20.2平行四边形的判定(沪科版)
19.2平行四边形的判定教学设计(沪科版)
1、∵AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
2、∵AB＝CD，AD＝BC
∴四边形ABCD是平行四边形
3、∵
∴四边形ABCD是平行四边形
4、∵AO＝CO，BO＝DO
∴四边形ABCD是平行四边形
三、例题讲解
1、简单应用
2、看谁最快
3、例题讲解
4、大显身手
活动四：
比一比
你能从四边形的边、角、对角线的位置关系和数量关系出发，看谁又快又准地说出平行四边形一共有哪几种判定的方法吗？
由几位学生分别回答，再填写到相应的表格中，教师引导学生根据图形写出规范的符号语言．
学生通过回忆并类比几种判定方法，对判定方法再一次加深了印象，并且可以把符号语言和文字语言结合起来记忆，为后面证明打下基础．
通过平移线段自然引 出本节课定理1
活动二：
试一试
同学们手中有两根牙签和两根棉签，你能在平面内将它们首尾顺次相接， 组成一个平行四边形吗？
教师课前让学生 准备好学具，指导学生拼接平行四边形，并提出问题．学生动手操作，将两根牙签和两根棉签分别作为对边组成平行四边形，教师根据学生设计的图形，和学生一起得出相应的命题．
由前面的学习可知：平行四边形的对边相等，反过来，我们证明了两组对边分别相等的四边形是平行四边形．我们还知道平行四边形的对角相等、对角线互相平分，那么反过来，对角相等、对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢？
由学生猜想提出命题，然后画出图形，写出已知和求证，再尝试证明命题，最后归纳结论．
学生通过比较平行四边形的性质和判定一，不难发现，它们的条件与结论的关系，于是自然地猜想出新的判定方法，再加以证明．学生自己得出的猜想和证明会更加让他们乐于接受，而方法也在此过程中渗透给学生．
19.2平行四边形的判定(1)课件(沪科版)
从边来判定
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
从对角
两条对角线互相平分的四边形是
线来判定 平行四边形
判
文字语言
定
定 两组对边分别平行的四 义 边形是平行四边形
定 一组对边平行且相等的 理 四边形是平等四边形 １
的两点，并且AE=CF。
大 显
求证：四边形BFDE是平行四边形
身
证明： 四边形ABCD是平行四边形
AD ∥ BC且AD =BC
手
D
EAD=FCB
C
在AED和CFB中 AE=CF
F
EAD=FCB
E
AD=BC
AED ≌ CFB(SAS)
A
B
DE=BF
同理可证：BE=DF
四种判定方法：
定理1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
课堂作业
第85面 习题19.2
第9、10题.
课外作业
1、第82面 练习 第1、2题 ；
说明：第1题可得出结论：两组对角分别相等的四边形是平 行四边形.
Ａ
Ｂ
1、请你识别下列四边形哪些是平行四边形?为什么？
A
D
O
B
C
⑴
7.6㎝
A
4.8㎝
5㎝
A
B
120°
⑵
C
60° 5㎝
D
D
4.8㎝
B
7.6㎝
C
2022年数学沪科版八年级下《平行四边形的判定》教案
第3课时平行四边形的判定1．掌握平行四边形的判定定理，能根据已知条件选择合适的判定定理判定一个四边形是平行四边形；(重点)2．能够灵活运用平行四边形的性质定理和判定定理进行简单的推理证明．(难点)一、情境导入我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就是一个中心对称图形，具有如下的一些性质：1．两组对边分别平行且相等；2．两组对角分别相等；3．两条对角线互相平分．那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形的原始定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定．那么是否存在其他的判定方法？二、合作探究探究点一：平行四边形的判定【类型一】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF ∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．解析：首先根据条件证明△AFD≌△CEB，可得到AD＝CB，∠DAF ＝∠BCE，可证出AD∥CB，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证出结论．解：四边形ABCD是平行四边形．理由如下：∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB.又∵AF＝CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)，∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．方法总结：此题主要考查了平行四边形的判定，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据条件证出△AFD≌△CEB.【类型二】两组对边分别相等的四边形是平行四边形如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF.试探究四边形DAEF是平行四边形．解析：根据题中的已知条件可推出两组对边分别相等，从而可判断四边形DAEF为平行四边形．解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF ＝BC，∴△ABC≌△DBF，∴AC＝DF.又∵△ACE是等边三角形，∴AC＝AE，∴AC ＝DF＝AE.同理可证△ABC≌△EFC，∴AB ＝EF＝AD，∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．方法总结：利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，证明边相等，可通过三角形全等和等量代换解决．【类型三】 对角线互相平分的四边形是平行四边形已知，如图，AB 、CD 相交于点O ，AC ∥DB ，AO ＝BO ，E 、F 分别是OC 、OD 中点．求证：(1)△AOC ≌△BOD ；(2)四边形AFBE 是平行四边形．解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC ≌△BOD ；(2)此题已知AO ＝BO ，要证四边形AFBE 是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE ＝OF 就可以了．证明：(1)∵AC ∥BD ，∴∠C ＝∠D .在△AOC 和△BOD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠D ，∠COA ＝∠DOB ，AO ＝BO ，∴△AOC ≌△BOD (AAS )；(2)∵△AOC ≌△BOD ，∴CO ＝DO .