§3 向量组的秩与极大线性无关组
合集下载
线性代数课件 第三章——向量 3 向量组的秩、向量空间简介
, m
, m 线性无关； , m 线性表示.
ii) V中任意向量都可由 1 , 2 ,
§3 向量组的秩、向量空间简介
注.向量空间V的维数实际上就是向量组的秩.
dim L(1 , 2 , , m ) R{1 , 2 , , m }.
定理5：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r+1
, m 线性
, s )是 L(1 , 2 ,
, m ) 的子空间.
பைடு நூலகம்
§3 向量组的秩、向量空间简介
2.基变换与坐标变换
定义4. 向量空间V的一个极大线性无关组称为V的一 个基，基所含向量的个数称为V的维数，记作dimV. 规定：零向量空间没有基，维数定义为0. 判别.设 1 , 2 , , m是V中m个向量,则 1 , 2 , 是V的一个基的充要条件是 i) 1 , 2 ,
向量都线性相关.
推论：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r个
线性无关的向量组都是V的一个基.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义5. 若 1 , 2 , , m是向量空间V的一个基,则
V中任意向量 可唯一表示为
k1 k2 , m ) k m
k11 k2 2
第三章 向量
§1 n维向量的线性相关性 §2 线性相关性的结论、极大线性无关组 §3 向量组的秩、向量空间简介 §4 向量的内积
一、向量组的秩 二、向量空间简介
一、向量组的秩
定义1 向量组 1 , 2 , , m 的极大无关组所含向量
的个数，称为该向量组的秩，记作 R{1 , 2 , 规定：零向量组的秩为0.
4 (1,2, k ,6)T , 5 (1,1,2,4)T ， 求向量组1 , 2 , 3 , 4 , 5
向量组的秩和极大线性无关组
3.若向量组B能由向量组A线性表示，则
.
极大线性无关组 定义
• 定义：向量组T中如果有一部分组α1，α2，···，αr满足： 1.α1，α2，···，αr线性无关； 2.任取向量组T中β，有α1，α2，···，αr，β线性相关。 则称α1，α2，···，αr为向量组T的一个极大线性无关向量组， 简称为极大无关组
3
6
9
7
9
0
0
0
0
0
得到R（A）=3，故最大无关组含有3个向量，取1,2,4列，故 a1, a2, a4
为列向量最大无关组。
•注意：只要分别取不在同一阶梯上的列向量即可，可以125列，134列
都是最大无关组，这里为了方便去只取124列
•剩下3，5列用线性表式：3，5列单独写出来
1 4
•例题：设矩阵
2 1 1 2
4
求矩阵A的列向量组的一个最大无关
4
3
6
9
7
9
组，并把不是组最大无关组的列向量用最大无关线性表示
2 1 1 1 2 1 0 1 0 4
•解： A
1
1
2
1
4
r
0
1
1
0
3
(先化为行最简)
4 6 2 2 4 0 0 0 1 3
• 定理： 1.设a1,a2,…,ar与b1,b2,…,bs是两个向量组，如果 （1）向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出（2）r>s；
那么向量组a1,a2,…,ar必线性相关。 2.只含零向量的向量组没有极大无关组； 3.一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身
.
极大线性无关组 例题
1
.
极大线性无关组 定义
• 定义：向量组T中如果有一部分组α1，α2，···，αr满足： 1.α1，α2，···，αr线性无关； 2.任取向量组T中β，有α1，α2，···，αr，β线性相关。 则称α1，α2，···，αr为向量组T的一个极大线性无关向量组， 简称为极大无关组
3
6
9
7
9
0
0
0
0
0
得到R（A）=3，故最大无关组含有3个向量，取1,2,4列，故 a1, a2, a4
为列向量最大无关组。
•注意：只要分别取不在同一阶梯上的列向量即可，可以125列，134列
都是最大无关组，这里为了方便去只取124列
•剩下3，5列用线性表式：3，5列单独写出来
1 4
•例题：设矩阵
2 1 1 2
4
求矩阵A的列向量组的一个最大无关
4
3
6
9
7
9
组，并把不是组最大无关组的列向量用最大无关线性表示
2 1 1 1 2 1 0 1 0 4
•解： A
1
1
2
1
4
r
0
1
1
0
3
(先化为行最简)
4 6 2 2 4 0 0 0 1 3
• 定理： 1.设a1,a2,…,ar与b1,b2,…,bs是两个向量组，如果 （1）向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出（2）r>s；
那么向量组a1,a2,…,ar必线性相关。 2.只含零向量的向量组没有极大无关组； 3.一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身
.
极大线性无关组 例题
1
3.3 向量组的极大无关组与秩
矩阵 C的列向量组能由 A的列向量组线性表示，
因此r ( C ) r ( A). 又因为 C T B T AT ,由上段证明知 r ( C T ) r ( B T ), 25 即r ( C ) r ( B).
练习
1.求下列向量组的秩:
T T (1) 1 (2, 1, 1) , 2 (5, 4, 2, ) , 3 (3, 6, 0) T T ( 3 , 1 , 0 , 2 ) ( 1 , 1 , 2 , 1 ) (2) 1 , , 2 3 (1, 3, 4, 4) T .
20
得
1 1 3 2 , 2 1 2 .
