，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝PD＝1，△PAB为等边三角形．(1)证明：PD⊥平面PAB；(2)求二面角PCBA的余弦值．如图，在直角梯形ABCP 中，CP ∥AB ，CP ⊥CB ，AB ＝BC ＝12CP ＝2，D 是CP 中点，将△PAD 沿AD折起，使得PD ⊥面ABCD .(1)求证：平面PAD ⊥平面PCD ； (2)若E 是PC 的中点，求三棱锥A PEB 的体积．22.（本小题满分12分）已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点．(1)求四边形PACB 面积的最小值；(2)直线上是否存在点P ，使得∠APB ＝60°？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．2017—2018学年度第一学期期中考试高二数学（理）试题答案2017.11一、选择题:（5*12=60）二、填空：（5*4=20）13. ()1122=-+y x 14. 032=-+y x15. 66 16. 6π三、解答题：17:(本小题满分10分)解：设所求直线方程为y ＝kx 或x a ＋y a＝1(a ≠0)． 对于y ＝kx,5＝|4k －3|k 2＋(－1)2，9k 2＋24k ＋16＝0，解之得k ＝－43.对于x ＋y ＝a,5＝|4＋3－a |12＋12， 解之得a ＝7＋52或7－5 2.故所求直线方程为y ＝－43x 或x ＋y －7－52＝0或x ＋y －7＋52＝0.18：(本小题满分12分) 证明：(1)由题设知，B 1B ⊥AB ，又AB ⊥BC ，B1B ∩BC ＝B ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1. 因为AB ⊂平面ABE ， 所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)取AB 中点G ，连接EG ，FG . 因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点， 所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC .因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1， 所以四边形FGEC 1为平行四边形， 所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE . 19：(本小题满分12分)解：设点A (2,3)关于直线l 的对称点为A ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 02＋3＋y 02＋1＝0，y 0－3x 0－2＝1，解得A ′(－4，－3)．由于反射光线所在直线经过点A ′(－4，－3)和B (1,1)，所以反射光线所在直线的方程为y －1＝(x －1)·1＋31＋4，即4x －5y ＋1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －5y ＋1＝0，x ＋y ＋1＝0，得反射点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13.所以入射光线所在直线的方程为 y －3＝(x －2)·3＋132＋23，即5x －4y ＋2＝0.20：(本小题满分12分) (1)证明：如图，连接BD .易知在梯形ABCD 中，AD ＝5，而PD ＝1，AP ＝2， 所以PD 2＋AP 2＝AD 2， 则PD ⊥PA ， 同理PD ⊥PB ，又PA ∩PB ＝P ，故PD ⊥平面PAB .(2)解：如图，取AB 的中点M ，连接PM ，DM ，作PN ⊥DM ，垂足为N ，再作NH ⊥BC ，垂足为H ，连接PH .由(1)，得AB ⊥平面DPM ，则平面ABCD ⊥平面DPM ，所以PN ⊥平面ABCD ，所以PN ⊥BC ，PN ⊥NH . 又NH ⊥BC ，PN ∩NH ＝N ，所以BC ⊥平面NPH ， 即∠NHP 是二面角P CB A 的平面角． ∴在Rt △HNP 中，PN ＝32，NH ＝1，则PH ＝72，cos ∠NHP ＝NH PH ＝277， 即二面角P CB A 的余弦值为277. 21：(本小题满分12分)(1) 证明：∵PD ⊥底面ABCD ， ∴PD ⊥AD .又由于CP ∥AB ，CP ⊥CB ，AB ＝BC ， ∴ABCD 是正方形， ∴AD ⊥CD ，又PD ∩CD ＝D ，故AD ⊥平面PCD, ∵AD ⊂平面PAD ， ∴平面PAD ⊥平面PCD .(2)解：∵AD ∥BC ，又BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ， ∴AD ∥平面PBC ，∴点A 到平面PBC 的距离即为点D 到平面PBC 的距离． 又∵PD ＝DC ，E 是PC 的中点， ∴DE ⊥PC .由(1)知有AD ⊥平面PCD ，∴AD ⊥DE . 由题意得AD ∥BC ，故BC ⊥DE .于是，由BC ∩PC ＝C ，可得DE ⊥平面PBC . ∴DE ＝2，PC ＝22， 又∵AD ⊥平面PCD ， ∴AD ⊥CP ，∵AD ∥BC ，∴CP ⊥BC ，∴S △PEB ＝12S △PBC ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×BC ×PC ＝2， ∴V A PEB ＝V D PEB ＝13×DE ×S △PEB ＝23.22：(本小题满分12分)解：(1)如图，连接PC ，由P 点在直线3x ＋4y ＋8＝0上，可设P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x ，－2－34x .