∵E 、F 分别是OC 、OD 的中点，∴OF ＝12OD ，OE ＝12OC ，∴EO ＝FO .又∵AO ＝BO .∴四边形AFBE 是平行四边形．方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第7题探究点二：平行四边形判定与性质的综合应用如图所示，在▱ABCD 中，AF ＝CH ，DE ＝BG .求证：EG 和HF 互相平分．解析：由EG 和HF 是四边形EFGH 的对角线，可将证明EG 和HF 互相平分转化成证明四边形EFGH 是平行四边形． 证法1：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，∠A ＝∠C (平行四边形的对边相等，对角相等)．∵DE ＝BG ，而AE ＝AD －ED ，CG ＝CB －GB ，∴AE ＝CG .∵AF ＝CH ，∴△AEF ≌△CGH ，∴EF ＝HG .同理FG ＝HE .∴四边形EFGH 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．∴EG 和HF 互相平分(平行四边形的对角线互相平分)．证法2：∵DE ＝BG ，∴DE 平行且等于BG ，即四边形DEBG 是平行四边形，∴OB ＝OD ，OE ＝OG .又∵AF ＝CH ，∴FB ＝HD ，∴FB 平行且等于HD .∴四边形FBHD 是平行四边形，对角线BD 与FH 互相平分．∵BD 的中点O 只有一个，∴BD 与FH 也交于O 点．∴OB ＝OD ，OF ＝OH ，∴EG 与HF 互相平分．方法总结：本题综合利用了平行四边形的判定与性质，证明的关键在于根据图形发现平行四边形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计本节课是对前面所学的全等三角形和平行四边形的定义、性质的一个回顾和延伸，又是以后学习特殊平行四边形的基础，在教学内容上起着承上启下的作用．教学过程中通过操作、交流、论证，使学生逐步掌握说理的基本方法，能合理清晰地表达自己的思维过程．让学生主动参与探索的过程，发展学生的合情合理意思，激发学生学习数学的热情和兴趣.第2课时二次根式的混合运算1．了解二次根式的混合运算顺序；2．会进行二次根式的混合运算．(重点、难点)一、情境导入如果梯形的上、下底边长分别为22cm，43cm，高为6cm，那么它的面积是多少？毛毛是这样算的：梯形的面积：12(22＋43)×6＝(2＋23)×6＝2×6＋23×6＝2×6＋218＝23＋62(cm2)．他的做法正确的吗？二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算【类型一】二次根式的混合运算计算：(1)48÷3－12×12＋24；(2)12÷43×23－50.解析：(1)先算乘除，再算加减；(2)先计算第一部分，把除法转化为乘法，再化简．解：(1)原式＝16－6＋24＝4－6＋26＝4＋6；(2) 原式＝12×34×233－52＝38×233－52＝64×233－52＝22－52＝ －922. 方法总结：二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的． 【类型二】 运用乘法公式进行二次根式的混合运算计算：(1)(5＋3)(5－3)；(2)(32－23)2－(32＋23)2. 解析：(1)用平方差公式计算；(2)逆用平方差公式计算．解：(1)(5＋3)(5－3)＝(5)2－(3)2＝5－3＝2；(2)(32－23)2－(32＋23)2＝(32－23＋32＋23)(32－23－32－23)＝－24 6.方法总结：多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用，计算时应先观察式子的特点，能用乘法公式的用乘法公式计算．【类型三】 二次根式的化简求值先化简，再求值：x ＋xy xy ＋y ＋xy －yx －xy(x >0，y >0)，其中x ＝3＋1，y ＝3－1.解析：首先根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，然后再代值计算．解：原式＝x （x ＋y ）y （x ＋y ）＋y （x －y ）x （x －y ）＝x y ＋y x ＝x ＋yxy.∵x ＝3＋1，y ＝3－1，∴x ＋y ＝23，xy ＝3－1＝2，∴原式＝232＝ 6.方法总结：在解答此类代值计算题时，通常要先化简再代值，如果不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致烦琐的运算．化简求值时注意整体思想的运用．【类型四】 二次根式混合运算的应用 一个三角形的底为63＋22，这条边上的高为33－2，求这个三角形的面积．解析：根据三角形的面积公式进行计算．解：这个三角形的面积为12(63＋22)(33－2)＝12×2×(33＋2)(33－2)＝(33)2－(2)2＝27－2＝25.方法总结：根据题意列出关系式，计算时注意观察式子的特点，选取合适的方法求解，能应用公式的尽量用公式计算．探究点二：二次根式的分母有理化【类型一】 分母有理化计算： (1)215＋122；(2)3－23＋2＋3＋23－2. 解析：(1)把分子、分母同乘以2，再约分计算；(2)把3－23＋2的分子、分母同乘以3－2，把3＋23－2的分子、分母同乘以3＋2，再运用公式计算．解：(1)215＋122＝（215＋12）×22×2＝230＋262＝30＋6；(2)3－23＋2＋3＋23－2＝（3－2）2（3＋2）（3－2）＋（3＋2）2（3－2）（3＋2）＝5－263－2＋5＋263－2＝5－26＋5＋26＝10.方法总结：把分母中的根号化去就是分母有理化，分母有理化时，分子、分母应同乘以一个适当的式子，如果分母只有一个二次根式，则乘以这个二次根式，使得分母能写成a·a的形式；如果分母有两项，分子、分母乘以一个二项式，使得能运用平方差公式计算．如分母是a＋b，则分子、分母同乘以a－b.【类型二】分母有理化的逆用比较15－14与14－13的大小解析：把15－14的分母看作“1”，分子、分母同乘以15＋14；把14－13的分母看作“1”，分子、分母同乘以14＋13，再根据“分子相同的两个正分数比较大小，分母大的反而小”，得到它们的大小关系．解：15－14＝（15－14）（15＋14）15＋14＝115＋14，14－13＝（14－13）（14＋13）14＋13＝114＋13.∵15＋14＞14＋13＞0，∴115＋14＜114＋13即15－14＜14－13.方法总结：把分母为“1”的式子化为分子为“1”的式子，根据分母大的反而小可以比较两个数的大小．三、板书设计二次根式的混合运算可类比整式的运算进行，注意运算顺序，最后的结果应化简．引导学生勇于尝试，加强训练，从解题过程中发现问题，解决问题．本节课的易错点是运算错误，要求学生认真细心，养成良好的习惯。
上海沪科版初中数学八年级下册19.2 第3课时 平行四边形的判定
重难点：
能用平行四边形的判定方法解决简单的问题。
学习过程
一、复习
1、
称为平行四边形。
2、平行四边形边的性质：（1）两组对边分别
.（从位置考虑）.
