曲线与方程1(用-第一课时)
上海教育版高中数学二下12.1曲线和方程教案
12.1曲线与方程上海市控江中学张进兴一、教学内容分析曲线与方程是以直线方程为认识基础的解析几何的基本概念，它既是直线与方程的自然延伸，又是学习圆锥曲线乃至其它平面曲线的理论基础，是解析几何中承上启下的关键章节.本节在充分讨论曲线方程概念后，介绍了解析几何的思想——通过直角坐标系建立曲线的方程、再用代数方法研究曲线性质.通过本节的学习我们可以了解到解析几何的基本问题：由曲线的已知条件求曲线方程；然后通过方程研究曲线的性质.曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序.前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程.为后面用曲线方程研究曲线性质奠定基础.“曲线”与“方程”是点的轨迹的两种表现形式.“曲线”是轨迹的几何形式，“方程”是轨迹的代数形式；求曲线方程是用方程研究曲线的先导，是解析几何所要解决的两大类问题的首要问题.体现了坐标法的本质——代数化处理几何问题.在本节的学习中可以结合已经学过的直线方程的知识帮助我们领会坐标法和解析几何的思想、学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的准备.作为曲线内容学习的开始，“曲线与方程”这一小节思想性较强，约需三课时，第一课时介绍曲线与方程的概念；第二课时讲曲线方程的求法；第三课时讲曲线的交点.12.1(1)（2）曲线与方程二、教学目标设计理解曲线和方程的概念，以简单的几何轨迹问题为例，学会求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给条件，选择适当坐标系求曲线方程.通过积极参与、亲身经历曲线方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，渗透数形结合的数学思想.会在简单的情况下画方程的曲线和求两条曲线的交点.通过自主探索、合作交流，学生历经从“特殊——一般——特殊”的认知模式，深化对求曲线方程本质的理解，完善认知结构.三、教学重点及难点重点是理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，领悟坐标法和解析几何的思想.难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法.四、教学用具准备本节可以借助几何画板等绘图软件展示某些动点的轨迹.五、教学流程设计六、教学过程设计12．1（1）曲线方程的概念一、复习回顾思考并回答下列问题1、l 是过点)1,0(且斜率为2的直线，能否说方程)0(12≥+=x x y 是直线l 的方程？为什么？（复习直线方程的概念）.2、在上一章我们是怎样研究两条直线的位置关系的答：借助直线方程研究直线的位置关系.[说明] 曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系.二、讲授新课1、概念引入（1）以定点A （1，0）为圆心以1为的圆是否可以用某个方程来表示？设原上任意一点M 的坐标为),(y x ，则x 和y 应当满足课堂小结并布置作业 概念实例引入曲线和方程求曲线的方程 方法步骤运用与深化(例题解析、巩固练习)平方后整理得0222=-+x y x ①问：能否用方程①来表示圆A ？为什么？用方程22x x y -=②与方程①中的哪一个来表示圆A 比较好？[说明] 通过对上述问题的讨论启发学生概括出曲线方程的概念.2、概念形成曲线方程的定义一般地，如果曲线C 与方程0),(=y x F 之间有以下两个关系：①曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解②以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都是曲线C 上的点.此时，把方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线.[说明] 利用集合与对应的观点可以更清楚、更深刻地理解曲线方程的概念.设)}(|{M P M P =表示曲线C 上适合某种条件的点M 的集合； }0),(|),{(==y x F y x Q 表示二元方程的解对应的点的坐标的集合.于是，方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程等价于⎭⎬⎫⊆⊆P Q Q P ，即 Q P =. 3、概念深化例 1 已知两点A （-1，1）和B （3，-1），求证线段AB 的垂直平分线l 的方程是022=--y x .（课本P31例1）证明：（略）例2（1）已知点A （1，0）、B （0，1），问线段AB 的方程是不是01=-+y x ，为什么？（课本P31例1）（2）到两坐标轴距离相等的点的轨迹C 的方程是不是0=-y x ，为什么？ 解：（略[说明] 曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系.教学中应紧扣概念，注意强调曲线方程的完备性和纯粹性三、巩固练习课本P33练习12.1（1）（练习3告诉我们可以借助充要条件的概念来理解曲线的方程的概念）四、课堂小结（1）曲线方程的概念（曲线上的点与以方程的解为坐标的对应关系怎样？）.（2）如何理解曲线的方程的概念？（利用充要条件的概念理解曲线的方程的概念、利用集合的观点理解曲线的方程的概念）五、作业布置习题册P17 A 组 第1、2、3题； P19 B 组 第2题12.1（2）求曲线的方程一、复习回顾思考并回答下列问题1．提问：什么是曲线的方程和方程的曲线．（学生思考并回答．教师强调）2．回顾与思考：坐标法和解析几何的意义、基本问题.对于一个几何问题，在建立直角坐标系的基础上，用坐标表示点、用方程表示曲线，并通过研究方程的性质来间接地研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门学科称为解析几何.解析几何的两大基本问题就是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程．（2）通过方程，研究平面曲线的性质．[说明]通过对上面两个问题的思考，进一步明确解析几何的学习目标和本节教学内容的学习目标.二、学习新课如何根据已知条件，求出曲线的方程？例1 已知两定点)0,1(1-P 和)0,3(2P ，求到点1P 和2P 的距离的平方和是16的点的轨迹方程.（课本P33例3例2 动点M 与距离为4的两个定点A 、B 满足5M =⋅，建立适当的坐标系，并求动点M 的轨迹方程.（课本P34例4）[说明]分析上面两个例题的求解过程，总结出求解曲线方程的大体步骤：首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正.然后结合课本归纳出以下五个步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为),(y x ；（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式（4）用坐标y x 、表示这个等式，并化简；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明.