1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 1 2 2 3 1 1 2 2 , 0 0 0 0 0 0
2 0 1 1 而 ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 3 1 3 1
9
定理3.10
若向量组A可由向量组B线性表示，则
r(A) ≤ r(B)。 推论 若向量组A与向量组B等价，则 r(A) = r(B)。
10
回顾
α1 α2
αm
矩阵A既对应一个行向量组,又对应一 个列向量组: 其中 i ( a i 1 , a i 2 , , a in ), i 1, , m a1 j 1 a2 j 2 j 1, 2, , n
28
23
则r 1 1 , 2 2 , , n n r t r ( A) r ( B) r ( A B) r ( A) r ( B)
r i 1 , i 2 , ir , j 1 , j 2 , jt
向量组极大线性无关组概念向量组的等价向量组的秩第三
R ( , , , m ) r
特别地 完全由零向量组成的向量组,它的秩为 0。 R (e1 , e2 ,, en ) n
证
由
β 2α α , β α 2α ,
2 1 1 2 α β β , α β β , 得 5 5 5 5 12 1 于是 β 5α 2α β β . 5 5 表明：向量组 β , β , β 线性相关．
2018/11/6
1 2 线性无关
1 2 1 线性相关 1 2 2 线性相关 1 2 3 线性相关 1 2 4 线性相关
1 0 1 1 0 0 2 1 1 2 1 3 0 4 1 1 4 1 3
2018/11/6
1 1 0 1 0 0 β β β ) 2 β β 0 1 1 0 1 0 β β β ) 2 0 0 2 β β β 0 0 1 β β β ) 2
向量组关系的重要指标
一、向量组极大线性无关组概念
二、向量组的等价 三、向量组的秩
四、小结与思考
2018/11/6
一、向量组极大线性无关组概念
引例 判定向量组 1 （ 1 ， 0， 1 ）, 2 （ 2， 1 ， 1 ） , 3 （ 4， 1 ， 1 ） ,4 （ 0， 0， 0 ） 及其部分组的线性相关性． 解 (1)αi 0, i 1,3 线性无关
1 , 2 , , s 线性表示，且t>s，则向
量组 A : β1 , β 2 , , β t 线性相关． 证明从略
2018/11/6
例 设 β 2α α , β α 2α , β 5α 2α 则 β , β , β 线性相关．
特别地 完全由零向量组成的向量组,它的秩为 0。 R (e1 , e2 ,, en ) n
证
由
β 2α α , β α 2α ,
2 1 1 2 α β β , α β β , 得 5 5 5 5 12 1 于是 β 5α 2α β β . 5 5 表明：向量组 β , β , β 线性相关．
2018/11/6
1 2 线性无关
1 2 1 线性相关 1 2 2 线性相关 1 2 3 线性相关 1 2 4 线性相关
1 0 1 1 0 0 2 1 1 2 1 3 0 4 1 1 4 1 3
2018/11/6
1 1 0 1 0 0 β β β ) 2 β β 0 1 1 0 1 0 β β β ) 2 0 0 2 β β β 0 0 1 β β β ) 2
向量组关系的重要指标
一、向量组极大线性无关组概念
二、向量组的等价 三、向量组的秩
四、小结与思考
2018/11/6
一、向量组极大线性无关组概念
引例 判定向量组 1 （ 1 ， 0， 1 ）, 2 （ 2， 1 ， 1 ） , 3 （ 4， 1 ， 1 ） ,4 （ 0， 0， 0 ） 及其部分组的线性相关性． 解 (1)αi 0, i 1,3 线性无关
1 , 2 , , s 线性表示，且t>s，则向
量组 A : β1 , β 2 , , β t 线性相关． 证明从略
2018/11/6
例 设 β 2α α , β α 2α , β 5α 2α 则 β , β , β 线性相关．
向量组的秩
把向量组中所有向量考察一遍，即可得到 该向量组的一个极大线性无关组.这个方 法称为逐个“扩充法”。
例3.3.3 设向量组α1=(0,0,-1,1), α2= (1,1,-1,0), α3=(2,2,-1,-1)α4=(-1,-1,0, 0),求它 的一个极大线性无关组及该向量组的秩。
解 由于α1≠0，保留α1;又α2≠kα1,即α1 与α2线性无关，保留α2；因α3=2α2-α1,所以 α1,α2, α3线性相关，
解 由于α1,α2线性无关，α3= 2α1-α2, 所以α1,α2是该向量组的的一个极大线性无 关组。显然α1,α3与α2,α3也是这个向量组的 极大线性无关组。
从这个例子可以看出，一个线性相关 的非零向量组，一定存在极大线性无关组， 并且它的极大线性无关组不是唯一的。那 么，同一个向量组的不同的极大线性无关 组所含向量的个数是否相同? 下面将回答 这一问题。
即C的列向量组可由A的列向量组线性表 出，由定理3.3.3及3.3.4知,
R(C) R(A)
又
R(C) R(AB) R(( AB)T ) R(BT AT ) R(BT ) R(B)
故
R(AB) min R(A), R(B)
定理 3.3.1 如果向量组α1,α2, …,αm中的每一个向量均可由向量组 β1, β2, …, βr线性表出，并且m>r，那么向量组线 性相关。
证设
i (ai1, ai2 ,, ain ) (i 1,2,, m),
j (b j1, b j2 ,, b jn ) ( j 1,2,, r)
例3.3.2 设向量组α1,α2, …,αm的秩为 r，试证α1,α2, …,αm中任意r个线性无关的 向量均为该向量组的一个极大线性无关组。
线性代数课件chap33向量组的秩(2020)
命题
1. 向量组 1 , 2 ,..., m 线性无关
r 1 , 2 ,..., m m
2. 向量组 1 , 2 ,..., m
线性相关
r 1 , 2 ,..., m m
3. 等价向量组必有相同的秩
4. 若 r 1 , 2 ,..., m r则向量组中
的任意k行与B 的相应的k行具有相同的相关
性
即，矩阵的列变换不改变行的线性相关关系
例、 求向量组的秩和一个极大线性无关组，
并将其它向量用所求的极大线性无关组
线性表示。
1
1
0
1
2
1
2
1
3
6
1 , 2 , 3 4 5
1 1 0 2
0 0 1 3
0 0 0 0
1 2 3 4 5
所以， , , , , =
, , 为一个极大无关组
= + , = − − +
命题 设向量组 1 , 2 ,..., m
（3）设A，B均为m×n矩阵， 则
R(A+B) ≦ R(A)＋R(B)。
（4）设A，B均为m×n矩阵， 则
R(A-B) ？
例 设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，n<m,
证明：(AB)X=0有非零解。
例 设矩阵 Anm , Bmn 满足 AB E ，
且 n<m. 证明： B 的列向量线性无关。
证明 其中任意m个向量构成的向量组的ห้องสมุดไป่ตู้ ≥r+m-s
三、向量组的秩与矩阵秩的关系
4[1].3向量组的秩和极大线性无关组
![4[1].3向量组的秩和极大线性无关组](https://img.taocdn.com/s3/m/6e3036264b35eefdc8d333e1.png)
第二节 向量组的极大无关组与秩
引子: 线性相关组中含有线性无关的部分向量组. 一、等价向量组
定义（等价）： 定义（等价）：
如果向量组 α 1 , α 2 ,..., α t中的每个向量都可以由 向量组
β 1 , β 2 ,..., β s 线性表出，则称向量组 {α 1 , α 2 ,..., α t }可以由向量组 { β 1 , β 2 ,..., β s }线性表出。
0 2 2 1 1 1 2 5 0 2 1 3 1 1 3 3
～
1 0 0 0
5 1 1 0 9 = ( β1 , β 2 , β 3 , β 4 , β 5 ) 0 0 1 −2 0 0 0 0 0 2 0
2 1 0 1 0 1 = 2 + 1 ; 0 0 0 0 0 0
14
三、 思考题
1、求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组： 求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组：
α1 = (1,0, 3,1),α 2 = ( −1, 3,0, −1),α 3 = (2,1,7, 2), α 4 = (4, 2,14,0).