（2）两组对边分别
（从数量考虑）.
二、探究新知
1、结合图形 1 用定义可以说明四边形 ABCD 是平行四边形，
如图在四边形 ABCD 中
AB//
，
//AD
四边形 ABCD 是平行四边形
由此平行四边形的定义也可以作为一个判定：
平行四边形的判定一（定义法----两组对边的位置法）：
2、请同学们思考：两组对边分别相等的四边形是平行四边形马？动动手。 用两根一样长的木条作为一组对边（AB=CD)，再用两根一样长的木条作为另一组对边 (AD=BC)拼一个四边形(如图）。这个四边形是平行四边形吗？自己验证。 证明：（用定义“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”加以证明）
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19.2 平行四边形 第 3 课时 平行四边形的判定
学习目标：
1、学习平行四边形的判定方法；
2、能结合图形用几何语言说出平行四边形的判定过程。
已知：如图，把 ABC 的中线 AD 延长至点 E，使得
DE=AD，连结 EB、EC。 求证：四边形 ABEC 是平行四边形。
五、课后反思
TB:小初高题库
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相信自己，就能走向成功的第一步 教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维
可以让他们更理性地看待人生
沪科版数学八年级下册课件：19.2.2平行四边形的判定(2)(共18张PPT)
A
C
E
A E
H
已知：如图，在四边形ABCD中， E、F、G、H分别是AB、BC、 CD、DA的中点. D 求证：四边形EFGH是平行四边形.
G
证明：连结AC ∵ AE=EB、CF=FB,
(三角形中位线定理) ∴EF∥AC，EF=
1 AC 2 1 AC 2
B
F
C
同理： HG∥AC，HG= ∴EF ∥HG，且EF=HG
例7
已知：在△ABC 中，D、E分别是△ABC 的
1 求证：DE ∥ BC，且DE= BC 。 2
A
边AB、AC的中点。
D
E
B
C
证明：过点D作DE′∥BC交AC于点E′. 由例6知，点E′与点E重合.
A E (E′)
∴DE// BC.
同理，过点D作DF∥AC交BC 于点F, 则点F为BC的中点. ∴四边形DFCE是平行四边形, B
例6
已知，直线L1、L2、L3互相平行，直线AC和 直线A1C1分别交直线L1、L2、L3于点A、B、C 和点A1、B1、C1，且AB=BC。 求证:A1B1=B1C1.
L1 L2 L3 C F A A1 B1 C1
E
提示： 过点B1作AC的平行 线构造平行四边形。
B
证明： 过点B1作EF∥AC,分别交直线L1、L3于点E、F. ∴四边形ABB1E和四边形BCFB1都是平行四边形。 ∴AB=EB1,BC=B1F ∵AB=BC A1 E A ∴EB1=B1F L1 ∵∠A1EB1=∠B1FC1, B1 B ∠A1B1E=∠FB1C1 L2 ∴△A1B1E≌△C1B1F C1 C ∴A1B1=B1C1 L3 F 由此可得：
若MN =12 ,则BC = 24 A M B
沪科版八年级平行四边形的判定.2平行四边形的判定教学设计
19.２平行四边形的判定教学设计教学目标：知识与技能１、探索平行四边形的判定条件：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
２、掌握应用上面判定方法对一些平行四边形的判定进行说明。
过程与方法１、通过操作、观察、猜想、论证、推理等活动，培养学生逻辑推理的能力，培养学生发散思维的能力。
２、经历对平行四边形判定方法的探究，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。
情感、态度与价值观学生通过观察、实验、类比获得数学的猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的准确性，培养学生克服困难的意志，通过解题激发学生的学习兴趣。
重点、难点重点：探索并掌握平行四边形的判定条件：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
难点：经历对平行四边形判定方法的探索过程，培养学生合理的推理意识、主动探索的习惯，逐步掌握说理的基本方法。
教学准备多媒体课件、三角尺教学方法通过动手操作、猜想结论、论证结论、探索判定平行四边形的条件，让学生自主地接受知识，激发学生学习兴趣，更有利于学生灵活运用所学知识解决实际问题。
教学过程一、复习提问，衔接新知师问：１、什么是平行四边形？两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
２、平行四边形有哪些性质？性质1 ：平行四边形的对边相等。
性质2 ：平行四边形的对角相等。
性质3 ：平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形的定义有两层意思：(1) 若一个四边形是平行四边形，则它的两组对边就分别平行；(2)若一个四边形的两组对边分别平行，则它是平行四边形。
二、操作实验，探究新知B′A B将线段AB按图上所给方向和距离平移，得到线段A′B′。
因此，线段A′B′与线段AB 即平行又相等。
连接AA′，BB′得到四边形ABB′A′。
这样这个四边形的一组对边平行且相等。
沪科版八年级平行四边形的判定.2平行四边形的判定教学设计
19.２平行四边形的判断教课方案教课目的：知识与技术１、研究平行四边形的判断条件：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形：对角线相互均分的四边形是平行四边形。
