九年级数学下册 第二章.2.3 y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k的图象与性质同步练习

课时作业(十一)[第二章 2 第3课时二次函数y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k的图象与性质]一、选择题1．2018·临安区抛物线y＝3(x－1)2＋1的顶点坐标是( )A．(1，1) B．(－1，1)C．(－1，－1) D．(1，－1)2．如图K－11－1，在平面直角坐标系中，抛物线的函数表达式为y＝－2(x－h)2＋k，则下列结论正确的是( )图K－11－1A．h>0，k>0B．h<0，k>0C．h<0，k<0D．h>0，k<03．2018·虹口区一模如果将抛物线y＝－x2－2向右平移3个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是链接听课例3归纳总结( )A．y＝－x2－5 B．y＝－x2＋1C．y＝－(x－3)2－2 D．y＝－(x＋3)2－24．2018·徐汇区一模对于二次函数y＝－(x＋2)2＋3，下列结论中正确的个数为( ) 链接听课例2归纳总结①其图象开口向下；②其图象的对称轴是直线x＝－2；③其图象不经过第一象限；④当x＞2时，y随x的增大而减小．A．4 B．3 C．2 D．15．2018·枣庄如图K－11－2是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，且过点A(3，0)，二次函数图象的对称轴是直线x＝1，则下列结论正确的是( )图K－11－2A．b2＜4ac B．ac＞0C ．2a －b ＝0D ．a －b ＋c ＝06．下列抛物线中，以直线x ＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( ) A ．y ＝(x －2)2＋1 B ．y ＝(x ＋2)2＋1 C ．y ＝(x －2)2－3 D ．y ＝(x ＋2)2－37．2017·宜宾如图K －11－3，抛物线y 1＝12(x ＋1)2＋1与y 2＝a(x －4)2－3交于点A(1，3)，过点A 作x 轴的平行线，与两条抛物线分别交于B ，C 两点，且D ，E 分别为顶点．则下列结论：①a ＝23；②AC ＝AE ；③△ABD 是等腰直角三角形；④当x ＞1时，y 1＞y 2.其中正确结论的个数是( )图K －11－3A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题8．已知二次函数y ＝(x －2)2＋3，当x________时，y 随x 的增大而减小．9．如果二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象的对称轴为直线x ＝－1，那么h ＝________；如果它的顶点坐标为(－1，－3)，那么k ＝________．10．2018·江西模拟把抛物线y ＝3x 2先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得抛物线的表达式是________.链接听课例3归纳总结11．如图K －11－4是二次函数y ＝a(x ＋1)2＋2的图象的一部分，该图象在y 轴右侧与x 轴的交点坐标是________．图K －11－412．二次函数y ＝a(x ＋m)2＋n 的图象的顶点在第四象限，则一次函数y ＝mx ＋n 的图象经过第________象限．13．如图K －11－5，将函数y ＝12(x －2)2＋1的图象沿y 轴向上平移得到一个新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B ′.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是________．图K －11－5三、解答题14．二次函数y ＝a(x －3)2＋4的图象是由二次函数y ＝－12x 2的图象经过平移得到的．(1)请指出a 的值，并说明平移的方法；(2)说出二次函数y ＝a(x －3)2＋4的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．链接听课例3归纳总结15．已知抛物线y ＝a(x ＋2)2过点(1，－3)． (1)求抛物线的函数表达式；(2)指出抛物线的对称轴、顶点坐标； (3)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？16．如图K －11－6，已知二次函数y ＝a(x －h)2＋3的图象经过原点O(0，0)，A(2，0)．(1)写出该函数图象的对称轴；(2)若将线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是不是该函数图象的顶点．图K－11－617．2017·金华甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图K－11－7，甲在O点正上方1 m的点P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y＝a(x－4)2＋h.已知点O与球网的水平距离为5 m，球网的高度为1.55 m.(1)当a＝－124时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7 m，离地面的高度为125m的点Q处，在此处乙扣球成功，求a的值．图K－11－7分类讨论已知二次函数y＝－(x－1)2＋5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，求m＋n的值．详解详析【课时作业】 [课堂达标]1．[解析] A ∵y ＝3(x －1)2＋1是顶点式，∴抛物线的顶点坐标是(1，1)．故选A. 2．[解析] A 根据题意可得抛物线的顶点坐标为(h ，k )，而从图象中可看出顶点在第一象限，根据第一象限内点的坐标特征，可得h >0，k >0.故选A.3．[解析] C y ＝－x 2－2的顶点坐标为(0，－2)，∵向右平移3个单位长度，∴平移后的抛物线的顶点坐标为(3，－2)，∴所得到的新抛物线的表达式是y ＝－(x －3)2－2.故选C.4．[解析] A ∵y ＝－(x ＋2)2＋3，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x ＝－2，顶点坐标为(－2，3)，故①②都正确；在y ＝－(x ＋2)2＋3中，令y ＝0可求得x ＝－2＋3＜0，或x ＝－2－3＜0，∴抛物线不经过第一象限，故③正确；∵抛物线开口向下，对称轴为x ＝－2，∴当x ＞－2时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，故④正确．