例3 已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到点)2,0(A 的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程（补充）. 答案：)0(812≠=x x y [说明]一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.在本教材中证明不作要求，特殊情况要说明.因此上述五个步骤又可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；修正.例4 已知定点)0,4(A 和曲线122=+y x 上的动点B ，求线段AB 的中点P 的轨迹方程.（课本P34例5）[说明] 例题中用到的求轨迹方程的方法通常叫做“代入法”，这类求轨迹方程的问题的特点是：问题中一般含有两个（或两个以上）的相关联的动点，其中一个动点在已知曲线上运动，所以“代入法”又叫做相关点法.三、巩固练习课本P35练习12.1（2）第3、4题 四、课堂小结（1）解析几何研究研究问题的方法是什么？（2）如何求曲线的方程？（求曲线方程实质上就是求曲线上任意一点（x,y）横纵坐标间的等量关系）（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价.各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么？五、作业布置习题册P17-18 A组第4、5、6题； P19 B组第4题七、教学设计说明曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，它既是直线与方程的自然延伸，又是学习圆锥曲线乃至其它平面曲线的理论基础，是解析几何中承上启下的关键章节.对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这是解析几何的基本思想.因此，解析几何面临两大基本问题：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程.（2）通过方程，研究平面曲线的性质.事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题.因此，在本节的教学中应该从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系.由于曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序，所以教材安排先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线.在学习求曲线方程的方法时，应从具体实例出发，引导学生从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程(曲线的方程)，这个过渡是一个从几何向代数不断转化的过程，在这个过程中提醒学生注意转化是否为等价的，这将决定第五步如何做.同时不要生硬地给出或总结出求解步骤，应在充分分析实例的基础上让学生自然地获得.曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式，这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程”.求曲线方程实质上就是求曲线上任意一点（x,y）横纵坐标间的等量关系.求曲线方程的问题是解析几何中一个基本的问题和长期的任务，不是一下子就彻底解决的，求解的方法是在不断的学习中掌握的，学习过程具有较强的探究性，因此，教学中要注意把握好“度”.所选例题和习题都不宜太难.同时，应注重思维过程的严谨性，无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则.。
人教版高中数学选修2-1曲线与方程(共17张PPT)教育课件
即以这个解为坐标的点到点(a,b)的距离为r，它一定在以(a,b)
为圆心、r为半径的圆上.
思考？你能得到什么结论？ (1)曲线C上点的坐标都是方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解.
（2）以方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解为坐标的点都在曲线C上.
概念形成
在直角坐标系中，如果如果某曲线C（看作点的集合或适合某
•
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解
双曲线的简单几何性质 第1课时(上课课件)
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(3)设与双曲线x22－y2＝1 有公共渐近线的双曲线方程为x22－y2＝k(k≠0)， 将点 M(2，－2)的坐标代入得 k＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方 程为y22－x42＝1.
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2.求满足下列条件的双曲线的标准方程：
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3．2.2 双曲线的简单几何性质 第一课时 双曲线的简单几何性质(1)
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根据双曲线的方程研究其几何性质
标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
性 图形
质
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3.若双曲线的渐近线方程为 y＝±34x，则双曲线的离心率 为__54_或__53___．
―→
依题意列 出不等式
―→
求出e的 取值范围
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[解析] 由题意可知直线 l 的方程为ax＋by＝1，即 bx＋ay－ab＝0.点(1,0)
到直线 l 的距离 d1＝ baa2－＋1b2，点(－1,0)到直线 l 的距离 d2＝ baa2＋＋1b2，
s＝d1＋d2＝ a22a＋b b2＝2acb，由 s≥45c，得2acb≥45c，
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标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
曲线与方程 知识讲解(非常有用)