２、掌握应用上边判断方法对一些平行四边形的判断进行说明。
过程与方法１、经过操作、察看、猜想、论证、推理等活动，培育学生逻辑推理的能力，培育学生发散思想的能力。
２、经历对平行四边形判断方法的研究，进一步提升学生剖析问题、解决问题的能力。
感情、态度与价值观学生经过察看、实验、类比获取数学的猜想，体验数学活动充满着研究性和创建性，感觉证明的必需性、证明过程的谨慎性以及结论的正确性，培育学生战胜困难的意志，经过解题激发学生的学习兴趣。
要点、难点要点：研究并掌握平行四边形的判断条件：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形：对角线相互均分的四边形是平行四边形。
难点：经历对平行四边形判断方法的研究过程，培育学生合理的推理意识、主动研究的习惯，逐渐掌握说理的基本方法。
教课准备多媒体课件、三角尺教课方法经过着手操作、猜想结论、论证结论、研究判断平行四边形的条件，让学生自主地接受知识，激发学生学习兴趣，更有益于学生灵巧运用所学知识解决实质问题。
教课过程一、复习发问，连接新知师问：１、什么是平行四边形？两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
２、平行四边形有哪些性质？性质 1 ：平行四边形的对边相等。
性质 2 ：平行四边形的对角相等。
性质 3 ：平行四边形的对角线相互均分。
平行四边形的定义有两层意思： (1) 若一个四边形是平行四边形，则它的两组对边就分别平行； (2)若一个四边形的两组对边分别平行，则它是平行四边形。
二、操作实验，研究新知１、操作·察看 A B ′A B将线段 AB 按图上所给方向和距离平移，获取线段A′ B′。
所以，线段A′ B′与线段AB 即平行又相等。
连结 AA′， BB′获取四边形 ABB′ A′。
沪科版八下《平行四边形》平行四边形的判定教案
漫水河中学“三段式”有效教学导学案年级八年级学科数学课题：平行四边形的判定（第2课时）主备教师审核人授课时间2012.4. 发放学案时间（学生填写）学习目标：1.了解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理.2.运用平行四边形的判定定理和有关性质来证明或解决问题．3.学习添加简单的辅助线来研究和证明问题，培养添加辅助线的意识和能力. 学习重难点：三角形中位线定理、平行四边形的判定定理与性质定理的应用．课前自主预习问题：1.连结三角形两边中点的线段叫做三角形的 .2.三角形两边中点的连线，并且等于 .3.在四边形ABCD中，(1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)AD＝BC；(4)AO＝OC；(5)DO＝BO；(6)AB＝CD．选择两个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的共有哪几对？4. 如右图，ΔABC中，BC=10cm,D、E分别是AB、AC的中点，则DE= .再经过点D作就能得到一个平行四边形.（用字母表示）课堂合作学习，探究新知——学生交流展示：1.学习课本例题4 已知：如图，点E、F是Y ABCD的对角线AC上两点，且AE=CF，求证：四边形BEDF是平行四边形.（1）思考判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种？（2）研究和解决四边形问题常用的方法①是运用已知平行四边形的性质，②是添加将四边形转化成的问题来思考（如证明两个三角形全等），所需添加的辅助线要在证明中写出，在图上画出（虚线）. （3）证明过程要严密，做到步步有据：证明连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是，∴AO= ,BO= .又∵AE= ,∴OE= .即四边形是平行四边形.证明方法2：（提示：考虑证明ΔADE≌ΔCBF或ΔABE≌ΔCDF等）2.学习例题5 已知：如图，点D、E分别为ΔABC的边AB、AC的中点，求证： DE∥BC，且DE=1BC2.(1)学用添加辅助线的方法构造全等三角形.(2)小组讨论、分析证明方法：①证明线段相等的方法有哪些？②证明线段的倍数或几分之一常用什么方法？(3)认识三角形的中位线的概念：本题中的线段DE是ΔABC两边中点的连线，叫做ΔABC的中位线.用文字表述本例题中的结论（三角形中位线定理）：.3.补充例题：已知三角形的边长分别是6cm、8cm和10cm，顺次连接各边中点所得的三角形周长和面积分别是和 .自结测试：（1）已知ΔABC中，D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，若ΔDEF的周长为20cm，则ΔABC的周长为 .（2）已知EF过□ABCD对角线的交点O，并交CD边于点E、交AB边于点F，若AD=4cm,AB=5cm,OE=1.5cm,则四边形EFBC的周长是 cm.（3）如下图，在RtΔABC中，∠ACB=900，点D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC的延长线上，∠FEC=∠B，①CF=DE吗？请说明理由.②若AC=6cm,AB=10cm,求四边形DCFE的面积.自我评价：，同伴评价：，组长评价：，教师评价： .课后作业：课本P81页第11题、P82页第13，16题.班级：姓名：。
沪科版八年级下册数学：平行四边形的判定
OF
∵AE=CF
B
C
∴AO－AE=CO－CF
∴EO=FO 又 BO=DO ∴ 四边形BFDE是平行四边形.