2、一个向量组的秩是否确定？其极大无关组是 一个向量组的秩是否确定？ 否唯一？ 否唯一？
13
推论9(结论要记住) 推论9(结论要记住) 9(结论要记住 设 C m × n = A m × s B s × n ，则 R ( C ) ≤ R ( A ), R ( C ) ≤ R ( B ). 证 设矩阵 C和A用其列向量表示为
C = (c1 ,L, c n ), A = (a1 ,L, a s ).
1 0 A= 1 0 0 2 2 1 1 1 2 5 0 2 1 3 1 1 3 3
引子: 线性相关组中含有线性无关的部分向量组. 一、等价向量组
定义（等价）： 定义（等价）：
如果向量组 α 1 , α 2 ,..., α t中的每个向量都可以由 向量组
β 1 , β 2 ,..., β s 线性表出，则称向量组 {α 1 , α 2 ,..., α t }可以由向量组 { β 1 , β 2 ,..., β s }线性表出。
0 2 2 1 1 1 2 5 0 2 1 3 1 1 3 3
～
1 0 0 0
5 1 1 0 9 = ( β1 , β 2 , β 3 , β 4 , β 5 ) 0 0 1 −2 0 0 0 0 0 2 0
2 1 0 1 0 1 = 2 + 1 ; 0 0 0 0 0 0
14
三、 思考题
1、求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组： 求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组：
α1 = (1,0, 3,1),α 2 = ( −1, 3,0, −1),α 3 = (2,1,7, 2), α 4 = (4, 2,14,0).
2、一个向量组的秩是否确定？其极大无关组是 一个向量组的秩是否确定？ 否唯一？ 否唯一？
13
推论9(结论要记住) 推论9(结论要记住) 9(结论要记住 设 C m × n = A m × s B s × n ，则 R ( C ) ≤ R ( A ), R ( C ) ≤ R ( B ). 证 设矩阵 C和A用其列向量表示为
C = (c1 ,L, c n ), A = (a1 ,L, a s ).
1 0 A= 1 0 0 2 2 1 1 1 2 5 0 2 1 3 1 1 3 3
线性代数课件-3.3向量组的秩
i , i ,, i 是向量组 1 , 2 ,, m 的一个极大线性无关组 i , i ,, i 满足：
1 2 r 1 2 r
（1） i1 , i2 ,, ir 是 1 , 2 ,, m 的部分组
（2）i1 , i2 ,, ir 线性无关
（3）任意r+1个向量构成的部分组线性相关，
1 , 2 ,, m 的两个极大无关组，则有
因为
i1 ,i 2 ,,ir ≌ j1 , j 2 ,, js i1 ,i 2 ,,ir ≌ 1 , 2 ,, m 1 , 2 ,, m ≌ j1 , j 2 ,, js
• 等价的性质：
（1）反身性：任一向量组与自身等价。
即
1 , 2 ,,பைடு நூலகம் m
≌ 1 , 2 ,, m
（2）对称性：若1 , 2 ,, m ≌ 1 , 2 ,, s
则
1 , 2 ,, s ≌ 1 , 2 ,, m
由于 3可由1， 2线性表示
1 , 2 , 3 线性相关。
定理3· 若向量组1 , 2 ,, m 可由向量组 8 1 , 2 ,, s 线性表示，且m>s, 则向量组 1 , 2 ,, m 线性相关。
证明： 因为1 , 2 ,, m可由 1 , 2 ,, s线性表示
故
1 , 2 ,, m ≌ i1 ,i 2 ,,ir
定理3· 向量组 1 , 2 ,, m 和它的极大无关组 7
i1 , i 2 ,, ir 等价。
推论：同一向量组的任意两个极大无关组等价。 即 若 i1 , i 2 ,, ir 和 j1 , j 2 ,, js 是向量组
二、等价 定义3· 9 设有两个向量组
线性代数-向量组的秩
0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 = B . 0 0 0 0 0 0 0 0
β1 β 2 β 3 β 4 β 5
由定理 4.2知, 向量组的秩为 r ( A) = r ( B ) = 3 ;
的个极大无关组5 的个极大无关组 且
【例2 】
α 1 α 的秩和一个极大无关组， 求向量组 A = 2 的秩和一个极大无关组， α 3 α 4 并将其它向量用此极大无关组线性表示。 并将其它向量用此极大无关组线性表示。
其中α 1 = [2,0,1,1], α 2 = [ − 1, − 1, − 1, − 1] ，
{PAGE}
4
合理么？ 【问】用三个不同的极大无关组来研究 A合理么？ 三者之间有什么关系？ 三者之间有什么关系？
{PAGE}
5
2、向量组的等价 、
【定义 2】 对两个给定的向量组
A : α1 , ⋯ , α r ; B : β 1 , ⋯ , β s .