因为圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 所以S 四边形PACB ＝2S △PAC ＝2×1×|AP |×|AC |＝|AP |.因为|AP |2＝|PC |2－|CA |2＝|PC |2－1，所以当|PC |2最小时，|AP |最小．因为|PC |2＝(1－x )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2＋34x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋12＋9.所以当x ＝－45时， |PC |2min ＝9.所以|AP |min ＝9－1＝22，即四边形PACB 面积的最小值为2 2. (2)假设直线上存在点P 满足题意． 因为∠APB ＝60°，|AC |＝1，所以|PC |＝2. 设P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －1)2＝4，3x ＋4y ＋8＝0，整理可得25x 2＋40x ＋96＝0， 所以Δ＝402－4×25×96<0. 所以这样的点P 是不存在的．。
山西省运城市高二上学期期末数学试卷(理科)
山西省运城市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是（）A .B . {x|x＞1}C . {x|x＜1或x＞2}D .2. （2分） (2017高一上·武汉期末) 下面有命题：①y=|sinx﹣ |的周期是π；②y=sinx+sin|x|的值域是[0，2]；③方程cosx=lgx有三解；④ω为正实数，y=2sinωx在上递增，那么ω的取值范围是；⑤在y=3sin（2x+ ）中，若f（x1）=f（x2）=0，则x1﹣x2必为π的整数倍；⑥若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB﹣sinA，sinB﹣cosA在第二象限；⑦在△ABC中，若，则△ABC钝角三角形．其中真命题个数为（）A . 2B . 3C . 4D . 53. （2分） (2018高二上·寻乌期末) 命题“ 且”的否定形式是（）A . 且B . 或C . 且D . 或4. （2分） (2020·淮南模拟) 已知a，b都是实数，那么“ ”是“ ”的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，++=（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·长宁模拟) 若无穷等差数列{an}的首项a1＜0，公差d＞0，{an}的前n项和为Sn ，则以下结论中一定正确的是（）A . Sn单调递增B . Sn单调递减C . Sn有最小值D . Sn有最大值7. （2分）在中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，下列命题：①，则△ABC为钝角三角形。
②若，则C=45º.③若，则.④若已知E为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足，设，则=2，其中正确命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分） (2016高二下·孝感期末) 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2+y2﹣2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（）A . y=3x2或y=﹣3x2B . y=3x2C . y2=﹣9x或y=3x2D . y=﹣3x2或y2=9x9. （2分）向量=（2，﹣1，2），则与其共线且满足•=﹣18的向量是（）A . （，，）B . （4，﹣2，4）C . （﹣4，2，﹣4）D . （2，﹣3，4）10. （2分）已知正项等比数列满足：,若数列中存在两项使得，则的最小值为（）A . 9B .C .D .11. （2分）如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A .B . AB∥平面SCDC . AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角D . SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角12. （2分）(2017·雨花模拟) 已知F是椭圆的左焦点，设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，则直线OP（O为原点）的斜率的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二上·孟津期末) 已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+y（a ＞0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围是________．14. （1分） (2016高二上·叶县期中) 等比数列{an}的前n项和Sn=3n+t，则t+a3的值为________．