想想还有 其它证法吗？
课堂小结
（一）平行四边形的判定方法(1)
从边来判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定 义)
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
19.2 平行四边形
第3课时 平行四边形的判定
复习 导入
合作 探究
课堂 小结
随堂 训练
复习导入
既是平行四边形 的性质也是平行 四边形的判定.
定义： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四
边形.
性质： 平行四边形的对边相等; 平行四边形的对角相等. 平行四边形的对角线互相平分.
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知识要点
平行四边形的判定方法：
例 填空：如图在四边形ABCD中
（1）若对角线AC、BD交于点O，OA=OC.补充条件 边形ABCD为平行四边形. 判定理由是:
，使四 .
（2）若AB∥ CD，补充条件 四边形 . 判定理由是 :
（3）若AB=CD，补充条件 边形. 判定理由是:
，使四边形ABCD为平行 .
，使四边形ABCD为平行四 .
你能用2条线段当做对角线， 相交后连接四个顶点形成的 四边形。你可以做出几种四 边形？在什么条件下做出的 四边形最像平行四边形？
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判定定理3：对角线互相平分的四边形是平 行四边形.
已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，
求证：四边 形ABCD是平行四边形.
证明：在△AOB和△COD中,
A
D
OA=OC (已知)
平行四边形的判定2(沪科版_OK
D
1E
∴△ADE ≌ △CFE F ∴AD=FC 、∠A=∠ECF
2
∴AB∥FC
又AD=DB
B
C
∴BD∥ CF且 BD =CF
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DF∥BC，DF＝BC 即DE∥BC
还有另外的证又法∵吗D？E
1 2
DF
1 DE BC 11
2
A
D
E
B
C
证明：如图，延长DE至F, 使EF=DE，
(1)量一量DE,BC的长是多少？你能作出什么
猜测？
(2)观察图形中的EF与BC,猜测DE 与BC 位置关
系吗？
A
D
E
10
B
C
已知：在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线
求证：DE
∥
BC，且DE=
1 2
BC 。
证明：如 图，延 长DE 到 F，使
A
EF=DE ，连 结CF.
∵DE=EF ∠1=∠2 AE=EC
1 ）平行线的三线八角
。
2）平行线间的平行线段
。
5
已知：直线 a//b//c,AB=BC.
求证：DE=EF
a
A
D G
bB E
cC
F
H
分析过程： ＤＥ＝ＥＦ ＥＧ＝ＥＨ
ＡＢ＝ＧＥ ＢＣ＝ＥＨ ＡＢ＝ＢＣ
6
7
8
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边 的一半。
9
三角形的中位线有什么性质？
如图，EF是△ABC 的一条中位线．
第20章 四边形
§20.2 平行四边形
1
1. 两组对边分别平行的四边形 是平行四边形.
沪科版八年级下册数学：平行四边形的判定
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形 B ∴AD∥CB
F
AD=BC
∵E,F分别是AD,BC的中点
∴ED=BF ∵ED ∥BF ∴四边形EBFD是平行四边形
∴BE=DF
ED C
1.请你识别下列四边形哪些是平行四边形？请说明理由？
A
7.6㎝
4.8㎝
D
4.8㎝
A
120° 5㎝
D
60°
5㎝
B
7.6㎝
C
B
A
（
70°
B
110°
C
（3）
2.已知在四边形ABCD中，AD∥BC，要使这个四边形为 平行四边形，则添加一个你认为正确的条件_____
3．已知：如图，点C在BE上，且AD=BC=CE，
AC=DE，AB=CD， 找出图中的平行四边形，并
说明理由．
A
D
B
C
E
4．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F 分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点O． 求证：EO=OF．
符号语言：
A
D
∵AD=∥BC
B
C
∴ 四边形ABCD是平行四边形
平行四边形的判定方法
两组对边分别平行的四边形是平行四边形 从边来判定 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
例题讲解：
已知：如图，E、F分别是 平行四边形 A ABCD的边AD、BC的中点.求证：BE=DF.