中的向量线性表示, 若 A 中的每个向量都可由 B 中的向量线性表示, 线性表示. 则称 A 可由 B 线性表示. 若两个向量组能相互 线性表示, 则称它们等价 等价. 线性表示, 则称它们等价.
【证 明 】
x1 方程 x1α 1 + ⋯ + xnα n = 0 为齐次线性方程组 [α 1 , ⋯ , α n] ⋮ = 0 xn
又对矩阵 A = [α 1 , ⋯ , α n]进行行初等变换相当于对上述齐次 线性方程组的系数阵进行行初等变换, 线性方程组的系数阵进行行初等变换 而这是此方程组的 同解变换. 于是本命题成立. 同解变换 于是本命题成立
于是存在一组不全为 0 的常数 k , k1 , ⋯ , kr 使得
向量组的极大无关组与向量组的秩
一个向量。
若
k 11 2 2 r r
0 ( k 1 1 ) 1 ( k 2 2 ) 2 ( k r r ) r
因 a1,a2,,ar线性无关，
3
k1 k2 k3
1 0 1
所以
4 13
上一页 31 下一页
同理可求得
5123
□
一个向量由它所在的向量组中的极大无关组线性表示,其线性表达式是否唯 一呢?我们有下面的命题.
命题12.12 一个向量由它所在向量组中极大无关组线性表示,其表达式唯一.
证 设 a1,a2, ,ar是向量组T中的一个极大无关组, 是向量组T中任意
则必有
k 1 1 k 2 2 k r r 0
即
k 11 ,k 22 , ,k rr
所以，由 a1,a2, ,ar线性表示的表达式唯一.
am1x1 am2x2 amnn 0
上面的齐次线性方程组可写成 1 ,2 , ,n X 0 , ( 这 X x 1 , x 2 里 , x n ')
现设
1 , 2 , , n 经 过 初 1 ,等 2 , 行 , n变换
由命题12.1知
1 ,2 , ,n X 0 与 1 ,2 ,n X 0
同解.所以向量组 a 1 ,a 2 , ,a n 与 1 , 2 , , n的线性相关性相同.
□
由此我们知道,矩阵A的秩就是列向量组T中极大线性无关组所含向量的个数.
又会命题11.11显然下面的命题成立.
11234
00 0 0 0
由命题12.11知,向量组的秩等于3,且 1,2,3 就是一个极大无关组.下面球4 ,5
若
k 11 2 2 r r
0 ( k 1 1 ) 1 ( k 2 2 ) 2 ( k r r ) r
因 a1,a2,,ar线性无关，
3
k1 k2 k3
1 0 1
所以
4 13
上一页 31 下一页
同理可求得
5123
□
一个向量由它所在的向量组中的极大无关组线性表示,其线性表达式是否唯 一呢?我们有下面的命题.
命题12.12 一个向量由它所在向量组中极大无关组线性表示,其表达式唯一.
证 设 a1,a2, ,ar是向量组T中的一个极大无关组, 是向量组T中任意
则必有
k 1 1 k 2 2 k r r 0
即
k 11 ,k 22 , ,k rr
所以，由 a1,a2, ,ar线性表示的表达式唯一.
am1x1 am2x2 amnn 0
上面的齐次线性方程组可写成 1 ,2 , ,n X 0 , ( 这 X x 1 , x 2 里 , x n ')
现设
1 , 2 , , n 经 过 初 1 ,等 2 , 行 , n变换
由命题12.1知
1 ,2 , ,n X 0 与 1 ,2 ,n X 0
同解.所以向量组 a 1 ,a 2 , ,a n 与 1 , 2 , , n的线性相关性相同.
□
由此我们知道,矩阵A的秩就是列向量组T中极大线性无关组所含向量的个数.
又会命题11.11显然下面的命题成立.
11234
00 0 0 0
由命题12.11知,向量组的秩等于3,且 1,2,3 就是一个极大无关组.下面球4 ,5
3.3 向量组的极大线性无关组
(2) 极大线性无关组为 1 , 2 ; (3) 线性组合关系为 3 21 2 ,
4 (1)1 2 .
15
§3.3 向量组的极大线性无关组
例设
求 (1) 向量组的秩; (2) 向量组的极大线性无关组； (3) 将其余向量表示为极大线性无关组的线性组合。
解
T 1
T 2
T 3
T 4
1 1 2 3 1 2 3 4 行变换 2 3 5 7 2 4 6 8
(1) 向量组的秩为 3;
(2) 极大线性无关组为1 , 2 , 4 ;
(3) 组合关系
3 21 52 04 , 5 41 2 64 .
12
§3.3 向量组的极大线性无关组
三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系
1. 原理 2. 方法
(1) 无论所给的向量组是行向量还是列向量，都按照列向量 排列，并构成矩阵 A；
由于极大线性无关组是不惟一的，因此可以根据要求选择 不同的极大线性无关组，此时只需按要求对矩阵继续进行 行变换，比如：
17
§3.3 向量组的极大线性无关组
第一种选择
1 0 1 2
1 2 1 0
0 1 1 1 行变换 0 1 1 1
0 0
0 0
0 0
0 0
r1 (2)r2
0 0
0 0
0 0
0 0
极大线性无关组为 1, 4 ; 线性组合关系为 2 (2)1 4 ,
3 (1)1 4 .
18
§3.3 向量组的极大线性无关组
第二种选择
1 0 1 2
1 0 1 2
0 1 1 1 行变换 1 1 0 1
0 0
0 0
0 0
4 (1)1 2 .