综上可知正确的结论有4个，故选A.5．[解析] D ∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴b 2－4ac ＞0，即b 2＞4ac ，∴A 选项错误； ∵抛物线开口向上，∴a ＞0.∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0， ∴ac ＜0，∴B 选项错误；∵二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，∴－b2a＝1，∴2a ＋b ＝0，∴C 选项错误；∵抛物线过点A (3，0)，二次函数图象的对称轴是直线x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(－1，0)， ∴a －b ＋c ＝0，∴D 选项正确．故选D. 6．[答案] C7．[解析] B 把点A 的坐标代入y 2，求出a 的值，即可得到函数的表达式；令y ＝3，求出B ，C 两点的横坐标，然后求出BD ，AD 的长，利用勾股定理的逆定理以及结合二次函数图象分析得出答案．∵抛物线y 1＝12(x ＋1)2＋1与y 2＝a (x －4)2－3交于点A (1，3)，∴3＝a (1－4)2－3，解得a ＝23，故①正确；∵E 是抛物线y 2的顶点，∴E (4，－3)． 当y 2＝3时，即23(x －4)2－3＝3，解得x 1＝1，x 2＝7.故C (7，3)．则AC ＝6，AE ＝（3＋3）2＋（1－4）2＝3 5， ∴AC ≠AE .故②错误；当y 1＝3时，即3＝12(x ＋1)2＋1，解得x 1＝1，x 2＝－3，故B (－3，3)，D (－1，1)，则AB ＝4，AD ＝BD ＝22，∴AD 2＋BD 2＝AB 2，∴△ABD 是等腰直角三角形，故③正确；令12(x ＋1)2＋1＝23(x －4)2－3， 解得x 1＝1，x 2＝37，∴当1<x <37时，y 1＞y 2，故④错误．故选B. 8．[答案] ＜2[解析] 对于二次函数y ＝(x －2)2＋3，其中二次项系数a ＝1＞0，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，即当x ＜2时满足要求．9．[答案] －1 －310．[答案] y ＝3(x －3)2＋2[解析] 把y ＝3x 2先向上平移2个单位长度，得到y ＝3x 2＋2，再向右平移3个单位长度，得到y ＝3(x －3)2＋2.故所得抛物线的表达式为y ＝3(x －3)2＋2.11．[答案] (1，0) 12．[答案] 二、三、四[解析] 二次函数y ＝a (x ＋m )2＋n 的图象的顶点坐标为(－m ，n )，因为该点在第四象限，所以－m >0，n <0，即m <0，n <0，所以一次函数y ＝mx ＋n 的图象经过第二、三、四象限．故填二、三、四．13．[答案] y ＝12(x －2)2＋4[解析] 连接AB ，A ′B ′，则S 阴影＝S 四边形ABB ′A ′.由平移可知，AA ′＝BB ′，AA ′∥BB ′，所以四边形ABB ′A ′是平行四边形．分别延长A ′A ，B ′B 交x 轴于点M ，N .因为A (1，m )，B (4，n )，所以MN ＝4－1＝3.因为S ▱ABB ′A ′＝AA ′·MN ，所以9＝3AA ′，解得AA ′＝3，即原抛物线沿y 轴向上平移了3个单位长度，所以新图象的函数表达式为y ＝12(x －2)2＋4.14．解：(1)a ＝－12，将二次函数y ＝－12x 2的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到二次函数y ＝－12(x －3)2＋4的图象(平移方法不唯一)．(2)开口向下，对称轴为直线x ＝3，顶点坐标为(3，4)． 15．解：(1)∵抛物线经过点(1，－3)， ∴－3＝9a ，a ＝－13，∴抛物线的函数表达式为y ＝－13(x ＋2)2.(2)对称轴是直线x ＝－2，顶点坐标为(－2，0)． (3)∵a ＝－13<0，∴当x <－2时，y 随x 的增大而增大．16．解：(1)∵二次函数y ＝a (x －h )2＋3的图象经过原点O (0，0)，A (2，0)，∴该函数图象的对称轴是直线x ＝0＋22＝1.(2)点A ′是该函数图象的顶点．理由如下： 如图，作A ′B ⊥x 轴于点B .∵线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA ′， ∴OA ′＝OA ＝2， ∠A ′OA ＝60°，∴在Rt △A ′OB 中，∠OA ′B ＝30°， ∴OB ＝12OA ′＝1，A ′B ＝3OB ＝3，∴点A ′的坐标为(1，3)，由(1)知函数的表达式为y ＝a (x －1)2＋3， ∴点A ′为该函数图象的顶点．17．[解析] (1)①把(0，1)，a ＝－124代入y ＝a (x －4)2＋h 即可求得h 的值；②把x ＝5代入y ＝a (x －4)2＋h 可求得网球的高度，与1.55 m 比较大小，做出正确的判断．(2)由题意，把点(0，1)，(7，125)代入y ＝a (x －4)2＋h 即可求得a 的值．解：(1)①把(0，1)，a ＝－124代入y ＝a (x －4)2＋h ，得1＝－124×16＋h ，解得h ＝53. ②把x ＝5代入y ＝－124(x －4)2＋53，得y ＝－124×(5－4)2＋53＝1.625.∵1.625>1.55，∴此球能过网．(2)把点(0，1)，(7，125)代入y ＝a (x －4)2＋h ，得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋h ＝1，9a ＋h ＝125，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，h ＝215.∴a 的值为－15.[素养提升]解：二次函数y ＝－(x －1)2＋5的大致图象如图． ①若m ＜0＜n ＜1， ∵m ≤x ≤n ，∴当x ＝m 时y 取得最小值，即2m ＝－(m －1)2＋5， 解得m ＝－2或m ＝2(不合题意，舍去)；当x ＝n 时y 取得最大值，即2n ＝－(n －1)2＋5，解得n ＝2或n ＝－2(均不合题意，舍去)．②若m ＜0＜1≤n ， ∵m ≤x ≤n ，∴当x ＝1时y 取得最大值，即2n ＝－(1－1)2＋5，解得n ＝52.此时，若函数在x ＝m 时取得最小值，则由①可知m ＝－2；若函数在x ＝n 时取得最小值，则2m ＝－(n －1)2＋5，由n ＝52解得m ＝118(不合题意，舍去)．综上，m ＋n ＝－2＋52＝12.。