文字语言：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
符号语言：
A
D
∵AB ∥CD ，AD ∥BC
B
C
∴ 四边形ABCD是平行四边形
八年级数学平行四边形的性质和判定定理上海科技版知识精讲
初二数学平行四边形的性质和判定定理某某科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：平行四边形的性质和判定定理二、知识点回顾：1：平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2：平行四边形的性质：1）平行四边形对边平行；2）平行四边形对边相等；3）平行四边形对角相等；4）平行四边形对角线互相平分．3：平行四边形判定定理：1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；⎭⎬⎫CD AB BC AD ∥∥四边形ABCD 是平行四边形 2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；AD ＝BC ，AB ＝CD ⇒四边形ABCD 是平行四边形3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；AD ∥BC ，AD ＝BC ⇒四边形ABCD 是平行四边形4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；OA ＝OC ，OB ＝OD ⇒四边形ABCD 是平行四边形5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．∠ABC ＝∠CDA ，∠BAD ＝∠BCD ⇒四边形ABCD 是平行四边形4：三角形中位线定义及定理：1）定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线；2）定理：三角形中位线平行且等于第三边的一半．【典型例题】例1. 已知，如图1，四边形ABCD为平行四边形，∠A＋∠C＝80°，平行四边形ABCD 的周长为46 cm，且AB－BC＝3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数．分析：由平行四边形的对角相等，邻角互补可求得各内角的度数；由平行四边形的对边相等，得AB＋BC＝23 cm，解方程组即可求出各边的长．解：由平行四边形的对角相等，∠A＋∠C＝80°，得∠A＝∠C＝40°又DC∥AB，∠D与∠A为同旁内角互补，∴∠D＝180°－∠A＝180°－40°＝140°．∴∠B＝140°．由平行四边形对边相等，得AB＝CD，AD＝BC．因周长为46 am，因此AB＋BC＝23 cm，而AB－BC＝3 cm，得AB＝13 cm，BC＝10 cm，∴CD＝13 am．AD＝10 cm．题后反思：注意充分利用性质解题．例2. 如图2，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE＝BF，你认为AE＝CF吗？试说明理由．分析：本题主要考查平行四边形的性质．要证明AE＝CF，可以把两线段分别放在两个三角形里，然后证明两三角形全等．解：AE＝CF．理由：在平行四边形ABCD中，∵AB＝CD且AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．∵DE＝BF，∴DE＋BD＝BF＋BD，即BE＝DF：∴△ABE≌△CDF ∴AE＝CF题后反思：利用平行四边形的性质解题时，一般要用到三角形全等知识，此题还可以证明其他三角形全等来证明两线段相等．例3. 如图3所示，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，HG∥AD，EF与GH相交于点O，则该图中平行四边形的个数共有（）图3A. 7个B. 8个C. 9个D. 11个解析：本题主要考查平行四边形的定义．两条平行线把平行四边形ABCD分成8个（不含原来）四边形，看这些四边形是否都符合平行四边形的定义，∵EF∥AB，HG∥AD，它们的各边都平行．即有□ABCD，□DEOH，□HOFC，□AGOE，□GOFB，□AGHD，□GBCH，□ABFE，□EFCD．答案C题后反思：先分清图中共有哪些四边形，然后根据定义去判断．例4. 如图4，△ABC中，AB＝6，AC＝4．AD是BC边上的中线，则AD的取值X围是_________分析：本题考查平行四边形的判定及三角形的三边关系．要确定AD的取值X围，联想用三角形三边关系，但又不能把AD和AB与AC放在同一三角形里，故不能直接利用三角形三边关系，由AD是中线，可联想延长一倍中线，得到平行四边形，将已知条件AC和AB实行转化，与未知量AD集中到三角形中来求解．延长AD到E，使DE＝AD，连接BE、CE，∵BD＝CD，∴四边形ABEC是平行四边形．∴CE＝AB＝6．在△ACE中，6－4＜AE＜6＋4，即2<AE<10．又∵AE＝2AD．∴1<AD<5．答案：1<AD<5题后反思：当题中有三角形的中线时，常常延长中线，构造平行四边形，这种作辅助线的方法在解题中经常用到，要注意掌握．例5. 现有一个四边形的木框，若想知道它是否为平行四边形，只给你一把刻度尺，你能有几种方法来测量？分析：可从平行四边形的判定方法来考虑．（1）可量两组对边长，若分别相等，则这个木框是平行四边形，否则不是；（2）把木框的对角线连接起来．看对角线是否平分，若互相平分，则为平行四边形．题后反思：注意可操作性．例6. 如图5，已知六边形ABCDEF的每一个内角都是120°且AB＝l，DE＝2，BC＋CD＝8，求这个六边形的周长．图5分析：要求其周长，只要求出AF与EF的和即可．如何求？考虑到特殊角，结合三角形知识，可将六边形化归为平行四边形来解．解：如图5，延长FA、CB相交于点G，延长CD、FE相交于点H，由已知，△ABG 和△DEH都是等边三角形．所以∠G＝∠H＝60°．因为∠C＝∠F＝120°，则四边形CGFH 为平行四边形，GF＋FH＝CH＋CG＝CD＋DH＋CB＋BG ＝CD＋BC＋DE＋AB＝8＋1＋2＝11．所以AF＋FE＝11－1－2＝8．则该六边形的周长为：8＋8＋1＋2＝19．题后反思：解题关键是作辅助线，将不规则的六边形变成平行四边形．例7. 