15
§3.3 向量组的极大线性无关组
例设
求 (1) 向量组的秩; (2) 向量组的极大线性无关组； (3) 将其余向量表示为极大线性无关组的线性组合。
解
T 1
T 2
T 3
T 4
1 1 2 3 1 2 3 4 行变换 2 3 5 7 2 4 6 8
(1) 向量组的秩为 3;
(2) 极大线性无关组为1 , 2 , 4 ;
(3) 组合关系
3 21 52 04 , 5 41 2 64 .
12
§3.3 向量组的极大线性无关组
三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系
1. 原理 2. 方法
(1) 无论所给的向量组是行向量还是列向量，都按照列向量 排列，并构成矩阵 A；
由于极大线性无关组是不惟一的，因此可以根据要求选择 不同的极大线性无关组，此时只需按要求对矩阵继续进行 行变换，比如：
17
§3.3 向量组的极大线性无关组
第一种选择
1 0 1 2
1 2 1 0
0 1 1 1 行变换 0 1 1 1
0 0
0 0
0 0
0 0
r1 (2)r2
0 0
0 0
0 0
0 0
极大线性无关组为 1, 4 ; 线性组合关系为 2 (2)1 4 ,
3 (1)1 4 .
18
§3.3 向量组的极大线性无关组
第二种选择
1 0 1 2
1 0 1 2
0 1 1 1 行变换 1 1 0 1
0 0
0 0
0 0
求向量组的秩与极大无关组(修改整理)
求向量组的秩与最大无关组一、对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵【定理】矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.(三秩相等)①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A；②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩．【例1】求下列向量组a１=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)，a3 =(3, 4, 5, 6)的秩. 解1：以a１,a２,a３为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的列秩为2，所以向量组的秩为2．解2：以a１,a２,a３为行向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的行秩为2，所以向量组的秩为2．2、求向量组的最大线性无关组的方法方法1 逐个选录法给定一个非零向量组A：α1, α2,…, αn①设α1≠ 0，则α1线性相关，保留α1②加入α2，若α2与α1线性相关，去掉α2；若α2与α1线性无关，保留α1，α2；③依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组【例2】求向量组：()()()1231,2,12,3,14,1,1,,,T T Tααα=-=-=-的最大无关组 解：因为a 1非零，故保留a 1取a 2，因为a 1与a 2线性无关，故保留a 1，a 2 取a 3，易得a 3=2a 1+a 2，故a 1，a 2 ，a 3线性相关。
所以最大无关组为a 1，a 2 方法2 初等变换法【定理】 矩阵A 经初等行变换化为B ，则B 的列向量组与A 对应的列向量组有相同的线性相关性. 证明从略,下面通过例子验证结论成立.向量组：α1=(1,2,3)T, α2=(-1,2,0)T, α3=(1,6,6)T由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法： （1）列向量行变换①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A ； ②对矩阵A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵B ；③A 中的与B 的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组．【例3】求向量组 ：α1=(2,1,3,-1)T, α2=(3,-1,2,0)T, α3=(1,3,4,-2)T, α4=(4,-3,1,1)T的秩和一个最大无关组, 并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。
3.3 向量组的秩与极大线性无关组
2014年9月23日7时13分
11
解：令A=（a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5）
对其施行初等行变换变为行阶梯形矩阵
2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7 2 4 4 9
1 初等行变换 0 ~ 0 0 1 2 1 4 1 1 1 0 ， 0 0 1 3 0 0 0 0
A
初等行变换
~
即得
a 3 a1 a 2 a 5 4a1 3a 2 3a 4
2014年9月23日7时13分 13
例4: 证明：R( A, B) R( A) R( B)
证：设a1, a2, …,ar是矩阵A的列向量组的极大线性无 关组，β1, β2, …, βt是矩阵B的列向量组的极大线 性无关组 则 (A,B)的列向量组可由a1, a2, …,ar,β1, β2, …, βt
2014年9月23日7时13分 10
例3: 求向量组a 1 =(2,1, 4, 3)T , a 2 =(-1,1,-6,6)T , a 3 =
(-1,-2,2,-9) , a 4 =(1,1,-2,7) , a 5 =(2,4,4,9) 的秩
T T T
和一个极大线性无关组，并把不属极大线 性无关组的列向量用极大线性无关组线性 表示.
2014年9月23日7时13分
9
注： 求极大线性无关组和秩的方法： ⑴先将所给向量写成矩阵A的列向量
⑵再对矩阵A作初等行变换化为行阶梯形
则在行阶梯形中：
①非零行的行数即为向量组的秩
②在每个非零行取一个非零元素所在的列即构成向量组
的一个极大线性无关组（通常取第一个非零元所在的列） ⑶继续将矩阵作初等行变换化为行最简形，则利用行 最简形，可将其余向量由极大线性无关组线性表示
线性代数向量组的极大线性无关组和秩
线性表出，则称向量组A可由向量组B线性表出. 若向量组A和向量组B可相互线性表出，称向量 组A与向量组B等价。
即 i ki11 ki22 kit t , i 1, 2, , p 1 i li11 li22 lip p , i 1, 2, , t 2
若向量组 1,2, , p 可由 1, 2, , t 线性表出;
则称（II）是（I）旳一种极大线性无关组.
在条件（1）下，（2）等价于 （2’）任意r＋1个向量（假如有）都线性有关.
注：（1）只含零向量旳向量组没有极大无关组. （2）一种线性无关向量组旳极大无关组为其本身.
2 4 2
例：在向量组
1
1 3
,
2
2 5
,
3
1 4
中，
1
4
,
2
2
1
,
3
1 1
,
4
3 2
,56来自401
1
3
1
求向量组旳秩和一种极大无关组. 并用该极大 无关组线性表出向量组中旳其他向量.