15. （1分） (2016高一下·大同期末) 如图，要在山坡上A、B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高，由A、B 两处测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，AB长为40m，斜坡与水平面成30°角，则铁塔CD的高为________ m．16. （1分） (2017高二下·金华期末) 已知椭圆 + =1与x轴交于A、B两点，过椭圆上一点P（x0 ，y0）（P不与A、B重合）的切线l的方程为 + =1，过点A、B且垂直于x轴的垂线分别与l交于C、D两点，设CB、AD交于点Q，则点Q的轨迹方程为________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2017高二下·孝感期末) 已知p：|x﹣a|＜3（a为常数）；q：代数式有意义．（1）若a=1，求使“p∧q”为真命题的实数x的取值范围；（2）若p是q成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18. （10分） (2016高一下·宜昌期中) 在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a，b，c（1）若，求A的值；（2）若，且△ABC的面积，求sinC的值．19. （10分）(2020·贵州模拟) 的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若的面积为，求边的最小值．20. （10分）(2016·绍兴模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AD=PD=2，PA=2 ，∠PDC=120°，点E为线段PC的中点，点F在线段AB上．（1）若AF= ，求证：CD⊥EF；（2）设平面DEF与平面DPA所成二面角的平面角为θ，试确定点F的位置，使得cosθ= ．21. （10分） (2017高一下·邢台期末) 设Sn为数列{cn}的前n项和，an=2n ， bn=50﹣3n，cn= ．（1）求c4与c8的等差中项；（2）当n＞5时，设数列{Sn}的前n项和为Tn．（ⅰ）求Tn；（ⅱ）当n＞5时，判断数列{Tn﹣34ln}的单调性．22. （15分） (2016高二上·万州期中) 已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．（3）求线段AB长度的最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
盐湖区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
盐湖区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 直线l 将圆x 2+y 2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是（ ）A ．x ﹣y+1=0，2x ﹣y=0B ．x ﹣y ﹣1=0，x ﹣2y=0C ．x+y+1=0，2x+y=0D ．x ﹣y+1=0，x+2y=02． 函数（，）的部分图象如图所示，则 f （0）的值为（ ）()2cos()f x x ωϕ=+0ω>0ϕ-π<<A. B. C. D. 32-1-【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用.3． 若f （x ）=x 2﹣2x ﹣4lnx ，则f ′（x ）＞0的解集为（ ）A ．（0，+∞）B ．（﹣1，0）∪（2，+∞）C ．（2，+∞）D ．（﹣1，0）4． 下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m 表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m 的可能取值集合为（ ）A ．B ．C ．D ．5． 已知命题p ：∀x ∈（0，+∞），log 2x ＜log 3x ．命题q ：∃x ∈R ，x 3=1﹣x 2．则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p ∧qB ．￢p ∧qC ．p ∧￢qD ．￢p ∧￢q6． “互联网”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶+段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．407． O 为坐标原点，F 为抛物线的焦点，P 是抛物线C 上一点，若|PF|=4，则△POF 的面积为（）A ．1B ．C ．D ．28． 已知 m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个互不重合的平面，则下列命题中 正确的是（ ）A ．若 m ∥α，n ∥α，则 m ∥nB ．若α⊥γ，β⊥γ，则 α∥βC ．若m ⊥α，n ⊥α，则 m ∥nD ．若 m ∥α，m ∥β，则 α∥β9． 某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量（单位：毫克/升）与时间（单位：P t 小时）间的关系为（，均为正常数）．如果前5个小时消除了的污染物，为了消除0e ktP P -=0P k 10%27.1%的污染物，则需要（ ）小时.A. B. C. D. 8101518【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新课标的这一重要思想.10．