曲线与方程编稿：辛文升审稿：孙永钊【考纲要求】1.了解轨迹的背景、含义和概念2.能根据所给的条件，选择恰当的直角坐标系求出曲线的轨迹方程，画出某些简单方程所表示的曲线；3.在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，4.掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法；渗透数形结合思想。
【知识网络】轨迹数学思想与方法求轨迹方程的常用方法轨迹的概念、意义【考点梳理】【高清课堂：曲线与方程408396知识要点】考点一：曲线与方程的定义1.“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程0),(=y x f 的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解（轨迹的纯粹性）；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（轨迹的完备性）；那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
2.定义的理解：设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，{(,)|(,)0}Q x y f x y ==，若设点00(,)M x y ，用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：（1）00(,)M P x y Q ∈⇒∈，即P Q ⊆；（2）00(,)x y Q M P ∈⇒∈，即Q P ⊆。
以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：（1）00(,)x y Q M P ∉⇒∉；（2）00(,)M P x y Q ∉⇒∉。
显然，当且仅当P Q ⊆且Q P ⊆，即Q P =时，才能称方程0),(=y x f 为曲线C 的方程；曲线C 为方程0),(=y x f 的曲线(图形)．要点诠释：在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件．两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．只有符合关系(1)、(2)，才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题．这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法考点二：求曲线方程的一般步骤求简单的曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）写出适合条件P 的点M 的集合()P M ；（3）用坐标表示条件()P M ，列出方程0),(=y x f ;（4）化方程0),(=y x f 为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程。
曲线方程与轨迹问题专题复习讲义-2024届高考数学一轮复习专题讲义 (学生版)
目录曲线与轨迹问题 (2)【课前诊断】 (2)【知识点一：求曲线方程】 (4)【典型例题】 (4)考点一：定义法 (4)考点二：直接法 (5)考点三：相关点法 (6)考点四：参数法 (7)【小试牛刀】 (8)【巩固练习——基础篇】 (9)【巩固练习——提高篇】 (9)曲线与轨迹问题【课前诊断】成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差1． 已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定2． 圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能3． 直线10xky与圆221x y 的位置关系是( )A ．相交B ．相离C ．相交或相切D ．相切4． 设m ＞0，则直线)10l xy m与圆22:O x y m 的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相切或相离D ．相交或相切5． 直线l 与圆22240(3)x y x y a a 相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(2,3)C ，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝06． 与圆22:420C x y x 相切，且在,x y 轴上的截距相等的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条7． 过原点O 作圆2268200x y x y 的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ的长为________．8．已知两圆分别为圆C 1：x 2＋y 2＝81和圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，这两圆的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切9．两圆222x y r ，222(3)(1)x y r 外切，则正实数r 的值是( )D ．510．圆22616480x y x y 与圆2248440x y x y 的公切线条数为( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条11．圆22460x y x y 和圆2260x y x 交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0【知识点一：求曲线方程】一、求曲线方程的常用方法：（1）定义法；（2）直接法；（3）相关点法；（4）参数法；【典型例题】考点一： 定义法例1. 已知ABC Rt ∆中，C ∠为直角，且),0,1(),0,1(B A -求满足条件的C 的轨迹方程。
精英数学之立体几何解析几何篇(必修2)第9讲圆锥曲线与方程1——椭圆方程及其应用--Pdf
〔1〕对称轴〔X、Y轴〕；
〔2〕顶点坐标；
〔3〕焦点坐标；
〔4〕中心坐标；
〔5〕准线方程。
4、能根据条件确定椭圆的标准方程
二、椭圆方程的练习题
例1． 椭圆过两点(1，25)、(2，
5
5)，求椭圆的标准方程。
5
例2．求焦点为(0,4)和(0,-4)且过点(5,-33)的椭圆方程。
例3．求焦距为25且过点〔3，-2〕的椭圆标准方程。
Y轴上的焦点坐标：0,c,0,c；
2、椭圆的几何性质
〔1〕范围(有界性)：两种讨论方式：解不等式或求函数的定义域和值域
〔2〕对称性：关于X轴、Y轴、坐标原点对称，注意：对称轴及椭圆中心概念及关系
〔3〕顶点：顶点、长轴、短轴的概念及几何意义
〔4〕离心率：e，范围、表示、及对椭圆扁圆程度的影响，可以说明圆和椭圆的关系；
2
的椭圆的左顶点的轨迹方程。
例9．椭圆的焦点为F1(0,2
2),
F2(0, 2
2)，长轴长为6，过焦点的弦长等于短轴长，求
这焦点弦的倾斜角.