解： 1 1 0 1 2 1 1 0 1 2
A
1
2
1
3
6
0
1 1 2 4
0 1 1 2 4 0 1 1 2 4
（逆否命题）
定理4.3.2 若线性无关向量组 1,2, , p可由向量组
1, 2, , t 线性表出，则 p t.
定理4.3.3 两个等价旳线性无关向量组，必包括相同 个数旳向量.
2.极大线性无关组
定义4.3.2 设 i1 ,i2 , ,ir (II ) 是 1,2, , p (I )
旳一种部分组. 假如 （1）（II）线性无关， （2）（I）中旳任意向量可由（II）线性表出，
即 i ki11 ki22 kit t , i 1, 2, , p 1 i li11 li22 lip p , i 1, 2, , t 2
若向量组 1,2, , p 可由 1, 2, , t 线性表出;
则称（II）是（I）旳一种极大线性无关组.
在条件（1）下，（2）等价于 （2’）任意r＋1个向量（假如有）都线性有关.
注：（1）只含零向量旳向量组没有极大无关组. （2）一种线性无关向量组旳极大无关组为其本身.
2 4 2
例：在向量组
1
1 3
,
2
2 5
,
3
1 4
中，
1
4
,
2
2
1
,
3
1 1
,
4
3 2
,56来自401
1
3
1
求向量组旳秩和一种极大无关组. 并用该极大 无关组线性表出向量组中旳其他向量.
解： 1 1 0 1 2 1 1 0 1 2
A
1
2
1
3
6
0
1 1 2 4
0 1 1 2 4 0 1 1 2 4
（逆否命题）
定理4.3.2 若线性无关向量组 1,2, , p可由向量组
1, 2, , t 线性表出，则 p t.
定理4.3.3 两个等价旳线性无关向量组，必包括相同 个数旳向量.
2.极大线性无关组
定义4.3.2 设 i1 ,i2 , ,ir (II ) 是 1,2, , p (I )
旳一种部分组. 假如 （1）（II）线性无关， （2）（I）中旳任意向量可由（II）线性表出，
线性代数 向量组的秩与极大线性无关组
向量组的秩向量组的秩向量组的秩⏹向量组的秩与极大线性无关组⏹向量组的等价向量组的秩⏹极大线性无关组与秩的定义⏹几个相关定理向量组的秩定义1如果向量组A :α1, α2, …, αm 中的部分向量组A 1：12,,,r i i i (1) 向量组A 1线性无关;(2) 向量组A 中任何一个向量可由A 1线性表出，满足条件: 极大线性无关组与秩的定义则称A 1为向量组A 的极大线性无关组,极大线性 .,,,21r R m 无关组所含向量的个数称为向量组的秩.记为:向量组的秩线性无关的向量组的极大线性无关组是其本身.由向量组秩的定义，向量组α1, α2, … ,αm线性无关⇔向量组α1,α2, … ,αm线性相关⇔R(α1, α2, …,αm)=m；R(α1,α2,…,αm) m注R(0, 0, …, 0)=0向量组的秩例1解由于α1,α2线性无关，α3= 2α1-α2,所以α1,α2是该向量组的一个极大线性无关组. 显然α1,α3与α2,α3也是这个向量组的极大线性无关组.求向量组α1=(1,-1,0),α2=(0,1,2),α3=(2,-3,-2)的极大线性无关组.向量组的秩从这个例子可以看出，那么，同一个向量组的不同的极大线性无关组所含向量的个数是否相同呢?一个线性相关的非零向量组，一定存在极大线性无关组，并且它的极大线性无关组不是唯一的.下面将回答这一问题.向量组的秩如果向量组α1,α2, …,αm中的每一个向量均可由向量组β1, β2, …, βr线性表出，并且m>r，定理1(多由少表示,则多必相关)那么向量组α1,α2, …,αm线性相关.几个相关定理向量组的秩证12(,,,) (1,2,,),i i i in a a a i m 12(,,,) (1,2,,)j j j jn b b b j r 由条件1122, 1,2,,i i i ir r k k k i m 以这两个向量组的向量为行向量(m +r ) ×n 矩阵C , 然后对矩阵C 作做初等行变换，得到设向量组的秩于是R (C )=R (C 1)，则R (A )≤R (C ) =R (C 1)≤r <m ，1212r m C121000r C ， 由定理3.2.3,向量组α1,α2, …,αm 线性相关. 证毕.向量组的秩,α2, …,αm中的每一个向量均可推论如果向量组α1, β2, …, βr线性表出，并且α1,α2, …,αm 由向量组β1线性无关，那么m≤r.(此推论为定理1的逆否命题)向量组的秩证12;,,, s i i i 12,,,rj j j 要证s=r.设向量组α1,α2, …,αm 的两个极大线性无关组分别为由于为极大线性无关组，12,,,s i i i 12,,,r j j j 可由其线性表出，所以线性无关，得r ≤s ；12,,,r j j j 同理可证,s ≤r. 由定理1的推论,又于是, s =r.一个向量组中任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等.定理2向量组的秩若一个向量组的秩为r, 那么这向量组中的r 个线性无关的向量与这向量组本身的关系如何呢?向量组的秩这个例子提供了求一个向量组的部分组为其极大线性无关组的方法.例2设向量组α1,α2, …,αm 的秩为r ，试证:α1,α2, …,αm 中任意r 个线性无关的向量均为该向量组的一个极大线性无关组.。
线性代数向量组的秩与最大无关组
返回
两向量组秩的关系：
若向量组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出，则 组(Ⅰ)的秩 r1≤ 组(Ⅱ)的秩 r2.
证设
为(Ⅰ) 的最大无关组，
为(Ⅱ) 的最大无关组. 组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出,所以
可由
线性表出, 又
线性无关，
故 r1≤ r2.
若组(Ⅰ)与组(Ⅱ)等价，则 组(Ⅰ)的秩 r1= 组(Ⅱ)的秩 r2.
