经典高等数学课件D12-2数项级数及审敛法(1)

1 ; 同时收敛或同时发散有 取 l l 2 2
由比较审敛法知： un 与 vn
n 1 n 1

vn un
3l 2
v （ n N） n
(2) 当l = 0时,
由比较审敛法知：
若 v 收敛 ,
n n 1

(3) 当l = +∞时,
n n 1
当 n N时,
即 un vn
12
例4. 试判定级数
n 1

cos 3
n

2
n
的敛散性. 是正项级数吗？
cos

2
n n
解：
3

1 3
1 3
n
, 而级数
3
n 1

1
n
是几何级数，
公比
q
1,
所以级数
3
n 1

1
n
收敛，
由比较审敛法知：
级数
n 1

cos 3
n

2
n
是收敛的.
13
例5. 试判定级数
n
n
0 , 即 0 1， 则

n1

1 n!
收敛.
(2)
un1 un
n! (n 1) ! 10 n1 ， un n1 n 10 n! 10 10
lim n1 10 ，即 ， 级 数
n1
lim
un1 un
1 n
p
的 敛 散 性 ( p 0 ).

,由于
n1
发散, 则p 级数发散.
由图可知 设 p 1，
sn 1 1 2
p
y
y
1 x
p
( p 1)

1 3
p

1 n
p
1
1

n 1
dx x
1
p1
p
1
1
1 1 p
1 p1
o
1)
1
x
，

1 p
当 n N时,
n
从而 u
n1
un un 1 uN
因此 lim un uN 0 , 所以级数发散. 说明: 1.当 lim
n
un1 un
1 时,级数可能收敛也可能发散.
例如, p – 级数

lim
n
un 1 un
1
lim
n
( n 1) 1 n
v 发散
n n 1

8
例2. 证明级数
n1

1 n( n 1)
是发散的.
1
证明：
1 n(n 1)


n1
对一切正整数成立. n nn

11
而级数
n1

1 n1

发散，所 以 级 数
1 n(n 1)
发散.
n1
设


n1
u n 和 v n 均为正项级数， u kv ( n N , k 0) 且 n n
n 1
un
中各项均有 un 0， 1,2,) (n
这种级数称为正项级数.
特点：s1 s2 sn 所以,部分和数列{ sn }为单调增加数列. 2.正项级数收敛的充要条件: 定理1 正项级数收敛部分和所成的数列{ s } 有界. n 证: “ ”若 收敛 , 则 收敛，故有界.
n 1
1
1 p n
(
1 2
2
1 3
3
p
4
x
p
即 sn 有 界 , 则 p 级 数 收 敛 .
1 当p 1时, p 级数 p n 1 n 当p 1时,
收敛 发散
10
1 当p 1时, P 级数 p 时, n 1 n 当p 1

收敛 发散
uN m r

m 1
u N 1 ,

而级数 r
m 1

m 1
u N 1收 敛 ,


uN m
m 1
n N 1

u u收 敛 ,
所以级数
收敛.
19
(2) 当 1 或 时, 由lim
n
un1 un
知必存在 N N , uN 0,
+
n1
若强级数收敛则弱级数也收敛 若 vn收敛 un收敛； 若弱级数发散 则强级数也发散 若 un发散 v n发散.
n 1

n 1
n 1
n 1
9
例3.讨 论 p 级 数 1 解： p 1， 设
1 n
p
1 2 1 n
p

1 3
p


1 4
1 n
p

当 q 1时 ， 收 敛 ; 几 何 级 数 aq n0 当 q 1时 ， 发 散 .
n
调和级数1
1 2

1 3

1 n


n 1

1 n
是发散级数.
1 当p 1时, P 级数 p 时, n 1 n 当p 1

收敛 发散
1 n
p
2) 特别取 vn
lim n p un l n
, 对正项级数 u , 可得如下结论 :
n
0 l
p 1,0 l
u
n
发散
u
[定理6]
收敛
17
n
例6. 判别级数
1
n1

1 3 n
n
的敛散性 .
3 1
n
解:
3 n li m lim n lim n 1 n 3 n n n n 1 n 3
n
1 ,

n1

1 3
n
收敛 ,故原级数收敛.
3
例7. 判别级数 ln 1
n 1

1 n
2
的敛散性.
ln(1 1 n
2
解: lim
n
ln 1 1 n
2
1 n
2

1
)
～
1 n
2


n1

1 n
2
收敛，故原级数收敛.
18
5.定理4 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) 为正项级数, 且 lim n
n1
n1

1 如 sin ， lim n n n 1

sin 1 n
1 n
1 , 而
n 1

1 n
所以级数发散. 发散，
15
证: 据极限定义,
当 n N时,
lim
n
un vn
l
( l ) vn un ( l ) vn
(n N )

(1) 当0 < l <+∞时,
3 2 ＞1
由此知:级数
级数

n1

1 n
1 n
3
收敛 , 因为 p
发散 , 因为 p 1 2


1 n
2
收敛吗？
n1

n1

＜1
推论：若存在 N N + , 对一切 n N , ( un 0),
发散； 收敛.
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使用比较审敛法： 须找参考级数. （经验：猜敛，找敛; 猜散，找散） 重要参考级数： 几何级数,P-级数,调和级数.
un与 v n
n1

都是正项级数 ,如果 lim n

un vn
l,
则 (1)当0 l 时,
n1
un与 v n
n1

有相同的敛散性；

则 (2)当l 0时, 若 v n 收 敛 ， u n 收 敛 ；
n1

n1

则 若 (3)当l 时, v n 发 散 ， u n 发 散 .n 1ຫໍສະໝຸດ 1 n(n 1)
2
的敛散性.
1
3
解：
1 n(n
2
＜ 1)
1
3
1 nn
2
,
n
2
而级数
n 1

是P-级数，p
1
3

3 2
1,
n

2
所以级数
n 1

收敛，
n2
1 n(n 1)
2
所以级数
n 1
是收敛的.
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4.比较审敛法的极限形式:
设 定理3：
n1
复习
★级数的基本概念 un u1 u2 u3 un
n 1

un1
n2
级数收敛(发散) lim sn 存在(不存在)
n
★几个重要级数的敛散情况
1.等比级数
n0
a 项 首 当 q 1时 ， 收 敛 ; 收 敛 于 . n aq 1q 比 公
n1
v n 发散.
n1

若 证明(1)： v n 收 敛 ,
n1

设


vn ,
un v n ,
n1
且 s n u1 u 2 u n v 1 v 2 v n ,