例10． 在△ABC中，点A(-1，0)，C(1，0)，三边a，b，c成等差数列，求顶点B的轨迹方程．
a
注意：
〔1〕长轴长2a；
〔2〕短轴长2b；
〔3〕焦距2c；
〔4〕a2b2c2；
〔5〕离心率e；
a
〔6〕中心是两对称轴的交点；
〔7〕顶点是对称轴与曲线的交点；
〔8〕中心到顶点的距离分别为a,b、中心到焦点的距离为c；
a2
〔9〕中心到准线的距离为；
c
〔10〕中心、焦点、长轴顶点三点共线，为一对称轴且和准线垂直。
例4．如果方程x2ky22表示焦点在Y轴上的椭圆，求实数k的取值范围。
3.1 抛物线及其标准方程 一等奖创新教学设计
3.1 抛物线及其标准方程一等奖创新教学设计3.3.1 抛物线及其标准方程（第一课时）教学设计一教学内容1. 抛物线的定义，焦点、准线方程的定义。
2. 抛物线的标准方程的推导，四种不同标准方程形式的特点。
3. 抛物线的定义和标准方程的简单应用。
二教学目标1.理解抛物线的定义，焦点、准线方程的定义。
2.掌握开口向右的抛物线标准方程的推导过程，进一步理解求曲线方程的方法。
3.能够根据已知条件写出抛物线的标准方程，焦点坐标、准线方程。
4.提升学生数学抽象，直观想象，数学建模，数学运算的核心素养。
三教学重点及难点重点：抛物线的定义、抛物线的标准方程的推导，四种标准方程形式的特点难点：根据已知条件写出抛物线的标准方程，焦点坐标、准线方程，定义的简单应用四教学过程设计问题1：通过前面的学习，我们可以发现平面内：设动点M到定点F的距离和到定直线（不过点F）的距离之比为，当01时动点M的轨迹为双曲线当=1时动点M的轨迹为？当=1时，即动点M到定点F的距离和到定直线的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？下面我们用网络画板来探究这个问题。
师生活动：教师引导学生学生回顾：动点M到定点F的距离与点M到定直线（不过点F）的距离之比为，当01时，点M的轨迹为双曲线，思考：当=1时，即动点M到定点F的距离和到定直线的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？设计意图：问题引入设置悬念，引发学生思考。
问题2：如图：F是定点，是不过点F的定直线，H是上任意一点，过点H作MH垂直，线段FH的垂直平分线交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现M满足的几何条件吗？追问1：它的轨迹是什么形状？用网络画板作出动点M的轨迹师生活动：教师读题，让学生思考点M的几何特征，拖动点H，点M随之运动，学生观察，思考动点M满足什么几何条件？用动画展示点M的运动的轨迹，让学生观察是什么形状？进而引导学生得出抛物线的定义，以及注意：是不过点F。
设计意图：动态形象直观展示问题，提高学生的观察、思考、概括能力，进而提升学生的数学抽象素养。
双曲线的标准方程1
填写双曲线和椭圆的对比图表 椭圆 双曲线 定 义 图 形
5 小结
标准方 程 焦 点 a.b.c 的 关系 焦点位 置的判 定
教材 61 页习
作业布置
题 2.3A 组 1,2，步步高 35 页当堂测
板书设计：
双曲线的标准方程 1 双曲线的定义 定义的挖掘 双曲线的标准方程 学习目标
PPT 屏幕
教学后记：
________；焦距是_____________。
例 1
已知双曲线的两个焦点坐标为 F1 － 5,0) ，
F25,0)， 双曲线上一点 P 到 F1、 F2 的距离的差的绝对 值等于 6，求双曲线的标准方程. 解 因为双曲线的焦点在 x 轴上， x2 y2 所以设它的标准方程为 2－ 2a>0，b>0) a b ∵2a＝6,2c＝10，∴a＝3，c＝5， ∴ b2＝c2－a2＝16. x2 y2 所以，所求双曲线的标准方程为 － ＝1. 9 16 反思与感悟： 1)双曲线标准方程的求解方法是“先定 型， 后计算”.先看焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴， 从而设出相应的标准方程. 跟踪训练 1 1)已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双
x2 y2 1， ①双曲线 9 16
a=___________,b=____________,焦点坐标是 ________；焦距是_____________。
y2 x2 ②双曲线 1， 9 16
a=___________,b=____________,焦点坐标是 ________；焦距是_____________。 ③双曲线 4x2-9y2+36=0, a=___________,b=____________,焦点坐标是
3)列式：由|MF1|－|MF2|＝± 2 a， 可得 x＋c2＋y2－ x－c2＋y2＝± 2a.① 4)化简：移项，平方后可得 c2－a2)x2－a2y2＝a2c2－a2). 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为 x2 y2 － ＝1 a>0，b>0).② a2 b2
《双曲线及其标准方程》第一课时示范公开课教学设计
《双曲线及其标准方程》教学设计第1课时“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”“椭圆及其标准方程”之后，学习的又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何的学习中最重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术等领域有着广泛的应用，也是大纲中明确要求学生必须熟练掌握的重要内容．双曲线的定义、标准方程与椭圆类似，教科书的处理方法也相仿，也就是说，本小节在数学思想和方法上没有新内容，因此，这一小节的教学可以参照第2.2.1节进行．教学中要着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，特别是它们的不同点．课时分配本节内容分两课时完成．第1课时讲解双曲线的定义，要求学生类比椭圆标准方程的推导过程推导双曲线的标准方程；第2课时讲解运用双曲线的定义及其标准方程解题．1．使学生掌握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导过程，能根据条件确定双曲线的标准方程．2．在与椭圆的类比中，掌握双曲线的标准方程的推导方法，增强合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、数形结合思想解决问题的能力．教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．教学难点：双曲线标准方程的推导．复习引入1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程（1）焦点在x 轴x 2a 2＋y 2b 2＝1，（a >b >0）；（2）焦点在y 轴y 2a 2＋x 2b 2＝1，（a >b >0）．3．a 、b 、c 之间有何种关系？ a 2＝c 2＋b 2． 