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n =a n +，则S 2015的值是（）A ．B ．C ．2015D ．11．设是偶函数，且在上是增函数，又，则使的的取值范围是（ ）()f x (0,)+∞(5)0f =()0f x >A ．或 B ．或C ．D ．或50x -<<5x >5x <-5x >55x -<<5x <-05x <<12．已知为的三个角所对的边，若，则,,a b c ABC ∆,,A B C 3cos (13cos )b C c B =-sin :sin C A =（）A ．2︰3B ．4︰3C ．3︰1D ．3︰2【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．二、填空题13．已知直线：（）被圆：所截的弦长是圆心到直线的043=++m y x 0>m C 062222=--++y x y x C 距离的2倍，则.=m 14．设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合B={2，3}，则（∁U A ）∪B= ．15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若6a=4b=3c ，则cosB= ．16．已知是定义在上函数，是的导数，给出结论如下：()f x R ()f x '()f x ①若，且，则不等式的解集为；()()0f x f x '+>(0)1f =()xf x e -<(0,)+∞②若，则；()()0f x f x '->(2015)(2014)f ef >③若，则；()2()0xf x f x '+>1(2)4(2),n n f f n N +*<∈④若，且，则函数有极小值；()()0f x f x x'+>(0)f e =()xf x 0⑤若，且，则函数在上递增．()()xe xf x f x x'+=(1)f e =()f x (0,)+∞其中所有正确结论的序号是．17．已知数列{a n }中，2a n ，a n+1是方程x 2﹣3x+b n =0的两根，a 1=2，则b 5= ．18．若实数,,,a b c d 满足24ln 220b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为 ▲ ．三、解答题19．等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1+3a 2=1，a 32=9a 2a 6，（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ，求数列{}的前n 项和．20．如图，四边形是等腰梯形，，四边形ABEF ,2,AB EF AF BE EF AB ====A 是矩形，平面，其中分别是的中点，是的中点．ABCD AD ⊥ABEF ,Q M ,AC EF P BM（1）求证: 平面；PQ A BCE （2）平面.AM ⊥BCM21．（本小题满分10分）已知函数.()|||2|f x x a x =++-（1）当时，求不等式的解集；3a =-()3f x ≥（2）若的解集包含，求的取值范围.()|4|f x x ≤-[1,2]22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲1111]如图，点为圆上一点，为圆的切线，为圆的直径，.C O CP CE 3CP =（1）若交圆于点，，求的长；PE O F 165EF =CE （2）若连接并延长交圆于两点，于，求的长.OP O ,A B CD OP ⊥D CD23．已知点（1，）是函数f （x ）=a x （a ＞0且a ≠1）的图象上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f （n ）﹣c ，数列{b n }（b n ＞0）的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n ﹣S n ﹣1=+（n ≥2）．记数列{}前n 项和为T n ，（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）若对任意正整数n，当m∈[﹣1，1]时，不等式t2﹣2mt+＞T n恒成立，求实数t的取值范围（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．24．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l过点P（1，0），斜率为，曲线C：ρ=ρcos2θ+8cosθ．（Ⅰ）写出直线l的一个参数方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．盐湖区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】C【解析】解：圆x 2+y 2﹣2x+4y=0化为：圆（x ﹣1）2+（y+2）2=5，圆的圆心坐标（1，﹣2），半径为，直线l将圆x 2+y 2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 经过圆心与坐标原点．或者直线经过圆心，直线的斜率为﹣1，∴直线l 的方程是：y+2=﹣（x ﹣1），2x+y=0，即x+y+1=0，2x+y=0．故选：C ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线的截距式方程的求法，考查计算能力，是基础题． 2． 【答案】D【解析】易知周期，∴.