4.3 向量组的秩与最大无关组
一、向量组的秩与最大无关组的概念 二、Rn 的基、维数与坐标
返回
一、向量组的秩与最大无关组的概念
例1 1 =(1,0,1), 2 =(1,-1,1), 3 =(2,0,2) 。 1, 2, 3 线性相关. 1, 2 线性无关； 2 ，3 线性无关，
最大无关组
定义 设向量组T满足
1o 在T中有r 个向量1, 2, …, r 线性无关；
2o T中任意r + 1个向量都线性相关；
则称1, 2, …, r 是向量组T的一个最大无关组，数
r 为向量组TБайду номын сангаас秩.
返回
定理1 若
则A的任意 k个(1≤k≤n)
个列向量与B的对应 k 个列向量有相同的线性相关性.
证 任取A的k个列向量所得
Ak X=0与 Bk X=0 同时有非零解或只有零解. Ak 的列向量与 Bk 的列向量有相同的线性相关性. 矩阵A的列秩：A的列向量组的秩；
又，
Rn = L(ε1, ε2, …, εn)
Rn 的标准基
返回
Rn, 1, 2, …, n为一组基， = x11+ x22+ …+ xnn
在基1, 2, …, n下的坐标 一个向量在确定基下的坐标是惟一的(坐标的惟一性). 例7 (1) 设 = (x1, x2, x3)≠ 0，
两向量组秩的关系：
若向量组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出，则 组(Ⅰ)的秩 r1≤ 组(Ⅱ)的秩 r2.
证设
为(Ⅰ) 的最大无关组，
为(Ⅱ) 的最大无关组. 组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出,所以
可由
线性表出, 又
线性无关，
故 r1≤ r2.
若组(Ⅰ)与组(Ⅱ)等价，则 组(Ⅰ)的秩 r1= 组(Ⅱ)的秩 r2.
4.3 向量组的秩与最大无关组
一、向量组的秩与最大无关组的概念 二、Rn 的基、维数与坐标
返回
一、向量组的秩与最大无关组的概念
例1 1 =(1,0,1), 2 =(1,-1,1), 3 =(2,0,2) 。 1, 2, 3 线性相关. 1, 2 线性无关； 2 ，3 线性无关，
最大无关组
定义 设向量组T满足
1o 在T中有r 个向量1, 2, …, r 线性无关；
2o T中任意r + 1个向量都线性相关；
则称1, 2, …, r 是向量组T的一个最大无关组，数
r 为向量组TБайду номын сангаас秩.
返回
定理1 若
则A的任意 k个(1≤k≤n)
个列向量与B的对应 k 个列向量有相同的线性相关性.
证 任取A的k个列向量所得
Ak X=0与 Bk X=0 同时有非零解或只有零解. Ak 的列向量与 Bk 的列向量有相同的线性相关性. 矩阵A的列秩：A的列向量组的秩；
又，
Rn = L(ε1, ε2, …, εn)
Rn 的标准基
返回
Rn, 1, 2, …, n为一组基， = x11+ x22+ …+ xnn
在基1, 2, …, n下的坐标 一个向量在确定基下的坐标是惟一的(坐标的惟一性). 例7 (1) 设 = (x1, x2, x3)≠ 0，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
同的线性相关性。
A 1 , 2 ,
初等行变换 , n B 1 , 2 ,
, n
AX 0 与 BX 0 同解
定理
矩阵A的秩等于A的行(列)向量组的秩。
矩阵的秩的定义：存在 K 阶子式不为 0，对任意 K+1 阶子式均为 0， 则 k 即为矩阵的秩。
km 0 时，k11 k2 2
km m 0 才
成立，或者说， k1 , k2 , , km 不全为零，那么 k11 k22 kmm 必不 为零.）
定理 向量组 1 , 2 , , m 线性相关
齐次线性方程组 1 , 2 ,
x1 x2 , m 0 有非零解 xm
线性无关组等价。
性质 如果多数向量能用少数向量线性表示出， 那么多数向量一定线性相关。
性质
1 , 2 , 如果向量组 A：
R(1 , 2 ,
, m 可由向量组 B： 1 , 2 ,
, n
线性表示，则向量组A的秩不超过向量组B的秩，即
, m ) R( 1 , 2 , , n )
例：设矩阵
2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7
2 4 4 9
求矩阵 A 的列向量组的一个极大线性无关组，并把不属于极
大线性组的列向量用极大无关组线性表示．
解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵． 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 r 1 1 2 1 4 0 1 1 1 0 ~ A 4 6 2 2 4 0 0 0 1 3 3 6 9 7 9 0 0 0 0 0 行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ． 第二步找B的一个3阶非零子式．可取行阶梯形矩阵中非零行 的第一个非零元所在的列 ，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、 二、四列． 2 1 1 1 1 1 r 1 1 1 0 1 1 A0 (a1 , a2 , a4 ) ~ B0 4 6 2 0 0 1 3 6 7 0 0 0
r 即为向量组的 , m ,用初等行变换求出矩阵 A 的秩 r，
秩. 当 r＜m 时， 1 , 2 , , m 线性相关； 当 r m 时， 1 , 2 , , m 线性无关.
部分的相关，则整体的相关；短的无关，则长的无关。
例3：已知 1 (1, 2, 1,1)T , 2 (2, 0, t , 0)T , 1 (0, 4, 5, 2)T 的秩为2，求t.
线性方程组 Ax = b 有解
令 A0 = (a1, a2, a4) 求解 A0x = a3 A0x = a5
思路2：利用矩阵 A 的行最简形矩阵．
为把 a3, a5 表示成a1, a2, a4 的线性组合，把矩阵 A
再变成行最简形矩阵 2 1 1 1 1 1 2 1 A a1 , a2 , a3 , a4 , a5 4 6 2 2 3 6 9 7
j 可由极大线性无关组 i ,..., i 线性表示为
1 r
j ki i ... ki i
1 1 r
r
向量组线性相关性的判定 1. 具体向量组 把 向 量 组 1 , 2 , , m 中 的 每 一 向 量 作 为 矩 阵 的 列 ， 构 成 矩 阵
A 1 , 2 ,
令向量组 C : 1 , 2 , , m , 1 , 2 , , m , 则 A0 是 C 的一个极大线性无关组，从而 C 的秩为 r. m
B0 是 C 的一个极大线性无关组，所以向量组 A0 与 B0 等价，从而 A
A等价 ，B等价。 B .