探究新知探究：如果把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？用几何画板演示拉链的轨迹：（A ） （B ）活动成果：以上两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支． 下面请同学们思考以下问题：设问：①定点与动点不在同一平面内，能否得到双曲线？ ②两条曲线中到“两定点的距离的差”有什么关系？③这个常数是否会大于或等于两定点间的距离？（几何画板演示当常数等于|F 1F 2|及常数大于|F 1F 2|时的点的轨迹，帮助学生理解）请学生回答：1．不能．指出必须“在平面内”．2．到两定点的距离的差的绝对值相等，否则只表示双曲线的一支，且到两定点的距离的差的绝对值为一个常数，即||MF 1|－|MF 2||＝2a ．3．应小于两定点间距离且大于零．当常数等于|F 1F 2|时，轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线；当常数大于|F 1F 2|时，无轨迹．活动设计：小组讨论，实验演示，通过提出问题，让学生讨论问题，并尝试解决问题．让学生了解双曲线的前提条件，并培养学生的全面思考能力．感受曲线，解读演示得到的图形是双曲线（一部分）．提出问题：类比椭圆的定义，给出双曲线的定义．活动设计：学生先独立思考，教师加以引导，与椭圆有一个类比，允许学生自愿合作、讨论、交流．学情预测：学生的回答可能不全面、不准确，我们可以用几何画板演示学生的回答，让他们发现问题，然后不断补充、纠正，趋于完善．活动成果：师生共同概括出双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．（在归纳定义时强调定义要满足三个条件：在平面内、任意一点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数、常数小于|F1F2|且大于零）下面我们类比椭圆方程的推导，选择适当的坐标系，建立双曲线方程．为今后通过方程研究双曲线的性质做好准备．提出问题：求椭圆方程的步骤是什么？活动结果：建系、设点、列式、化简．（学生回答，教师板书）提出问题：和椭圆类似，我们应如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？活动设计：学生先独立思考，类比椭圆找到两种简单的建系方法，并找学生到黑板板演，教师巡视指导其他学生，必要时给板演的学生给予指导．（推导过程以焦点在x轴上为例）学生板演，先请学生评讲，教师再评讲．以线段F1F2的中点为原点，直线F1F2为x轴，建立直角坐标系．设P（x，y）是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c>0），那么，焦点F1，F2的坐标分别是（－c，0），（c，0），又设点P与F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a．则有：x－c2＋y2－x＋c2＋y2＝±2a，①移项，得x＋c2＋y2＝x－c2＋y2±2a．两边平方，得x－c2＋y2＝|a－ca x|．②②式再两边平方并整理得（c2－a2）x2－a2y2＝a2（c2－a2），（※）根据双曲线的定义c＞a，c2－a2＞0．设b2＝c2－a2，代入上式，得x2a2－y2b2＝1．这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点坐标是F1（－c，0）、F2（c，0）．学情预测：一般情况下，得到方程（※）后，学生会类比椭圆设b2＝c2－a2，但要注意证明的严密性，帮助学生在证明过程中完善步骤．提出问题：设此方案中的双曲线与x 轴的交点分别为A 1，A 2，同学们都知道a ，c 的含义，你能从图形中找到长度分别等于a ，c 的线段吗？学情预测：估计得出c ＝|F 1F 2|2＝|OF 1|＝|OF 2|，a ＝|A 1A 2|2＝|OA 1|＝|OA 2|应当不会有问题．提出问题：你能在y 轴上找一点B ，使得|OB |＝b 吗？学情预测：学生会发现在y 轴的正负半轴上各有一个这样的点，我们分别设为B 1，B 2，则|B 2A 1|＝|B 2A 2|＝c ＝|B 1A 1|＝|B 1A 2|．这样，因为△B 2OA 2为直角三角形，且|B 2A 2|＝c ，|OA 2|＝a ，所以，c 2－a 2＝|OB 2|2．因此，方程（※）中的c 2－a 2有明显的几何意义．提出问题：如果以F 1，F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，焦点是F 1（0，－c ），F 2（0，c ），双曲线的方程又如何呢？类比椭圆，如果双曲线的焦点在y 轴上，把方程x 2a 2－y 2b 2＝1中的x 、y 互换，得到它的方程为y 2a 2－x 2b2＝1，这也是双曲线的标准方程．双曲线的标准方程有两个．教师应指出：我们所得的两个方程x 2a 2－y 2b 2＝1和y 2a 2－x 2b 2＝1（a >0，b >0）都是双曲线的标准方程．提出问题：已知双曲线标准方程，如何判断焦点位置？活动设计：学生先独立思考，当然，学生自愿合作讨论的也允许． 活动结果：看x 2，y 2的系数，哪个系数为正就在哪一条轴上． 练习：写出以下双曲线的焦点坐标．1．x 216－y 29＝1 2．x 29－y 216＝1 F （±5，0） 3．y 216－x 29＝1 4．y 29－x 216＝1 F （0，±5） 理解新知1．观察双曲线的图形及其标准方程，师生共同总结归纳：（1）双曲线标准方程对应的双曲线中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴； （2）双曲线标准方程形式：左边是两个分式的平方差，右边是1；（3）双曲线标准方程中三个参数a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2＋b 2（a >0，b >0）； （4）双曲线焦点的位置由标准方程中x 2，y 2的系数的正负确定； （5）求双曲线标准方程时，可运用待定系数法求出a ，b 的值．2．在归纳总结的基础上填下表．c2＝a2＋b2c2＝a2＋b2（±c，0）（0，±c）在x轴上在y轴上3．双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系？运用新知例题研讨，变式精析1判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三个量a，b，c的值．①x24－y22＝1，②x22－y22＝1，③x24－y22＝－1，④4y2－9x2＝36．思路分析：双曲线标准方程的形式：平方差，x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，x2项的分母是a2；y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上，y2项的分母是a2．解：①是双曲线，a＝2，b＝2，c＝6；②是双曲线，a＝2，b＝2，c＝2；③是双曲线，a＝2，b＝2，c＝6；④是双曲线，a ＝3，b ＝2，c ＝13．