( 人教A版)2-1：3.1.3空间向量的数量积运算课件 (共41张PPT)

课时作业
一、空间向量的夹角
1．如图，已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O→A＝a，
O→B＝b，则∠AOB 叫作向量 a，b 的 夹角，记作〈a，b〉．
2．〈a，b〉＝〈b，a〉，a 和 b 的夹角的范围是 [0，π] ，其中当 〈a，b〉＝0 时，a 与 b 方向相同 ；当〈a，b〉＝π 时，a 与 b方向相反．
2．数量积的运算律 (1)(λa)·b＝ λ(a·b) ． (2)交换律：a·b＝ b·a . (3)分配律：a·(b＋c)＝ a·b＋a·c .
3．数量积的性质
若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔a·b＝0
若 a 与 b 同向，则 a·b＝|a|·|b|； 若反向，则 a·b＝－|a|·|b| . 两个向量数 特别地：a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a. 量积的性质
探究一 空间向量的数量积的运算 [典例 1] 如图所示，在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，求值： (1)E→F·B→A； (2)E→F·B→D； (3)A→B·C→D.
[解析] (1)E→F·B→A＝12B→D·B→A＝12|B→D||B→A|cos〈B→D，B→A〉 ＝12cos 60°＝14. (2)E→F·B→D＝12B→D·B→D＝12|B→D|2＝12. (3)A→B·C→D＝A→B·(A→D－A→C)＝A→B·A→D－A→B·A→C ＝|A→B||A→D|cos〈A→B，A→D〉－|A→B||A→C|cos〈A→B，A→C〉 ＝cos 60°－cos 60°＝0.
3．1.3 空间向量的数量积运算
考纲定位
重难突破
1.掌握空间向量夹角的概念及表示
方法，掌握两个向量的数量积概念、 重点：空间向量的数量积运算．
性质和计算方法及运算规律． 难点：利用空间向量的数量积求
2.掌握两个向量的数量积的主要用 夹角及距离.
途，会用它解决立体几何中一些简
单的问题.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
利用数量积证明垂直问题 (1)将所证明垂直线段转化为向量． (2)用已知向量表示未知向量． (3)利用数量积运算完成判定．
2.如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 为 AC 与 BD 的交点，G 为 CC1 的中点，求证：A1O⊥平面 GBD. 证明：设A→1B1＝a，A→1D1＝b，A→1A＝c，则 a·b＝0，b·c＝0， a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|. ∵A→1O＝A→1A＋A→O＝A→1A＋12(A→B＋A→D)＝c＋12a＋12b. B→D＝A→D－A→B＝b－a， O→G＝O→C＋C→G＝12(A→B＋A→D)＋12C→C1＝12a＋12b－12c.
1 A.2 C．－12
B．
2 2
D．0
解析：如图所示，∵O→A·B→C＝O→A·(O→C－O→B) ＝O→A·O→C－O→A·O→B ＝|O→A||O→C|·cos∠AOC－|O→A|·|O→B|·cos∠AOB＝0，
∴O→A⊥B→C，∴〈O→A，B→C〉＝π2，cos〈O→A，B→C〉＝0. 答案：D
解析：如图，设 a＝D→A，b＝D→B，c＝D→C，则A→B·C→D＋A→C·D→B ＋A→D·B→C＝(b－a)·(－c)＋(c－a)·b＋(－a)·(c－b)＝－b·c＋a·c ＋c·b－a·b－a·c＋a·b＝0. 答案：A
探究二 利用数量积研究垂直问题 [典例 2] 已知空间四边形 ABCD 中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC. [证明] ∵AB⊥CD，AC⊥BD， ∴A→B·C→D＝0，A→C·B→D＝0. ∴A→D·B→C＝(A→B＋B→D)·(A→C－A→B) ＝A→B·A→C＋B→D·A→C－A→B2－A→B·B→D ＝A→B·A→C－A→B2－A→B·B→D ＝A→B·(A→C－A→B－B→D)＝A→B·D→C＝0. ∴A→D⊥B→C，从而 AD⊥BC.
在几何体中求空间向量的数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积． (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模． (4)代入公式 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．
1．在空间四边形 ABCD 中，下列各式正确的是( ) A.A→B·C→D＋A→C·D→B＋A→D·B→C＝0 B.A→B·C→D＋A→C·D→B＝A→D·B→C C.A→B·C→D＝A→C·D→B＋A→D·B→C D．以上都不对
解析：∵A→B·A→O＝A→B·12A→C1＝12A→B·(A→B＋A→D＋A→A1)＝12(A→B2＋A→B·A→D＋A→B·A→A1)＝ 12A→B2＝12|A→B|2＝12a2. 答案：C
2．在空间四边形 OABC 中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝π3，则 cos〈O→A，B→C〉 的值为( )
3.如图，四面体 ABCD 的每条棱长都等于 2，点 E，F 分别 为棱 AB，AD 的中点，. 解析：|A→B＋B→C|＝|A→C|＝2；
E→F＝12B→D，B→D·B→C＝2×2×cos 60°＝2，
故|B→C－E→F|2＝B→C－12B→D2＝B→C2－B→C·B→D＋14B→D2＝4－2＋14×4＝3， 故|B→C－E→F|＝ 3. 答案：2 3
3．当〈a，b〉＝π2时，a 与 b 垂直 ．
π
4．若 a∥b，则〈a，b〉＝ 0 或 π ，若 a⊥b，则〈a，b〉＝ 2 .
[自主梳理]
二、空间向量的数量积 1．数量积的定义 (1)已知 a，b 是两个非零向量，则 |a||b|cos〈a，b〉叫作 a，b 的数量积，记作a·b ， 即 a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉． 规定，零向量与任一向量的数量积为 0 ，即 0·a＝ 0 . (2)a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的投影 |b|cos〈a，b〉 的乘积．
a·b 若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝ |a||b|
|a·b|≤|a|·|b|
[双基自测] 1．如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，对角线 AC1 和 BD1 相交于点 O， 则有( ) A.A→B·A→1C1＝2a2 B.A→B·A→C1＝ 2a2 C.A→B·A→O＝12a2 D.B→C·D→A1＝a2