如图6，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC 上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（）A. AE＝CFB. DE＝BFC. ∠ADE＝∠CBFD. ∠AED＝∠CFB图6解析：由AE＝CF，OA＝OC，得OE＝OF．∵OD＝OB，∴四边形DEBF是平行四边形；由∠ADE＝∠CBF，或∠AED＝∠CFB，都能推出△ADE≌△CBF，∴AE＝CF．∴四边形DEBF是平行四边形．答案：B题后反思：本题所用方法叫“排除法”．在做选择题时经常用到，要注意总结．例8. 如图7，AB∥CD，AC、BD交于点O，且OB＝OD．已知S△OBC＝1，求四边形ABCD 的面积．图7分析：要求四边形ABCD的面积，就要找到其与 OBC的关系，考虑四边形ABCD是否为特殊四边形，即平行四边形，而从题中条件，利用“等底等高的两三角形面积相等”，问题得解．解：因为AB∥CD，且OB＝OD，据“等底等高的两三角形面积相等”可得：四边形ABCD为平行四边形．利用平行四边形的性质，可得四边形ABCD的面积＝4S△OBC＝4．题后反思：“等底等高的两三角形面积相等”在平行四边形中也有很多不经意的好用处．【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的性质是（）A. 对角相等B. 对边平行且相等C. 对角线相等D. 对角线互相平分2. 如图1，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，作OE上BD于O，交CD于E，连接BE，若△BCE的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（）图1A. 6B. 12C. 18D. 不确定3. 下列条件中，能判别一个四边形是平行四边形的是（）A. 一组对边相等B. 一组对边平行C. 两条对角线相等D. 两组对角分别相等4. 已知四边形ABCD，以下四个条件：（1）∠A＝∠B，∠C＝∠D；（2）AB＝CD，AD ＝BC；（3）AB＝CD，AB∥CD；（4）AB∥CD，AD∥BC．其中能判定四边形ABCD为平行四边形的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 已知四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A. OA＝OC，OB＝ODB. ∠ABD＝∠BDC，∠CBD＝∠ADBC. AB＝CD，OB＝OD，∠ABD＝∠BDCD. OA＝OB．OC＝OD6. 如图2，在△ABC中，∠B＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，DE＝2，AC＝5，则AB的长为（）A. 2B. 3C. 4D. 5图27. 在四边形ABCD中，已知AB＝CD，再添一个条件________，就可以判定四边形ABCD 是平行四边形．8. 如图3，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，请写出图中相等的线段_______，图中全等三角形有__________对．图39. 在平行四边形ABCD中，已知对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝20，△AOB 的周长为15，则CD＝______．10. 如图4，在平行四边形ABCD中，O是AC上一点，过点O的任一直线交AB于E，交CD于F，要想保证OE＝OF，需满足条件：_________________（填出一个你认为正确的一个条件即可）．图411. 用长为80cm的铁丝围成一个平行四边形，使平行四边形的两邻边之比为3：2，这个平行四边形最长边为___________．12. 已知四个角都是直角的四边形叫做矩形．如图5是小X剪出的一个四边形ABCD硬纸片，现他沿垂直于BC的线段AE剪下△ABE，然后放到△DCF处，使AB与CD重合，此时测得四边形AEFD是矩形．那么小X剪出的原四边形ABCD是_________形．判定的依据是_____________．13. 在四边形ABCD中，∠A＝60，要使四边形ABCD成为平行四边形，则∠B＝_________，∠C_____________．14. 如图6是小明剪成的一个等腰三角形纸片ABC，其中AB＝AC，他把∠B沿EM折叠使点B落在点D上，把∠C沿FN折叠使点C也落在点D上，则小明就说四边形AEDF 是平行四边形，请你帮他说明理由；小明又量出AB＝9 cm，则四边形AEDF的周长是多少？图615. 如图7，把两把相同的角尺（两边互相垂直）的一边紧靠在木板同一侧的边缘上，再看板另一边缘（也为直线）在两把角尺上的刻度是否相等，木工师傅就可以判断木板的两个边缘是否平行，你能说出其中的道理吗？图7【试题答案】1、C2、B3、D4、C5、D6、B7、AB//CD （条件不唯一）8、AD=BC AB=CD OA=OC OB=OD 49、5 10、OA=OC 11、24cm12、平行四边形，AB//CD 、AB=CD13、120° 60°14、解：（1）由题意可得： MDE B ∠=∠NDF C ∠=∠为平行四边形四边形AEDF AB DF AC ED BCDF CBDE CB ACAB ∴∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=//,//（2）周长为18cm ．15、答：由测量过程可知：测量的直线间距不仅相等，而且平行，所以对边是平行关系．。
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一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
写出:已知,求证,证明 已知:如图,在四边形ABCD中，AB=CD,AB∥CD 求证：四边形ABCD是平行四边形
D
C
A
B
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
AO = CO （已知） ∠1 = ∠2 （已知） B C A D
3
1
O
4
2
BO = DO （已知）
∴△AOB≌△COD（SAS） ∴ ∠3 = ∠4 ∴AB ∥ CD 同理AD ∥ BC
你还能用其他的方 法来证明吗?