二、向量组的秩与矩阵秩的关系
定理 如果矩阵A经初等行变换成矩阵B，则 ① A的行向量组与B的行向量组等价； ② A中任意k个列向量与B中对应的k个列向量有相
A ~ A；
若 A ~ B ，则 B ~ A ； 若 A ~ B, B ~ C ，则 A ~ C ．
定义 对 n 维向量 1 , 2 , , m ，如果存在不全为零的数使得
k11 k2 2 km m 0
n维零向量
则称向量组 1 , 2 , , m 线性相关.否则，称向量组 1 , 2 , , m 线性 无关.（即：当且仅当 k1 k2
定义
如果在向量组A 中有 r 个向量 1 , 2 ,
, r 满足
① 向量组 A0 ：1 , 2 ,
, r 线性无关；
② 向量组 A 中任意一个向量均可由向量组A0线性表示 那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个极大线性无关组，
注：向量组与其极大线性无关组等价;向量组的不同极大
例
设向量组B能由向量组A线性表示，且它们的秩相等， 证明A，B等价。
A :,1 ,, , 是向量 , m 是向量 证 设向量组 A 的极大线性无关组， A0 : 1 , 证 设向量组 A 的极大线性无关组， 02 2m :,1 ,, , 是向量 , m 是向量 B0 : 1 B , B 的极大线性无关组， B 的极大线性无关组， 02 2m
向量组的秩的定义： 向量组的极大线性无关组所包含向量的个数， 称 为向量组的秩。
1．方阵 A 的行列式不为 0 的充要条件是 A 的行(列)向量线性无关 2. 无关向量组加分量仍无关（短无关，长无关）
先证矩阵的秩等于列向量组的秩，再由 R A R AT ，即可证 A 的秩也等于 A 的行向量组的秩。
非齐次线性方程组 1 , 2 ,
x1 x2 , m 有解 xm
定义：设有向量组 A：1 , 2 , m 及 B：1 , 2 , l ， 若向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示， 则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示． 若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称 这两个向量组等价．向量组等价关系具有下列性质： 反身性 对称性 传递性
x11 x2 2 xm m 0 成立.
（2） 1 , 2 , , m (m ≥2)线性相关 其中至少有一个向量能由其 余向量线性表示． （3） 部分相关，则整体相关；短的无关，则长的无关. （4） 1 , 2 , , m 线性无关， 1 , 2 , , m , 线性相关，则 可由
2 1 1 1 r 1 1 1 0 A0 (a1 , a2 , a4 ) ~ 4 6 2 0 3 6 7 0
1 1 0 0
1 1 B0 1 0
A0的 3 个列向量就是矩阵 A 的列向量组的一个极大无关组．
假设A中存在r+1个列向量线性无关, A有一个r+1阶子式不等于 零, 这就说明A中存在不为零的r+1阶子式,这与R(A)=r矛盾,故 假设错误,从而A中任意r+1个列向量线性相关.
总结：求向量组 1 , 2 , ① 以 1 , 2 , 向量组 1 , 2 ,
, m 极大线性无关组的方法： , m 为列向量构成矩阵A，对A中施
（1）n 个 n 维向量 1 , 2 , , n 线性相关 1 , 2 , , n 0 ； （2）当 m>n 时，m 个 n 维向量线性相关。
抽象向量组（一般用线性相关性的定义及性质判定.） （1） 1 , 2 , , m 线性相关 存在一组不全为零的数 x1 , x2 , , xm 使
2 1 1 1 1 1 2 1 A (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ) 4 6 2 2 3 6 9 7
2 4 4 9
思考：如何把 a3, a5 表示成a1, a2, a4 的线性组合？ 思路1：利用定理： 向量 b 能由 向量组 A 线性表示
, r 线性无关；
② 向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有r + 1个向量的 话）都线性相关； 那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个极大线性无关组，极 大线性无关组所含向量个数 r 称为向量组 A 的秩，记作 R(A)．
注：① 线性无关的向量组，它的极大线性无关组为其本身； ② 秩为 r 的向量组中任意 r 个线性无关的向量都是其极 大线性无关组； ③ 向量组的极大线性无关组不唯一，但秩唯一； ④ 只含有零向量的向量组规定其秩为零。
1 , 2 , , m 唯一线性表示。
（5）如果多数向量能用少数向量线性表示出，那么多数向量一 定线性相关。
§3
向量组的秩与极大线性无关组
一、极大线性无关组
定义 设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量 1 , 2 , 满足
,r
1 , 2 , ① 向量组 A0 ：
行初等行变换化为阶梯形矩阵B,求出矩阵A的秩r，即为
, m的秩. , m ) R( A) R( B)
R(1 , 2 ,
② 在B中找一个r阶非零子式，它所在的r列对应A 中r个列向量，即为向量组 1 , 2 , 无关组。
, m 的一个极大线性
若对 B 做初等行变换得到行最简形 C 1 ,..., n ，则 C 的 r 个非零行中第一个 非零元所在列向量 i1 ,..., ir 均为单位坐标向量，它们是向量组 1 ,..., n 的一个极 大无关组，易得 C 中其他列向量 j ki1 i1 ... kir ir ，从而
思想：A的极大线性无关组: 1 , 2 ,
, s 可由向量B线性表示
A的极大线性无关组可由B的极大线性无关组: 1 , 2 , 线性表示。
, s
性质
等价的向量组具有相同的秩。