由（），得112(1212T π5π=-=π22T ωπ==52212k ϕπ⨯+=πk ∈Z 526k ϕπ=-+π（），可得，所以，则，故选D.k Z ∈56ϕπ=-5()2cos(2)6f x x π=-5(0)2cos(6f π=-=3． 【答案】C【解析】解：由题，f （x ）的定义域为（0，+∞），f ′（x ）=2x ﹣2﹣，令2x ﹣2﹣＞0，整理得x 2﹣x ﹣2＞0，解得x ＞2或x ＜﹣1，结合函数的定义域知，f ′（x ）＞0的解集为（2，+∞）．故选：C ．4． 【答案】C【解析】【知识点】样本的数据特征茎叶图【试题解析】由题知：所以m 可以取：0，1，2．故答案为：C 5． 【答案】 B【解析】解：命题p ：取x ∈[1，+∞），log 2x ≥log 3x ，因此p 是假命题．命题q ：令f （x ）=x 3﹣（1﹣x 2），则f （0）=﹣1＜0，f （1）=1＞0，∴f （0）f （1）＜0，∴∃x 0∈（0，1），使得f （x 0）=0，即∃x ∈R ，x 3=1﹣x 2．因此q 是真命题．可得￢p ∧q 是真命题．故选：B ．【点评】本题考查了对数函数的单调性、函数零点存在定理、复合命题的判定方法，考查了推理能力，属于基础题． 6． 【答案】B 【解析】试题分析：设从青年人抽取的人数为，故选B ．800,,2050600600800x x x ∴=∴=++考点：分层抽样．7． 【答案】C【解析】解：由抛物线方程得准线方程为：y=﹣1，焦点F （0，1），又P 为C 上一点，|PF|=4，可得y P =3，代入抛物线方程得：|x P |=2，∴S △POF =|0F|•|x P |=．故选：C ． 8． 【答案】C【解析】解：对于A ，若 m ∥α，n ∥α，则 m 与n 相交、平行或者异面；故A 错误；对于B ，若α⊥γ，β⊥γ，则 α与β可能相交，如墙角；故B 错误；对于C ，若m ⊥α，n ⊥α，根据线面垂直的性质定理得到 m ∥n ；故C 正确；对于D ，若 m ∥α，m ∥β，则 α与β可能相交；故D 错误；故选C ．【点评】本题考查了空间线线关系．面面关系的判断；熟练的运用相关的定理是关键． 9． 【答案】15 【解析】10．【答案】D【解析】解：∵2S n =a n +，∴，解得a 1=1．当n=2时，2（1+a 2）=，化为=0，又a 2＞0，解得，同理可得．猜想．验证：2S n =…+=，==，因此满足2S n =a n +，∴．∴S n =．∴S 2015=．故选：D ．【点评】本题考查了猜想分析归纳得出数列的通项公式的方法、递推式的应用，考查了由特殊到一般的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 11．【答案】B考点：函数的奇偶性与单调性．【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于轴对称，单调性在轴两侧相反，即在时单调递增，当时，y y 0x >0x <函数单调递减.结合和对称性，可知，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的(5)0f =(5)0f ±=解集.112．【答案】C【解析】由已知等式，得，由正弦定理，得，则3cos 3cos c b C c B =+sin 3(sin cos sin cos )C B C C B =+，所以，故选C ．sin 3sin()3sin C B C A =+=sin :sin 3:1C A =二、填空题13．【答案】9【解析】考点：直线与圆的位置关系【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是，R 是圆的半径，d 是圆心到直线的距离.222d R l -=14．【答案】 {2，3，4} ．【解析】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，∴C U A={3，4}，又B={2，3}，∴（C U A ）∪B={2，3，4}，故答案为：{2，3，4} 15．【答案】 ．【解析】解：在△ABC 中，∵6a=4b=3c ∴b=，c=2a ，由余弦定理可得cosB===．故答案为：．【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，用a 表示b ，c 是解决问题的关键，属于基础题． 16．【答案】②④⑤【解析】解析：构造函数，，在上递增，()()xg x e f x =()[()()]0xg x e f x f x ''=+>()g x R ∴，∴①错误；()xf x e-<()1x e f x ⇔<()(0)g x g ⇔<0x ⇔<构造函数，，在上递增，∴，()()x f x g x e =()()()0xf x f xg x e'-'=>()g x R (2015)(2014)g g >∴∴②正确；(2015)(2014)f ef >构造函数，，当时，，∴2()()g x x f x =2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+0x >()0g x '>，∴，∴③错误；1(2)(2)n n g g +>1(2)4(2)n n f f +>由得，即，∴函数在上递增，在上递()()0f x f x x '+>()()0xf x f x x '+>()()0xf x x'>()xf x (0,)+∞(,0)-∞减，∴函数的极小值为，∴④正确；()xf x 0(0)0f ⋅=由得，设，则()()x e xf x f x x '+=2()()x e xf x f x x-'=()()x g x e xf x =-()()()xg x e f x xf x ''=--，当时，，当时，，∴当时，，(1)x x xe e e x x x=-=-1x >()0g x '>01x <<()0g x '<0x >()(1)0g x g ≥=即，∴⑤正确．