定理3 对角线互相平分 的四边形是平行四边形
∴四边形ABCD是平行四边形
判 定
文字语言
图形语言 Ｄ Ａ
符号语言
定 两组对边分别平行的四 义 边形是平行四边形
Ｃ ∵AB∥CD,AD∥BC ∴…是平行四边形 Ｂ Ｃ ∵AB∥CD,AB= CD ∴…是平行四边形 Ｂ Ｃ ∵AB=CD,AD= BC ∴…是平行四 边形
定 一组对边平行且相等的 理 四边形是平等四边形 １
定 两组对边分别相等的四 理 边形是平行四边形 ２ 定 对角互相平分的四边形 理 是平行四边形 3
如图，在平行四边形ABCD的一组对边AD、 BC上截取EF＝MN，连接EM、FN，EM和 FN有怎样的关系？为什么？
A
E
F
D
B
M
N
C
如图：四边形ABCD是梯形，在底 边AB上求作一点E，使四边形AECD 为平行四边形。
注意是尺 规作图哦！ D C
A
B
课本：习题20.2第9、10、 11题 《同步练习》P67—P69
D
C
A
B
平行四边形的对边相等。 逆命题两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
已知：四边形ABCD, AB=CD，AD=BC 求证：四边形ABCD是平行四边形 证明: 连结AC， ∵ 在△ABC与△CDA中 AB=CD（已知） AD=BC （已知） AC=CA （公共边） ∴△ABC≌△CDA（SSS） ∴∠1=∠2，∠3=∠4（全等三 角形的对应边相等） ∴ AB∥CD，AD∥BC （内错 角相等，两直线平行） ∴四边形ABCD是平行四边形
D A C B
C
(E) ∠A=∠C, ∠B=∠D （两组对角分别相等）
例题：已知如图，点E、F是 平行四边形对角线AB上的两 点，且AE=CF。 求证：四边形BEDF是平行 四边形。
E
D
O F
C
证明：连接BD交AC于点O
A
B
∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO。 又∵AE=CF， ∴OE=OF。 ∴四边形BEDF是平行四边形。
猜一猜
平行四边形的性质： 平行四边形的对角线互相平分
平行四边形的判定： ？
对角线互相平分的四边形 是平行四边形
命题3
对角线互相平分的 四边形是平行四边形。
对角线互相平分的四边形是平行四边形
已知：如图，四边形ABCD, AC、 BD交于点O且OA=OC，OB=OD 求证：四边形ABCD是平行四边形 证明：∵在△AOB与△COD中
∴ ∠ A=∠ C， ∠ D=∠ B
0 ∠ A+∠ B=180 , ∠ A+∠ D= 180 …
0
两组对边分别 平行的四边形 叫做平行四边 形。
对角线 平行四边形的对角线互相平分
∵四边形ABCD是平行边形 ∴OA=OC,OB=OD
想一想：
A
/
B
/
A
/
B
/
将线段AB沿着所给的方向和距离, / / 平移到 A B ,构成四边形 AAB B 。
B
A D
1 4 3 2
C
定理2 两组对边分别相 等的四边形是平行四边形。
比一比
平行四边形的性质： 平行四边形的两组对边分别平行 平行四边形的判定： 两组对边分别平行的四边形是 平行四边形。
再比一比
平行四边形的性质： 平行四边形的两组对边分别相等 平行四边形的判定： 两组对边分别相等的四边形是平 行四边形。
AO BAFra bibliotek110°
D
5㎝
B
120° 60° 5㎝
C
C
⑴
A D A
4.8㎝
⑵ 7.6㎝
D D
4.8㎝
70°
110°
B
⑶
C
B
⑷ 7.6㎝
C
3、在下列条件中,不能判定四边形是平行四 A D 边形的是( D )
(A)AB∥CD,AD∥BC（两组对边分别平行） B (B) AB=CD,AD=BC （两组对边分别相等） (C)AB∥CD,AB=CD （一组对边平行且相等） (D) AB∥CD,AD=BC
四边形ABCD是平行四边形
A
E
F
C
1．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O， （1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ _cm， CD=___ _cm时，四边形ABCD为平行四边形； （2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__ _cm， DO=__ _cm时，四边形ABCD为平行四边形．
已知:如图,在四边形ABCD中，AB=CD,AB∥CD 求证：四边形ABCD是平行四边形
证明：
D
C
连接DB。
∵ AB∥CD， ∴∠CDB= ∠ABD 在△CDB与△ABD中
A B CD=AB（已知） ∠CDB= ∠ABD（已证） 判定定理1 一组对边平行且 DB=BD（公共边） 相等的四边形是平行四边形。
大 显 身 手
B
1.已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC 上的两点，并且AE=CF。 求证：四边形BFDE是平行四边形 证明： AD ∥ BC且AD =BC EAD=FCB D 在AED和 CFB中 AE=CF EAD=FCB AD=BC AED ≌ CFB(SAS) DE=BF 同理可证：BE=DF 四边形BFDE是平行四边形
Ｄ Ａ Ｄ Ａ Ｄ Ａ
O
Ｂ Ｃ ∵OA=OC,OB=OD ∴…是平行四边形 Ｂ
还有一个定理是什么？
1.如图，AB =DC=EF, AD=BC，DE=CF, 则图中有哪些互相平行的线段？
A D E B C F
AB ∥ DC∥ EF
AD ∥ BC DE ∥ CF
2、请你识别下列四边形哪些是平行四边形?为什么？
第20章 四边形
§20.2 平行四边形
忆一忆
1、平行四边形的定义。 2、平行四边形有哪些性质？
A
O
D
边
平行四边形的对边平行且相等
B
平 行 C 四 边 形 的 性 质 ：
∥ ∥ ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB ﹦ CD，AD ﹦ BC
角
平行四边形的对角相等，邻角互补
∵四边形ABCD是平行边形
∴△CDB≌△ABD（SAS） ∴ ∠ADB= ∠CBD（全等三角形的对应角相等）
∴ AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
因此，四边形ABCD是平行四边行。
思考：请同学们在作业本上先过一点A画 两条线段AB、AD，以B为圆心、AD长 为半径画弧，再以点D为圆心、AB长为 半径画弧，两弧交于点C，连接BC、DC， 这样画出的四边形ABCD的两组对边分别 相等，它是平行四边形吗？为什么？