2已知双曲线的焦点为F 1（－5，0），F 2（5，0），双曲线上一点P 到F 1、F 2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．思路分析：巩固双曲线的标准方程，解题思路是寻找两个定值a ，c ．用待定系数法求出双曲线的标准方程．解：∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）． 根据题意知2a ＝6，2c ＝10． ∴a ＝3，c ＝5 ∴b 2＝52－32＝16．∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1．点评：焦点定位，a 、b 、c 三者知二定形．变练演编提出问题：请解答下列问题：1．已知双曲线x 216－y 29＝1，你可以得到哪些结论？（把你能得到的结论都写出来）2．已知a ＝2，c ＝4，则你可以得到双曲线的哪些结论？（把你能得到的结论都写出来） 3．已知a ＝4，______________，可以求得双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1，则题中横线上需要添加什么样的条件？活动设计：学生先独立探索，允许互相交流成果．然后，全班交流． 学情预测：1．a ＝4，b ＝3，c ＝5，两焦点坐标为（－5，0），（5，0）． 2．b ＝23，双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1或y 24－x 212＝1等．3．b ＝3，且焦点在y 轴上；或c ＝5，且焦点在y 轴上；或一个焦点坐标为（0，5）（答案很多）．设计意图：设置本组开放性问题，意在增加问题的多样性、有趣性、探索性和挑战性，训练学生思维的发散性、收敛性、灵活性和深刻性，长期坚持，不仅会加深学生对数学的理解、掌握，而且会潜移默化地学会编题、解题，更会把学生的基础知识巩固得更广、更深．达标检测1．求a ＝4，b ＝3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程．2．求a ＝25，经过点（2，－5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程． 3．证明椭圆9x 2＋25y 2＝225与双曲线x 2－15y 2＝15的焦点相同．4．若方程x 2sinα＋y 2cosα＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．设双曲线x 216－y 29＝1上的点P 到点（5，0）的距离为15，则P 点到（－5，0）的距离是…（ ）A ．7B ．23C ．5或23D ．7或23 答案：1．x 216－y 29＝1；2．y 220－x 216＝1； 3.9x 2＋25y 2＝225 x 225＋y 29＝1 F （±4，0）．x 2－15y 2＝15x 215－y 2＝1 F （±4，0）；4．D x 2sinα＋y 2cosα＝1表示焦点在y 轴上的双曲线⎩⎨⎧sinα<0cosα>0α在第四象限，所以选D ．5．D |d －15|＝2a ＝8 d ＝7或23．课堂小结知识整理，形成系统（由学生归纳，教师完善） （1）双曲线的定义（与椭圆的区别） （2）标准方程（两种形式）（3）焦点位置的判断（与椭圆的区别） （4）a 、b 、 c 的关系（与椭圆的区别）让学生对本节课进行总结．目的是帮助他们认清这节课的知识结构， 培养他们的归纳总结能力．作业布置教材习题2.3 A 组第1题，第2（1）题． 补充练习 基础练习 1．填空题：（1） x 252－y 232＝1，则a ＝______________ ，b ＝________________ ；（2）x 242－y 262＝1，则a ＝______________ ，b ＝________________ ；（3）x 29－y 24＝1，则a ＝______________ ，b ＝________________ ．2．求下列椭圆的焦点坐标： ①x 29－y 24＝1；②16x 2－7y 2＝112． 拓展练习已知双曲线的一个焦点坐标为F 1（0，－13），双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．解：因为焦点坐标为F 1（0，－13）． 所以c ＝13．又双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24． 所以2a ＝24，即a ＝12． 所以b 2＝c 2－a 2＝169－144＝25．所以所求双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1．1．在“双曲线的标准方程”的引入与推导中，充分利用几何画板演示，并运用“实验——观察——类比——证明——应用”的思想方法，逐步由感性到理性地认识定理．这样安排符合学生的认识规律，揭示了知识的发生、发展过程；也符合现代教育理论中的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点．2．在教学的过程中始终本着：数学的学习过程是学生自己的“再创造”的原则，通过教师启发引导，让学生通过实验、观察、思考、类比、推理、交流、合作、反思等过程进行探究，构建新知识，真正做到将传授知识和培养能力融为一体，较好地体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教育思想．。
《3.2.1 双曲线的标准方程》作业设计方案-中职数学高教版21拓展模块一上册
《双曲线的标准方程》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本次作业，学生应掌握双曲线的概念和性质，能够正确应用双曲线的标准方程解决实际问题。
同时，通过作业反馈，教师能够了解学生对知识的掌握程度，进一步优化教学策略。
二、作业内容1. 基础题：（1）请画出双曲线的基本形式，并标明开口方向和对称性；（2）根据双曲线的方程，求出实轴和虚轴长度；（3）根据双曲线的位置，判断点P（3，4）是否在双曲线上。
2. 提高题：（1）已知双曲线的方程为x^2/4-y^2/3=1，求双曲线的焦点坐标和离心率；（2）求过点A（3，4）且与双曲线3x^2-4y^2=3有公共交点的直线方程。
三、作业要求1. 学生需独立完成作业，不得抄袭；2. 作业完成后，需进行自我检查，确保解题过程正确；3. 针对提高题，学生可以尝试多种解法，培养发散思维。
四、作业评价1. 评价标准：（1）基础题是否正确判断双曲线的性质并正确应用；（2）提高题是否正确求解出相关数值，并正确应用双曲线的标准方程解决实际问题。
2. 评价方式：（1）教师批改作业，给出分数或等级；（2）课堂讲解作业，针对典型错误进行集体点评。
五、作业反馈1. 学生反馈是教师调整教学策略的重要依据，学生应认真对待作业中的错误和疑惑，及时向教师反馈；2. 教师应对学生的作业进行归纳总结，了解学生对双曲线标准方程知识的掌握程度，以便于进一步优化教学方案；3. 对于普遍存在的错误，教师应在课堂上进行集中讲解，确保大多数学生能够掌握双曲线标准方程的知识。