()0f x '≥17．【答案】 ﹣1054 ．【解析】解：∵2a n ，a n+1是方程x 2﹣3x+b n =0的两根，∴2a n +a n+1=3，2a n a n+1=b n ，∵a 1=2，∴a 2=﹣1，同理可得a 3=5，a 4=﹣7，a 5=17，a 6=﹣31．则b 5=2×17×（﹣31）=1054．故答案为：﹣1054．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．【答案】5【解析】考点：利用导数求最值【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f ′（x ）＞0或f ′（x ）＜0求单调区间；第二步：解f ′（x ）＝0得两个根x 1、x 2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．由条件可知各项均为正数，故q=．由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．故数列{a n}的通项式为a n=．（Ⅱ）b n=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣）则++…+=﹣2=﹣，所以数列{}的前n项和为﹣．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．20．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定.21．【答案】（1）或；（2）.{|1x x ≤8}x ≥[3,0]-【解析】试题解析：（1）当时，，当时，由得，解得；3a =-25,2()1,2325,3x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩2x ≤()3f x ≥253x -+≥1x ≤当时，，无解；当时，由得，解得，∴的解集为23x <<()3f x ≥3x ≥()3f x ≥253x -≥8x ≥()3f x ≥或.{|1x x ≤8}x ≥（2），当时，，()|4||4||2|||f x x x x x a ≤-⇔---≥+[1,2]x ∈|||4|422x a x x x +≤-=-+-=∴，有条件得且，即，故满足条件的的取值范围为.22a x a --≤≤-21a --≤22a -≥30a -≤≤[3,0]-考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立问题.22．【答案】（1）；（2）.4CE =CD =【解析】试题分析：（1）由切线的性质可知∽，由相似三角形性质知,可得；ECP ∆EFC ∆::EF CE CE EP =4CE =（2）由切割线定理可得，求出,再由,求出的值. 12(4)CP BP BP =+,BP OP CD OP OC CP ⋅=⋅CD 试题解析：（1）因为是圆的切线，是圆的直径，所以，，所以∽,CP O CE O CP CE ⊥090CFE ∠=ECP ∆EFC ∆设，，又因为∽，所以，CE x =EP =ECP ∆EFC ∆::EF CE CE EP =所以，解得.2x =4x =考点：1.圆的切线的性质；2.切割线定理；3.相似三角形性质.23．【答案】【解析】解：（1）因为f （1）=a=，所以f （x ）=，所以，a 2=[f （2）﹣c]﹣[f （1）﹣c]=，a 3=[f （3）﹣c]﹣[f （2）﹣c]=因为数列{a n }是等比数列，所以，所以c=1．又公比q=，所以；由题意可得： =，又因为b n ＞0，所以；所以数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，并且有；当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1；所以b n=2n﹣1．（2）因为数列前n项和为T n，所以==；因为当m∈[﹣1，1]时，不等式恒成立，所以只要当m∈[﹣1，1]时，不等式t2﹣2mt＞0恒成立即可，设g（m）=﹣2tm+t2，m∈[﹣1，1]，所以只要一次函数g（m）＞0在m∈[﹣1，1]上恒成立即可，所以，解得t＜﹣2或t＞2，所以实数t的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．（3）T1，T m，T n成等比数列，得T m2=T1T n∴，∴结合1＜m＜n知，m=2，n=12【点评】本题综合考查数列、不等式与函数的有关知识，解决此类问题的关键是熟练掌握数列求通项公式与求和的方法，以及把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题，然后利用函数的有关知识解决问题．24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，0），斜率为，∴直线l的一个参数方程为（t为参数）；∵ρ=ρcos2θ+8cosθ，∴ρ（1﹣cos2θ）=8cosθ，即得（ρsinθ）2=4ρcosθ，∴y2=4x，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（Ⅱ）把代入y2=4x整理得：3t2﹣8t﹣16=0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则，∴．【点评】本题考查了直线参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。