通过本次作业，学生能够深入理解双曲线的概念和性质，并能够正确应用双曲线的标准方程解决实际问题。
同时，教师能够通过作业反馈，了解学生对知识的掌握程度，进一步优化教学策略，提高教学质量。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标通过上一节课的学习，学生已经掌握了双曲线的简单概念以及双曲线标准方程的求法。
本节课的作业旨在巩固和加深学生对双曲线标准方程的理解，同时培养他们运用双曲线知识解决实际问题的能力。
《3.2.1 双曲线的标准方程》作业设计方案-中职数学高教版21拓展模块一上册
《双曲线的标准方程》作业设计方案（第一课时）一、作业目标：1. 理解和掌握双曲线的定义和标准方程形式；2. 能够应用双曲线标准方程解决简单的数学问题；3. 培养独立思考和合作学习的能力。
二、作业内容：1. 理论作业：（1）请画出双曲线的图形，并标明实轴和虚轴；（2）请根据双曲线的定义，推导双曲线的标准方程形式；（3）请解释标准方程中各字母的含义，并举例说明其应用。
2. 实践作业：（1）根据给定的双曲线标准方程，求出双曲线的图形；（2）结合实际生活，设计一个与双曲线相关的应用问题，并尝试用双曲线标准方程解决该问题。
三、作业要求：1. 独立完成作业，禁止抄袭；2. 小组合作学习，共同探讨双曲线标准方程的应用；3. 提交作业时，请附上解题过程和思路。
四、作业评价：1. 评价标准：作业完成情况、解题思路正确性、应用双曲线标准方程的合理性；2. 评价方式：学生自评、小组互评、教师点评相结合。
五、作业反馈：请同学们在完成作业后，对作业中的疑惑点和难点进行记录，并在课堂或课后向老师或同学请教，共同提高数学水平。
同时，也欢迎同学们在作业中发现和分享好的学习方法或建议，共同推动数学教学的改进和完善。
六、知识点回顾与拓展：1. 对双曲线的基本概念进行回顾，强调定义和标准方程之间的联系；2. 尝试拓展双曲线的应用领域，如经济、物理、工程等领域，了解双曲线在这些领域的应用和价值。
七、预习内容：预习下一节内容，了解椭圆的标准方程及其相关性质。
请同学们做好预习，提前了解椭圆的相关知识，为后续学习打好基础。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标通过上一节课的学习，学生已经掌握了双曲线的简单概念和双曲线标准方程的求法。
本节课的作业旨在巩固和拓展这些知识点，进一步提高学生解决实际问题的能力。
二、作业内容1. 计算题：给定一组双曲线方程，请学生计算双曲线的实轴和虚轴，以及焦距等几何性质。
2. 证明题：请学生利用已知条件，设计一个实验或实例来证明双曲线的几何性质。
双曲线(第一课时)doc
2.3 双曲线（第一课时）同学们，老师相信你们不看书也能很好地完成这个节的学习，不信咱们一起试一试！如果你觉得不那么自信，那请你先把2.2.1椭圆及其标准方程的所有内容在纸上默过一遍．问题 1 椭圆是满足什么条件的点的轨迹？你有没有想过，与两个定点的距离的差为常数的点的轨迹是什么？为此我们需要做下面的实验：人员分配：按照2人或4人分组，合作完成．器材：请你准备①一个浅色的硬纸板，约有16开大；②一条拉链，或者是没有弹性的两根绳子，并用第三根绳子将它俩绑在一起，注意这根绳子形成的结头能够滑动；③两个图钉．实验：将绳子的两端固定在硬纸板上，并将绳子拉直，然后用铅笔推动结头，观察铅笔留下的痕迹．结论：根据实验，你得到的结论是什么？请你写下来．能够类比椭圆的定义完成．其他同学得到的结论又是什么？能够交流一下．问题 2 椭圆和双曲线定义的异同是什么？双曲线的定义形成过程中蕴含了怎样的数学思想？问题 3 你能类比椭圆标准方程的建立过程，选择恰当的坐标系，建立双曲线的标准方程吗？如果没有困难，请你直接完成；如果你有困难，能够根据下面的提示完成．问题4双曲线标准方程中三个参数的几何意义分别是什么？请你画出来．三个参数之间的关系是什么？请你写下来．椭圆的标准方程与双曲线的标准方程有何异同？在求其标准方程时首先要用哪一个数学思想？练习1 第54页例1，第55页1（1）练习2 第54页例2问题6 练习2与练习1的异同什么？GPS定位的原理是什么？问题7 本节课你的收获是什么？从知识、解题经验、以及与椭圆相关内容的关系等方面考虑．作业：1．55页练习，55页探究，习题2.3A 组1,22．思考接下来该研究什么问题？你能类比椭圆独立完成吗？说明：按照学校的实际情况上课，如果学校平时不用学案就不用印制，但是要让学生准备好实验器材，并充分复习椭圆２．２．１．。
双曲线及其标准方程
探究点二 待定系数求双曲线的标准方程
例 2-1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式： （1）焦点在 x 轴上， a 4, b 3 ； （2）焦点为 (0, 6),(0,6) ，且经过点 (2, 5)
（3）焦点为 F 5,0 ， F2 5,0 ，双曲线上任意点到 F1 ， F2 的距离的差的绝对值为 6 1 （4）焦点在 y 轴上，中心在原点，且点 P (3,4 2 ) ， P2 ( ,5) 1
MF1 MF2 是常数，这样就画出一条曲线； MF2 MF1 是同一常数，可以画出另一支．
问题 2：请结合上面演示以及椭圆的定义，请说说你对双曲线的认识？（形状以及形成过程）
我的困惑(学生)
1
探
究
案（课堂 30 分钟）
探究点一 双曲线的定义及标准方程
例 1-1：请根据以上所得及椭圆的定义，给出双曲线的定义？ 平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的__________等于常数（该常数___ F1 F2 ）的点的轨迹叫做 _________。这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的_____。
预
一．知识链接
习
案（课前 20 分钟）
姓名 吴兴昌
椭圆的第一定义：平面内到两定点 F1 , F2 的距离的和为常数（大于 F1F2 ）的动点的轨迹叫椭 圆；即 MF1 MF2 2a ， a ﹥2 c ） （2 。 当 2 a =2 c 时，轨迹是一条线段 F1 F2 ； 当 2 a ﹤2 c 时，轨迹不存在。
广饶一中二校区高效课堂导学案
课题 教研组 高一数学 学习 目标 重点 难点
双曲线及其标准方程(第一课时)
1.掌握双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程，能根据条件求简单的双曲线标准方程； 2.培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力。 3.启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题； 培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。 双曲线的定义、标准方程 双曲线的定义、标准方程
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例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k.
证明：(1 ) 如图，设 M ( x0 , y0 )
是轨迹上的任意一点， 因为点 M 与 x 轴的距离为 与 y 轴的距离为 x0 ,
M
o x
y0 ,
y
所以 x 0 y 0 k , 即 ( x 0 , y 0 ) 是方程 xy k 的解。
练习4:设圆M的方程为 ( x 3) ( y 2) 2 ,直线l的 方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么( ) C
2 2
A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上； C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上 练习5:已知方程 mx ny 4 0 的曲线经过 点 A(1,2), B(2,则 m =_____, n =______. ,1)
。
归纳:
证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设 M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解； 第二步，设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明 点 M (x0,y0)在曲线C上.
练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是 所列出的方程吗？为什么？ (1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线 (如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是 (2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程 为x+ y=0; 不是 (3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴，y轴的距离 乘积为1的点集其方程为y= 。 是
说明:
0
x
1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.
2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” ,阐 明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说 曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.
（纯粹性）. 3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐 明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏. （完备性）. 由曲线的方程的定义可知: 如果曲线C的方程是 f(x,y)=0，那么点P0(x0 ,y0)在 f(x0, y0)=0 曲线C 上的 充要条件 是
3 x 2 y 0( 1 ≤ x ≤ 5)
再 见
∴说直线 l 的方程是 x
y 0
,又说方程பைடு நூலகம்x
y 0
的直线是 l .
思考?
圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为:
( x a) ( y b) r
2 2 2
定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看
作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点 与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的 关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. y 那么,这个方程叫做曲线的方程; f(x,y)=0 这条曲线叫做方程的曲线.
例1 :判断下列命题是否正确
(1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程 为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方 程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D为 BC中点，则中线AD的方程x=0 解:(1)不正确，不具备(2)完备性，应为x=3, (2)不正确,不具备(1)纯粹性，应为y=±1. (3)正确. (4)不正确,不具备(2)完备性,应为x=0(-3≤y≤0).
曲线与方程
复习回顾:
我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线l的方程 为____________ 2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的
y kx b
x-y=0 直线方程是______________
3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程
为_______________________.
( 2 ) 设点 M 1的坐标 ( x1 , y 1 ) 是方程 xy k 的解， 即 x1 y 1 k , 即 x1 y 1 k
而 x1 , y 1 正是点 M 1到纵轴、横轴的距离， 因此点 M 1到两条直线的距离的积 点 M 1是曲线上的点。 是常数 k ,
由 (1 ), ( 2 ) 可知， xy k 是与两条坐标轴的距离 的积为常数 k ( k 0 )的点的轨迹方程。
(x a) ( y b) r
2 2 2
为什么?
思考?
坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0
第一、三象限角平分线 l 点的横坐标与纵坐标相等 条件
曲线
y
x=y（或x- y=0）方程
l
0
x-y=0
x
含有关系：
（1） l 上点的坐标都是方程x-y=0的解
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都 在 l 上
D
①表示 B
②表示 C
③表示 D
练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程 f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( D ) A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲线 C D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全部
y
1 1 -1 0 x 1 -2 -1 0 1 2 1
y
y
x
-2 -1 0 1 2
x
⑴
⑵
⑶
练习2:下述方程表示的图形分别是下图 中的哪一个？
① x - y =0
Y 1 O 1 X 1 O 1 X -1 O -1
② |x|-|y|=0
Y
③ x-|y|=0
Y 1 X Y 1 1 O -1 1 X
A
B
C
2 2
4 5
4 5
课外练习: 1. “曲线 C 上的点的坐标都是方程 f ( x , y ) =0 的解” 是“方程 f ( x , y ) =0 是曲线 C 的方程”的（ B ）条 件. (A)充分非必要 (B)必要非充分 (C)充要 (D)既非充分也非必要 2.△ABC 的顶点坐标分别为 A ( 4, 3) ， B ( 2, 1) ， C (5, 7 ) ， AB 边上的中线的方程为___________. 则